动点问题与函数图象

动点问题与函数图象
1、如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A 出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y 关于x的函数图象大致为（）
A B C D
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
【解析】∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，∴AN=1．
∴当点M位于点A处时，x=0，y=1．
①当动点M从A点出发到AM=1的过程中，y随x的增大而减小，故排除D；
②当动点M到达C点时，x=6，y=3﹣1=2，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等．故排除A、C．
故选B．
2、如右图所示，已知等腰梯形ABCD,AD∥BC，若动直
线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面
积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】分三段考虑，①当直线l经过BA段时，②直线l经过AD段时，③直线l经过DC 段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案．
【解析】①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；
②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；
③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；
结合选项可得，A选项的图象符合．
故选A．
x
B
y
P
A D
C
l
x
s
A.
…
x
s
B.
x
s
x
s
3、如右图，已知某容器是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱组合而
成，若往此容器中注水，设注入水的体积为y，高度为x，则y关于x的函数图像大致是
【解析】注入水的体积增加的速度随着高度x的变化情况是：由慢到快→匀速增长→由快到慢，由慢到快的图象是越来越陡，由快到慢的图象是越来越平缓，所以选A。

4、如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（）
A B C D
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】由图中可知：在开始的时候，阴影部分的面积最大，可以排除B，C．
随着圆的穿行开始，阴影部分的面积开始减小，当圆完全进入正方形时，阴影部分的面积开始不再变化．应排除D．
故选A．
5、．如图9，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t 秒，y = S△EPF，则y与t的函数图象大致是
【解析】：AD＝13，sinA
＝
12
13
，当P在AD上运动时，△PEF的高h＝
12
13
t，
y = S
△EPF
＝
1
5
2
⨯⨯
12
13
t，是一次函数关系，当点P在CD上运动时，高不变，底不变，三角形的面积不变，当点P在C上运动时，同样也是一次函数关系，故选A。

6、一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子（质量非常轻的空心小圆球）后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表示y与x之间关系的选项是（）
A B C D
【知识点】分段函数图象
【分析】分三段考虑，①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加；②小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变；③大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加．
【解析】①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加；
②小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变；
③大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加．
结合图象可得B选项的图象符合．
故选B．
7、如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设
弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与
x的函数关系的图象大致是
答案：A
解析：很显然，并非二次函数，排除B；采用特殊位置法；
当P点与A点重合时，此时0=
=x
AP，0=
∆PAO
S；
当P点与B点重合时，此时2
=
=x
AP，0
=
∆PAO
S；H
O
P
B
A
本题最重要的为当1==x AP 时，此时APO ∆为等边三角形，4
143＞=∆PAO S ； 排除B 、C 、D .选择A .
【点评】动点函数图象问题选取合适的特殊位置，然后去解答是最为直接有效的方法
8、在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y （单位N ）与铁块被提起的高度x （单位cm ）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A B C D
【知识点】分段函数图象
【分析】露出水面前读数y 不变，出水面后y 逐渐增大，离开水面后y 不变．
【解析】因为小明用弹簧称将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．
则露出水面前读数y 不变，出水面后y 逐渐增大，离开水面后y 不变． 故选C ．
9、如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度不变，则以点B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 的函数图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【知识点】：动点问题的函数图象．
【分析】：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．
【解答】：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P 在A→B段运动时，PB=1﹣t，S=π（1﹣t）2（0≤t＜1）；
（2）当点P在B→A段运动时，PB=t﹣1，S=π（t﹣1）2（1≤t≤2）．
综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t﹣1）2（0≤t≤2），
这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．
10、如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）
A B C D
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8﹣t，再根据正方形的性质的OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE=S△OCF，这样S四边形OECF=S△OBC=16，于是S=S四边形OECF﹣S△CEF=16
﹣（8﹣t）•t，然后配方得到S=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），最后利用解析式和二次函数的性
质对各选项进行判断．
【解析】根据题意BE=CF=t，CE=8﹣t，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，
∵在△OBE和△OCF中
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴S△OBE=S△OCF，
∴S四边形OECF=S△OBC=×82=16，
∴S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）•t=t2﹣4t+16=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），
∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．
故选B．
11、如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（）
A B C D
【知识点】分段函数、动点问题的函数图象
【分析】根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分别求出S，可得答案．
【解析】根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；
①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2﹣Vt×1=4﹣Vt，
②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2﹣1×1=3，
③小正方形穿出大正方形，S=Vt×1，
分析选项可得，A符合；
故选A．
12、如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED →DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q 出发t秒时，△BPQ的面积为ycm，已知y与t的函数关系的图形如图2（曲线OM为抛物
线的一部分），则下列结论：：①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时；；③直线NH的解析式为y=－
2
5
t+27；④若△ABE与△QBP相似，则t=
4
29
秒。

其中正确的结论个数为（）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
答案：B
C
解析：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
故②正确
故④正确
将N（7,10）代入，知③错误，故选B。

13、如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt∆GEF的一边GF重合。

正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E 重合时正方形停止运动。

设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt∆GEF重叠部分面
积为s，则s关于t的函数图像为（B）
14、如图，是一种古代计时器﹣﹣“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间若用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）（）
A B C D
【知识点】函数图象
【分析】由题意知x表示时间，y表示壶底到水面的高度，然后根据x、y的初始位置及函数图象的性质来判断．
【解析】由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0，可以排除A、D；
由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除C选项；
故选B．
15、如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A D
C
B A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（B）
P从点C出发，沿BC方向匀速运动到终点C，动点Q从点C出发，沿DC方向匀速运动到终点C．已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点，连接OP，OQ．设运动时间为t，四边形OPCQ的面积为S，那么下列图象能大致刻画S与t之间的关系的是（）
A B C D
A
x
y
4
8
8
16
12
4
O x
y
41216
8
8
4
O
A. B.
x
y
41216
8
8
4
O
第10题
x
y
41216
8
8
4
O
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】作OE⊥BC于E点，OF⊥CD于F点设BC=a，AB=b，点P的速度为x，点F的速度为y，则CP=xt，DQ=yt，CQ=b﹣yt，根据矩形和中位线的性质得到OE=b，OF=a，根据P，Q两点同时出发，并同时到达终点，则=，即ay=bx，然后利用S=S△OCQ+S△OCP=•a•（b ﹣yt）+•b•xt，再整理得到S=ab（0＜t＜），根据此解析式可判断函数图象线段（端点
除外）．
【解析】作OE⊥BC于E点，OF⊥CD于F点，如图，设BC=a，AB=b，点P的速度为x，点F的速度为y，
则CP=xt，DQ=yt，所以CQ=b﹣yt，
∵O是对角线AC的中点，
∴OE=b，OF=a，
∵P，Q两点同时出发，并同时到达终点，
∴=，即ay=bx，
∴S=S△OCQ+S△OCP
=•a•（b﹣yt）+•b•xt
=ab﹣ayt+bxt
=ab（0＜t＜），
∴S与t的函数图象为常函数，且自变量的范围为0＜t＜）．
故选A．
17、如图是我国古代计时器“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出．壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计时，用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，则y与x的函数关系式的图象是（）
A B C D 【知识点】函数图象
【分析】由题意知x 表示时间，y 表示壶底到水面的高度，然后根据x 、y 的初始位置及函数图象的性质来判断
【解析】由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y 的初始位置应该大于0，可以排除A 、B ；
由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除D 选项； 故选C ．
18、如图,点G 、E 、A 、B 在一条直线上,Rt △EFG 从如图所示的位置出发,沿直线AB 向右匀速运动,当点G 与点B 重合时停止运动,设△EFG 与矩形ABCD 重合部分的面积为S,运动时间为t,则S 与t 的图象大致是
s
t
o
s
t
o
s
t
o
o
t
s
G F
E 第10题图
D
B C
A
D.
C.
B.
19、如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2）．已知y 与t 的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）
A 、AE=6cm
B 、 sin ∠EBC=4/5
C 、当0＜t≤10时，y=t 2
D 、当t=12s 时，△
PBQ 是等腰三角形
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】由图2可知，在点（10，40）至点（14，40）区间，△BPQ 的面积不变，因此可推论BC=BE ，由此分析动点P 的运动过程如下：
（1）在BE 段，BP=BQ ；持续时间10s ，则BE=BC=10；y 是t 的二次函数； （2）在ED 段，y=40是定值，持续时间4s ，则ED=4； （3）在DC 段，y 持续减小直至为0，y 是t 的一次函数 【解析】（1）结论A 正确．理由如下：
分析函数图象可知，BC=10cm ，ED=4cm ，故AE=AD ﹣ED=BC ﹣ED=10﹣4=6cm ；
（2）结论B正确．理由如下：
如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，
由函数图象可知，BC=BE=10cm，S△BEC=40=BC•EF=×10×EF，∴EF=8，
∴sin∠EBC===；
（3）结论C正确．理由如下：
如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G，
∵BQ=BP=t，
∴y=S△BPQ=BQ•PG=BQ•BP•sin∠EBC=t•t•=t2．
（4）结论D错误．理由如下：
当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC．
此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=，NC=，∵BC=10，
∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形．20、如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿
B A D C方向运
动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当7
x时，点E应运动到（B）
A．点C处B．点D处C．点B处D．点A处
21、如图，已知A、B是反比例函数上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是（）
A B C D
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】通过两段的判断即可得出答案，①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面
C
B
第8题图1
y
x
O 3 7
积不变，可以排除B 、D ；②点P 在BC 上运动时，S 减小，S 与t 的关系为一次函数，从而排除C ．
【解析】①点P 在AB 上运动时，此时四边形OMPN 的面积S=K ，保持不变，故排除B 、D ；
②点P 在BC 上运动时，设路线O →A →B →C 的总路程为l ，点P 的速度为a ，则S=OC ×CP=OC ×（l ﹣at ），因为l ，OC ，a 均是常数， 所以S 与t 成一次函数关系．故排除C ． 故选A ．
22、如图，点P 是菱形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，过点P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点．设AC ＝2，BD ＝1，AP ＝x ，△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致形状是
【答案】C 。

【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的特征。

【分析】当0<AP ＝x<1时，由题意知△AME∽△ABD，
∴
, , 11
MN AP MN x
MN x BD AO ===即即， ∴此时△AMN 的面积y=211
22
MN AP x ⋅⋅=。

当1≤AP＝x<2时，如图同样知△AME∽△ABD，
∴
2, , 211
MN PC MN x
MN x BD OC -===-即即， ∴此时△AMN 的面积y=()2111
2222
MN AP x x x x ⋅⋅=-=-+。

综上，根据二次函数图象的特征，y 关于x 的函数图象大致形状是C 。

23、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N （点M 在点N 的上方），若△OMN 的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S 与t 的函数关系的图象是
O
O
O
O
x
x x x
y y y y 1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】C 。

【考点】动点问题的函数图象，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正比例函数的图象，二次函数的图象。

【分析】如图1，过A 作AH⊥x 轴于H ，由已知菱形COAB 边长为4，∠AOC=60°，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出OH=2，AH=23。

根据已知0≤t≤4分两种情况讨论；
①当0≤t ＜2时，点M 在OA 上运动（如图1），ON =t ，MN=
3t ，
S=
1
2
·ON·MN=213t 3t t 2⋅=。

②当2≤t≤4时，点M 在AB 上运动（如图2），ON =t ，MN=2
3，
S=
12·ON·MN=1
t 233t 2
⋅=。

因此，S 与t 的函数关系为：当0≤t＜2时为抛物线，当2≤t≤4时为直线，故选C 。

另作介绍：当4＜t≤6时，点N 在CB 上运动（如图3），OE =t ，EM=23，EN=（t
－4）3
S=S△OME
－
S△ONE=
1
2
·OE·EM －
12
·OE·EN
=()213t 3t 43t 33t 2⎡⎤=⎣⎦2－－－。

24、如图，边长都是1的正方形和正三角形，其一边在同一水平线上，三角形沿该水平线自
左向右匀速穿过正方形．设穿过的时间为t，正方形与三角形重合部分的面积为S（空白部分），那么S关于t的函数大致图象应为
【答案】D。

【考点】动点问题的函数图象，勾股定理。

【分析】∵边长都是1的正方形和正三角形，其一边在同一水平线上，三角形沿该水平线自左向右匀速穿过正方形．穿过的时间为t，正方形与三角形重合部分的面积为S（空白部分），：∴S关于t的函数大致图象应为：三角形进入正方形以前是空白面积逐渐增大，
当0≤t≤1
2
时，S=
1
2
×t×3t=
3
t2，
当1
2
＜t≤1时，S=
1
2
×1×
3
﹣
1
2
×（1﹣t）×3（1﹣t）=﹣
3
t2+3t﹣
3
，
当1＜t≤3
2
时，S=
1
2
×1×
3
﹣
1
2
×（t﹣1）×3（t﹣1）=﹣
3
t2+3t﹣
3
，
当3
2
＜t≤2时，S=
1
2
×（2﹣t）×3（2﹣t）=
3
2
t2﹣43t+23，
∴S与t是分段的二次函数关系．∴只有D符合要求。

故选D。

25、如图，在正方形ABCD中，AB=3㎝，动点M自A点出发沿AB
方向以每秒1㎝的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD－DC－CB以每秒3㎝
的速度运动，到达B点时运动同时停止。

设△AMN的面积为y（㎝2）。

运动时间为x（秒），
则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是
【答案】A。

【考点】列函数关系式，一次函数和二次函数图象的特点。

【分析】当0≤x ≤1时, 点N 自A 点出发至点D ，此时y =2
13322
x x x ⋅⋅=
；当1<x ≤2时, 点N 自D 点至 点C ，此时y =
13
322
x x ⋅⋅=；当2<x ≤3时, 点N 自C 点至点B ，此时y =()2139
336222
x x x x ⋅⎡--⎤=-+⎣⎦。

根据一次函数和二次函数图象的特点，图象A 能大致反映y 与x 之间函数关系。

故选A 。

26、如图，等边△ABC 的边长为4，M 为BC 上一动点(M 不与B 、C 重合)，若EB ＝1，∠EMF ＝60°，点E 在AB 边上，点F 在AC 边上．设BM ＝x ，CF ＝y ，则当点M 从点B 运动到点C 时，y 关于x 的函数图象是
【答案】B 。

【考点】二次函数的图象，平角的定义，等边三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】由已知，根据等边三角形每个内角等于600
的性质，∠B＝∠C＝60°；又由∠EMF ＝60°，根据平角的定义和三角形内角和定理，得∠EMB＝180°－∠EMF－∠FMC＝120°－∠FMC＝∠MFC。

从而△BME∽△CFM，得
BE BM
CM CF
=。

由已知，BE ＝1，BM ＝x ，CM ＝4－x ，CF ＝y ，所以
1x 4x y
=－。

整理，得()2
2y=x 4x=x 24+-+－－。

因此，y 关于x 的函数是顶点在（2，4）的二次函数的一部分。

故选B 。