【精品】特殊图类的彩虹点染色

1前言

1.1课题背景

图论是数学中的一个重要的分支。它以图为研究的对象。图论原本是应用数学的一个重要的分支，为此，历史上曾有许多位数学家独自地建立过图论。早在1736年欧拉的著作中就出现了关于图论的文字记载,最初他所思考的图论问题都有很强的现实背景.著名的柯尼斯堡七桥问题就是图论的起源。欧拉证明了这个题目没有解,并且把这个题目进行推广，给出了对于一个给定的图可以以某种方法走遍的判定规则。这项研究所取得的成果奠定了欧拉图论〔及拓扑学〕创始人的地位。

染色问题是图论的一类重要的题目,具有重要的实际意义和理论意义.不同类型的图的染色问题一直是图论中的热点题目,而连通图的染色问题又是其中一种很重要的分支。染色问题就是给定一个图，把它所有顶点或所有的边染上颜色，使得相邻顶点或边的颜色都不相同时所需要的最少的不同的颜色数，边的染色题目可以转化为点染色题目，它们都能归于将一个图划分为独立子集的理论.目前，伴随着图的染色问题在实际问题中被广泛的应用，研究这类问题的学者在逐渐的增多。对不同图类的染色问题的研究，已经有了比较丰富的成果，并且这些结论还在不断的完善之中。

连通性是图论中最重要的性质之一，2008年，Chartrand ，Johns 等人首次提出了图的彩虹连通性的概念，是经典连通性概念的一种加强。作为一个自然的组合概念，彩虹连通数不但有其了理论意义，而且在网络问题中起到了非常重要的作用.事实上，它产生于政府机构之间机密信息的安全传输，在网络安全等实际问题中有很多的应用。假如我们需要在一个蜂窝网络中进行信息的传输。在网络中的任意两点在之间都要有一条路相连接，而且在该路径上的每段都被分配一个独特的频道(例如,不同的频率）.显而易见，我们需要求出的是能在网络中所使用的最少的（不同）频道个数。而这个最少个数恰好是这个网络所对应无向图的彩虹连通数.彩虹点连通的概念是由Krivelevich,Yuster 首次提出的，是彩虹连通性的一种重要推广。它也有着很多实际的应用，也同样是研究的热点问题之一。 1。2问题来源

在教学工作中,我们常常能遇到类似这样的题目:一所学校有n 种课程需要由学生来选修,学期结束后要对学生进行考试.显然,每个考生每场只能参加一门课程的考试。试问这次考试最少要进行几场？显然,不可以在同一个时间进行同一个学生所选修的两门课程的考试。当然，不会出现同一个学生的不同课程在同一个时间所进行的考试.我们可以把这样的问题归结为：在一个平面上取n 个顶点n v v v ,...,21分别来表示这n 门课程。如果有同学同时选择了课程i 和j ，则把

j i v v ,点之间连一条边,可以得到一个有n 个顶点的无向图G 。这样的问题可以看做给图G 的每一个顶点染色,并要求相邻的两个顶点染不同的颜色，求最少要进行几场考试，就是最少能用多少种颜色使得图G 的相邻顶点都有不同颜色。这样的问题就是顶点染色问题。有关顶点染色问题的形式有很多种，它们在实际应用中也都有着不同的用处。

图的染色问题也是由地图的染色问题延申而来的：用m 种颜色给地图染色，让地图上的每一个区域都有一种一种颜色，并使得相邻的地区颜色不同。

问题处理:如果把每一个地区看作一个顶点,把相邻两个地区用一条边连接起来，就能够把一个区域图看作一个平面图.例如，图1（a）所示的区域图可看作为图1(b）所表示的平面图.19世纪50年代，英国学者提出了任何地图都可以用4种颜色来染色的问题并称之为4色猜想。100多年之后,才由美国学者在计算机证明了这个问题，这就是著名的四色定理.例如，在图1中，把不同的区域用城市的名字来表示，所染的颜色用不同的数字来表示，则在图中表示了不同的地区用不同的染色来染色的问题。跟图的边着色问题一样，生活中的很多问题，也可以给它们建立一个模型并看作为图的顶点染色问题来处理。例如课程安排问题，电视频道分配问题，变址寄存器问题等等。1852年，格里斯注意到可以用4种颜色来为美国地图进行染色,使得相邻地区（有一段公共边界,不只一个公共点)有不同的颜色,进一步指出了四色猜想.

图1

1.3研究该课题的意义

在日常生活中，还有许多问题可以用彩虹顶点染色加以解决，比如电视频道分配问题,变址寄存器等，可以运用彩虹染色方法轻松解决,图的染色理论是图论中的重要内容，也是图论的起源之一。几百年来，很多的数学家们都为此花费了大量的心血去研究。迄今为止，图论的许多公开问题一直是专家学者们的钻研的重点题目.在生产管理、军事、交通运输、计算机网络等许多的领域图论的知识在其中都有着重要的应用，彩虹连接数在网络领域也有很多的应用.假设G代表

一个一个细胞网络，我们希望在管道的任意两个顶点之间能够传递消息，这要求每个链接上的顶点之间的路由都分配了一个不同的渠道（如不同的频率）。显然，我们希望使用不同渠道的数量降至最低，用彩虹染色的方法就可以解决这个问题。

2基本概念

2.1图论、染色问题的基本概念

图),(E V G =是一个二元组),(E V 使得2][V E ⊆，所以E 的元素是V 的-2元子集。并且认为V 和E 的交集为空集。图G 的顶点集合是V 中的各个元素，顶点的集合记作)(G V ；而图G 的边的集合为E 中的元素,边的集合记作)(G E .

一个图的阶就是图的顶点个数，记作G 。根据图的阶数，我们把图分为有限的、无限的、可数的等等，在本文中所研究的图，我们总是假定图是有限的，阶为n 的有限图，即G n =.此外,仅有一个顶点的图称为平凡图，即平凡图的阶1=n ，相反，阶1>n 的图称为非平凡图。

在无向图G 中，如果与顶点u 和v 相连接的无向边多于一条，则把这些边称作平行边，而平行边的条数我们称之为重数。自环是两端连接着同一顶点的边,既不含平行边也不含自环的图称为简单图.

图G 的边的集合中,每个元素对),(v u 为一对顶点构成的无序对,表示顶点u 和v 相关联的一条无向边，因此),(v u 和),(u v 是同一条边。若是图中所有的边都是无向边，这类图称为无向图.本文所研究用到的图均为有限的简单无向图. 假设有两个图G 和H ，如果两个图的顶点集有这样的关系,)(H V 是)(G V 的一个子集,边集)(H E 是)(G E 的一个子集，那么就称图H 是图G 的子图。