三角形中位线应用
三角形中位线的推论
![三角形中位线的推论](https://img.taocdn.com/s3/m/05e5483c591b6bd97f192279168884868762b814.png)
三角形中位线的推论三角形有三条中位线,分别连接每个顶点与对面的中点。
在以下内容中,我们将讨论中位线的一些推论以及它们在几何学中的应用。
1. 三角形中位线相等最基本的推论是,三角形中的三条中位线相等。
我们可以通过使用向量的方法来证明这一点。
通过连接一对顶点并标记对角线上的中点,我们可以将三角形分成两个相等的三角形。
根据向量加法的定义,我们知道中位线的两端点的向量和等于顶点向量的和的一半。
因为我们拥有两个相等的三角形,它们的顶点向量之和相等,并且它们的中位线向量之和也相等。
因此,三角形中的三条中位线相等。
2. 中位线的交点是重心三条中位线的交点形成一个点,叫做三角形的重心。
重心是三条中位线的交点,并且它到三角形的每个顶点的距离相等。
重心也被定义为三角形质心的一种形式。
重心在几何学中扮演着重要的角色,因为它是很多求解问题的关键点。
3. 重心黄金分割我们可以进一步推导出一个有趣的结论,即:重心将每个中位线分成两个部分,其中一个部分的长度是另一个部分长度的2倍。
这种比例被称为“重心黄金分割”,并且在某些证明和设计问题中非常有用。
4. 中位线长度的应用中位线的另一个应用是在解决三角形面积问题时。
根据中位线长度的定义,我们可以将三角形分成4个形似的三角形。
其中的3个三角形是等边三角形,并且它们的边长是中位线的长度。
因此,我们可以使用等边三角形的公式(底边乘以高的1/2)来计算它们的面积。
通过将3个面积相加,我们得到三角形的面积。
5. 完美一致性最后,我们需要注意的是,在三角形中位线的推论中,它们之间存在完美的一致性。
这意味着,如果我们知道了中位线的长度,我们就可以推导出其他与之相关的所有值,如重心位置、面积等。
同时,如果我们知道了三角形某些属性,比如重心或者面积,我们也可以计算出相应的中位线长度。
这种完美一致性使得中位线在解决三角形问题时非常方便。
综上所述,中位线在解决三角形几何问题时非常有用。
它们的长度相等,交于重心,将三角形分成形似的三角形并且满足完美一致性。
中位线及其应用
![中位线及其应用](https://img.taocdn.com/s3/m/ff03c5974b35eefdc9d33381.png)
中位线及其应用知识定位中位线在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位,它的有关知识是今后我们学习综合题目或者三角形综合的重要基础。
中位线的证明性质以及应用,必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解,旨在介绍数学竞赛中中位线相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、三角形中位线定义(1)三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线与三角形的中线区分:三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段,而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
(2)三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
如图,在ABC ∆中,点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点,则DE 为ABC ∆的中位线。
几何语言描述:因为D 、E 分别为边AB 、AC 的中点,所以DE//BC,且DE=12BC提示 a :“平行且等于第三边的一半”,具体应用时要根据题目的要求灵活进行选择,并 不一定要把两个结论都写出来。
b :一个三角形有三条中位线。
c :经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线,必平分第三边,这是一种重要 的作辅助线的方法。
2、三角形中位线的性质(1)三角形中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。
(2)中位线性质定理的结论,兼有位置和大小关系,可以用它判定平行,计算线段的长度,确定线段的和、差、倍关系。
(3)运用中位线性质的关键是从出现的线段中点,找到三角形或梯形,包括作出辅助线。
(4)中位线性质定理,常与它的逆定理结合起来用。
它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论,①一组平行线在一直线上截得相等线段,在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线,必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线,必平分另一腰补充:有关线段中点的其他定理还有:①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高,顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
三角形中位线的应用
![三角形中位线的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/247ba80976c66137ee06198b.png)
三角形中位线的应用教学目标:知识目标:使学生在认识三角形中位线定理的基础上,学会应用定理解决几何问题。
过程与方法:1通过“运动——变化”这一思想方法的运用培养学生“观察——分析”、“归纳——概括”的能力。
2培养学生由“一般——特殊——一般”的数学思想方法。
情感、态度、价值观:通过三角形中位线定理的应用及图形的运动变化,激发学生的审美情趣,培养学生勇于探索、勇于创新的精神。
教学重点:三角形中位线定理的应用教学难点:对确定决定图形形状的主要因素的分析和概括教学方法:“引导发现——自主探究”法教学手段:计算机(课件)教学过程设计:一、问题情境:首先向同学展示一些漂亮的地毯图案,使学生从中感受到几何图案的美丽。
从这些地毯的图案中,我们会发现有些图案的构成与我们所学的几何知识是有联系的。
比如,在图1中就构造了矩形四边中点所形成的四边形,给我们的感觉很漂亮。
我们观察到这个四边形好像是菱形。
下面我们就来研究这个问题。
二、研究问题:问题1:中点四边形中点四边形的定义:如图,E、F、G、H分别是四边形ABCD的各边的中点,则称四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形。
“一般四边形”:已知:如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点;试猜想四边形EFGH的形状。
猜想:四边形EFGH是平行四边形。
∵在⊿ABC中,E、F分别为AB、BC的中点∴EF ∥AC,EF=21AC同理HG ∥AC,HG=21AC∴EF ∥HG 且EF=HG∴四边形EFGH 是平行四边形。
证明二:连结AC 、BD (略)总结:通过一条对角线我们就可以确定四边形EFGH 的形状了。
“特殊四边形”:思考:改变四边形ABCD 的形状,结果会怎样?利用计算机变换四边形ABCD 形状,使四边形分别为平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形,研究中点四边形EFGH 形状。
发现:中点四边形的形状有矩形、菱形和正方形。
要求学生证明矩形、菱形的中点四边形问题。
初中数学-三角形中的中线的用法教师版
![初中数学-三角形中的中线的用法教师版](https://img.taocdn.com/s3/m/3d0c6353e87101f69e31959b.png)
三角形中的中线的用法模块一:三角形中位线 1.定义:连接三角形两边中点的线段. 2.定理:三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.若DE 为ABC △的中位线,则DE//BC ,且12DE BC =.3.三角形中位线里隐含重要性质: ①三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.EF 、GE 、GF 是ABC △的三条中位线,则有:①AEG EBF CFG FGE △△△△≌≌≌②12EFG ABC C C =△△,14EFG ABC S S =△△②三角形的三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形的周长的一半,其面积为原三角形面积的四分之一. 模块二:直角三角形斜边中线 定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.若AD 为Rt ABC △斜边上的中线,则12AD BC =.相关结论:(1)AD BD DC ==; (2)ABD △,ACD △为等腰三角形 (3)2ADB C ∠=∠,2ADC B ∠=∠拓展:在由两个直角三角形组成的图中,M 为中点.相关结论:(1)AM MD =;(2)2AMD ABD ∠=∠. 模块三:中点辅助线综合E DCB AMMABCDA BCDDCBAFA B CE G(1)如图1-1,在ABC△中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,若ABC△的周长为20cm,则DEF△的周长为__________.(2)如图1-2,在Rt ABC△中,30A∠=︒,1BC=,点D,E分别是直角边BC,AC的中点,则DE的长为__________.图1-1 图1-2(3)如图1-3,ABC△中,6AB AC==,8BC=,AE平分BAC∠交BC于点E,点D为AB的中点,连接DE,则BDE△的周长是__________.(4)如图1-4,在四边形ABCD中,E、F分别为AB、CD的中点.求证:1()2EF AC BD<+.图1-3 图1-4【解析】(1)10cm.(2)1.(3)10.(4)证明:取AD的中点M,连结EM和FM.∵E、F是AB、CD中点,∴12EM BD=,12FM AC=.又∵EF EM FM<+,∴1()2EF AC BD<+.【教师备课提示】考察中位线产生的线段长度关系.第(4)题利用中位线构造出长为12AC,12BD的线段并将线段集中;也可以求证1()2EF AD BC<+,方法是取AC 或BD的中点.FEDCBA模块一三角形中位线例题1MAB CDEF(1)如图2-1,在四边形ABCD 中,P 是对角线BD 的中点,E ,F 分别是AB ,CD 的中点,AD BC =,18PEF ∠=︒,则PFE ∠的度数是__________度.(2)如图2-2,已知四边形ABCD 的对角线AC BD =,E 、F 分别是AD 、BC 的中点,连结EF 分别交AC 、BD 于M 、N ,求证:AMN BNM =∠∠.(3)已知,如图2-3四边形ABCD 中,AD BC =,E 、F 分别是AB 和CD 的中点,AD 、EF 、BC 的延长线分别交于M 、N 两点.求证:AME BNE ∠=∠.图2-1 图2-2 图2-3【解析】(1)18.(2)设AB 的中点为G ,连结GE 、GF ,容易证得:GE //BD ,12EG BD =,GF //AC ,12EF AC =,从而GF GE =,GEF GFE ∠=∠, ∴AMN BNM =∠∠.(构造中位线来利用对角线相等的条件,也可以取AC 或BD 的中点.) (3)连接AC ,取AC 中点H ,连接FH 、EH .∵DF CF =,AH CH =,∴FH//AD ,12FH AD =,同理,12EH BC =,EH//BC , ∵AD BC =,∴EH FH =,∴HFE HEF ∠=∠, ∵FH//AM ,EH//BC , ∴AM E HFE ∠=∠,HEF BNE ∠=∠, ∴AME BNE ∠=∠.【教师备课提示】考察中位线的性质,学会通过构造中位线去利用已知的条件.CM FEND B AA CDM FE NB例题2CM FE G NDB AA H C D MF E NB如图,在ABC △中,D 、G 分别为AB 、AC 上的点,且BD CG =,M 、N 分别是BG 、CD 的中点,过MN 的直线交AB 于点P ,交AC 于点Q ,求证:AP AQ =.【解析】连DG ,找DG 的中点E ,连ME 、NE ,∵M 、N 分别是BG 与CD 的中点.∴ME//AB ,12ME BD =,NE//AC ,12NE GC =.∴APQ EMN ∠=∠,AQP ENM ∠=∠.∵BD GC =,∴EM EN =, ∴EMN ENM ∠=∠,∴APQ AQP ∠=∠,∴AP AQ =. 【教师备课提示】还可以取BC 中点.总结:已知四边形对角线中点,则取一边中点,可出两条中位线,学会构造出中位线去利用题目中给出的等量关系.已知:在ABC △中,90ABC ∠=︒,点E 在直线AB 上,ED 与直线AC 垂直,垂足为D ,且点M 为EC 中点,连接BM 、DM .(1)如图4-1,若点E 在线段AB 上,探究线段BM 与DM 及BM D ∠与BCD ∠所满足的数量关系,并直接写出你得到的结论;(2)如图4-2,若点E 在BA 延长线上,你(1)中的结论是否发生变化?写出你的猜想并证明.图4-1 图4-2【解析】(1)BM DM =,2BMD BCD ∠=∠;(2)结论不变,由题意知MB MC MD ==,∴2BME BCM ∠=∠,2DME DCM ∠=∠,两式相减,得2BMD BCD ∠=∠.NM PQG D C BAEA BC DG Q PM N 图2图1BEM CDAMEDCBA例题3模块二直角三角形斜边中线例题4如图,90MON∠=︒,ABC△中,90BAC∠=︒,2AB=,1AC=,AB在MON∠上滑动,求OC的最大值.【解析】取AB的中点D,连结OD、DC,则1OD=,2DC=,可得12OC≤+,即OC的最大值为12+(O、D、C三点共线时).在Rt ABC△中,90BAC∠=︒,AD BC⊥,E、F、G分别是AB、AC、BC的中点,M 是DG的中点,求证:ME MF=.【解析】连结DF、EG,可证DF GE=,MDF MGE∠=∠,MD MG=,则MDF MGE△≌△,得证.例题5模块三中点辅助线综合例题6如图,在五边形ABCDE 中,90ABC AED ∠=∠=︒,BAC EAD ∠=∠,F 为CD 的中点.求证:BF EF =.【解析】方法一:如图1,取AC 中点M ,取AD 中点N ,连BM ,MF ,NF ,EN . ∵90ABC AED ∠=∠=︒,1122BM AC FN EN AD MF ====,,∴BMF FNE △≌△,∴BF EF =,方法二:如图2,延长CB 到M ,使得MB BC =, 延长DE 到N ,使得NE DE =, 连接AM ,AN ,MD ,CN . 由90ABC AED ∠=∠=°,AMC △,ADN △是等腰三角形,F 是CD 中点,则BF //MD ,12BF MD =,EF//CN ,12EF CN =,MAD CAN △≌△,MD CN =,∴BF EF =,此题的两种解法中综合了中点的三个基本用法:等腰三角形三线合一;直角三角形斜边中线;中位线,即以下三个模型:图2图1MNN MACBDEF F EDB CA例题7FEDB C A(1)如图1-1,在ABC△中,点D是BC中点,AE平分∠BAC,BE⊥AE于E,延长BE 交AC于F.若AB=10厘米,AC=16厘米,则DE的长度为__________.(2)如图1-2,已知,在四边形ABCD中,AD BC=,P是对角线BD的中点,N是DC 的中点,M是AB的中点,30DBC∠=︒,70ADB∠=︒.求MNP∠度数.图1-1 图1-2【解析】(1)3厘米;(2)∵在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,M、N分别是AB、CD的中点,∴NP,PM分别是CDB△与DAB△的中位线,∴12PN BC=,12PM AD=,PN//BC,PM//AD,∴30NPD DBC∠=∠=︒,70MPB ADB∠=∠=︒,∴110DPM∠=︒;∴140NPM∠=︒,∵AD BC=;∴PN PM=,故NMP△是等腰三角形.∵140NPM∠=︒,∴20PMN PNM∠=∠=︒.复习巩固模块一三角形中位线演练1(1)如图2-1,ABC △中,过点A 分别作ABC ∠、ACB ∠的外角平分线.....的垂线..AD 、AE ,垂足为D 、E .求证:①//ED BC ;②1()2ED AB AC BC =++.(2)(四川省中考题)如图2-2,已知:AD 是ABC △的中线,AE 是ABD △的中线,且AB BD =,求证:2AC AE =.图2-1 图2-2【解析】(1)①分别延长AD 、AE 与直线BC 交于点F 、G ,∵BD ⊥AD ,且BD 为ABF ∠的角平分线∴AD FD =,且AB BF =(等腰三角形的三线合一) 同理可得AE GE =,AC GC =, ∴DE 为AFG △的中位线,∴ED //BC ,且12DE FG =.②由(1)知12DE FG =,且AB BF =,AC GC =,∴111()()222ED FG=FB BC CG AB BC AC =++=++.(2)取AC 的中点F ,连结DF ,易得DF//AB ,12DF AB =,ADF BAD ∠=∠,而1122DE BD AB ==,故DF DE =.再证ADE ADF △≌△,∴AE AF =,∴2AC AE =.C ED BA演练2CF E D B A(1)如图3-1,四边形ABCD 中,90ADC ∠=︒,取AC 中点O ,BC 中点E ,连接OD 、OE 、DE ,20CAD CAB ∠=∠=︒,则DOE ∠=__________.(2)如图3-2所示,ABC △中,AH BC ⊥于H ,点E 、D 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点,10cm HF =,则ED 的长度是__________.图3-1 图3-2【解析】(1)60︒.(2)10cm .(1)如图4-1,在ABC △中,2B C ∠=∠,M 是BC 中点,AD BC ⊥于D .求证:12DM AB =.(2)如图4-2,已知:ABD △和ACE △都是直角三角形,且90ABD ACE ∠=∠=︒,BAD CAE ∠=∠.连接DE ,设M 为DE 的中点.求证:MB MC =.【解析】(1)法一:取AB 中点G ,连结GD 、GM ,则12GD AB =,GM AC ∥.则GMD C ∠=∠. 而GD GB B GDB GMD DGM =⇒∠=∠=∠+∠ C DGM =∠+∠,由于2B C ∠=∠,所以DGM C GMD ∠=∠=∠.∴12MD GD AB ==. OEDC B AMEDCBA模块二直角三角形斜边中线演练3模块三中点辅助线综合演练4CAB GNDMC AB D M法二:同理可以取AC的中点N,连接DN,MN.(2)如图,分别取AD、AE的中点P、Q,连接PB、PM、QC、QM,由P、M、Q分别是AD、DE、AE的中点,∴PM//AE,12PM AE=,QM//AD,12QM AD=,∵ABD△、ACE△是直角三角形,∴12PB AD=,12CQ AE=,∴PB QM=,PM QC=,∵BAD CAE∠=∠,∴ADB AEC∠=∠,∴DPB CQE∠=∠,由AD//QM,AE//PM,∴APM AQM∠=∠,∴BPM MQC∠=∠,∴BPM MQC△≌△,∴MB MC=.QPAB CDE M图3。
三角形的中位线定理及其应用
![三角形的中位线定理及其应用](https://img.taocdn.com/s3/m/812998bbee06eff9aff80779.png)
第二个三角形,再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三
角形,依此类推,第2019个三角形的周长为(
).A
B
C
1(数
量关系)
2
三、顺势而发 再提问题
A
见证奇迹
如图,连接三
角形的三条中 D
E
的时刻到 了!!
位线,会得到
哪些结论?
B
F
C
1.四个小三角形全等.
2.每一个小三角形的面积是大三角形面积的 .
3.存在三个平行四边形.
4.△DEF的周长为△ABC的周长的 .
四、运用定理 把定乾坤
如图,A,B两点被池塘隔开,在 AB外选一点C,连接AC和BC,怎样 测出A、B两点的实际距离?根据 是什么?
你收获ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ哪些知识?
三角形
转化
平行四边
中位线
定义 性质
数量关系 位置关系
六、使用所获 达成目标
1.如图,D、E、F分别为△ABC三边上的中点.
线段AD叫做△ABC的
,线段DE叫做△ABC
的
,图中有
个平行四边形.
2.三角形各边长为5、9、12,则连接各边中点所
构成的三角形的周长是
.
3.如图,已知△ABC的周长为1,连接△ABC三边的中点构成
一、温故求新 合情发现
定义:连结三角形两边中点的线 段叫做三角形的中位线。
D
E
你还能画出几条三角形的中位线?
F
思考: 1.你还能画出三角形的几条中线? 2.三角形中位线与三角形的中线有什么区别和联系?
一、温故求新 合情发现
A 概念对比 A
D
E
D 中线DC
中位线DE
三角形中位线应用
![三角形中位线应用](https://img.taocdn.com/s3/m/ecab0cdbf9c75fbfc77da26925c52cc58bd690bc.png)
三角形中位线应用
本文是关于三角形中位线的应用。
运用中位线原理可以解决一些绘图中的问题。
三角形中位线的定义是:在三角形中,从一点出发,经过其他两个顶点,以及三角形内部的其他任意一点,连接到某一边上的线段叫做中位线。
应用1:首先,可以使用中位线将具有特殊形状的三角形分成三个较小的等边三角形,以此来解决复杂的绘图问题,例如求解多边形面积、求解多边形各边长等。
应用2:其次,中位线也可以用于追踪三角形的边缘,理解物体的形状与大小,例如求解物体体积、求解多边形内角之和等。
应用3:另外,中位线也可以用于求解三角形的边长,以及求解它们之间关系的研究,例如求解三角形的内角之和,求解三角形中各角的大小等。
以上就是本文关于三角形中位线的应用。
在绘图中,使用中位线原理能够有效解决复杂的计算问题,有助于深入理解物体的几何特性。
- 1 -。
三角形中位线定理的应用
![三角形中位线定理的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/a1d73bd927fff705cc1755270722192e453658ac.png)
三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理,学好这部分内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习.它具有两个方面的特性:(1)平行于第三边,这是位置关系;(2)等于第三边的一半,这是数量关系.就第一个特性而言,中位线定理与平行线等分线段定理中的推论(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边)存在着互逆关系.我们利用这两个特性,能证明(求解)许多几何问题,以下举例说明它的具体应用.一、证明问题1、证明角相等关系例1、如图、四边ABCD 中,AB =CD ,M 、N 分别为AD 、BC 的中点,EF ⊥MN 交AB 于E ,交CD 于F ,求证:∠AEF =∠DFE分析:欲证:∠AEF =∠DFE .由MN ⊥EF 想到延长BA ,CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN =∠Q ,如何利用中点的条件? 想到三角形的中位线,连线BD ,取BD 的中点G ,则有12GM AB∥,12GN CD ∥,由于AB =CD ,进而有GM =GN ,∠GMN =∠GNM 然后再转化∠EPN =∠Q ,从而证出结论.证明:延长BA ,CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ,取BD 的中点G ,连结GM 、GN .∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴12GM AB ∥.同理可证:12GN AB∥,又∵AB =CD ,∴GM =GN ,∴∠GMN =∠GNM ,∵GM //AB ,GN =CD ,∴∠GMN =∠EPN ,∠GNM =∠Q ,∴∠EPN =∠Q ,又 EF ⊥MN ,∴∠AEF =∠DFE (等角的余角相等)说明:添辅助线是证明几何题的难点.若要添多条辅助线,更为困难,掌握一般添辅助线的规律是必要的,更为重要的是分析中自由添加辅助线,添辅助线是分析问题过程的一个步骤,这是几何的证明的较高层次,要在实践中仔细体会,不断摸索,不断总结.2、证明线段的倍分以及相等关系例2.如图,已知平行四边形ABCD 中,BD 为对角线,点E 、F 分别是AB 、CD 的中点,连线EF ,交BD 于M 点.求证:(1)BM =14BD (2)ME =MF 分析:欲证问题(1)由E 、F 分别为AB 、BC 中点想到连结AC ,由平行线等分线段定理可证得BM =MO .又因为平行四边形的对角线互相平分,可得BO =OD ,即BM =41BD .欲证问题(2),由问题(1)中的辅助线,即连结AC ,由三角形中位线定理可得EM =12AO ,MF =12OC ,又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题(2)的结论.证明:(1)连结AC ,交BD 于O 点,∵E 、F 分别为AB 、BC 中点,∴EF ∥AC ,∴BM =MO =12BO (平行线等分线段定理) 又∵四边形ABCD 是平行四边形∴BO =OD =12BD ,AO =OC =12AC , ∴BM =1124BO BD ,即BM =14BD(2)∵M 是BO 的中点,E 、F 分别是AB 、BC 中的中点.∴12ME AD =,12MF OC =,又∵AO =OC ,∴ME =MF 小结:问题(1)看起来似乎与三角形中位线定理无关,其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系,即三角形的中位线平行于底边,而问题(2)直接运用了三角形中位线的数量关系.3、证明线段平行关系例3.如图,自△ABC 的顶点A ,向∠B 和∠C 的平分线作垂线,重足分别为D 、E .求证:DE ∥BC 分析:欲证ED //BC 我们可想到有关平行的判定,但要找到有关角的关系很难,这时只要通过延长AD 、AE ,交BC 与CB 的延长线于G 与H ,通过证明△ABD 与△GBD 全等易证D 是AG 中点,同理E 为AH 的中点,故,ED 是△AEG 的中位线,当然有DE ∥BC .证明:延长AD 、AE 交BC 、CB 的延长线于G 、H ,∵BD 平分∠ABC ,∴∠1=∠2,又∵BD ⊥AD ,∴∠ADB =∠BDG =900. 在△ABD 与△GBD 中12BD BDBDG BDA⎧⎪⎨⎪⎩=== ∠∠∠∠,∴△ABD ≌△GBD (A S A ) ∴AD =DG ,同理可证,AE =GE ,∴D ,E 分别为AG ,AH 的中点, ∴ED ∥BC小结:由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等,还可以用中位线定理来证明直线或线段平行.二、比较大小1、比较线段大小 例4.如图,M 、N 是四边形ABCD 的边 BC 、AD 的中点,且AB 与CD 不平行.求证:MN <12(AB +CD ). 分析:欲证MN <12(AB +CD ),我们从表面上看这个问题比较复杂,但由M 、N 分别为BC 、AD 中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题,通过连结BD ,并取BD 中点P ,连结NP 、MP 这时分别为△DAB 、△DCB 的中位线,这时三条线段NP 、MP 、MN 都在一个三角形里,问题就迎刃而解了.证明:连结BD 并取BD 中点P ,连结NP ,MP . ∵N 为AD 中点,P 为BD 中点.∴NP 为△DAB 的中位线,∴NP =12AB ,同理可得MP =12CD .∵AB 与CD 不平行,∴P 点不在MN 上.在△PMN 中,由于两边之和大于第三边,∴MN <PM +PN =12(AB +CD )小结:此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识,如:三角形中位线及两边之和大于第三边,两边之差小于第三边等知识,即可得出证明.2、比较角的大小例5、如图:AD 是△ABC 的中线,如果AB >AC ,那么∠BAD <∠CAD . 分析:因为D 为BC 中点联想到,过点D 作中位线DE ,因为DE ∥AB 即△ABC 得到∠1=∠3,由AB >AC , 有12AB >12AC ,所以就有∠3<∠2,即∠BAD <∠CAD证明:过点D 作DE ∥AB 交AC 于E ,∴DE ∥AB 且 DE =12AB ,E 为AC 中点.∴∠1=∠3,∵AB >AC ,∴12AB >12AC ,即在△AED 中,DE >AE ,∴∠3<∠2,∴∠1<∠2,即∠BAD <∠CAD小结:本题证角不相等,因为要证的两个角不在同一个三角形中,如果这两个角在同一个三角形中能应用:在同一个三角形中,大边对大角原理这时就考虑到如何将这两个角放在一个三角形中,通过观察只要过D 作DE ∥AB 就可解决求证问题.三、求值问题例6. 如图,正方形ABCD 两对角线相交于点E ,∠CAB 的平分线交BE 于G ,交BC 于F ,若GE =24 求FC 的长.分析:求FC 的长,因为E 为对角线交点,就是AC 中点所以作辅助线PE ∥BC 就有PE ∥FC 且有PE =21FC 所以只要能求出PE 的长即可,而PE 的长可由∠3=∠4求出,因为∠3为△APE 的外角所以有∠3=∠2+∠5同理有∠4=∠1+∠7因为AF 为∠BAC 的平分线所以∠1=∠2又因为所以∠5=∠6,而∠6=∠7所以有∠3=∠4即PE =GE =12FC ,这样问题就解决了. 解:过点E ,作EP ∥BC ,交AF 于点P ,则P 为AF 中点,∵∠3=∠2+∠5=∠2+∠6,∠4=∠1+∠7,又∵AF 平分∠BAC ,∴∠1=∠2,又∵∠6=∠7,∴∠3=∠4,∴EP =EG ,∵PE 是△AFC 的中位线,∴PE =12FC =EG ,即FC =2EG =2PE =2×24=48小结:求值问题,主要是如何添加辅助线,将比较难的问题转为容易的问题.总之,三角形中位线定理及其应用,在初中数学中占有很重要的地位,如何正确添加辅助线构造三角形中位线对每个学生来说是一个重点也是一个难点.要求学生要善于觉察图形中的有关定理的基本图形,涉及到中点问题时要及时联想到有关定理.一条或一组合理地利用了题目条件的辅助线常见有一箭双雕甚至一箭多雕的效益,准确而理想的图形能有效地帮助我们迅速地捕捉到题意预定的目标.。
三角形中位线定理的运用例谈(Word版-含解析、点评和练习设计)
![三角形中位线定理的运用例谈(Word版-含解析、点评和练习设计)](https://img.taocdn.com/s3/m/9d74602db14e852459fb579a.png)
2017-2018下学期八数专题复习 二:三角形中位线定理的运用例谈 第 1页(共 8页) 第 2页 (共 8页)2017—2018下学期八年级数学专题复习 二:三角形中位线定理的运用例谈赵化中学 郑宗平三角形的中位线定理在平面几何中比较特殊,它既反映三角形的中位线与三角形边的位置关系,又有与三角形边的数量关系的规律性结论;在一些所谓的几何难题中常见它的身影,而三角形的中位线往往能起牵线搭桥甚至是关键性的作用;下面我精选一部分“含"三角形的中位线的几何解答题,让我们共同来探究、解析、训练.知识要点:三角形的中位线平行于三角形第三边,并且等于第三边的一半.1。
三角形三条中位线围成的三角形与原三角形在某些数量上的关系⑴.周长关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点,请探究⊿DEF 的周长 ⊿ABC 的周长的关系?分析: 点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、,,,111EF BC DE AB DF AC 222=== ∴()12EF DE DF BC AC AB ++=++所以三角形的三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半。
追踪练习:以上面的图为例,若⊿DEF 的周长为23cm ,则⊿ABC 的周长为 . ⑵。
面积关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点,请探究⊿DEF 的面积与⊿ABC 的面积关系? 略析:根据三角形中位线定理可以得出,,,,111EF BC DF AC DE AB EF BC DF AC DE AB 222===;,再利用线段中点的定义、平行线性质、平行四边形的性质等可以进一步推出DEF 、AFE 、FBD 、DEC是全等的,故它们的面积是相等的,则S ⊿ABC =4S ⊿DEF .所以三角形的三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的面积的14. 说明:今后我们学习了相似三角形的性质后,这个结论的推导就简单多了。
三角形中位线定理的妙用
![三角形中位线定理的妙用](https://img.taocdn.com/s3/m/b91822d3cc7931b764ce1526.png)
三角形中位线定理的妙用三角形中位线定理是三角形相关章节中一个十分重要的定理,其特点是在同一个题设下,有两个结论:一个是表明位置的平行关系,另一个是表明数量的倍分关系。
《数学课程标准》明确要求“探索并掌握三角形的中位线定理。
”下面本文就三角形中位线定理的运用我谈一点自己的体会。
一、当题目中只有两边中点时,连接这两点或作第三边,构造三角形的中位线例1:(如图1)在四边形ABCD中,点E为AB边上的一点,⊿ADE和⊿BCE都是等边三角形,点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点.求证:四边形MNPQ是菱形.证明:连接AC、BD.易证: ⊿AEC≌⊿DEB.∴AC=BD.可证MN=PQ= AC,MQ=NP= BD.∴MN=NP=PQ=QM.故四边形MNPQ是菱形.点评:直接利用三角形的中位线定理证明.练习1:如图2,⊿ABC的中线BE和CF相交于点O,点M、N分别是OB、OC 的中点.试判断四边形MNEF的形状.二、当已知条件中只有一边中点时,可取另一边的中点,构造三角形的中位线例2:(如图3)在⊿ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,BD=CE,点G、H分别是BE、CD的中点,直线GH交AB于M,交AC于N.求证:AM=AN.证明:取BC的中点P,连接PG、PH,则PG、PH分别是⊿BCE和⊿BCD的中位线.∴PGCE, PHBD.∴∠PGN=∠ANM, ∠PHM=∠AMN.又∵BD=CE.∴PH=PG.∴∠PGN =∠PHM.∴∠ANM =∠AMN.故AM=AN.点评:BC在这里起了桥梁的作用,构造了两条中位线.练习2:如图4,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,AC=BD,点E、F、G 分别是AB、CD、BC的中点,EF交BD于M,交AC于N.求证:OM=ON.三、当已知条件中只有一边中点时,可作另一边并取其中点,构造三角形的中位线例3:(如图5)在四边形ABCD中,AB=CD,点M、N分别是BC、AD的中点,延长BA、CD分别交MN的延长线于G、H.若∠BGM=30°.试求∠H的度数.解:连接AC,并取AC的中点O,再连接OM、ON.则OMAB , ONCD.∴∠BGM= ∠OMH,∠H= ∠ONM.∵AB=CD.∴OM=ON.∴∠ONM=∠OMN.∴∠BGM =∠H.又∵∠BGM=30°.∴∠H=30°.点评:其突破口就在构造三角形的中位线时先要连接AC,构造出两个三角形.在连接AC之后,其难易程度就和例2一样了。
三角形中位线的应用
![三角形中位线的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/d1483429453610661ed9f477.png)
三角形中位线的应用我们学习了三角形中位线的性质:三角形中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
在平面几何中,三角形的中位线有着广泛的应用。
一、 应用于计算:例1、如图,已知在△ABC 中,CE 是∠ACB 的角平分线,AE ⊥CE,D 是AB 的中点,BC=20,AC=14.求DE 的长.解:延长AE 交BC 于F 。
因为CE 平分∠ACB所以∠ACE=∠FCE因为AE ⊥CE所以∠AEC=∠FEC=90所以△ACE ≌△FE所以AE=EF.AC=FC又因为AD=DB 所以DE=21BF=21(BC-FC)= 21(BC-AC)= 21×(20-14)=3.例2. 如图,已知在△ABC 中,AD 平分∠BAC, BD ⊥AD, DE ∥AC 且交AB 于E ,若AB=5,求DE 的长.解:延长BD交AC的延长线于点F。
因为AD平分∠BAC,BD⊥AD,所以△ABF是等腰三角形,点D为BF的中点。
又因为DE∥AC,所以DE为△ABF的中位线,DE等于AF的一半。
因为AB=AF,所以DE=2.5二、应用于证明:例3、如图,在四边形ABCD中,AD=BC,E、F分别是为AB、CD的中点,AD、BC的延长线分别交EF的延长线于H、G,求证:∠AHE=∠BGE。
证明:连接BD ,取BD 中点I ,连接IF ,IE∵E,F 分别是BC,AD 的中点∴IF ∥BC,IF=21BC ,IE ∥AD,IE=21AD∴∠IFE=∠BGE ,∠IEF=∠CHE.又∵AD=BC∴IF=IE∴∠IFE=∠IEF ,∴∠BGE=∠CHE.例4、如图,已知四边形ABCD 中,AB 、CD 不平行,E 、F 分别是AB 、CD 的中点,求证:MN <21(AB+CD )。
证明:取BD 的中点E ,连结EM 、EN∵点M 是AD 的中点,点N 是BC 的中点,∴ME=21AB ,NE=21CD在△EMN 中,EM+EN >MN ∴21AB+21CD >MN即MN <21(AB+CD )。
三角形的中位线角平分线和垂线
![三角形的中位线角平分线和垂线](https://img.taocdn.com/s3/m/0cea5e5d11a6f524ccbff121dd36a32d7375c714.png)
三角形的中位线角平分线和垂线三角形的中位线、角平分线和垂线三角形是初中数学中一个重要的图形,它由三条边和三个顶点组成。
在三角形中,中位线、角平分线和垂线是三条与三角形内部相关的特殊线段。
本文将介绍中位线、角平分线和垂线在三角形中的性质和应用。
一、中位线中位线是连接一个三角形的两个顶点和对边中点的线段。
对于三角形ABC,三条中位线分别为AD,BE和CF(D、E和F分别为边BC、AC和AB的中点)。
中位线具有以下性质:性质1:三角形中的三条中位线互相平分。
性质2:三角形中的三条中位线交于一个点,该点被称为中心。
性质3:中心到各顶点的距离等于中心到对边中点的距离,而且中心是中位线的重心。
应用:中位线的应用较多,最常见的是利用中位线求三角形重心。
重心是以三角形三条中位线的交点为顶点的新三角形的重心。
我们可以根据中位线的性质计算重心的坐标。
二、角平分线角平分线是从一个角的顶点出发,平分这个角的角度的线段。
对于三角形ABC,角BAC的角平分线为AD(D在BC上)。
角平分线具有以下性质:性质1:角平分线把原来的角分成两个相等的角。
性质2:三角形的三条角平分线交于一点,该点被称为内角平分点。
性质3:内角平分点到三个顶点的距离相等。
应用:角平分线的应用较多,最常见的是利用角平分线求三角形内心。
内心是以三角形的三条角平分线的交点为顶点的新三角形的内心。
我们可以根据角平分线的性质计算内心的坐标。
三、垂线垂线是从一个顶点引出,与对边垂直相交的线段。
对于三角形ABC,从顶点A引出的垂线为AD(D在BC上)。
垂线具有以下性质:性质1:垂线与对边垂直相交,交点为垂足。
性质2:三角形的三条垂线交于一点,该点被称为垂心。
应用:垂线的应用较多,可以用于求解三角形的垂心。
垂心是以三角形的三条垂线的交点为顶点的新三角形的垂心。
我们可以根据垂线的性质计算垂心的坐标。
综上所述,三角形的中位线、角平分线和垂线在几何学中具有重要的地位和应用。
三角形中位线定理模型应用的思维导图
![三角形中位线定理模型应用的思维导图](https://img.taocdn.com/s3/m/e6288799e518964bce847c9a.png)
例4(2020•临沂)如图8,菱形ABCD的边长为1,∠ABC=60°,点E是边AB上任意一点
(端点除外),线段CE的垂直平分线交BD,CE分别于点F,G,AE,EF的中点分别为M,N.
(1)求证:AF=EF;(2)求MN+NG的最小值;(3)当点E在AB上运动时,∠CEF的大小是否变化?为什么?
∴OG=OM,∴BF=2OG.
点评:过一边中点构造平行线,从而构造出三角形的中位线,借助平行线的性质,等腰三角形的性质,等腰三角形的判定,三角形中位线定理实现解题目标.可谓小目标,展示了数学大智慧,构造中位线是解题关键.
解法2:如图11,过点O作OM∥FG,交BF于点M,∵OD=OB,∴OM是三角形DBF的中位线,
三、应用剖析
1.平行四边形中构造使用定理
例1(2020•陕西)如图5,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=8.E是边BC的中点,F是平行四边形ABCD内一点,且∠BFC=90°.连接AF并延长,交CD于点G.若EF∥AB,则DG的长为 ( )
A. B. C.3D.2
解析:如图5,延长CD,交BF的延长线于点H,∵E是边BC的中点,∠BFC=90°,∴EB=EF=EC= BC=4,∵EF∥AB,CD∥AB,∴EF∥CD,∵E是边BC的中点,∴EF是三角形BCH的中位线,
∴CE=2OF=6,∴CD=CE-DE=4.同理可证,GF是△ADE的中位线,∴GF=1.∵AD=4,DE=2,
DF是直角三角形ADE斜边上的中线,∴DF= AE= = ;
∵△ADF的面积是相同的,∴ AD×GF= DF×AH,∴AH= = .
点评这里的解答,两次用到了三角形的中位线定理,这是解题的重点,同时用到了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,同一个三角形面积相等等知识点,使得解题更突显数学智慧.
三角形的中线及中位线性质的运用举例
![三角形的中线及中位线性质的运用举例](https://img.taocdn.com/s3/m/4a23eacfcfc789eb162dc80c.png)
直角三角形斜边上中线性质的运用在直角三角形中有这样一个十分重要而又运用广泛的性质:直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.下面就这一性质的应用举例说明.例1 如图1,已知,△ABC 中,CE ⊥AD 于E ,BD ⊥AD 于D ,BM =CM .求证:ME =MD .分析 要证明ME =MD 首先想到的要证明两个角相等,可没有足够的条件,但有中点和垂线,于是想到通过辅助线构造直角三角形,利用直角三角形斜边上的中线性质证明.证明 延长DM 与CE 交于N .因为CE ⊥AD 于E ,BD ⊥AD 于D , 所以CE ∥BD ,即∠NCM =∠DBM ,又∠CMN =∠BMD ,BM =CM ,所以△CMN ≌△BMD , 所以NM =DM ,即M 为ND 中点.因为CE ⊥AD 于E ,所以△NED 为直角三角形,所以ME =12ND ,所以ME =MD .例2 如图2,BD 、CE 是高,G 、F 分别是BC 、DE 的中点,求证:FG ⊥DE .分析 有三角形高就会想到直角三角形,有中点当然会联想到直角三角形斜边上的中点性质和等腰三角形的性质,于是,连结DG 、EG ,可得DG 、EG 分别是Rt △BDC 和Rt △BEC 的中线,可知△GDE 是等腰三角形,进而由F 是DE 的中点,即FG ⊥DE .证明 因为BD 、CE 是高,所以∠BDC =∠BEC =90°, 即△BDC 和△BEC 都是直角三角形. 又因为G 是BC 的中点,所以DG =EG =12BC ,即△GDE 是等腰三角形. 因为F 是DE 的中点,所以GF 是等腰三角形GDE 的底边DE 上的中线, 所以由等腰三角形的“三线合一”,得GF 也是底边DE 上的高线,EDBCA FG图2N ED CBAM图1所以FG ⊥DE .例3 如图3所示,点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点,DF 、CE 交于点M ,CE 的延长线交DA 的延长线于G ,试探索:(1)DF 与CE 的位置关系;(2)MA 与DG 的大小关系.分析(1)要探索DF 与CE 的位置关系,由图可以猜想到DF ⊥CE ,而由条件可以证明△EBC ≌△FCD ,则有∠ECB =∠FDC ,即可证明DF ⊥CE .(2)仍然通过观察分析图形,可以猜想MA =12DG ,而事实上,由(1)可知△DMG 是直角三角形,再由条件可得△GAE ≌△CBE ,即得GA =CB ,于是利用直角三角形斜边上的中线性质即可证明.解(1)DF ⊥CE .理由:因为点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点, 所以∠B =∠FCD =90°,BE =12AB ,CF =12BC ,而AB =BC =CD ,即BE =CF , 所以△EBC ≌△FCD ,所以∠ECB =∠FDC ,而∠DFC +∠FDC =90°,所以∠DFC +∠FCM =90°, 即∠CMF =90°,所以DF ⊥CE . (2)MA =12DG .理由:因为F 是AB 的中点,所以AE =BE , 又∠GAE =∠B ,∠AEG =∠BEC ,所以△GAE ≌△CBE ,所以GA =CB . 而由(1)可知△DMG 是直角三角形,所以MA =12DG . 例4 已知:如图4,□ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,EF ⊥AC ,O 是垂足,EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ,且BE =OE =12AE .求证:□ABCD 是矩形.EDBCA FGM 图3图4ABCEGFOD分析 要证□ABCD 是矩形,只要证AC =BD 或OA =OB 即可.由BE =OE =12AE ,可作出Rt △AOE 斜边上的中线OG ,这样可证得△AOG ≌△BOE ,于是证得OA =OB .证明 取AE 的中点G ,连结OG ,所以Rt △AOE 中,OG =12AE =AG , 因为BE =OE =12AE ,所以OE =OG ,AG =BE ,即∠OGE =∠OEG , 所以∠AGO =∠OEB ,所以△AGO ≌△BEO ,所以OA =OB ,又四边形ABCD 是平行四边形,所以AC =2OA ,BD =2OB ,即AC =BD , 所以□ABCD 是矩形.综上所述,利用直角三角形斜边上中线的性质解题时,应依据条件,贯例图形,通过分析,把问题转化为证明线段相等,或通过辅助线,构造出直角三角形,利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,同时兼用全等三角形的知识,从而逐步逼近结论.在几何证明中,另外,熟练地识别图形、善于构造图形,并运用图形的性质进行推理论证是十分重要的.下面一道题目供同学们自己练习:如图6所示,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠C +∠D =90°,E 、F 为AB 、CD 的中点.求证:CD -AB =2EF .提示:作EM ∥AD 交CD 于M ,EN ∥BC 交CD 于N .利用直角三角形斜边上中线等斜边的一半.图6FEDCBA聚焦中位线定理的运用中位线定理是三角形一个重要定理.有一个特点,在同一个题设下有两个结论:一个结论是表明两条线段的位置关系(平行),另一个结论是表明两条线段的数量关系(一半).在应用这个定理时,不一定同时需要两个结论,有时需要平行,有时需要倍分关系.可以根据具体情况,按需选用.现举例说明中位线定理的运用.一、用于证明平行例1 在△ABC 中,BD 平分∠ABC ,A D ⊥BD,垂足为D ,AE=EC. 求证:DE ∥BC.图1CFEDBA证明:延长AD 交BC 于点F. 因为BD 平分∠ABC , 所以∠ABD =∠CBD. 因为A D ⊥BD,所以∠BDA =∠BDF=900. 又BD=BD,所以△BDA ≌△BDF(ASA). 所以AD=DF.又因为AE=EC,所以DE ∥FC, 即DE ∥BC (三角形的中位线定理). 二、用于证明角相等例2 如图2,四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于O ,已知AC=BD,M,N 分别是AD 、BC 的中点,MN 与AC 、BD 分别交于E 、F 点.求证:∠AEN=∠BFM.图24312FEBAP NMCD分析:可取CD 或AB 的中点构造中位线. 证明:可取AB 的中点P ,连接PM 、PN. 因为AM=MD,AP=BP,BN=NC, 所以MPBD 21,PN AC 21(三角形中位线定理). 所以∠1=∠3,∠2=∠4. 又因为AC=BD, 所以MP=NP, ∠3=∠4, 所以∠1=∠2.所以∠AEN=∠BFM (等角的补角相等). 三、用于证明线段相等例3 如图3,△ABC 的AB 、AC 向形外作正三角形ABD 和ACE,分别取BD 、BC 、CE 的中点P 、M 、Q.求证:PM=QM.图3QPCAD分析:中点P 、M 所在线段DB 、CB 有公共端点B ,若连接它们的另一端D 、C ,则PM 使成为△BCD 的中位线,同理连接BE 之后MQ 也成为△BEC 的中位线,通过中位线定理的传递,问题转化为证明DC 与BE 相等.证明过程由同学们自己完成!四、用于证明线段的特殊关系例4 如图4,已知四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、AC 、BD 的中点,且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上,求证:EF 和GH 互相平分.分析:要证明EF 和GH 互相平分,可证明四边形EGFH 是平行四边形;有中点,可考虑利用中位线定理.图4GHBE ACFD证明:连接EG 、GF 、FH 、HE. 因为AE=EB, BH=HD, 所以EH AD 21. 同理FG AD 21. 所以EHFG.所以四边形EGFH 是平行四边形. 所以EF 和GH 互相平分.巧用中线的性质解题我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高,这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题.一、巧算式子的值例1 在数学活动中,小明为了求23411112222++++ (1)2n +的值(结果用n 表示),设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求23411112222++++ (1)2n +的值.图1解析:从图中可以看出大三角形的面积为1,根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知,23411112222++++…12n +12n +表示:组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和,于是23411112222++++ (12)n +112n =-.【点评】此题运用“数形结合思想”,借助三角形的面积来求数的运算. 二、求图形的面积例2 如图2,长方形ABCD 的长为a ,宽为b ,E 、F 分别是BC 和CD 的中点,DE 、BF 交于点G ,求四边形ABGD 的面积.图2 解析:连接CG ,不难得出BCFSDCE S=4ab=,从而BEGDFG S S=,由E 、F 分别是BC 和CD 的中点,可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等,因此S四边形ABGDab=-4ab43⨯23=ab.【点评】本题的难度较大,通过连接CG,巧妙地把四边形ABGD以外的部分分成四个面积相等的三角形.像CG这样原题中没有,但我们在解题的过程中用它来“辅助”解决问题的线,称之为“辅助线”.三、巧等分土地例3.有一块三角形优良品种试验基地,如图3所示,•由于引进四个优良品种进行对比试验,需将这块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图说明).图3解析:可根据中线的特征,先分为两个面积相等的三角形,然后再依次等分.方案1:如答图(1),在BC上取D、E、F,使BD=ED=EF=FC,连接AE、ED、•AF.(1) (2) (3)方案2:如答图2,分别取AB、BC、CA的中点D、E、F,连接DE、EF、DF.方案3:如答图3,分别取BC的中点D,CD的中点E,AB的中点F,连接AD、AE、DF.【点评】三角形面积计算公式为12×底×高,因此解题的关键是找出底、高分别相等的四个三角形.对于本题,同学们!你还有别的方法吗?试试看.。
三角形中位线的性质及其应用探析
![三角形中位线的性质及其应用探析](https://img.taocdn.com/s3/m/e8df4b7f86c24028915f804d2b160b4e767f81f1.png)
数学篇数苑纵横三角形中位线的性质是平面几何中的一个重要定理.该定理的结论既包含两线段所在直线的位置关系,又包含两线段之间的数量关系,在解答平面几何问题中有着广泛的应用.在运用三角形中位线的性质解题时,有时需要运用平行关系,有时需要运用倍分关系,可以根据具体情况,按需选用.下面结合例题予以说明.一、三角形中位线的定义和性质三角形中位线的定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形有三条边,所以三角形的中位线应该有三条,如图1所示:如果点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点,那么线段DE 、EF 、FD 都是三角形的中位线.三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.由此不难得到三角形的中位线与第三边的关系:(1)位置关系:三角形的中位线与第三边互相平行,如在图1中,有DF ∥BC ;(2)数量关系:三角形的中位线等于第三边的一半,如在图1中,有DF =12BC.图1二、三角形中位线的性质在解题中的应用中位线的性质在解三角形问题时通常有以下三种用途:第一种是用于三角形的线段长度的计算;第二种是证明线段间的位置关系或由位置关系得出角之间的关系;第三种是求解三角形内线段间的和、差、倍分关系.1.利用三角形中位线的性质证明角相等由于三角形的中位线与三角形第三边之间存在平行的位置关系,因此,在证明两个角相等的时候,就可以借助或构造三角形的中位线,利用两直线平行,同位角及内错角相等来证明.这样既快捷,又简便.例1如图2,四边形ABCD 中,AB =CD ,点E ,F 分别是AD ,BC 的中点,GH ⊥EF 交于点P .延长BA ,FE 相交于点Q ,延长CD 交FE 的延长线于点K ,求证:∠AGH =∠DHG.图2图3分析:如图,连接BD ,作BD 的中点M ,连接EM 、FM .利用三角形中位线定理证得△MEF 是等腰三角形,则∠EMP =∠FMP .利用三角形中位线定理、平行线的性质推知∠Q =∠CKF ,由等量代换,证得∠AGH =∠DHG .证明:如图3,连接BD ,作BD 的中点M ,三角形中位线的性质及其应用探析江西九江卢明23数学篇数苑纵横连接EM 、FM ,∵点E 是AD 的中点,∴ME 是△ADG 的中位线,∴ME ∥AB ,ME =12AB ,∴∠AGH =∠EMP ,同理可证:MF ∥DC ,MF =12DC ,∵AB =CD ,∴ME =MF ,∴∠MFE =∠MEF ,∵∠MFE =∠CKF ,∠MEF =∠Q ,∴∠Q =∠CKF ,∵GH ⊥EF ,∴∠QPG =∠KPH =90°,∴∠Q +∠AGH =90°,∠CKF +∠DHG =90°,∴∠AGH =∠DHG .2.利用三角形中位线的性质求线段的长度三角形中位线的长度等于第三边长度的一半.利用好这个性质,可以为我们求解两线段的数量关系提供一个重要的依据.所以当题目中遇到三角形一边的中点,所求的问题涉及求线段的长度时,常将三角形中位线的性质和三角形其他知识结合起来.例2如图4,△ABC 中,M 是BC 的中点,AD 是∠A 的平分线,BD ⊥AD 于D ,AB =12,AC =18,求DM的长.例4图5分析:由于DM 无法直接求出,因此可通过构建三角形来得出与DM 相关联的线段,延长BD 交AC 于E .AD 是∠BAC 的平分线,那么∠BAD =∠CAD ,AD ⊥BE ,又有一条公共边,所以△ABD 和△ADE 全等.那么AB =AE ,BD =DE ,又有BM =MC ,所以DM 是三角形BCE 的中位线,那么DM =12CE ,又因为CE =AC -AE =AC -AB =6,因此DM =3.解:延长BD 交AC 于E ,如图5,∵BD ⊥AD ,∴∠ADB =∠ADE =90°,∵AD 是∠A 的平分线,∴∠BAD =∠EAD ,在△ABD 与△AED 中ìíîïï∠BAD =∠EAD ,AD =AD ,∠ADB =∠ADE ,∴△ABD ≌△AED (ASA ),∴BD =ED ,AE =AB =12,∴EC =AC -AE =18-12=6,∵M 是BC 的中点,∴DM =12EC =12×6=3.3.利用三角形中位线的性质证明线段的倍分关系三角形的中位线不仅体现了线段之间的位置关系,也体现了线段之间的数量关系.在证明线段的和差倍分等问题中,最重要的是找到线段之间的数量关系,而很多题目是难以直接进行数量转换的,因此需作出正确的辅助线,找出图形中形状、位置或者数量上的联系,借助中间量,将所求线段之间的间接关系转化为直接关系,最终求得答案.例5已知,如图6,在△ABC 中AB =AC ,延长AB 到D ,使BD =AB ,E 为AB 的中点,求证:CD =2CE .图6分析:这是证明线段的倍半问题,证明一24数学篇数苑纵横条线段等于另一条线段的二倍或一半时,常常是先找出短线段二倍长的线段,或者取长线段的一半,设法把线段的倍半问题转化为证明线段相等的问题.这就是通常所说的“加倍”“折半”的方法.方法1:找出CD 的一半,然后证明CD 的一半和CE 相等,取CD 中点F ,证CF =CE .证明:取CD 的中点F ,连接BF ,如图7.图7∴CD =2CF ,∵AB =BD ,∴BF 是△ADC 的一条中位线,BF ∥AC ,BF =12AC ,∴∠2=∠ACB ,∵AB =AC ,∴∠1=∠ACB ,∠1=∠2,∴E 是AB 中点,BE =12AC ,∵BF =12AC ,且AB =AC ,∴BE =BF .在△BCE 和△BCF 中,ìíîïïBE =BF ,∠1=∠2,BC =BC ,∴△BCE ≌△BCF (SAS),∴CE =CF ,∵CD =CF ,CD =2CF ,∴CD =2CE .方法2:找出CE 的2倍,然后证明CE 的2倍和CD 相等,因此,要延长CE 到F ,使EF =CE ,证CF =CD .证明:延长CE 至F ,使EF =CE ,连接FB ,如图8.图8∴CF =2CE ,∠1=∠2,∵E 为AB 中点,∴AE =BE ,在△AEC 和△BEF 中ìíîïïCE =EF ,∠1=∠2,AE =BE ,∴△AEC ≌△BEF (SAS),∴AC =BF ,∠3=∠F ,∴AC ∥BF ,∠FBC +∠ACB =180°,∵∠CBD +∠ABC =180°,又∵AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB ,∴∠FBC =∠DBC ,∵AC =AB ,AB =BC ,AC =BF ,∴BF =BD .在△CBF 和△CBD 中,ìíîïïCB =CB ,∠FBC =∠DBC ,BF =BD ,∴△CBF ≌△CBD (SAS),∴CD =CF ,CF =2CE ,∴CD =2CE .由以上几例不难看出,当题目有中点这一条件时,应设法寻找另一个“中点”,以构造三角形的中位线,然后利用中位线的性质解题.这是一种常用的解题技巧.25。
中位线及其应用
![中位线及其应用](https://img.taocdn.com/s3/m/fab0e95b376baf1ffc4fadda.png)
第2讲:中位线及其应用
1、三角形中位线
(1)定义:连接三角形两边中点的线段
(2)性质:平行于第三边,并且等于第三边的一半。
证明及书记格式:
(3)证明方法:
方法一:连接三角形两边中点的线段为三角形中位线
方法二:过三角形一边中点且平行于第三边的线段是三角形中位线
2.梯形中位线平行于两底边,并且等于两底边和的一半。
证明:
【例题精讲】
【例1】已知△ABC中,D是AB上一点,AD=AC,AE⊥CD于E,F是BC的中点,证明BD=2EF。
【巩固】已知在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M为BC的中点.
求证:
1
2
DM AB
A
B
D
B
【例2】已知E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 各边的中点 证明四边形EFGH 是平行四边形形
【例3】梯形ABCD 中,AB ∥CD ,M 、N 分别是AC 、BD 的中点。
求证:MN =21(AB -CD )
【例4】如图,△ABC 的三边长分别为AB =14,BC =16,AC =26,P 为∠A 的平分线AD 上一点,且BP ⊥AD ,M 为BC 的中点,求PM 的长。
【巩固】已知:△ABC 中,分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ,P 是BC 的中点。
求证:PM =PN
A B C P M D A B D C M N A C P M N。
三角形中位线定理应用下学期华师大版
![三角形中位线定理应用下学期华师大版](https://img.taocdn.com/s3/m/f5ac5a75bb68a98271fefad5.png)
3.四边形ABCD中,E.F分别是 BC.AD的中点 求证: AB+CD≧2EF
F
D
A
B
C
E
4.如图所示.在四边形ABCD中, AD=BC,E,F分别是CD,AB的 中点,延长AD,BC,分别交FE 的延长线于H,G. 求证:∠AHF=∠BGF.
5.已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,延长AB到D, 使BD=AB,E为AB的中点. 求证:CD=2CE.
例题精讲:
1.在 中 ,D是BC的中点, (1)连接AD,求证:AB+AC﹥2AD
A
B
C
D
(2)若E是AC的中点,连接BE交AD 于O, ①求:EO:BO
②若F是AO的中点, G是BO 的中点,连接DE,EF,FG,GD,则四 边形DEFG是什么四边形?为什么?
C
E
O
D
A
B
2.如图,已知四边形ABCD中,M、
N、P、Q分别是AB、BC、CD、
DA的中点,
求证:四边形MNPQ是平行四边
形
A MQDPBNC
问:1.若四边形ABCD的对角线相 等, 则四边形四边形MNPQ是什么四 边形?
2.若四边形ABCD的对角线互 相垂直, 则四边形四边形MNPQ是 什么四边形?
3.四边形ABCD满足什么 条件时,四边形MNPQ是正方形呢?
补充习题 P24
; 铜雀台娱乐,铜雀台娱乐官网,铜雀台娱乐开户,铜雀台娱乐注册 vgd69wjw
平凡,我的家族过于强大,我的一生已经被定死,使我没有任何动力去想象属于我自己的生活,因为我必须活在责任与情义当 中。姐姐深知我将来的路会变成这样一条险路,假如我不做出改变的话。于是就要我学会做人、学会负责,学会走自己的人生 之路;于是我来到了姐姐的单位实习;于是我要每晚做公务员的真题;于是对了,我们家的灯烧坏了。想到这,我猛地惊了一 番,“啊,痛,好强的光。”心想,这屋里的灯有这么强吗?不对,这不是灯光,是带有自然气息的太阳光。“哥哥,你没事 吧?”一陌生的声音在耳边响起。我顿时心头一惊,这是谁的声音,听起来就是个十来岁的小伙的声音,奇怪这声音怎么这么 优美。我正想要睁开眼睛,却发现强光过于刺眼,我没能成功。而且身体也像是在沉睡一样,动不了。这时的我,隐约感受到 背部有一种软软的感觉,也断续闻到有一股带有草原气息的气味,难道我这是躺在内蒙古的广阔的草原上吗?又蓦地,我被自 己的想法惊了一下,我这不是昏过去躺在我姐姐的出租屋里的冷冰冰的地板上的吗?“哥哥,你不打紧吧?要不我去找你来帮 你吧?”又来了,这小正太究竟是谁啊?过了这么一段时间,眼睛稍微适应了强光,于是我就努力试着睁开眼睛,因为不这样 做的话就根本没办法行动,心中就会担心自己继续待下去会遇到什么危险,因为我已经感觉到了,这根本不是出租屋;我这个 人对于一些未知的领域,总会自动有一种想逃跑的危机感,也许是我那胆小怕事的性格衍生出来的吧。对了,从前试过睡觉睡 到脑瓜子醒了但是身子却动不了的情况,是俗话说的鬼压身吧?其实我知道那是大脑醒了身体还在休息的一种生理现象罢了。 好,我试试用尽全身的力去唤醒我的身体吧!“哥哥”那小男孩貌似对我不离不弃;很好,等我醒过来好好表扬你一番这关爱 陌生人的情操吧!我集中了所有精力,用尽全身能感受到的力气去努力“扒开”眼皮,终于我能稍稍地睁开了眼睛;蓦地,映 入眼帘的是一张俊俏的小脸蛋;不行,还是受不了这突如其来的强光,难道我还是个怕光的软蛋,头很痛,我又一次昏了过去。 等我真正醒来的时候,我震惊了。这哪是什么姐姐的破出租屋啊,这是一间破旧的木屋,怎么看都像是我们家族在山区老家那 祖屋啊!托着沉重而稍带晕眩的脑瓜,我仔细打量了一下这木屋。它的格局确实不像我那老祖屋,而且一些房屋建造的关键之 处甚是薄弱,明显不是专业木匠搭建起来的,而且我有一种直觉,那就是这里缺少我们现代所有的气息,难道,我穿越了?正 想着这不可思议的问题,门外蹦进了一个小男孩,他冲着我叫到:“哥哥,你醒啦?”这声音有点熟耶,对了,是那个我做梦 时在与鬼压身战斗时所听到的小正太的声音。我还
三角形中位线
![三角形中位线](https://img.taocdn.com/s3/m/5f08c6241fb91a37f111f18583d049649b660ec2.png)
三角形中位线在几何学中,三角形是最基本的图形之一。
它由三条线段组成,连接三个顶点。
除了边和角度之外,三角形还有一些特殊的特征,例如中位线。
本文将介绍三角形中位线的定义、性质和用途。
定义三角形的中位线是连接三角形的一个顶点与其对边的中点的线段。
因为每个顶点都有对应的中位线,所以三角形总共有三条中位线。
假设三角形的顶点分别为A、B和C,对应的中位线为DD1、EE1和FF1,那么我们可以得到以下关系:•线段AD = 线段D1A•线段BE = 线段E1B•线段CF = 线段F1C性质三角形中位线具有一些有趣的性质,这些性质可以帮助我们更好地理解和计算三角形。
1.中位线相交于同一个点三条中位线DD1、EE1和FF1的交点称为三角形的重心,记作G。
重心是三角形内部的一个点,它将三角形划分为六个小三角形,其中每个小三角形的面积都相等。
2.重心到顶点的距离比例为2:1重心到三个顶点的距离之比恒为2:1。
具体而言,可以得到以下关系:–线段AG = 2/3 * 线段DG–线段BG = 2/3 * 线段EG–线段CG = 2/3 * 线段FG3.重心到任意一条边的距离比为1:3重心到三角形任意边的距离之比恒为1:3。
具体而言,可以得到以下关系:–线段GD = 1/3 * 线段AD–线段GE = 1/3 * 线段BE–线段GF = 1/3 * 线段CF4.重心将三角形划分为六个小三角形,其中每个小三角形的面积都恒为整个三角形面积的1/6。
用途三角形中位线在几何学中具有广泛的用途。
以下是一些常见的应用:1.计算三角形的重心通过计算三条中位线的交点,可以确定三角形的重心坐标。
重心是三角形的一个重要特征点,在计算、建模和应用中都有很大的作用。
2.计算三角形的面积结合中位线的性质,可以利用重心将三角形划分为六个小三角形,进而计算三角形的面积。
这种方法通常比较直观和简单,适用于各种类型的三角形。
3.证明三角形的一些性质中位线是三角形的一个重要特征,通过研究中位线的性质,可以证明一些关于三角形的性质。
三角形中位线的应用三例
![三角形中位线的应用三例](https://img.taocdn.com/s3/m/83a00cb3960590c69ec37699.png)
三角形中位线的应用三例在平面几何证明题中,若题设条件出现了一条线段的中点,则可取另一条线段的中点,构造三角形的中位线,利用其性质证题.主要有三种情况,现举例说明.例1 如图1,正方形ABCD的对角线相交于点O,∠BAC的平分线AE交BC于E,DF⊥AE 于F,DF分别交AB、AC于G、H。
分析由题设知,O是△DGB一边DB的中点,取另一边DG的中点M,连OM,则OM平行且等于12BG。
欲证OH=12BG,只需证OH=OM.证明取DG的中点M,连OM.∵AE平分∠BAC,且DF⊥AE,∴∠OHM=∠AHF=90°-22.5°=67.5°.又∠MOH=∠BAC=45°,∴∠OMH=180°-67.5°-45°=67.5°,∴∠OMH=∠OHM,∴OH=OM,例2 如图2,在四边形ABCD中,AD=BC,E、F分别是 AB、CD的中点,直线EF交AD 的延长线于G,交BC的延长线于H.求证∠AGE=∠BHE.分析由于中点E、F不在一个三角形的边上,可连结AC,取AC的中点M,连ME、MF,在△CAD和△ABC中分别利用中位线的性质.证明连结AC,取AC的中点M,连ME、MF.∵E是AB的中点,∴∠MEF=∠BHE.∴∠MFE=∠AGE.又 AD=BC,∴MF=ME,∴∠MEF=∠MFE,故∠AGE=∠BHE.例3 如图3,在五边形ABCDE中,AB⊥BC,AE⊥ED,∠BAC=∠EAD,P是CD的中点,求证:PB=PE.分析由于PB、PE不在同一个三角形中,且PB、PE分别所在的两个三角形又不具备全等的条件,欲证PB=PE,可分别以PB、PE为一边构造两个三角形,再证它们全等.为此,分别取AC、AD的中点F、G,连结FB、FP、GE、GP.在Rt△ABC和Rt△AED中分别利用斜边上中线的性质,在△ACD中利用中位线的性质.证明分别取AC、AD的中点F、G,连结FB、FP、GE、GP.∴∠PFC=∠DAC,∠PGD=∠CAD.且 PF=EG,FB=GP.又∠BFP=∠BFC+∠PFC=∠FBA+∠BAC+∠DAC=2∠BAC+∠DAC,∠EGP=∠EGD+∠PGD=∠GEA+∠DAE+∠CAD=2∠DAE+∠CAD,且已知∠BAC=∠DAE,∴∠BFP=∠EGP.于是,易知△BFP≌△EGP.故 PB=PE.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
三角形中位线 应用举例
乳山府前中学 肖永华
知识回顾
三角形中位线的性质
定理:三角形的中位线平行于第三边,
且等于第三边的一半.
A
∵DE是△ABC的中位线,
D
E
∴DE∥BC, DE 1 BC.
2
B
C
这个定理提供了证明线段平行或线段倍分关系的依 据.
A
B
D
M
C
E
F
已知:△ABC 中AC>AB,M为BC中点, AD平分∠BAC,CF⊥AD
若AB=5,AC=4,BC=7,求MN的长度。
A
F
E
M
N
B
D
C P
若将两条内角平分线改为“外角平分线” 其他条件不变,则 MN∥BC吗?
E
N
P
B
A F
M
Q
C
课堂小测
已知: △ABC 中,AB>AC,M为BC的中点,AD
平分∠BAC,
BE ⊥ AD,CF⊥ AD .
A
求证: MF=ME
P
B
F M
D
E
C
Q
如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点。四边形EFGH是平 行四边形吗?为什么?
A
H
D
E G
B
F
C
中点四边形的定义
❖ 顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫 做中点四边形。
B
A C
D
通过例2的证明你能得到什么
结论?
AH
顺次连接任意四边形各边中点的线段可得平 D
❖ (3)要使中点四边形是矩形,原四边形一定 要是菱形吗?
(1)顺次连结对角线相 等的四边形各边中点所得 的四边形
(2)顺次连结对角线垂 直的四边形各边中点所得 的四边形
(3)顺次连结对角线相等 且垂直的四边形各边中点 所得的四边形
菱形
结论
顺次连接四边形各边中点所得到的四边
形一定是平行四边形,但它是否特殊的平行 四边形取决于它的对角线是否垂直或者是否 相等,与是否互相平分无关.
求证:MF ∥ AB, MF=1 (AC-AB)
2
“两线合一必等腰”-----
-“补形法”添加辅助
线
已知:若将AD改为∠BAC外角平分线, CD⊥AD,
E是BC中点
求证:DE
∥
AB
,DE=
1 2
(AB+AC)
A
D
B
E
C
已知: △ABC 中,BE、CF是角平分线, AN ⊥ BE,AM⊥ CF
求证:MN∥BC
以一题多变为载体培养学生优秀思维品质 -----特色课堂教学设计
乳山府前中学 肖永华
以一题多变为载体培养学生优秀思维品质 -----特色课堂教学设计
❖ 设计一题多变的训练,发展学生的思维, 培养学生分析问题和解决问题的能力,是数 学教学的根本任务。所谓一题多变, 是指在 保持问题实质不变的情况下, 通过变式改变 问题的条件或问题的结论, 把一个问题化为 梯度渐次上升的一个问题系列。
行四边形
E G
B
F
C
平行四边形
平行四边形
矩形
平行四边形
菱形
正方形 菱形
什它到 么是的 呢否四 顺 ?是边 次
特形连 殊一接 的定四 平是边 行平形 四行各 边四边 形边中 取形点 决,所 于但得
小组讨论并思考:
❖ (1)中点四边形的形状与原四边形的什么有 着密切的关系?
❖ (2)要使中点四边形是菱形,原四边形一定 要是矩形吗?
❖ 三角形中位线是为三角形和四边形知识的应用 和深化所引出的一个重要的性质定理,它揭示了 线段之间的位置关系和数量关系。对进一步学习 非常有用,尤其是在它证明两直线平行和论证线 段倍分关系时常常用到,初三的学生对于三角形 中位线的理解及完成大部分练习也不是难事,但 学生在应用中位线定理时易出现不知如何添加辅 助线的问题。所以在学习完三角形中位线定理后 ,集中选取几个具有代表性的辅助线添加的题目 ,设计安排一系列变式题,让学生研讨、思考, 既可以把若干知识点串联起来,达到巩固所学知 识的目的,又可以培养学生的猜想能力,解题分 析能力,有效地促进创造思维的形成与发展.
原四边形两条对角线
连接四边中点所得四边形
互相垂直 相等
互相垂直且相等
矩形 菱形 正方形
既不互相垂直也不相等
平行四边形
❖ 教学中注重搜集典型题,恰当的进行一系 列变式,集中训练,可使学生处在一种愉 快的探索知识的过程中,促使学生所学知 识纵向加深,横向沟通,不仅可以提高学 生解题的技能技巧, 还可以培养学生深入钻 研问题的精神,充分调动学生的积极性, 提高学生对解题思路的分析能力。长期坚 持必将促进学生对数学知识的掌握和数学 能力的提高,也就起到了提高课堂教学效 率的作用。