概率论论文10篇全面版

《概率论论文》

概率论论文（一）：

《概率论与数理统计》论文

摘要

概率论的发展具有很长的历史，多位数学家对概率论的构成做出了巨大贡献。纵观其发展史，在实际生活中具有很强的应用好处。正是有了前人的努力，才有了现代的概率论体系。本文将从概率论的研究好处、定义，以及发展历程进行叙述。

概率论的发展与起源

1.1概率论的定义

概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象

而言的，随机现象是指在基本条件不变的状况下，一系列或观察会得到不同结果的现象。每一次实验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，抛一枚硬币，可能会出现正面或者反面；在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或者一组基本事件统称为随机事件，或者简称为事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下超多重复的随机实验却往往呈现出明显的数量规律。例如，连续多次抛一枚硬币，出现正面的频率随着抛次数的增加逐渐趋近于1/2；犹如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且测量值大多落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某种程度的对称性。大数定律和中心极限定律就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变状况。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而构成不规则的运动，即布朗运动，这就是随机过程。随机过程的统计特征、计算与随机过程有关的某些事件的概率，个性是研究

与随机过程样本轨道（及过程的一次实现）有关的问题，是现代概率论的主要课题。

在当代，随着概率论本身的发展和学科之间的交叉融合，囊括了概率理论和

统计理论两大部分的广义概率论已经成为一门应用十分广泛的学科，概率方法与统计方法逐渐渗透到了其它学科的研究工作当中。无论是在自然科学领域还是社会科学领域，各门学科中都能看到概率论的身影。概率论已经成为一种重要的工具，在社会发展中发挥着巨大的作用。

1.2课题背景及研究的目的和好处

现代社会步调快，信息更新快，信息量大，如何从中选取分析最有效的信息

成为发展的先决条件，故概率统计学有着不可比拟的重要地位与作用。无论是在日常生活中，还是商业经济、科学研究，小到日常下雨，大到卫星发射，各种事物发展中都有概率统计的影子。在这个科技革新的时代，概率统计学必将发挥前所未有的重大影响，所以研究概率学具有十分重要的好处。

1.3概率论的发展

1.3.1概率论的早期雏形

早在原始社会，那时的占卜师们使用动物的趾骨作为占卜工具，将一个或多个

趾骨投掷出去，趾骨落地后的不同形状指示神对人事的不同意见。由于投掷趾骨这个过程所产生的结果具有不可预测性，而每次投掷的结果也互不影响，这个能够说是概率事件最早的雏形了，然而由于趾骨的大小形状不同，每个事件发生的概率并不是完全相等。

与其基本原理相类似的就是掷骰子。在16世纪，赌博中的偶然现象就开始

引起人们的注意，数学家卡丹诺(Cardano)首先觉察到，赌博输赢虽然是偶然的，但较

大的赌博次数会呈现必须的规律性，卡丹诺为此还写了一本《论赌博》的小册子，书中计算了掷两颗骰子或三颗骰子时，在一切可能的方法中有多少方法得到某一点数。

1564年，卡尔扎诺，利用自己的智慧和赌博经验，用拉丁文写成著名的《论

机会游戏》，揭示了赌博中的不确定性原理，成为概率论前史中的重要人物。书中，卡尔扎诺强调赌博的基本原则是同等条件，如果它们有利于对手，那么你是傻瓜，如果有利于自己，那么你就不公平。骰子就应是诚实的，几个诚实的骰子联合起来仍然是诚实的，下注就应根据这种诚实性。等可能思想的提出是卡尔扎诺的贡献之一，为理解和解决复杂的赌博问题带给了依据。他定义了胜率(有利结果数与不利结果数之比)表示机会的大小，计算出了多种赌博的

全部可能结果数和有利结果数，由于当时组合数学还很贫乏，他的计算在方法上与《维图拉》基本相同。卡尔扎诺还思考了独立事件的乘法法则，在一番错误推理后他发现了正确方法，例如一次的胜率是3:1，连续两次的胜率是9:7。卡尔扎诺是第一个深入讨论概率问题的人，他提出了思考随机问题的基本原则，建立了胜率概念和一些运算法则，对概率理论的构成具有开创性贡献。然而令人惋惜的是，这本书在他死后很长时间才出版，此前惠更斯的《论赌博中的计算》已经刊世，这对卡尔扎诺的学术影响有很大的削弱。

1.3.2概率论的构成期

现代人认为概率论的早期研究大约在十六世纪到十七世纪之间。那时正值欧

洲文艺复兴时期，工业革命开始发展。随之而来的航海事业的天气预报，工业生产的误差预估，商业发展的贸易问题，加上人们对患病率、死亡率、自然灾害等问题的不断关注，人们急需一门分析研究随机现象的数学学科，故概率论应社会实际需求的时候到了。

在这个时期最著名的故事当属分赌注问题。法国一位贵族梅累向法国数学

家、物理学家帕斯卡提出了一个十分搞笑的分赌注问题。这两个赌徒说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱就应怎样分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿

4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没到达，所以就一人

分一半呢？

这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3／4，赢了3局的拿这个钱

的1／4。

为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。若是A赢满了5局，钱就应全

归他；A如果输了，即A、B各赢4局，这个钱就应对半分。此刻，A赢、输的可能性都是1

／2，所以，他拿的钱就应是1／21＋1／21／2＝3／4，当然，B就就应得1／4。

这个问题可把他难住了，他苦苦思考了两三年才算有了点眉目。于是他写信给的好友费马，两人讨论结果，取得了一致的意见：梅累的分法是对的，他应得64个金币的，赌友应得64

金币的。

透过这次讨论，开始构成了概率论当中一个重要的概念数学期望。

在上述问题中，数学期望是一个平均值，就是对将来不确定的钱这天就应怎

么算，这就要用A赢输的概率1／2去乘上他可能得到的钱，再把它们加起来。概率论从

此就发展起来，多数人以帕斯卡与费马的通信作为概率论学的起源。

1.3.3概率论的正式构成和发展时期

18世纪是概率论的正式构成和发展时期。

1713年，贝努利（Bernoulli）的名著《推想的艺术》发表．在这部著作中，贝努利明确指出了概率论最重要的定律之一大数定律，并且给出了证明，这使以往建立在经验之上的频率稳定性推测理论化了，从此概率论从对特殊问题的求解，发展到了一般的理论概括。继贝努利之后，法国数学家棣谟佛于1781年发表了《机遇原理》。书中提出了概率乘法法则，以及

正态分和正态分布律的概念，为概率论的中心极限定理的建立奠定了基础。1706年法国数学

家蒲丰的《偶然性的算术试验》完成，他把概率和几何结合起来，开始了几何

概率的研究，他提出的蒲丰问题就是采取概率的方法来求圆周率的尝试。

透过贝努利和棣谟佛的努力，使数学方法有效地应用于概率研究之中，这就

把概率论的特殊发展同数学的一般发展联系起来，使概率论一开始就成为数学的一个分支。

概率论问世不久，就在应用方面发挥了重要的作用．牛痘在欧洲大规模接种

之后，曾因副作用引起争议。这时贝努利的侄子丹尼尔贝努利根据超多的统计资料，做出了种牛痘能延长人类平均寿命三年的结论，消除了一些人的恐惧和怀疑；欧拉（Euler）将概率论应用于人口统计和保险，写出了《关于死亡率和人口增长率问题的研究》，《关于孤儿保险》等文章；泊松（Poisson）又将概率应用于射击的各种问题的研究，提出了《打靶概率

研究报告》．总之，概率论在18世纪确立后，就充分地反映了其广泛的实践好处。

1.3.4概率论的发展时期

拉普拉斯1812年在巴黎出版了他的经典著作《分析概率论》。这部著作对十

八世纪概率论的研究成果作了比较完美的总结，资料包括几何概率、贝努里定理、最小二乘法等。他还明确了概率的古典定义，证明了中心极限定理中的德莫哇佛

严密地，系统地奠定概率论基础的第一个人。