随机变量相互独立的定义

1 , 8 < x <12 f X (x) = 4 0, 其它
由独立性
1 , 7< x <9 fY ( y) = 2 0, 其它
概率论
1 , 8 < x <12,7 < y < 9 f (x, y) = f X (x) fY ( y) = 8 0, 其它
概率论
解 (1) ( X,Y ) 的联合分布律及边缘分布律 如下表所示 : Y X
0
1
2
pi⋅
2
0
m
2
( m + n)
mn ( m + n) n
2
m m+ n n m+ n
1
p⋅ j
mn ( m + n)
2
( m + n)
2
m m+ n
n m+ n
(2) 由上表可知 pij = pi⋅ ⋅ p⋅ j ( i, j = 0,1) 的相互独立. 故 X,Y 的相互独立
先到的人等待另一人到达的时间不 超过5分钟的概率 超过 分钟的概率 所求为P( 所求为 |X-Y | ≤1/12) , 1/12, 记G=|X-Y | ≤
y
所以 P( | X-Y| ≤1/12 )60 − Nhomakorabea40
− −
概率论
= ∫∫ f (x, y)dxdy
G
x − y = −5 x−y =5
1 = ×(G 的面积） 8
不是相互独立. 故 X,Y 不是相互独立
概率论
三、多维随机变量的一些概念
上面说过， 维随机变量 上面说过，n维随机变量 ( X1, X2 ,L, Xn )的分布函数定义为
F ( x1 , x2 ,L, xn ) = P{ X1 ≤ x1 , X 2 ≤ x2 ,L X n ≤ xn }
为任意实数. 其中 x1, x2 ,L, xn为任意实数 如存在非负函数 f ( x1, x2 ,Lxn ),使对于任意实数 使对于任意实数 x1, x2 ,L, xn有 F ( x1, x2 ,Lxn )
概率论
又若f( x1, x2 ,Lxn ) 是( X1, X2 ,LXn )的概率密度，则 fX1 ( x1 ) = ∫
∞ ∞ ∞
关于 ( X1, X2,LXn ) 关于X1、 ( X1, X2 )的边缘概率密度为
∫−∞L∫−∞ f ( x1, x2,Lxn ) dx2dx3Ldxn, −∞ ∫−∞L∫−∞ f ( x1, x2,Lxn ) dx3dx4Ldxn. −∞
分别是X的边缘密度和 分别是 的边缘密度和Y 的边缘密度 . 的边缘密度和 这里“几乎处处成立”的含义是： 这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除 的集合外，处处成立. 去面积为 0 的集合外，处处成立
概率论
是离散型随机变量， 若 (X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性的 是离散型随机变量 定义等价于： 定义等价于： 的所有可能取值(x 有 对(X,Y)的所有可能取值 i , yj),有 的所有可能取值
概率论
是连续型随机变量， 若 (X,Y)是连续型随机变量，则上述独立性 是连续型随机变量 的定义等价于： 的定义等价于： 对任意的 x, y, 有
f (x, y) = f X ( x) fY ( y)
几乎处处成立，则称 X 和 Y 相互独立 . 相互独立 几乎处处成立， 其中 的联合密度， 和 的联合密度 f f (x, y)是X和Y的联合密度，X ( x), fY ( y)
概率论
(3) ( X,Y ) 的联合分布律及边缘分布律如下 表所示 :
Y
X
0
1
pi⋅
m( m−1) − 0 ( m + n) ( m + n −1)
mn m ( m + n) ( m + n −1) m + n
n( n − 1) n ( m + n) ( m + n −1) m + n n m+ n
1 2ps 1s 2
从而
1 = , 1- r 2 2ps 1s 2
综上所述,可得以下结论 综上所述 可得以下结论: r = 0.综上所述 可得以下结论
对于二维随机变量(X, 对于二维随机变量 Y), X和Y相互独立的充要条件 和 相互独立的充要条件 是参数 ρ = 0 .
概率论
例3 一负责人到达办公室的时间均匀分布在 8~12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时, 时 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在 时 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办公室 设他们两人到达的时间相互独立 的时间相差不超过5分钟 分钟(1/12小时 的概率 小时)的概率 的时间相差不超过 分钟 小时 的概率. 为负责人到达时间,Y为他的秘书 解 设X为负责人到达时间 为他的秘书 为负责人到达时间 到达时间 由假设X, 的概率密度分别为 由假设 Y的概率密度分别为
概率论
解 P{X=0,Y=1}=1/6=P{X=0} P{Y=1} P{X=0,Y=2}=1/6=P{X=0} P{Y=2} P{X=1,Y=1}=2/6=P{X=1} P{Y=1} P{X=1,Y=2}=2/6=P{X=1} P{Y=2} 因而Ｘ，Ｙ是相互独立的． 因而Ｘ，Ｙ是相互独立的． Ｘ，Ｙ是相互独立的 再如第二节的例２中随机变量Ｆ Ｄ，由于 再如第二节的例２中随机变量Ｆ和Ｄ，由于 Ｐ{D=1,F=0}=1/10 ≠Ｐ{D=1}P{F=0}, 因而F和 不是相互独立的 因而 和D不是相互独立的
10 −
0
15
45
x
= 1 6.
(此图以分钟为单位 此图以分钟为单位) 此图以分钟为单位
被积函数为常数， 被积函数为常数， 直接求面积
概率论
类似的问题如： 类似的问题如： 甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独 乙两船同日欲靠同一码头， 立地到达， 立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 . 若甲船需停泊1小时 乙船需停泊2小时 小时， 小时， 若甲船需停泊 小时，乙船需停泊 小时，而该码头 只能停泊一艘船， 只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出 的概率. 的概率
概率论
用分布函数表示,即 用分布函数表示 即 设 X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有 是两个随机变量，若对任意的 有 是两个随机变量
F(x, y) = FX ( x)F ( y) Y
相互独立 则称 X 和 Y 相互独立 . 它表明，两个随机变量相互独立时， 它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合 相互独立时 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
概率论
我们有以下的定理，它在数理统计中是很有用的. )和 Y 定理 设(X1, X2 ,LXn)和( Y1,Y2 ,L n )是相互独立的， 则 Xi (i = 1,2,L, m)和Yj ( j = 1,2,L, n)相互独立.又若h,g 是连续函数，则 )和 Y h(X1, X2 ,LXn)和g( Y1,Y2 ,L n )是相互独立. (证明略）
概率论
第四节 相互独立的随机变量
随机变量相互独立的定义 课堂练习 小结 布置作业
概率论
一、随机变量相互独立的定义
是两个随机变量， 设 X,Y是两个随机变量，若对任意的 有 是两个随机变量 若对任意的x,y,有
P(X≤ x,Y ≤ y) = P( X ≤ x)P(Y ≤ y)
则称 X 和 Y 相互独立 . 相互独立 独立的定义是： 两事件 A , B 独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件 A , B 独立 .
mn 1 m + n m + n −1 ( )( )
p⋅ j
m m+ n
概率论
由上表知 :
m( m − 1) , P( X = 0,Y = 0) = ( m + n) ( m + n −1)
m m P( X = 0) = , P(Y = 0) = . m+ n m+ n
可见
P( X = 0,Y = 0) ≠ P( X = 0) ⋅ P(Y = 0) .
∞ ∞ ∞
fX1 , X2 ( x1, x2 ) = ∫
若对于所有的x1, x2 ,Lxn有
F( x1, x2 ,Lxn ) = fX1 ( x1 ) fX2 ( x2 )L fXn ( xn ),
则称X1, X2 ,LXn是相互独立的 .
概率论
若对于所有的x1, x2 ,Lxn;y1, y2 ,Lyn有 = F ( x1, x2 ,Lxn )F2( y1, y2 ,Lyn ) , 1 其中F , F2 , F依次为随机变量( X1, X2 ,LXn ), 1 ( Y1,Y2 ,L n ),( X1, X2 ,LXn ,Y1,Y2 ,L n ) 的分布 Y Y 函数,则称(X1, X2 ,LXn )和( Y1,Y2 ,L n )是相互独立的 . Y F ( x1, x2 ,Lxn, y1, y2 ,Lyn )
因此,如果 因此 如果r
ü ï ï þ
= 0, 则对于所有 ,y 有 则对于所有x
f (x, y) = f X (x) fY ( y)
概率论
反之,如果 相互独立,由于 即X , Y 相互 独立 .反之 如果 , Y 相互独立 由于 反之 如果X 都是连续函数,故对于所有的 故对于所有的x, f (x, y), f X (x), fY ( y) 都是连续函数 故对于所有的 y 特别, 有 f (x, y) = f X (x) fY ( y) . 特别 令 x = m, y = m 自这一等 1 2 式得到
概率论
例2 二维正态随机变量 (X,Y)的概率密度为 的概率密度为
ì - 1 é x m )2 ? ( 1 1 ï ê expí f ( x, y) = 2 ê 2 2 ï 2ps 1s 2 1- r ï 2(1- r ) ë s 1 î 2ù ü ï (x - m )( y - m ) ( y - m ) ú 2 1 2 2 ï - 2r + ý 2 ï s 1s 2 s2 ú ï û þ
( X1, X2,LXn )的 k(1 ≤ k < n)维边缘分布函数就随之确定. 例如( X1, X2 ,LXn ) 关于X1、关于( X1, X2 )的边缘分布函
数分别为 FX1 ( x1) = F ( x1,∞,L∞) , FX1,X2 ( x1, x2 ) = F ( x1, x2,∞,L∞) .
概率论
在某一分钟的任何时刻， 在某一分钟的任何时刻 ， 信号进入收音机是等 可能的. 可能的 若收到两个互相独立的这种信号的时间间 隔小于0.5秒 则信号将产生互相干扰. 隔小于 秒 ， 则信号将产生互相干扰 求发生两信 号互相干扰的概率. 号互相干扰的概率
概率论
个黑球,有放回地摸球 例4 盒内有 n个白球 , m个黑球 有放回地摸球 两次. 两次 设 次摸到白球 1, 第1次摸到白球 X = 次摸到黑球 0, 第1次摸到黑球 次摸到白球 1, 第2次摸到白球 Y = 次摸到黑球 0, 第2次摸到黑球 的联合分布律及边缘分布律; 试求 (1) ( X,Y ) 的联合分布律及边缘分布律 (2) 判断 X,Y 的相互独立性 的相互独立性; (3) 若改为无放回摸球 解上述两个问题 若改为无放回摸球,解上述两个问题 解上述两个问题.
概率论
四、课堂练习
1. 设随机变量 (X,Y) 的概率密度是
1, y < x,0 < x < 1, f ( x, y) = 0, 其它.
P( X =xi ,Y = y j ) = P( X =xi )P(Y = y j )
相互独立 独立. 则称 X 和Y 相互独立
二、 例1 若Ｘ，Ｙ具有联合分布律 Ｙ Ｘ １ ２ ０ １／６ １／６ １
概率论
Ｐ｛ｙ＝ｊ｝
２／６ １／２ ２／６ １／２ ２／３ １
Ｐ｛ｘ＝ｉ｝ １／３
是否独立？ 问X和Y是否独立？ 和 是否独立
是否独立？ 问X和Y是否独立？ 和 是否独立
概率论
由第二节中例5知道 知道,其边缘概率密度 解 由第二节中例 知道 其边缘概率密度 f X (x), fY ( y) 的乘积为
ì 1 轾 - m)2 ( y - m )2 1 (x ï 镲 犏 1 + 2 f X (x) fY ( y) = exp睚 2 2 镲 2 犏 s1 2ps 1s 2 s2 ï î 臌
=∫
−∞ ∫−∞
xn
xn−1
L∫
x1
−∞
f ( x1, x2 ,Lxn ) dx1dx2 Ldxn ,
的概率密度函数. 则 f ( x1, x2 ,Lxn ) 称为( X1, X2 ,L, Xn )的概率密度函数
概率论
设( X1, X2 ,LXn )的分布函数F( x1, x2,Lxn ) 为已知，则