理论力学_刚体系的平衡
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I P3 P2 F
2 3 1
S3
P 1
A
C
6
8
5 4
7
D
E
12 11 10 H 13 9
G
P 1
B A
P2
C
几何静力学
S6
S5
F E
2
F D
B
D
NAy
D S4 E
A
S1
E
S2
M Cz 0 S 4 M Ez 0 S6 Rx 0 S5
24/39
4
例 4-6-4
第 4章 在图示平面桁架中，沿对角线的杆件均为钢 索，它们只能承受拉力。已知 P ＝ 40kN，Q ＝ 80kN，求钢索BF及CG的内力。
用节点法求各杆内力，考虑各节点平 P `1 S2 衡的顺序 A →D →C →F →E →G →H 节点A： Ry 0 S 2 = 25 kN
Rx 0 S1 21.7 kN
A
N Ay
S1 S3 D
S1 S4
节点D： Ry 0 S3 0 (零杆) Rx 0 S4 S1
SCG 10 41 (kN) 3
28/39
a
a
a
a
例 4-6-5
解
第 4章
YB 4a 2qa 2a Pa 0 2qa P YA q
A
例 4-6-5
考虑铰节点D的平衡。受力图如图示。
解
考虑整体平衡，受力图如图示。
m (F ) 0 :
A
YB qa P / 4
几何静力学 几何静力学
38/39
几何静力学
7
例 4-6-6
解
设手柄半径为r，则螺纹的升角为 arctan h 2 r 螺母A对手柄作用分布力系， MA 力与手柄轴线夹角为α。将 FA 此力系向轴线上A点简化： R = FA MA M A r ( FA tan ) 螺母B对手柄的力 M B r ( FB tan )
MB
34/39
2 1
几何静力学
0
3 4 6 8
P
5
F C A
P
0 0 0 0 0 0 0 F G 0 H E 0 0 C D 0 0
A 60°
60° B
I
K
J
0
9
7
A
B
G 0 0 0 00 H D E
B
22/39
返回
例 4-6-3
截面法
第 4章
截面的选择
如何求1杆的内力？
C
3 1
P
先由整体平衡求出A、B处的约束力；再作 截面I，考虑左半部平衡
拆除C铰并截断
XA
YB
B
5
S1 2 S3
2 (3qa P)（拉） S 1 2
D
S2
S3
几何静力学
C
1 2
3
4
a
S2
2 1 S (3qa P ) （压） 2 1 2
P
A
杆3，考虑右半 部分的平衡：
D
E
a
a
YC
a qa
a
YB
B
q
C
m
C
( F )=0
B
4
5
Yb 2a qa a / 2 S3 a 0 S3 (3qa P) / 2 (拉)
30
18/39
3
求平面桁架各杆内力的方法
第 4章
节点法：分别考虑各节点的平衡。 各节点均受一平面汇交力系的作用，只
例 4-6-3
第 4章 考虑整体平衡
M Az 0 Rx 0
Ry 0
N B 7.5 kN
节点法
P 1
NAx A
P2
2 3 1
能列写两个平衡方程，解两个未知数。 注意选择节点顺序，适合于求解全部杆 件内力
7/39
第 4章
9/39
第 4章
11/39
几何静力学 几何静力学 几何静力学
几何静力学
(3) 校核
M Cz m q 2a 2a mA YA 3a 0
二. 桁架
由许多直杆状构件在端点按一定的形式连
桁架的工程实例
第 4章 枝城长江大桥。 跨度为160米， 连续桁架梁
接而构成的结构。
由此可得：
FA FB M M 2r tan h
D
以框架为研究对象 结构对称，4杆内力均相等 由AC杆（二力杆）平衡： N F cot M cot
A
B A
FB
C
FA
h
NC
36/39
6
几何静力学小结（续）
第 4章 基本定理 力系等效定理 泊松定理 力的平移定理 二力平衡条件、三力平衡条件 刚化原理 第 4章
未知数总数？ 方程总数？
26/39
解
H A
NA
例 4-6-5
第 4章 图示为一横梁桁架结构，由横梁AC、BC及五 根支撑杆组成，所受载荷及尺寸如图。求1、 2、3杆的内力。
P
A
1 2
对整体分析
2 P Q 160 M Dz 0 N A kN 3 3
G
F
E
作截面I，对左半部 Ry 0 N A P 4 S BF 4 SCG 0 41 41
20/39
最后利用节点B的平衡条件校核
零杆的确定
零杆（内力为零的杆）与桁架所承受的主
思考题
第 4章
动载荷有关
若某节点只与两杆相连，节点上无主动
如何求各杆内力？
P
力，两杆不平行，则两杆均为零杆 若某节点与三杆相连，节点上无主动力， 两杆在同一直线上，则第三杆为零杆 两杆在同 直线上，则第三杆为零杆 0
用在相同的平面内，则称为平面桁架。
称为节点。
桁架的实际节点 理想节点
几何静力学 几何静力学
几何静力学
节点
焊接或铆接，杆的端点不 能转动，可承受力矩。
光滑铰链，不能 承受力矩
3. 杆的自重相对载荷可以忽略不计。 4. 载荷及支座反力均作用在节点上。
在以上假设下各杆均为二力杆
16/39
平面桁架的构成
简单桁架(三角形扩大法则) 第 4章
例 4-6-3
已知：尺寸、载荷。求：各杆内力。
P3 P 1
2
几何静力学
简单桁架杆数m和节点数n间的关系： m – 3 = 2(n – 3) m + 3 = 2n 静定 组合桁架：由简 单桁架通过三角 形扩大法则构成
P2
C
3 1 6 5 4
F
7
8 9
A
D
E
12 11 10 H 13
G
B
P 1 P 2 P 3 10 kN
截面法：适当地选取一截面，假想地把桁
N Ax 0
C
6 5 4
F
P3
8 7 9 12 11 10 H 13
G
N Ay 22.5 kN
D
NAy
E
B
NB
19/39
第 4章
21/39
第 4章
23/39
几何静力学 几何静力学 几何静力学
几何静力学
架截开，再考虑其中任一部分的平衡，求 出被截杆件的内力。不宜截断三杆以上， 适于校核部分杆件内力
3/39 4/39
一. 组合结构平衡问题
第 4章
例 4-6-1
已知：a、P、Q。 求： A、B 的约束反力。
第 4章
5/39
几何静力学 几何静力学
几何静力学
a Pa 2 2
a
C
a
A
B
a Q 2
a 2
例 4-6-1
(1) 考虑刚架整体，画出受力图 PQ YB M Az YB 2a Q a P a 0 4 2 2 P Q P 3 Ry 0 YA 4 4
刚体系平衡解题小结
第 4章
m
C
2a
YB
a m
C
(2) 再考虑连续梁整体AC M Az 0 m A 2( m qa 2 )
Rx 0 X A 0
Ry 0 YA 2qa m YA m A a A XA
B XB
q 2a
YC
m
B
C
YC
8/39
解题思路 灵活选择研究对象：先考虑哪一部分为 研究对象？整体还是局部？ 以整体为研究对象，常可以先求出部分 或全部约束反力 灵活选取平衡方程：列哪一个平衡方程？ 解 解哪一个未知量？ 个未知量 基本原则 尽量做到列一个平衡方程就能解一个未 知数，避免两个研究对象的平衡方程联 立求解。
Rx 0 X A X B Q 0
C
YA
解
第 4章
例 4-6-2
已知连续梁由AB和BC两段组成，长度分别为 2a和a，梁的A端插入墙内，C处有滚动支座 支撑，B处用光滑铰连结，在BC段作用力偶 矩m，在AB段作用分布载荷q，求A、B、C 处 约束反力
q
A B
几何静力学
Q
(2) 考虑左半部
刚化原理
第 4章 刚体系：多个刚体构成的结构或机构 变形体：质点之间的相对距离可以变化的质系 平衡方程是不是非刚体平衡的充要条件？
几何静力学
4.6 刚体系的平衡
F
－F
平衡方程不是非刚体平衡的充分条件！
2013年10月26日
2/39
刚化原理
第 4章 平衡方程是非刚体平衡的必要条件。 刚化原理（硬化原理）：已知非刚体处于平 衡状态，如果把它刚化（想象成刚体），则 平衡条件不变。 刚体系平衡问题的求解： 根据刚化原理，整个刚体系应满足平衡方程； 再解除刚体间的约束，利用平衡方程逐个研 究单个刚体。 利用虚位移原理研究整个刚体系 (第5章) 。 解决变形体的平衡还需要考虑变形条件。
几何静力学
FB
MB
例 4-6-6
由手柄平衡：
FA FB 0
MB
解
MA M
几何静力学小结
第 4章 基本概念 主矢量（区别于合力）、主矩（力对点/轴之 矩、力偶） 静力学不变量 典型约束及其约束反力 静定与静不定 摩擦角/椎、摩擦自锁
M A MB M 0
FB
FA
几何静力学
10/39
几何静力学
英国福斯湾桥。 钢悬臂桁架双线 铁路桥。跨度521 米。1890年建成
桁架的工程实例
第 4章
桁架的工程实例
几何静力学
北京首都国际机场航空港内 钢结构飞机库
ZT120型塔式起重机
12/39
卫星发射塔。1983年8月 19日发射科学试验卫星。
法国埃菲尔铁塔
2
桁架构思的由来
第 4章
桁架构思的由来 — 大跨度梁的发展(有效使
蜂窝材料
I
1
2
a
自然界 的启发
3
D
E
a
a
a
a
各种多孔介质材料 （泡沫材料等）
32/39
闭孔泡沫 材料
开孔泡沫 材料
三. 机构的平衡问题 例 4-6-6
在压缩机的手轮上作用一力矩M。手轮轴的两 端各有螺距同为 h、但螺纹方向相反的螺母 A 和B，分别与四根长为a的杆铰接。D点固定， 求当菱形框的顶角等于2时，C点对被压物体 的压力。（不计摩擦以及各杆自重） 第 4章
几何静力学小结（续）
基本方法 力系简化（简化结果） 受力分析（基本功！） 平衡方程各种形式的灵活运用 考虑摩擦问题的解析法和几何法（摩擦力方 向的判断 临界状态的判断） 向的判断、临界状态的判断） 刚体系平衡问题的灵活求解 桁架杆件内力分析的节点法、截面法
37/39
第 4章
39/39
4 S 4 S 40 0 BF CG 3 41 41
D C B Y P I Q X D D H A G S FG B
SCG S BF S BC
几何静力学 几何静力学
几何静力学
q
C
3
B
4
5
NA
P
a
SCG和SBF之中有一个必为零。若设SCG = 0，
D
E
则SBF < 0, 但钢索不能受压，故假设错误。由 此必有SBF = 0
H A P G B F C E D
例 4-6-4
第 4章
解
根据钢索的特点可知，图中每个四边形都有 一个钢索的内力为零。
H A P G B F C E D
25/39
第 4章
27/39
第 4章
29/39
几何静力学
例 4-6-4
几何静力学
4m
4m
Q
Q
3 5m
3 5m
G B
F C B P
G
F C Q
C XC
1
2
a
3
D
E
S3
E
30/39
a
a
a
a
5
请思考
第 4章 在求出约束反力后，能否用截面 I 将系统截 开，再用截面法求解？ I P
A
对桁架的进一步思考
第 4章 块体结构
有效利 用材料 的思想
q
C
I
BLeabharlann Baidu
4 5
31/39
第 4章
33/39
第 4章
35/39
几何静力学 几何静力学 几何静力学
C
几何静力学
桁架构思的由来
第 4章 为什么是桁架这种形式？
利用计算机辅助分析，可以模拟出从块体结
用材料)
13/39
第 4章
15/39
第 4章
17/39
几何静力学
桁架的基本假设 (理想桁架)
1. 构件都是直的刚性杆 2. 各杆在端点用光滑铰链相连接，连接点
14/39
第 4章
几何静力学
构到桁架的演化过程
平面桁架
若所有杆件均处在同一平面内，且载荷作
M Cz 0
XB
PQ XA 4
A
XA
B
YB
XB
m
C
P
C
P 3Q 4
YC
XC
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2a
a
(3) 校核
YA
A
XA
1
例 4-6-2
第 4章 (1) 先考虑BC
M Bz 0 YC m a Rx 0 X B 0 Ry 0 YB m a
解
q
A B
2 3 1
S3
P 1
A
C
6
8
5 4
7
D
E
12 11 10 H 13 9
G
P 1
B A
P2
C
几何静力学
S6
S5
F E
2
F D
B
D
NAy
D S4 E
A
S1
E
S2
M Cz 0 S 4 M Ez 0 S6 Rx 0 S5
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4
例 4-6-4
第 4章 在图示平面桁架中，沿对角线的杆件均为钢 索，它们只能承受拉力。已知 P ＝ 40kN，Q ＝ 80kN，求钢索BF及CG的内力。
用节点法求各杆内力，考虑各节点平 P `1 S2 衡的顺序 A →D →C →F →E →G →H 节点A： Ry 0 S 2 = 25 kN
Rx 0 S1 21.7 kN
A
N Ay
S1 S3 D
S1 S4
节点D： Ry 0 S3 0 (零杆) Rx 0 S4 S1
SCG 10 41 (kN) 3
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a
a
a
a
例 4-6-5
解
第 4章
YB 4a 2qa 2a Pa 0 2qa P YA q
A
例 4-6-5
考虑铰节点D的平衡。受力图如图示。
解
考虑整体平衡，受力图如图示。
m (F ) 0 :
A
YB qa P / 4
几何静力学 几何静力学
38/39
几何静力学
7
例 4-6-6
解
设手柄半径为r，则螺纹的升角为 arctan h 2 r 螺母A对手柄作用分布力系， MA 力与手柄轴线夹角为α。将 FA 此力系向轴线上A点简化： R = FA MA M A r ( FA tan ) 螺母B对手柄的力 M B r ( FB tan )
MB
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2 1
几何静力学
0
3 4 6 8
P
5
F C A
P
0 0 0 0 0 0 0 F G 0 H E 0 0 C D 0 0
A 60°
60° B
I
K
J
0
9
7
A
B
G 0 0 0 00 H D E
B
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例 4-6-3
截面法
第 4章
截面的选择
如何求1杆的内力？
C
3 1
P
先由整体平衡求出A、B处的约束力；再作 截面I，考虑左半部平衡
拆除C铰并截断
XA
YB
B
5
S1 2 S3
2 (3qa P)（拉） S 1 2
D
S2
S3
几何静力学
C
1 2
3
4
a
S2
2 1 S (3qa P ) （压） 2 1 2
P
A
杆3，考虑右半 部分的平衡：
D
E
a
a
YC
a qa
a
YB
B
q
C
m
C
( F )=0
B
4
5
Yb 2a qa a / 2 S3 a 0 S3 (3qa P) / 2 (拉)
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3
求平面桁架各杆内力的方法
第 4章
节点法：分别考虑各节点的平衡。 各节点均受一平面汇交力系的作用，只
例 4-6-3
第 4章 考虑整体平衡
M Az 0 Rx 0
Ry 0
N B 7.5 kN
节点法
P 1
NAx A
P2
2 3 1
能列写两个平衡方程，解两个未知数。 注意选择节点顺序，适合于求解全部杆 件内力
7/39
第 4章
9/39
第 4章
11/39
几何静力学 几何静力学 几何静力学
几何静力学
(3) 校核
M Cz m q 2a 2a mA YA 3a 0
二. 桁架
由许多直杆状构件在端点按一定的形式连
桁架的工程实例
第 4章 枝城长江大桥。 跨度为160米， 连续桁架梁
接而构成的结构。
由此可得：
FA FB M M 2r tan h
D
以框架为研究对象 结构对称，4杆内力均相等 由AC杆（二力杆）平衡： N F cot M cot
A
B A
FB
C
FA
h
NC
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几何静力学小结（续）
第 4章 基本定理 力系等效定理 泊松定理 力的平移定理 二力平衡条件、三力平衡条件 刚化原理 第 4章
未知数总数？ 方程总数？
26/39
解
H A
NA
例 4-6-5
第 4章 图示为一横梁桁架结构，由横梁AC、BC及五 根支撑杆组成，所受载荷及尺寸如图。求1、 2、3杆的内力。
P
A
1 2
对整体分析
2 P Q 160 M Dz 0 N A kN 3 3
G
F
E
作截面I，对左半部 Ry 0 N A P 4 S BF 4 SCG 0 41 41
20/39
最后利用节点B的平衡条件校核
零杆的确定
零杆（内力为零的杆）与桁架所承受的主
思考题
第 4章
动载荷有关
若某节点只与两杆相连，节点上无主动
如何求各杆内力？
P
力，两杆不平行，则两杆均为零杆 若某节点与三杆相连，节点上无主动力， 两杆在同一直线上，则第三杆为零杆 两杆在同 直线上，则第三杆为零杆 0
用在相同的平面内，则称为平面桁架。
称为节点。
桁架的实际节点 理想节点
几何静力学 几何静力学
几何静力学
节点
焊接或铆接，杆的端点不 能转动，可承受力矩。
光滑铰链，不能 承受力矩
3. 杆的自重相对载荷可以忽略不计。 4. 载荷及支座反力均作用在节点上。
在以上假设下各杆均为二力杆
16/39
平面桁架的构成
简单桁架(三角形扩大法则) 第 4章
例 4-6-3
已知：尺寸、载荷。求：各杆内力。
P3 P 1
2
几何静力学
简单桁架杆数m和节点数n间的关系： m – 3 = 2(n – 3) m + 3 = 2n 静定 组合桁架：由简 单桁架通过三角 形扩大法则构成
P2
C
3 1 6 5 4
F
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8 9
A
D
E
12 11 10 H 13
G
B
P 1 P 2 P 3 10 kN
截面法：适当地选取一截面，假想地把桁
N Ax 0
C
6 5 4
F
P3
8 7 9 12 11 10 H 13
G
N Ay 22.5 kN
D
NAy
E
B
NB
19/39
第 4章
21/39
第 4章
23/39
几何静力学 几何静力学 几何静力学
几何静力学
架截开，再考虑其中任一部分的平衡，求 出被截杆件的内力。不宜截断三杆以上， 适于校核部分杆件内力
3/39 4/39
一. 组合结构平衡问题
第 4章
例 4-6-1
已知：a、P、Q。 求： A、B 的约束反力。
第 4章
5/39
几何静力学 几何静力学
几何静力学
a Pa 2 2
a
C
a
A
B
a Q 2
a 2
例 4-6-1
(1) 考虑刚架整体，画出受力图 PQ YB M Az YB 2a Q a P a 0 4 2 2 P Q P 3 Ry 0 YA 4 4
刚体系平衡解题小结
第 4章
m
C
2a
YB
a m
C
(2) 再考虑连续梁整体AC M Az 0 m A 2( m qa 2 )
Rx 0 X A 0
Ry 0 YA 2qa m YA m A a A XA
B XB
q 2a
YC
m
B
C
YC
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解题思路 灵活选择研究对象：先考虑哪一部分为 研究对象？整体还是局部？ 以整体为研究对象，常可以先求出部分 或全部约束反力 灵活选取平衡方程：列哪一个平衡方程？ 解 解哪一个未知量？ 个未知量 基本原则 尽量做到列一个平衡方程就能解一个未 知数，避免两个研究对象的平衡方程联 立求解。
Rx 0 X A X B Q 0
C
YA
解
第 4章
例 4-6-2
已知连续梁由AB和BC两段组成，长度分别为 2a和a，梁的A端插入墙内，C处有滚动支座 支撑，B处用光滑铰连结，在BC段作用力偶 矩m，在AB段作用分布载荷q，求A、B、C 处 约束反力
q
A B
几何静力学
Q
(2) 考虑左半部
刚化原理
第 4章 刚体系：多个刚体构成的结构或机构 变形体：质点之间的相对距离可以变化的质系 平衡方程是不是非刚体平衡的充要条件？
几何静力学
4.6 刚体系的平衡
F
－F
平衡方程不是非刚体平衡的充分条件！
2013年10月26日
2/39
刚化原理
第 4章 平衡方程是非刚体平衡的必要条件。 刚化原理（硬化原理）：已知非刚体处于平 衡状态，如果把它刚化（想象成刚体），则 平衡条件不变。 刚体系平衡问题的求解： 根据刚化原理，整个刚体系应满足平衡方程； 再解除刚体间的约束，利用平衡方程逐个研 究单个刚体。 利用虚位移原理研究整个刚体系 (第5章) 。 解决变形体的平衡还需要考虑变形条件。
几何静力学
FB
MB
例 4-6-6
由手柄平衡：
FA FB 0
MB
解
MA M
几何静力学小结
第 4章 基本概念 主矢量（区别于合力）、主矩（力对点/轴之 矩、力偶） 静力学不变量 典型约束及其约束反力 静定与静不定 摩擦角/椎、摩擦自锁
M A MB M 0
FB
FA
几何静力学
10/39
几何静力学
英国福斯湾桥。 钢悬臂桁架双线 铁路桥。跨度521 米。1890年建成
桁架的工程实例
第 4章
桁架的工程实例
几何静力学
北京首都国际机场航空港内 钢结构飞机库
ZT120型塔式起重机
12/39
卫星发射塔。1983年8月 19日发射科学试验卫星。
法国埃菲尔铁塔
2
桁架构思的由来
第 4章
桁架构思的由来 — 大跨度梁的发展(有效使
蜂窝材料
I
1
2
a
自然界 的启发
3
D
E
a
a
a
a
各种多孔介质材料 （泡沫材料等）
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闭孔泡沫 材料
开孔泡沫 材料
三. 机构的平衡问题 例 4-6-6
在压缩机的手轮上作用一力矩M。手轮轴的两 端各有螺距同为 h、但螺纹方向相反的螺母 A 和B，分别与四根长为a的杆铰接。D点固定， 求当菱形框的顶角等于2时，C点对被压物体 的压力。（不计摩擦以及各杆自重） 第 4章
几何静力学小结（续）
基本方法 力系简化（简化结果） 受力分析（基本功！） 平衡方程各种形式的灵活运用 考虑摩擦问题的解析法和几何法（摩擦力方 向的判断 临界状态的判断） 向的判断、临界状态的判断） 刚体系平衡问题的灵活求解 桁架杆件内力分析的节点法、截面法
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第 4章
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4 S 4 S 40 0 BF CG 3 41 41
D C B Y P I Q X D D H A G S FG B
SCG S BF S BC
几何静力学 几何静力学
几何静力学
q
C
3
B
4
5
NA
P
a
SCG和SBF之中有一个必为零。若设SCG = 0，
D
E
则SBF < 0, 但钢索不能受压，故假设错误。由 此必有SBF = 0
H A P G B F C E D
例 4-6-4
第 4章
解
根据钢索的特点可知，图中每个四边形都有 一个钢索的内力为零。
H A P G B F C E D
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第 4章
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第 4章
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几何静力学
例 4-6-4
几何静力学
4m
4m
Q
Q
3 5m
3 5m
G B
F C B P
G
F C Q
C XC
1
2
a
3
D
E
S3
E
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a
a
a
a
5
请思考
第 4章 在求出约束反力后，能否用截面 I 将系统截 开，再用截面法求解？ I P
A
对桁架的进一步思考
第 4章 块体结构
有效利 用材料 的思想
q
C
I
BLeabharlann Baidu
4 5
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第 4章
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第 4章
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几何静力学 几何静力学 几何静力学
C
几何静力学
桁架构思的由来
第 4章 为什么是桁架这种形式？
利用计算机辅助分析，可以模拟出从块体结
用材料)
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第 4章
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第 4章
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几何静力学
桁架的基本假设 (理想桁架)
1. 构件都是直的刚性杆 2. 各杆在端点用光滑铰链相连接，连接点
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第 4章
几何静力学
构到桁架的演化过程
平面桁架
若所有杆件均处在同一平面内，且载荷作
M Cz 0
XB
PQ XA 4
A
XA
B
YB
XB
m
C
P
C
P 3Q 4
YC
XC
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2a
a
(3) 校核
YA
A
XA
1
例 4-6-2
第 4章 (1) 先考虑BC
M Bz 0 YC m a Rx 0 X B 0 Ry 0 YB m a
解
q
A B