194课题学习重心
课题学习重心教案说明-荆州市实验中学孙权昌
《课题学习重心》教案说明某某省荆州市实验中学孙权昌国际数学大师哈尔莫斯(P.R.Halmos)说“最好的学习方法是动手，最差的学习方法是动口”.数学课题学习可以弥补数学学科实践能力的不足，促进学生兴趣、个性、特长等自主、和谐的发展，强调参与、探索、思考、实践的学习方式，真正体现了新课程新理念所倡导的自主、探究、合作、交流的学习方式.课题学习，就是在教学过程中创设一种类似科学研究的情境和途径，通过对大量信息的收集、分析和判断，发现和体验知识的产生及形成过程，从而增进思考力和判断力.科学研究与学生平时做的数学问题最大区别在于：学生平时做的数学问题都是有答案问题，而科学家研究的问题是不确定的，充满了未知或根本就是一个错误的猜想.课题学习，是让学生在数学或跨学科领域确定课题，以独立或小组合作的方式进行探索性、研究性学习，加深对“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”内容的理解及整合，培养他们解决问题的能力，激发想象力和创造力。
“实践与综合应用”是全日制义务教育《数学课程标准》(实验稿）内容标准的四个领域之一，“课题学习”是第二学段(7—9年级)“实践与综合应用”的主要呈现形式．正是基于对课题学习的上述理解，我在制定本节课的教学目标的时候把促进学生学习方式的改变放在了首位,教学设计上力求凸显动手与动脑相结合,归纳法与演绎法相交融,某某与创新并重.“课题学习重心”这个课题安排八年级下册第十九章四边形最后一节,旨在体现数学与物理的联系,是对本章学习方法的一个检验,而四边形教学要求通过多种手段,如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质.重心是一个物理概念,就是重力作用点,平面几何图形的重心有其物理的背景.通过找重心的活动让学生体会数学与物理学科的联系,并在这个活动中获得科学探究活动的一般方法:猜想—实验—验证—数学的表示.杨振宁博士结合自身感受对比中美教育时谈到,在西南联大时学习了推演法,而师从“氢弹之父”泰勒教授后，学习的是倒过来的方法归纳法,即从物理现象出发,最后引出数学的表示,这两种方法使他获益终生.有这样一个广为流传的教学案例:求学校校园内圆形花坛的周长,结果大部分学生都先想办法测出花坛的半径,然后再计算其周长.大多数学生舍弃用绳子围住花坛通过测绳长的办法,对于这种现象让我们不禁扪心自问,我们的教学究竟要培养学生什么?带着这些思考,我在准备这节课时力图体现杨振宁博士所说的归纳法和推演法怎样相互融合,并能让学生从内心感受到这两种方法的作用,期望能从中有所感悟,形成初步的方法论,这远比传授知识更为重要.这个课题学习,主要让学生多动手,多实验,多猜想,对于其中的一些结论能进行合情推理甚至证明.本节课探究遵循从简单到复杂,从特殊到一般,从实物到几何图形,从形象到抽象的原则开展活动,对于线段以及平行四边形的重心学生在已有生活经验基础上很容易猜想,经过验证就能得出结论.探究三角形的重心是本节课的一个难点,因为悬挂法测物体的重心学生不可能在课堂上探究出来,只能作为知识介绍给学生,所以在安排学生探究三角形重心之前先介绍悬挂法,用悬挂法找到三角形重心后，它是三条中线的交点,这个问题学生不容易发现.教科书采用了两种方式,一种是让学生测量铅垂线和三角形边的交点在什么位置?另外,在边空提出了一个思考问题:由于三角形硬纸板的质地均匀，所以过三角形硬纸板顶点的铅垂线将硬纸板分成面积相等的两部分,由此考虑D 、E 、F 的位置.这个提示从合情推理角度看是能让学生突破过三角形顶点的铅垂线过对边的中点这个难点,但在三角形中过非顶点的铅垂线并非将三角形面积平分,学生做实验时未必选取顶点作为悬挂点,因为在顶点处钉小钉很不如在其它地方容易,因为这段提示,会导致一部分学生得教学参考书也有这样的说明:根据重心的物理意义,过三角形硬纸板的铅垂线将硬纸板分成重量相等的两部分,由于纸板质地均匀,也就是分成体积相等、进而面积相等的两部分,由于分成的两个三角形的高相同,因此它们的底边应该相等,也就是铅垂线过对边的中点.为此我在教学中事先为学生准备了三角形薄板的学具,并且在三角形的顶点处钻好孔,这样可以保证实验的精确程度,从而比较顺利地得出三角形的重心是三边中线的交点.为了澄清铅垂线两侧面积不一定相等这个事实,我设计了各抒己见谈猜想这个教学环节,学生可能有这样的猜想:过平面图形重心的直线将它的面积分成相等的两部分.通过探究得出过平行四边形的重心直线一定将它的面积平分,而过三角形重心的直线并不一定将它的面积平分,对于第二个问题,学生举反例是比较困难的,为此我预设了这几种方案:1.用测量的方法对这个猜想进行否定;2.画一个三角形,过它的重心作一条与一边平行的直线,通过观察产生质疑;3.画一个特殊的三角形如等边三角形或等腰直角三角形,过重心画一条与一边平行的直线,可证明这条直线两边的部分面积不相等,如下图,△ABC 是等边三角形,O 是它的重心,过O 点作MN ∥BC 交AB 于M,交AC 于N,过M 作MF ∥AC 交BE 于F,可证△OMF ≌△ONE,从而得出△BOM 的面积大于△ONE 的面积,所以△ABE 的面积大于△AMN 的面积,由此说明过三角形重心的直线并不一定将三角形的面积平分.当然学习了相似之后更容易证明.对于这些预设,学生也许只能通过测量、观察进行说明.这个猜想的推翻定会引起学生去思索物体保持平衡的本质,这个悬疑犹如一颗种子植根于学生心田,为以后的顿悟埋下了伏笔.（物体保持平衡的条件是编写教材的专家提了个醒,在编写与其他学科相联系的问题时最好要征求相关学科专家的意见,如很多数学书籍中有关于不等臂天平的问题,而物理学中对天平的定义是等臂杠杆,不等臂就不是天平了）而上完这节课，学生探究这个问题的方法大大出乎我的意料！有一个学生过三角形硬B D纸板的重心画一条直线，然后沿着这条直线把它放在竖直放置的直尺边上，结果三角形硬纸板马上朝一侧翻过去，这说明该直线左右面积并不相等.多么精彩解答!一个简单实验就解决了问题.还有的学生将探究平行四边形过重心的直线将其面积平分的方法移植到探究三角形中,通过观察和测量得出了相同的结论,类比思想不在经意中得到运用.本节课采用探究式教学法进行教学，教师要真正做学生学习的引导者、组织者和合作者,通过数学实验让学生在实验、猜想、探究的过程中培养学生动手实践、自主探究与合作交流的学习方式,进一步培养课题学习意识.相信学生在饶有兴趣的探究活动中感受到学习的乐趣,领悟到观察、实验、归纳等是发现一些结论的手段,同时逻辑推理同样是重要的发现手段,这正是我设计这节课想达到最终目标.。
19.4重心(2)
吴起县第一中学八年级数学探究式教学案科目 数学 课题 19.4课题学习重心（2） 授课时间 序号45主备人 蔺彦彧审核人许宪飞班级姓名学习 目标 深入探究三角形重心的特点。
重点 难点三角形重心的特点以及重心特点的应用。
一、创设情境，引入新课： 复习回顾(1) 线段的重心 。
(2) 平行四边形的重心。
（3）三角形的重心。
二、合作探究，解读新知： 1、三角形的重心.ABC F EG DHI∵EF 是△ABC 的中位线∴EF BC 21∥ ＝ ∵HI 是△GBC 的中位线∴HI BC 21∥ ＝ ∴ EF ∥ ＝ HI ∴四边形EFHI 是平行四边形 ∴EG=HG,FG=IG ∴EG:GB=1:2,FG:GC=1:2三角形的重心把中线分成1：2的两部分。
分别取BG 、CG 的中点H 、I ，连结EF,FH,HI,IE2、活动与探究如果我们身旁没有量角器或三角尺,又需要做60°、30°、15°等大小的角,可以采用下面的方法（如下图）.（1）对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重和,得到折痕EF,把纸片展平.（2）再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕过点B,得到折痕BM,同时得到了线段BN.观察所得的∠ABM、∠MBN和∠NBC,在三个角有什么关系?你能证明吗?通过证明可知,简单而准确.由此,15°、60°、120°、150°等角,就都容易得到了.已知:矩形ABCD,E、F分别为边AB、CD的中点,N在EF上,且MN=AM,（如图）,BN=AB.求∠ABM、∠MBN和∠NBC的大小解:三、巩固练习：1、2、求：点G 到直角顶点C 的距离GC ；四、小结:五、课堂达标检 1、阅读填空题阅读下面命题的证明过程后填空：已知：如图BE 、CF 是ΔABC 的中线，BE 、CF 相交于G 。
求证：21==GC GF GB GE 证明：连结EF∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点 ∴EF ∥BF 且EF ＝21BC ∴21===BC EF GC GF GB GE 问题：的长。
课题学习 重心-教案说明
《课题学习重心》教案说明《课题学习重心》是人教实验版八年级（下）第十九章最后一节的学习内容。
重心本身是一个物理概念，就是重力的作用点，这里研究的重心是平面图形的重心，实际上一个规则图形的重心就是它的几何中心。
但是对于这个阶段的学生而言，本课主要是让学生在动手、实验、猜想中去发现重心、理解重心。
至于何谓“几何中心”，本节课不适合说明。
鉴于此本节课主要从以下几个方面定位教学目标：知识技能目标：通过寻找三角形的重心的活动，经历探究物体与图形的重心的过程，了解三角形的重心是它的三条中线的交点。
数学思考目标：在探索三角形的重心等的活动过程中，经历观察、实验、猜想、探究等过程，培养学生的几何直觉。
解决问题目标：了解重心的物理意义，能用实验的方法找到重心。
情感态度目标：让学生在进行实验探究过程中，感受到数学活动的乐趣，培养学生勇于动手、乐于交流和善于进行合情推理的能力，并在学习活动中获得积极向上的情感体验，从而形成科学的价值观。
本课是第二课时。
之前，学生已经学习了线段和平行四边形的重心，理解了重心的物理意义，学会了验证重心的方法。
本节课与物理学中的力学知识联系紧密，这一阶段的八年级学生有了一定的动手操作能力和空间想象的能力，在此基础上研究三角形的重心，它是进一步研究其它图形重心的基础，同时也为研究物体与图形的重心奠定了科学的方法。
让学生感受重心在生活中的应用，了解数学的价值。
三角形的重心不象平行四边形和线段的重心那么显而易见，本节课通过悬挂的方法实验、观察出三角形的三条中线交于一点，并通过flash、几何画板来演示和验证。
教师的适当引导在于说明“由于三角形纸板的质地均匀，所以过三角形的纸板顶点的铅垂线将纸板分成面积相等的两部分”，这一点学生理解起来有一定的难度，此时必须结合物理学的密度知识。
在这一难点被突破的基础上，结合数学学科中三角形的面积公式，学生就能很容易地发现三条铅垂线与对边的交点在什么位置。
教育家布鲁纳指出:“我们教一门学科，并不是希望学生成为该科目的一个小型书库，而是要他们参与获得知识的过程，学习是一种过程，而不是结果。
课题学习 重心
（1）在一块质地均匀的三角形硬纸板的每个顶点处钉一个 1 小钉作为悬挂点 （2）用下端系有小重物的பைடு நூலகம்线缠绕在一个小钉上，吊起硬 纸板，几下铅垂线的痕迹 （3）再另一个小钉上重复（2）的活动，找到两条铅垂线 的交点（记为O） （4）在第三个小钉上重复（2）的活动 可以发现：三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心
线段的重心
用一根手指顶住一根质地均匀的木条，找到木条的平衡点 如图
再用另一根木条重复上面的活动
用刻度尺两处平衡点的位置
可以发现：线段的重心就是线段的中点
平行四边形的重心
用一根手指顶住一根质地均匀的平行四边形硬纸片，找到它的平衡点 如图
可以发现：平行四边形的重心就是它的两条对角线的交点
三角形的重心
一、课题学习目的 通过寻找几何图形的重心，了解规则的几何图形的重心就是它的几何中心， 体会数学与物理学科之间的联系。 二、工具准备 质地均匀的木条，规则四边形（正方形、长方形、另行、一般平行四边形 等）硬纸片，三角形、五角星硬纸片，钉子，细绳，小重物，刻度处等。
三、工具活动 1、线段的重心 2、平行四边形的重心 3、三角形的重心 四、课题总结
寻找重心的方法
a.悬挂法 只适用于薄板（不一定均匀）。首先找一根细绳，在物体上找一点， 用绳悬挂，划出物体静止后的重力线，同理再找一点悬挂，两条重力线的 交点就是物体重心。 b.支撑法 只适用于细棒（不一定均匀）。用一个支点支撑物体，不断变化位置， 越稳定的位置，越接近重心。 一种可能的变通方式是用两个支点支撑，然后施加较小的力使两个支 点靠近，因为离重心近的支点摩擦力会大，所以物体会随之移动，使另一 个支点更接近重心，如此可以找到重心的近似位置。 c.针顶法 同样只适用于薄板。用一根细针顶住板子的下面，当板子能 够保持平衡，那么针顶的位置接近重心。 与支撑法同理，可用3根细针互相接近的方法，找到重心位置的范围， 不过这就没有支撑法的变通方式那样方便了。 d.用铅垂线找重心（任意一图形，质地均匀） 用绳子找其一端点悬挂，后用铅垂线挂在此端点上（描下来）。而后 用同样的方法作另一条线。两线交点即其重心。
19.4.课题学习 重心(1) 王波
崇文实验学校八年级下数学教案 主备人：王波 时间：2012.5.1.
1 19.4. 课题学习 重心（一）
一、学习目标：了解重心的物理意义，能用实验方法寻找任意多边形的重心。
二、学习重点：通过课题学习的任务、目的、结论等环节，培养学生探究能力和创新意识。
难点：实验活动的规范操作，及寻找三角形的重心。
三、导学流程：1. 引入问题：
问题1：同学们请欣赏这几组图片，这些杂技演员的表演非常精彩，你知道做好这些优美动作的关键是什么？问题2：你能用一个手指顶起你的课本使它保持平衡吗？请大家试试。
问题3：使木条平衡的点有几个?
三、导学流程：
2.尝试指导: (1)出尝试题：活动1：探究线段的重心。
问题1：将小木条等线段形的物体托起，找平衡点，通过这样的实验你能说出该均匀木条的重心在什么位置吗？问题2：再换一条试试，是否也有相同的结论？由此你发现了什么？活动2：探究圆的重心。
问题3：通过实验，同学们知道圆形的重心位置在哪里吗？活动3：探究平行四边形的重心。
问题4：通过实验我们找到了正方形的平衡点，这个平衡点与对角线的交点有什么关系？问题5：根据你的实验经验再次实验，你能找出矩形、菱形的重心吗？问题6：你能猜测一般的平行四边形的重心在哪里呢？请验证你的结论。
（2）自学:教材112-114页。
3.精析问题：合作中的问题
4.变式训练：1. 把一个生日蛋糕（圆形），不考虑花饰、图案，把蛋糕主体平分成2份，最简单的方式是怎样的？
5.归纳总结:本节课你有什么收获？你会建议大家注意些什么？
6.达标检测：1.把一块平行四边形ABCD 的土地分给两个农户，使这两部分面积相等，如果让你来分，你有多少种分法?
学生反思：。
人教版 初中数学 八年级上册课题学习重心_课题学习重心
∵EF是△ABC的中位线
F
E
∵∴HEIF是＝∥△G12BBCC的中位线
G
∴HI
＝∥
1 2
BC
H
I
∴ EF ＝∥ HI
B
D
C∴四边形EFHI是平行四边形
∴EG=HG,FG=IG
∴EG:GB=1:2,FG:GC=1:2
三角形的重心把中线分成1：2的两部分。
A
E G
B
?
D
C
课题学习 重心
已知ABC的中线CD、BE相交于点G;
A
32145.... SS ::SS SS : S DDDDGGGGEBEEE DEDAAEGDGBCCCB;;;
D
E
GG
B
C
课题学习 重心
归纳有关三角形面积解题方法：
A 1.三角形的中线把三角形 分成面积相等的两个三角
形；
E G
A
求：点G到直角顶点C的距离GC；
解：RtACB,ACB 90o
4
D G
AC 4,BC 3
G是ABC的重心
AB
5
CCGD是 中32 C线D
CD
5 2
C
3
B CG 5 3
课题学习 重心
已知：ABC中AB AC, AD BC, AD与 中线BE相交于点G; AD 18cm,GE 5cm, 求：BC的长。
课题学习 重心 A
E
F
G
B
D
C
G是ABC的重心
AG GD
BG GF
CG GE
2 1
GD : AG : AD 1: 2 : 3
课题学习重心二教案
课题学习重心(二)三维目标一、知识与技能1.进一步认识规则几何图形的重心就是它的几何中心.2.探究不规则几何图形的重心.二、过程与方法1.通过悬挂法探究三角形的重心.2.讨论特殊三角形的重心.3.进一步探究任意多边行的重心.三、情感态度与价值观在进行探索的活动中培养学生合作交流的意识与合情的推理能力.教学重点:用悬挂法探究不规则几何图形的重心.重点是让学生在动手操作的同时,认真思考.教学难点:用悬挂法探究不规则几何图形的重心的过程.教学过程一、创设问题情境,搭建研究平台在上一节课我们探索研究了一些几何图形的重心,现在请同学们回顾一下上节课学习的内容.我们采用了什么样的方法来探究几何图形的重心我们得到的结论是什么在上一节课,我们主要是通过实际操作,用手指顶举使物体平衡的方法来寻找几何图形的重心,我们得到的结论是:(1)线段的重心是线段的中点.(2)平行四边形的重心,是它的两条对角线的交点.现在回过头来我们再想想,我们上节研究的几何图形有什么特点（我们上节课研究的几何图形都是规则的几何体）.我们上节课研究的几何图形都是中心对称图形,所以这些几何图形的重心正好是它们的中心。
下面,同学们再想一想:其他的几何图形,如三角形,其他任意的多边形有没有重心如果有,它们的重心又如何找这些也就是我们这节课要解决的主要问题了.二、讲授新课我们这一节内容,和物理之间有着很密切的联系.在物理学的力学部分有一个很重要的力,叫做重力.重力很重要,可以说离开重力,我们的世界就没有了规则,没有了界限,就会一片混乱.而重力的着力点就叫做物体的重心.我们在这儿介绍这个力,就是引导同学们试着从力学的角度入手,来探究一些不规则几何图形的重心.探究三: 三角形的重心.活动过程:先分组,然后各种对不同形状的三角形进行研究.1.在三角形薄板的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点;2.用下端系有小重物的细线缠绕在一个小钉上,吊起薄板,记下铅垂线的“痕迹”;3.在另一个小钉上重复(2)的活动,找到两条铅垂线的交点.上面的操作同学们都完成了吧下面我们先来思考一个问题:如果在第三个小钉上重复上述活动中的(2),那么第三铅垂线会经过前两条铅垂线的交点吗同学们想得很正确,这一点确实是这个三角板的重心.前面的学习中我们就知道,用手指顶住物体的重心位置,物体会保持平衡.同样的道理,将物体悬挂后,物体保持平衡时,说明物体所受的力处于平衡状态,即每次所保留下来的铅垂线都要经过薄板的重心,那么两条铅垂线的交点就理所当然是薄板的重心了.对于一个任意的三角形来说,我们要找它的重心,不可能每次都把它做成薄板去悬挂,所以我们有必要对上面操作的结果做进一步的分析,得到三角形重心的确切位置.同学们找一下三条铅垂线与三角形三边的交点,看看交点的位置.这三条铅垂线与对边的交点好像是对边的中点.同学们想办法来证明一下,看是不是边的中点.用刻度尺量一量,确实是三角形边上的中点.我们数学还要有充分的理论依据,请大家认真思考,可以采用逆向思维:如果是中点,会有什么结果,也就是找找该点为边的中点的理论依据.（思考、讨论）我觉得三角形薄板悬挂后,薄板处于平衡状态,那么说明铅垂线两侧的两部分一样重.这个薄板很均匀,使用我觉得铅垂线是将三角形薄板分成面积相等的两部分了,根据三角形面积公式,只能是所分得的两个小三角形的底边相等,所以说铅垂线肯定过了对边的中点.这位同学分析得太精彩了,有理有据,思路条理、清楚,这说明三角形的重心是三条中线的交点.（播放课件）结论:三角形的三条中线交于一点.这一点就是三角形的重心.不同形状、不同类型的三角形的重心又会有什么不同它们是否都在三角形内部如下图所示.第一组:我们组是找的锐角三角形的重心,它就在三角形内部.（如图a）第二组:我们的研究的直角三角形,我们发现直角三角形的重心也在三角形内部（如图b）第三组:我们研究的是钝角三角形,钝角三角形,钝角三角形的重心仍在三角形上,而且在三角形的内部.很好可以看出,三角形的重心全在三角形的内部，并且是三条中线的交点.有了上面的内容做依据,我们可以很轻松地来完成下面的探究:探究四:任意多边形的重心.活动过程:将任意多边形的薄板分发给每组同学,由学生仿照探究三中的方法,找到任意多边形的重心.如图为任意五边形的重心.在探究的过程中我们发现正五边形,正六边形等图形的重心也是它们的中心.这样我们就可以得出这样的结论:规则几何图形的重心就是该图形的几何中心,而不规则的几何图形的重心需通过悬挂法来找.同学们请看大屏幕（播放课件）.课题总结:通过这个课题学习活动,可以得出如下结论:（1）对于线段、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形等规则的几何图形,它们的重心就是该图形的几何中心.（2）对于任何的多边形这些不规则的几何图形,它们的重心就需要采用悬挂法来找.在得到这些结论的过程中,同学们能够互相配合,充分发挥自己的才智,积极主动地参与到我们的探索中来,我相信每个同学对这两节课探究都会有很深切的体会.三、课时小结在前一节课的探索基础上,我们进一步对、任意多边形等一些不规则几何图形的重心进行了探究.在实际操作过程中,同学们充分发挥自己的主动性,积极思考、大胆设想,体现了我们探究性学习的主旨,可以说,我们在这节课中收获是很大的.四、课后作业1.复习总结两节课的探究结论,并作进一步的思考与认识.2.将对本课题的探究体验写成一个学习报告,与同学交流..活动与探究如果我们身旁没有量角器或三角尺,又需要做60°、30°、15°等大小的角,可以采用下面的方法（如下图）.（1）对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重和,得到折痕EF,把纸片展平.（2）再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕过点B,得到折痕BM,同时得到了线段BN.观察所得的∠ABM、∠MBN和∠NBC,在三个角有什么关系你能证明吗通过证明可知,简单而准确.由此,15°、60°、120°、150°等角,就都容易得到了.已知:矩形ABCD,E、F分别为边AB、CD的中点,N在EF上,且MN=AM,（如图）,BN=AB.求;∠ABM、∠MBN和∠NBC的大小解:如右图延长MN交BC于点P∵AM=MN,AB=NB,BM=BM,∴△ABM≌△NBM（SSS）∴∠ABM=∠MBN.又∵EF为矩形ABCD的中位线,∴MN=NP.又∵BN=BN,∠BNM=∠BNP=Rt∠.∴△BMN≌△BPN.∴∠MBN=∠NBP.∴∠ABM=∠MBN=∠NBP=30°.。
八年级数学《课题学习 -重心1》教案
19.4、课题学习《重心》教学设计
flash演示悬线法测定线段平衡点位置。
教学反思：
本节“课题学习”，主要是让学生多动手、多实践、多猜想、多论证、多总结。
对于其中一些结论，大胆地鼓励学生进行说理甚至证明，说理证明的形式多样，可口述，可书写，可交流探讨，通过学习，进一步让学生了解规则的几何图形的几何图形的重心就是它的几何中心，体会数学和物理学科之间的联系。
注重对学生以下各能力训练培养：学生的空间想象能力；动手操作能力；实践探究能力；猜想发现能力；说明理由逻辑推理能力。
人教版数学八年级下册第19章19．4课题学习 重心 课时同步训练
第十九章 四边形19．4课题学习 重心课前预习篇1．物理实验告诉我们，能使物体保持__平衡 __的支点就是该物体的重心．2．确定物质的重心的方法：（1）平衡法：（2）悬挂法：3．物体的重心与物体的形状有关，规则的图形重心就是它的几何中心．如;线段，平行四边形，三角形，正多边形，等等．线段重心是线段中点 ；．平行四边形的重心是对角线的交点 ；三角形的重心是三条中线的交点 ． 等边三角形重心是高或中线或角平分线交点；正多边形的重心是对称轴的交点 ．不规则的图形（物体）可以通过悬挂法 来确定它的重心．4．三角形的重心定理：三角形的重心到任意一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的 2 倍或三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一．如图：G 是△ABC的重心，则： ⎪⎩⎪⎨⎧====3:2:1::12AD AG GD GE CG GF BG GD AG典例剖析篇【例1】已知：△ABC 中，AB=AC ，A E ⊥BC 于点E ，AE 与中线BF 相交于点G ，AE=18 cm,GF=5cm,求BC 的长．【解析】本题要利用等腰三角形底边上的高也是底边上的中线的性质，从而确定点G 是三角形的重心．根据三角形的重心定理，则此题可解．解：因为在△ABC 中，AB=AC ，A E ⊥BC ，所以AE 是BC 边的中线．因为AE 与中线BF 相交于点G ，因为AE=18 cm,GF=5cm,所以根据重心定理可得：BG=2GF=10 cm ，GE= 13AE=6 cm ．因为A E ⊥BC ，BG=10 cm ，GE=6 cm ，222AB C E FG所以22106BE=-．因为AE是中线，E是BC的中点，所以BC=2BE=16 cm．基础夯实篇1．判下列说法错误的是（C）A．人体的重心有可能随着人体姿态的变化而改变B．经过平行四边形重心的直线把它分成面积相等的两部分C．规则形状的几何体的重心不一定是它的几何中心D．重心不一定在物体上2．（2010荆门）给出以下判断：(1)线段的中点是线段的重心(2)三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心(3)平行四边形的重心是它的两条对角线的交点(4)三角形的重心是它的中线的一个三等分点那么以上判断中正确的有( D)(A)一个(B)两个(C)三个(D)四个3．小明和家在一次外出时，当地的人告诉他，要过独木桥，肩上挑一担重物再过去比空手过去安全，从重心的角度考虑，他们这样做是希望（ A ）A．重心低一点 B．重心高一点C．走得快一点 D．使重心落在桥上4．老翁有一块质地均匀的三角形金块，如何用最简单的方法把金块平均分给他的三个子女？（C）A．先找出三角形金块三边中垂线的交点，再以该点为中心，进行切割B．先找出三角形三个内角平分线的交点，再以该点为中心，进行切割C．先找出三角形三中线的交点，再以该点为中心，进行切割D．先找出三角形三边上的高的交点再以该点为中心，进行切割5．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有（D ）A．1种B．2种C．4种D．无数种6．在①线段②平行四边形③矩形④菱形⑤正方形⑥等边三角形⑦等腰梯形⑧等腰三角形中，绕它们的重心旋转180度后,所得的图形能与原图重合的有①②③④⑤．7．一个正方形的边长为a，则它的重心G到一个顶点的距离为22．8．已知G是正三角形ABC的重心，AG=3，则该三角形的边长是33．9．已知矩形ABCD中，AB＜BC，重心G到短边的距离为2，矩形的周长为20，则矩形的面积为24．决胜中考篇10．课堂上，老师拿出一根长为50 cm 的圆柱形木棒，要求同学们标出该木棒的重心，小明马上在该木棒的25cm 处标了出来，请问他找出的重心正确吗？答：小明的做法是不对的．如果木棒是质地均匀的，则木棒的重心就是它的几何中心，如果木棒的质地不均匀，则要用悬持法来确定木棒的几何中心．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，G为△ABC的重心，且GC=4，则△ABC的面积为多少？解：因为G为△ABC的重心，所以CD：GC=3：2，CD=BD=12 AB，因为GC=4，所以BD=CD=6，AB=12．因为∠ACB=90°，∠ABC=60°所以△BCD是等边三角形，所以BC=BD=6，∠BAC=30°，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：22AC AB BC=-= 2212663-=所以△ABC的面积为12·AC·BC=18312．如图所示，有一块质地均匀的铁皮，请找出它的重心位置．解：如图，连接BE，根据图中数据可知，BE平分这块铁皮，从而只要再画出一条与BE相交肯平分这块铁皮的直线，它们的交点即为这块铁皮的重心．如图，点O就是所画的铁皮的重心．13．已知：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，G 是△ABC 的重心．（1）求点G 到直角顶点C 的距离GC ．（2）求点G 到斜边AB 的距离．（1）解：因为在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，所以根据勾股定理得：222AB AC BC =+ 所以AB= 22345+=．因为G 是△ABC 的重心，所以CD 是Rt △ABC 斜边的中线所以CD=12AB=2．5． 因为G 是△ABC 的重心，所以CD ：GC=3：2， 因为CD=2．5,所以GC= 53所以点G 到直角顶点C 的距离GC=53． （2）在Rt △ABC 中，因为AC=4，BC=3，AB=5，所以设AB 边上的高h ，SABC=12AC 12BC=12AB 12h ，所以SABC=6，h= 125． 因为D 是AB 的中点，所以S △ADC=12S △ABC ． 在△ADC 中，因为GD ：CD=1：3，所以S △AGD ：S △ADC=1：3，因为S △ADC=12S △ABC ，所以所以S △AGD ：S △ABC=1：6， 在△AGD 与△ABC 中，因为AD=12AB ，△ABC 中AB 边上的高h= 125，设△ADC 中，AD 边上的高为x,则x:h=1:6，所以x=25,所以点G 到斜边AB 的距离△ABC 中是25．。
八年级下册19.4重心 说课课件
1）实践操作 Leabharlann 衡法悬挂法 2）分小组各自寻找矩形，菱形，一般平行四 边形的重心，将钉子钉在找出的重心处，把细 绳系在钉子上将它们吊起，看看此时这些纸片 能否保持平衡 3）动手发现：平行四边形的重心是它的两条对角线的交点
1）利用悬挂法寻找任意三角纸片重心
2）可以发现三角形的三条中线交与一点，这一点就是三角形的重心
可以利用悬挂法或直接用手指顶住木片印证平衡点就是木板的重心
教学设计目的： 教学设计目的：
1、本节课从生活中的实例入手，重视合作学习、探究活 本节课从生活中的实例入手，重视合作学习、 动、小组讨论等课堂的学习和组织形式，从而引出重心的概念。 小组讨论等课堂的学习和组织形式，从而引出重心的概念。 2、本堂课在寻找重心的过程中，深刻理解几何图形的重心 本堂课在寻找重心的过程中， 就是它的几何中心，可让学生体会数学与物理学科之间的联系， 就是它的几何中心，可让学生体会数学与物理学科之间的联系， 从而培养学生的学习兴趣，启发学生不断思考，探究的学习精神。 从而培养学生的学习兴趣，启发学生不断思考，探究的学习精神。 3、进一步巩固特殊平行四边形及三角形中心的物理及几何意 义，加深几何图形的理解。 加深几何图形的理解。
本章及本节的地位和作用： 本章及本节的地位和作用： 四边形》 《四边形》这一章主要介绍了平行四 边形、特殊的平行四边形、梯形的概念、 边形、特殊的平行四边形、梯形的概念、 判定、性质等相关知识，同时对重心做 判定、性质等相关知识， 了简要的介绍， 了简要的介绍，本章在学习了特殊平行 四边形后，安排了课题学习《重心》 四边形后，安排了课题学习《重心》， 加强了基本几何知识的实际应用， 加强了基本几何知识的实际应用，体会 数学和物理学科之间的联系， 数学和物理学科之间的联系，构建学科 的互动与交流。 的互动与交流。
19.4 课题学习 重心教学设计及教学反思
19．4 课题学习重心创新整合点：利用多媒体，把观察、猜想、操作、作图融合在一起，激发学生的直觉意识．教材分析：本章及本节的地位和作用：《四边形》这一章主要介绍了四边形以及平行四边形，特殊的平行四边形，梯形的概念，判定性质等相关知识，同时对重心做了简要的介绍，本章在学习了特殊平行四边形后，安排了课题学习《重心》，加强了基本几何知识的实际应用，体会数学和物理学科之间的联系，构建学科的互动与交流。
学情分析：学生在实验探究过程中，感受到数学活动的乐趣，培养学生用于动手、乐于交流和善于进行合情推理能力，并在学习活动中获得积极向上的情感体验，从而形成科学的价值观。
教学目标：知识与技能目标：理解和掌握几何图形的重心的寻找方法．过程与方法目标：经历寻找几何图形的重心的过程，领会物体重心的内在含义，提高操作应用能力．发展几何识图意识．情感态度与价值观目标：逐步形成严谨求实的科学态度，激发学生的直觉意识．教学环境与准备教师准备：尺规、教具：木条、四边形木板，平行四边形、矩形、菱形、正方形、三角形硬纸片．钉子，细绳，小重物，刻度尺等．学生准备：预习本节课内容，准备与教师准备同样的学具．学法解析1．认知题点：学习了三角形、平行四边形、矩形、菱形、•正方形等几何图形，积累一定的经验的基础上学习本节课内容．2．知识线索：几何图形→发现→探究→确定重心．3．学习方式：采用操作感知的方式来发现、寻找、重心．教学过程：一、操作感知，寻求方法【引入概念】学生活动：小游戏、观察图片、转书活动。
告诉学生这一点就是这个几何图形的重心．教师活动：提出一些常见的几何图形，如：线段、三角形、四边形等的重心在哪个位置上呢？大家一起来探讨．教师教具：均匀的木条、规则四边形：正方形、长方形、菱形、一般平行四边形等硬纸片；三角形、五边形硬纸片；钉子，细绳，小重物，刻度尺等．【活动方略】活动1：探究线段的重心．学生活动：出示学具：一根均匀的木条，去找这条木条的平衡点．小组活动：（1）把木条放在手指上感知平衡点的大概位置。
课题学习重心教学设计
课题学习重心教学设计课题学习重心教学设计教学目标：1、认识几何图形的重心。
2、探究规则几何图形的重心。
3、探究不规则几何图形的重心。
教学重点：寻找几何图形的重心，感受直觉意识。
教学难点：实验活动的规范操作，及寻找三角形的重心。
教学过程：一、情景引入教师操作：拿出一块准备好的木板（四边形）找到一点，用一个手指顶住这一点，木板会保持平衡，告诉学生这一点就是这个几何图形的重心。
教师活动：提出一些常见的几何图形，如：线段、三角形、四边形等的重心在哪个位置上呢？大家一起来探讨。
二、活动与思考问题1：寻找线段的重心。
学生活动：出示学具，一根均匀的木条，用前面所演示的方法去找这条木条的平衡点（分四人小组讨论）。
小组活动：（1）用刻度尺量出平衡点的位置，相互比较。
（2）从相互比较中得出线段的重心：线段的重心就是线段的中点。
教师活动：巡视，并和学生共同试验，发现问题，最后归纳。
问题2：寻找平行四边形的重心。
学生活动：分四人小组，拿出各自的学具探索，相互比较。
小组活动：（1）用一个手指顶住一块均匀的正方形硬纸片，寻找平衡点；（2）互相交流后，找到平行四边形重心是对角线的交点O。
（如图）（3）由于矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，•可以发现它们的重心也都在它们对角线的交点上。
归纳小结：平行四边形的重心是它的两条对轴线的交点。
问题3：寻找三角形的重心。
学生活动：分四人小组，拿出各自的学具探索，发现问题。
小组活动：（1）在一块质地均匀的三角形硬纸板的每一个顶点处钉一个小钉作为悬挂点。
（2）用下端系有小锤的细线缠绕在一个小钉上，然后吊起硬纸片，•记录垂线的“痕迹”；（3）在另一个小钉上重复（2）的活动，找到两条铅垂线的交点（记为O）（4）在第三个小钉上重复（2）的活动，观察第三条铅垂线经过点O，•三条铅垂线和对边的交点D、E、F分别在对边中点，点O就是三角形的重心。
（如图）归纳小结：三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心。
《课题学习 重心》
19·4 课题学习重心——教学案例[教学背景]《19·4课题学习重心》是人教版八年级数学下册第十九章末的一节课题学习，本章在学习了特殊平行四边形后，安排了此课题。
重心本身是一个物理概念，就是重力的作用点，本节在这里研究重心，主要是研究一般多边形的重心，是研究平面图形重心的问题，让学生多动手、多实验、多猜想，对于发现的一些结论可以通过实验验证，或者理论书写等方式证明，不要让学生滑入“想当然”的误区。
[教材分析]知识与技能：1、通过寻找常见的几何图形的数学活动，经历探究物体与图形的重心过程，了解规则几何图形的重心，就是它的几何中心。
2、了解不规则图形的重心，寻找方法及性质应用。
过程与方法：1、在探索线段，特殊平行四边形的重心、三角形、任意多边形等活动中，经历观察，实验猜想过程，发展几何直觉。
2、了解重心的物理意义，体会数学与物理学之间的联系。
情感态度与价值观：在进行探究活动的过程中，让学生感受数学活动的乐趣，培养学生积极动手，合作交流的意识及含情的归纳推理。
教学重点通过课题学习的任务、目的、过程、结论等环节，培养学生的探究能力和创新意识，以及用重心解决实际问题的能力。
教学难点实验活动的规范操作，寻找常见图形的重心以及用重心解决实际问题的能力。
[教学方法]实验—探究教学法（1）创设情境，引入课题通过播放杂演员走钢丝、不倒翁以及体操运动员过平衡木，还有举重运动员举起杠铃的瞬间图片，吸引学生注意力，激发学生的好奇心和求知欲，同时增强了学生的爱国意识，树立学生为国增光的信念通过欣赏图片，让学生找出这些优美动作的共性即就是保持一种平衡。
此时引入“重心”，教师对重心这一概念做以简单的介绍，明确重心就是重力的作用点，所有物体都受重力的作用因而所有物体都有重心，感受物体的重心是客观存在的，使得课题的出现具有现实性和挑战性。
（2）活动1：请同学们拿出准备好的木条，寻找它的平衡点，并测量平衡点与木条两端点的距离。
八年级数学下册 19.4 课题学习 重心 新人教版
1.走钢丝的演员为什么不会掉下来? 2.杂技演员手上的碟子为什么也不会掉下来？
怎样用一个手指平衡地顶起一本书？
手指顶在书本的中心就可以平衡，这个平 衡点叫做书本的重心
任何有固定形状的物体，不论 其在地球表面如何放置，其平 行分布重力的合力（通常所说 的物体的重力）作用线，都通 过物体上一个确定的点，这一 点称为物体的重心。
度尺），验证猜想 （3）分小组汇报验证过程 （4）哪个小组的方法更准确呢？
平行四边形的重心是它的两条对角线的交点
探究（三）：平行四边形重心的特征：
A
D
o·
B
C
A B
D
o·
C
A B
E
o·
F
D C
过平行四边形重心的任一条直线都平分
这个平行四边形的面积。
创新应用：
如图，一块方角形钢板，工人师傅想把他分成 面积相等的两部分，请你在图中画出作图痕迹
本节课我们分组探究了:
平衡法
1、如何找出一个物体的重心 2、得出两个重要的结论：
பைடு நூலகம்
悬挂法
(1)线段的重心是线段的中点；
⑵平行四边形的重心是它的两条对角
线的交点.
过平行四边形重心的任一条直线都平分 这个平行四边形的面积。
1、阅读教材P124-125 2、思考：如何确定三角形的重心
探究（一）：寻找线段的重心
（1）猜想：线段的重心是线段的中点 （2）利用手中器材（一根玻璃棒或木棒、细绳、刻
度尺），验证猜想 （3）分小组汇报验证过程 （4）哪个小组的方法更准确呢？
线段的重心就是线段的中点
探究（二）：寻找平行四边形的重心
（1）猜想：平行四边形的重心是它对角线的交点 （2）利用手中器材（一个平行四边形、细绳、刻
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19.4 课题学习. 重心
教学目标
1、通过寻找常见的几何图形重心的教学活动，经历探究物体与图形的重心的过程，了解规则几何图形的重心就是它的几何中心
2、在探索线段、特殊平行四边形、三角形、任意多边形的重心等活动过程中，经历观察、实验、猜想等过程，发展几何直觉。
3、了解重心的物理意义，体会数学与物理之间的联系，能用实验的方法寻找任意多边形的重心。
教学重点：
通过课题学习，培养学生的探究能力和创新意识。
教学难点：
实验活动的规范操作，以及寻找三角形的重心
教学过程
一．介绍重心的物理意义
1、在一块均匀的木板上，我们可以找到一点，如果用手指顶住这点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块木板的重心
2、提出课题，一些常见的几何图形的重心在何处呢？
二、探究操作
1、探究线段的重心
实验步骤
（1）找出平衡点的位置
两手分开，把均匀木条水平地架在左右手的食指上，把两食指相对交
替靠拢，直到并在一起为止，用一个食指支在此处，木条能呈水平平衡
（2）用刻度尺量出平衡点的位置
（3）再用另一根木条寻找平衡点。
（4）总结均匀木条的重心在什么位置，是否其他均匀的木条也具有同样的结论？
（5）根据上面的活动，你有什么发现？
填写发现记录
2、探究平行四边形的重心
实验步骤
（1）用一个手指顶住一块均匀的正方形硬纸片，找出平衡点的位置（2）探究这个平衡点与正方形对角线的交点有什么关系，你有什么发现？
（3）根据（2）的发现，你能找出矩形、菱形、一般平行四边形的重心在什么位置吗？
填写发现记录
（4）用悬挂的方法检验：
将一根钉子钉在你找出的重心处，把细绳系在钉子上，将它们吊起，看看比时这些物体能否保持平衡
3、探究三角形的重心
（1）在一块质地均匀的三角形硬纸板的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点
（2）用下端系有小重物的细线缠绕在一个小钉上，吊起硬纸板，记下铅垂线的“痕迹”
（3）在另一颗小钉上重复（2）的活动，找到两条铅垂线的交点（记为O）
（4）在第三颗小钉上重复（2）的活动，看看第三条铅垂线经过点O 吗？三条铅垂线和对边的交点D 、E、F分别在对边的什么位置？点O是三角形木板的重心吗？用合适方法检验一下
填写发现记录
4、探究任意多边形的重心
实验步骤：
（1）仿照上面活动了的做法，找出任意五边形的重心
思考：你能找到任意一个多边形的重心在什么位置吗？
填写发现记录
（2）了解重心在生活中的应用
二、实验总结
通过这个课题学习活动，你得到了哪些主要结论？在得到这些结论的过程中你有哪些体会？写一个学习报告，和同学们交流。