电场场强与电势的微分关系
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电势场强微分关系,电偶极子,电介质
UP
k
p cos θ r2
k
p r r3
k
p
r0
r2
28
五、电介质(了解) 无极分子位移极化 有极分子取向极化 极化强度： 描述极化程度
P
pi
V
均匀电介质中的电场：E E0 r r 1 e 0r
29
r2
14
U
k
p r0
k
p cos
r2
r2
电势与p成正比， 与距离的平方成反比， 还与方位有关。
求中垂面上的电势：
U=kq/r+(-kq/r) = 0
U k p cos 0
r2
y
rr
q q l
x
15
A●
B
●
●C
U A 0;UB 0;UC 0
p cos
U k
r2
16
3 电偶极子电场中的场强
a q0E dl
3. 电势：(1)
UA
E dl
A
(2)
Ua
q
4 π 0r
4. 电势差：
b Ua Ub a E dl
2
6.3.1 场强与电势的关系
1 等势面（电势图示法） 等势面：电势相等的点连成的面。
规定任意两相邻等势面间的电势差相等
为什么这么规定？
3
等势面的特征：
➢电荷沿等势面移动时,静电力做功为零
电势沿法线n方向的变
化率： dU dU dn dl
电势沿法线n方向的变化最快
(电势变化率最大)
电势梯度：gradU
dU dn
n0
单位：V/m
9
3 电势与场强的微分关系
q0沿法线n方向从A移到B， 电场力做的功：
1.6 电场强度与电势的微分关系
V E n
V E en n
V
V+dV
E与 V 的关系
V E 大小: n 方向：沿V 减小方向
V 大小:
V n
dln
e n
Q
q
dl
P
方向：沿V增大方向
E
V E e n gradV V n
E V
V V lim n n 0 n
U E
两方向微商的关系：
V V cos l n
P n l
Q R
U U
V V V V V lim lim lim cos cos l l 0 l n0 n / cos n0 n n
V Q 4 0 R 2 x 2
小
计算电势的方法
1、点电荷场的电势及叠加原理
结
计算场强的方法
1、点电荷场的场强及叠加原理
V
i
4 0 ri （分立）
qi
E
i
V
dq 4 0 r
Q
（连续）
E
2、可有
r dq （连续） Q 4 r 3 0
qi r 4 0 ri3 （分立）
§1.6 电场强度和电势梯度的关系 1.6.1 等势面
空间电势相等的点连接起来所形成的面称为等势面. 为了 描述空间电势的分布，规定任意两相邻等势面间的电势差相等. (等势面的疏密反映了场的强弱)
点 电 荷 的 等 势 面
V12 V23
V El
dl2 dl1
E2 E1
两平行带电平板的电场线和等势面
三.同一问题中能否选取不同的电势零点 例：均匀外电场 E0 中置入一点电荷 q 求空间任意一点的电势 .p 解：把坐标原点选取在点电荷所
场强与电势的关系
E
q0
等势面
a dl b
Aab q0U ab 0
B）电力线与等势面正交。 反证法： 若 E 与等势面上一线元 E 成一不等于 90 度的角 q0 将 q0移动 dl a b
等势面
dl
dA q0 E dl q0 E cosdl 0
除非 等于90度。（证毕）
例二）均匀带电圆盘轴线上任一点P的电势为
2 2 Up ( R x x) 2 0
解：
R
求场强。
P
x
U ˆ E i x X ˆ 2 2 ( R x x )i x 2 0 x ˆ (1 )i 2 2 2 0 R x
U a Ub
b
b
一)场强与电势的微分关系
E
b
b
a
E
dl
E cosdl dU E dl dU
a b a b a l a
a
a E dl (Ub U a )
b
E dl
El dl dU
dU El dl
E
dU El dl
二）场强、电势关系的应用 1）解释现象 A）场强总是沿电势变化最快的空间方向从 高电势指向低电势处。 gradU 表示沿电势增加最 E 快的方向的一个矢量。
gradU U dU
B）等势面越密的地方，场强越大。
U
E gradU
U ˆ U ˆ U ˆ E i j k x y z
E）电势不变的空间场强一定为零。 F）场强的单位是伏特/米。
2）已知电势求场强（求导即可） 例一）已知点电荷的电势 U Y Z + 解：
q0
等势面
a dl b
Aab q0U ab 0
B）电力线与等势面正交。 反证法： 若 E 与等势面上一线元 E 成一不等于 90 度的角 q0 将 q0移动 dl a b
等势面
dl
dA q0 E dl q0 E cosdl 0
除非 等于90度。（证毕）
例二）均匀带电圆盘轴线上任一点P的电势为
2 2 Up ( R x x) 2 0
解：
R
求场强。
P
x
U ˆ E i x X ˆ 2 2 ( R x x )i x 2 0 x ˆ (1 )i 2 2 2 0 R x
U a Ub
b
b
一)场强与电势的微分关系
E
b
b
a
E
dl
E cosdl dU E dl dU
a b a b a l a
a
a E dl (Ub U a )
b
E dl
El dl dU
dU El dl
E
dU El dl
二）场强、电势关系的应用 1）解释现象 A）场强总是沿电势变化最快的空间方向从 高电势指向低电势处。 gradU 表示沿电势增加最 E 快的方向的一个矢量。
gradU U dU
B）等势面越密的地方，场强越大。
U
E gradU
U ˆ U ˆ U ˆ E i j k x y z
E）电势不变的空间场强一定为零。 F）场强的单位是伏特/米。
2）已知电势求场强（求导即可） 例一）已知点电荷的电势 U Y Z + 解：
§8.6等势面电场强度和电势的关系
b
q0
E dl
a
q0 (ua ub ) 0
(2) 等势面与电力线互相垂直。
E 等势面
(3) 规定相邻两等势面的电势差相等。
等势面密集——电场较强；
等势面稀疏——电场较弱； (4) 电场强度的方向总是指向电势降低的方向。
第8章 静电场
2
二. 电势与电场强度的微分关系
取两个相邻的等势面，等势面法线方向为 n ，设 n 相同，把点电荷从P移到Q，电场力作功为：
EyBiblioteka u yEzu z
E
(u
i
u
j
u
k)
grad(u)
x y z
某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这 就是电势与电场强度的微分关系。
第8章 静电场
5
思考：以下说法对吗？
E大处
E0处
u高 u0
E小处 E均匀处
u低 u 均匀
注意：
E 的大小，取决于 du 的大小，而不是u的大小
dn
如：均匀带电球面内部空间
§8.6 等势面 电场强度和电势的关系
一、等势面 （描绘电势的空间分布）
1. 等势面——在电场中电势相等的点所连成的曲面。 规定：相邻等势面之间电势差相等。
+
+
（点电荷） （无限大平面）
（电偶极子）
第8章 静电场
1
2. 等势面的性质
(1) 沿等势面移动电荷q0，静电力做功为零。
b
Aab a q0E dl
+ +A
+S +
+ B
-
+
+ +
+
电磁学中的电场强度与电势的关系
电磁学中的电场强度与电势的关系电磁学是物理学中非常重要的一个分支，研究电和磁的现象及其相互作用。
在电磁学中，电场强度和电势是两个关键概念，它们之间存在着密切的关系。
本文将探讨电场强度和电势之间的关系以及它们在电磁学中的应用。
一、电场强度与电势的基本概念1. 电场强度电场强度是描述电场强弱的物理量，用矢量表示。
在电磁学中，电荷与周围空间相互作用，形成电场。
电场强度的定义为单位正电荷所受到的电力，即E = F / q，其中E表示电场强度，F表示电力，q表示单位正电荷。
2. 电势电势是描述电场势能分布的物理量，用标量表示。
电荷在电场中沿某一路径移动，其势能的变化量与路径无关，只与起点和终点的位置有关。
电势的定义为单位正电荷所具有的电势能，即V = U / q，其中V表示电势，U表示电势能，q表示单位正电荷。
二、电场强度与电势之间的关系电场强度和电势之间存在着密切的关系，可以通过以下公式进行计算和联系。
1. 电势梯度电势梯度表示电势在空间中变化的快慢程度，用矢量表示。
电势梯度的定义为电势在单位距离上的变化率，即∇V = ΔV / Δx，其中∇V表示电势梯度，ΔV表示电势的变化量，Δx表示路径的长度。
2. 电场强度的计算根据电场强度的定义可以推导出电场强度与电势之间的关系。
考虑到电势梯度和电场强度的定义，可以得到以下公式：E = -∇V，其中E 表示电场强度，∇V表示电势梯度。
这意味着电场强度的方向与电势梯度的方向相反。
三、电场强度与电势的应用电场强度和电势在电磁学中具有广泛的应用。
以下是其中一些重要的应用领域。
1. 静电场在静电场中，电荷在电场的作用下会受到力的作用，力的大小与电场强度有关。
通过计算电场强度，可以确定电荷所受到的力的大小和方向。
2. 电介质电介质是电磁学中的一个重要概念，指的是非导电物质。
电介质中的分子会在电场的作用下发生极化，使该区域内电势发生变化。
通过计算电势分布，可以了解电介质中的电场强度分布。
大学物理7.10 场强与电势的微分关系 电势梯度.
四、场强和电势的微分关系 1、等势面 —— 电势相等的空间各点所组成的面
2015/2/5
DUT 常葆荣
1
1、等势面
（1）沿等势面移动电荷，电场力不作功 。
A12 Q U1 U2
同一等势面上
0
P2
特 点
（2）dA等势Q面E处 d处r 与同电一力等势线面正上交0。
Q 0 E 0 d r 0
U1 U2 dU E cos dl
E
dU dl
U
l
E cos
El El
l 为任 意方向
电场强度在某方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值
U x
Ex
0 dl dn
U y
Ey
dU E dn
U z
Ez
沿着 E 的方向
举例说明。
r
U E
（1）场强相等的区 域，电势处处相等 （）
Q
（3）电势为零处， 场强一定为零 （）
q
-
.
O
+q
Q
（2）场强为零处，
电势一定为零 （）
R
（4）场强大处，电 势一定高
（5）电势不变的空间，场强处处为0 （）Biblioteka （）2015/2/5
DUT 常葆荣
E
dr
（3）电场线总是指向电势降低的方向
+
UaUb Uc
P1
（当规定相邻两等势面的电势差为定值后） （4）等势面稠密处 —— 电势变化快
电场强度大
2015/2/5
2015/2/5
DUT 常葆荣
1
1、等势面
（1）沿等势面移动电荷，电场力不作功 。
A12 Q U1 U2
同一等势面上
0
P2
特 点
（2）dA等势Q面E处 d处r 与同电一力等势线面正上交0。
Q 0 E 0 d r 0
U1 U2 dU E cos dl
E
dU dl
U
l
E cos
El El
l 为任 意方向
电场强度在某方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值
U x
Ex
0 dl dn
U y
Ey
dU E dn
U z
Ez
沿着 E 的方向
举例说明。
r
U E
（1）场强相等的区 域，电势处处相等 （）
Q
（3）电势为零处， 场强一定为零 （）
q
-
.
O
+q
Q
（2）场强为零处，
电势一定为零 （）
R
（4）场强大处，电 势一定高
（5）电势不变的空间，场强处处为0 （）Biblioteka （）2015/2/5
DUT 常葆荣
E
dr
（3）电场线总是指向电势降低的方向
+
UaUb Uc
P1
（当规定相邻两等势面的电势差为定值后） （4）等势面稠密处 —— 电势变化快
电场强度大
2015/2/5
电势
电场力是保守力，可引入势能的概念。 电场力是保守力，可引入势能的概念。 1.电势能 1.电势能
b
q0 a
r E
静电势能的改变可以用电场力所作的功来量度。 静电势能的改变可以用电场力所作的功来量度。 设在静电场中， 设在静电场中，将检验电荷q0从a点沿任意路 径移动到b 电场力作功为Aab。 径移动到b点，电场力作功为Aab。 保守力所作的功等于势能增量的负值。 保守力所作的功等于势能增量的负值。 在静电场中从a点沿任意路径移动到b点时， 电荷q0在静电场中从a点沿任意路径移动到b点时， 电场力所作的作功A 与这两点电势能W 的关系为: 电场力所作的作功Aab与这两点电势能Wa、Wb的关系为:
∴ dA = q0 4πε 0 r
2
1）点电荷的场 点电荷的场
r + dr ,电场力做的功： 电场力做的功：
b
v v r + dr
r q0 ra
v v dr r
c dr r
F
θ
a
dr
r E
∴ dA = q0
q 4πε 0 r
2
b
dr
rb
v v r + dr
q0 ra a b rb q0 q q0q 1 1 A = ∫ dA = ∫ dr = − 2 a ra 4πε r 4πε 0 ra rb 0
∫
势能零点
a
v v E ⋅ dr
电荷q 在此系统的电场中a点的的电势能为： 电荷q0在此系统的电场中a点的的电势能为：
Wa = q0 ∫
∞
a
v v E ⋅ dr
意义：电荷q0在静电场中某点的电势能等于将该电荷由 意义：电荷q 该点沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。 该点沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。 强调：对于无限带电体，不能取无穷远处为电势能零点。 强调：对于无限带电体，不能取无穷远处为电势能零点。 2.电势与电势差 2.电势与电势差 将 Wa = q0
b
q0 a
r E
静电势能的改变可以用电场力所作的功来量度。 静电势能的改变可以用电场力所作的功来量度。 设在静电场中， 设在静电场中，将检验电荷q0从a点沿任意路 径移动到b 电场力作功为Aab。 径移动到b点，电场力作功为Aab。 保守力所作的功等于势能增量的负值。 保守力所作的功等于势能增量的负值。 在静电场中从a点沿任意路径移动到b点时， 电荷q0在静电场中从a点沿任意路径移动到b点时， 电场力所作的作功A 与这两点电势能W 的关系为: 电场力所作的作功Aab与这两点电势能Wa、Wb的关系为:
∴ dA = q0 4πε 0 r
2
1）点电荷的场 点电荷的场
r + dr ,电场力做的功： 电场力做的功：
b
v v r + dr
r q0 ra
v v dr r
c dr r
F
θ
a
dr
r E
∴ dA = q0
q 4πε 0 r
2
b
dr
rb
v v r + dr
q0 ra a b rb q0 q q0q 1 1 A = ∫ dA = ∫ dr = − 2 a ra 4πε r 4πε 0 ra rb 0
∫
势能零点
a
v v E ⋅ dr
电荷q 在此系统的电场中a点的的电势能为： 电荷q0在此系统的电场中a点的的电势能为：
Wa = q0 ∫
∞
a
v v E ⋅ dr
意义：电荷q0在静电场中某点的电势能等于将该电荷由 意义：电荷q 该点沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。 该点沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。 强调：对于无限带电体，不能取无穷远处为电势能零点。 强调：对于无限带电体，不能取无穷远处为电势能零点。 2.电势与电势差 2.电势与电势差 将 Wa = q0
6等势面场强与电势的微分关系(大学物理 - 电场部分)
o x
第六节 等势面、场强 与电势的微分 关系
一、等势面
电场中电势相同的各点组成的曲面。
等势面
等势面
++ ++ + + + + +
平行板电容器
二、等势面的性质
1.等势面与电力线垂直。 2.在静电场中沿等势 面移动电荷电场力不 作功。 3.电力线指向电势 降的方向。
E
a
b
等 势 面
三、场强与电势的微分关系
求：V V E n0 r0 n r
q q r r0 2 0 4 0r r 4 0r
例2：均匀带电圆盘半径为 R ，面电荷密 度为 ，求轴线上一点的场强。 解：由带电圆盘轴线上一点的电势公式
2 2 V ( x R x) 2 0
V E x
R
o x
2 2 ( R x x ) x 2 0
1 2x ( 1) 2 2 2 0 2 R x
x 1 2 2 2 0 R x
R
V E En n0 n
V
E
c dn
b a dl
n0 为法线方向单位矢量。 单位：伏特/米，V/m
由
V El l
场强的分量：
V Ex x
V Ey y
V Ez z
电场强度为电势梯度的负值。
四、应用举例
例1：点电荷的电势为
V
q 4 0r
场强与电势都是描写电场性质的物理量， 它们之间必存在某种关系。 E Va Vb dV E dl V dV c Edl cos dn b V E cos El 为分量 a dl dV Eldl dV V El dl l
第六节 等势面、场强 与电势的微分 关系
一、等势面
电场中电势相同的各点组成的曲面。
等势面
等势面
++ ++ + + + + +
平行板电容器
二、等势面的性质
1.等势面与电力线垂直。 2.在静电场中沿等势 面移动电荷电场力不 作功。 3.电力线指向电势 降的方向。
E
a
b
等 势 面
三、场强与电势的微分关系
求：V V E n0 r0 n r
q q r r0 2 0 4 0r r 4 0r
例2：均匀带电圆盘半径为 R ，面电荷密 度为 ，求轴线上一点的场强。 解：由带电圆盘轴线上一点的电势公式
2 2 V ( x R x) 2 0
V E x
R
o x
2 2 ( R x x ) x 2 0
1 2x ( 1) 2 2 2 0 2 R x
x 1 2 2 2 0 R x
R
V E En n0 n
V
E
c dn
b a dl
n0 为法线方向单位矢量。 单位：伏特/米，V/m
由
V El l
场强的分量：
V Ex x
V Ey y
V Ez z
电场强度为电势梯度的负值。
四、应用举例
例1：点电荷的电势为
V
q 4 0r
场强与电势都是描写电场性质的物理量， 它们之间必存在某种关系。 E Va Vb dV E dl V dV c Edl cos dn b V E cos El 为分量 a dl dV Eldl dV V El dl l
5、电势
b rb q ra
r+dr
r
v dl
q a
0
r r r r dA = F ⋅ dl = q0 E ⋅ dl = q0 Edl cos θ = q0 Edr
第一章 静电场的基本规律 5
q0从a移动到 的过程中电场力做的总功为： 移动到b的过程中电场力做的总功为 移动到 的过程中电场力做的总功为：
A = ∫ dA = ∫ q0 Edr
r r r r
q 4πε 0 r
2
dr =
q
q 4πε 0 r
dr = q 4πε 0 R
16
2.当r<R 时 当
V =∫
∞ r r r r
r r ∞ r ∞ R ∞ r E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dr = ∫ Edr = ∫ 0dr + ∫
R
4πε 0 r
2
第一章 静电场的基本规律
例2：求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。 求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。
b
= A1 + A2 + L + An
第一章 静电场的基本规律 7
qn qn q0 q1 q1 q2 q2 A= − + − + L + − 4πε 0 ra1 rb1 ra 2 rb 2 ran rbn
λ 由高斯定理知场强为： 解：由高斯定理知场强为： E = 2πε0r
方向垂直于带电直线。 方向垂直于带电直线。
若仍然选取无穷远为电势零点， 若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将 为无限大而失去意义。 为无限大而失去意义。 点为电势零点， 因此可以选取某一距带电直导线为r0的p0点为电势零点， 点的电势为： 则距带电直线为r 的p点的电势为： P v v P′ v v P v v 0 0 r P VP = E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl P P P′ P0 P v v P 0 0 P′ = 0 + ∫ E ⋅ dl = ∫ Edl
大学物理 电场之四(E-U关系和导体)
花法 放拉 电第 的对 屏 蔽 千 实 伏 验 火
800
例
导体 A和B 同心放置
如图
A
已知:壳外表面的带电量 q 球壳B的外半径 R
R
q
B
求:壳B的电势
UB
R
E dl
q 4 0 R
作 业
习题P323-324
7-31,7-35,7-36,7-38,7-39
实心导体：净电荷只分布在导体表面 2) 腔内有带电体：
未 引 入 q1 时
引 入 q1 后
q2
q1 + q1
q 1+q 2
总结
处于静电平衡时的导体
1.电荷只分布在导体的表面, 导体内部无净电荷 2.孤立导体面电荷分布 曲率大的地方，电荷面密度大 曲率小的地方，电荷面密度小 3.导体表面附近的场强 4.空腔导体 • 内部无电荷时,电荷只分布在导体表面
U El l
即电场强度在 l方向的分量值 等于电势在 l方向的方向导数的负值
2. 场强和电势的微分关系
在直角系中
U Ex x U Ey y U Ez z
3. 电势梯度矢量:
E Ex i E y j Ez k
i j k x y z
1 2
2 2 0
P 2 0
1 2 0
1， 2
由电量守恒
1 2
1 1 2
x
导体体内任一点P场强为零
1 2 0 2 0 2 0 2 0
1 2 2
例2 金属球A与金属球壳B同心放置
求:1) 电量分布
B
A
说明 1. 规定: 画等势面时,相邻等势面电势差相等
22-场强环路定理、电势
O
2012年4月26日
∞
∞
q 4πε 0 r
2
dr =
q 4πε 0 r
11 11
r
大连理工大学 秦 颖
大连理 工大学
例 5 ：长为 l 的均匀带电直线，电荷线密度为 λ 。 求：图中 p 点的电势。 解：如图选取坐标系，
dU = dq 4π ε 0 r
l
dq = λd x
x
o
r
l
dx
dU
a
p
x
=
作功与检验电荷的电量和电场强度的线积分成正比。 ① 单位正电荷放在a点处， 系统的电势能。 ② 把单位正电荷从 a 点移 到0电势(无限远)处，电场 力所做的功。
2. 电势差：在电场中移动单位正电荷时电场作的功。
Ua − Ub =
∫
∞ a
E ⋅ dr −
∫
∞ b
E ⋅ dr =
∫
b a
E ⋅ dr 电 压
4πε 0 R 球面内 q U= 4πε 0 r 球面外
a
q
均匀带电 λ ln r 无限长直线 U =
2π ε 0
均匀带电 无限长直线
方向垂直于直线
λ E= 2πε 0 r
均匀带电 无限大平面
σ ⋅d U = Ed = 2ε 0
σ 均匀带电 E= 无限大平面 2ε 0
方向垂直于平面
秦 颖
17 17
2012年4月26日
∫
∞
r
qr ⋅ d r = 3 4π ε 0 r
∫
∞
r
dr
4π ε 0 r 4π ε 0 r r 例2 ：求一对正、负电荷连线中垂线上的电势。
O
2012年4月26日
∞
∞
q 4πε 0 r
2
dr =
q 4πε 0 r
11 11
r
大连理工大学 秦 颖
大连理 工大学
例 5 ：长为 l 的均匀带电直线，电荷线密度为 λ 。 求：图中 p 点的电势。 解：如图选取坐标系，
dU = dq 4π ε 0 r
l
dq = λd x
x
o
r
l
dx
dU
a
p
x
=
作功与检验电荷的电量和电场强度的线积分成正比。 ① 单位正电荷放在a点处， 系统的电势能。 ② 把单位正电荷从 a 点移 到0电势(无限远)处，电场 力所做的功。
2. 电势差：在电场中移动单位正电荷时电场作的功。
Ua − Ub =
∫
∞ a
E ⋅ dr −
∫
∞ b
E ⋅ dr =
∫
b a
E ⋅ dr 电 压
4πε 0 R 球面内 q U= 4πε 0 r 球面外
a
q
均匀带电 λ ln r 无限长直线 U =
2π ε 0
均匀带电 无限长直线
方向垂直于直线
λ E= 2πε 0 r
均匀带电 无限大平面
σ ⋅d U = Ed = 2ε 0
σ 均匀带电 E= 无限大平面 2ε 0
方向垂直于平面
秦 颖
17 17
2012年4月26日
∫
∞
r
qr ⋅ d r = 3 4π ε 0 r
∫
∞
r
dr
4π ε 0 r 4π ε 0 r r 例2 ：求一对正、负电荷连线中垂线上的电势。
O
电场强度和电势梯度的关系
E V
电场中任一点的电场强度等于该点电势梯度 的负值
——电场强度与电势的微分关系
电场中某点的场强仅与该点电势的空间变化率 有关，与该点电势值本身无直接关系
电场强度的单位可以用 V/m 来表示 提供一种计算场强的方法
9.5 电场强度和电势梯度的关系
例题 试由电偶极子电场的电势分布 求电偶极子的电场强度
小结
一、等势面
二、等势面与电场线的关系
三、电势与电场强度的关系
积分关系 微分关系
Q
U PQ VP VQ
E dl
P
E V gradV
演示程序：点电荷的等势面 演示程序：均匀带电球面的等势面 演示程序：电偶极子的等势面 演示程序：两个点电荷的等势面
9.5 电场强度和电势梯度的关系
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.5 电场强度和电势梯度的关系
身体各部分的电势会随着心脏跳动而发生变化, 记录这个变化（电势差）就得到了心脏跳动的情况
lim V dV l0 l dl
E
A
l
B
V V
V
El
dV dl
El
V l
电场中某一点的电场强度沿任一方向的分量，
等于这一点沿该方向上电势变化率的负值
9.5 电场强度和电势梯度的关系
El
V l
E V ln
V
E
ln
enΒιβλιοθήκη 电势梯度V lnen
E
A
l
B
V V
V
大小等于电势沿等势面法向的空间变化率
E dl
P
E V gradV
9.5 电场强度和电势梯度的关系
概念检测
已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观 察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作 出下列几点结论，其中哪点是正确的？
电场中任一点的电场强度等于该点电势梯度 的负值
——电场强度与电势的微分关系
电场中某点的场强仅与该点电势的空间变化率 有关，与该点电势值本身无直接关系
电场强度的单位可以用 V/m 来表示 提供一种计算场强的方法
9.5 电场强度和电势梯度的关系
例题 试由电偶极子电场的电势分布 求电偶极子的电场强度
小结
一、等势面
二、等势面与电场线的关系
三、电势与电场强度的关系
积分关系 微分关系
Q
U PQ VP VQ
E dl
P
E V gradV
演示程序：点电荷的等势面 演示程序：均匀带电球面的等势面 演示程序：电偶极子的等势面 演示程序：两个点电荷的等势面
9.5 电场强度和电势梯度的关系
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.5 电场强度和电势梯度的关系
身体各部分的电势会随着心脏跳动而发生变化, 记录这个变化（电势差）就得到了心脏跳动的情况
lim V dV l0 l dl
E
A
l
B
V V
V
El
dV dl
El
V l
电场中某一点的电场强度沿任一方向的分量，
等于这一点沿该方向上电势变化率的负值
9.5 电场强度和电势梯度的关系
El
V l
E V ln
V
E
ln
enΒιβλιοθήκη 电势梯度V lnen
E
A
l
B
V V
V
大小等于电势沿等势面法向的空间变化率
E dl
P
E V gradV
9.5 电场强度和电势梯度的关系
概念检测
已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观 察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作 出下列几点结论，其中哪点是正确的？
9-6电场场强与电势的微分关系
§9-6 场强与电势的关系
1.等势面 在电场中,电势相等的点所组成的曲面叫等势面。
为了描述空间电势的分布，规定任意两相邻 等势面间的电势差相等.
几种带电体的等势面与电场向分布：
E -
E
+
点电荷的 等势面
点电荷的电场
上页
下页
等量异号点电荷 的电场线和等势 面
等势面与场强之间有如下的一般关系: (1)等势面与电力线处处正交;电力线的方向(即电 场强度的方向),总是指向电势降低的方向。 (2)等势面分布较密的地方,电场强度较大。 (3)电荷沿等势面移动时,电场力不作功。
5.电势不变的空间，场强处处为零。
6.场强不变的空间，电势处处相等。
上页
下页
例1 求一均匀带细电圆环轴线上任一点的电场强度.
解：应用场强电势关系
E V
V
4π
q
0(x2
R2 )1 2
E
Ex
V x
y dq dl
qR
o
z
r
x
Px E
x
4π
0
q (x2
R2
)1
2
4π
qx
0(x2
R2 )3
2
上页
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重点和难点：
★等势面及其基本性质 ★典型带电体外等势面及电场线分布 ★电势与电场强度的微分关系
★掌握运用电势梯度计算电场强度的 方法
上页
下页
dV dl
电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量，等于
这一点的电势沿该方向单位长度的电势变化率的负值.
1.等势面 在电场中,电势相等的点所组成的曲面叫等势面。
为了描述空间电势的分布，规定任意两相邻 等势面间的电势差相等.
几种带电体的等势面与电场向分布：
E -
E
+
点电荷的 等势面
点电荷的电场
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等量异号点电荷 的电场线和等势 面
等势面与场强之间有如下的一般关系: (1)等势面与电力线处处正交;电力线的方向(即电 场强度的方向),总是指向电势降低的方向。 (2)等势面分布较密的地方,电场强度较大。 (3)电荷沿等势面移动时,电场力不作功。
5.电势不变的空间，场强处处为零。
6.场强不变的空间，电势处处相等。
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例1 求一均匀带细电圆环轴线上任一点的电场强度.
解：应用场强电势关系
E V
V
4π
q
0(x2
R2 )1 2
E
Ex
V x
y dq dl
qR
o
z
r
x
Px E
x
4π
0
q (x2
R2
)1
2
4π
qx
0(x2
R2 )3
2
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重点和难点：
★等势面及其基本性质 ★典型带电体外等势面及电场线分布 ★电势与电场强度的微分关系
★掌握运用电势梯度计算电场强度的 方法
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dV dl
电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量，等于
这一点的电势沿该方向单位长度的电势变化率的负值.
大学物理
2
cos d
2
4 0 R
2
Q
4 0 R 2 2 0 R 2
14.求单位长带电量为λ、半径为 R 的均匀带电无限 长半圆柱面轴线上一点的场强。 (习题10-6)
解: 取沿轴线方向一宽为dl 的无限长条为 微元，并建立坐标系,由对称性知 ：
Ey 0
Ez 0
y
无限长带电直线在空间产生的场强： dl
第十章静电场 习题课
[例4] 有一无限长均匀带电直线（线电荷密度为）。求直线外 距直线r处P 点的电势。
解∶由高斯定理得直线外的电场强度为:
E
rˆ
作不定积分:
2 0r
U E d l 2 0r d r
ln r C
2 0
若选取积分常数 c = 0，则可计算出r = 1 处的b 点的电势为
qi
4 0 i ri
等势面与电场线正交。 等势面密处场强大，疏处场强小。
连 续 系U
电势差
1
4 0
U ab
dq r
Ua
沿电场线方向电势降低。
b
Ub
Edl
a
④场强与电势的关系
积分关系：U
P
参 Edl
P
(U p0 0)
微分关系：E grad U U
二、基本规律：
① 库仑定律：
F
1
q1q2
零，即选取b点为零势能点，则 P 点电势为：
1
U p
dr
ln r
r 2 0r
2 0 U
结果表明: 当r = 1m 时，U = 0 ; 当r > 1m 时，U < 0 ;
r
1
当r < 1m 时，U > 0 。
电势叠加原理
a
a
路径上各点的总场强
例：点电荷 q 场中的电势分布
o
rr
P
r E
解：
r E
=
r qr
4πε 0 r 3
q
U
∝1 r
令
U
U
=
∞=
∞r ∫E⋅
0
r dl
沿径向积分
rr
=
∞
∫
qr
⋅
dr
P
r 4πε r3
0
∞
=∫
qdr
=
q
r 4πε r2 4πε r
0
0
o
r
电势叠加原理
例1.
解：
简例
2. 连续分布电荷的电场中的电势
=
q
4πε0(R2 +
x )2
1 2
例3.
带电薄圆盘
解：
例4.
带电薄球壳
例5.求均匀带电球壳腔内任意点电势
已知： R1, R2 , ρ
求：U P
R2
ρ
r o R1
解：将带电球壳视为许多均匀带
P
dr
电球面的集合，
取半径 r ，厚 dr 的球壳为电荷元：dq = ρ ⋅ 4πr2 ⋅dr
令 U ∞ = 0 ，dq 在腔内产生的电势：
dU = dq = ρ ⋅ 4πr 2dr = ρrdr
4πε 0 r
4πε 0 r
ε0
∫ ∫ 由叠加原理：U =
dU
=
R2 ρ rdr ε R1 0
=
ρ 2ε 0
( R2 2
−
R12 )
即：腔内各点等势
解：
等势面 等势面
静电场填空题答案
静电场填空题（参考答案）1．在正q 的电场中，把一个试探电荷q 0由a 点移到b 点如图如示，电场力作的功（ 0011()4a bqqr r πε-- ）2．导体静电平衡的特征是（ ），必要条件是（ ）。
3．E r 和U 的积分关系是（u E dl =•⎰v v ），微分关系是（u E n n∂=-∂v v ）。
4．把一个均匀带电Q 的球形肥皂泡由半径为r 1吹到r 2 ,则半径为r (r 1<r<r 2)的高斯面上任一点场强大小由（204Q r πε）变为（0）。
5．真空中有一半径为R ，所带电量为Q 的均匀带电球面。
若在球面上挖去一小块带电面△S ，则球心处场强E=（220144QE S R R πεπ=∆）。
6．正方形边长为a ，体心有一点电荷q ，则通过每个面的电通量为（6εq ）。
7．两个点电荷2q 和q ，相距l ，将第三个点电荷放在（（1+2）l ）处所受合力为零。
8．一均匀带电为Q 的平面圆线圈，其半径为R ，该线圈圆中心点的电场强度为（0）。
9．将一个点电荷q 放在一个边长为a 的立方体的一个角点上，则通过该立方体六个面的总的电通量为（8q ）。
10. 如图所示，四个等量的点电荷距原点的距离均为a ，则原点O 处的电场强度为（0），若参考点选在无限远处，电势为（aq 0πε）。
r r ρob a ab11．已知两同号点电荷21,q q 之和为Q ，则当=1q（2Q ）和=2q（2Q）时，相互作用力最大。
12．真空中，一均匀带电半径为R 细圆环，电荷线密度为λ，则其圆心处的电场强度0E =(0)，电势0U =(2λε)。
（选无穷远处电势为零）13. 在空间有一非均匀电场，其电场线分布如图所示．在电场中作一半径为R 的闭合球面S ，已知通过球面上某一面元S ∆的电场强度通量为e ΦΔ，则通过该球面其余部分的电场强度通量为（-e ΦΔ）。
14. 在点电荷+q 和-q 的静电场中，作出如图所示的三个闭合曲面S 1、S 2、S 3，则通过这些闭合曲面的电场强度通量分别是：Φ1=（0qε）；Φ2=（0）；Φ3=（qε-）。
3)高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度
1
例2 无限大均匀带电平面的电场强度 §9.2 高斯定理 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电 荷面密度为 ，求距平面为 处的电场强度. 解 对称性分析：E垂直平面 选取闭合的柱形高斯面
r
E
S＇ E×d S = e 0 底面积 S
S＇ 2S＇ E = e0 E= 2 e0
S＇
§9.4
电偶极子
y
r
A
r
q
q x r0
27
r
§9.4
电偶极子
三、 电偶极子轴线延长线上的场强：
dU d P 2P = (k 2 ) = k 3 E= dr dr r r
其场强分布的特点：场强与电矩成正比，说 明电偶极矩决定着电偶极子的电场性质。
28
§9.4
电偶极子
四、 电偶层
§9.4
电偶极子
膜外空间各点电势为零，而膜内 空间各点的电势为： 若闭合曲面电偶层不均匀，或其同 一面的不同部分带有异号电荷，则 其闭合电偶层外部空间各点的电势 一般不为零。
34
-4πkτ
。
§9.5
静电场中的电介质
• 一. 电介质及其结构 • 二. 电介质的极化 • 三. 均匀电介质中的静电场
35
Q
Q
-
Q S C = = e0 U d
42
二、 电容器的能量
1.
一个电容器的能量可由整个放电过程中电场 力所做的功来量度。 2. 公式：
2 Q 1 1 2 = QU = CU 电容器贮存的电能 W e= 2 C 2 2
3.
讨论：
（1）无论电容器结构如何，以上结论均正确。 （ 2 ） Q 、 UAB
大学物理——电场强度与电势
U
r
4 0 r
· P
Qr dr r q d q V r 2 3 r 4 r 4 0 r 4 00 r
设无限远处为0电势，则电场中 距离点电荷r 的P点处电势为
r
0
V
q 4 0 r
点电荷电场 的电势分布
15
例题
求：均匀带电球面 0 r R 的电场的电势分布. 解：已知 E Q r R 2 4 0 r 设无限远处为0 电势， 则电场中距离球心r P VP =？ Qr dr 的 P 点处电势为 Q dr
解：由
E 2 0 r
V
r
E dr
分析 如果仍选择无限远为电势0点，积分将趋于 无限大。必须选择某一定点为电势0点——通常 可选地球。现在选距离线 a 米的P0点为电势0点。
a
P0
V E dr r a V dr r 2 r 0
P 0
a ln a ln r ln 2 0 r
i
next 8
例 面密度为 的圆板在轴线上任一点的电场强度 解
dq 2rdr 1 xdq dE 4 0 (r 2 x 2 )3 / 2
x rdr 2 0 (r 2 x 2 )3 / 2 x R rdr E dE 2 0 0 (r 2 x 2 )3 / 2 x [1 2 ] 2 1/ 2 2 0 (R x ) q x E [1 2 ]i 2 2 1/ 2 2 0 R (R x )
17
例题
0 P
均匀带电细棒，长 L ，电荷线密度 ， 沿线、距离一端 x0 米处的电势。 解：
10章(4)
+
p
•q
0
9、 真空中有一电量为 的点电荷，在与它相距为 的 a 点处有 、 真空中有一电量为Q 的点电荷，在与它相距为r 一试验电荷q 现使试验电荷q 点沿半圆弧轨道运动到b 一试验电荷 。现使试验电荷 从 a 点沿半圆弧轨道运动到 则电场力作功为[ D ] 点，则电场力作功为 Qq πr 2 Qq A) Q B) 2r 2 q 2 4 πε 0 r 2 4 πε 0 r • •
C
]
D
]
A）若高斯面内无净电荷，则高斯面上 E 处处为零。 ）若高斯面内无净电荷， 处处为零。 B）若高斯面上 E 处处不为零，则该面内必有净电荷。 ） 处处不为零，则该面内必有净电荷。 C）若高斯面内有净电荷，则高斯面上 E 处处不为零。 ）若高斯面内有净电荷， 处处不为零。 D）若通过高斯面的电通量为零，则高斯面内的净电荷 ）若通过高斯面的电通量为零， 一定为零。 一定为零。
E (A) O E (C) O R E∝1/r r E∝1/r r E (B) O E (D) O R E∝1/r r R E∝1/r r
6、一半径为R的均匀带电球面，其电荷面密度为 ．若规定 、一半径为 的均匀带电球面 其电荷面密度为s． 的均匀带电球面， 无穷远处为电势零点， 无穷远处为电势零点，则该球面上的电势 U＝______________． ＝ ．
S
ε0
S内
∫
L
有源场 无旋场 场是————————场和—————————场。
练习题
1、关于高斯定理，下列说法中正确的是： 、关于高斯定理，下列说法中正确的是： A）高斯面内不包围电荷，则面上各点场强为零。 ）高斯面内不包围电荷，则面上各点场强为零。 B）高斯面上的 E 处处为零，则面内一定不存在电荷。 ） 处处为零，则面内一定不存在电荷。 C）高斯面的电通量仅与面内净电荷有关。 ）高斯面的电通量仅与面内净电荷有关。 D）以上说法都不正确。 ）以上说法都不正确。 2、下列说法正确的是 、 [ [
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1.场强大的地方，电势一定高。 2.电势高的地方，电场一定大。
3.电场为零的地方，电势也一定为零。
4.电势为零的地方，电场也一定为零。
5.电势不变的空间，场强处处为零。
6.场强不变的空间，电势处处相等。
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例1 求一均匀带细电圆环轴线上任一点的电场强度.
解：应用场强与电势关系
E V
V
4π
q
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§9-6 场强与电势的关系
1.等势面 在电场中,电势相等的点所组成的曲面叫等势面。
为了描述空间电势的分布，规定任意两相邻 等势面间的电势差相等.
几种带电体的等势面与电场向分布：
E -
E
+
点电荷的 等势面
点电荷的电场
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等量异号点电荷 的电场线和等势 面
等势面与场强之间有如下的一般关系: (1)等势面与电力线处处正交;电力线的方向(即电 场强度的方向),总是指向电势降低的方向。 (2)等势面分布较密的地方,电场强度较大。 (3)电荷沿等势面移动时,电场力不作功。
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2.电场强度与电势梯度
El
dV dl
En
dV dln
dl dln En El
E
dV dln
en
V
e
dl
V V
dln
E
en
高
大小
E
dV
低电 电势
方向
与
en
dln
势
相反，由高电势处指向低电势处
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物理意义
（1）空间某点电场强度的大小取决于该点领域内
电势 V 的空间变化率.
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2.电场强度与电势梯度
设有两个十分接近的等势
面, 其电势分别为V和V+△V。
U AB （VB VA） E l
El cos
E cos El
V
El l，El
V l
B
El
E
l
A
V V V
El
lim V l l 0
dV dl
电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量，等于
这一点的电势沿该方向单位长度的电势变化率的负值.
0(x2
R2 )1 2
E
Ex
V x
y dq dl
qR
o
z
r
x
Px E
x
4π
0
q (x2
R2
)1
2
4π
qx
0(x2
R2 )3
2
上页
下页
重点和难点：
★等势面及其基本性质 ★典型带电体外等势面及电场线分布 ★电势与电场强度的微分关系
★掌握运用电势梯度计算电场强度的 方法
上页
下页
感谢下 载
（2）电场强度的方向恒指向电势降落的方向.
பைடு நூலகம்直角坐标系中
E
（V
i
V
j
V
k ) gradV
x y z
E V （电势梯度）
i j k 梯度算符 x y z
上页
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E 为求电场强度 提供了一种新的途径
求 E 的三种方法
利用电场强度叠加原理 利用高斯定理
问题
利用电势与电场强度的关系