高中数学抽象函数题型汇编及答案

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压轴题型03 抽象函数问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练

压轴题03抽象函数问题抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。

考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。

本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。

抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。

由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。

○热○点○题○型1定义域问题解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。

函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围）。

○热○点○题○型2求值问题通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。

○热○点○题○型3值域问题○热○点○题○型4解析式问题通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

○热○点○题○型5单调性与奇偶性问题○热○点○题○型6周期性与对称性问题○热○点○题○型7几类抽象函数解法(1)求解方法：1.借鉴函数模型进行类比探究（化抽象为具体）2.赋值法（令0=x 或1，求出)0(f 或)1(f 、令x y =或x y -=等等）（2）几种抽象函数模型：1.正比例函数：)0()(≠=k kx x f ——————————)()()(y f x f y x f ±=±；2.幂函数：2)(x x f =——————————————)()()(y f x f xy f =，)()()(y f x f y x f =；注：反比例函数：1)(-=x x f 一类的抽象函数也是如此，有部分资料将幂函数模型写成反比例函数模型。

3.指数函数：x a x f =)(———————————)()()(y f x f y x f =+，)()()(y f x f y x f =-4.对数函数：x x f a log )(=————————)()()(y f x f xy f +=，)()()(y f x f yxf -=5.三角函数：x x f tan )(=————————————)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+6.余弦函数：x x f cos )(=———————)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++一、单选题1．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()102f xy f x f y +--=，若一组平行线()1,2,...,i x x i n ==分别与()y f x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，...，(),n n x y ,且()2121n i i x x f -+=⎡⎤⎣⎦，其中1,2,...,i n =，则1nii y n==∑A ．1B ．12C ．2nD ．2n 【答案】B【分析】令1x y ==得到()112f =；令1,n i i x x y x -+==得到()()11n i i f x f x -++=，代入计算得(6)()6f x f x +-≥，则(2016)f =A ．2015B ．2016C ．2017D ．2018【答案】D【分析】根据递推式可得(6)()6f x f x +-=，再由(2016)f =[(2016)(2010][(2010)(2004)]......[(6)(0)](0)f f f f f f f -+-++-+即可得答案.【详解】解：(2)()2,f x f x +-≤ (4)(2)2,f x f x ∴+-+≤(6)(4)2f x f x ∴+-+≤三是相加得：(6)()6f x f x +-≤，又(6)()6f x f x +-≥，则(6)()6f x f x +-=，当且仅当(2)()2f x f x +-=时等号成立，(2016)f =[(2016)(2010][(2010)(2004)]......[(6)(0)](0)f f f f f f f -+-++-+633622018=⨯+=，故选：D.3．已知定义域为R 的函数()f x 满足()31f x +是奇函数，()21f x -是偶函数，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线=1x -对称B ．()f x 的图象关于点(1,0)对称C ．()31f -=D ．()f x 的一个周期为8【答案】C【分析】根据()31f x +是奇函数，可得()()20f x f x +-+=，判断B;根据()21f x -是偶函数，推出()()2f x f x --=，判断A;继而可得()()4f x f x +=-，可判断D ；利用赋值法求得(1)0f =，根据对称性可判断C.【详解】由题意知()31f x +是奇函数，即()()()()3131,11f x f x f x f x -+=-+∴-+=-+，即()()2f x f x -+=-，即()()20f x f x +-+=，故()f x 的图象关于点(1,0)对称，B 结论正确；又()21f x -是偶函数，故()()()()2121,11f x f x f x f x --=-∴--=-，即()()2f x f x --=，故()f x 的图象关于直线=1x -对称，A 结论正确；由以上可知()()()22f x f x f x =--=--+，即()()22f x f x -=-+，所以()()4f x f x +=-，则()()4()8x x f f f x =-=++，故()f x 的一个周期为8，D 结论正确；由于()()3131f x f x -+=-+，令0x =，可得(1)(1),(1)0f f f =-∴=，而()f x 的图象关于直线=1x -对称，故()30f -=，C 结论错误，故选：C【点睛】方法点睛：此类抽象函数的性质的判断问题，解答时一般要注意根据函数的相关性质的定义去解答，比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决.4．已知定义在R 上的函数()f x 在(),4-∞-上是减函数，若()()4g x f x =-是奇函数，且()40g =,则不等式()0f x ≤的解集是A ．(](],84,0-∞-⋃-B ．[)[)8,40,--⋃+∞C ．[][)8,40,--⋃+∞D ．[]8,0-【答案】C【详解】∵()()4g x f x =-是奇函数，∴函数()()4g x f x =-图象的对称中心为（0,0），∴函数()f x 图象的对称中心为()4,0-.又函数()f x 在(),4-∞-上是减函数，∴函数()f x 在()4,-+∞上为减函数，且()()400f g -==.∵()()400g f ==，∴()80f -=．画出函数()f x 图象的草图（如图）．结合图象可得()0f x ≤的解集是[][)8,40,--⋃+∞．选C ．点睛：本题考查抽象函数的性质及利用数形结合求不等式的解集．解题时要从函数()f x 的性质入手，同时也要把函数()()4g x f x =-的性质转化为函数()f x 的性质，进一步得到函数()f x 的单调性和对称性，进而画出其图象的草图，根据图象写出不等式的解集．其中在解题中不要忘了()f x 是定义在R 上的函数，故应该有()()400f g -==这一结论，即函数()f x 的图象中要有()4,0-这一个点．5．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时()()()5sin ,014211,14xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦有6个根，则实数a 的取值范围是（）A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭9,14⎛⎫⋃-- ⎪⎝⎭D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、多选题(共0分)6．下列说法中错误的为（）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,1B ．若(121f x =+，则()[)2243,1,f x x x x ∞=++∈+C ．函数的421x x y =++值域为：1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．已知()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是[]3,2--7．若定义在R 上的函数()f x 满足：（ⅰ）存在R a +∈，使得()0f a =；（ⅱ）存在R b ∈，使得()0f b ≠；（ⅲ）任意12,R x x ∈恒有()()()()1212122f x x f x x f x f x ++-=．则下列关于函数()f x 的叙述中正确的是（）A ．任意x ∈R 恒有()()4f x a f x +=B ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[]0,a 上是减函数D ．函数()f x 最大值是1，最小值是-18．已知的定义域为R ，且对任意，有1f x f y f x y ⋅=+-，且当1x >时，()1f x >，则（）A ．()11f =B ．()f x 的图象关于点()()1,1f 中心对称C ．()f x 在R 上不单调D ．当1x <时，()01f x <<故选：AD9．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足：①()0,x ∀∈+∞，()()55f x f x =；②当(]1,5x ∈时，()5f x x =-，则（）A ．105f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．m Z ∀∈，()30mf =C ．函数()f x 的值域为[)0,∞+D ．n Z ∃∈，()512019nf +=10．已知()f x 为非常值函数，若对任意实数x ，y 均有()()()1f x y f x f y +=+⋅，且当0x >时，()0f x >，则下列说法正确的有（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 是()0,∞+上的增函数C ．()1f x <D ．()f x 是周期函数对于D:因为()f x 是()0,∞+上的增函数,又因为()f x 为奇函数且()00f =,所以()f x 是(),-∞+∞上的增函数,故()f x 不是周期函数,故D 错误.故选:ABC.11．定义在R 上的函数()f x 满足()()()312f x f x f +++=，()()24f x f x -=+，若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是周期函数B ．1(2022)2f =C ．()f x 的图象关于1x =对称D ．200111002k k f k =⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑可得())1(3f x f x +=－，从而可得()f x 是周期为4的周期函数，是解决本题的关键.12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，其导函数分别为()f x '，()g x '．若()()32f x g x -+=，()()1f x g x ''=+，且()()20g x g x -+=，则（）A ．函数()2g x +为偶函数B ．函数()f x 的图像关于点()2,2对称C ．()202410i g n ==∑D ．()202414048i f n ==-∑【答案】ACD【分析】由()()1f x g x ''=+，可设()()()1,R f x a g x b a b +=++∈，，由()()32f x g x -+=，得()()321g x a g x b --+=++，赋值1x =，则有2a b -=，即()()31g x g x -=+，函数()g x 的图像关于直线2x =对称，又()()20g x g x -+=得()()4g x g x =+，()f x 也是周期为4的函数，通过赋值可判断选项【详解】因为()()1f x g x ''=+，所以()()()1,R f x a g x b a b +=++∈．又因为()()32f x g x -+=，所以()()23f x g x +=-．于是可得()()321g x a g x b --+=++，令1x =，则()()31211g a g b --+=++，所以2a b -=．所以()()31g x g x -=+，即函数()g x 的图像关于直线2x =对称，即()()4g x g x -=+．因为()()20g x g x -+=，所以函数()g x 的图像关于点()1,0对称，即()()20g x g x ++-=，所以()()24g x g x +=-+，即()()2g x g x =-+，于是()()4g x g x =+，所以函数()g x 是周期为4的周期函数．因为函数()g x 的图像关于直线2x =对称，所以()2g x +的图像关于y 轴对称，所以()2g x +为偶函数，所以A 选项正确．将()g x 的图像作关于y 轴对称的图像可得到()y g x =-的图像，再向右平移3个单位长度，可得到()()33y g x g x =--=-⎡⎤⎣⎦的图像，再将所得图像向下平移2个单位长度，即可得到()()32g x f x --=的图像，因此函数()f x 也是周期为4的函数．又()g x 的图像关于点()1,0对称，所以()f x 的图像关于点()2,2-对称，所以B 选项不正确．因为()()20g x g x -+=，令1x =，得()()110g g +=，即()10g =，所以()()130g g ==；令0x =，得()()200g g +=，所以()()240g g +=，所以()()()()12340g g g g +++=，所以()202410i g n ==∑，所以C 选项正确．因为()()32f x g x =--，所以()()0322f g =-=-，()()2122f g =-=-，()()122f g =-，()()302f g =-，()()402f f ==-，则有()()()()()()()123422202f f f f g g +++=-+-+-()28+-=-，可得()202414048i f n ==-∑，所以D 选项正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：一般地，若函数的图像具有双重对称性，则一定可以得到函数具有周期性，且相邻的两条对称轴之间的距离为半个周期；相邻的两个对称中心之间的距离也是半个周期；相邻的一条对称轴和一个对称中心之间的距离为四分之一个周期．三、填空题13．下列命题中所有正确的序号是__________.①函数1()3x f x a -=+(1a >)在R 上是增函数；②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)；③已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)8f -=，则(2)8f =-；④11()122x f x =--为奇函数.⑤函数()f x =[]0,4（3）构造奇函数求对应的函数值；（4）定义法判断函数奇偶性；（5）直接法求具体函数的值域.14．给出下列四个命题：①函数与函数表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数的图像可由的图像向上平移1个单位得到；④若函数的定义域为，则函数的定义域为；⑤设函数是在区间上图象连续的函数，且，则方程在区间上至少有一实根；其中正确命题的序号是_____________．（填上所有正确命题的序号）【答案】③⑤【详解】试题分析：①因为函数的定义域为R ，函数的定义域为{}|>0x x ，所以函数与函数不表示同一个函数；②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点，此命题错误，若奇函数在x=0处没定义，则奇函数的图像就不过原点；③函数的图像可由的图像向上平移1个单位得到；，正确．④因为函数的定义域为，所以0<2<2,0<x<1x 即，所以函数的定义域为[0,1]；⑤设函数是在区间上图象连续的函数，且，则方程在区间上至少有一实根，正确．考点：函数的定义；奇函数的性质；图像的变换；抽象函数的定义域；函数零点存在性定理．点评：此题考查的知识点较多，较为综合，属于中档题．抽象函数的有关问题对同学们来说具有一定的难度，特别是求函数的定义域，很多同学解答起来总感棘手，鉴于此，我们在学习时要善于总结．①已知的定义域求的定义域，其解法是：若的定义域为，则在中，，从中解得x 的取值范围即为的定义域；②已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域．15．已知函数()241f x x -+-的定义域为[]0,m ，则可求得函数()21f x -的定义域为[]0,2,求实数m 的取值范围__________.【答案】[]24，【详解】函数()21f x -的定义域为[]0,2，02,1213x x ∴≤≤∴-≤-≤，令241t x x =-+-,则13t -≤≤，由题意知，当[]0,x m ∈时，[]1,3t ∈-，作出函数241t x x =-+-的图象，如图所示，由图可得，当0x =或4x =时，1t =-，当2x =时，3,24t m =∴≤≤，时[]1,3t ∈-，∴实数m 的取值范围是24m ≤≤，故答案为24m ≤≤.16．给出下列说法：①集合{}1,2,3A =，则它的真子集有8个；②2(),((0,1))f x x x x=+∈的值域为(3,)+∞；③若函数()f x 的定义域为[0,2]，则函数(2)()2f xg x x =-的定义域为[)0,2；④函数()f x 的定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x =-+，则当0x <时，()1f x x =-⑤设53()=5f x ax bx cx +++（其中,,a b c 为常数，x R ∈），若(2012)3f -=-，则(2012)13f =；其中正确的是_______（只写序号）．【答案】②⑤【详解】试题分析：①集合{1,2,3}A =，则它的真子集有个；③由函数()f x 的定义域为[0,2]得：，解得；④设，则,所以，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x =-；⑤设g(x)=,则g(x)是奇函数且()f x =g(x)+5，因为(2012)3f -=-，所以，所以．考点：本题考查真子集的性质、抽象函数的定义域、函数的奇偶性．点评：此题主要考查集合子集个数的计算公式、函数的奇偶性和抽象函数定义域的求法，是一道基础题，若一个集合的元素个数为n ，则其子集的个数为2n ，真子集的个数为2n -1个．17．函数()f x 满足()11f x f x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭对任意[)0,x ∈+∞都成立，其值域是f A ，已知对任何满足上述条件的()f x 都有(){},0f y y f x x a A =≤≤=，则a 的取值范围为___________.18．对任意集合M ，定义()0,M f x x M⎧=⎨∉⎩，已知集合S 、T X ⊆，则对任意的x X ∈，下列命题中真命题的序号是________.（1）若S T ⊆，则()()S T f x f x ≤；（2）()1()X S S f x f x =-ð；（3）()()()S T S T f x f x f x =⋅ ；（4）()()1()[2S S T T f x f x f x ++= （其中符合[]a 表示不大于a 的最大正数）19．设()1f x -为()cos 488f x x x ππ=-+，[]0,x π∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________.R ，对任意的都有且当0x ≥时，则不等式()0xf x <的解集为__________．【答案】(2,0)(0,2)- 【详解】当0x ≥时，由()220f x x x =->，得2x >；由()220f x x x =-<，得02x <<.∵()()f x f x -=-，∴函数()f x 为奇函数．∴当0x <时，由()220f x x x =->，得20x -<<；由()220f x x x =-<，得2x <-.不等式()0xf x <等价于()00x f x >⎧⎨<⎩或()00x f x <⎧⎨>⎩，解得02x <<或20x -<<．∴不等式()0xf x <的解集为()()2,00,2-⋃．答案：()()2,00,2-⋃21．已知函数21,0()21,0,x x f x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有5个不同的实数解，则实数a 的取值范围是_____．【答案】01a <<【分析】采用数形结合的方法，由2()()0f x af x -=确定有两个解()0f x =或()f x a =，在通过图象确定a 的范围．【详解】由2()()0f x af x -=得()0f x =或()f x a =，如图，作出函数()f x 的图象，由函数图象，可知()0f x =的解有两个，故要使条件成立，则方程()f x a =的解必有三个，此时0<a <1．所以a 的取值范围是(0,1)．故答案为：01a <<.22．已知函数()f x 满足1(1)()f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()log (2)a g x f x x =-+有个零点，则实数a 的取值范围是______________．【答案】所以可得132a log ≥+（），∴实数a 的取值范围是[5+∞，）．故答案为[5+∞，）．考点：函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系【名师点睛】本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．四、双空题23．设函数()f x 是定义在整数集Z 上的函数，且满足()01f =，()10f =，对任意的x ，y ∈Z 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，则()3f =______；()()()()22222122023122023f f f f 2++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+______．五、解答题24．已知()f x 定义域为R 的函数，S ⊆R ，若对任意1212,,x x x x S ∈-∈R ，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联．(1)判断函数()()12112f x xg x x =-=-、是否是[)1,+∞关联，并说明理由：(2)若()f x 是{}2关联，当[)0,2x ∈时，()2f x x x =-，解不等式：()02f x ≤≤；(3)判断“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的什么条件?试证明你的结论．25．设函数(),f x x x M=⎨-∈⎩其中P ，M 是非空数集．记f (P ）＝{y |y ＝f (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝f (x )，x ∈M }．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，求f(P)∪f(M)；（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f(x)是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”的真假，并加以证明．【答案】（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析【解析】(Ⅰ)求出f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，由此能过求出f(P)∪f(M)．(Ⅱ)由f(x)是定义在R上的增函数，且f(0)＝0，得到当x＜0时，f(x)＜0，(﹣∞，0)⊆P．同理可证(0，+∞)⊆P．由此能求出P，M．(Ⅲ)假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f(P)∪f(M)＝R．证明0∈P∪M．推导出f(﹣x0)＝﹣x0，且f(﹣x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，由此能证明命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”是真命题．【详解】(Ⅰ)因为P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，所以f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，所以f(P)∪f(M)＝[0，+∞)．(Ⅱ)因为f(x)是定义在R上的增函数，且f(0)＝0，所以当x＜0时，f(x)＜0，所以(﹣∞，0)⊆P．同理可证(0，+∞)⊆P．因为P∩M＝∅，所以P＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M＝{0}．(Ⅲ)该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f(P)∪f(M)＝R．首先证明0∈P∪M．否则，若0∉P∪M，则0∉P，且0∉M，则0∉f(P)，且0∉f(M)，即0∉f(P)∪f(M)，这与f(P)∪f(M)＝R矛盾．若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M，所以x0∉f(P)，且﹣x0∉f(M)．因为f(P)∪f(M)＝R，所以﹣x0∈f(P)，且x0∈f(M)．所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．所以f(-x0)＝﹣x0，且f(-x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．26．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f =.若对任意的[],1,1m n ∈-，0m n +≠都有()()0f m f n m n+>+.（1）用函数单调性的定义证明：()f x 在定义域上为增函数；（2）若()()214f a f a +>，求a 的取值范围；（3）若不等式()()122f x a t ≤-+对所有的[]1,1x ∈-和[]1,1a ∈-都恒成立，求实数t 的取值范围.于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成()()()()f g x f h x ≥后再利用单调性和定义域列不等式组.27．已知函数()f x ，若存在非零实数a ､b ，使得对定义域内任意的x ，均有()f x a +=()f x b +成立，则称该函数()f x 为阶梯周期函数.（1）判断函数()[]|sin |()f x x x x π=+∈R 是否为阶梯周期函数，请说明理由.(其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[3,5]4-=-，[2,1]2=)（2）已知函数()g x ，x ∈R 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称.①求证：函数()g x 为阶梯周期函数；②当[0,4]x ∈时，()[,]g x p q ∈(p ､q 为实数)，求函数()g x 的值域.【答案】（1）是，理由见解析；（2）①证明见解析；②[4,4]n p n q ++，n ∈Z .【解析】（1）根据阶梯周期函数的定义求解判断.（2）①根据函数()g x 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称，得到()()()()2064g x g x g x g x ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩求解.②根据①的结论，分[]()4,44,x n n n N ∈+∈和[]()4,44,x n n n N ∈--+∈两种情况讨论求解.【详解】（1）因为()()(1)[1]|sin 1|[]1|sin |1f x x x x x f x ππ+=+++=++=+,所以存在1,1a b ==,使得函数()f x 为阶梯周期函数（2）①因为函数()g x 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称，所以()()()()2064g x g x g x g x ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩，两式相减得：()()624g x g x +-+=，即()()44g x g x +=+所以函数()g x 为阶梯周期函数；②当[]()4,44,x n n n N ∈+∈时，[]40,4x n -∈，由()()44g x g x +=+，得()()()444242...g x g x g x =-+=-⨯+⨯=()[]()444,4g x n n n p n q n N =-+∈++∈，当[]()4,44,x n n n N ∈--+∈时，[]40,4x n +∈，由()()44g x g x +=+，得()()()444242...g x g x g x =+-=+⨯-⨯=()[]()444,4g x n n n p n q n N =+-∈-+-+∈，综上：函数()g x 的值域是[4,4]n p n q ++n ∈Z .【点睛】关键点点睛：本题关键是阶梯周期函数定义的理解以及()f x 若关于点(),a b 对称，则()()22f x f a x b -++=结合应用.28．已知函数()f x 对于任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-．（1）求(0)f ，(1)f -的值；（2）当34x -≤≤时，求函数()f x 的最大值和最小值；（3）设函数2()()3()g x f x m f x =--，判断函数g (x )最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围．29．已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称()f x 为“S -函数”.（1）判断函数()1f x x =，()23xf x =是否是“S -函数”；（2）若()3tan f x x =是一个“S -函数”，求出所有满足条件的有序实数对(),a b ；（3）若定义域为R 的函数()f x 是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对()0,1和()1,4，当[]0,1x ∈时，()f x 的值域为[]1,2，求当[]2018,2018x ∈-时函数()f x 的值域.1(1)3f =-.（1）求证()f x 是奇函数；（2）求()f x 在区间[3,3]-上的最大值和最小值.【答案】（1）详见解析；（2）最小值-1，最大值1.【分析】（1）利用赋值法,令0x =,0y =代入函数式,可求得(0)f ,再令y x =-代入函数式,即可31．已知函数的定义域为，且同时满足①13f =；②2f x ≥恒成立，③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，则有()()()12122f x x f x f x ++-≥．（1）试求函数()f x 的最大值和最小值；（2）试比较f （12n）与122n +（n ∈N ）的大小．（3）某人发现：当12nx =（n ∈N ）时，有()22f x x <+，由此他提出猜想：对一切x ∈（0，1]，都有()22f x x <+，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．32．已知，1,2,n 是定义在M 上的一系列函数，满足：()1f x x =，()()11i i x f x f i x ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭N .(1)求()()()234,,f x f x f x 的解析式；(2)若()g x 为定义在M 上的函数，且()11x g x g x x -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.①求()g x 的解析式；②若方程()()()()222121318420x m x x g x x x x x ---++++++=有且仅有一个实根，求实数m 的取值范围.都有()()f x s f x s +-=，则称()y f x =是S -关联的.(1)判断函数2y x =和函数[]y x =是否是{1}-关联的，无需说明理由.（[]x 表示不超过x 的最大整数）(2)若函数()y f x =是{2}-关联的，且在[0,2)上，()2x f x =，解不等式2()4f x <<.(3)已知正实数,a b 满足a b <，且函数()y f x =是[,]a b -关联的，求()f x 的解析式.【答案】(1)函数2y x =不是{1}-关联的，函数[]y x =是{1}-关联的；(2)(1,3)x ∈(3)()f x x C=+【分析】（1）根据()y f x =是S -关联的定义逐个判断可得结果；（2）根据函数()y f x =是{2}-关联的定义求出()f x 在[2,4)上的解析式，将()f x 代入2()4f x <<可解得结果；（3）根据()()f x t f x t +-=，得()()()f x t x t f x x +-+=-，令()()g x f x x =-，得()()g x t g x +=34．已知定义域为的函数y f x =满足：①对0,x ∈+∞，恒有22f x f x =；②当(]1,2x ∈时，()2f x x =-.(1)求18f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求出当(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈时的函数解析式；(3)求出方程()12f x x =在(]0,100x ∈中所有解的和.【答案】(1)0；35．f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．（Ⅰ）求a、b的值，并写出切线l的方程；（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）x﹣y﹣2=0（Ⅱ）（﹣，0）【详解】试题分析：（I）利用曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l，可得f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．即为关于a、b的方程，解方程即可．（II）把方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根转化为x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．求出实数m的取值范围以及x1，x2与实数m的关系，再把f（x）+g（x）＜m（x ﹣1）恒成立问题转化为求函数f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值，综合在一起即可求出实数m的取值范围．解：（I）f'（x）=3x2+4ax+b，g'（x）=2x﹣3．由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．故有f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．由此得，解得，所以a=﹣2，b=5..切线的方程为x﹣y﹣2=0．（II）由（I）得f（x）=x3﹣4x2+5x﹣2，所以f（x）+g（x）=x3﹣3x2+2x．依题意，方程x（x2﹣3x+2﹣m）=0，有三个互不相等的实根0，x1，x2，故x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．所以△=9﹣4（2﹣m）＞0，解得m＞﹣．又对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，特别地取x=x1时，f（x1）+g（x1）＜m（x1﹣1）成立，得m＜0．由韦达定理得x1+x2=3＞0，x1x2=2﹣m＞0．故0＜x1＜x2．对任意的x∈[x1，x2]，x﹣x2≤0，x﹣x1≥0，x＞0．则f（x）+g（x）﹣mx=x（x﹣x1）（x﹣x2）≤0，又f（x1）+g（x1）﹣mx1=0．所以f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0．于是当m＜0，对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，综上得：实数m的取值范围是（﹣，0）．点评：本题主要考查函数，导数，不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能立，以及函数与方程和特殊与一般的思想．。

抽象函数常见考题及解析

Email:2463451976抽象函数常见考题及解析四川省南充市李渡中学雍兴灵抽象函数在中学数学教材中虽没有单独的章节，但在高考试卷中却常考常新.下面是笔者整理的近年考题中常见的抽象函数问题，供高三复习时参考.一、求定义域求抽象函数的定义域要注意中间变量的等同性，如在1(())f g x ，2(())f g x 中，1()g x 与2()g x 的值域相同. 例1 （13.大纲卷.理）已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x +的定义域为A.()1,1-B.11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.()1,0-D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭ 解：由已知条件得，1210x -<+<，解得112x -<<-，∴选B . 二、求函数值(域)赋值、迭代是解抽象函数问题的常见方法．例2 (08.四川)设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x +=，若(1)2f =，则(99)f =A ．13B ．2C ．132D ．213解：∵()(2)13f x f x ⋅+=，∴()0f x ≠，且(2)(4)13f x f x +⋅+=，∴(4)()f x f x +=，即()f x 是以4为周期的周期函数． ∴1313(99)(3424)(3)(1)2f f f f =+⨯===．∴选C ．例 3 (08.陕西)定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -等于A ．2B ．3C ．6D ．9解：由()()()2f x y f x f y xy +=++得：(0)(0)(0)0f f f =++，∴0)0(=f .由(0)(1)(1)2f f f =+--得，∴(1)0f -=，∴(2)(1)(1)22f f f -=-+-+=；∴(3)(2)(1)46f f f -=-+-+=. ∴选C.说明：①以上两例着重考查抽象函数的性质．②以上两例看似很难，实为抽象函数问题中的常规题型．例4 (08.江西.理)若函数()y f x =的值域是1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()1()F x f x f x =+的值域是 A ．[21，3] B ．[2，310] C ．[25，310] D ．[3，310] 解：由132y ≤≤得：()12F x y y=+≥(当且仅当1y =时取“=”)，∴()F x 的最小值为2，∴选B . 说明：①本题可用函数1y y +在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上单调递增求()F x 的值域.②本题最易出错的是：由1()32f x ≤≤得1123()f x ≤≤，从而()5156()f x f x ≤+≤，于是陷入绝路.三、求解析式求抽象函数的解析式，常用的方法有换元法、构造法、拼凑法等，并要求在结果中要注明定义域. 例5 (08.安徽)若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，则有A ．(2)(3)(0)f f g <<B ．(0)(3)(2)g f f <<C ．(2)(0)(3)f g f <<D ．(0)(2)(3)g f f << 解:由已知条件知：()()f x f x -=-，()()g x g x -=，∵()()x f x g x e -=，…………①∴()()x f x g x e ----=，即()()x f x g x e -+=-，………② 由①、②得：()2x x e e f x --=，()02x xe e g x -+=-<. 显然，)(xf 是增函数，∴(3)(2)(0)0(0)f f fg >>=>，∴选D.四、解不等式解与抽象函数有关的不等式，一般要根据其特性作出简图，以帮助探索解题思路.例6 (08.全国Ⅰ卷)设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为 A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，， C ．(1)(1)-∞-+∞，， D.(10)(01)-，，解：由()f x 是奇函数得：()()2()0f x f x f x x x --=<；由(1)0f =得：(1)(1)0f f -=-=. ∵()f x 在(0)+∞，上为增函数，∴当0x >时，()0(1)f x f <=，∴01x <<；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又条件知()f x 在(,0)-∞上也是增函数，∴10x -<<.∴不等式的解集为(10)(01)-，，，∴选项D.说明：本题考查与抽象函数有关的不等式的解法，考查数形结合、分类讨论思想及推理和运算能力. 例7 (15.全国Ⅱ卷)设函数()f x '是奇函数()(R)f x x ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是A .(,1)(0,1)-∞-B .(1,0)(1,)-+∞C .(,1)(1,0)-∞--D .(0,1)(1,)+∞ 解：令函数()()f x F x x =，则2()()()xf x f x F x x '-'=. ∵()f x 是奇函数，(1)0f -=，∴()F x 是偶函数，(1)(1)0F F =-=.∵当0x >时，()()0xf x f x '-<，∴当0x >时，()0F x '<，∴()F x 在(0,)+∞上单调递减，在(,0)-∞上单调递增. 由数形结合易知，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，∴选A ．说明：本题考查导数的应用与抽象函数等知识，考查数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法，同时考查学生的创新意识和运算能力.五、奇偶性与周期性解答与抽象函数有关的奇偶性与周期性问题,常用的方法是赋值、迭代等.例8 (07.安徽)定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为A ．0B ．1C ．3D ．5解：∵)(x f 是定义在R 上的奇函数，∴0)0(=f ；∵)(x f 是周期为T 的周期函数，∴()()(0)0f T f T f -===；而()()()222T T T f f f -=-=，∴()02T f =.综上所述，0)(=x f 在闭区间][T T ,-上有5个根，∴选D.例9（2009年Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则A. ()f x 是偶函数 B.()f x 是奇函数 C.()(2)f x f x =+ D. (3)f x +是奇函数解：∵(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，∴(1)(1)f x f x -+=-+，………………①，(1)(1)f x f x --=--.………………②∴在①中，以1x -代换x ，得(2)()f x f x -+=-，………………③在②中，以1x +代换x ，得(2)()f x f x --=-.………………④由③④，得(2)(2)f x f x -+=--.………………⑤在⑤中，以x 代换2x --，得(4)()f x f x +=，∴()f x 是以4为周期的周期函数.∴(3)(34)(1)(1)(14)(3)f x f x f x f x f x f x +=+-=-=---=---+=--+，∴(3)f x +是奇函数，∴选D.六、奇偶性与单调性例10 (08.辽宁)设)(x f 是连续的偶函数，且当0>x 时)(x f 是单调函数，则满足()34x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有x 之和为A . 3-B .3 C.8- D.8 解：由条件知：34x x x +=+或34x x x +=-+.由34x x x +=+得：123x x +=-；由34x x x +=-+得：345x x +=-， ∴满足()34x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有x 之和为8-，∴选C. 说明：本题主要考查抽象函数的奇偶性、单调性、方程等知识，考查转化化归思想和运算能力.七、对称性例11 (05.天津)设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x =对称，则()()()()()12345f f f f f ++++=___________.解:∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴0)0(=f ，且()()f x f x -=-.∵()y f x =的图象关于直线12x =对称，∴(1)()()f x f x f x +=-=-，∴(1)0f =. ∴(2)(1)()f x f x f x +=-+=，周期2T =.∴(5)(3)(1)0f f f ===，(4)(2)(0)0f f f ===， ∴()()()()()123450f f f f f ++++=，∴填0.评注：本题主要考查抽象函数、函数图象、函数奇偶性、周期性、对称性等知识，考查运算和推理能力.八、图象例12 (08.福建)已知函数)(),(x g y x f y ==的导函数的图象如图，那么)(),(x g y x f y ==的图象可能是解:由导函数图象知,当0x x <时, ()()f x g x ''>；当0x x =时，()()f x g x ''=；当0x x >时，()()f x g x ''<. 对于选项A ，C ，当0x x <时, ()()f x g x ''<，这与当0x x <时()()f x g x ''>不符，所以排除A ，C ；对于选项B ，当0x x =时, ()()f x g x ''≠，这与当0x x =时()()f x g x ''=不符，所以排除B ；综上所述，选D.说明：本题主要考查抽象函数及导函数图象间的相互关系，考查学生读图、识图、析图能力及分析判断能力，本题是近年高考中的一种常见考题.。

抽象函数-题型大全(例题-含答案)

下考抽象函数本领归纳之阳早格格创做由于函数观念比较抽象，教死对付解有闭函数暗号()f x 的问题感触艰易，教佳那部分知识，能加深教死对付函数观念的明白，更佳天掌握函数的本量，培植机动性；普及解题本领，劣化教死数教思维素量.现将罕睹解法及意义归纳如下：一、供表白式：1.换元法：即用中间变量表示本自变量x 的代数式，从而供出()f x ，那也是证某些公式大概等式时常使用的要领，此法解培植教死的机动性及变形本领.例1：已知 ()211x f x x =++,供()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u uf u u u -=+=--∴2()1x f x x-=- 2.拼集法：正在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可供()f x .此解法简净，还能进一步复习代换法.例2：已知3311()f x x x x +=+，供()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x xx x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先决定函数典型，设定函数闭系式，再由已知条件，定出闭系式中的已知系数.例3．已知()f x 二次真函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,供()f x . 解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数本量法:主要利用函数的奇奇性,供分段函数的剖析式.y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,供()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域闭于本面对付称，故先供x <0时的表白式.∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩例5．一已知()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-，供()f x ,()g x . 解：∵()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,无妨用-x 代换()f x +()g x =11x -………①中的x , ∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……② 隐睹①+②即可消去()g x ,供出函数21()1f x x =-再代进①供出2()1xg x x =- 5.赋值法：给自变量与特殊值，从而创造顺序，供出()f x 的表白式例6：设()f x 的定义域为自然数集，且谦脚条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,供()f x解：∵()f x 的定义域为N ，与y =1,则有(1)()1f x f x x +=++∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N =+∈ 二、利用函数本量，解()f x 的有闭问题1.推断函数的奇奇性：例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对付一确真数x 、y 皆创造，且(0)0f ≠,供证()f x 为奇函数.道明：令x =0, 则已知等式形成()()2(0)()f y f y f f y +-=……①正在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵(0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为奇函数.例8：奇函数()f x 正在定义域（-1，1）内递减，供谦脚2(1)(1)0f m f m -+-<的真数m 的与值范畴. 解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--，∵()f x 为函数，∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 正在（-1，1）内递减，∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3.解大概式的有闭题目例9：如果()f x =2ax bx c ++对付任性的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小解：对付任性t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为扔物线y =2ax bx c ++的对付称轴又∵其启心进与∴f (2)最小，f (1)=f (3)∵正在［2，＋∞)上，()f x 为删函数∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4)五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数.例1、已知函数f（x）对付任性真数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，供f（x）正在区间[－2，1]上的值域.领会：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，果此供函数f（x）的值域，闭键正在于钻研它的单调性.解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f（x）为删函数.正在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，∴f（x）的值域为［－4，2］.例2、已知函数f（x）对付任性，谦脚条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，供不等式的解.领会：由题设条件可预测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调删函数，如果那一预测精确，也便不妨脱去不等式中的函数标记，从而可供得不等式的解. 解：设，∵当，∴，则，即，∴f（x）为单调删函数.∵，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3.∴，∴，即，解得不等式的解为－1 < a < 3.2、指数函数型抽象函数例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），谦脚条件：存留，使得，对付所有x战y，创造.供：（1）f（0）；（2）对付任性值x，推断f（x）值的正背.领会：由题设可预测f（x）是指数函数的抽象函数，从而预测f （0）＝1且f（x）＞0.解：（1）令y＝0代进，则，∴.若f（x）＝0，则对付任性，有，那与题设冲突，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1.（2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对付任性x，f（x）＞0恒创造.例4、是可存留函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②；③f（2）＝4.共时创造？若存留，供出f （x）的剖析式，如不存留，道明缘由.领会：由题设可预测存留，又由f（2）＝4可得a＝2．故预测存留函数，用数教归纳法道明如下：（1）x＝1时，∵，又∵x∈N时，f（x）＞0，∴，论断精确.（2）假设时有，则x＝k＋1时，，∴x＝k＋1时，论断精确.综上所述，x为十足自然数时.3、对付数函数型抽象函数对付数函数型抽象函数，即由对付数函数抽象而得到的函数.例5、设f（x）是定义正在（0，＋∞）上的单调删函数，谦脚，供：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，供x的与值范畴.领会：由题设可预测f（x）是对付数函数的抽象函数，f（1）＝0，f（9）＝2.解：（1）∵，∴f（1）＝0.（2），从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），即，∵f（x）是（0，＋∞）上的删函数，故，解之得：8＜x≤9.例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是可精确，试道明缘由.领会: 由题设条件可预测y＝f（x）是对付数函数的抽象函数，又∵y ＝f（x）的反函数是y＝g（x），∴y＝g（x）必为指数函数的抽象函数，于是预测g（a＋b）＝g（a）·g（b）精确.解：设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g （m）＝a，g（n）＝b，从而，∴g （m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式中的m、n即得g （a＋b）＝g（a）·g（b）.4、三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数.例7、己知函数f（x）的定义域闭于本面对付称，且谦脚以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0.试问：（1）f（x）的奇奇性怎么样？道明缘由.（2）正在（0，4a）上,f（x）的单调性怎么样？道明缘由.领会: 由题设知f（x）是的抽象函数，从而由及题设条件预测：f（x）是奇函数且正在（0，4a）上是删函数（那里把a瞅成举止预测）.解：（1）∵f（x）的定义域闭于本面对付称，且是定义域中的数时有，∴正在定义域中.∵，∴f（x）是奇函数.（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵正在（0，2a）上f（x）＜0，∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于整，从而知中的，于是f（x1）＜f（x2），∴正在（0，2a）上f（x）是删函数.又，∵f（a）＝－1，∴，∴f （2a）＝0，设2a＜x＜4a，则0＜x－2a＜2a，，于是f（x）＞0，即正在（2a，4a）上f（x）＞0.设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2－x1＜2a，从而知f（x1），f （x2）均大于整.f（x2－x1）＜0，∵，∴，即f（x1）＜f（x2），即f（x）正在（2a，4a）上也是删函数.综上所述，f（x）正在（0，4a）上是删函数.5、幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数.例8、已知函数f（x）对付任性真数x、y皆有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，.（1）推断f（x）的奇奇性；（2）推断f（x）正在［0，＋∞）上的单调性，并给出道明；（3）若，供a的与值范畴.领会：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可预测f（x）是奇函数，且正在［0，＋∞）上是删函数.解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数.（2）设，∴，，∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）正在0，＋∞）上是删函数.（3）∵f（27）＝9，又，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又，故.抽象函数罕睹题型解法综述抽象函数是指不给出函数的简曲剖析式，只给出了一些体现函数个性的式子的一类函数.由于抽象函数表示形式的抽象性，使得那类问题成为函数真量的易面之一.本文便抽象函数罕睹题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数的定义域是［1，2］，供f(x)的定义域.解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的谦脚从而函数f(x)的定义域是［1，4］评析：普遍天，已知函数的定义域是A，供f(x)的定义域问题，相称于已知中x的与值范畴为A，据此供的值域问题.例2. 已知函数的定义域是，供函数的定义域.解：的定义域是，意义是凡是被f效率的对付象皆正在中，由此可得所以函数的定义域是评析：那类问题的普遍形式是：已知函数f(x)的定义域是A，供函数的定义域.精确明白函数标记及其定义域的含意是供解此类问题的闭键.那类问题真量上相称于已知的值域B，且，据此供x 的与值范畴.例2战例1形式上正好同.二、供值问题例3. 已知定义域为的函数f(x)，共时谦脚下列条件：①；②，供f(3)，f(9)的值.解：与，得果为，所以又与得评析：通过瞅察已知与已知的通联，巧妙天赋值，与，那样便把已知条件与欲供的f(3)相通了起去.赋值法是解此类问题的时常使用本领.三、值域问题例4. 设函数f(x)定义于真数集上，对付于任性真数x、y，总创造，且存留，使得，供函数的值域.解：令，得，即有大概.若，则，对付任性均创造，那与存留真数，使得创造冲突，故，必有.由于对付任性均创造，果此，对付任性，有底下去道明，对付任性设存留，使得，则那与上头已证的冲突，果此，对付任性所以评析：正在处理抽象函数的问题时，往往需要对付某些变量举止符合的赋值，那是普遍背特殊转移的需要脚法.四、剖析式问题例5. 设对付谦脚的所有真数x，函数谦脚，供f(x)的剖析式.解：正在中以代换其中x，得：再正在(1)中以代换x，得化简得：评析：如果把x战分别瞅做二个变量，何如真止由二个变量背一个变量的转移是解题闭键.常常情况下，给某些变量符合赋值，使之正在闭系中“消得”，从而死存一个变量，是真止那种转移的要害战术.五、单调性问题例6. 设f(x)定义于真数集上，当时，，且对付于任性真数x、y，有，供证：正在R上为删函数.道明：正在中与，得若，令，则，与冲突所以，即有当时，；当时，而所以又当时，所以对付任性，恒有设，则所以所以正在R上为删函数.评析：普遍天，抽象函数所谦脚的闭系式，应瞅做给定的运算规则，则变量的赋值大概变量及数值的领会与拉拢皆应尽管与已知式大概所给闭系式及所供的截止相闭联.六、奇奇性问题例7. 已知函数对付任性不等于整的真数皆有，试推断函数f(x)的奇奇性.解：博得：，所以又博得：，所以再与则，即果为为非整函数，所以为奇函数.七、对付称性问题例8. 已知函数谦脚，供的值.解：已知式即正在对付称闭系式中与，所以函数的图象闭于面（0，2002）对付称.根据本函数与其反函数的闭系，知函数的图象闭于面（2002，0）对付称.所以将上式中的x用代换，得评析：那是共一个函数图象闭于面成核心对付称问题，正在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数对付一确真数x皆谦脚，则函数的图象闭于面（a，b）成核心对付称图形.八、搜集概括问题例9. 定义正在R上的函数f(x)谦脚：对付任性真数m，n，总有，且当x>0时，0<f(x)<1.（1）推断f(x)的单调性；（2）设，，若，试决定a的与值范畴.解：（1）正在中，令，得，果为，所以.正在中，令果为当时，所以当时而所以又当x=0时，，所以，综上可知，对付于任性，均有.设，则所以所以正在R上为减函数.（2）由于函数y=f(x)正在R上为减函数，所以即有又，根据函数的单调性，有由，所以曲线与圆里无大众面.果此有，解得.评析：（1）要计划函数的单调性必定波及到二个问题：一是f(0)的与值问题，二是f(x)>0的论断.那是解题的闭键性步调，完毕那些要正在抽象函数式中举止.由特殊到普遍的解题思维，奇像类比思维皆有帮于问题的思索妥协决.定义正在R 上的函数f x ()谦脚：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，供f ()2000的值.解：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代进，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44故f x ()是周期为8的周期函数，例2 已知函数f x ()对付任性真数x y ，皆有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，f x f ()()>-=-012，，供f x ()正在[]-21，上的值域.解：设x x 12< 且x x R 12，∈，则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0 又f x f x x x ()[()]2211=-+∴f x ()为删函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-又令x y ==0得f ()00=∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二. 供参数范畴那类参数隐含正在抽象函数给出的运算式中，闭键是利用函数的奇奇性战它正在定义域内的删减性，去掉“f ”标记，转移为代数不等式组供解，但是要特天注意函数定义域的效率.例3 已知f x ()是定义正在（-11，）上的奇函数，且正在（0，1）上为删函数，谦脚f a f a ()()---<2402，试决定a 的与值范畴. 解： f x ()是奇函数，且正在（0，1）上是删函数，∴f x ()正在()-10，上是减函数，由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a . （1）当a =2时，f a f a f ()()()-=-=2402，不等式不可坐.（2）当32<<a 时，（3）当25<<a 时，综上所述，所供a 的与值范畴是()()3225，， . 例 4 已知f x ()是定义正在(]-∞，1上的减函数，若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对付x R ∈恒创造，供真数m 的与值范畴.解： m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪sin cos sin cos对付x R ∈恒创造⇔-≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪m x m x m x22231sin sin cos 对付x R ∈恒创造⇔ 对付x R ∈恒创造，三. 解不等式那类不等式普遍需要将常数表示为函数正在某面处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数标记“f ”，转移为代数不等式供解.例5 已知函数f x ()对付任性x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，供不等式f a a ()2223--<的解集. 解：设x x R 12、∈且x x 12< 则x x 210-> ∴->f x x ()212，即f x x ()2120-->，故f x ()为删函数，又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=果此不等式f a a ()2223--<的解集为{}a a |-<<13. 四. 道明某些问题例6 设f x ()定义正在R 上且对付任性的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，供证：f x ()是周期函数，并找出它的一个周期.领会：那共样是不给出函数表白式的抽象函数，其普遍解法是根据所给闭系式举止递推，若能得出f x T f x ()()+=（T 为非整常数）则f x ()为周期函数，且周期为T. 道明： f x f x f x ()()()()=+-+121()()12+得f x f x ()()()=-+33由（3）得f x f x ()()()+=-+364 由（3）战（4）得f x f x ()()=+6.上式对付任性x R ∈皆创造，果此f x ()是周期函数，且周期为6. 例7 已知f x ()对付十足x y ，，谦脚f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，供证：（1）x >0时，01<<f x ()；（2）f x ()正在R 上为减函数.道明：对付十足x y R ，∈有f x y f x f y ()()()+=⋅.且f ()00≠，令x y ==0，得f ()01=，现设x >0，则-<x 0，f x ()->1，而f f x f x ()()()01=⋅-=∴<<01f x ()，设x x R 12，∈且x x 12<，则0121<-<f x x ()，∴>f x f x ()()12，即f x ()为减函数. 五. 概括问题供解抽象函数的概括问题普遍易度较大，常波及到多个知识面，抽象思维程度央供较下，解题时需掌控佳如下三面：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇奇性去掉函数标记“f ”前的“背号”，三是利用函数单调性去掉函数标记“f ”.例8 设函数y f x =()定义正在R 上，当x >0时，f x ()>1，且对付任性m n ，，有f m n f m f n ()()()+=⋅，当m n ≠时f m f n ()()≠.（1）道明f ()01=；（2）道明：f x ()正在R 上是删函数；（3）设{}A x y f x f y f =⋅<()|()()()，221，B x y f ax by c a b c R a =++=∈≠{()|()}，，，，，10，若A B =∅，供a b c ，，谦脚的条件.解：（1）令m n ==0得f f f ()()()000=⋅， ∴=f ()00大概f ()01=.若f ()00=，当m ≠0时，有fm fm f ()()()+=⋅00，那与当m n ≠时，f m f n ()()≠冲突， ∴=f ()01. （2）设x x 12<，则x x 210->，由已知得f x x ()211->，果为x 10≥，f x ()11>，若x 10<时，->->x f x 1101，()，由f fx f x ()()()011=⋅- （3）由f x f y f ()()()221⋅<得x y 2211+<()由f a x b y c ()++=1得a x b y c ++=0（2）从（1）、（2）中消去y 得()a b x a c x c b 2222220+++-<，果为AB =∅ ∴=-+-<∆()()()24022222a c ab cb ，即a bc 222+<例9 定义正在（-11，）上的函数f x ()谦脚（1），对付任性x y ，，∈-()11皆有f x f y f x yx y()()()+=++1，（2）当x ∈-()10，时，有f x ()>0，（1）试推断f x ()的奇奇性；（2）推断f x ()的单调性；（3）供证f f f n nf ()()()()15111131122+++++>…. 领会：那是一讲以抽象函数为载体，钻研函数的单调性与奇奇性，再以那些本量为前提去钻研数列供战的概括题.解：（1）对付条件中的x y ，，令x y ==0，再令y x =-可得f f f f x f x f f x f x ()()()()()()()()000000+=+-=⎧⎨⎩⇒=-=-⎧⎨⎩，所以f x ()是奇函数. （2）设-<<<1012x x ，则fx fx fx f x f x x x x ()()()()()121212121-=+-=-- x x x x 1212001-<<<，， ∴--<x x x x 121210，由条件（2）知f x xx x ()121210-->，从而有f x f x ()()120->，即f x f x ()()12>，故f x ()()在，-10上单调递减，由奇函数本量可知，f x ()正在（0，1）上仍是单调减函数. （3） f n n ()1312++ 抽象函数问题分类剖析咱们将不精确给出剖析式的函数称为抽象函数.连年去抽象函数问题频频出现于百般考查题中，由于那类问题抽象性强，机动性大，普遍共教感触狐疑，供解无从下脚.本文试图通过真例做分类剖析，供教习参照. 1. 供定义域那类问题只消紧紧抓住：将函数f g x [()]中的g x ()瞅做一个完全，相称于f x ()中的x 那一个性，问题便会迎刃而解.例1. 函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[l o g ()]222的定义域是___.领会：果为l o g()22x 2-相称于f x ()中的x ，所以l o g()2221x -≤，解得 22<≤x 大概-≤<-22x . 例2. 已知f x ()的定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12的定义域是______.领会：果为x a +及x a -均相称于f x ()中的x ，所以 (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1 (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，12. 推断奇奇性根据已知条件，通过妥当的赋值代换，觅供f x ()与f x ()-的闭系. 例 3. 已知f x ()的定义域为R ，且对付任性真数x ，y 谦脚fx y fx f y()()()=+，供证：f x ()是奇函数. 领会：正在fx y fx f y ()()()=+中，令x y ==1，得f f f f ()()()()11110=+⇒= 令x y ==-1，得f f f f ()()()()11110=-+-⇒-= 于是fx f x f f x f x ()()()()()-=-⋅=-+=11 故f x ()是奇函数.例4. 若函数y f xf x =≠()(())0与y f x =-()的图象闭于本面对付称，供证：函数y f x =()是奇函数.道明：设y f x =()图象上任性一面为P （x y 00，）y f x =()与y f x=-()的图象闭于本面对付称， ∴P x y ()00，闭于本面的对付称面()--x y 00，正在y f x =-()的图象上，又y f x 00=() 即对付于函数定义域上的任性x 皆有f x f x ()()-=，所以y f x =()是奇函数.3. 推断单调性根据函数的奇奇性、单调性等有闭本量，绘出函数的示企图，以形帮数，问题赶快获解.例5. 如果奇函数f x ()正在区间[]37，上是删函数且有最小值为5，那么f x ()正在区间[]--73，上是A. 删函数且最小值为-5B. 删函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5 领会：绘出谦脚题意的示企图1，易知选B.图1例6. 已知奇函数f x ()正在(0)，+∞上是减函数，问f x ()正在()-∞，0上是删函数仍旧减函数，并道明您的论断.领会：如图2所示，易知f x ()正在()-∞，0上是删函数，道明如下：任与xx x x 121200<<⇒->-> 果为f x ()正在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12. 又f x ()是奇函数，所以f x f xf x f x ()()()()-=-=1122，，从而f x f x ()()12<，故f x ()正在()-∞，0上是删函数. 图24. 探供周期性那类问题较抽象，普遍解法是小心领会题设条件，通过类似，奇像出函数本型，通过对付函数本型的领会大概赋值迭代，赢得问题的解.例7. 设函数f x()的定义域为R，且对付任性的x，y有f x y f x y f x f y()()()()++-=⋅2，并存留正真数c，使f c()2=.试问f x()是可为周期函数？假如，供出它的一个周期；若不是，请道明缘由.领会：小心瞅察领会条件，奇像三角公式，便会创造：y x=c o s谦脚题设条件，且cosπ2=，预测f x()是以2c为周期的周期函数.故f x()是周期函数，2c是它的一个周期.5. 供函数值紧扣已知条件举止迭代变更，经有限次迭代可曲交供出截止，大概者正在迭代历程中创造函数具备周期性，利用周期性使问题巧妙获解.例8. 已知f x()的定义域为R+，且fxy fx fy()()()+=+对付十足正真数x，y皆创造，若f()84=，则f(2)=_______.领会：正在条件fxy fx fy()()()+=+中，令x y==4，得f f f f()()()()844244=+==，又令x y==2，得f f f(4)(2)(2)=+=2，例9. 已知f x()是定义正在R上的函数，且谦脚：f x f x f x()[()]()+-=+211，f()11997=，供f(2001)的值.领会：紧扣已知条件，并多次使用，创造f x()是周期函数，隐然f x()≠1，于是f x f x f x()() ()+=+ -211，所以f x f x f x ()()()+=-+=814 故f x ()是以8为周期的周期函数，从而 6. 比较函数值大小利用函数的奇奇性、对付称性等本量将自变量转移到函数的单调区间内，而后利用其单调性使问题获解.例10. 已知函数f x ()是定义域为R 的奇函数，x <0时，f x ()是删函数，若x 10<，x 20>，且||||x x 12<，则f x f x ()()--12，的大小闭系是_______. 领会： x x 1200<>，且||||x x 12<，又x <0时，f x ()是删函数，f x ()是奇函数，故f x f x ()()->-12 7. 计划圆程根的问题例11. 已知函数f x ()对付一确真数x 皆谦脚f x f x ()()11+=-，而且f x ()=0有三个真根，则那三个真根之战是_______.领会：由f x f x ()()11+=-知曲线x =1是函数f x ()图象的对付称轴. 又f x ()=0有三个真根，由对付称性知x 11=必是圆程的一个根，其余二根x x 23，闭于曲线x =1对付称，所以x x 23212+=⨯=，故x x x 1233++=. 8. 计划不等式的解供解那类问题利用函数的单调性举止转移，脱去函数标记.例12. 已知函数f x ()是定义正在(]-∞，1上的减函数，且对付一确真数x ，不等式fk x fk x(s i n )(s i n)-≥-22恒创造，供k 的值. 领会：由单调性，脱去函数暗号，得由题意知(1)(2)二式对付十足x R ∈恒创造，则有 9. 钻研函数的图象那类问题只消利用函数图象变更的有闭论断，便可获解.例13. 若函数y f x =+()2是奇函数，则y f x =()的图象闭于曲线_______对付称.领会：y f x =()的图象右移个单位左移个单位22y f x =+()2的图象，而y f x =+()2是奇函数，对付称轴是x =0，故y f x =()的对付称轴是x =2.例14. 若函数f x ()的图象过面（0，1），则f x ()+4的反函数的图象必过定面______.领会：f x ()的图象过面（0，1），从而f x ()+4的图象过面()-41，，由本函数与其反函数图象间的闭系易知，f x ()+4的反函数的图象必过定面()14，-. 10. 供剖析式例15. 设函数f x ()存留反函数，g x f x h x ()()()=-1，与g x ()的图象闭于曲线x y +=0对付称，则函数h x ()=A. -f x ()B. --f x ()C. --f x 1()D. ---f x 1()领会：央供y h x =()的剖析式，真量上便是供y h x =()图象上任一面Px y ()00，的横、纵坐标之间的闭系.面Px y ()00，闭于曲线y x =-的对付称面()--y x 00，符合y f x =-1()，即-=-x g y 00(). 又gxf x ()()=-1，即h x f x ()()=--，选B.抽象函数的周期问题2001年下考数教（文科）第22题：设f x ()是定义正在R 上的奇函数，其图象闭于曲线x =1对付称.对付任性x x 12012，，∈[]皆有f xx f xf x ()()()1212+=⋅. （I ）设f ()12=，供f f ()()1214，；（II ）道明f x ()是周期函数. 剖析：（I ）解略.（II ）道明：依题设y f x =()闭于曲线x =1对付称故f x f x x R ()()=-∈2，又由f x ()是奇函数知将上式中-x 以x 代换，得那标明f x ()是R 上的周期函数，且2是它的一个周期 f x ()是奇函数的真量是f x ()的图象闭于曲线x =0对付称又f x ()的图象闭于x =1对付称，可得f x ()是周期函数且2是它的一个周期由此举止普遍化推广，咱们得到思索一：设f x ()是定义正在R 上的奇函数，其图象闭于曲线x aa =≠()0对付称，道明f x ()是周期函数，且2a 是它的一个周期. 道明： f x ()闭于曲线xa =对付称又由f x ()是奇函数知f x f x x R ()()-=∈，将上式中-x 以x 代换，得 ∴f x ()是R 上的周期函数且2a 是它的一个周期思索二：设f x ()是定义正在R 上的函数，其图象闭于曲线x a=战x ba b =≠()对付称.道明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期. 道明： f x ()闭于曲线x a x b ==和对付称将上式的-x 以x 代换得∴f x ()是R 上的周期函数且2()b a -是它的一个周期若把那讲下考题中的“奇函数”换成“奇函数”，f x ()仍旧不是周期函数？通过探索，咱们得到思索三：设f x ()是定义正在R 上的奇函数，其图象闭于曲线x =1对付称.道明f x ()是周期函数，且4是它的一个周期.，道明： f x ()闭于x =1对付称∴=-∈fx f x xR ()()2，又由f x ()是奇函数知f x f x x R f x f x x R()()()()-=-∈∴-=--∈，，2将上式的-x 以x 代换，得∴f x ()是R 上的周期函数且4是它的一个周期f x ()是奇函数的真量是f x ()的图象闭于本面（0，0）核心对付称，又f x ()的图象闭于曲线x =1对付称，可得f x ()是周期函数，且4是它的一个周期.由此举止普遍化推广，咱们得到思索四：设f x ()是定义正在R 上的函数，其图象闭于面M a ()，0核心对付称，且其图象闭于曲线x bb a =≠()对付称.道明f x ()是周期函数，且4()b a -是它的一个周期.道明： f x ()闭于面M a ()，0对付称 ∴-=-∈f a x f x x R ()()2， f x ()闭于曲线x b =对付称∴=-∈∴-=--∈f x f b x x R f b x f a x x R()()()()222，，将上式中的-x 以x 代换，得f b x f a x x R f x b a f b x b a f a x b a f b x a f a x a f x x R()()[()][()][()][()][()]()2242242242222+=-+∈∴+-=++-=-++-=-+-=+-=∈，，∴f x ()是R 上的周期函数且4()b a -是它的一个周期由上咱们创造，定义正在R 上的函数f x ()，其图象若有二条对付称轴大概一个对付称核心战一条对付称轴，则f x ()是R 上的周期函数.进一步咱们料到，定义正在R 上的函数f x ()，其图象如果有二个对付称核心，那么f x ()是可为周期函数呢？通过探索，咱们得到思索五：设f x ()是定义正在R 上的函数，其图象闭于面M a ()，0战N b a b ()()，0≠对付称.道明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期.道明： f x ()闭于Ma Nb ()()，，，00对付称 ∴-=-∈-=-∈∴-=-∈f a x f x x R f b x f x x Rf a x f b x x R()()()()()()2222，，，将上式中的-x以x 代换，得 f a x f b x x Rf x b a f b x a f a x a f x x R()()[()][()][()]()2222222+=+∈∴+-=+-=+-=∈，，∴f x ()是周期函数且2()b a -是它的一个周期抽象函数解规则道抽象函数是指不给出简曲的函数剖析式大概图像,只给出一些函数标记及其谦脚的条件的函数,如函数的定义域,剖析递推式,特定面的函数值,特定的运算本量等,它是下中函数部分的易面,也是大教下等数教函数部分的一个贯串面,由于抽象函数不简曲的剖析表白式动做载体,果此明白钻研起去比较艰易.但是由于此类试题即能考查函数的观念战本量,又能考查教死的思维本领,所以备受命题者的青睐,那么,何如供解抽象函数问题呢,咱们不妨利用特殊模型法,函数本量法,特殊化要领,奇像类比转移法,等多种要领从多角度,多层里去领会钻研抽象函数问题, 一:函数本量法函数的个性是通过其本量(如奇奇性,单调性周期性,特殊面等)反应出去的,抽象函数也是如许,惟有充分掘掘战利用题设条件战隐含的本量,机动举止等价转移,抽象函数问题才搞转移,化易为易,时常使用的解题要领有:1,利用奇奇性完全思索;2,利用单调性等价转移;3,利用周期性返回已知4;利用对付称性数形分离;5,借帮特殊面,布列圆程等. 二:特殊化要领1正在供解函数剖析式大概钻研函数本量时,普遍用代换的要领,将x 换成-x 大概将x 换成等 2正在供函数值时,可用特殊值代进3钻研抽象函数的简曲模型,用简曲模型解采用题,挖空题,大概由简曲模型函数对付概括题,的解问提供思路战要领.总之,抽象函数问题供解,用惯例要领普遍很易凑效,但是咱们如果能通过对付题脚法疑息领会与钻研,采与特殊的要领战脚法供解,往往会支到事半功倍之成果,真有些山贫火复疑无路,柳暗花明又一村的快感. 1．已知函数f(x)对付任性x 、y ∈R 皆有f(x+y)＝f(x)+ f(y)+3xy(x+y+2)+3,且f(1)=1 ①若t 为自然数,(t>0)试供f(t)的表白式②谦脚f(t)=t 的所有整数t 是可形成等好数列?若能供出此数列,若不克不迭道明缘由 ③若t 为自然数且t≥4时, f(t) ≥mt2+(4m+1)t+3m,恒创造,供m 的最大值. 2．已知函数f(x)=1)(1)(+-x g x g ,且f(x),g(x)定义域皆是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是删函数. g(m) · g(n)=g(m+n)(m 、n ∈R) 供证：①f(x)是R 上的删函数②当n ∈N,n≥3时,f(n)>1+n n 解: ①设x1>x2g(x)是R 上的删函数, 且g(x)>0 ∴ g(x1) > g(x2) >0 ∴g(x1)+1 > g(x2)+1 >0∴1)(22+x g >1)(21+x g >0∴1)(22+x g -1)(21+x g >0∴f(x1)- f(x2)=1)(1)(11+-x g x g - 1)(1)(22+-x g x g =1-1)(21+x g -(1-1)(22+x g )=1)(22+x g -1)(21+x g >0∴ f(x1) >f(x2)∴ f(x)是R 上的删函数②g(x) 谦脚g(m) · g(n)= g(m+n)(m 、n ∈R) 且g(x)>0 ∴ g(n)=[ g(1)]n=2n 当n ∈N,n≥3时, 2n>n ∴f(n)=1212+-n n＝1-122+n ，1+n n ＝1-11+n2n ＝（1+1）n ＝1+n+…+i nC +…+n+1>2n+1∴ 2n+1>2n+2∴122+n<11+n ,即1-122+n>1-11+n∴当n ∈N,n≥3时,f(n)>1+n n3．设f1(x) f2(x)是(0,+∞)上的函数,且f1(x)单删,设f(x)= f1(x) +f2(x) ,且对付于(0,+∞)上的任性二相同真数x1, x2 恒有| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)|①供证：f (x)正在(0,+∞)上单删. ②设F(x)=x f (x), a>0、b>0. 供证：F(a+b)> F(a)+F(b) . ①道明:设 x1>x2>0f1(x) 正在(0,+∞)上单删f1(x1)－ f1(x2)>0∴| f1(x1)－ f1(x2)|= f1(x1)－ f1(x2)>0| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)|∴f1(x2)- f1(x1)<f2(x1)－ f2(x2)< f1(x1)－ f1(x2) ∴f1(x1)+f2(x1)> f1(x2)+ f2(x2) ∴f(x1)> f(x2)f (x)正在(0,+∞)上单删 ②F(x)=x f (x), a>0、b>0a+b>a>0,a+b>b>0F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)f (x)正在(0,+∞)上单删∴F(a+b)>af(a)+bf(b)= F(a)+F(b)4．函数y ＝f(x)谦脚 ①f(a+b)＝f (a)·f (b)，②f(4)＝16, m 、n 为互量整数，n≠0 供f(nm)的值 f(0) =f(0+0)=f(0) ·f(0)=f2(0)∴f(0) =0大概1.若f(0)=0则f(4)=16=f(0+4)=f(0) ·f(4)=0.(冲突)∴f(1)=1f(4)=f(2) ·f(2)=f(1) ·f(1) ·f(1) ·f(1)=16f(1)=f2(21)≥0 ∴f(1)=2.仿此可证得f(a)≥0.即y=f(x)利害背函数.f(0)=f(a+(-a))=f(a) ·f(-a)∴f(-a)=)(1a f n ∈N*时f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-nf(1)=f(n 1+n 1+…+n 1)=fn(n1)=2 ∴f(n 1)= n12∴f(nm )=[f(n1)]m= nm 25．定义正在（-1，1）上的函数f (x)谦脚 ① 任性x 、y ∈（-1，1）皆有f(x)+ f(y)＝f (xyyx ++1)，②x ∈（-1，0）时，有f(x) >01) 判决f(x)正在（-1，1）上的奇奇性，并道明缘由 2) 判决f(x)正在（-1，0）上的单调性，并给出道明3) 供证：f (1312++n n )＝f (11+n )－f (21+n ) 大概f (51)+f (111)+…+f (1312++n n )> f (21) (n ∈N*)解:1)定义正在（-1，1）上的函数f (x)谦脚任性x 、y ∈（-1，1）皆有f(x)+ f(y)＝f (xyyx ++1),则当y=0时, f(x)+ f(0)＝f(x) ∴f(0)=0当-x=y 时, f(x)+ f(-x)＝f(0)∴f(x)是（-1，1）上的奇函数2) 设0>x1>x2>-1f(x1)-f(x2)= f(x1)+ f(-x2)=)1(2121x x xx f --0>x1>x2>-1 ,x ∈（-1，0）时，有f(x) >0,1-x1 x2>0, x1-x2>0∴)1(2121x x xx f -->0即f(x)正在（-1，0）上单调递加.3)f (1312++n n )=f(12312-++n n ) =f()2)(1(11)2)(1(1++-++n n n n )=f(211112111+•+-+-+n n n n )=f(11+n )-f(21+n ) ∴f (51)+f (111)+…+f (1312++n n ) =f(21)-f(31)+f(31)-f(41)+f(41)+…+f(11+n )-f(21+n )= f(21) -f(21+n )=f(21)+f(-21+n )x ∈（-1，0）时，有f(x) >0∴f(-21+n )>0, f(21)+f(-21+n )>f(21)即f (51)+f (111)+…+f (1312++n n )> f (21)6．设 f (x)是定义正在R 上的奇函数,其图像闭于曲线x=1对付称, 对付任性x1、x2∈[0,12]皆有f (x1+ x2)＝f(x1) ·f(x2), 且f(1)=a>0. ①供f (12)及 f (14);②道明f(x)是周期函数③记an=f(2n+12n ), 供lim ∞→n (lnan)解: ①由f (x)= f (x 2 + x2)=[f(x)]2≥0,f(x)a= f(1)=f(2n·12n )=f(12n +12n +…+12n )＝[f (12n )]2解得f (12n)=n a 21∴ f (12)=21a,f (14)=41a . ②f(x)是奇函数,其图像闭于曲线x=1对付称, ∴f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x).∴f(x+2)=f[1+(1+x)]= f[1-(1+x)]= f(x)=f(-x).∴f(x)是以2为周期的周期函数.③ an=f(2n+12n )= f (12n )=na 21 ∴lim ∞→n (lnan)= lim ∞→n aa 2ln =0 7．设)(x f y =是定义正在R 上的恒不为整的函数，且对付任性x 、y ∈R 皆有 f(x+y)＝f(x)f(y)①供f(0)，②设当x<0时，皆有f(x)>f(0)道明当x>0时0<f(x)<1,③设a1=21,an=f(n)（n ∈N* ），sn 为数列｛an ｝前n 项战，供lim ∞→n sn.解：①②仿前几例，略.③ an ＝f(n)， ∴ a1＝f(1)＝21an+1＝f(n+1)=f(n)f(1)＝21an ∴数列｛an ｝是尾项为21公比为21的等比数列 ∴sn ＝1-n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ∴lim ∞→n sn ＝18．设)(x f y =是定义正在区间]1,1[-上的函数，且谦脚条件：（i ）;0)1()1(==-f f（ii ）对付任性的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有（Ⅰ）道明：对付任性的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有（Ⅱ）道明：对付任性的;1|)()(|],1,1[,≤--∈v f u f v u 都有（Ⅲ）正在区间[－1，1]上是可存留谦脚题设条件的奇函数)(x f y =，且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|v u v u v f u f v u v u v f u f 当当。

归类题库——高一函数——抽象函数单调性奇偶性及解不等式题型解答题

抽象函数单调性奇偶性解不等式题型例1．函数y=f （x ）的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f （a +b ）=f （a ）+f （b ），且x ＞0时，f （x ）＜0恒成立．（1）证明函数y=f （x ）是R 上的单调性；（2）讨论函数y=f （x ）的奇偶性；（3）若f （x 2﹣2）+f （x ）＜0，求x 的取值范围．解析：（1）证明：设x 1＞x 2，则x 1﹣x 2＞0，而f （a +b ）=f （a ）+f （b ）∴f （x 1）﹣f （x 2）=f （（x 1﹣x 2）+x 2）﹣f （x 2）=f （x 1﹣x 2）+f （x 2）﹣f （x 2）=f （x 1﹣x 2），又当x ＞0时，f （x ）＜0恒成立，∴f （x 1）＜f （x 2），∴函数y=f （x ）是R 上的减函数；（2）由f （a +b ）=f （a ）+f （b ），得f （x ﹣x ）=f （x ）+f （﹣x ），即f （x ）+f （﹣x ）=f （0），而f （0）=0，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），即函数y=f （x ）是奇函数．（3）（方法一）由f （x 2﹣2）+f （x ）＜0，得f （x 2﹣2）＜﹣f （x ），又y=f （x ）是奇函数，即f （x 2﹣2）＜f （﹣x ），又y=f （x ）在R 上是减函数，∴x 2﹣2＞﹣x 解得x ＞1或x ＜﹣2．（方法二））由f （x 2﹣2）+f （x ）＜0且f （0）=0，得f （x 2﹣2+x ）＜f （0），又y=f （x ）在R 上是减函数，∴x 2﹣2+x ＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2．变式：1．已知函数y=f （x ）满足f （x +y ）=f （x ）+f （y ）对任何实数x ，y 都成立．（1）求证：f （2x ）=2f （x ）；（2）求f （0）的值；（3）求证f （x ）为奇函数．证明：（1）∵（x +y ）=f （x ）+f （y ），令y=x ，得f （x +x ）=f （x ）+f （x ），即f （2x ）=2f （x ）；（2）令y=x=0，∵f （x +y ）=f （x ）+f （y ），∴f （0+0）=f （0）+f （0），即f （0）=2f （0），∴f （0）=0．（3）证明：由已知得定义域为R ．满足若x ∈R ，则﹣x ∈R ．令y=﹣x ，∵f （x +y ）=f （x ）+f （y ），∴f （0）=f （x ）+f （﹣x ）．∵f （0）=0，∴f （x ）+f （﹣x ）=0，即f （﹣x ）=﹣f （x ）．∴f （x ）为奇函数．2．设函数()y f x =的定义域为R ，并且满足()()()f x y f x f y -=-，且(2)1f =，当0x >时，()0f x >（1）．求(0)f 的值；（2）．判断函数()f x 的奇偶性；（3）．如果()(2)2f x f x ++<，求x 的取值范围．【解析】（1）令0x y ==，则(00)(0)(0)f f f -=-,(0)0f ∴=;(2)()()()f x y f x f y -=- (0)(0)()f x f f x ∴-=-，由（1）值(0)0f =，()()f x f x ∴=-- (0)0f =，∴函数()f x 是奇函数（3）设12,x x R ∀∈，且12x x >，则120x x ->，1212()()()f x x f x f x -=-当0x >时，()0f x >，12()0f x x ∴->，即12()()0f x f x ->，12()()f x f x ∴>∴函数()f x 是定义在R 上的增函数()()()f x y f x f y -=- ，()()()f x f y f x y ∴=+-211(2)(2)(2)(42)(4)f f f f f ∴=+=+=--= ()(2)2f x f x ++< ，()(2)(4)f x f x f ∴++<，(2)(4)()(4)f x f f x f x ∴+<-=-函数()f x 是定义在R 上的增函数，24x x ∴+<-，1x ∴<,∴不等式()(2)2f x f x ++< 的解集为{|1}x x <3．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；（3）解关于x的不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常数a∈R．解：（1）∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．（2）∵f（x）对一切x，y∈RR都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0．令x1＞x2，则x2﹣x1＜0，且f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）＞0，由（1）知，f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）．∴f（x）在R上是减函数．（3）f（2x）=f（x）+f（x）=2f（x），f（3x）=f（2x+x）=f（2x）+f（x）=3f（x），则不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），等价为f（x2）+f（3a）＞f（3x）+f（ax），即f（x2+3a）＞f（3x+ax），∵f（x）在R上是减函数，∴不等式等价为x2+3a＜3x+ax，即（x﹣3）（x﹣a）＜0，当a=3时，不等式的解集为∅，当a＞3时，不等式的解集为（3，a），当a＜3时，不等式的解集为（a，3）．单调+奇偶性+带常数的不等式例2．已知f（x）的定义域为R，且满足对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，且f（1）=﹣3；（1）求f（0）与f（3）；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）的单调性；（4）解不等式f（x2+1）+f（x）≤﹣9．【解答】解：（1）令y=0，则由条件得f（x+0）=f（x）+f（0），即f（0）=0，当x=y=1时，f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=2×（﹣3）=﹣6，f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=﹣3﹣6=﹣9；（2）∵f（0）=0，∴令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）是奇函数；（3）设x1＜x2，则设x2﹣x1＞0，此时f（x2﹣x1）＜0，即f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）＜0，即f（x2）﹣f（x1）＜0，则f（x2）＜f（x1），即f（x）的单调递减；（4）不等式f（x2+1）+f（x）≤﹣9等价为f（x2+1）+f（x）≤f（3），即f（x2+1+x）≤f（3），∵f（x）的单调递减，∴x2+1+x≥3，即x2+x﹣2≥0，解得x≥1或x≤﹣2，即不等式的解集为{x|x≥1或x≤﹣2}．变式：1．已知函数f（x）的定义域为R，对于任意实数a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0，f （1）=﹣2，试判断f（x）在[﹣3，3）上是否有最大值和最小值？如果有，求出最大值和最小值，若没有，说明理由．解：令a=b=0知f（0）=0，令a=x，b=﹣x，则f（x）+f（﹣x）=0，∴f（x）为奇函数．任取两个自变量x1，x2且﹣∞＜x1＜x2＜+∞，则f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），∵x2＞x1，∴x2﹣x1＞0知f（x2﹣x1）＜0，即f（x2）﹣f（x1）＜0，故f（x2）＜f（x1），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．因此f（x）在[﹣3，3）上有最大值f（﹣3），由于x≠3，则f（3）取不到，无最小值．由于f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=﹣6，故最大值为f（﹣3）=﹣f（3）=6．2．设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），又当x＞0时，f（x）＜0且f（2）=﹣1．试问函数f（x）在区间[﹣6，6]上是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值、最小值；如果没有，请说明理由．解：令x=y=0知f（0）=0，令x+y=0知f（x）+f（﹣x）=0，∴f（x）为奇函数．任取两个自变量x1，x2且﹣∞＜x1＜x2＜+∞，则f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），∵x2＞x1，∴x2﹣x1＞0知f（x2﹣x1）＜0，即f（x2）﹣f（x1）＜0，故f（x2）＜f（x1），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．因此f（x）在[﹣6，6]上有最大值和最小值最小值为f（6）=f（4）+f（2）=f（2）+f（2）+f（2）=3f（2）=﹣3；最大值为f（﹣6）=﹣f（6）=3．3．已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（﹣1）=2．（1）求证：f（x）为奇函数；（2）求证：f（x）是R上的减函数；（3）求函数f（x）在区间[﹣2，4]上的值域．解：（1）证明：∵f （x ）的定义域为R ，令x=y=0，则f （0+0）=f （0）+f （0）=2f （0），∴f （0）=0．令y=﹣x ，则f （x ﹣x ）=f （x ）+f （﹣x ），即f （0）=f （x ）+f （﹣x ）=0．∴f （﹣x ）=﹣f （x ），故f （x ）为奇函数．（2）证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）=f （x 2﹣x 1）．又∵x 2﹣x 1＞0，∴f （x 2﹣x 1）＜0，∴f （x 2）﹣f （x 1）＜0，即f （x 1）＞f （x 2）．故f （x ）是R 上的减函数．（3）∵f （﹣1）=2，∴f （﹣2）=f （﹣1）+f （﹣1）=4．又f （x ）为奇函数，∴f （2）=﹣f （﹣2）=﹣4，∴f （4）=f （2）+f （2）=﹣8．由（2）知f （x ）是R 上的减函数，所以当x=﹣2时，f （x ）取得最大值，最大值为f （﹣2）=4；当x=4时，f （x ）取得最小值，最小值为f （4）=﹣8．所以函数f （x ）在区间[﹣2，4]上的值域为[﹣8，4]．4．设函数f （x ）的定义域为R ，对任意实数x 、y 都有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），当x ＞0时f （x ）＜0且f （3）=﹣4．（1）证明：函数f （x ）为奇函数；（2）证明：函数f （x ）在（﹣∞，+∞）上为减函数．（3）求f （x ）在区间[﹣9，9]上的最大值与最小值．【解答】（1）证明：令x=y=0知f （0）=0，令x +y=0知f （x ）+f （﹣x ）=0，∴f （x ）为奇函数．（2）证明：任取两个自变量x 1，x 2且﹣∞＜x 1＜x 2＜+∞，则f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2﹣x 1），∵x 2＞x 1，∴x 2﹣x 1＞0知f （x 2﹣x 1）＜0，即f （x 2）﹣f （x 1）＜0，故f （x 2）＜f （x 1），∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数．（3）解：∵f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数∴f （x ）在[﹣9，9]上有最大值和最小值最小值为f （9）=f （6）+f （3）=f （3）+f （3）+f （3）=3f （3）=﹣12；最大值为f （﹣9）=﹣f （9）=12．5．已知函数f （x ）对一切实数x ，y ∈R 都有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＜0，又f （3）=﹣2．（1）试判定该函数的奇偶性；（2）试判断该函数在R 上的单调性；（3）求f （x ）在[﹣12，12]上的最大值和最小值．解（1）令x=y=0，得f （0+0）=f （0）=f （0）+f （0）=2f （0），∴f （0）=0．令y=﹣x ，得f （0）=f （x ）+f （﹣x ）=0，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），∴f （x ）为奇函数．（2）任取x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0，∴f （x 2﹣x 1）＜0，∴f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）=f （x 2﹣x 1）＜0，即f （x 2）＜f （x 1），∴f （x ）为R 上的减函数，（3）∵f （x ）在[﹣12，12]上为减函数，∴f （12）最小，f （﹣12）最大，又f （12）=f （6）+f （6）=2f （6）=2[f （3）+f （3）]=4f （3）=﹣8，∴f （﹣12）=﹣f （12）=8，∴f （x ）在[﹣12，12]上的最大值是8，最小值是﹣86．已知函数f （x ）对任意x ，y ∈R ，总有f （x ）+f （y ）=f （x +y ），且当x ＞0时，f （x ）＜0，f （1）=﹣．（1）求证：f （x ）在R 上是减函数．（2）求函数在[﹣3，3]上的最大值和最小值．解：（1）证明：令x=y=0，则f （0）=0，令y=﹣x 则f （﹣x ）=﹣f （x ），在R 上任意取x 1，x 2，且x 1＜x 2，则△x=x 2﹣x 1＞0，△y=f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）=f （x 2﹣x 1）∵x 2＞x 1，∴x 2﹣x 1＞0，又∵x ＞0时，f （x ）＜0，∴f （x 2﹣x 1）＜0，即f （x 2）﹣f （x 1）＜0，有定义可知函数f （x ）在R 上为单调递减函数．（2）∵f （x ）在R 上是减函数，∴f （x ）在[﹣3，3]上也是减函数．又f （3）=f （2）+f （1）=f （1）+f （1）+f （1）=3×（﹣）=﹣2，由f （﹣x ）=﹣f （x ）可得f （﹣3）=﹣f （3）=2，故f （x ）在[﹣3，3]上最大值为2，最小值为﹣2．7．是定义在R 上的函数，对都有，且当时，。

自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案

∵函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意 ,有 >0;②对
任意 ,有 ;③
∴
∴
∴函数是R上的单调减函数.
9、解： (1)证明:令 ,则
∵当时, ,故 ,∴ ,
∵当时,
∴当时, ,则
(2)证明: 任取 ,则
∵ ,∴0< ,故 <0,又∵
∴ ,故
∴函数是R上的单调减函数.
10、(1)证明：令，则，故
∴f（1）≥-2.
（3） f（ax2）- f（x）＞ f（a2x）- f（a）
f（ax2）- f（a2x）＞n[f（x）- f（a）]
f（ax2-a2x）＞nf（x-a）（10分）
由已知得：f[n（x-a）]=nf（x-a）
∴f（ax2-a2x）＞f[n（x-a）]
∵f（x）在（-∞，+∞）上是减函数
∴ax2-a2x＜n（x-a）.即（x-a）（ax-n）＜0，
∵a＜0，
∴（x-a）（x- ）＞0，（11分）
讨论：（1）当a＜＜0，即a＜- 时，
原不等式解集为{x | x＞或x＜a}；
（2）当a= ＜0即a=- 时，原不等式的解集为φ；
（3）当＜a＜0时，即- ＜a＜0时，
原不等式的解集为{x | x＞a或x＜
16、解:（1）由已知对于任意x∈R，y∈R，f（x+y）=f（x）+ f（y）恒成立
令x=y=0，得f（0+0）= f（0）+ f（0），∴f（0）=0
令x=-y，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0∴对于任意x，都有f(-x)= - f(x)∴f(x)是奇函数.
（2）设任意x1，x2∈R且x1＜x2，则x2-x1＞0，由已知f（x2-x1）＜0（1）

高中数学2025一轮加强专题4：抽象函数解析版

2025高三一轮加强专题4：抽象函数一、单选题1．定义在R 上的函数()f x 满足对任意实数,x y 都有()()()1f x y f x f y +=+-，若0x >时，()1f x >，则()f x （）A ．先单调通淢后单调递增B ．在R 上单调递增C ．在R 上单调通减D ．单调性不确定2．已知函数()f x 的定义域为R ，()()()f a f b f a ab b -=-，则（）A ．()00f =B ．()12f =C ．()1f x -为偶函数D ．()1f x -为奇函数3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()2f x y f x y f x f y +-=+，且()00f ≠，则下列结论中错误的是（）A ．()01f =B ．()y f x =为奇函数C ．()y f x =不存在零点D ．()()2f x f x =4．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2222f f x y x y y f f x +-⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，122f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于直线12x =对称，()11f =，()f x 在[]1,0-上单调递增，则下列说法中错误的是（）A ．()()240f f +=B ．()f x 的一条对称轴是直线32x =C ．()202342f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．()202411k f k ==∑5．已知函数()f x 的定义域为R ，函数()()()11F x f x x =+-+为偶函数，函数()()231G x f x =+-为奇函数，则下列说法错误的是（）A ．函数()f x 的一个对称中心为()2,1B ．()01f =-C ．函数()f x 为周期函数，且一个周期为4D ．()()()()12346f f f f +++=6．已知函数()f x 定义域为R ，且()()()22yf x xf y xy y x -=-，下列结论成立的是（）A ．()f x 为偶函数B ．()22f =-C ．()f x 在[]1,2上单调递减D ．()f x 有最大值二、多选题7．已知定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x 满足()()1()f x f y f xy y x xy--=++，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在(,0)-∞上单调递减C ．()f x 是偶函数D ．()f x 在(0,)+∞在上单调递增8．定义在R 上的非常数函数()f x 的导函数为()f x '，若()2f x +为偶函数且()()23f x f x ++=.则下列说法中一定正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线2x =对称B ．6是函数()f x 的一个周期C ．()312f =D ．()f x '的图象关于直线3x =对称9．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域都是R ，若函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，()f x '为偶函数，则（）A ．312f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝B ．()()12123f x f x -++=C ．()f x '的图象关于直线1x =对称D ．()f x '的最小周期是110．已知函数()f x 的定义域为R ，且()10f =，若()()()2f x y f x f y +=++，则下列说法正确的是（）A ．()14f -=-B ．()f x 有最大值C ．()20244048f =D ．函数()2f x +是奇函数11．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意实数x ，y 满足()()()()2f x y f x y g x f y +--=，()()210f f +=且()()210f f ⋅≠，则下列结论正确的是A ．()00f =B ．()112g =-C ．()f x 为奇函数D ．()202412024n f n ==∑12．已知函数()f x （()f x 不恒为零），其中()f x '为()f x 的导函数，对于任意的,x y ∈R ，满足()()()()22f x y f x y f x f y +-=-，且()()11,20f f ==，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()1f x '+关于直线1x =对称C ．()20,f n n =∈ND ．81()1k f k ==-∑13．已知函数()f x 的定义域为R ，()11f =，()()()()()f x y f x f y f x f y +=++，则（）A ．()01f =-B ．()()0f x f x -≤C ．()()2f x y f x =+为奇函数D ．115212122k k f =-⎛⎫< ⎪⎝⎭∑参考答案：1．B【分析】利用函数单调性的定义即可判断.【详解】任取12x x <，令211,x x x y x =-=，则()()()()212111f x f x f x x x f x -=-+-()()()()21112111f x x f x f x f x x =-+--=--，因为210x x ->，所以()211f x x ->，所以()()210f x f x ->，所以()f x 在R 上单调递增.故选：B.2．D【分析】对于A ，令0b =，可求出(0)f 进行判断，对于B ，令1a b ==，可求出(1)f 进行判断，对于CD ，令0,a b x ==，可求出()f x ，从而可求出()1f x -，进而可判断其奇偶性.【详解】对于A ，令0b =，则()()()00f a f f a -=，得()()010f a f -=⎡⎤⎣⎦，所以()0f a =或()01f =，当()0f a =时，()()()f a f b f a ab b -=-不恒成立，所以()01f =，所以A 错误，对于B ，令1a b ==，则()()()1110f f f -=，得(1)[(1)1]0f f -=，所以()10f =，或()11f =，由选项A 可知()10f ≠，所以()11f =，所以B 错误，对于CD ，令0,a b x ==，则()()()00f f x f x -=-，由选项A 可知()01f =，所以()1f x x =-，所以()111f x x x -=--=-，令()()1g x f x x =-=-，则()()g x x g x -==-，所以()g x 为奇函数，即()1f x -为奇函数，所以C 错误，D 正确，故选：D 3．B【分析】根据题意，结合抽象函数的赋值法，列出方程，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由2()()()()f x y f x y f x f y +-=+，令0x y ==，可得22(0)2(0)f f =，因为(0)0f ≠，所以(0)1f =，所以A 不符合题意；对于B 中，函数()f x 的定义域为全体实数，由(0)1f =，显然不符合()()f x f x -=-，所以函数()f x 不是奇函数，所以B 符合题意；对于C 中，由2()()()()f x y f x y f x f y +-=+，令0y =，可得22()()(0)f x f x f =+，即22()()10f x f x --=，解得()1f x =或1()2f x =-，所以函数()y f x =没有零点，所以C 不符合题意；对于D 中，由2()()()()f x y f x y f x f y +-=+，令y x =，可得2(2)(0)()()f x f f x f x =+，所以2(2)2()f x f x =，即(2)()f x f x =，所以D 不符合题意.故选：B ．4．D【分析】令0x y ==，可求得()00f =，令x y =-，可得()()f x f x -=-，利用已知可得()f x 关于32x =对称，可判断B ；可求得函数的周期为6，()f x 关于()3,0对称，计算可判断AD ；由题意可得()f x 在[]2,4上单调递减，可判断C.【详解】()()2222x y x y f x f y f f +-⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x y ==，可得()()2200000022f f f f +-⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得()00f =；令x y =-，()()2222x x x x f x f x f f -+⎛⎫⎛⎫⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()2f x f x f x ⋅-=-，∴()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数；∵122f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于12x =对称，()()11332121222222f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=++⇒-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,∴()f x 关于32x =对称，故B 正确；∴3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()3()f x f x f x -=+=-，∴()6(3)()f x f x f x +=-+=，即()f x 的周期为6，∵()f x 关于32x =对称，可得()f x 关于()3,0对称∴()()600f f ==，()()511f f =-=-，()()411f f =-=-，()30f =，()()211f f ==，所以()()240f f +=，2024()337[(1)(2)(3)(4)(5)(6)](1)(2)2f k f f f f f f f f =+++++++=∑小，故A 正确，D 错误；∵202377(1686)222f f f ⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 在[]1,0-上单调递增∴()f x 在[]2,4上单调递减，所以7(4)2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()202342f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故C 正确.故选：D.5．C【分析】对于A ，由()G x 为奇函数，则()()G x G x -=-，再将()()231G x f x =+-代入化简可求出对称中心；对于B ，由选项A 可得(2)1f =，再由()F x 为偶函数可得(1)(1)2f x f x x +--=，令1x =可求出(0)f ；对于C ，由()f x 的图象关于点(2,1)对称，结合(0)1f =-求出(4)f 进行判断；对于D ，利用赋值法求解判断.【详解】对于A ，因为()()231G x f x =+-为奇函数，所以()()G x G x -=-，即(23)1[(23)1]f x f x --=-+-，所以(23)(23)2f x f x -++=，所以(2)(2)2f x f x -++=，所以函数()f x 的图象关于点(2,1)对称，所以A 正确，对于B ，在(2)(2)2f x f x -++=中，令0x =，得2(2)2f =，得(2)1f =，因为函数()()()11F x f x x =+-+为偶函数，所以()()F x F x -=，所以()()()()1111f x x f x x ---=+-+，所以(1)(1)2f x f x x +--=，令1x =，则(2)(0)2f f -=，所以1(0)2f -=，得(0)1f =-，所以B 正确，对于C ，因为函数()f x 的图象关于点(2,1)对称，(0)1f =-，所以(4)3f =，所以(0)(4)f f ≠，所以4不是()f x 的周期，所以C 错误，对于D ，在(2)(2)2f x f x -++=中令1x =，则(1)(3)2f f +=，令2x =，则(0)(4)2f f +=，因为(0)1f =-，所以(4)3f =，因为(2)1f =，所以()()()()12346f f f f +++=，所以D 正确，故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性、对称性和周期性，解题的关键是由已知条件化简后利用赋值法分析判断，考查计算能力，属于较难题.6．D【分析】利用题设结合赋值法可得出()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+，进而结合二次函数性质一一判断各选项，即可得答案.【详解】由于函数()f x 的定义域为R ，且()()()22yf x xf y xy y x -=-，令2y =，则()()()24222f x xf x x -=-，得()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+，2x =时，()()2212222f f +⎡⎤⎣⎦=-⨯+恒成立，无法确定()22f =-，B 不一定成立；由于()22f =-不一定成立，故()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+不一定为偶函数，A 不确定；由于()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+的对称轴为()1212x f =⋅+⎡⎤⎣⎦与[]1,2的位置关系不确定，故()f x 在[]1,2上不一定单调递减，C 不确定，由于()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+表示开口向下的抛物线，故函数()f x 必有最大值，D 正确.故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用赋值法确定函数()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+，进而结合二次函数性质求解.7．AB【分析】令1x y ==-，求出()1f ，令1x y ==，求出()1f -，再分别令1y =-和1y =，即可求出函数()f x 的解析式，进而可得函数性质.【详解】定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x 满足()()1()f x f y f xy y x xy--=++，令1x y ==-，则()()1211f f =-+，所以()113f =，令1x y ==，则()()1211f f =-+，所以()113f -=-，令1y =-，则()()()()()1111233f f x f x f x f x xx x x x-=--+-=--+-=---，所以()13f x x-=-，令1y =，则()()()111111333f f x f x xx x x x x-=-++=--+=，所以()13f x x =，因为()()13f x f x x-=-=-，且定义域关于原点对称，所以函数()f x 是奇函数，由反比例函数的单调性可得函数()13f x x=在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减.故选：AB.8．ACD【分析】根据偶函数的性质即可求解A ，根据4是函数()f x 的一个周期，利用反证法即可求解B ，由赋值法求解C ，求导，即可判断D.【详解】对于A ：因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x -+=+，即()f x 的图象关于直线2x =对称，所以A 正确；对于B ：由()()23f x f x ++=得()()243f x f x +++=，所以()()4f x f x =+，即4是函数()f x 的一个周期，若6也为函数()f x 的一个周期，则2为函数()f x 的一个周期，那么()()()232f x f x f x ++==，即()32f x =为常数函数，不合题意，所以B 错误；对于C ：由A 可知()()13f f =，对于()()23f x f x ++=可令1x =得()()133f f +=，所以()312f =，所以C 正确；对于D ：由A 可得()()22f x f x -+=+，求导可得()()220f x f x ''++-=即()()40f x f x ''+-=，对于()()23f x f x ++=求导可得()()20f x f x '+'+=，所以()()42f x f x -='+'，即函数()f x '的图像关于直线3x =对称，所以D 正确；故选：ACD.9．BC【分析】用举反例的方法得选项A ，D 错误，再由对称性和对称性与周期性之间的关系对剩余选项逐一分析即可.【详解】因为()f x '为偶函数，函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，对于函数() 1.5f x x =，显然其图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，且() 1.5f x '=，故() 1.5f x '=为偶函数，即() 1.5f x x =满足条件()f x '为偶函数，且其图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，但33122f ⎛⎫=⎪⎭'≠ ⎝，故A 错误；()f x '的最小正周期不是1，D 错误；函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，()()113f t f t ∴-++=，令2t x =，得()()12123f x f x -++=，故B 正确；函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，()(2)3f x f x ∴=--+，两边求导得：()()2f x f x ''=-，()f x ∴'的图象关于直线1x =对称,故C 正确；故选：BC.10．AD【分析】根据题意，利用抽象函数的性质，及赋值法并结合选项，即可逐项判定，从而求解.【详解】对于A 中，令0x y ==，可得()02f =-，令1,1x y ==-，则()()()11112f f f -=-++，解得()14f -=-，所以A 正确；对于B 中，令121,x x y x x ==-，且12x x <，则()()()1211212f x x x f x f x x +-=+-+，可得()()()21212f x f x f x x -=-+，若0x >时，()2f x >-时，()()210f x f x ->，此时函数()f x 为单调递增函数；若0x <时，()2f x <-时，()()210f x f x -<，此时函数()f x 为单调递减函数，所以函数()f x 不一定有最大值，所以B 错误；对于C 中，令1y =，可得()()()()1122f x f x f f x +=++=+，即()()12f x f x +-=，所以()()()()()()()2024202420232023202232f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()2112023204046f f f ⎡⎤+-+=⨯+=⎣⎦，所以C 错误；对于D 中，令y x =-，可得()()()02f f x f x =+-+，可得()()220f x f x ++-+=，即()()22f x f x +=--+⎡⎤⎣⎦，所以函数()2f x +是奇函数，所以D 正确；故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题主要是对抽象函数利用赋值法，去求解出()14f -=-，及证明函数()2f x +是奇函数.11．ABC【分析】令0y =即可判断A ；令1x y ==即可判断B ；令1x =可得()(1)(1)f x f x f x =--+，结合奇函数的定义即可判断C ；由选项C ，令1x x =-可得(1)()(2)f x f x f x -=+-，求出()f x 的周期即可求解.【详解】()()2()()f x y f x y g x f y +--=.A ：令0y =，得()()2()(0)0f x f x g x f -==，则(0)0f =，故A 正确；B ：令1x y ==，得(2)(0)2(1)(1)f f g f -=，即(2)2(1)(1)f g f =，又(2)(1)0f f +=且(2)(1)0f f ≠，所以2(1)(1)(1)0g f f +=，解得1(1)2g =-，故B 正确；C ：令1x =，得(1)(1)2(1)()f y f y g f y +--=，即(1)(1)()f y f y f y +--=-，得()(1)(1)f y f y f y =--+，所以()(1)(1)f x f x f x =--+，得()(1)(1)f x f x f x -=+--，所以()()0f x f x +-=，则()f x 为奇函数，故C 正确；D ：由选项C 知()(1)(1)f x f x f x =--+，又(1)(1)f x f x -+=--，得()(1)(1)f x f x f x =-+--①，令x 替换成1x -，得(1)()(2)f x f x f x -=+-②，①②相加，得(1)(2)0f x f x --+-=，则(2)(1)(1)f x f x f x -=---=+，得()(3)f x f x =+，即()f x 的周期为3，所以(0)(3)0f f ==，因为(1)(2)(3)0,202467432f f f ++==⨯+，所以20241()(1)(2)(3)(2024)(1)(2)0n f n f f f f f f ==++++=+=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】思路点睛：对于含有,x y ，的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有,x y 双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.12．BCD【分析】对于A ：结合赋值法与函数奇偶性的定义计算；对于B ：结合复合函数导数公式与对称性可对于CD ：借助赋值法结合周期性分析求解.【详解】因为()f x 的定义域为R对于选项A ：令0x y ==，可得()()()()2200000f f f f =-=，即()00f =，令0x =，可得()()()()()2220f y f y f f y f y -=-=-，且()f y 不恒为零，则()()f y f y -=-，即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数，故A 错误；对于选项B ：令11x ty t=+⎧⎨=-⎩，可得22(2)(2)(1)(1)0f f t f t f t =+--=，即22(1)(1)f x f x +=-，即22()(2)f x f x =-，可得()(2)f x f x =±-，令2x =，可得2(2)(2)()f y f y f y +-=-，即2(2)(2)()f x f x f x +-=-，当()(2)0f x f x =-≠时，有()()()2f x f x f x +=-=-，所以(2)(2)()()0f x f x f x f x ++-=-+=；当()(2)0f x f x =--≠，有(2)()f x f x +=，可得(2)(2)()()0f x f x f x f x ++-=-=，当()(2)0f x f x =-=，结合()()f x f x -=-，有()(2)f x f x -=--，可得()(2)0f x f x =-+=，所以(2)(2)0f x f x ++-=；综上所述：(2)(2)0f x f x ++-=，两边同时求导可得(2)(2)f x f x +=-''，可知()f x '关于直线2x =对称，所以(1)f x '+关于直线1x =对称，故B 正确；对于选项C ：由选项B 可知：()(2)f x f x =±-，若()()(2)2f x f x f x =-=--，即()(2)f x f x +=-，可得()()(4)2f x f x f x +=-+=，可知4为()f x 的周期；若()()(2)2f x f x f x =--=-，即()(2)f x f x +=，可得()()(4)2f x f x f x +=+=，可知4为()f x 的周期；综上所述：4为()f x 的周期.且()()200f f ==，所以()20,f n n =∈N ，故C 正确；对于选项D ：由选项B 可知：(2)(2)0f x f x ++-=，令1x =，可得(3)(1)0f f +=，可得()()()()12340f f f f +++=，结合周期性可得()()()81()1011k f k f f f =-=-+=-=-∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．13．BCD【分析】利用赋值法求得()0f 即可判断A ；利用赋值可得()2222x x f x f f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并且判断出()1f x ≠-，由不等式的性质可得()10f x +>，即可判断B ；利用函数的奇偶性以及()0g 的值即可判断C ；利用等比数列的判定可得()f n的通项公式，利用等比数列的求和公式可得1152121252k k f =-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即可判断D ．【详解】令1x =，0y =，则()()()()()11010f f f f f =++，将()11f =代入得()200f =，即()00f =，故A 错误；由()00f =，令y x =-可得()()()()0f x f x f x f x =+-+-，若存在x 使得()1f x =-，则上式变为01=-，显然不成立，所以()1f x ≠-，又()2221122222x x x x x f x f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()1f x ≠-，所以()1f x >-，将()()()()0f x f x f x f x =+-+-整理为()()()()1f x f x f x -+=-，因为()1f x >-，即()10f x +>，所以()()0f x f x -≤，故B 正确；令()()()()R 2f x g x x f x =∈+，则()()()()()()()()()()()()()()()202222f x f x f x f x f x f x g x g x f x f x f x f x +-+--+-=+==+-++-+，且()()()00002f g f ==+，所以()g x 为奇函数，故C 正确；当*n ∈N 时，()()()()()()11121f n f n f f n f f n +=++=+，()()1121f n f n ++=+，所以(){}1f x +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以()12n f n +=，由()2112x f x f ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭可知2122n n f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12n f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以()*221N 2n n f n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以)521111155222111221215252212k k k k f -==-⎛⎫-⎛⎫=-=-=-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：关键是充分利用函数的奇偶性，等比数列的判定与证明以及等比数列的前n 项和进行分析，由此即可顺利得解．。

第4节抽象函数问题(有答案)

第4节抽象函数问题内容提要1．轴对称：如果函数()y f x =满足若122x x a +=，就有12()()f x f x =，则()f x 的图象关于直线x a =对称.记法：自变量关于a 对称，函数值相等，如图1.2．中心对称：若函数()y f x =满足若122x x a +=，就有12()()2f x f x b +=，则()f x 关于点(,)a b 对称.记法：自变量关于a 对称，函数值关于b 对称，如图2.3．函数图象的对称轴和对称中心距离（规律：x 系数相反是对称，x 系数相同是周期）()()f x a f a x +=-或(2)()f a x f x +=-()f x 关于直线x a =对称（当0a =时，()f x 即为偶函数，关于y 轴对称）()()f a x f b x +=-()f x 关于直线2a bx +=对称()()0f a x f a x ++-=()f x 关于(,0)a 对称（当0a =时，()f x 即为奇函数，关于原点对称）()()f a x b x c++-=()f x 关于点(,)22a b c+对称4．双对称的周期结论（可借助三角函数辅助理解）：（1）如果函数()f x 有两条对称轴，则()f x 一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍.（2）如果函数()f x 有一条对称轴，一个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.（3）如果函数()f x 有在同一水平线上的两个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍.5．原函数与导函数的对称结论：（无需死记结论，想象图象，能理解就行）（1）若()f x 存在导函数()f x '，且()f x 有对称中心(,)a b ，则()f x '必有对称轴x a =.特别地，若()f x 为奇函数，则()f x '为偶函数.（2）若()f x 存在导函数()f x '，且()f x 有对称轴x a =，则()f x '必有对称中心(,0)a .特别地，若()f x 为偶函数，则()f x '为奇函数.（3）若()f x '有对称中心(,)a b ，则()f x 不一定有对称轴x a =；但若0b =，则()f x 一定有对称轴x a =.特别地，若()f x '为奇函数，则()f x 必为偶函数.（4）若()f x '有对称轴x a =，则()f x 必有对称中心(,)a b .特别地，若()f x '是偶函数，则()f x 不一定是奇函数，只能()f x 关于(0,)b 对称，但b 不一定是0.典型例题【例1】已知函数()y f x =满足()(2)0()f x f x x --=∈R ，且在[1,)+∞上为增函数，则（）（A ）(1)(1)(2)f f f ->>（B ）(1)(2)(1)f f f >>-（C ）(1)(2)(1)f f f ->>（D ）(2)(1)(1)f f f >->答案：C解析：()(2)0()(2)()f x f x f x f x f x --=⇒=-⇒的图象关于直线1x =对称，所以(1)(3)f f -=，因为321>>，且()f x 在[1,)+∞上为增函数，所以(3)(2)(1)f f f >>，从而(1)(2)(1)f f f ->>.【反思】本题的关键是由()(2)0f x f x --=识别出()f x 的对称性.【变式1】已知函数()y f x =满足()(2)0()f x f x x +-=∈R ，且在[1,)+∞上为增函数，则（）（A ）(1)(1)(2)f f f ->>（B ）(1)(2)(1)f f f >>-（C ）(1)(2)(1)f f f ->>（D ）(2)(1)(1)f f f >>-答案：D解析：()(2)0()f x f x f x +-=⇒关于点(1,0)对称，又()f x 在[1,)+∞上，所以()f x 的草图如图，由图可知()f x 在R 上，所以(2)(1)(1)f f f >>-.【反思】本题只需由()(2)0f x f x +-=识别出()f x 的对称性，结合单调性想象图形就可以解题.【变式2】已知函数()f x 满足()(2)()f x f x x =-∈R ，若函数1()y x f x =--有3个不同的零点1x 、2x 、3x ，则123x x x ++=.答案：3解析：看到()(2)f x f x =-，马上想到()f x 的图象关于1x =对称，而要研究1()y x f x =--的零点，可以分离一下，再作图看交点，1()01()x f x x f x --=⇔-=，函数()f x 没给解析式，只能从对称的角度来看，由于()y f x =和1y x =-的图象也都于1x =对称，故它们的交点关于直线1x =对称，如图，设123x x x <<，则必有1312x x +=且21x =，故1233x x x ++=.【变式3】已知函数()f x 满足(2)2()()f x f x x -=-∈R ，若(1)(0)4f f -+=，则(2)(3)f f +=.答案：0解析：(2)2()(2)()2f x f x f x f x -=-⇒-+=，所以()f x 的图象关于点(1,1)对称，而(1)f -，(0)f ，(2)f ，(3)f 这几个函数值中，1-和3关于1对称，0和2关于1对称，所以(1)f -和(3)f 有关系，(0)f 和(2)f 有关系，抓住这点就可以求(2)(3)f f +了，在(2)()2f x f x -+=中取3x =可得(1)(3)2f f -+=，所以(3)2(1)f f =--，取2x =可得(0)(2)2f f +=，所以(2)2(0)f f =-，故(2)(3)4(1)(0)f f f f +=---，又(1)(0)4f f -+=，所以(2)(3)0f f +=.【例2】偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -=.答案：3解析：由题意，()f x 有对称轴0x =和2x =，所以()f x 的周期为4，故(1)(3)3f f -==.【反思】对称轴+对称轴=周期，周期为对称轴之间距离的2倍.【变式1】偶函数()f x 满足(2)()2f x f x -+=，且(4)1f =-，则(0)(1)f f +=.答案：0解析：由题意，(2)()2()f x f x f x -+=⇒关于点(1,1)对称，又()f x 为偶函数，所以()f x 关于y 轴对称，从而()f x 的周期为4，故(0)(4)1f f ==-，在(2)()2f x f x -+=取1x =可求得(1)1f =，所以(0)(1)0f f +=.【反思】对称轴+对称中心=周期，周期为二者之间距离的4倍.【变式2】（2018·新课标Ⅱ卷）若()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+，若(1)2f =，则(1)(2)(50)f f f ++⋅⋅⋅+=（）（A ）50-（B ）0（C ）2（D ）50答案：C解法1：首先由双对称，推出周期，下面给出结论的推导方法，因为()f x 是奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)f x f x +=--，故(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即()f x 是以4为周期的周期函数，故(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，接下来还需计算(2)f 和(4)f ，不能只由周期来求，要结合奇函数满足(0)0f =这个隐含条件，在(1)(1)f x f x -=+中取1x =-知(2)(0)0f f ==，又(4)(0)0f f ==，所以(1)(2)(3)(4)20(2)00f f f f +++=++-+=，故(1)(2)(50)[(1)(4)][(5)(8)][(45)(48)](49)(50)f f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++(49)(50)(1)(2)2f f f f =+=+=.解法2：也可以分析已知条件，举一个具体的函数来求解答案，()f x 为奇函数()f x ⇒有对称中心坐标原点，(1)(1)f x f x -=+⇒有对称轴1x =，既有对称轴又有对称中心，在三角函数中比较好找，结合(1)2f =，可取()2sin 2f x x π=，此时不难发现()f x 周期为4，(2)0f =，(3)2f =-，(4)0f =，所以(1)(2)(50)[(1)(4)][(5)(8)][(45)(48)](49)(50)f f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++(49)(50)(1)(2)2f f f f =+=+=.【变式3】（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数()f x 的定义域为R ，且(2)f x +是偶函数，(21)f x +是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（）（A ）1()2f -（B ）(1)f -（C ）(2)f （D ）(4)f 答案：B解法1：先由题干的条件推导()f x 的对称性情况，(2)f x +是偶函数()f x ⇒关于直线2x =对称，题干给出(21)f x +是奇函数，这个条件怎么翻译？实际上，它和(1)f x +为奇函数效果一样，都能得出()f x 关于点(1,0)对称，理由如下，设()(21)v x f x =+，则()v x 是奇函数，所以()()v x v x -=-，即(2()1)(21)f x f x -+=-+，从而(21)(21)f x f x -+=-+，令2t x =，则(1)(1)f t f t -+=-+，故(1)(1)0f t f t -+++=，所以()f x 关于点(1,0)对称，从而()f x 周期为4，且(1)0f =，又()f x 的图象关于2x =对称，所以(3)0f =，故(1)(3)0f f -==，选B.解法2：也可以直接翻译已知条件，通过赋值来求解答案，但这种解法更抽象，由题意，(2)f x +是偶函数，所以(2)(2)f x f x -+=+①，又(21)f x +是奇函数，所以(21)(21)f x f x -+=-+②，在②中取0x =得(1)(1)f f =-，所以(1)0f =，已经得到一个等于0的函数值了，但没有这个选项，所以结合式①继续推理，为了在式①中构造出(1)f ，取1x =得(1)(3)f f =，故(3)0f =，选项中还是没有(3)f ，所以又结合式②继续推理，为了构造出(3)f ，在②中取1x =得(1)(3)0f f -=-=，所以选B.【反思】若()f x 的图象关于点(,)a b 对称，且()f x 在x a =处有定义，则必有()f a b =.【变式4】定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()0f x f x ++-=，当[1,0]x ∈-时，()f x x =，则9()2f =.答案：12解析：由题意，()f x 有对称中心(0,0)和(1,0)，故其周期为2，所以9111(()()2222f f f ==--=.【反思】若()f x 有位于同一水平线上的两个对称中心，则()f x 为周期函数，周期为二者之间距离的2倍.【例3】已知()f x '是函数()f x 的导函数，若(1)f x +为偶函数，且()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =+，则(2)(2)f f '+=.答案：1解析：(1)f x +为偶函数()f x ⇒的图象关于直线1x =对称，又()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为2y x =+，所以(0)2f =，(0)1f '=，因为()f x 的图象关于直线1x =对称，所以(2)2f =，（关于2x =对称的位置函数值相等）且(2)1f '=-（关于2x =对称的位置的切线也关于2x =对称，斜率相反，如图），故(2)(2)1f f '+=.【变式1】已知()f x '是函数()f x 的导函数，(1)f x +为奇函数，设()()g x f x '=，(4)()0()g x g x x -+=∈R ，且(2)2f =，则(1)(2)(10)f f f ++⋅⋅⋅+=.答案：2解析：先利用已知条件推出()f x 的对称性、周期性，再画草图看函数值，(1)f x +为奇函数()f x ⇒关于点(1,0)对称，所以(1)0f =，又(2)2f =，所以(0)2f =-，如图，(4)()0()g x g x g x -+=⇒关于(2,0)对称()f x ⇒关于直线2x =对称，所以()f x 周期为4，且(3)(1)0f f ==，(4)(0)2f f ==-，从而(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，故(1)(2)(10)[(1)(2)(3)(4)][(5)(6)(7)(8)](9)(10)f f f f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=+++++++++(9)(10)(1)(2)2f f f f =+=+=.【变式2】（2022·新高考Ⅰ卷）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若3(2)2f x -，(2)g x +均为偶函数，则（）（A ）(0)0f =（B ）1()02g -=（C ）(1)(4)f f -=（D ）(1)(2)g g -=答案：BC解析：先把已知的3(2)2f x -，(2)g x +均为偶函数翻译一下，可以翻译成()f x 和()g x 的对称性，3(2)2f x -为偶函数33(2)(2)()22f x f x f x ⇒+=-⇒的图象关于直线32x =对称，(2)g x +为偶函数()g x ⇒的图象关于直线2x =对称()f x ⇒的图象关于点(2,(2))f 对称，（此处必须通过直观想象图形的样子，用()g x 的对称性反推()f x 的对称性，否则无法求解此题）所以()f x 是以2为周期的周期函数（双对称周期结论），故()g x 也是以2为周期的周期函数，A 项，(0)(2)f f =，而(2)f 的值无法确定，故A 项错误；B 项，()g x 周期为213()()22g g ⇒-=，因为()f x 的图象关于直线32x =对称，所以3()2f 必是()f x 的极值，从而3()02f '=，故3(02g =，所以1()02g -=，故B 项正确；C 项，()f x 的图象关于直线32x =对称(1)(4)f f ⇒-=，故C 项正确；D 项，()g x 周期为2(1)(1)g g ⇒-=，又()f x 的图象关于直线32x =对称，所以()f x 的图象在1x =和2x =处的切线斜率互为相反数，从而(1)(2)g g =-，所以(1)(2)g g -=-，故D 项错误.强化训练1．（2022·成都模拟·★★★）已知函数()y f x =满足(4)()0()f x f x x +--=∈R ，且()f x 在[2,)+∞上为减函数，则（）（A ）22(log 3)(log 5.1)(3)f f f >>（B ）22(log 5.1)(log 3)(3)f f f >>（C ）22(log 5.1)(3)(log 3)f f f >>（D ）22(log 3)(3)(log 5.1)f f f >>答案：B解析：(4)()0()f x f x f x +--=⇒的图象关于直线2x =对称，结合()f x 在[2,)+∞上为减函数可得当自变量与2的距离越大时，函数值越小，如图，而22234log 32log log 43-==，225.1log 5.12log 4-=，321-=，所以225.14log log 143<<，故22(3)(log 3)(log 5.1)f f f <<.2．（2022·甘肃模拟·★★★）定义在R 上的奇函数()f x 满足(8)(4)f x f x +=--，且当[0,2]x ∈时，()13x f x =-，则(2022)f =（）（A ）8-（B ）2-（C ）2（D ）8答案：D解析：(8)(4)()f x f x f x +=--⇒关于2x =对称，()f x 为奇函数()f x ⇒关于原点对称，所以周期为8，故2(2022)(25286)(6)(2)(2)(13)8f f f f f =⨯+==-=-=--=.3．（2021·湖北模拟·★★★）（多选）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，21()()2x f x -=，则（）（A ）()f x 是周期函数，且周期为2（B ）()f x 的最大值是1，最小值是14（C ）()f x 在[2,4]上单调递减，在[4,6]上单调递增（D ）当[2,4]x ∈时，21()()2x f x -=答案：BC解析：A 项，()f x 是偶函数()f x ⇒关于0x =对称，(2)(2)()f x f x f x +=-⇒关于2x =对称，所以()f x 是以4为周期的周期函数，故A 项错误；B 项，当[0,2]x ∈时，21()()2x f x -=，结合()f x 是周期为4的偶函数可作出()f x 的大致图象如图，由图可知min 1()(0)4f x f ==，max ()(2)1f x f ==，故B 项正确；C 项，由图可知C 项正确；D 项，由图可知()f x 在[2,4]上，而21()2x y -=在[2,4]上，故D 项错误.4．（★★★）若()f x 是定义域为R 的奇函数，(2)()f x f x +=-，若(1)1f =，则(1)(2)(2022)f f f ++⋅⋅⋅+=.答案：1解析：()f x 有对称中心(0,0)和对称轴1()x f x =⇒周期为4，在(2)()f x f x +=-中取0x =知(2)(0)0f f ==，又(3)(1)(1)1f f f =-=-=-，(4)(0)0f f ==，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，故(1)(2)(2022)(2021)(2022)(1)(2)1f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=+=+=.5．（★★★）已知函数())1f x x =+，定义域为R 的函数()g x 满足()()2g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =的图象的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，55(,)x y ，则51()i i i x y =+=∑（）（A ）0（B ）5（C ）10（D ）15答案：B解析：()g x 没给解析式，给的是()()2g x g x -+=，只能得出对称性，所以也要研究()f x 的对称性，注意到)y x =为奇函数，其图象关于原点对称，所以()f x 的图象关于点(0,1)对称，又()()2g x g x -+=，所以()g x 的图象也关于点(0,1)对称，故()f x 与()g x 的交点关于点(0,1)对称，如图，由图可知，1250x x x ++⋅⋅⋅+=，1255y y y ++⋅⋅⋅+=，所以51()5i i i x y =+=∑.6．（2022·四川模拟·★★★）奇函数()f x 满足(2)()0()f x f x x ++-=∈R ，若当01x ≤≤时，2()44f x x x =-，则函数()lg y f x x =-的零点个数为.答案：9解析：(2)()0()f x f x f x ++-=⇒的图象关于点(1,0)对称，又()f x 为奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称，所以()f x 的周期为2，如图，lg y x =与()y f x =的图象共有9个交点，所以函数()lg y f x x =-有9个零点.7．（2022·江苏模拟·★★★）偶函数()f x 满足()(2)()f x f x x =-∈R ，当[0,1]x ∈时，2()22f x x =-，则函数4()()2log 1g x f x x =--的所有零点之和为（）（A ）4（B ）6（C ）8（D ）10答案：B解析：()(2)()f x f x f x =-⇒的图象关于1x =对称，()f x 为偶函数()f x ⇒的图象关于y 轴对称，所以()f x 的周期为2，4()0()2log 1g x f x x =⇔=-，作出图象如图，由图可知两图象有6个交点，且它们两两关于直线1x =对称，故()g x 的零点之和为6.8．（★★★）已知()f x '是函数()f x 的导函数，若(1)f x -为奇函数，且()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为20x y ++=，则(2)(2)f f '-+-=.答案：1解析：(1)f x -为奇函数()f x ⇒的图象关于点(1,0)-对称，又()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为20x y ++=，所以(0)2f =-，(0)1f '=-，因为()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以(2)2f -=，（点(2,(2))f --和(0,(0))f 关于(1,0)-对称）且(2)1f '-=-（关于(1,0)-对称的位置的切线斜率相等，如图），故(2)(2)1f f '-+-=.9．（★★★★）已知()f x '是函数()f x 的导函数，若(2)f x +和()f x '均为奇函数，且(0)2f =，则(2)(4)(2022)f f f ++⋅⋅⋅+=.答案：2-解析：先把已知条件翻译成()f x 的对称性，再利用对称性求函数值，最好画个图比较容易理解，(2)f x +为奇函数()f x ⇒的图象关于点(2,0)对称，所以(2)0f =，()f x '为奇函数()f x ⇒为偶函数()f x ⇒的图象关于y 轴对称，所以()f x 的周期为8，因为(0)2f =，且()f x 关于(2,0)对称，所以(4)2f =-，又()f x 为偶函数，且周期为8，所以(6)(2)(2)0f f f =-==，(8)(0)2f f ==，从而(2)(4)(6)(8)0(2)020f f f f +++=+-++=，故(2)(4)(2022)[(2)(4)(6)(8)][(10)(12)(14)(16)]f f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++++++++⋅⋅⋅[(2010)(2012)(2014)(2016)](2018)(2020)(2022)f f f f f f f +++++++(2018)(2020)(2022)(2)(4)(6)2f f f f f f =++=++=-.10．（2021·新课标Ⅱ卷·★★★★）设函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，当[1,2]x ∈时，2()f x ax b =+.若(0)(3)6f f +=，则9()2f =（）（A ）94-（B ）32-（C ）74（D ）52答案：D解析：(1)f x +为奇函数()f x ⇒的图象关于点(1,0)对称，所以(1)(1)f x f x +=--，(2)f x +为偶函数()f x ⇒的图象关于直线2x =对称，所以(2)(2)f x f x +=-，从而()f x 是以4为周期的周期函数，所以91()(22f f =，在(1)(1)f x f x +=--中取12x =可得13()(22f f =-，所以939(()224f f a b =-=--，还得把a 和b 求出来才能得出答案，在(1)(1)f x f x +=--中取1x =可得(0)(2)4f f a b =-=--，在(2)(2)f x f x +=-中取1x =得(3)(1)f f a b ==+，所以(0)(3)36f f a +=-=，故2a =-，在(1)(1)f x f x +=--中取0x =得(1)0f =，而(1)f a b =+，所以0a b +=，故2b =，所以995()242f a b =--=.11．（2022·全国乙卷·理·12·★★★★）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()(2)5f x g x +-=，()(4)7g x f x --=.若()y g x =的图象关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（）（A ）21-（B ）22-（C ）23-（D ）24-答案：D解析：要求221()k f k =∑，得研究()f x 的性质，先用已知的()(2)5()(4)7f xg x g x f x +-=⎧⎨--=⎩把()g x 有关的消掉，在()(4)7g x f x --=中将x 换成2x -可得(2)(2)7g x f x ----=，所以(2)(2)7g x f x -=--+，代入()(2)5f x g x +-=可得()(2)75f x f x +--+=，所以()(2)2f x f x +--=-，故()f x 关于(1,1)--对称，题干给出了()g x 关于2x =对称，而()g x 和()f x 显然是有关系的，可以由此条件再推导()f x 的对称性，由()(4)7g x f x --=可得(4)()7f x g x -=-，将x 换成4x +可得()(4)7f x g x =+-，从而()f x 可由()g x 左移4个单位，下移7个单位得到，故()f x 关于直线2x =-对称，所以()f x 是以4为周期的周期函数，接下来求一个周期的整点函数值，就可以算出221()k f k =∑，首先，()f x 关于(1,1)--对称，所以(1)1f -=-，故(3)1f =-，又()f x 关于2x =-对称，所以(3)(1)1f f -=-=-，结合周期为4可得(1)(3)1f f =-=-，只要求出(2)f 和(4)f ，就大功告成，条件中(2)4g =还没用，先在题干给的等式中将(2)g 构造出来，因为(2)4g =，在()(2)5f x g x +-=中取0x =可得(0)(2)5f g +=，所以(0)5(2)1f g =-=，故(4)1f =，由(0)1f =以及()f x 关于(1,1)--对称可得(2)3f -=-，结合周期为4可得(2)3f =-，所以221()5[(1)(2)(3)(4)](1)(2)5(1311)1324k f k f f f f f f ==⨯+++++=⨯---+--=-∑.12．（2022·新高考Ⅱ卷·★★★★）若函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，(1)1f =，则221()k f k ==∑（）（A ）3-（B ）2-（C ）0（D ）1答案：A 解法1：本题要221()k f k =∑，应该要先求()f x 的周期，可以在()()()()f x y f x y f x f y ++-=中对y 赋值，在()()()()f x y f x y f x f y ++-=中令1y =可得(1)(1)()f x f x f x ++-=①，在①中将x 换成1x +可得(2)()(1)f x f x f x ++=+，结合式①可得(2)()()(1)f x f x f x f x ++=--，所以(2)(1)f x f x +=--，从而(3)()f x f x +=-，故(6)(3)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为6；求出了周期，接下来需要计算一个周期内的整点函数值，问题就解决了，因为已知(1)f ，所以可以在()()()()f x y f x y f x f y ++-=通过赋值构造出(1)f 和其它的函数值，在()()()()f x y f x y f x f y ++-=中令1x =，0y =可得2(1)(1)(0)f f f =，又(1)1f =，所以(0)2f =，结合周期为6可得(6)2f =，令1x y ==可得2(2)(0)(1)f f f +=，所以2(2)(1)(0)1f f f =-=-，令2x =，1y =可得(3)(1)(2)(1)f f f f +=，所以(3)(2)(1)(1)2f f f f =-=-，在(3)()f x f x +=-中令1x =可得(4)(1)1f f =-=-，令2x =可得(5)(2)1f f =-=，所以(1)(2)(6)1121120f f f ++⋅⋅⋅+=---++=，故221()(1)(2)(3)(4)11213k f k f f f f ==+++=---=-∑.解法2：设()2cos 3f x x π=，不难验证满足题干所有条件，进一步可求得221()3k f k ==-∑.。

抽象函数-题型大全(例题-含答案)[1]

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高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难,学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质,培养灵活性；提高解题能力,优化学生数学思维素质.现将常见解法及意义总结如下: 一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式,从而求出()f x ,这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x 。

解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法:在已知(())()fg xh x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x 。

此解法简洁,还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(｜x |≥1)3。

待定系数法：先确定函数类型,设定函数关系式，再由已知条件,定出关系式中的未知系数。

数学练习题抽象函数(含答案)

高考一轮专练——抽象函数1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2x ),试判断f (x )的奇偶性。

2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围3. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。

4. 设函数()f x 对任意121,[0,]2x x ∈,都有1212()()()f x x f x f x +=⋅,()2f x =已知(1)2f =，求1()2f ,1()4f 的值.5. 已知f （x ）是定义在R 上的函数，且满足：f （x+2）[1－f （x ）]=1+f （x ），f （1）=1997，求f （2001）的值。

6. 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0.（1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数.7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有ba b f a f ++)()(＞0（1）若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小；（2）若f （k )293()3--+⋅xx x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。

9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. （1）求证: ()f x 是奇函数;（2）若(3),(24)f a a f -=试用表示.11．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足: ()()()f a b af b bf a •=+. （1）求(0),(1)f f 的值;（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论;（3）若(2)2f =,*(2)()n n f u n N n-=∈，求数列{n u }的前n 项和n s .12．已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. （1）若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求（2）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式.13．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++，且1()02f =，当12x >时, ()f x >0. （1）求(1)f ;（2）求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; （3）判断函数()f x 的单调性，并证明.14．函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意x R ∈,有()f x >0；②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =；③1()13f >.（1）求(0)f 的值;（2）求证: ()f x 在R 上是单调减函数;（3）若0a b c >>>且2b ac =，求证：()()2()f a f c f b +>.15．已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=•,且当0x >时,0()1f x <<.（1）证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1;（2）证明: ()f x 在R 上单调递减; （3）设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f •>,B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈},若A B =Φ,试确定a 的取值范围.16．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数,设F ()()()x f x f a x =--. （1）用函数单调性的定义证明:()F x 是R 上的增函数; （2）证明:函数y =()F x 的图象关于点(,0)2a成中心对称图形.17．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称. （1）求(0)f 的值；（2）证明：函数()f x 是周期函数;（3）若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时，函数()f x 的解析式，并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象。

抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

抽象函数经典综合题33例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。

抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。

本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

解（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)(1)(x f x f =- 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0)(1)(>-=x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0(3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴1)()()()()(121212>-=-⋅=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数（4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增∴由f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0 ∴ 0<x<3 2.已知函数()f x ,()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠（1）求证：()f x 为奇函数（2）若(1)(2)f f =，求(1)(1)g g +-的值解（1）对x R ∈，令x=u-v 则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x)（2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0∴g(-1)+g(1)=13.已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，.2)1(.0)(-=<f x f 又(1)判断)(x f 的奇偶性；(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f解（1）取,0==y x 则0)0()0(2)00(=∴=+f f f取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则)()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数. （2）任取2121),(,x x x x <+∞-∞∈且，则012>-x x0)()()(1212<-=-+∴x x f x f x f),()(12x f x f --<∴ 又)(x f 为奇函数 )()(21x f x f >∴ ∴)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数. ∴对任意]3,3[-∈x ，恒有)3()(-≤f x f而632)1(3)1()2()12()3(-=⨯-==+=+=f f f f f 6)3()3(=-=-∴f f ∴)(x f 在[－3，3]上的最大值为6（3）∵)(x f 为奇函数，∴整理原式得 )2()()2()(2-+<-+f ax f x f ax f进一步可得)2()2(2-<-ax f x ax f而)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数，222->-∴ax x ax.0)1)(2(>--∴x ax∴当0=a 时，)1,(-∞∈x当2=a 时，}1|{R x x x x ∈≠∈且当0<a 时，}12|{<<∈x ax x当20<<a 时, }12|{<>∈x a x x x 或当a>2时，}12|{><∈x ax x x 或4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xyy x ++1) ⑴证明：f (x )在(－1，1)⑵对数列x 1＝21，x n ＋1＝212nn x x +，求f (x n ); ⑶求证252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n(Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x )∴f (x )为奇函数 (Ⅱ)解：f (x 1)＝f (21)＝－1，f (x n ＋1)＝f (212n n x x +)＝f (nn n n x x x x ⋅++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n ) ∴)()(1n n x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列∴f (x n )＝－2n －1 (Ⅲ)解：)2121211()(1)(1)(11221-++++=+++n nx f x f x f 2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n而2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n5.已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；（1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数；（2）n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；（3）若(0)1f =，对任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12. 证明：（1）由①知，对任意*,,a b a b ∈<N ，都有0))()()((>--b f a f b a ，由于0<-b a ，从而)()(b f a f <，所以函数)(x f 为*N 上的单调增函数. （2）由（1）可知n N ∀∈都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)≥f(n)+1 ∴f(n+1)-f(n)1≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥ ∙∙∙ ∴ f(2)-f(1)1≥∴f(1)-f(0)1≥由此可得f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证（3）由任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f 得()1f m = 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+121)311(21311)311(31313131)13(121<-=--=+∙∙∙++=-∑=n n n ni if6.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值； (II)求()f x 的最大值；(III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3),n n S a n N =--∈.求证：123112332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-.解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥max ()(1)3f x f ∴==(III)*12(3)()n n S a n N =--∈1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥1111133(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴= 111112113333333()()()()()23()4n n n n n n nn f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 111143333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n n f a f a +≤+。

抽象函数-题型大全(例题-含答案)精编版

高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法：在已知(())()fg xh x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x xx+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

高考抽象函数全部题型剖析

抽象函数常见题型汇编抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知的定义域，求的定义域，解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。

例题1：设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为（2）由已知，得，解得，故的定义域为(二)已知的定义域，求的定义域。

解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。

例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。

解析：由，得，所以，故填(三)已知的定义域，求的定义域。

解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。

例题3：函数定义域是，则的定义域是_______ 解析：先求的定义域，的定义域是，，即的定义域是再求的定义域，，的定义域是(四)运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。

例题4：函数的定义域是，求的定义域。

解析：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。

解析：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是［1，4］【巩固2】已知函数的定义域是，求函数的定义域。

解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是【巩固3】f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12定义域是__。

解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x aa x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1 二、解析式问题1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

必修一数学抽象函数习题精选含答案

抽象函数单调性和奇偶性1.抽象函数的图像判断单调性例1.如果奇函数f(x)在区间［3, 7］上是增函数且有最小值为5,那么f (x)在区间［7，3］上是()A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为 5D.减函数且最大值为5分析：画出满足题意的示意图，易知选Bo2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在R上的偶函数f (x)满足f(2) 0，并且f (x)在(，0)上为增函数。

若(a 1)f(a) 0 ,则实数a的取值范围二、抽象函数的单调性和奇偶性1.证明单调性例3.已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0,g(x) 1g(1) =2,g(x) 是增函数.g(m)g(n) g(m n)(m,n R)求证：f(x)是R上的增函数.解:设X1>X2因为，g(x)是R上的增函数,且g(x)>0。

故g(x 1) > g(x 2) >0 o g(X1)+1 > g(x 2)+1 >0 ,2 22> 2>0g(X2)1 g(xj 1g(x2) 1 g(xj 1>0 o增函数。

2.证明奇偶性例5.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y 满足f(xy) f(x) 求证：f(x)是偶函数。

分析：在 f(xy) f (x) f(y)中，令 x y 1，得 f(1) f (1) f (1) f (1) 0 令 x y 1,得 f (1) f( 1) f( 1) f( 1) 0于是 f( x) f( 1 x) f( 1) f (x) f (x)，故 f (x)是偶函数。

三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

f(x 1)- f(x 2)=皿Jg(xj 1gg) 1 g%) 122=1——2——(1-2)g(xj 1 gg) 1>0 g(xj 1可以推出: f(x 1)>f(x 2)，所以 f(x)是 R 上的上为减函数。

抽象函数经典习题(含详细解答)

抽象函数经典习题经典习题11. 若函数(21)f x +的定义域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭,则函数2(log )f x 的定义域为( )A.1,22⎛⎫⎪⎝⎭B.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.12⎛ ⎝ D.12⎡⎢⎣ 2. 若*(1)()1(f n f n n N +=+∈),且f(1)=2,则f(100)的值是( )A ．102B ．99C ．101D ．100 3. 定义R 上的函数()f x 满足：()()(),(9)8,f xy f x f y f f =+==且则（）AB ．2C ．4D ．64. 定义在区间（-1，1）上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-。

若2(1)(1)0f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是___________________.5. 已知函数()f x 是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,x y ,都有:()()()f xy f x f y =+成立.则不等式2(log )0f x <的解集是__________.6. 已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

7. 已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:()()()f a b af b bf a •=+.(1)求(0),(1)f f 的值;(2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2)()n n f u n N n-=∈,求数列{n u }的前n 项和n s .8. 定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

高中数学抽象函数及其应用练习题含答案

高中数学抽象函数及其应用练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=2x−4，则不等式f(x−2)>0的解集为（）A.{x|x<0或x>4}B.{x|0<x<2或x>4}C.{x|x<0或x>2}D.{x|x<−2或x>2}2. 已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=2f(x)，且f(5)=3f(3)+2，则f(4)=( )A.16B.8C.4D.23. 给出如下三个等式：①f(a+b)=f(a)+f(b)；②f(ab)=f(a)+f(b)；③f(ab)=f(a)×f(b)．则下列函数中，不满足其中任何一个等式的函数是( )A.f(x)=x2B.f(x)=3xC.f(x)=2xD.f(x)=ln x4. 若函数f(x)为定义在R上的偶函数，且在(0, +∞)内是增函数，又f(2)＝0，则不等式xf(x−1)>0的解集为（）A.(−∞, −2)∪(0, 2)B.(−1, 1)∪(3, +∞)C.(−1, 0)∪(3, +∞)D.(−2, 0)∪(2, +∞)5. 奇函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x)<0的解集是（）A.(−1, 1)B.(−∞, −1)∪(1, +∞)C.(−1, 0)∪(1+∞)D.(−∞, −1)∪(0, 1)6. 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1+x)＝f(1−x)对所有x∈R恒成立，则下列函数值一定正确的是（）A.f(1)＝0B.f(2)＝1C.f(2020)＝0D.f(2021)＝17. 已知f(x)是R上的奇函数，且对x∈R，有f(x+2)＝−f(x)．当x∈(0, 1)时，f(x)＝2x−1，则f(log241)＝（）A.40B.C.D.f(1)≠0，则g(0)等于( )A.−1B.0C.1D.29. 若定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0，则不等式xf(x−2)≤0的解集为( )A.(−∞,4]B.(−∞,−4]∪[0,4]C.[−4,0]∪[4,+∞)D.[−4,4]>0的10. 若f(x)是奇函数，且在(−∞,0)上是减函数，又f(−4)=0，则f(x+2)−f(−x−2)x解集是( )A.(−4,0)∪(4,+∞)B.(−6,−2)∪(0,2)C.(−6,−2)∪(2,+∞)D.(−∞,−4)∪(0,4)11. 已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x+2)−f(x)=f(1)．若函数y=f(x+2)的图象关于x=−2对称，且f(0)=8，则f(99)+f(100)=( )A.0B.4C.6D.812. 奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(24)+f(25)=（）A.−2B.−1C.1D.013. 已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x+2)−f(x)=f(1)．若函数y=f(x+2)的图象关于x=−2对称，且f(0)=8，则f(99)+f(100)=( )A.0B.4C.5D.814. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2−x)=f(2+x)．当0≤x≤2时，f(x)= x2，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+⋯+f(9)+f(10)=（）A.−5B.5C.−2D.215. 已知函数y=f(x)为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数g(x)= f(x−5)+x，数列{a n}为等差数列，且公差不为0，若g(a1)+g(a2)+⋯+g(a9)= 45，则a1+a2+⋯+a9=（）A.45B.15C.10D.016. 定义在R上的偶函数f(x)满足，则f(2021)＝（）17. 已知f(x)是定义域为(−∞, +∞)的奇函数，满足f(1−x)＝f(1+x)，若f(1)＝2，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)＝________．18. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+4)＝f(x)，当2≤x≤3，f(x)＝x，则f(5.5)＝________．19. 设f(x)是定义在(0, +∞)上的单调增函数，且对定义域内任意x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，则使不等式f(x)+f(x−3)≤2成立的x的取值范围是________.20. 函数f(x)在[−1, 1]上为奇函数并在[0, 1]上单调递减，且f(1−a)+f(1−2a)<0，则a的取值范围为________．21. 已知f(x−)＝x2+，则f(3)＝________.22. 偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=−f(x)，则f(2021)=________．23. 研究表明，函数g(x)=f(x+a)−b为奇函数时，函数y=f(x)的图象关于点P(a, b)成中心对称，若函数f(x)=x3−3x2的图象对称中心为P(a, b)，那么a=________；b=________．24. 已知函数f(x)的定义域为R，对任意x∈R,f(x+2)=3f(x)恒成立，且当x∈(0,2]时，f(x)=2x，则f(7)=________ .25. 已知定义在R上的单调函数f(x)满足对任意的x1，x2，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)成立，若正实数a，b满足f(a)+f(2b−1)=0，则1a +2b的最小值为________.26. 已知函数f(x)的定义域为R，在(−∞, 0)上单调，且为奇函数．若f(−3)＝−2，f(−1)＝2，则满足−2≤f(1−x)≤2的x的取值范围是________．27. 设函数y＝f(x)的定义域为R，满足f(x+1)＝2f(x)，且当x∈(0, 1]时，f(x)＝x(x−1)．若对任意x∈(−∞, m]，都有，则m的取值范围是________．①f(x)+f(−x)=0；②f(x)=f(x +2)；③当0≤x <1时，f(x)=2x −1．则f(12)+f(1)+f(32)+f(2)+f(52)=________.29. 已知函数 f(x) 满足对任意实数m ,n ，都有 f(m +n)=f(m)+f(n)−2，设g(x)=f(x)+a x a x +1，(a >0, a ≠1) ，若g(ln 2020)=2019 ，则g(ln 12020)=________.30. 求下列函数的解析式：（1）已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x +1)−f(x)＝x −1，求f(x)；（2）已知3f(x)+2f(−x)＝x +3，求f(x)．31. 已知f (x )是定义在R 上的函数，若对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x +y )=f (x )+f (y )，且当x >0时，有f (x )>0．(1)求证:f (0)=0；(2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)判断函数f (x )在R 上的单调性，并证明你的结论．32. 已知定义在R 上的函数f(x) 满足：①对任意的x ，y ∈R ，都有f(x)+f(y)＝f(x +y)②当x <0时，有f(x)<0（1）利用奇偶性的定义，判断f(x)的奇偶性；（2）利用单调性的定义判断f(x)的单调性；（3）若关于x 的不等式f(k ⋅3x )+f(3x −9x −2)>0在R 上有解，求实数k 的取值范围．33. 已知函数f(x)的定义域是(0, +∞)，且满足f(x ⋅y)＝f(x)+f(y)，当x >1时，f(x)>0．（1）求f(1)的值：（2）判断并证明f(x)的单调性．34. 已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f (1−x)＝f (1+x)．（1）证明：f (4+x)＝f(x)；（2）若f (1)＝2，求式子f (1)+f (2)+f (3)+...+f (50)的值．35. 已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且f(xy)=f(x)+f(y).(1)求f(1)的值；(2)若f(2)=1，解不等式f(x+3)<2．36. 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，满足f(0)=2，f(x+1)−f(x)=2x−1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当x∈[−1, 2]时，求函数的最大值和最小值．37. 已知f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1．(1)求证：f(8)=3；(2)求不等式f(x)−f(x−2)>3的解集．38. 已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(−2)=−3.当x> 0时，f(x)>0.(1)证明：f(x)是R上的增函数．(2)求关于x的不等式f(ax2)−f(ax)<f(x2−3x)+3的解集．39. 已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时f(x)>0，f(2)=1．(1)求f(1)的值；(2)求证:f(x)在定义域上单调递增；40. 已知函数f(x)的定义域D=(−∞, 0)∪(0, +∞)，且对于任意x1，x2∈D，恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时，f(x)<0．（1）求f(1)与f(−1)的值．判断f(x)在(0, +∞)上的单调性（不证明）；（2）试证明y=f(x)在x∈(−∞, 0)∪(0, +∞)上的奇偶性；（3）若f(2m−1)>f(m)+3m2−4m+1，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析高中数学抽象函数及其应用练习题含答案一、选择题（本题共计 16 小题，每题 3 分，共计48分）1.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，由函数的解析式分析可得当0<x<2时，f(x)<0，当x>2时，f(x)>0，结合函数的奇偶性可得当−2<x<0时，f(x)>0，当x<−2时，f(x)<0，综合可得f(x)>0的解集，对于f(x−2)>0，则有−2<x−2<0或x−2>2，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，当x>0时，f(x)=2x−4，则f(x)在区间(0, +∞)上为增函数，且f(2)=0，则当0<x<2时，f(x)<0，当x>2时，f(x)>0.又由f(x)为奇函数，当−2<x<0时，f(x)>0，当x<−2时，f(x)<0，则f(x)>0的解集为{x|−2<x<0或x>2}.不等式f(x−2)>0，则有−2<x−2<0或x−2>2，解得：0<x<2或x>4，即不等式f(x−2)>0的解集为{x|0<x<2或x>4}.故选B.2.【答案】C【考点】抽象函数及其应用【解析】根据关系式得到f(4)=2f(3)且f(5)=2f(4)，进而求得结论．【解答】解：∵函数y=f(x)满足f(x+1)=2f(x)，∴f(4)=2f(3)且f(5)=2f(4).又∵f(5)=3f(3)+2，∴2f(4)=3×1f(4)+2，2∴f(4)=4.故选C.3.【答案】C抽象函数及其应用【解析】本题可以用排除法来解答，根据f(ab)＝f(a)⋅f(b)，可排除A；根据f(a+b)＝f(a)+ f(b)，可排除B；f(ab)＝f(a)+f(b)可排除D，对C进行证明后，即可得到答案．【解答】解：A中，若f(x)=x2，f(ab)=(ab)2，f(a)⋅f(b)=a2⋅b2，f(ab)=f(a)⋅f(b)，故③成立.B中，若f(x)=3x，f(a+b)=3(a+b)，f(a)+f(b)=3a+3b，f(a+b)=f(a)+f(b)，故①成立.D中，若f(x)=ln x，f(ab)=ln ab=ln a+ln b=f(a)+f(b)，故②成立．C中，若f(x)＝2x，f(a+b)=2a+b，f(a)+f(b)=2a+2b，f(a+b)=f(a)+f(b)不一定成立，故①不成立；f(ab)=2ab，f(a)+f(b)=2a+2b，f(ab)=2a⋅2b，f(ab)=f(a)+f(b)不一定成立，故②不成立；f(ab)=f(a)⋅f(b)不一定成立，故③不成立.故选C.4.【答案】C【考点】抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析满足f(x)>0与f(x)<0的区间，而xf(x−1)>0⇒或，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)在(0, +∞)内是增函数且f(2)＝0，则在区间(0, 2)上，f(x)<0，在区间(2, +∞)上，f(x)>0，又由f(x)为偶函数，则在区间(−2, 0)上，f(x)<0，在区间(−∞, −2)上，f(x)>0，xf(x−1)>0⇒或，则有−1<x<0或x>3，即不等式的解集为(−1, 0)∪(3, +∞)，5.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合抽象函数及其应用根据题意，由函数f(x)的奇偶性与单调性作出其草图，又由xf(x)<0⇒{x<0f(x)>0或{x>0f(x)<0，分析可得答案．【解答】根据题意，奇函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减，则f(x)在(0, +∞)上也递减，又由f(1)＝0，则f(−1)＝0，其大致图象如图：xf(x)<0⇒{x<0f(x)>0或{x>0f(x)<0，则有x<−1或x>1，即不等式的解集为(−∞, −1)∪(1, +∞)，故选：B．6.【答案】C【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】C【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【考点】函数的求值抽象函数及其应用【解析】分别令m=0，n=0和m=1，n=0，结合题中条件即可得解. 【解答】解：由题意得，令m=0，n=0，则f(0−0)=f(0)g(0)−f(0)g(0)，即f(0)=0，令m=1，n=0，f(1−0)=f(1)g(0)−f(0)g(1)，即f(1)=f(1)g(0)，∴g(0)=1.故选C.9.【答案】A【考点】抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合不等式恒成立问题【解析】无【解答】解：因为定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0，所以f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(−2)=0，所以当x∈(−2,2)时，f(x)<0，当x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)时，f(x)>0，所以由xf(x−2)≤0，可得{x<0,x−2≤−2或x−2≥2,或{x>0,−2≤x−2≤2,或x=0，解得x≤4．故选A．10.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合抽象函数及其应用【解析】此题暂无解析【解答】所以f (−4)=−f (4)=0，即f (4)=0.因为函数f (x )在(−∞,0)上是减函数，所以函数f (x )在(0,+∞)上是减函数，作出函数f (x )的大致图象如图所示，所以对于f (x+2)−f (−x−2)x >0，等价于f(x+2)−f[−(x+2)]x >0，即2f (x+2)x >0，则{x <0,f (x +2)<0或{x >0,f (x +2)>0,即{x <0,−4<x +2<0或{x >0,0<x +2<4,解得−6<x <−2或0<x <2，综上，f (x+2)−f (−x−2)x >0的解集是(−6,−2)∪(0,2)．故选B ．11.【答案】D【考点】函数的周期性函数的求值抽象函数及其应用【解析】由函数y =f (x +2)关于直线x =−2对称，得到函数f (x )为偶函数，再由题设条件，得到f (x )的最小正周期为2，即可求解．【解答】解：由函数y =f (x +2)的图象关于直线x =−2对称，所以y =f (x )的图象关于直线x =0对称，即f (x )为偶函数.因为f (x −2)−f (x )=f (1)，所以f (−1+2)−f (−1)=f (1) ，f (1)=0，可得f (x +2)=f (x )，那么f (x )的最小正周期为2，所以f (100)=f (0)=8 ，f (99)=f (1)=0 ，则f (99)+f (100)=8.故选D .12.【答案】C【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质【解析】根据题意，由奇函数的性质可得f(−x)=−f(x)且f(0)=0，又由3f(x+2)为偶函数，则f(−x)=f(4+x)，分析可得f(x+4)=−f(x)，则有f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即函数是周期为8的周期函数，据此可得f(24)=0，f(25)=f(1)=1，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)且f(0)=0，又由f(x+2)为偶函数，则f(x+2)=f(−x+2)，即f(x+2)=−f(x−2)，则f(−x)=f(4+x)，分析可得：f(x+4)=−f(x)，则有f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即函数是周期为8的周期函数，f(24)=f(0)=0，f(25)=f(1)=1，则f(24)+f(25)=1．故选C．13.【答案】D【考点】抽象函数及其应用【解析】本题主要考查利用函数的奇偶性及周期性，求抽象函数的值，同时考查函数的图象的平移变换，属于中档题．【解答】解：因为y=f(x+2)的图象关于直线x=−2对称，所以y=f(x)的图象关于直线x=0对称，即f(x)为偶函数．因为f(x+2)−f(x)=f(1)，所以f(−1+2)−f(−1)=f(1).又f(−1)=f(1)，所以f(1)=0，可得f(x+2)=f(x)，所以f(x)的最小正周期为2，所以f(99)=f(1)=0，f(100)=f(0)=8，所以f(99)+f(100)=8．故选D．14.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质抽象函数及其应用函数的求值【解析】【解答】解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2−x)=f(2+x)，所以f(2−x)=−f(x−2)=f(2+x)．又因为当0≤x≤2时，f(x)=x2，所以f(1)=1，f(2)=4，f(3)=f(1)=1，f(4)=f(0)=0，f(5)=f(−1)=−f(1)=−1，f(6)=f(−2)=−f(2)=−4，f(7)=f(−3)=−f(3)=−1，f(8)=f(−4)=−f(4)=0，f(9)=f(−5)=−f(5)=1，f(10)=f(−6)=−f(6)=4.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+⋯+f(9)+f(10)=5．故选B．15.【答案】A【考点】抽象函数及其应用等差数列的性质函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：因为函数y=f(x)为定义域R上的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，f(x)的图象关于点(0,0)对称，所以y=f(x−5)的图象关于点(5,0)对称，由等差中项的性质和对称性可知：a1−5+a9−5=a5−5，2故f(a1−5)+f(a9−5)=0,由此f(a2−5)+f(a8−5)=f(a3−5)+f(a7−5)=f(a4−5)+f(a6−5)=2f(a5−5)=0，由题意，g(x)=f(x−5)+x，若g(a1)+g(a2)+⋯+g(a9)=45，则f(a1−5)+a1+f(a2−5)+a2+⋯+f(a9−5)+a9=45，即f(a1−5)+f(a2−5)+⋯+f(a9−5)+(a1+a2+⋯+a9)=45，则a1+a2+⋯+a9=45.故选A.16.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质与判断抽象函数及其应用函数的求值求函数的值【解析】根据题意，利用特殊值分析可得f(1)＝，解可得f(1)的值，结合函数的奇偶性可得＝，则有f(x+2)＝f(2−x)，变形可得f(x+4)＝f(x)，即可得函数的周期性，则有f(2021)＝f(1+2020)＝f(1)，即可得答案．【解答】根据题意，偶函数f(x)满足，则f(x)≥0，若x＝−1，则f(1)＝＝，解可得f(1)＝4或−3，又由f(x)≥0，则f(x)＝4，f(x)为偶函数，则＝，则有f(x+2)＝f(2−x)，变形可得f(x+ 4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，则f(2021)＝f(1+2020)＝f(1)＝4，故选：D．二、填空题（本题共计 13 小题，每题 3 分，共计39分）17.【答案】【考点】抽象函数及其应用【解析】根据题意，由函数的对称性分析可得f(x)为周期为4的函数，分析可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值，结合函数的周期性分析可得答案．【解答】又由f(1−x)＝f(1+x)即有f(x+2)＝f(−x)，则f(x+2)＝−f(x)，进而得到f(x+4)＝−f(x+2)＝f(x)，f(x)为周期为4的函数，若f(1)＝2，可得f(3)＝f(−1)＝−f(1)＝−2，f(2)＝f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+0−2+0＝0，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)＝505×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]＝0(1)故答案为：018.【答案】2.5【考点】抽象函数及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】3<x≤4【考点】抽象函数及其应用函数单调性的性质【解析】利用赋值法先求出f(4)=2，结合函数的单调性进行转化求解即可．【解答】解：∵f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=1+1=2，则不等式f(x)+f(x−3)≤2等价为f[x(x−3)]≤f(4).∵f(x)是定义在(0, +∞)上的单调递增函数，∴{x>0,x−3>0, x(x−3)≤4,即{x>0, x>3,x2−3x−4≤0,则{x>0, x>3,−1≤x≤4,解得3<x≤4，故答案为：3<x≤4.20.【答案】[0,2 3 )【考点】抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f(x)在区间[−1, 1]上为减函数，进而可得原不等式等价于{1−a2a−1−1≤1−a≤1−1≤2a−1≤1，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f(x)为奇函数且在[0, 1]上单调递减，则f(x)在区间[−1, 0]上也是减函数，故f(x)在区间[−1, 1]上为减函数，则f(1−a)+f(1−2a)<0⇒f(1−a)<−f(1−2a)⇒f(1−a)<f(2a−1)⇒{1−a>2a−1,−1≤1−a≤1,−1≤2a−1≤1,可得：0≤a<23，即a的取值范围为[0, 23).故答案为：[0,23).21.【答案】11【考点】抽象函数及其应用函数的求值求函数的值【解析】利用配方法，即可求得函数解析式，再代入自变量求解即可．I加加加加x−1x)=(x−1x)2+2，f(3)=32+2=1【解答】此题暂无解答22.【答案】【考点】抽象函数及其应用函数的周期性函数奇偶性的性质【解析】先求出函数的周期为4，再根据f(2021)=f(1)，求得结果．【解答】解：由f(x)是偶函数得，f(x)=f(−x)，又f(x+2)=−f(x)，可得f(x+4)=f(x)，故函数的周期为4，f(−1+2)=−f(−1)，即f(1)=−f(1)，所以f(1)=0，则f(2021)=f(1)=0．故答案为：0．23.【答案】1,−2【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质【解析】设f(x)＝x3−3x2的对称中心为点P(a, b)，则g(x)＝f(x+a)−b为奇函数，由函数奇偶性的性质可得f(−x+a)+f(x+a)＝2b，即[(−x+a)3−3(−x+a)2]+[(x+ a)3−3(x+a)2−b]＝2b，变形可得(6a−6)x2+2a3−6a2−2b＝0，则有{6a−6=02a3−6a2−2b=0，解可得a、b的值，即可得答案．【解答】解：设g(x)=f(x+a)−b=(x+a)3−3(x+a)2−b，则g(x)为奇函数，依题可知，g(−x)=f(−x+a)−b且g(−x)=−g(x)，则f(−x+a)−b=b−f(x+a)，即f(−x+a)+f(x+a)=2b，则有[(−x+a)3−3(−x+a)2]+[(x+a)3−3(x+a)2]=2b，即(6a−6)x2+2a3−6a2−2b=0，则有{6a−6=0,2a3−6a2−2b=0,解可得：a=1，b=−2.故答案为：1；−2.24.【答案】54【考点】抽象函数及其应用函数的求值函数的周期性【解析】本题考查函数的性质，考查运算求解能力．【解答】解：∵ f(x+2)=3f(x)，∴ f(7)=3f(5)=32f(3)=33f(1)=54．故答案为：54．25.【答案】9【考点】基本不等式在最值问题中的应用抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合【解析】首先判定函数是奇函数，由所给的等式可得f(x)=f(1−2b)，再由f(x)单调递增可得a=1−2b，从而得到a+2b=1，再利用基本不等式得出结论．【解答】解：不妨令x1=0，x2=0，则有f(0+0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0，当x1=x，x2=−x时，有f(0)=f(x)+f(−x)=0，则函数f(x)是奇函数.∵单调奇函数满足对任意实数a，b满足f(a)+f(2b−1)=0，∴f(a)=f(1−2b)，∴a+2b=1，∴1a +2b=(1a+2b)(a+2b)=5+2ba+2ab≥5+2√2ba ⋅2ab=9，当且仅当2ba =2ab，a+2b=1，即a=b=13时，等号成立.∴1a +2b的最小值为9.故答案为：9.26.【答案】[−2, 0]∪[2, 4]∪{1}【考点】奇偶性与单调性的综合抽象函数及其应用【解析】根据函数的奇偶性和单调性大小将不等式进行转化求解即可．【解答】因为函数f(x)为奇函数，f(−3)＝−2，f(−1)＝2，f(0)＝0所以f(3)＝2，f(1)＝−2，f(x)在(−∞, 0)、(0, +∞)上单调递增，则−2≤f(1−x)≤2⇔1≤1−x≤3或1−x＝0或−3≤1−x≤−1，所以−2≤x≤0或x＝1或2≤x≤4．故答案为：[−2, 0]∪[2, 4]∪{1}．27.【答案】(−∞，）【考点】抽象函数及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答28.【答案】√2−1【考点】函数的周期性抽象函数及其应用函数奇偶性的性质【解析】由①②可知，f(x)是周期为2的奇函数，再利用③，将所求关系式中的f(32)、f(2)、f(52)转化为能求值的即可．【解答】解：∵ f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，∴ f(x)为奇函数.又f(x)=f(x +2)，∴ f(x)是周期为2的函数，∴ f(−1)=f(−1+2)=f(1).又f(−1)=−f(1)，∴ f(1)=0.又当0≤x <1时，f(x)=2x −1，f(32)=f(32−2)=f(−12)=−f(12)；同理可得，f(2)=f(0)=20−1=0；f(52)=f(12)，∴ f(12)+f(1)+f(32)+f(2)+f(52) =f(12)+0−f(12)+0+f(12) =f(12)=√2−1.故答案为：√2−1．29.【答案】−2014【考点】抽象函数及其应用对数的运算性质函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 函数f(x)满足对任意实数m,n ，都有f(m +n)=f(m)+f(n)−2，令m =n =0，则f(0)=2f(0)−2，解得：f(0)=2，令m =x ，n =−x ，则f(0)=f(x)+f(−x)−2，即f(x)+f(−x)=4，∵ g(x)=f(x)+a x a x +1(a >0，a ≠1)，∴g(−x)=f(−x)+a−xa−x+1=f(−x)+1a x+1，故g(x)+g(−x)=f(x)+f(−x)+1=5，∴g(ln2020)+g(ln12020)=2019+g(ln12020)=5，即g(ln12020)=−2014.故答案为：−2014.三、解答题（本题共计 11 小题，每题 10 分，共计110分）30.【答案】（1）f(x)=12x2−32x+2（2）f(x)=x−35【考点】函数解析式的求解及常用方法二次函数的性质抽象函数及其应用【解析】（1）设二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，将f(0)=2与f(x+1)−f(x)=x−1代入化简，可求得a,b,c的值．（2）将一代入原方程得到一个新的方程，和原方程组成方程组，解方程组来求得f(x)的值．【解答】（1）设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)由f(0)=2，得kc=2．由f(x+1)−f(x)=x−1得恒等式:2ex+a+b=x−1，得b=12b=−32故所求函数的解析式为f(x)=12x2−32x+2（2）由3f(x)+2tf−x)=x+3，①x用−x代换得3f(−x)+2f(x)=−x+3，②解①⑦得f(x)=x+3531.【答案】(1)证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，则f(0)=2f(0)，∴f(0)=0．(2)解：由f(x+y)=f(x)+f(y)，令y=−x，则f(0)=f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)f(x)在R上是增函数．证明：在R上任取x1，x2，并且x1>x2，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)，∵x1>x2，即x1−x2>0，且当x>0时，f(x)>0，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在R上是增函数．【考点】抽象函数及其应用函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，则f(0)=2f(0)，∴f(0)=0．(2)解：由f(x+y)=f(x)+f(y)，令y=−x，则f(0)=f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)f(x)在R上是增函数．证明：在R上任取x1，x2，并且x1>x2，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)，∵x1>x2，即x1−x2>0，且当x>0时，f(x)>0，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在R上是增函数．32.【答案】∵对任意的x，y∈R，都有f(x)+f(y)＝f(x+y)，∴令x＝y＝0，得到：f(0)+f(0)＝f(0)，f(0)＝0，再令y−x得到：f(x)+f(−x)＝f(0)，f(−x)＝−f(x)．∴定义在R上的函数f(x)是奇函数；在R上任取两个自变量的值x1，x2，且x1>x2，f(x2)−f(x1)＝f[x1+(x2−x1)]−f(x1)＝f(x1)+f(x2−x1)−f(x1)＝f(x2−x1)．∵x1>x2，∴x2−x1<0，∵当x<0时，有f(x)<0，∴f(x2)−f(x1)<0，∴f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)在R上单调递增；由（1）（2）知：奇函数f(x)在R上单调递增，∴关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0可以转化为：f(k⋅3x)>−f(3x−9x−2)，∴f(k⋅3x)>−f(3x−9x−2)，∴f(k⋅3x)>f(−3x+9x+2)，∴k⋅3x>−3x+9x+2，∴k>3x+23x−1．∵3x+23x −1≥2√3x×23x−1=2√2−1，当且仅当3x=23x ，x=12log32时取等号．∴关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0在R上有解时，k>2√2−1．∴实数k的取值范围是：(2√2−1, +∞)．【考点】奇偶性与单调性的综合抽象函数及其应用【解析】本题（1）利用奇偶性的定义，结合条件f(x)+f(y)＝f(x+y)，用赋值法，得到f(−x)与−f(x)的关系，判断出f(x)的奇偶性；（2）利用函数单调必的定义，证明出f(x)的单调性；（3）利用函数的奇偶性和单调性，将关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0转化为3x的不等式，通过变量分离，求出最值，得到k的取值范围，得到本题结论．【解答】∵对任意的x，y∈R，都有f(x)+f(y)＝f(x+y)，∴令x＝y＝0，得到：f(0)+f(0)＝f(0)，f(0)＝0，再令y−x得到：f(x)+f(−x)＝f(0)，f(−x)＝−f(x)．∴定义在R上的函数f(x)是奇函数；在R上任取两个自变量的值x1，x2，且x1>x2，f(x2)−f(x1)＝f[x1+(x2−x1)]−f(x1)＝f(x1)+f(x2−x1)−f(x1)＝f(x2−x1)．∵x1>x2，∴x2−x1<0，∵当x<0时，有f(x)<0，∴f(x2)−f(x1)<0，∴f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)在R上单调递增；由（1）（2）知：奇函数f(x)在R上单调递增，∴关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0可以转化为：f(k⋅3x)>−f(3x−9x−2)，∴f(k⋅3x)>−f(3x−9x−2)，∴f(k⋅3x)>f(−3x+9x+2)，∴k⋅3x>−3x+9x+2，∴k>3x+23x−1．∵3x+23x −1≥2√3x×23x−1=2√2−1，当且仅当3x=23x ，x=12log32时取等号．∴关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0在R上有解时，k>2√2−1．∴实数k的取值范围是：(2√2−1, +∞)．33.【答案】令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)+f(1)，解得f(1)＝0．f(x)在(0, +∞)上的是增函数，设x1，x2∈(0, +∞)，且x1>x2，则x1x2>1，∴f(x1x2)>0，∴f(x1)−f(x2)=f(x2⋅x1x2)−f(x2)=f(x1x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0, +∞)上的是增函数．【考点】抽象函数及其应用【解析】（1）利用赋值法，令x＝y＝1，进行求解即可．（2）利用抽象函数关系，结合函数单调性的定义进行证明即可．【解答】令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)+f(1)，解得f(1)＝0．f(x)在(0, +∞)上的是增函数，设x1，x2∈(0, +∞)，且x1>x2，则x1x2>1，∴f(x1x2)>0，∴f(x1)−f(x2)=f(x2⋅x1x2)−f(x2)=f(x1x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0, +∞)上的是增函数．34.【答案】证明：根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(−x)＝−f(x)，又由f(x)满足f(1+x)＝f(1−x)，则f(−x)＝f(2+x)，则有f(x+2)＝−f(x)，变形可得：f(x+4)＝f(x)，即可得证明；由（1）的结论，f(x+4)＝f(x)，又由f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，则f(2)＝−f(0)＝0，f(3)＝−f(1)＝−2，f(4)＝f(0)＝0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+0+(−2)+0＝0，则有f(1)+f(2)+f(3)+...+f(50)＝[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×12+f(49)+f(50)＝f(1)+f(2)＝2．【考点】抽象函数及其应用【解析】（1）根据题意，由函数的奇偶性以及f(1+x)＝f(1−x)分析可得f(x+2)＝−f(x)，进而变形可得答案；（2）由（1）的结论分析可得f(2)、f(3)、f(4)的值，结合函数的周期性分析可得答案．【解答】证明：根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(−x)＝−f(x)，又由f(x)满足f(1+x)＝f(1−x)，则f(−x)＝f(2+x)，则有f(x+2)＝−f(x)，变形可得：f(x+4)＝f(x)，即可得证明；由（1）的结论，f(x+4)＝f(x)，又由f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，则f(2)＝−f(0)＝0，f(3)＝−f(1)＝−2，f(4)＝f(0)＝0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+0+(−2)+0＝0，则有f(1)+f(2)+f(3)+...+f(50)＝[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×12+f(49)+f(50)＝f(1)+f(2)＝2．35.【答案】解：(1)令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0.(2)令x=y=2，则f(4)=f(2)+f(2)，又f(2)=1，所以f(4)=2，f(x+3)<2，即f(x+3)<f(4)，又函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数，所以{x+3>0，x+3<4，解得−3<x<1，所以不等式f(x+3)<2的解集为(−3,1).【考点】抽象函数及其应用其他不等式的解法函数单调性的性质【解析】(1)直接取x=y=1，即可解出.(2)利用函数单调性的性质，构造不等式组，解出即可. 【解答】解：(1)令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0.(2)令x=y=2，则f(4)=f(2)+f(2)，又f(2)=1，所以f(4)=2，f(x+3)<2，即f(x+3)<f(4)，又函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数，所以{x+3>0，x+3<4，解得−3<x<1，所以不等式f(x+3)<2的解集为(−3,1).36.【答案】解：(1)由f(0)=2，得c=2，又f(x+1)−f(x)=2x−1，得2ax+a+b=2x−1，故{2a=2，a+b=−1，解得：a=1，b=−2，所以f(x)=x2−2x+2．(2)f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，图象对称轴为x=1，且开口向上，所以，f(x)单调递增区间为(1, +∞)，单调递减区间为(−∞, 1)．(3)f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，对称轴为x=1∈[−1, 2]，故f min(x)=f(1)=1，又f(−1)=5，f(2)=2，所以f max(x)=f(−1)=5．【考点】抽象函数及其应用函数的最值及其几何意义函数单调性的判断与证明函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）利用已知条件列出方程组，即可求函数f(x)的解析式；（2）利用二次函数的对称轴，看看方向即可求函数f(x)的单调区间；（3）利用函数的对称轴与x∈[−1, 2]，直接求解函数的最大值和最小值．【解答】解：(1)由f(0)=2，得c=2，又f(x+1)−f(x)=2x−1，得2ax+a+b=2x−1，故{2a=2，a+b=−1，解得：a=1，b=−2，所以f(x)=x2−2x+2．(2)f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，图象对称轴为x=1，且开口向上，所以，f(x)单调递增区间为(1, +∞)，单调递减区间为(−∞, 1)．(3)f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，对称轴为x=1∈[−1, 2]，故f min(x)=f(1)=1，又f(−1)=5，f(2)=2，所以f max(x)=f(−1)=5．37.【答案】(1)证明：由题意可得f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=3f(2)=3；(2)解：原不等式可化为f(x)>f(x−2)+3=f(x−2)+f(8)=f(8x−16)∵f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数∴{8x−16>0，x>8x−16，解得：2<x<167.【考点】抽象函数及其应用其他不等式的解法函数单调性的性质【解析】（1）由已知利用赋值法及已知f(2)=1可求证明f(8)（2）原不等式可化为f(x)>f(8x−16)，结合f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数可求【解答】(1)证明：由题意可得f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=3f(2)=3；(2)解：原不等式可化为f(x)>f(x−2)+3=f(x−2)+f(8)=f(8x−16)∵f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数∴{8x−16>0，x>8x−16，解得：2<x<167.38.【答案】(1)证明：设x>y，则x−y>0. 因为当x>0时，f(x)>0，所以f(x−y)>0.因为f(x+y)=f(x)+f(y)，所以f(x)=f(x−y+y)=f(x−y)+f(y)．因为f(x−y)>0，所以f(x)>f(y)，故f(x)是R上的增函数．(2)解：f(ax2)−f(ax)<f(x2−3x)+3等价于f(ax2)+f(−2)<f(x2−3x)+f(ax)，即f(ax2−2)<f(x2−3x+ax).因为f(x)是R上的增函数，所以ax2−2<x2−3x+ax，即(a−1)x2−(a−3)x−2<0.当a=1时，原不等式转化为2x−2<0，解得x<1.当a>1时，不等式(a−1)x2−(a−3)x−2<0可转化为[(a−1)x+2](x−1)<0，解得−2a−1<x<1．当a<1时，不等式(a−1)x2−(a−3)x−2<0可转化为[(a−1)x+2](x−1)<0，①当−2a−1>1，即−1<a<1时，原不等式的解集是{x|x<1或x>−2a−1}；②当−2a−1=1，即a=−1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；③当−2a−1<1，即a<−1时，原不等式的解集是{x|x<−2a−1或x>1}．综上，当a<−1时，原不等式的解集是{x|x<−2a−1或x>1}；当a=−1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；当−1<a<1时，原不等式的解集是{x|x<1或x>−2a−1；当a=1时，原不等式的解集是{x|x<1}；当a>1时，原不等式的解集是{x|−2a−1<x<1}．【考点】函数单调性的判断与证明抽象函数及其应用函数单调性的性质函数的单调性及单调区间【解析】【解答】(1)证明：设x>y，则x−y>0.因为当x>0时，f(x)>0，所以f(x−y)>0.因为f(x+y)=f(x)+f(y)，所以f(x)=f(x−y+y)=f(x−y)+f(y)．因为f(x−y)>0，所以f(x)>f(y)，故f(x)是R上的增函数．(2)解：f(ax2)−f(ax)<f(x2−3x)+3等价于f(ax2)+f(−2)<f(x2−3x)+f(ax)，即f(ax2−2)<f(x2−3x+ax).因为f(x)是R上的增函数，所以ax2−2<x2−3x+ax，即(a−1)x2−(a−3)x−2<0.当a=1时，原不等式转化为2x−2<0，解得x<1.当a>1时，不等式(a−1)x2−(a−3)x−2<0可转化为[(a−1)x+2](x−1)<0，解得−2a−1<x<1．当a<1时，不等式(a−1)x2−(a−3)x−2<0可转化为[(a−1)x+2](x−1)<0，①当−2a−1>1，即−1<a<1时，原不等式的解集是{x|x<1或x>−2a−1}；②当−2a−1=1，即a=−1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；③当−2a−1<1，即a<−1时，原不等式的解集是{x|x<−2a−1或x>1}．综上，当a<−1时，原不等式的解集是{x|x<−2a−1或x>1}；当a=−1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；当−1<a<1时，原不等式的解集是{x|x<1或x>−2a−1；当a=1时，原不等式的解集是{x|x<1}；当a>1时，原不等式的解集是{x|−2a−1<x<1}．39.【答案】(1)解：∵f(x)对(0,+∞)内的任意x1,x2都有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，令x1=x2=1，∴有f(1×1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0．(2)证明：设x2>x1>0，则f(x2)−f(x1)=f(x1⋅x2x1)−f(x1)=f(x1)+f(x2x1)−f(x1)=f(x2x1)．∵x2>x1>0，∴x2x1>1，∴f(x2x1)>0，即f(x2)−f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在定义域上单调递增．(3)解：∵f(2)=1，f(4)=f(2)+f(2)=2，又∵函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，f(2x2−1)<2，∴2x2−1<4，解得−√102<x<√102；且2x2−1>0，解得x<−√22或x>√22，∴√22<x<√102或−√102<x<−√22．即不等式的解集为{x|−√102<x<−√22或√22<x<√102}．【考点】抽象函数及其应用函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：∵f(x)对(0,+∞)内的任意x1,x2都有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，令x1=x2=1，∴有f(1×1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0．(2)证明：设x2>x1>0，则f(x2)−f(x1)=f(x1⋅x2x1)−f(x1)=f(x1)+f(x2x1)−f(x1)=f(x2x1)．∵x2>x1>0，∴x2x1>1，∴f(x2x1)>0，即f(x2)−f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在定义域上单调递增．(3)解：∵f(2)=1，f(4)=f(2)+f(2)=2，又∵函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，f(2x2−1)<2，∴2x2−1<4，解得−√102<x<√102；且2x2−1>0，解得x<−√22或x>√22，∴√22<x<√102或−√102<x<−√22．即不等式的解集为{x|−√102<x<−√22或√22<x<√102}．40.【答案】令x1=x2=1，代入f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，可得f(1)=0，令x1=x2=−1，则有f[(−1)×(−1)]=f(−1)+f(−1)=f(1)=0，解得f(−1)=0．函数f(x)在(0, +∞)上是减函数．证明：令x1=x，x2=−1，则有f(−x)=f(x)+f(−1)=f(x)，即f(−x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数．设g(x)=f(x)−x2，则偶函数g(x)在(0, +∞)上是减函数，所以f(2m−1)>f(m)+3m2−4m+1⇔f(2m−1)−(4m2−4m+1)>f(m)−m2⇔g(2m−1)>g(m)⇔g(|2m−1|)>g(|m|)⇔0≠|2m−1|<|m|⇔0≠(2m−1)2<m2⇔13<m<1且m≠12，所以m的取值范围是(13, 12)∪(12, 1)．【考点】函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断抽象函数及其应用【解析】（1）令x1=x2=1，代入f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)可得f(1)=0，再令x1=x2=−1，代入题中的条件可得f(−1)=0；（2）令x1=x，x2=−1，并且结合（1）中的结论可得答案；（3）设g(x)=f(x)−x2，判断g(x)的奇偶性和单调性，由题意得到关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围．【解答】令x1=x2=1，代入f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，可得f(1)=0，令x1=x2=−1，则有f[(−1)×(−1)]=f(−1)+f(−1)=f(1)=0，解得f(−1)=0．函数f(x)在(0, +∞)上是减函数．证明：令x1=x，x2=−1，则有f(−x)=f(x)+f(−1)=f(x)，即f(−x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数．设g(x)=f(x)−x2，则偶函数g(x)在(0, +∞)上是减函数，所以f(2m−1)>f(m)+3m2−4m+1⇔f(2m−1)−(4m2−4m+1)>f(m)−m2⇔g(2m−1)>g(m)⇔g(|2m−1|)>g(|m|)⇔0≠|2m−1|<|m|⇔0≠(2m−1)2<m2⇔13<m<1且m≠12，所以m的取值范围是(13, 12)∪(12, 1)．。

抽象函数及应用13种常考题型总结(原卷版)

抽象函数及应用13种常考题型总结题型1抽象函数的定义域问题题型2抽象函数的值域问题题型3求抽象函数的值题型4求抽象函数的解析式题型5抽象函数的奇偶性问题题型6抽象函数的单调性问题题型7抽象函数周期性问题题型8抽象函数的对称性问题题型9解抽象不等式题型10抽象函数比较大小题型11抽象函数的最值问题题型12抽象函数的零点问题题型13双函数混合型1.抽象函数概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2.抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用()f x 表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。

在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。

抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.3.“赋值法”求抽象函数的值赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1,-1等),从而使问题获得简捷有效的解决。

注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等.（2）第二层次赋值：若题中有条件0f x =t （），则再令字母取0x .（3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）.4.“赋值法”求抽象函数的解析式赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。

5.“赋值法”探究抽象函数的奇偶性判断抽象函数的奇偶性的关键是得到()f x 与()f x -的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留()f x 与()f x -的关系。

高中高考数学专题：抽象函数经典题型大全(含答案和解析)

抽象函数一、求表达式方法 (2)1.换元法 (2)2.拼凑法 (2)3.待定系数法 (2)4.利用函数性质法 (3)5.方程组法 (3)5.赋值法 (3)二、抽象函数常见考点解法综述 (5)1.定义域问题 (5)2.求值问题 (5)3.值域问题 (5)4.奇偶性问题 (6)5单调性问题 (6)6.对称性问题 (7)7.求参数的取值范围 (7)8.解不定式 (7)9.周期问题 (7)三、抽象函数五类题型及解法 (9)1.线性函数型抽象函数 (9)2.指数函数型抽象函数 (10)3.对数函数型抽象函数 (11)4.幂函数型抽象函数 (12)5.三角函数型抽象函数 (13)四、巩固练习 (15)抽象函数问题综述-----含有函数记号“()f x ”有关问题解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式方法1.换元法例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1ux u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 例2：已知＋1)＝x ＋2，则f(x)＝____________.解：设t＋1＝t －1，x ＝(t －1)2，t≥1，代入原式有f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，故f(x)＝x 2－1(x≥1)．2.拼凑法在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例1：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()((3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 例2：已知＋1)＝x ＋2，则f(x)＝____________. 解：＋1)＝x ＋2＝＋1)2－1，故f(x)＝x 2－1(x≥1)．3.待定系数法先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

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抽象函数常见题型汇编及答案抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。

例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。

解析：由，得，所以，故填(三)已知的定义域，求的定义域。

解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。

例题4：函数的定义域是，求的定义域。

解析：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。

解析：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是［1，4］【巩固2】已知函数的定义域是，求函数的定义域。

例题5：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解析：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=-2. 凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例题6：已知3311()f x x xx +=+，求()f x 解析：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥，∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例题7：已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解析：设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++4. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例题8：已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解析：∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩例题9： ()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-，求()f x ,()g x . 解析：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,不妨用-x 代换()f x +()g x =11x - ………①中的x , ∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1xg x x =-5. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式例题10：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x解析：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N =+∈【巩固4】设函数f x ()存在反函数，g x fx h x ()()()=-1，与g x ()的图象关于直线x y +=0对称，则函数h x ()=A. -f x ()B. --f x ()C. --fx 1() D. ---fx 1()解析：要求y h x =()的解析式，实质上就是求y h x =()图象上任一点P x y ()00，的横、纵坐标之间的关系。

点P x y ()00，关于直线y x =-的对称点()--y x 00，适合y f x =-1()，即-=-x g y 00()。

又g x fx ()()=-1，∴-=-⇒-=-⇒=---x fy y f x y f x 0100000()()()，即h x f x ()()=--，选B 。

【巩固5】设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。

解析：在中以代换其中x，得：再在(1)中以代换x，得化简得：评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。

通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

三、求值问题这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。

其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。

或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

例题11：已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f(3)，f(9)的值。

解析：取，得因为，所以又取，得例题12：定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。

解析：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=，又由f x f x ()[()]+=--44()()(8)(4)()f x f x f x f x f x =-=-∴+=-+=，f x ()是周期为8的周期函数， ∴==f f ()()200000【巩固6】已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______。

解析：在条件f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得f f f f ()()()()844244=+==，∴=f ()42又令x y ==2，得f f f (4)(2)(2)=+=2，∴=f (2)1【巩固7】已知f x ()是定义在R 上的函数，且满足：f x f x f x ()[()]()+-=+211，f ()11997=，求f (2001)的值。

解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f x ()是周期函数，显然f x ()≠1，于是f x f x f x ()()()+=+-211，f x f x f x f x f x f x f x f x ()()()()()()()()+=++-+=++--+-=-412121111111 所以f x f x f x ()()()+=-+=814，故f x ()是以8为周期的周期函数，从而f f f (2001)()()=⨯+==8250111997 四、值域问题例题13：设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，总成立，且存在，使得，求函数的值域。

解析：令，得，即有或。

若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。

由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。

【巩固8】已知函数f x ()对任意实数x y ，有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。

解析：设x x 12<，且x x R 12，∈，则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0 ，∴->f x x ()210又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111，∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-又令x y ==0 ，得f ()00= ，∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，五、求参数范围或解不等式这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。