理论力学_刚体系的平衡
刚体平衡
F A
=
B F A F2
F1
=
A
B
F1
8
1-力的基本知识
• 静力学基本原理
3. 三力平衡交汇原理
刚体受不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用 线必共面且汇交于一点
F1 A1 A A3 A2 F2
F1
=
F3
A A3
F2
F3
9
1-力的基本知识
• 受力分析和受力 图
▫ 在受力分析时，当约束被人为地解除时，即人为地 撤去约束时，必须在接触点上用一个相应的约束反 力来代替 ▫ 在物体的受力分析中，通常把被研究的物体的约束 全部解除后单独画出，称为脱离体。把全部主动力 和约束反力用力的图示表示在分离体上，这样得到 的图形，称为受力图
XA MA
YA
练习4
校核 ∑MC=6XA-6YA+2P+3Q-m+6q×3 代入数字得 ∑MC=0 说明计算无误
二、例1
例2
练习5：求图示刚架的支座反力.
q0=2kN/m
• 【例5】绘制受力图
P
A
C C
RC
C C
P
B A
RC
B
RB
P
XA
A
YA
RA
P
C
RC
P
A
YA
C
RA A
B
RB
XA
B
RB
16 B C
F1
F2
q A
D B C
F1 q
F2
A XA
D
XD YD
mA
YA
mD
17
18
2-平面汇ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力系和平面力偶系
理论力学重难点及相应题解
运动学部分：一、点的运动学重点难点分析1．重点：点的运动的基本概念（速度与加速度，切向加速度和法向加速度的物理意义等）；选择坐标系，建立运动方程，求速度、加速度。
求点的运动轨迹。
2．难点：运动方程的建立。
解题指导：1．第一类问题（求导）：建立运动方程然后求导。
若已知点的运动轨迹，且方程易于写出时，一般用自然法，否则用直角坐标法。
根据点的运动性质选取相应的坐标系，对于自然法要确定坐标原点和正向。
不管用哪种方法，注意将点置于一般位置，而不能置于特殊位置。
根据运动条件和几何关系把点的坐标表示为与时间有关的几何参数的函数，即可得点的运动方程。
2．第二类问题（积分）：由加速度和初始条件求运动方程，即积分并确定积分常数。
二、刚体的简单运动重点难点分析：1．重点：刚体平移、定轴转动基本概念；刚体运动方程，刚体上任一点的速度和加速度。
2．难点：曲线平移。
解题指导：首先正确判断刚体运动的性质。
其后的分析与点的运动分析一样分两类问题进行。
建立刚体运动方程时，应将刚体置于一般位置。
三、点的合成运动（重要）重点难点分析：1．重点：动点和动系的选择；三种运动的分析。
速度合成与加速度合成定理的运用。
2．难点：动点和动系的选择。
解题指导：1．动点的选择、动系的确定和三种运动的分析常常是同时进行的，不可能按顺序完全分开。
2．常见的运动学问题中动点和动系的选择大致可分以下五类：（1）两个（或多个）不坟大小的物体独立运动，（如飞机、海上的船舶等）对该类问题，可根据情况任选一个物体为动点，而将动系建立在另一个物体上。
由于不考虑物体的大小，因此动系（刚体）与物体（点）只在一个点上连接，可视为铰接，建立的是平移动坐标系。
（2）一个小物体（点）相对一个大物体（刚体）运动，此时选小物体为动点，动系建立在大物体上。
（3）两个物体通过接触而产生运动关系。
其中一个物体的接触只发生在一个点上，而另一个物体的接触只发生在一条线上。
选动点为前一物体的接触点，动系则建立在后一物体上。
理论力学第3章 力系的平衡条件与平衡方程
10
例题二的解答
解：选取研究对象：杆CE（带有销 钉D）以及滑轮、绳索、重物组成 的系统（小系统）受力分析如图， 列平衡方程:
M D (F ) 0 M C (F ) 0 M B (F ) 0
( F C cos ) CD F ( DE R ) PR 0 F Dx DC F ( CE R ) PR 0 F BD F ( DE R ) P ( DB R ) 0 Dy
2012年11月3日星期六
北京邮电大学自动化学院
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滚动摩擦力偶的性质
滚动摩擦力偶Ｍ 具有如下性质（与滑动摩擦力性质类似）： ◆ 其大小由平衡条件确定； ◆ 转向与滚动趋势相反； ◆ 当滚子处于将滚未滚的平衡临界状态时， Ｍ = Ｍ max =δFN
式中：δ —滚动摩擦系数，它的量纲为长度； FN —法向反力（一般由平衡条件确定）。
q (2a b) 2a
2
YA q (2a b)
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2012年11月3日星期六
北京邮电大学自动化学院
课堂练习3
多跨静定梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成，支撑和荷 载情况如图所示，已知P = 20kN，q=5kN⋅m，α = 45°。求 支座A、C的反力和中间铰B处的反力。
2012年11月3日星期六
x
xC
x
2012年11月3日星期六
北京邮电大学自动化学院
5
平行分布线载荷的简化
Q
q
1、均布荷载 Q=ql
l 2
l 2
Q
q
2、三角形荷载 Q=ql /2
2l 3
l 3
Q
3、梯形荷载 Q=(q1+q2)l /2 (自己求合力的位置)
理论力学中的静力学平衡条件与应用
理论力学中的静力学平衡条件与应用在理论力学中，静力学是研究物体处于平衡状态时的力学原理和条件。
静力学平衡条件是判断物体是否处于平衡状态的基本准则。
本文将对理论力学中的静力学平衡条件进行分析，并探讨其在实际应用中的意义。
1. 刚体静力学平衡条件在理论力学中，刚体是指其形状和体积在外力作用下保持不变的物体。
刚体静力学平衡条件是判断刚体是否处于平衡状态的基本原理。
根据刚体静力学平衡条件，一个刚体处于平衡状态需要满足以下两个条件：- 力的平衡条件：合力为零。
即作用在刚体上的所有力的矢量和等于零。
- 力矩的平衡条件：合力矩为零。
即作用在刚体上的所有力矩的代数和等于零。
2. 非刚体静力学平衡条件在实际应用中，许多物体并不是刚体，而是由多个部分组成的弹性体。
对于非刚体的情况，同样存在静力学平衡条件来判断物体是否处于平衡状态。
非刚体静力学平衡条件包括以下几个方面：- 力的平衡条件：合力为零。
即作用在物体上的合外力等于零，物体保持静止。
- 力矩的平衡条件：合力矩为零。
即作用在物体上的合外力矩等于零，物体不会产生旋转。
- 形变平衡条件：物体内部各部分之间应满足力的平衡条件和形变的平衡条件，使得物体整体保持平衡。
3. 静力学平衡条件的应用静力学平衡条件在工程学、建筑学和力学等领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：- 结构力学：静力学平衡条件可用于判断建筑物、桥梁和机械结构等是否处于稳定的平衡状态，从而确保其安全性。
- 弹性体力学：静力学平衡条件可用于分析和设计材料的弹性性能，求解材料的应力和变形分布。
- 静力学问题求解：通过应用静力学平衡条件，可以解决一些静力学问题，如悬臂梁的荷载计算、桥梁上的力的平衡等。
4. 实例分析以建筑结构为例，应用静力学平衡条件可以分析房屋的支撑结构是否稳定。
在设计房屋的支撑结构时，需要考虑以下几个方面：- 力的平衡条件：房屋所受的重力需要通过支撑结构的柱子、墙壁等来承受，使得合力为零，保持平衡。
理论力学：刚体系的平衡
2020/12/9
6
理论力学
问题的引出
05年9月8日下午2点06分，朝阳区某工地的塔吊在起吊一些预制板 构件时，第一根钢绳突然被绷断，吊臂开始变形，并向西南方向倒下。
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理论力学
§3-1 刚体系的平衡
一、静定与静不定问题
A F MB
FM
A
B
A F MB
FM
A
B
•有多余约束的系统，未知量的数目大于独立平衡方程的数目 • 问题：对于这种系统，能否唯一地求解出部分未知量。
FAy A
MA
FAx M
B
F
600
FC
C Fx 0
FAx
2、研究BC杆，画受力图
3、再研究整体
FBy
F
B FBx L
MB 0Biblioteka 600 FC C FCFy 0
FAy
MA 0
MA
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理论力学
§3-1 刚体系的平衡
例：已知 F，求 AG 杆上的约束力。
AF
B
解：1、研究AG杆， 画受力图.
FCG
a a
O
A
F
FDy
FDx
D
FGy G
FGx
求： FDy
FO
M p 0 FDy
3、再研究AG 杆，求出 FGy
p
Fy 0 FGy
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理论力学
例: 求图示结构中, CB 杆上C 端的约束力和杆1的内力.
已知:M, P, AE=EC=CD=DB=DH=EG=L，P作用在销钉C上
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理论力学力系的平衡
∑F
z E C F
30o
x
= 0, = 0, = 0,
F sin 45o − F sin 45o = 0 1 2
D
F2
B
∑F ∑F
y
FA sin 30o − F cos 45o cos 30o − F cos 45o cos 30o = 0 1 2
z
F cos 45o sin 30o + F cos 45o sin 30o + FA cos 30o −G = 0 1 2
空间力系的平衡条件和平衡方程
空间力系平衡的充要条件是力系的主矢等于零；主矩等于零 空间力系平衡的充要条件是力系的主矢等于零；主矩等于零。
FR = ∑F = 0 i MO = ∑mO (Fi ) = 0
MO
Z
Fz
FR
Fy
Mz
O
Fx
X
Mx
My
Y
平衡方程的坐标投影式
∑F
ix
= 0 ; ∑ F iy = 0 ; ∑ F iz = 0
F y = F cosθ sin 30o AD AD
F = −F cosθ cos 30o, ADx AD
2.列平衡方程。 .列平衡方程。
∑F = 0,
x
F cosθ cos 30° − F cosθ cos 30° = 0 AC AD
∑F = 0,
y
F cosθ sin 30° + F cosθ sin 30° − F cosθ = 0 AC AD AB
x
F sin 30° − F sin 30° = 0 BC BD
F cos 30° + F cos 30° + F cosθ = 0 BC BD BA
《工程力学(第2版)》课后习题及答案—理论力学篇
第一篇理论力学篇模块一刚体任务一刚体的受力分析（P11）一、简答题1．力的三要素是什么?两个力使刚体平衡的条件是什么？答：力的三要素，即力的大小、力的方向和力的作用点。
两个力使刚体处于平衡状态的必要和充分条件：两个力的大小相等，方向相反，作用在同一直线上。
2．二力平衡公理和作用与反作用公理都涉及二力等值、反向、共线，二者有什么区别？答：平衡力是作用在同一物体上，而作用力与反作用力是分别作用在两个不同的物体上。
3．为什么说二力平衡公理、加减平衡力系公理和力的可传性都只适用于刚体？答：因为非刚体在力的作用下会产生变形，改变力的传递方向。
例如，软绳受两个等值反向的拉力作用可以平衡，而受两个等值反向的压力作用就不能平衡。
4．什么是二力构件？分析二力构件受力时与构件的形状有无关系。
答：工程上将只受到两个力作用处于平衡状态的构件称为二力构件。
二力构件受力时与构件的形状没有关系，只与两力作用点有关，且必定沿两力作用点连线，等值，反向。
5．确定约束力方向的原则是什么?活动铰链支座约束有什么特点？答：约束力的方向与该约束阻碍的运动方向相反。
在不计摩擦的情况下，活动铰链支座只能限制构件沿支承面垂直方向的移动。
因此活动铰链支座的约束力方向必垂直于支承面，且通过铰链中心。
6．说明下列式子与文字的意义和区别：（1）12=F F ，（2）12F F =， （3）力1F 等效于力2F 。
答：若12=F F ，则一般只说明两个力大小相等，方向相反。
若12F F =，则一般只说明两个力大小相等，方向是否相同，难以判断。
若力1F 等效于力2F ，则两个力大小相等，方向和作用效果均相同。
7．如图1-20所示，已知作用于物体上的两个力F1与F2，满足大小相等、方向相反、作用线相同的条件，物体是否平衡？答：不平衡，平衡是指物体相对于惯性参考系保持静止或匀速直线运动的状态，而图中AC 杆与CB 杆会运动，两杆夹角会在力的作用下变大。
二、分析计算题1.试画出图1-21各图中物体A 或构件AB 的受力图（未画重力的物体重量不计，所有接触均为光滑接触）。
理论力学第3章 力系的平衡
基础部分——静力学第3 章力系的平衡主要内容：§3-7 重心即：力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点3-2-1 平衡方程的一般形式∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 已知∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 投影式：平衡方程i即：力系中所有力在各坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有力对各坐标轴之矩的代数和分别等于零。
说明：¾一般¾6个3个投影式，3个力矩式；¾一般形式基本形式3-2-2 平面一般力系的平衡方程xy zOF1F2Fn平面内，¾一般形式¾3个2个投影式，1个力矩式；¾ABAzzCC附加条件：不垂直附加条件：不共线Bx二矩式的证明必要性充分性合力平衡AA 点。
B 点。
过ABBx故必有合力为零，力系平衡证毕平面问题3个3个 解题思路BAMFo45l l[例3-1] 悬臂梁，2解：M A 校核：0)(=∑F MB满足！解题思路？AyF AxF[例3-2] 伸臂梁F AxF AyF BF q 解：0=∑x F 0)(=∑F AM3(F −+0=∑yF3(F −+(F −+0)(=∑F AM=∑yF0=∑x F F AxF AyF BF q 思考：如何用其他形式的平衡方程来求解？0=∑x F 3(F −+0)(=∑F AMF AxF F BF q 0)(=∑F BM(F −+二矩式思考练习][练习FFlll F ACB DlllACB DM=F l[思考][思考]lll F ACB DlllACB DF见书P54例3-1—约束lllACB DF—约束CBADEFM—约束—约束—整体平衡局部平衡CB ADEFM研究对象的选取原则¾仅取整体或某个局部，无法求解；¾一般先分析整体，后考虑局部；¾尽量做到一个方程解一个未知力。
qCBAm2m2m2m2MBCM[例3-3] 多跨梁，求：如何选取研究对象？F CqF CFAxF AyM ABAqF'BxF'ByM A F Ax F AyF Bx F By解：先将分布力用合力来代替。
理论力学ppt
三.力对点的矩
z
B
1.力对点的矩
mo(F)
mo(F) = r×F
mo(F)表示力F绕O点
A
r
O
y
转动的效应.O点称为矩
d
x
心.力矩矢是定位矢量.
力矩的三要素:力矩的大小;力矩平面的
方位;力矩在力矩平面内的转向.
力矩的几何意义: mo(F) =±2OAB面积=±Fd 力矩的单位: N·m 或 kN·m
a an2 at2 R 2 4
方向为
tan
at an
R 2R
2
结论: （1）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速 度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。
（2）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的方
向与半径间的夹角 都相同。
速度分布图
加速度分布图
四 刚体的转动惯量与飞轮的作用
1.转动惯量的概念
n
I mi i2 i 1
转动惯量反映物体转动时惯性的大小。物 体的转动惯量，一方面决定于物体的形状 ，另一方面又决定于转动轴的位置。
四 刚体的转动惯量与飞轮的作用
2.飞轮的作用 （1）使转速变化均匀 （2）改善扭转特性，减缓机械振动 （3）改善机器的启动和操纵性能
三.力对点的矩
2.合力距定理
定理：平面汇交力 系的合力对平面内任一 点之距，等于其所有分 力对于同一点力矩的代 数和
四.力偶及其性质
F
1力偶(F ,F)
B A
力偶作用面和力偶臂d.
F´
力偶无合力.因此力偶不能与一个力等效,也不 能用一个力来平衡.力偶只能与力偶等效或平衡.
四.力偶及其性质 2力偶的三要素
静定、超静定的概念与刚体系统平衡问题
物体系统的平衡静定与静不定（超静定）问题•静定与超静定（静不定）的概念对每一种力系而言,若未知量的数目等于独立平衡方程的数目。
则应用刚体静力学的理论,就可以求得全部未知量,这样的问题称为静定问题。
（理论力学）若未知量的数目超过独立平衡方程的数目，则单独应用刚体静力学的理论,就不能求出全部未知量,这样的问题称为静不定问题（超静定问题）。
（材料力学等）静定：未知量个数等于独立的平衡方程数；未知量的数目=独立平衡方程的数目静不定(超静定)：未知量个数大于独立的平衡方程数。
未知量的数目> 独立平衡方程的数目超静定次数：未知量个数与独立的平衡方程数之差。
当研究对象中未知约束力个数小于独立的平衡方程数时，其运动状态一般都是变化的，工程中将这样的力学系统称为机构，这种情况在工程结构设计中是应该避免的。
具有n个物体组成的平面静定物体系统：最多3n个独立平衡方程，求解3n个未知量。
超静定问题：材料力学原理建立补充方程求解。
A BPF PF PF判断各图示结构的静定性•刚体系统（物体系统）的平衡问题1. 两个或两个以上刚体用一定的方式连接起来组成的系统，称为刚体系统；2. 刚体系统整体处于平衡时，每一局部均处于平衡。
局部：组成系统的单个或几个刚体所构成的子系统。
0A M =∑0D M =∑0C M =∑0B M =∑∑=0X 0=∑Y 刚体系统平衡问题的特点是：仅仅考察系统整体平衡，一般无法求得全部未知力。
1m 1m q pF F 1A 0.5m 0.5m (a)1m1m D B C Q Ax F Ay F M A BF P1.一般解法：编程，运用计算机求解线性代数方程组。
对于每个刚体都受平面任意力系作用的刚体系统，总可以建立3n个独立的平衡方程。
如果系统是静定的，也应有相同个数的未知量，最终就归结为求解线性代数方程组的问题，利用高斯消元法等方法，总能在计算机上程式化地实现数值求解。
2.分析解法：由于许多工程实际问题并不需要求出刚体系统的所有内部和外部的约束力，而通常只需求出某一部分的约束力，因此，利用分析解法以简化运算是必要的。
刚体的受力分析及其平衡规律
可合性
F3 A Fn
AR
Fn
平面汇交力系
平面共点力系
合力
结论：平面汇交力系合成的结果为一合力，合
力的作用线通过力系的汇交点，合力的大小和
方向等于力系中各力的矢量和。即
n
R Fi i 1
平面汇交力系平衡的充要条件是力系的合力
为零，即
n
R Fi 0 i 1
几何条件为力多边形自行封闭。
平面汇交力系平衡的几何条件
（上例中整个梯）。 平面汇交力系--各力作用线汇交于一点的平面力
系。 平面共点力系--各力作用于一点的平面力系。 平面一般力系--各力作用线任意分布的平面力系
（上例中半梯受）。
一、平面汇交力系的简化
1、概述
力系的简化—求一力与一力系等效。即求力系 的合力。
F2 F1
A
F3
F2
F1
可传性原理
X
力F的从投原影点为画代出数时量所。在象限由X、Y正、负号判断。
3、合力投影定理
设平面共点力系 F1 、F2 、F3（与某汇交力系等效）
作用在刚体上的A点，由图可知：
ag=ab+be-eg=ab+ac-ad，即RX=X1+X2+X3
R1 F1 F2 , R R1 F3 F1 F2 F3
力的表示法：
（1）黑体字母，如：R、F 等。相应的普通体字 母R、F 表示其大小。
（2）有向线段:
A
F
B
说明：以解析法计算力的大小时，线段
AB长度可不按比例画出。
力通过物体直接接触或通过物体和场（重力场、 电磁场等）的相互作用而产生。力的作用点即 力的作用位置 一般并非一个点。如两物体直接 接触时的压力为面分布力，重力为体积分布力。 若分布面积很小或研究力对物体的外效应时可 将其简化为作用于接触面中心或重心的集中力。
理论力学(30-17) 5-4 平面力系平衡方程
cos2α = 2cos2 α −1
Q ∠OAD = ∠ ODA = α ∴ l cos α = AF = 2R cos 2α
α = arccos
l
±
l
2
+
1
E
B
8R 8R 2 O
D
Rl
C
9r0° Q
αF
A
r
r
W
N
第 力5章 系 简 化 与 平 衡 问 题
例3
第 力5章 系 简 化 与 平 衡 问 题
刚体系和变形体的平衡
变形体也是一种质点系， 可利用刚化原理化为刚 体系平衡问题 。
刚化原理：若非刚体处于平衡状态， 则可 把 它变形后的状态刚化， 而平衡条件不变。
只要满足 理想约束 条件，变形体平衡问题仍 然可以利用虚位移原理 来研究。
平衡方程是非刚体平衡 的必要条件，但不 充分条件 ，解决变形体平衡问题还需要考 虑变形条件。
例1
解法一
以杆为研究对象，画出受力图。杆受三个 力的作用，必相交于一点。
OAsinθ
=
l 2
cos
ϕ
OA = l sin (θ +ϕ )
sin
(θ
+ϕ
)sinθ
=
1 2
cosϕ
O
θ
NB θ
B
tan ϕ = c o t 2θ ϕ = 90° − 2θ
NA
ϕP
A
如何求NA和N B ？
θ
第 力5章 系 简 化 与 平 衡 问 题
α3
=
π 2
−
1 2
arcsin
9 16
第 力5章 系 简 化 与 平 衡 问 题
1.第一章 刚体的受力分析及其平衡规律
6
三、平衡、平衡力系 平衡、
合力：若一个力与一个力系等效， 合力：若一个力与一个力系等效，则称这个力为 该力系的合力， 该力系的合力，该力系中的各力称为该合力的分 力。
力系的合成
分力
力的分解
合力 合力
分力
7
四、力的基本性质 公理一 二力平衡公理
要使刚体在两个力作用下维持平衡状态， 要使刚体在两个力作用下维持平衡状态，必须也 只须这两个力大小相等、方向相反、 只须这两个力大小相等、方向相反、沿同一直线 作用。 （等值、反向、共线） 作用。 等值、反向、共线） 二力杆件： 二力杆件：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力 杆件。 杆件。
A
或 F
N 等。
F
4.力的单位 力的单位 在国际单位制中，力的单位是牛顿 在国际单位制中，力的单位是牛顿 （N） ） 1 N = 1公斤 米/秒2 （kg •m/s2 ） 公斤•米 秒 公斤
3
q(x)
5.力的分类 力的分类
⑴力的分类 力
体积力 表面力 集中力 分布力 均布力 非均布力 a
A l/2 l
R = Rx + Ry = ∑ X + ∑ Y
2 2 2
2
R tg θ = R
y x
41
（二）平面汇交力系的平衡、平衡方程 平面汇交力系的平衡、
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系 的合力为零。 的合力为零。
R = 0 ⇒ Rx + R y = X 2 + Y 2 = 0
2 2
∑X =0 ∑Y = 0
T a
A b B
Q
q b B
⑵均布载荷 用载荷集度q （N /m）表示, 载荷集度 ）表示, q 指单位轴长上的载荷量。 指单位轴长上的载荷量。
高中物理刚体平衡教案
高中物理刚体平衡教案主题：刚体的平衡目标：1. 了解刚体的定义和性质；2. 掌握刚体的平衡条件；3. 能够应用刚体平衡条件解决相关问题。
一、引入1. 引导学生回想一下什么是刚体，并让他们说出刚体的性质。
2. 提出一个问题：在日常生活中有哪些例子符合刚体的定义？二、概念讲解1. 介绍刚体的定义：不发生形变的物体。
2. 解释刚体的平衡条件：外界合力为零，外界合力矩为零。
3. 引导学生通过实例理解刚体平衡条件的实际应用。
三、练习与讨论1. 给学生提供几个简单的刚体平衡问题，并让他们分组解答。
2. 鼓励学生展示解题思路，并进行讨论。
四、实例分析1. 给学生讲解一个实际应用场景中刚体平衡问题的解决过程。
2. 引导学生独立分析解决类似问题的方法。
五、综合练习1. 提供一些综合性的刚体平衡问题，让学生独立解答。
2. 鼓励学生将所学知识运用到解决实际问题中。
六、总结与拓展1. 回顾本节课所学内容，总结刚体平衡的关键要点。
2. 引导学生思考如何将刚体平衡理论应用到更复杂的情景中。
七、作业布置1. 布置相关练习题目，巩固所学知识。
2. 提出探究问题，引导学生进一步思考。
八、课堂反馈1. 通过课堂随堂测验或口头提问的形式，检验学生对刚体平衡的掌握程度。
2. 对学生的表现进行评价和反馈。
【教学反思】本节课主要通过讲解、练习和分析等多种教学活动，帮助学生全面理解刚体平衡的概念和关键条件，并培养学生解决实际问题的能力。
通过课堂反馈，及时发现学生存在的问题，帮助他们进一步提高。
理论力学5-3 刚体平衡方程
S4 2P
M AD 0 : S4 cos 45o a S3 a 0
S3 P
zB
y
A
x
P
S6 S5 B
C
S4 DSS23 S1 C
A
D
MCD 0 : S5 cos 45o a S6 a 0 S3 P
M BC 0 : S6 a S1 a 0
S1 P
第5章
力 系 简 化 与 平 衡 问 题
静不定问题 需要补充其 它方程才能 求解！
Q
机构问题：m < n, 主动力平衡条件
Y P
O
m=2；n=3
Xm
i 1
n
Rz Fiz 0
i 1
n
M x yi Fiz zi Fiy 0
i 1
n
M y zi Fix xi Fiz 0
i 1
n
M z xi Fiy yi Fix 0
i 1
第5章
力 系 简 化 与 平 衡 问 题
平衡方程
➢ 空间一般力系：6个平衡方程是相互独立 的，可以求解6个未知数。 Rx 0 Ry 0 Rz 0 Mx 0 My 0 Mz 0
B
C
A
Pห้องสมุดไป่ตู้
5 B 4
D 3a
2 C
6
1
a
A
D
a
第5章
力 系 简 化 与 平 衡 问 题
例1
解
板的受力图如图示。建立坐标系Axyz。
Rx P S4 cos 450 0 M Ax (S3 S4 cos 450 )a 0 M Az (S2 S4 ) cos450a 0
S4 2P S3 P
校核 MDD 0 ?
理论力学-平衡问题矢量法
G3
6m
G1 12 m
G2
A FA B FB
18
2m 2m
解：1.取起重机为研究对象 2.受力分析如图 3.列平衡方程 MB(F)= 0
G3×(6+2)+G1×2–G 2×(12-2) – FA×4 = 0
FA 8G3 2G1 10G2 4
G3
6m
MA(F)= 0 G1
12 m
G3×(6 –2) –G1×2–G 2×(12+2)+FB×4= 0 G2
不失一般性，设力系中各力的作用线汇交点为坐标原点。 则不论该力系是否平衡，力系中各力对x, y, z轴的力矩都为 零。方程(3.1.2)中后三个方程恒成立。此时，方程(3.1.2)退 化为
F
x
0,
F
y
0,
F
z
0
(3.1.6)
5
式(3.1.6)为汇交力系的平衡方程。对于平面汇交力系，力系在 与所在平面垂直的轴上的投影恒为零，记该轴为z轴，则平面 汇交力系的平衡方程为
MA(F)= 0
F1 a P F2 l b FB cos a c FB sin a l 0 2
l
4.联立求解
FB = 12456 N FAx = 11290 N FAy = 4936 N
12
例3 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2 kN，F2=1.5 kN， M =1.2 kN· m，l1=1.5 m，l2=2.5 m。 试求支座A及支座B的约束力。 F1 M A l2 y F1 M B FAy FB F2 B 60º 解： 1. 取梁为研究对象 2. 受力分析如图 3. 选坐标系，列平衡方程
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几何静力学
ห้องสมุดไป่ตู้
0
3 4 6 8
P
5
F C A
P
0 0 0 0 0 0 0 F G 0 H E 0 0 C D 0 0
A 60°
60° B
I
K
J
0
9
7
A
B
G 0 0 0 00 H D E
B
22/39
返回
例 4-6-3
截面法
第 4章
截面的选择
如何求1杆的内力？
C
3 1
P
先由整体平衡求出A、B处的约束力；再作 截面I，考虑左半部平衡
Rx 0 X A X B Q 0
C
YA
解
第 4章
例 4-6-2
已知连续梁由AB和BC两段组成，长度分别为 2a和a，梁的A端插入墙内，C处有滚动支座 支撑，B处用光滑铰连结，在BC段作用力偶 矩m，在AB段作用分布载荷q，求A、B、C 处 约束反力
q
A B
几何静力学
Q
(2) 考虑左半部
10/39
几何静力学
英国福斯湾桥。 钢悬臂桁架双线 铁路桥。跨度521 米。1890年建成
桁架的工程实例
第 4章
桁架的工程实例
几何静力学
北京首都国际机场航空港内 钢结构飞机库
ZT120型塔式起重机
12/39
卫星发射塔。1983年8月 19日发射科学试验卫星。
法国埃菲尔铁塔
2
桁架构思的由来
第 4章
桁架构思的由来 — 大跨度梁的发展(有效使
例 4-6-3
已知：尺寸、载荷。求：各杆内力。
P3 P 1
2
几何静力学
简单桁架杆数m和节点数n间的关系： m – 3 = 2(n – 3) m + 3 = 2n 静定 组合桁架：由简 单桁架通过三角 形扩大法则构成
P2
C
3 1 6 5 4
F
7
8 9
A
D
E
12 11 10 H 13
G
B
P 1 P 2 P 3 10 kN
3/39 4/39
一. 组合结构平衡问题
第 4章
例 4-6-1
已知：a、P、Q。 求： A、B 的约束反力。
第 4章
5/39
几何静力学 几何静力学
几何静力学
a Pa 2 2
a
C
a
A
B
a Q 2
a 2
例 4-6-1
(1) 考虑刚架整体，画出受力图 PQ YB M Az YB 2a Q a P a 0 4 2 2 P Q P 3 Ry 0 YA 4 4
由此可得：
FA FB M M 2r tan h
D
以框架为研究对象 结构对称，4杆内力均相等 由AC杆（二力杆）平衡： N F cot M cot
A
B A
FB
C
FA
h
NC
36/39
6
几何静力学小结（续）
第 4章 基本定理 力系等效定理 泊松定理 力的平移定理 二力平衡条件、三力平衡条件 刚化原理 第 4章
截面法：适当地选取一截面，假想地把桁
N Ax 0
C
6 5 4
F
P3
8 7 9 12 11 10 H 13
G
N Ay 22.5 kN
D
NAy
E
B
NB
19/39
第 4章
21/39
第 4章
23/39
几何静力学 几何静力学 几何静力学
几何静力学
架截开，再考虑其中任一部分的平衡，求 出被截杆件的内力。不宜截断三杆以上， 适于校核部分杆件内力
刚体系平衡解题小结
第 4章
m
C
2a
YB
a m
C
(2) 再考虑连续梁整体AC M Az 0 m A 2( m qa 2 )
Rx 0 X A 0
Ry 0 YA 2qa m YA m A a A XA
B XB
q 2a
YC
m
B
C
YC
8/39
解题思路 灵活选择研究对象：先考虑哪一部分为 研究对象？整体还是局部？ 以整体为研究对象，常可以先求出部分 或全部约束反力 灵活选取平衡方程：列哪一个平衡方程？ 解 解哪一个未知量？ 个未知量 基本原则 尽量做到列一个平衡方程就能解一个未 知数，避免两个研究对象的平衡方程联 立求解。
几何静力学
FB
MB
例 4-6-6
由手柄平衡：
FA FB 0
MB
解
MA M
几何静力学小结
第 4章 基本概念 主矢量（区别于合力）、主矩（力对点/轴之 矩、力偶） 静力学不变量 典型约束及其约束反力 静定与静不定 摩擦角/椎、摩擦自锁
M A MB M 0
FB
FA
几何静力学
H A P G B F C E D
例 4-6-4
第 4章
解
根据钢索的特点可知，图中每个四边形都有 一个钢索的内力为零。
H A P G B F C E D
25/39
第 4章
27/39
第 4章
29/39
几何静力学
例 4-6-4
几何静力学
4m
4m
Q
Q
3 5m
3 5m
G B
F C B P
G
F C Q
7/39
第 4章
9/39
第 4章
11/39
几何静力学 几何静力学 几何静力学
几何静力学
(3) 校核
M Cz m q 2a 2a mA YA 3a 0
二. 桁架
由许多直杆状构件在端点按一定的形式连
桁架的工程实例
第 4章 枝城长江大桥。 跨度为160米， 连续桁架梁
接而构成的结构。
几何静力学 几何静力学
38/39
几何静力学
7
用节点法求各杆内力，考虑各节点平 P `1 S2 衡的顺序 A →D →C →F →E →G →H 节点A： Ry 0 S 2 = 25 kN
Rx 0 S1 21.7 kN
A
N Ay
S1 S3 D
S1 S4
节点D： Ry 0 S3 0 (零杆) Rx 0 S4 S1
C XC
1
2
a
3
D
E
S3
E
30/39
a
a
a
a
5
请思考
第 4章 在求出约束反力后，能否用截面 I 将系统截 开，再用截面法求解？ I P
A
对桁架的进一步思考
第 4章 块体结构
有效利 用材料 的思想
q
C
I
B
4 5
31/39
第 4章
33/39
第 4章
35/39
几何静力学 几何静力学 几何静力学
C
几何静力学
用在相同的平面内，则称为平面桁架。
称为节点。
桁架的实际节点 理想节点
几何静力学 几何静力学
几何静力学
节点
焊接或铆接，杆的端点不 能转动，可承受力矩。
光滑铰链，不能 承受力矩
3. 杆的自重相对载荷可以忽略不计。 4. 载荷及支座反力均作用在节点上。
在以上假设下各杆均为二力杆
16/39
平面桁架的构成
简单桁架(三角形扩大法则) 第 4章
刚化原理
第 4章 刚体系：多个刚体构成的结构或机构 变形体：质点之间的相对距离可以变化的质系 平衡方程是不是非刚体平衡的充要条件？
几何静力学
4.6 刚体系的平衡
F
－F
平衡方程不是非刚体平衡的充分条件！
2013年10月26日
2/39
刚化原理
第 4章 平衡方程是非刚体平衡的必要条件。 刚化原理（硬化原理）：已知非刚体处于平 衡状态，如果把它刚化（想象成刚体），则 平衡条件不变。 刚体系平衡问题的求解： 根据刚化原理，整个刚体系应满足平衡方程； 再解除刚体间的约束，利用平衡方程逐个研 究单个刚体。 利用虚位移原理研究整个刚体系 (第5章) 。 解决变形体的平衡还需要考虑变形条件。
M Cz 0
XB
PQ XA 4
A
XA
B
YB
XB
m
C
P
C
P 3Q 4
YC
XC
6/39
2a
a
(3) 校核
YA
A
XA
1
例 4-6-2
第 4章 (1) 先考虑BC
M Bz 0 YC m a Rx 0 X B 0 Ry 0 YB m a
解
q
A B
30
18/39
3
求平面桁架各杆内力的方法
第 4章
节点法：分别考虑各节点的平衡。 各节点均受一平面汇交力系的作用，只
例 4-6-3
第 4章 考虑整体平衡
M Az 0 Rx 0
Ry 0
N B 7.5 kN
节点法
P 1
NAx A
P2
2 3 1
能列写两个平衡方程，解两个未知数。 注意选择节点顺序，适合于求解全部杆 件内力
拆除C铰并截断
XA
YB
B
5
S1 2 S3
2 (3qa P)（拉） S 1 2
D
S2
S3
几何静力学