2011年第22届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试试题与答案

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛

初一 第2试

2011年4月10日 上午9：00至11：00 得分＿＿＿＿

一、选择题(每小题4分，共40分。)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确的英文字母写在每题后面的圆括号内。

1. 有理数a ，b 满足20a +11| b |=0 (b ≠0)，则

2b

a

是 (A) 正数 (B) 负数 (C) 非正数 (D) 非负数 。

2. 如图1，直线MN //直线PQ ，射线OA ⊥射线OB ，∠BOQ =30︒。若以点O 为旋转中心，将

射线OA 顺时针旋转60︒后，这时图中30︒的角的个数是

(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 。

3. 有理数a ，b 在数轴上对应的位置如图2所示，那么代数式

1|1|++a a -a a ||+||b a a

b +--|

1|1--b b 的值是 (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 。

4. 如图3，ABCD ，AEFG ，BIHE 都是平行四边形，且E 是DC 的中点，点D 在FG 上，点C 在HI 上。△GDA ，△DFE ，△EHC ，△BCI 的面积依次记为S 1，S 2，S 3，S 4，则

(A) S 1+S 2>S 3+S 4 (B) S 1+S 2

(C) S 1+S 2=S 3+S 4 (D) S 1+S 2与S 3+S 4大小关系不确定 。

5. If x is a prime number, y is an integer, and x 21-x =32

2+y , than xy 2= (A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 64 。

(英汉小辞典：prime number 质数，integer ：整数) 6. 如图4，AB //CD //EF //GH ，AE //DG ，点C 在AE 上，点F 在DG 上。设与∠α相等的角的个数为m ，与∠β互补的角的个数为n ，若α≠β，则m +n 的值是

(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 。

7. 甲用1000元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利10%，而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了10%。最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙，若上述股票交易中的其它费用忽略不计，则甲 (A) 盈亏平衡 (B) 盈利1元 (C) 盈利9元 (D) 亏损1.1元 。 8. 梯形的上底长5，下底长10，两腰分别长3和4，那么梯形的面积是 (A) 18 (B) 22.5 (C) 26.25 (D) 30 。 9. 已知| x |≤3，| y |≤1，| z |≤4且| x -2y +z |=9，则x 2y 2011z 3的值是 (A) 432 (B) 576 (C) -432 (D) -576。

10. 如图5，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP =20︒，

图1 O

N

M A B P

Q

图2

-1

a b 1 G A B

C

D E

F H H I S 1

S 2 S 3 S 4 图3

图4 F

D E G

α H A B

C β 未经“希望杯”组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式（包

括网络）转载。

∠ACP =50︒，则∠A +∠P =

(A) 70︒ (B) 80︒ (C) 90︒ (D) 100︒ 。

二、填空题 (每小题4分，共40分)

11. 若y 2=2x -a ，则4x 2-4ax -4x 2y +2ay 2+y 4+a 2-1= 。

12. 如图6，有两个长度相同的滑梯BC 和EF ，滑梯BC 的高度 AC 等于滑梯EF 在水平方

向上的长度DF

，则∠ABC

+∠DFE =

度。

13. 能被7整除的各个数码均不相同的最小的十位数是= 。 14. 如图

7， ， ，●，❍都是由9个边长为1厘米的正方形组成的3⨯3平方厘米的正方形，其中的阴影四边形的面积分别记为S 1，S 2，S 3和S 4。则S 1，S 2，S 3和S 4中最小的与最大的和是 平方厘米。 15. 已知x = -1时，3ax 5

-2bx 3

+cx 2

-2=10，其中a ：b ：c =2：3：6，那么23b

c

a = 。

16. 将长与宽分别为6与4的长方形纸片剪去3个等腰直角三角形后，剩余部分的面积最小是= 。

17. 有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙。如果它们从同一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔13

1分钟相遇一次。现在，它们从同一点同时出发，沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了4圈，此时它们行驶了 分钟。

18. 如图8，长方形ABCD 的长为8，宽为5，E 是AB 的中点，点F 在BC 上，已知△DEF 的面积为16，则点D 到直线EF 的距离为 。

19. If A =n

8102011

2010812811810⨯⨯⨯⨯⨯ is a positive interger, then

themaximum value of positive interger n is 。

20. 自然数n 的各位数字中，奇数数字的和记为S (n )，偶数数字的和记为E (n )，例如S (134)=1+3 =4，E (134)=4，则S (1)+S (2)+…+S (100)= ，E (1)+E (2)+…+E (100)= 。

三、解答题 每题都要写出推算过程。 21. (本题满分10分)

甲乙两车在A ，B 两城连续地往返行驶。甲车从a 城出发，乙车从b 城出发，且比甲车早出发1小时，两车在途中分别距离A 、B 两城为200千米和240千米的C 处第二次相遇。相遇后，乙车改为按甲车的速度行驶，而甲车却提速了，之后两车又再C 处第二次相遇。之后如果甲车再

图5

A

B

20︒

C

M

50︒

A C

E

图6

图7

● ❍ B

图8