数理统计学讲义 答案

Γ(α )Inα − Γ '(α ) =0， α →∞ Γ(α )
又
Γ '( x) 1 1 1 1 1 = In( x) − − + − + O( 8 ) 2 4 6 Γ( x) 2 x 12 x 120 x 252 x x
该式来自 http://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function ）
数理统计学讲义（陈家鼎等著） 部分习题答案
说明：介于目前这本书没有官方的答案，本着交流学习的目标，本人特制作了此份答案。由于水平有 限，错误在所难免，欢迎大家批评指正，也欢迎大家积极参与习题的讨论。 本人 QQ 107457318 邮箱 107457318@qq.com
第二章 估计
^
1. p =
^
1 X 1 n ∑| X i | n i
^
9. θ =
X 1− X
^
^
10. c = X , θ =
3 n ( X i − X )2 ∑ n 1
n −1 2 σ , ES12 = σ 2 n 11. 2n − 1 2 4 M µ ,σ 2 ( S0 2 ) = 2 σ 4 , M µ ,σ 2 ( S1 2 ) = σ n n −1 ES0 2 =
^ ^
20. θ n = X ， θ n → ⎨
⎧θ ,θ ∈ Q .a.s.. ⎩1 − θ , θ ∉ Q
∞
^
21. θ n 为 X1 , X 2 ,..., X n 的中位数，去证
∑ P(| θ
1
^
n
− θ |< ε ) < ∞, ∀ε > 0.
22. 强大数定律 23. 枢轴量法 θ ∈ [ Max{ X i }, α
n
（注：若观测值不止一个，否定域为： W0 = {( x1 ,..., xn ) |
n
∏x
1
i
1 > exp( − z 0.9 )} 2
其中， zα 为 χ( 2 n ) 分布的 α 分位数。而 −2
∑ InX
1
i
∼ χ ( 2n ) ）
5. 提示： aα * − aα + bβ * − bβ <= −( aα * − aα + bβ * − bβ ) 6. 略 7. 略
1 n
n
∑ (x
1
i
−10) < −1.28} φ ( n − 1.28) ，接收 H0： φ ( n + 1.28)
16. （1）0.05 以及 0.01 显著性水平都接受，因
nx = 1.2 < 1.86 S nx = 1.2 > −1.86 S
（2）0.05 以及 0.01 显著性水平都接受，因 如果样本量增加到 25 。 （1）0.05 显著性水平都拒绝，因
1
2 1−
α 2
)np + ( ∑ X i ) 2 = 0 的两根.
1
25. 略 26. 略
27. 枢轴量法
( n −1) S 2 ( n − 1) S 2 2 ， ∼ χ ( n −1) 8.23 < < 31.5 ， σ2 σ2
0.95 置信区间 σ 2 ∈ [419,1604] ， σ ∈ [20.5, 40]
^
^ 1 n 或 θ = Max{ X i } − 1≤i ≤n n +1 n +1
4. 去证明似然函数无界 5. （1）0.5 （2 ）6/35
^ 1≤i ≤n ^
6. θ1 = Min{ Xi }, θ 2 = X 7. 只在几乎处处的意义下成立。提示：先可将一个参数消去用另一个参数表示，利用连续函 数在有界闭集中必有最大值，可以证明当 X1 , X 2 ,..., X n 互不相等时，当参数趋于无穷时， 极限为 0. 8. 只在几乎处处的意义下成立。 （方法同上。最后归结到要证明 lim
i
1
n µ ) = φ ( n µ −1.96)
（2） n = 42 (计算得n ≥ 41.99) （2） n = 128 (计算得n ≥ 127.69) 12. （1） （2）略（3）用 NP 引理去构造 13. 是（因 |
n( x − µ) |= 1.095 < 1.96 ） σ
14. 提示：用斯特林公式 15. W0 = {( x1 ,..., xn ) |
1 ≤i ≤ n − 1 n
Max{ Xi }]
1 ≤ i≤ n
即[ 0.91, 1.657 ] ，
n
24. 枢轴量法 |
∑X
1
i
− np |< z
1−
np(1 − p)
n
α 2
p ∈ [ p1 , p2 ] ，其中 p1 , p2 是方程
,
n
(n + z
1−
2
α 2
) np 2 − (2∑ X i +z
β0 = −11.3, β1 = 36.95 ， β1 ≠ 0非常显著 ，
^
^
U 54612.1 = = 4416 > 10.1 Q / (n − 2) 37.1 / 3
n
8. W0 = {( x1 ,..., xn ) |
∑ xi ≥ c} 其中， c = Min{m | ∑
1
(nλ )k − n λ e =α} k! k=m
∞
n
n
9. W0 = {( x1 ,..., xn ) |
C2
∑ xi < C1或 ∑ xi > C2}
1 1
k k n −k =α, s.t. ∑ Cn p0 (1 − p0 ) k = C1
28. 枢轴量法
n (X − u ) ∼ t (n −1) ，0.95 置信区间 u ∈ [34.4, 37.9] S
第三章 假设检验
1. 1/2, 5/32, 27/32
n n
2.
∫ ∏
W
1
f 0 ( xi )d x ， 1 − ∫ W ∏ f1 ( xi )d x
~ 1 ~
3. [3.5, ∞ ] 4. W0 = {x > 0.9}
|= 6.196 > 2.05
24. 是。 |
nz |= 3.23 > 2.262 ，其中 zi = xi − yi Sz
( x − µ1 ) − ( y − µ 2 ) |= 1.86 > 2.11
25. 否。 |
S12 S 22 + n1 n2
26. W0 = {( x1 ,..., xn , y1 ,..., ym ) | z > C} 其中， z =
12. 略 13. λ = a X + (1 − a )S 2 , ∀a ∈ R （答案不唯一）
^ ^
14. θ =
n ^ m 1 1 X− X i 2 或 θ = X − S 2 （不唯一） ∑ m −1 (m − 1)n 1 m
^
15. λ 2 = 16. 略
^
1 n ∑ X 2 − X （不唯一） n 1 i
^ 1≤i ≤n ^ 1 ≤i ≤n
2. σ =
3. 最大似然估计： θ ∈ {θ | Max{ X i } −1 ≤ θ ≤ Min { Xi}}
^
无偏估计 θ =
Max{X i } + Min{ X i } −1
1≤ i ≤ n 1≤ i ≤ n
2
或 θ = Min{X i } −
1 ≤i ≤ n
−1) = 3.72 < 3.84
第二问不确定 31. 无。 zi = xi − yi ， 懒得算了。 。 。 ）
5
∑ φ (z ) = 10 P
i
1
~
α 2
(10) = 0.3 ， Pα (10) = 0.7 （符号秩统计量应更好，
2
32. 有。
∑Q
1
i
= 20 < 22 = min{22, 43}
∑ kC
k = C1
1
C2
k n
p0 k (1 − p0 ) n − k = α np0
10. W0 = {Max{X i } > θ 0 (1 −α ) n }（UMP 用定义去证）
1≤ i ≤ n
11. （1） W0 = {( x1 ,..., xn ) |
1 n
ห้องสมุดไป่ตู้
n
∑ x ≥ 1.96} ρ (µ ) = 1 − φ(1.96 −
nm(n + m − 2) n+ m
(x − y ) (n − 1)S1 2 + (m − 1)S 2 2
. 因 H 0下：z ∼ t ( n + m − 2)
( nz + m) ( n + m ) x 27. （1） W0 = {( x1 ,..., xn , y1 ,..., ym ) | > C} 其中， z = n z y
nx = 2 > 1.71，0.01 显著性水平接受 S nx = 1.2 > −1.71 S
（2）0.05 以及 0.01 显著性水平都接受，因
17. 是。 |
n( x − µ) |= 0.055 < 2.306 S n( x − µ) |= 2.45 > 2.262 S n( x − µ) |= 0.466 < 2.447 S n( x − µ ) = −2.05 < −1.833 S
( n −1) S 2 8* 49 = > 15.5 σ2 25
18. 有。 |
19. 无。 |
20. 是。
21. 显著。
22. 是。 |
x− y S12 S 22 + n1 n2
|= 3.136 > 2.1
23. 是。 |
( x − µ1 ) − ( y − µ 2 )
S12 S 22 + n1 n2
（2）由（1）显然
n
（3） H 0下：1m
1
∑X ∑Y
i
i
∼ F( 2n ,2m )
28. 是。
(vi − npi ) 2 = 5.125 < 15.5(α = 0.05) ∑ npi 1
n
29. 查表太麻烦，没算
3 2
30. 独立。 V = n(
∑∑ n n
i =1 j =1 ii
18
nij 2
ji
33. 提示：直接计算可得，只在几乎处处的意义下成立。
第四章 回归分析与线性模型
1. 略 2. 略 3. 显然
^ ^
4. 5.
β0 = 22.6486, β1 = 0.2643
^
a=
^ 1 1 1 1 2 y1 + y 2 + y3 , b = − y1 + y2 6 3 6 5 5
6. 略 7.
17. θ −1 =
1 n ∑ In(1 + X i ) （此题有无通法？） n 1
^
18. 令 θ = X ，且满足 Var θ =
^
^
θ 2 g '(θ ) θ2 ，故下界为 = n nI (θ ) n
19. θ = X ，或 X1 , X 2 ,..., X n 的中位数。理由强相合性 （感觉不够充分，欢迎补充）