LMS自适应预测实验报告

LMS 自适应线性预测实验报告

一、实验要求

首先由二阶AR 模型产生自适应滤波器的输入信号)(n x ，公式如下：

)()2()1()(21n v n u a n u a n u =-+-+

其中)(n v 为方差为2v σ的零均值高斯白噪声，模型参数1a 与2a 满足2214a a <。二阶AR 模型图如下：

二阶AR 模型框图

得到自适应滤波器的输入信号)(n x 后，通过二阶线性预测滤波器进行自适应线性预测，其框图如下：

自适应线性滤波器

采用LMS 算法进行自适应线性预测，设第n 次预测的权值向量H

n w n w n W )](),([)(21=，第n 次预测的输入数据向量H n x n x n X )]2(),1([)(--=，)(n x 的预测值)(n y 经滤波过程产生，其公式如下：

)()1()(n X n W n y H -=

误差信号计算公式如下：

)()()(n y n x n e -=

权值更迭公式如下：

)()(2)1()(n X n e n W n W μ+-=

其中μ为迭代因子。

实验要求如下：

（1）令1,0965.0,95.0,195.02221===-=x

v a a σσ，迭代因子μ、数据长度N 自定，给出LMS 自适应预测的仿真结果，结果用权值)(),(21n w n w 变化曲线以及误差平方)(2n e 变化曲线表示，观察其收敛情况，分别进行单次预测及100次预测取平均值两次实验。

（2）条件与（1）相同，改变迭代因子μ的值，分别进行单次预测及800次预测取平均值两次实验，观察其收敛情况。

（3）条件与（1）相同，但改变特征根扩散度min max /λλ，)1/()1(/2121min max a a a a +++-=λλ，可通过改变21,a a 的值实现，分别进行单次预测及100次预测取平均值两次实验，观察其收敛情况。

二、理论分析

LMS 算法的收敛是统计意义下的收敛问题，分别讨论其均值收敛及最小均方误差收敛。

1. 均值收敛

由权值更迭公式可进行如下推导：

)()(2)1()(n X n e n W n W μ+-=

)]1()()()[(2)1(*--+-=n W n X n d n X n W H μ

)()(2)1()]()(2[*n d n X n W n X n X I H μμ+--=

)]()([2)]1([)]}()([2{)]([*n d n X E n W E n X n X E I n W E H μμ+--=

xd xx r n W E R I μμ2)]1([]2[+--=

设k 时刻权值误差向量opt W k W k W -=)()(，则

opt xd xx W r k W R I k W -+--=μμ2)1(]2[)(

xd xx opt r k W R W k W μμ2)1(2)1(+----=

xd opt xx r W k W R k W μμ2])1([2)1(++---=

)(2)]1(2)1([xd opt xx xx r W R k W R k W -----=μμ

由维纳-霍夫方程xd opt xx r W R =知，0)(2=-xd opt xx r W R μ，所以有

)1(]2[)(--=k W R I k W xx μ

因为xx R 为Hermite 矩阵，所以xx R 可分解为H xx R θθΛ=，其中),...(1M diag λλ=Λ，i λ为xx R 的特征值，M i ,...2,1=，设i q 为特征值i λ对应的特征向量。所以有

)1(]2[)(-Λ-=k W I k W H θμθ

又因为θ为酉矩阵，H I θθ=，所以有

)1(]2[)(-Λ-=k W I k W H θμθ 令)()('

k W k W H θ=，则 )1(]2[)(''-Λ-=k W I k W μ

)1()21()(''--=k W k W i i i μλ

)1()21()('

0'--=k W k W k i i μλ

对于所有的M i ,...2,1=，如果1|21|<-i μλ，当opt i W k W k W k →→∞→)(,0)(,'.

所以LMS 算法均值收敛的条件为max /10λμ<<，其μ值越大，收敛速度越快。 2. 均方误差收敛

由滤波公式及误差公式，得：

)()1()()(n X n W n d n e H --=

)]()()1([)]()([n X W n X n W n X W n d H opt H H opt ----=

)()1()(0n X n W n e H --=

其中)(0n e 为第n 次预测权值最优时的预测误差。

)]()()1([2)]1()()()1([)]([)]([*0202n e n X n W E n W n X n X n W E n e E n e E H

H H ----+=

)]1([)]1([--+=n W E R n W E xx H

opt δ

ex opt δδ+= 当opt ex n e E n δδ→→∞→)]([,0,2，LMS 算法的均方误差收敛于最优预测权值的最小均方误差。

三、实验结果及分析

1. 单次预测与多次预测取平均结果对比

取02.0,1,0965.0,95.0,195.02221====-=μσσx

v a a ，分别进行单次预测及100次预测对其权值和均方误差取平均，对比实验结果。

LMS 算法权值收敛图