高中数学竞赛模拟试题及参考答案(可编辑)

数学奥林匹克高中训练题

第一试

一、填空题（每小题8份，共64分）

1.函数3

()2731x

x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.

2.在数列{}n a 中,11

3

a =

,且12[]n n n a a a +=-,则20092010a a +=_____. 3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____. 4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2

221x x -的取值范围为_____.

6.在四面体-O ABC 中,若点O 处的三条棱两两垂直,,则在该四面体的表面上与点A 距离为2的点形成的曲线长度之和为_____.

7.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2k

k e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.

8.某校进行投篮比赛,共有64人参加.已知每个参赛者每次投篮的命中率均为

3

4

,规定只有连续命中两次才能被录取,一旦录取就停止投篮,否则一直投满4次.设ξ表示录取人数,则E ξ=_____.

二、解答题（共56分）

9.(16分)设抛物线2

2y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上点F 的右侧,以FA 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:FM FN FA +=.

10.(20分)是否存在(0,)2

π

θ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.

11.(20分)设函数3

2

()f x ax bx cx d =+++的图像Γ上有两个极值点,P Q ,其中P 为坐标原点, (1)当点Q 的坐标为(1,2)时,求()f x 的解析式；

(2)当点Q 在圆2

2(2)(3)1x y -+-=上时,求曲线Γ的切线斜率的最大值.

加试

一、(40分)设圆的内接四边形ABCD 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且ABC

∠与ADC ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在AC 上的充要条件是PR QR =.

二、(40分)已知周长为1的i i i A B C ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c .

设2224i i i i i i i p a b c a b c =+++(1,2)i =,求证:121

||54

p p -<.

三、(50分)是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平

方数？若存在,求,,,p q r s 的值；若不存在,说明理由.

四、(50分)对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.

求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.

参 考 答 案 第一试

一、1.53-.

令3x

t =,[0,3]x ∈,则有3

()()271f x g t t t ==-+,[1,27]t ∈,而2

'()3273(3)(3)g t t t t =-=-+.故当[1,3]t ∈时,'()0g t <,()g t 单调递减,当[3,27]t ∈时,'()0g t >,()g t 单调递增.所以当3t =,()g t 取得最小值min ()(3)53g t g ==-,即当1x =时,()f x 取得最小值53-.

2.2009. 由已知可得11

3

a =

,223a =,343a =.下面用数学归纳法证明:21n n a a +-=,1n n a a n ++=.

显然,当1n =时,结论成立.

假设当n k =时,结论成立,即是有21k k a a +-=,1k k a a k ++=.则当1n k =+时,

3122222[](2[])2()([][])2[1][])1k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a ++++++-=---=---=-+-=（. 121(1)1k k k k a a a a k ++++=++=+. 即,当1n k =+时,结论也成立.

综上所述,21n n a a +-=,1n n a a n ++=总成立.故200920102009a a +=.

3.8

4.

由题意若x A ∈,则5(mod 6)x ≡ ,若x B ∈,则3(mod 8)x ≡ ,故若x A B ∈ ,则11(mod 24)x ≡ ,即若x A B ∈ ,则2411x k =+,于是可得满足题意的元素共有84个.

4.4. 由已知得

11sin 12cos x n x --=--

-,而1sin 2cos x

x

---表示上半个单位圆(不包括端点)上的动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,1)Q -的斜率k ,要满足题意就要直线PQ 与上半个单位圆(不包括端点)有两个不同的交点,此时4(,1)3k ∈--,从而可得

11

(0,)3

n ∈,故3n >,即正整数n 的最小值为4. 5.[0,3).

由0=++c b a 知方程02=++c bx ax 有一个实数根为1,不妨设11x =,则由韦达定理可知2c

x a

=.而c b a >>,0=++c b a ,故0,0a c ><,且a a c c >-->,则122c a -<<-,故2221()44c x a

<=<,从而可得2

2

12||[0,3)x x -∈.

6.

32

π

. 如图,点,M N 分别在棱,AB AC 上,且2AM AN ==,点,E F 分别在棱,OB OC 上,且1OE OF ==,则2AE AF ==,因此,符合题意的点形成的曲线有:①在面OBC 内,以O 为圆心,1为半径的弧EF ,其长度为

2π；②在面AOB 内,以A 为圆心,2为半径的弧EM ,其长度为6

π；③在面AOC 内,以A 为圆心,2为半径的弧FN ,其长度为6

π；④在面ABC 内,以A 为圆心,2为半径的弧MN ,其长度为23π.所以,所求的曲线长度之和为2326632

πππππ

+++=

. 7.122n --.

设第k 个椭圆的长半轴为k a ,焦半径为k c ,则由题意有21k k a c =,2k k k k

c

e a -==,故可得2k k a -=,于

是可得121222212n n

n a a a ----+++=+++=- ,故这n 个椭圆的长轴之和为12(12)22

n n

---=-.

8.

189

4

. 由于每位参赛者被录取的概率均为331331133189

444444444256

p =

⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=

,故录取人数ξ服从二项分布,即189(64,)256B ξ~,所以189189

642564

E ξ=⨯=

.