复数问题的题型与方法

复数问题的题型与方法

复数一节的题型主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等．

一、数学规律：

1．共轭复数规律，

2．复数的代数运算规律i4n 1=i，i4n 2= 1，i4n 3= i；

1）i 4n=1

n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 n 3 （3）i · i · i ·i = 1，i ＋i ＋i ＋i =0；

；

3．辐角的运算规律

（1）Arg（z1·z2）＝Argz1＋Argz 2

3）Argzn=nArgz （n∈N）

⋯，n 1。

或z∈R 。

要条件是|z|＝|a|。

（6）z 1·z 2 ≠0，则

4．根的规律

复系数一元 n 次方程有且只有 n 个根，实系数一元 n 次方程的虚根成对共轭出现。 5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式

||z 1| |z 2 ||≤|z 1± z 2 |≤ |z 1 |+|z 2 |的运用。

即|z 1±z 2 |≤ |z 1 |+|z 2 |等号成立的条件是： z 1 ， z 2所对应的向量共线且同向。

|z 1±z 2 |≥|z 1| |z 2 |等号成立的条件是： z 1，z 2 所对立的向量共线且异向。

二、 主要的思想方法和典型例题分析：

1．化归思想

复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有 机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。反之亦然。这 种化归的思想方法应贯穿复数的始终。

分析】这是解答题，由于出现了复数 z 和 z ，宜统一形式，正面求解。

解】解法一 设 z ＝x ＋yi （ x ， y ∈R ），原方程即为 x 2 y 2 3y 3xi 1 3i

用复数相等的定义得：

∴

z 1= 1， z 2

= 1+3i.

代入①式得原方程的解是 z 1 = 1， z 2 = 1+3i.

例 2】 （1993·全国·理）设复数 z=cos θ ＋ isin θ（0<

cos(2 2 ) isin(2 2 )

tan2 2 2

tan2 cos( 4 )

isin( 4 ) 22

说明】 此题转化为三角问题来研究，自然、方便。

222

【例 3】 设 a ，b ，x ，y ∈R+，且 x 2 y 2 r 2（r >0），

求证：

分析 令

z 1 =ax+byi ， z 2 ==bx+ayi （ a ， b ， x ， y

∈ R+），则问题化归为证明：

| z 1 |+| z 2 |≥ r （ a+b ）。

证明 设

z 1 =ax+byi ， z 2 =bx ＋ayi （a ，b ，x ，y ∈R+），则

两边取模，得：

解】 ∵ z ＝cos θ +isin θ

4

z =cos4θ＋ isin4 θ

cos2 isin2 即

tan2

33

，又∵0<θ<π，当 tan2

33

时，

12

或

12

7

=|（a+b）x+ （a＋b）yi| =|（a＋b）（x+yi ）|＝（a＋b）·r。

解如图所示，设点Q，P，A 所对应的复数为：

即（x0 3a+y 0i ）·（i）＝（x 3a+yi ）

由复数相等的定义得

而点（x0，y 0 ）在双曲线上，可知点P的轨迹方程为

【说明】将复数问题化归为实数、三角、几何问题顺理成章，而将实数、三角、几何问题化归为复数问题，就要有较强的联想能力和跳跃性思维能力，善于根据题设构造恰到好处的复数，可使问题迎刃而解。

2．分类讨论思想分类讨论是一种重要的解题策略和方法。在复数中它能使复杂的问题简单化，从而化整为零，各个击破。高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法。

【例5】（1990·全国·理）设a≥0，在复数集C中解方程z2＋2|z|=a。

分析一般的思路是设z=x＋yi（x，y∈R），或z=r（cosθ ＋isin θ ），若由z 2＋2|z|=a

转化为z 2=a 2|z|，则z 2∈R。从而z 为实数或为纯虚数，这样再分别求解就方便了。

总之，是一个需要讨论的问题。

【解】解法一∵z2 =a 2|z|∈R ，∴ z为实数或纯虚数。

∴ 问题可分为两种情况：

（1）若z∈R，则原方程即为|z|2 +2|z| a=0，

（2）若z 为纯虚数，设z=yi （y∈R 且y≠0），则原方程即为|y|2 2|y|＋a=0 当a=0 时，|y|=2 即z=± 2i。

当0

当a> 1 时，方程无实数解，即此时原方程无纯虚数解。综上所述，原方程：

当a=0 时，解为z＝0 或z=± 2i

解法二设z=x ＋yi ，x，y∈R，将原方程转化为

3．数形结合思想数与形是数学主要研究内容，两者之间有着紧密的联系和互相渗透、互相转化

的广阔前景，复平面的有关试题正是它的具体表现。运用数形结合思想与方法解题是高考考查

的热点之一，应引起注意。

5

【例6】已知|z|=1，且z5 +z＝1，求z。

【解】由z 5 +z=1 联想复数加法的几何性质，不难发现z，z 5，1 所对应的三点A，B，C 及原点O

构成平行四边形的四个顶点，如图所示，