高中数学抽象函数题型汇编及答案

抽象函数常见题型汇编及答案
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：
一、定义域问题
(一)已知的定义域，求的定义域，
解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。

例题1：设函数的定义域为，则
（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______
解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为
（2）由已知，得，解得，故的定义域为
(二)已知的定义域，求的定义域。

解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。

例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。

解析：由，得，所以，故填
(三)已知的定义域，求的定义域。

解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。

例题3：函数定义域是，则的定义域是_______ 解析：先求的定义域，的定义域是，
，即的定义域是
再求的定义域，，
的定义域是
(四)运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。

例题4：函数的定义域是，求的定义域。

解析：由已知，有，即
函数的定义域由确定
函数的定义域是
【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。

解析：的定义域是［1，2］，是指，
所以中的满足
从而函数f(x)的定义域是［1，4］
【巩固2】 已知函数的定义域是，求函数的定义域。

解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在
中，由此可得
所以函数
的定义域是
【巩固3】
f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)1
2
定义域是__。

解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨
⎩
x a x a a x a
a x a (1)当-
≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当01
2
<≤a 时，则x a a ∈-()，1 二、
解析式问题
1. 换元法：即用中间变量
表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公
式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例题5： 已知 (
)211x
f x x =++,求()f x . 解析：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u
-=+=
--∴2()1x
f x x -=-
2. 凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例题6： 已知3
3
1
1
()f x x x
x +=+
，求()f x 解析：∵22211111
()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x
+=+-+=++-
又∵11||||1||
x x x x +
=+≥，∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)
3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例题7： 已知()f x 二次实函数，且2
(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .
解析：设()f x =2ax bx c ++，则
22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+
=22
222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4
1321
,1,2222
a c a a
b
c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩
∴213()22
f x x x =
++
4. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例题8： 已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x
解析：∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-
∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0
()lg(1),0
x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩
例题9： ()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1
()1
g x x =
-， 求()f x ,()g x . 解析：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,
不妨用-x 代换()f x +()g x =
1
1x - ………①中的x , ∴1()()1
f x
g x x -+-=--即()f x －1
()1g x x =-+……②
显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1
x
g x x =-
5. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式 例题10：
设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及
(1)f =1,求()f x
解析：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =
(1)2n n +∴1
()(1),2
f x x x x N =+∈
【巩固4】 设函数f x ()存在反函数，g x f
x h x ()()()=-1
，与g x ()的图象关于直线
x y +=0对称，则函数h x ()=
A. -f x ()
B. --f x ()
C. --f
x 1
() D. ---f
x 1
()
解析：要求y h x =()的解析式，
实质上就是求y h x =()图象上任一点P x y ()00，的横、纵坐标之间的关系。

点P x y ()00，关于直线y x =-的对称点()--y x 00，适合y f x =-1
()，
即-=-x g y 00()。

又g x f
x ()()=-1
，
∴-=-⇒-=-⇒=---x f
y y f x y f x 01
00000()()()，即h x f x ()()=--，选B 。

【巩固5】设对满足的所有实数x，函数满足
，求f(x)的解析式。

解析：在中以代换其中x，得：
再在(1)中以代换x，得
化简得：
评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。

通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

三、求值问题
这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。

其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。

或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

例题11：已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；
②，求f(3)，f(9)的值。

解析：取，得
因为，所以
又取，得
例题12： 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，
求f ()2000的值。

解析：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，
∴f x ()为奇函数且有f ()00=，又由
f x f x ()[()]+=--44()()(8)(4)()f x f x f x f x f x =-=-∴+=-+=，
f x ()是周期为8的周期函数， ∴==f f ()()200000
【巩固6】 已知f x ()的定义域为R +
，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______。

解析：在条件f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得
f f f f ()()()()844244=+==，∴=f ()42
又令x y ==2，得f f f (4)(2)(2)=+=2，∴=f (2)1
【巩固7】 已知f x ()是定义在R 上的函数，且满足：f x f x f x ()[()]()+-=+211，
f ()11997=，求f (2001)的值。

解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f x ()是周期函数，显然f x ()≠1，于是
f x f x f x ()()()+=+-211，f x f x f x f x f x f x f x f x ()()()
()
()()()
()+=
++-+=+
+
-
-+-
=-412121111111 所以f x f x f x ()()
()+=-
+=81
4，故f x ()是以8为周期的周期函数，
从而f f f (2001)()()=⨯+==8250111997 四、
值域问题
例题13： 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，
总成立，且存在，使得，求函数的值域。

解析：令，得
，即有
或。

若
，则
，对任意
均成立，这与存在实数
，使得
成立矛盾，故，必有。

由于
对任意
均成立，因此，对任意，有
下面来证明，对任意
设存在
，使得
，则
这与上面已证的矛盾，因此，对任意
所以
评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。

【巩固8】 已知函数f x ()对任意实数x y ，有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时
f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。

解析：设x x 12<，且x x R 12，∈，则x x 210->，
由条件当x >0时，f x ()>0 ，∴->f x x ()210
又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111，∴f x ()为增函数， 令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-
又令x y ==0 ，得f ()00= ，∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，
∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214
∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，
五、
求参数范围或解不等式
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域
内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

例题14：
已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足
f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。

解析： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数，∴f x ()在()-10，上是减函数，
由-<-<-<-<⎧⎨⎩121141
2
a a 得35<<a 。

（1）当a =2时，f a f a f ()()()-=-=2402
，不等式不成立。

（2）当32<<a 时，
2222120(2)(4)(4)140224a f a f a f a a a a a -<-<⎧⎪
-<-=-⇔-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩
（3）当25<<
a 时，
f a f a ()()-<-24
2
22
2021
(4)041224a f a a a a a <-<⎧⎪=-⇔<-<⇒<<⎨⎪-<-⎩
综上所述，所求a 的取值范围是()()3225，， 。

例题15：
f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，若f m x f m x (sin )(cos )
221-≤++对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围。

解析：： m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++⎧⎨⎪
⎩
⎪sin cos sin cos
对x R ∈恒成立⇔-≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪m x m x m x
222
3
1sin sin cos 对x R ∈恒成立⇔m x m m x x x 222
2311254-≤--≥+=--+⎧⎨⎪
⎩
⎪sin sin cos (sin ) 对x R ∈恒成立，
2231
15
214
m m m m ⎧-≤-⎪
∴≤≤⎨--≥⎪⎩，
【巩固9】 已知函数f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，且对一切实数x ，不等式
f k x f k x (sin )(sin )-≥-22恒成立，求k 的值。

解析：由单调性，脱去函数记号，得k x k x k x k x k k x 22222222
1111412-≤-≤-⎧⎨⎪⎩
⎪⇔≤+-+≥-⎧⎨⎪⎩
⎪sin sin sin sin ()
(sin )(2)
由题意知(1)(2)两式对一切x R ∈恒成立，则有
k x k k x k 2222111412941≤+=-+≥-=⎧⎨⎪⎩⎪⎫
⎬⎪⎭
⎪⇒=-(sin )(sin )min max
【巩固10】 已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集。

解析：设x x R 12、∈且x x 12<，则x x 210->，
∴->f x x ()212，即f x x ()2120-->
2211211121()[()]()()2()()()f x f x x x f x x f x f x f x f x ∴=-+=-+->∴>，
故f x ()为增函数，
又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=，
22(1)3(22)3(1)22113f f a a f a a a ∴=∴--<=--<∴-<<，，，即
因此不等式f a a ()2
223--<的解集为{}a a |-<<13。

六、 单调性问题
例题16： 设f(x)定义于实数集上，当
时，，且对于任意实数x 、y ，
有，求证：
在R 上为增函数。

证明：在中取
，得
若，令，则，与
矛盾
所以，即有
当时，；当时，
而，所以
又当时，
，所以对任意
，恒有
设，则
∴
，∴
在R 上为增函数
例题17：
已知偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函是
减函数，并证明你的结论。

证明：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：
任取x x x x 121200<<⇒->->
因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12。

又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，， 从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。

y
O x
【巩固11】 如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间
[]--73，上是
A. 增函数且最小值为-5
B. 增函数且最大值为-5
C. 减函数且最小值为-5
D. 减函数且最大值为-5
解析：画出满足题意的示意图1，易知选B 。

七、
奇偶性问题
例题18： 已知函数对任意不等于零的实数
都有
，试判断函数f(x)的奇偶性。

解析：取得：
，所以
又取得：，所以
再取则
，即
因为为非零函数，所以
为偶函数。

【巩固12】 若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，求证：函数
y f x =()是偶函数。

证明：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，）
y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称，
∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，
0000()()y f x y f x ∴-=--∴=-，
又y f x 00=()，∴-=f x f x ()()00
即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。

八、 周期性问题
几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：
函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）, 1. ，则是以为周期的周期函数； 2. ，则是以为周期的周期函数； 3. ，则是以为周期的周期函数； 4. ，则是以为周期的周期函数；
5. ，则是以为周期的周期函数.
6. ，则是以为周期的周期函数.
7. ，则是以为周期的周期函数.
8. 函数满足（），若为奇函数，则其周期为
，若为偶函数，则其周期为.
9.函数的图象关于直线和都对称，则函数是以
为周期的周期函数；
10.函数的图象关于两点、都对称，则函数
是以为周期的周期函数；
11.函数的图象关于和直线都对称，则函数
是以为周期的周期函数；
()y f x =x a ()()f x f x a =+()y f x =T a =()()f x a f x +=-()x f 2T a =()()
1
f x a f x +=±
()x f 2T a =()()f x a f x a +=-()x f 2T a =1()
()1()
f x f x a f x -+=
+()x f 2T a =1()
()1()
f x f x a f x -+=-
+()x f 4T a =1()
()1()
f x f x a f x ++=
-()x f 4T a =()y f x =()()f a x f a x +=-0a >()f x 4T a =()f x 2T a =()y f x =()x R ∈x a =x b =()a b <()f x ()2b a -()y f x =()x R ∈()0,A a y ()0,B b y ()a b <()f x ()2b a -()y f x =()x R ∈()0,A a y x b =()a b <()f x ()4b a -
例题19：
设f x ()定义在R 上且对任意的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，求证：
f x ()是周期函数，并找出它的一个周期。

解析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，
若能得出f x T f x ()()+=（T 为非零常数）则f x ()为周期函数，且周期为T 。

证明： f x f x f x ()()()
()=+-+121 ∴+=+-+f x f x f x ()()()
()1232 ()()12+得f x f x ()()
()=-+33
由（3）得f x f x ()()
()+=-+364
由（3）和（4）得f x f x ()()=+6。

上式对任意x R ∈都成立，因此f x ()是周期函数，且周期为6。

例题20：
设函数f x ()的定义域为R ，且对任意的x ，y 有
f x y f x y f x f y ()()()()++-=⋅2，并存在正实数c ，使f c
()2
0=。

试问f x ()是否为周
期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

解析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：y x =cos 满足题设条件，
且cos π
2
0=，
猜测f x ()是以2c 为周期的周期函数。

f x c c f x c c f x c f c f x c f x f x c f x c f x [()][()]()()()()()()()
++++-=+=∴+=-∴+=-+=2222222
2 故f x ()是周期函数，2c 是它的一个周期。

【巩固13】 设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称。

对任意
x x 1201
2
，，∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=⋅。

证明f (x )是周期函数。

证明：依题设y f x =()关于直线x =1对称,故f x f x x R ()()=-∈2， 又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，
∴-=-∈f x f x x R ()()2，,将上式中-x 以x 代换，得f x f x x R ()()=+∈2，
这表明f x ()是R 上的周期函数，且2是它的一个周期
f x ()是偶函数的实质是f x ()的图象关于直线x =0对称
又f x ()的图象关于x =1对称，可得f x ()是周期函数,且2是它的一个周期
由此进行一般化推广，我们得到
思考一：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x a a =≠()0对称，证明f x ()是周期函数，且2a 是它的一个周期。

证明： f x ()关于直线x a =对称.∴=-∈f x f a x x R ()()2，
又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，,∴-=-∈f x f a x x R ()()2， 将上式中-x 以x 代换，得f x f a x x R ()()=+∈2，
∴f x ()是R 上的周期函数,且2a 是它的一个周期
思考二：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于直线x a =和x b a b =≠()对称。

证明
f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期。

证明： f x ()关于直线x a x b ==和对称
()(2)()(2)(2)(2)f x f a x x R f x f b x x R f a x f b x x R
∴=-∈=-∈∴-=-∈，，，，，
将上式的-x 以x 代换得f a x f b x x R ()()22+=+∈，
∴+-=-+=-+=∈f x b a f x a b f x a a f x x R [()][()][()]()22222， ∴f x ()是R 上的周期函数,且2()b a -是它的一个周期
若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，f x ()还是不是周期函数？我们得到 思考三：设f x ()是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x =1对称。

证明f x ()是周期函数，且4是它的一个周期。

，
证明： f x ()关于x =1对称,∴=-∈f x f x x R ()()2，
又由f x ()是奇函数知()()(2)()f x f x x R f x f x x R -=-∈∴-=--∈，，， 将上式的-x 以x 代换，得(2)()f x f x x R +=-∈，
(4)[2(2)](2)[()]()f x f x f x f x f x x R ∴+=++=-+=--=∈，
∴f x ()是R 上的周期函数,且4是它的一个周期
f x ()是奇函数的实质是f x ()的图象关于原点（0，0）中心对称，又f x ()的图象关于直
线x =1对称，可得f x ()是周期函数，且4是它的一个周期。

由此进行一般化推广，我们得到
思考四：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0中心对称，且其图象关于直线x b b a =≠()对称。

证明f x ()是周期函数，且4()b a -是它的一个周期。

证明： f x ()关于点M a ()，0对称，∴-=-∈f a x f x x R ()()2，
f x ()关于直线x b =对称，
()(2)(2)(2)f x f b x x R f b x f a x x R ∴=-∈∴-=--∈，，，
将上式中的-x 以x 代换，得
(2)(2)[4()][2(24)][2(24)][2(2)][2(2)]()f b x f a x x R
f x b a f b x b a f a x b a f b x a f a x a f x x R
+=-+∈∴+-=++-=-++-=-+-=+-=∈，， ∴f x ()是R 上的周期函数，且4()b a -是它的一个周期
由上我们发现，定义在R 上的函数f x ()，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则f x ()是R 上的周期函数。

进一步我们想到，定义在R 上的函数f x ()，其图象如果有两个对称中心，那么f x ()是否为周期函数呢？经过探索，我们得到
思考五：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0和N b a b ()()，0≠对称。

证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期。

证明： f x ()关于M a N b ()()，，，00对称
∴-=-∈-=-∈∴-=-∈f a x f x x R f b x f x x R f a x f b x x R
()()()()()()2222，，，
将上式中的-x 以x 代换，得
(2)(2)[2()][2(2)][2(2)]()f a x f b x x R f x b a f b x a f a x a f x x R
+=+∈∴+-=+-=+-=∈，， ∴f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期
九、
对称性问题
（1）对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念
①轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）
①常函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数;
⑨正弦型函数sin()y A x ωϕ=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;
⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。

前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，
这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。

⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d
+=
≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =-
(由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c
-。

（2）抽像函数的对称性
1、函数)(x f y =图像本身的对称性（自对称问题） （1）轴对称
①)(x f y =的图像关于直线a x =对称 ⇔)()(x a f x a f -=+ ⇔)2()(x a f x f -=
⇔)2()(x a f x f +=-
②)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图像关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称.
特别地，函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是()()f x f x =-.
（2）中心对称
①)(x f y =的图像关于点),(b a 对称⇔
b
x a f x a f 2)()(=-++
⇔
b x a f x f 2)2()(=-+
⇔b x a f x f 2)2()(=++-。

②c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图像关于点),2
(c b a +对称. 特别地，函数)(x f y =的图像关于原点(0,0)对称的充要条件是()()0f x f x +-=.
（3）对称性与周期性之间的联系
①若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于直线x b =对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为b a -；且函数()f x 为周期函数，周期
2T b a =-；
特别地：若)(x f y =是偶函数，图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为2a 的周
期函数；
②若函数()f x 既关于点(,0)a 对称，又关于点(,0)b 对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为b a -；且函数()f x 为周期函数，周期2T b a =-； ③若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于点(,0)b 对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为b a -，相邻对称轴或中心的距离为
2b a -；且函数()f x 为周期函数，周期4T b a =-。

特别地：若)(x f y =是奇函数，图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为a 4的周期函数。

2、两个函数图像的对称性（互对称问题）
（1）函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图像关于直线0=x 对称。

（2）函数)(x f y =与)2(x a f y -=图像关于直线a x =对称 （3）函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图像关于直线a x -=对称
（4）函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图像关于直线0)()(=--+x b x a 对称即直线
2
a
b x -=
对称（5）函数)(x f y =与)(x f y -=图像关于x 轴对称。

（6）函数)(x f y =与)(x f y -=图像关于y 轴对称。

（7）函数)(x f y =与()a x f a y -=-图像关于直线x y a +=成轴对称。

（8）函数)(x f y =与()x a f y a -=+图像关于直线x y a -=成轴对称。

（9）函数()y f x =与()1
y f x -=的图像关于直线y x =对称。

（10）函数()y f x =与()1
y f x -=--的图像关于直线y x =-对称。

（11）函数()y f x =有反函数，则()y f a x =+和()1
y f a x -=+的图像关于直线
y x a =+对称。

（12）函数)(x f y =与)2(2x a f b y --=的图像关于点),(b a 成中心对称。

特别地，
函数)(x f y =与)(x f y --=图像关于原点对称。

例题21：
函数满足，求值。

解析：已知式即在对称关系式中取
，所以函
数
的图象关于点（0，2002）对称。

根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称。

所以
将上式中的x 用
代换，得
评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a 、b 均为常数，函数
对一切实数x 都满足
，则函数
的图象关于点（a ，b ）成中心对称图形。

十、
综合问题
1) 比较函数值大小
利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。

例题22：
已知函数f x ()是定义域为R 的偶函数，x <0时，f x ()是增函数，
若x 10<，x 20>，且||||x x 12<，则f x f x ()()--12，的大小关系是_______。

解析： x x 1200<>，且||||x x 12<，∴<-<⇒-<<001221x x x x 又x <0时，f x ()是增函数，∴-<f x f x ()()21
f x ()是偶函数，∴-=f x f x ()()11，故f x f x ()()->-12
2) 讨论方程根的问题
例题23： 已知函数f x ()对一切实数x 都满足f x f x ()()11+=-，并且f x ()=0有三个实根，则这三个实根之和是_______。

分析：由f x f x ()()11+=-知直线x =1是函数f x ()图象的对称轴。

又f x ()=0有三个实根，由对称性知x 11=必是方程的一个根，其余两根x x 23，关于直线x =1对称，所以x x 23212+=⨯=，故x x x 1233++=。

3) 研究函数的图象
这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。

例题24：
若函数y f x =+()2是偶函数，则y f x =()的图象关于直线_______对称
解析：y f x =()的图象右移个单位
左移个单位22y f x =+()2的图象，而y f x =+()2是偶函数，对称轴是x =0，故y f x =()的对称轴是x =2。

例题25：
若函数f x ()的图象过点（0，1），则f x ()+4的反函数图象必过定点__
解析：f x ()的图象过点（0，1），从而f x ()+4的图象过点()-41，，由原函数与其反函数图象间的关系易知，f x ()+4的反函数的图象必过定点()14，-。

【巩固14】 定义在R 上的函数f(x)满足：对任意实数m ，n ，总有
，且当x >0时，0<f (x )<1。

（1）判断f (x )的单调性；（2）设
，
，若
，试确定a 的取值范围。

解析：（1）在中，令
，得，因
为，所以。

在中，令
因为当时，
，所以当时
而
，所以
又当x =0时，，所以，综上可知，对于任意，均有。

设，则
所以
，∴在R 上为减函数。

（2）由于函数y =f (x )在R 上为减函数，所以 即有，又，由单调性，有 由，所以直线
与圆面
无公共点。

因此有
，解得。

【巩固15】 设函数y f x =()定义在R 上，当x >0时，f x ()>1，且对任意m n ，，有
f m n f m f n ()()()+=⋅，当m n ≠时f m f n ()()≠。

（1）证明f ()01=；（2）证明：f x ()在R 上是增函数； （3）设{}
A x y f x f y f =⋅<()|()()()，221，
B x y f ax by c a b c R a =++=∈≠{()|()}，，，，，10，若A B =∅，求a b c ，，满
足的条件。

解析：（1）令m n ==0得f f f ()()()000=⋅，∴=f ()00或f ()01=。

若f ()00=，当m ≠0时，有f m f m f ()()()+=⋅00，与当m n ≠时，f m f n ()()≠矛盾，∴=f ()01。

（2）设x x 12<，则x x 210->，由已知得f x x ()211->，因为x 10≥，f x ()11>，若x 10<时，->->x f x 1101，()，由f f x f x ()()()011=⋅-
12211111
()0()()()()()()
f x f x f x x f x f x f x R f x ∴=
>=-⋅>∴-，，在上为增函数。

（3）由f x f y f ()()()2
2
1⋅<得x y 2
2
11+<() 由f ax by c ()++=1得ax by c ++=0 （2）
从（1）、（2）中消去y 得()a b x acx c b 2
2
2
2
2
20+++-<，因为A B =∅
∴=-+-<∆()()()24022222ac a b c b ，即a b c 222+<。