晶体对称性PPT课件
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1-3 晶体对称性
2
2
1 2 3 4 6 2 2 6 4 6
示
平行 斜插纸 纸面 面
二、宏观对称性的组合关系
1. 如果晶体中有两个或两个以上的镜面相交，则每两 个镜面的交线必定是一个对称轴，而对称轴的转角比 定时镜面夹角的二倍。
镜面夹角 180° 90° 60° 45° 30°
旋转轴转 角
360°
180°
120°
90°
Th
Td
O
Oh
晶类（点群）符号 国际符号（全） 国际符号（缩）
1 I（1）
1 I（1）
m
m
2
2
2/m
2/m
3
3
3
3
3m
3m
32
32
32/m
3m
2mm
mm
222
222
2/m2/m2/m
mmm
23
23
2/m3
m3
43m
43m
432
43
4/m32/m
m3m
全对称要素组合
I m(2)
2 2mI
3 3(3I) 33m 332 3323m(3323mI) 23m
三、平移群、布拉菲点阵 例：四方晶系
C→P
F→I
4
晶系 三斜 单斜
菱形
正交
立方
最低对称要素 无
一根二次旋转轴2 或旋转－反演轴2
一根三次旋转轴3 或旋转－反演轴3
三根相互垂直的旋 转轴32或旋转－反 演轴32
四根三次旋转轴43
熊夫列斯符号
C1 Ci（S2） Cs（C1h）
C2 C2h C3 C3i（S6） C3V D3 D3d C2V D2（V） D2h（Vh） T
2
1 2 3 4 6 2 2 6 4 6
示
平行 斜插纸 纸面 面
二、宏观对称性的组合关系
1. 如果晶体中有两个或两个以上的镜面相交，则每两 个镜面的交线必定是一个对称轴，而对称轴的转角比 定时镜面夹角的二倍。
镜面夹角 180° 90° 60° 45° 30°
旋转轴转 角
360°
180°
120°
90°
Th
Td
O
Oh
晶类（点群）符号 国际符号（全） 国际符号（缩）
1 I（1）
1 I（1）
m
m
2
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2/m
2/m
3
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3m
3m
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32/m
3m
2mm
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222
222
2/m2/m2/m
mmm
23
23
2/m3
m3
43m
43m
432
43
4/m32/m
m3m
全对称要素组合
I m(2)
2 2mI
3 3(3I) 33m 332 3323m(3323mI) 23m
三、平移群、布拉菲点阵 例：四方晶系
C→P
F→I
4
晶系 三斜 单斜
菱形
正交
立方
最低对称要素 无
一根二次旋转轴2 或旋转－反演轴2
一根三次旋转轴3 或旋转－反演轴3
三根相互垂直的旋 转轴32或旋转－反 演轴32
四根三次旋转轴43
熊夫列斯符号
C1 Ci（S2） Cs（C1h）
C2 C2h C3 C3i（S6） C3V D3 D3d C2V D2（V） D2h（Vh） T
4、晶体的对称性
第 25 页
(c) n度旋转反演轴
§1.6晶体的对称性
晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身 重合则称其具有n度旋转反演轴对称。
晶体由于受周期性的制约，也只可能有2、3、4、与6度 旋转反演轴，分别用数字符号 2346 表示。
第 26 页
§1.6晶体的对称性
n 度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）。
x~ ' x'
x2' 2 x3' 2 x12 x~A~Ax x~x
x22
x32
x~
'x'
x1'
x
' 2
x1'
x3' x2'
x3'
x~ ' 为转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求
第5页
即A为正交矩阵。
A ~ A I A ~ A1
第 45 页
§1.7 晶体结构的分类 我们已经知道布喇菲格子可以由
的格矢表示。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
基矢a、b、c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角 决定了不同的布喇菲格子的类型。
第 46 页
§1.7 晶体结构的分类
前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空 间格子必相应地变动。
分别为
0,60,90,120,180
第 21 页
§1.6晶体的对称性
即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是
i 2
n
而n 必须是1、2、3、4、和6， i为任意整数。 常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴，晶体周期性结构限制了只能
(c) n度旋转反演轴
§1.6晶体的对称性
晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身 重合则称其具有n度旋转反演轴对称。
晶体由于受周期性的制约，也只可能有2、3、4、与6度 旋转反演轴，分别用数字符号 2346 表示。
第 26 页
§1.6晶体的对称性
n 度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）。
x~ ' x'
x2' 2 x3' 2 x12 x~A~Ax x~x
x22
x32
x~
'x'
x1'
x
' 2
x1'
x3' x2'
x3'
x~ ' 为转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求
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即A为正交矩阵。
A ~ A I A ~ A1
第 45 页
§1.7 晶体结构的分类 我们已经知道布喇菲格子可以由
的格矢表示。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
基矢a、b、c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角 决定了不同的布喇菲格子的类型。
第 46 页
§1.7 晶体结构的分类
前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空 间格子必相应地变动。
分别为
0,60,90,120,180
第 21 页
§1.6晶体的对称性
即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是
i 2
n
而n 必须是1、2、3、4、和6， i为任意整数。 常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴，晶体周期性结构限制了只能
固体物理晶体能带的对称性PPT课件
—— 成键态对应的四个能带交叠在一起形成Si的价带 —— 反键态对应的四个能带交叠在一起形成Si的导带
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2019/4/4
04_06 晶体能带的对称性 1 能带关于k的周期性
2 电子波矢 k k n 的布洛赫函数 a
2 E (k ) E (k n ) a
能量本征值
e
m
ik Rm
i ( r Rm )
ikR E (k ) i J ( Rs )e s s
E (k ) i J 0
Rs Nearest
ikR s J ( R ) e s
2 原子能级与能带的对应
2 E (k ) E (k n ) a
2 k' k n a
—— 三维情况中表示
E(k ) E(k Gn )
2 能带的时间反演对称性 可以证明
E ( k ) E ( k )
3 能带的3种表示图式 1) 扩展能区图式 第一能带 E1 (k )
k
a
~
固体物理 Solid State Physics
第四章 能带理论
§4.6晶体能带的对称性
1 模型与微扰计算
—— 紧束缚近似方法的思想
—— 电子在一个原子(格点)附近时 主要受到该原子势场的作用 —— 将其它原子势场的作用看作是微扰
对于确定的 k
晶体中电子的波函数
1 k (r ) N
a
第二能带 E2Hale Waihona Puke (k )2 k ~ a a
2 ~ a a
2) 简约能区图式 —— 对于同一个能带来说能量在k空间具有周期性
材料物理课件12晶体的宏观对称性
对称性与物理性质的关系
对称性与物理性质密切相关， 不同对称性的晶体表现出不同 的物理性质。
点对称性决定了晶体的光学、 电磁学等性质，镜面对称性则 影响晶体的热学、力学等性质 。
对称性越高，晶体的物理性质 越稳定，对称性破缺可能导致 某些物理性质的变化或异常。
02
晶体宏观对称性的表现形式
晶体宏观对称操作的种类
02
在晶体中，对称性表现为晶体在 不同方向上具有相同的晶格结构 和物理性质。
对称性的分类
晶体宏观对称性分为点对称性和 镜面对称性两类。
点对称性是指晶体在三维空间中 具有旋转、反演、倒转等对称元 素，如立方晶系的旋转轴、四方
晶系的四重轴等。
镜面对称性是指晶体在某一方向 上具有对称的平面，如单斜晶系
的b轴和c轴构成的平面。
理论计算方法
密度泛函理论
通过计算电子密度分布，推导出晶体的电子结构 和对称性。
分子力学计算
基于分子力学的原理，模拟晶体分子在平衡状态 下的构型和对称性。
群论分析方法
利用群论的原理，对晶体对称性进行分类和描述 。
计算机模拟方法
分子动力学模拟
通过模拟大量原子或分子的运动，预测晶体的结构和对称性。
蒙特卡洛模拟
材料物理课件12晶体的宏观对称 性
contents
目录
• 晶体宏观对称性的基本概念 • 晶体宏观对称性的表现形式 • 晶体宏观对称性的应用 • 晶体宏观对称性的研究方法 • 晶体宏观对称性的未来发展
01
晶体宏观对称性的基本概念
对称性的定义
01
对称性是指一个物体或系统在不 同方向上保持相同或相似形态的 性质。
对称性破缺会导致晶体物理性质的变 化，例如光学、电学、热学等方面的 性质改变。
晶体化学(晶体对称性)
划分正当晶胞或单位的原则中，主要做了两方
面的规定：
划分了七个晶系
一、应当尽量选取较规则的形状；
二、应当尽量选取含点阵点少的.
划分出十四种空间 点阵型式
立方 P, I, F
六方 H
晶 三方 R 系 四方 P，I
简单P 型 底心C 式 体心I
正交 P，C（或侧心），I，F
面心F
单斜 P，C
侧心A或B
三斜 P
∴3垂直一平面点阵
3
b3 T3
T1
a1b1
b2 a2
T2
a3
3. 晶体中对称轴的轴次 A
设晶体中有一轴次为 n 的旋转轴，通
过点阵点O垂直纸面
B
则在晶体的空间点阵中，必有一平 面点阵与 n 垂直.
取直线点阵Tm=ma，并设素向量为 a
根据点阵与平移群的关系:
点阵点
平移群
a作用于O必得A点(为点阵点)，-a作用于O 得 A'
4
对称操作
倒反
I
反映
M
旋转 旋转 旋转 旋转 旋转 旋转倒反
L(0 ) L(180 ) L(120 ) L(90 ) L(60 ) L(90 )I
二、宏观对称元素的组合和32个点群
晶体宏观对称元素的组合 晶体的独立的宏观对称元素只有八种，但在某一晶体中可以只存在 一个独立的宏观对称元素，也可能有由一种或几种对称元素按照 组合程序及其规律进行合理组合的形式存在。 晶体中，宏观对称元素组合时，必受以下两条的限制：
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子，若按左图取素格子只能表现三方对称性；若取右图 所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖)：
1.5 晶体的宏观对称性
都不能能够保持不变 考查图形在旋转中的变化可以显示(a)(b)(c)的差别
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
进一步考查图形按一条直线作左右反射后发生的变化
圆形对任意的直径做反射都不改变； 正方形只有对于对边中心的连线以及对角线作反射才
保持不变； 等腰梯形只有对两底中心连线反射不变； 不规则四边形则不存在任何左右对称的线
3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E
4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
正实数群 —— 所有正实数(0 除外)的集合，以普通乘法为 运算法则
整数群 —— 所有整数的集合，以加法为运算法则 —— 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义 运算法则 —— 连续操作
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
在正立方体的24个纯转动对称操作中， 正四面体保留了其中12个
中心反演不再是正四面体 的对称操作
去掉的12个转动操作, 即绕 立方轴转π/2, 3π/2; 绕面对角 线转π，加上中心反演后是
正四面体的对称操作
正四面体共有24个对称操作
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
③ 正六角柱
1) 绕中心轴线转动
—— 5个
2) 绕对棱中点连线转动 —— 3个
3) 绕相对面中心连线转动
—— 3个
4) 正交变换
—— 1个
5) 以上12个对称操作加中心 反演仍是对称操作
—— 正六面柱的对称操作有24个
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
4 对称素 “对称素”——简洁明了地概括一个物体的对称性 对称素 —— 一个物体的旋转轴、旋转－反演轴
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
进一步考查图形按一条直线作左右反射后发生的变化
圆形对任意的直径做反射都不改变； 正方形只有对于对边中心的连线以及对角线作反射才
保持不变； 等腰梯形只有对两底中心连线反射不变； 不规则四边形则不存在任何左右对称的线
3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E
4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
正实数群 —— 所有正实数(0 除外)的集合，以普通乘法为 运算法则
整数群 —— 所有整数的集合，以加法为运算法则 —— 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义 运算法则 —— 连续操作
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
在正立方体的24个纯转动对称操作中， 正四面体保留了其中12个
中心反演不再是正四面体 的对称操作
去掉的12个转动操作, 即绕 立方轴转π/2, 3π/2; 绕面对角 线转π，加上中心反演后是
正四面体的对称操作
正四面体共有24个对称操作
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
③ 正六角柱
1) 绕中心轴线转动
—— 5个
2) 绕对棱中点连线转动 —— 3个
3) 绕相对面中心连线转动
—— 3个
4) 正交变换
—— 1个
5) 以上12个对称操作加中心 反演仍是对称操作
—— 正六面柱的对称操作有24个
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
4 对称素 “对称素”——简洁明了地概括一个物体的对称性 对称素 —— 一个物体的旋转轴、旋转－反演轴
固体物理课件第二章_晶体的结构
Na+构成面心立方格子 Cl－也构成面心立方格子
(6) CsCl: 由两个简单立方子晶格彼此沿 立方体空间对角线位移1／2 的长度套构而成
(7) 闪锌矿结构
化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟 面心立方的嵌套
（8） 钙钛矿结构
钛酸钙（CaTiO3） 钛酸钡（BaTiO3） 锆酸铅（PbZrO3） 铌酸锂（LiNbO3） 钽酸锂（LiTaO3）等
面心立方格子:原点和12个近邻格点连线的垂 直平分面围成的正十二面体
体心立方格子:原点和8个近邻格点连线的垂直 平分面围成的正八面体，沿立方轴的6个次近 邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角， 形成的14面体 —— 八个面是正六边形，六个面是正四边形
§1.2 晶列和晶面
思考： 金刚石为什么有固定的面？ 这些面和晶格结构有什么关系？
根据周期性：
f e
k k
ikx
fk e
k
ik ( x na )
f k eikx f k eik( x na)
k k
e
ik na
1
m 0,1,2,
k na k Rn 2m
2 k h Gh a
k=b的波传过一个晶格长度，相位改变2π
晶面：所有结点可以看成分布在一系列相互平 行等距的平面族上，每个平面族称为一个晶面 晶面用法向或晶面指数标志
例：同一个格子，两组不同的晶面族
晶面的性质： –晶格中一族的晶面不仅平行，并且等距 –一族晶面必包含了所有格点 –三个基矢末端的格点必分别落在该族的不 同晶面上（有理指数定理）
晶面（米勒）指数：晶面把基矢 a1 , a2 , a3 分别
《晶体结构和对称性》课件
五、空间群对称性
定义空间群对称性
空间群对称性是指保持晶格不变 的平移、旋转和反射操作。
1 7种空间群
不同的晶体结构和对称性可以通 过17种空间群来描述和分类。
空间群的应用案例
X射线晶体学、太阳能电池等。
六、小结
1 晶体结构和对称性的 2 学习到的知识及其应 3 未来发展方向
重要性
用
开展更深入的研究，探索
《晶体结构和对称性》 PPT课件
晶体结构和对称性是研究材料科学和固体物理中的重要概念。本课程将深入 探讨晶体的分类和不同类型的对称性，以及其在材料性质和应用中的作用。
一、引言
1 定义晶体
什么是晶体？从原子或分子的角度来看，晶体是由周期性排列的结构单元构成的固态物 质。
2 晶体结构的重要性
晶体结构决定了材料的物理、化学性质，对材料的性能和应用具有重要影响。
晶体对称性分类
点群对称性、空间群对称性。
对称元素
中心对称元素、平面对称元素、旋转对称元素、螺旋对称元素等。
四、点群对称性
1
定义点旋转反演操作。
2
对称元素的应用案例
球面谐函数、晶体场理论等。
3
点群对称性的重要性
点群对称性是解释和描述晶体物理性质的基础，对材料的设计和性能优化具有重 要影响。
3 对称性在晶体结构中的作用
对称性是晶体结构中的重要概念，它决定了晶体的物理特性、外观和相互作用。
二、晶体的分类
按照晶体结构分类
离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体等
按照晶格分类
单斜晶系、正交晶系、立方晶系等
三、晶体对称性
定义对称性
对称性是指物体在某种变换下保持不变的性质。在晶体中，对称性起到了组织和稳定晶体结 构的重要作用。
§1.5 晶体的对称性
(3)中心反映： 。 (3)中心反映：i。 中心反映
(4)镜象反映： 。 (4)镜象反映：m。 镜象反映
独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 4 。
或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
三维实例： 三维实例：立方晶格
＋中心反演 操作（24个） ＝48个对称 操作。
体对角线C (a)绕立方轴 4： (b)体对角线 3： (c)面对角线 2： （d）不动， a)绕立方轴C ： 绕立方轴 体对角线 面对角线C 面对角线 ）不动， 4个3度轴； 个 度轴； 度轴 个立方轴； 3个立方轴； 6个2度轴；有6 一个对称操 度轴； 个 度轴 作。 个对称操作。 个对称操作。 个对称操作。 个对称操作。 个对称操作 共9个对称操作。 8个对称操作。 个旋转对称操作。 共24个旋转对称操作。 个旋转对称操作
( x1 , x2 , x3 ) 变为 (− x1 ,− x2 ,− x3 )
′ x1 − x1 x′ x 2 = − 2 x′ − x 3 3
−1 0 0 A = 0 −1 0 0 0 − 1
A = −1
等腰梯形
不规则四边形
外的任何旋转都不能保持不变， 除2 π外的任何旋转都不能保持不变， 不存在反演不变的线。 不存在反演不变的线。
2.几何变换均为正交变换（保持两点距离不变） 2.几何变换均为正交变换（保持两点距离不变） 几何变换均为正交变换 经过某一对称操作，把晶体中任一点 X ( x1 , x2 , x3 ) 变为 经过某一对称操作，
1− 2cosθ＝m,
2π θ = , n = 1, , , , 2346 n
晶体中允许的旋转对称轴只能是1， ， ， ， 度轴 度轴。 晶体中允许的旋转对称轴只能是 ，2，3，4，6度轴。
晶体结构的对称性.
晶胞的选取
晶胞的选取可以有多种方式，但在实际确定晶胞
时，要尽可能选取对称性高的初基单胞，还要兼 顾尽可能反映晶体内部结构的对称性，所以有时 使用对称性较高的非初基胞-惯用晶胞。 （1）符合整个空间点阵的对称性。 （2）晶轴之间相交成的直角最多。 （3）体积最小。 （4）晶轴交角不为直角时，选最短的晶轴，且交 角接近直角。
关系，旋转角度为的反轴和旋转角为(p)的映轴是 等价的对称轴，这一关系也很容易从他们的表示矩 阵看出。所以1次， 2次， 3次， 4次和6次反轴分 别等价于2次， 1次， 6次， 4次和3次映轴。
_ ~_ ~_ ~_ ~_ ~ 1 2, 2 1 , 3 6, 4 4, 6 3
晶体结构的对称性
主要内容
晶体的平移对称性：三维点阵和晶胞
晶体学中的对称操作元素：
(旋转轴、倒反中心、镜面、反轴、映轴、螺旋 轴和滑移面) 晶体学点群，晶系和点阵型式 空间群及其应用：空间群符号，等效点系，分数 坐标，不对称单位
晶体性质
晶体是原子(包括离子，原子团)在三维空间中 周期性排列形成的固体物质。晶体有以下的共同性 质： 1. 均匀性;
σv) 或 垂直于(horizontal ， σh) 主轴。 在二个C2轴之间角平分线的一个垂直平面叫作双面镜面， σd （ dihedral plane ）。
通过yz面的反映。
旋转倒反轴-反轴
旋转倒反轴，简称反轴 (Axis of inversion ，
Rotoinversion axis)，其对称操作是先进行旋转 操作(n)后立刻再进行倒反操作，这样的复合操作 称为记为
晶胞内部 1
石墨晶体结构
三维点阵和晶胞
04_10_晶体能带的对称性
2 的状态中是相 ( x ) e [ e a i 2 n x a
in
2 x a
u
k n
2 a
( x )]
可以证明 e
u
2 k n a
( x ) uk ( x ) ——
2 k n a
( x ) eikx uk ( x ) k ( x ) 2 的状态中是相同的 a
固体物理讲义_第四章 能带理论
04_10 晶体能带的对称性
1 空间群操作与算符 空间群 —— 由晶体的全部对称操作构成 简单空间群的表示： ( tl1l2l3 ) —— 点群对称操作和平移对称操作
tl1l2 l3 l1a1 l2 a2 l3a3 —— 平移晶格矢量：平移对称操作 复杂空间群的表示： ( tl1l2 l3 a ) —— 点群对称操作和平移操作 a —— 表示晶格小位移，不是晶格矢量 ( R l1a1 l2 a2 l3a3 ) 位移
结果表明在波矢 k 的状态中所观察到的物理量与在波矢 k k n 即 E (k ) E (k n
2 ) a
2) 点群对称操作对电子态的影响 引入描述点群对称操作的算符 T ( ) 对于任意函数有： T ( ) f ( r ) f ( r )
1
1 —— 的逆操作，物理意义是点 1r 经过 操作后，变换到 r 点
p 带 点波函数
m
s T ( ) s ( 1r Rm ) —— 对所有格点求和 T ( ) s [ 1 ( r Rm )] —— 原子 s 波函数具有球对称性，波函数在旋转、反演后保持不变
晶体学课件 第四章 微观对称性
第章第四章晶体的微观对称性原子或原子团位置的对称性叫做微观对称性宏观对称性微观对称性晶体3微观对称性和宏观对称性的主要区别微观对称性和宏观对称性的主要区别：1、宏观对称性对称元素必须相交一点，微观对称性中宏观对称性对称元素必须相交一点微观对称性中对称元素不须交于一点，可以在三维空间无限分布。
2、宏观对称性中对称元素只考虑方向，微观对称性中需要考虑对称元素的相互位置关系。
性中需要考虑对称元素的相互位置关系4点阵反映了晶体结构的周期性，这种周期性也就是点阵的平移复原的特性。
对于点阵，连接任意两个阵点的位置矢量：个阵点的位置矢量R= ma+ nb+ pc，进行平移可以使点阵复原，表现在晶体结构上就是使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复。
R可使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复以定义为晶体微观结构平移的方向矢量以定义为晶体微观结构平移的方向矢量。
微观对称元素= 宏观对称元素+ )平移(平移轴、螺旋轴、滑移面)5平移对称性;平移轴;平移群;I P6F C (A, B)14个布喇菲点阵→ 14个平移群三斜晶系: 简单布喇菲点阵:单斜晶系：简单布喇菲点阵，底心布喇菲点阵7a'=a b'=a'=a b'=bb c'=a +c bb c'=（a +c ）/2正交晶系简单体心面心和底心点阵正交晶系：简单、体心、面心和底心点阵四方晶系：体心和简单四方点阵三角晶系：简单三角点阵8六角晶系：简单六角点阵立方晶系：简单、面心和体心立方点阵2、螺旋对称轴A: 4; B: 4金刚石0,10,10.50751;30.50.250.75B0.50.250.75A 0,10,10,10.59n=3s=0,τ=0,3次旋转轴s=0=0s=1, τ=T/3, 3,次螺旋轴,右螺旋;,,1s=2, τ=T/3, 3次螺旋轴，左螺旋。
,,次螺旋轴螺旋215n 4次旋转轴n=4s=0，4次旋转轴；11/4T s=1, τ=1/4T ，右螺旋轴41；22/4T 双螺旋轴s=2, τ=2/4T ，中性螺旋轴42，双螺旋轴；s=3左螺旋轴s=3, τ=3/4T ，左螺旋轴43。
1 晶体结构及其对称性(研)
第一章 晶体结构及其对称性
§1.1 晶格及其平移对称性 §1.2 晶列与晶面 §1.3 倒点阵 §1.4 晶体的宏观对称性 §1.6 晶体X射线衍射
固体分类
晶体定义：原子、分子、离子、原子团有规则 地在三维空间的周期性重复排列形成的固体， 具有长程序。
晶体分单晶体和多晶体。
非晶体：内部粒子在三维空间不是周期性的有规 则的排列。长程无序，但在一个原子附近的若干 原子的排列是有一定规则的排列——短程有序。
布喇菲(A. Bravais)，法国学者，1850年提出。
定义:
各晶体是由一些基元（或格点）按一定规则, 周期重
复排列而成。任一格点的位矢均可以写成形式
Ra为n3 基 n矢1a1， n。2为Ra其2n 布中n拉3a，3菲、格子、的取n格1整矢n数2。，n3 、 、
a1 a2
格点 与（n1, n2, n3）一一对应。
11 1
故采用截距的倒数 u、 、v ，w并约化为三个互质的整数
h、k、l
1 来标志晶面，即：u
:
1 v
:
1 w
h。:
k
:
l
将（hkl）放在圆括号中，就称为该晶面的密勒指数（hkl）． 如果有负数，负号标在该数的上面，与晶向指数中的表示相同。
一个晶面簇中的各个晶面，其晶面指数相同．
例如，简立方晶格的几个晶面表示。
晶面指数
与该晶面在三个坐标轴上的截距的倒数相对应的三个互 质整数，就称为该晶面的晶面指数，亦称密勒指数。
若方一法个：晶以面单在胞其基三矢个坐基标矢系方为向例上说的明截晶距面分的别密为勒ua、指数v、（b hk，lw）c．
用u、v 、w 三个数字就可以标志晶面的空间方位。
§1.1 晶格及其平移对称性 §1.2 晶列与晶面 §1.3 倒点阵 §1.4 晶体的宏观对称性 §1.6 晶体X射线衍射
固体分类
晶体定义：原子、分子、离子、原子团有规则 地在三维空间的周期性重复排列形成的固体， 具有长程序。
晶体分单晶体和多晶体。
非晶体：内部粒子在三维空间不是周期性的有规 则的排列。长程无序，但在一个原子附近的若干 原子的排列是有一定规则的排列——短程有序。
布喇菲(A. Bravais)，法国学者，1850年提出。
定义:
各晶体是由一些基元（或格点）按一定规则, 周期重
复排列而成。任一格点的位矢均可以写成形式
Ra为n3 基 n矢1a1， n。2为Ra其2n 布中n拉3a，3菲、格子、的取n格1整矢n数2。，n3 、 、
a1 a2
格点 与（n1, n2, n3）一一对应。
11 1
故采用截距的倒数 u、 、v ，w并约化为三个互质的整数
h、k、l
1 来标志晶面，即：u
:
1 v
:
1 w
h。:
k
:
l
将（hkl）放在圆括号中，就称为该晶面的密勒指数（hkl）． 如果有负数，负号标在该数的上面，与晶向指数中的表示相同。
一个晶面簇中的各个晶面，其晶面指数相同．
例如，简立方晶格的几个晶面表示。
晶面指数
与该晶面在三个坐标轴上的截距的倒数相对应的三个互 质整数，就称为该晶面的晶面指数，亦称密勒指数。
若方一法个：晶以面单在胞其基三矢个坐基标矢系方为向例上说的明截晶距面分的别密为勒ua、指数v、（b hk，lw）c．
用u、v 、w 三个数字就可以标志晶面的空间方位。
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7
晶体的宏观对称元素
对称元素 国际记号 对称操作
等同元素或组合成分
－
对称中心
i
倒反 I
1
－
镜面
m
反 映M
2
一重旋转轴 1 －
二重旋转轴 2 －
三重旋转轴 3 －
四重旋转轴 4 －
六重旋转轴 6 －
－
四重反轴
4
旋 转 （ 0 0） 旋 转 （ 1 8 0 0）
旋 转 （ 1 2 0 0） 旋 转 （ 9 0 0） 旋 转 （ 6 0 0）
晶 体 的 8种 宏 观 对 称 元 素 ， 在 两 个 组 合 条 件 限 制 下 ， 按 组 合 程
序 进 行 组 合 ， 不 遗 漏 也 不 重 复 ， 共 得 32个 点 群 （ p499表 5－ 2.4） 。
--
9
4. 晶体的七个晶系及特征对称元素
晶胞所属晶系由边角关系来确定，宏观晶体 用特征对称元素判断所属晶系。
规定：在某一方向出现的旋转轴或反轴是指与这一方向 平行的旋转轴或反轴, 而在某一方向出现的镜面则是指与 该方向垂直的镜面, 如果在某一方向同时出现旋转轴或反 轴与镜面时, 国际记号中用分数形式来表示,将n或n 记在分 子位置, 将m记在分母位置.
--
11
晶系
立方晶系
六方晶系 四方晶系 三方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系
－
ห้องสมุดไป่ตู้
－
3 ＋ i＝ 3 ，3 ＋ m＝ 6
－
－
旋 转 倒 反 L（ 9 0 0） I
--
8
3、 宏 观 对 称 元 素 的 组 合 和 32个 点 群
（ 1） 对 称 元 素 组 合
对称元素组合的两个限制条件：其一，晶体的多面体
外形是一种有限图形，因而各对称元素组合必须通过一个
公共点，否则，将产生出无限多个对称元素来，这是与有
限图形相矛盾的。其二，晶体具有周期性点阵结构，任何
对称元素组合的结果，都不允许产生与点阵结构不相容的
对 称 元 素 （ 如 ：5 ，7 ， ） －－
（ 1 ） 先 进 行 对 称 轴 与 对 称 轴 的 组 合 组 合 程 序 （ 2 ） 再 扩 大 为 对 称 轴 与 对 称 面 的 组 合
（ 3 ） 最 后 扩 大 为 对 称 轴 、 对 称 面 、 对 称 中 心 的 组 合 （ 2） 晶 体 的 宏 观 对 称 类 型 — — 32个 点 群
再通过轴线上中心点进行倒反，即能复原的图形。L() I or I L()，
该轴为反轴 n
4-
3 4
3'
L(/2)
2 1
4-
2' 1'
4'
I
4-
1" 2"
3" 4"
--
2
从各反轴对应的操作可以证明：
1i S2 2mS1 33i S6 4 S 4 (能独立存在) 63mS3
--
3
2. 晶体的对称性定律：晶体中对称轴的轴次n不 是任意的，只可能有n=1, 2, 3, 4, 6 。这是晶体
对应的三个位
c a a+b ab c a a+b+c a+b
12
例2：对Td点群(立方晶系)，其国际符号:
c
对正四面体的Td群晶体，其坐
标轴选取3个4 的方向
b
a a+b+c a+b _
4
3
m
a
注意：写点群国际记号步骤：
1. 找出特征对称元素，确定晶系 2. 确定晶轴方向及位序方向， 3. 写出规定方向上的对称元素
选晶轴方法 4 个 3 // 4 条体对角线， 立方体的三边即为 a、b、c
c // 6(或6 ) a, b // 2 或^m
c // 4(或4 )，a, b // 2 或^m 六方晶胞：c // 3(或3 )，a, b // 2 或^m
a, b, c // 2 或^m b // 2 (或^m), a, c 选^b 的晶棱
--
13
SUCCESS
THANK YOU
--
14
a, b, c 选 3 个不共面的晶棱
位方向
a, a + b + c, a + b
c, a, 2a + b c, a, a + b c, a (取六方晶胞)
a, b, c b a
Eg1:
SchÖnflies记号 国际记号 简化记号
C4v
4mm
4mm
D2h
222
2/mmm
mmm
Oh
432
m3m
mm
--
B‘
B
--
5
B 'Bm a2O Bcos22acos2
n
n
m cos 2
2
n
A‘
-a O
aA
2/n n 2/n
cos 2 1 n
m 1或 m 2 2
B‘
B
m cos n=360/
-2
-1 180
2
-1 -1/2 120
3
0
0
90
4
1 1/2 60
6
2
1
360
1
--
6
SUCCESS
THANK YOU
a b c = b = g = 90°
a b c = g = 90° b a b c b g 90°
--
10
注：七种形状晶胞并不对应七个晶系，晶体的宏观对称类 型共32个点群，32个点群根据特征对称元素分为七个晶系。
5 晶体的宏观对称类型~32点群的国际记号
点群的国际符号是用晶体在某特定方向上的对称元素 来表示32个点群。特定方向叫位序（见下页表，p500）
的点阵结构所决定的.
五次轴破坏了点阵 的平移对称性
--
4
证明
对称轴 n 通过点阵点O并与平面点阵(纸面)相垂直, 在 平面点阵上必有过O点的直线点阵AA‘, 其素向量为a. 利用 对称轴n 对O点两侧的a分别顺、逆时针旋转角度 ,产生点 阵点B与B＇, BB＇必然平行与AA＇
A‘
-a
O
a
A
2/n n 2/n
§2 晶体的对称性
一、 晶体的宏观对称性 1. 晶体的宏观对称元素
分子对称性
晶体的宏观对称性
对称元素 对称操作 对称元素 对称操作
旋转轴Cn
旋转 Cˆ n
n
镜面
反映 ˆ
m
对称中心i 反演或倒反iˆ
i
L(=2/n) M I
象转轴Sn
旋转反映Sˆ n
--
反轴n
旋转倒反L()I
1
注：反轴
旋转倒反操作：先绕某轴旋转一定角度(=2/n)后，
晶系 立方晶系 六方晶系 四方晶系 三方晶系
正交晶系
单斜晶系 三斜晶系
特征对称元素 四个 3 6或 6 4或 4 3或 3
两个相互垂直的 m 或三个相互垂直的 2
2或m 无或i
晶胞边角关系 a = b = c = b = g = 90° a = b c = b = 90°g = 120° a = b c = b = g = 90° a = b = c = b = g 90°