高中数学抽象函数题型汇编及答案

抽象函数常见题型汇编及答案

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

(一)已知的定义域，求的定义域，

解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。

例题1：设函数的定义域为，则

（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______

解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为

（2）由已知，得，解得，故的定义域为

(二)已知的定义域，求的定义域。

解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。

例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。解析：由，得，所以，故填

(三)已知的定义域，求的定义域。

解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。例题3：函数定义域是，则的定义域是_______ 解析：先求的定义域，的定义域是，

，即的定义域是

再求的定义域，，

的定义域是

(四)运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。

例题4：函数的定义域是，求的定义域。

解析：由已知，有，即

函数的定义域由确定

函数的定义域是

【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。

解析：的定义域是［1，2］，是指，

所以中的满足

从而函数f(x)的定义域是［1，4］

【巩固2】 已知函数的定义域是，求函数的定义域。 解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在

中，由此可得

所以函数

的定义域是

【巩固3】

f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)1

2

定义域是__。

解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨

⎩

x a x a a x a

a x a (1)当-

≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当01

2

<≤a 时，则x a a ∈-()，1 二、

解析式问题

1. 换元法：即用中间变量

表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公

式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例题5： 已知 (

)211x

f x x =++,求()f x . 解析：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u

-=+=

--∴2()1x

f x x -=-

2. 凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例题6： 已知3

3

1

1

()f x x x

x +=+

，求()f x 解析：∵22211111

()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x

+=+-+=++-

又∵11||||1||

x x x x +

=+≥，∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)

3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例题7： 已知()f x 二次实函数，且2

(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .

解析：设()f x =2ax bx c ++，则

22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+

=22

222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4

1321

,1,2222

a c a a

b

c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩

∴213()22

f x x x =

++

4. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例题8： 已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x

解析：∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-

∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0

()lg(1),0

x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩

例题9： ()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1

()1

g x x =

-， 求()f x ,()g x . 解析：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,

不妨用-x 代换()f x +()g x =

1

1x - ………①中的x , ∴1()()1

f x

g x x -+-=--即()f x －1

()1g x x =-+……②

显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1

x

g x x =-