数学：《排列组合的应用题解法综述》()

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例析排列组合问题类型及解题常用方法

例析排列组合问题类型及解题常用方法排列组合问题是数学中的一个重要分支，广泛应用于概率论、统计学、组合数学等多个领域。

在解决排列组合问题时，我们需要明确问题类型，并选用适当的方法进行求解。

下面将介绍几种常见的排列组合问题类型及解题常用方法。

1.组合问题组合问题是在给定的元素集合中，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。

组合问题的典型例子有"从n个不同的元素中，选取m个元素的组合个数是多少"。

解题方法：1)使用组合数公式进行计算，公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中C表示组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。

2)利用递归方法求解，即对问题进行拆解，递归地求解子问题，然后将子问题的解合并得到原问题的解。

2.排列问题排列问题是将一组元素进行有序的排列，即考虑元素的顺序。

典型例子有"从n个不同的元素中，选择m个元素进行排列，有多少种不同的排列方式"。

解题方法：1)使用排列数公式进行计算，公式为P(n,m)=n!/(n-m)!，其中P表示排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。

2)利用递归方法求解，将问题分解成子问题，进行子问题的排列，然后按照不同的顺序进行合并，得到原问题的解。

3.重复元素的排列组合问题重复元素的排列组合问题是在给定元素集合中，包含有重复元素的情况下，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。

解题方法：1)使用重复组合数公式进行计算，公式为C'(n,m)=(n+m-1)!/(m!(n-1)!)，其中C'表示重复组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。

2)使用重复排列数公式进行计算，公式为P'(n,m)=n^m，其中P'表示重复排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。

4.包含条件的排列组合问题包含条件的排列组合问题是在给定一组元素和一组条件的情况下，选择满足条件的子集，并以不同的顺序进行排列。

排列组合问题解法综述

排列组合问题解法综述作者：张年良来源：《读写算》2012年第95期排列组合问题是数学中比较抽象的问题，对学生的逻辑思维能力有较高要求。

由于其解法往往是构造性的，因此方法灵活多样，不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难自检发现。

因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解题模型是必要的。

排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。

一、基础知识复习（1）两个原理的区别与联系定义做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法…，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法做一件事，完成它可以有n个步骤，做第一步中有m1种不同的方法，做第二步中有m2种不同的方法……，做第n步中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有定义从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组种数所有排列的的个数所有排列的的个数符号二、解题方法和思路（一）. 注意两个基本原理应用加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分类或分步处理。

例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有种结果；1个人通过，有种结果，……；n 个人通过，有种结果。

所以一共有种可能的结果。

解法2：用分步记数的原理。

第一个人有通过与不通过有两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。

所以一共有种可能的结果。

例2：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。

(完整版)解排列组合应用题的解法技巧

解排列组合应用题的解法•技巧引言：1、本资料对排列、组合应用题归纳为8种解法、13种技巧2、解排列组合问题的“16字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。

弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径（1）以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则（3）先不考虑附加条件，计算岀排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接（剔除）解法注：数量不大时可以逐一排出结果。

3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得岀的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得岀的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列,无序组合.（一）排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。

下面通过一些例题来说明几种常见的解法。

一.运用两个基本原理二.特殊元素（位置）优先三.捆绑法四.插入法五.排除法六.机会均等法七.转化法八.隔板法一.运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。

例1: n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有C0种结果；1个人通过，有c n种结果，……；n个人通过，有C；种结果。

所以一共有C： C n C：2n种可能的结果。

解法2 :用分步记数的原理。

第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。

所以一共有2n种可能的结果。

排列组合综合应用问题

④分为甲、乙、丙三组，每组4人；
⑤分为三组，每组4人。
练习1：有12 人。按照下列要求分配，求不同的分法种数。
答案
①C125.C74.C33
② C125.C74.C33
③ C125.C74.C33.A33
④C124.C84.C44
⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是 5人。
⑥C122.
C105.C55 A22
1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出
01
平均分配。这样分配问题就解决了。结论：给出组名(非平均中未指明各组个数）的要在未给出组名的种数的基础上，乘以组数的阶乘。
3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是
02
例2：求不同的排法种数。 ①6男2女排成一排，2女相邻； ② 6男2女排成一排，2女不能相邻； ③4男4女排成一排，同性者相邻； ④4男4女排成一排，同性者不能相邻。
×××× a;
说明：在解题过程中，有时用“排一排”会使思路更清楚。 “具体排”是一种好方法，它是把抽象转化为具体的一种思维方法
分析： ①由2女捆绑成一人与6男全排列,再把2女全排列，有A77.A22种 “捆绑法”
②把6男2女8人全排列，扣去 2 女“ 相邻”就是2女“ 不相邻”，所以有A88-A77.A22种。“排除法”
② 还可用“插空法”直接求解：先把6男全排列，再在6男相邻的7个空位中排2女，所以共有A66.A72种.
02
直接法：先组：分三类。第一类，没有甲、乙，有C54种；第二类，有甲无乙或有乙无甲，有 2C53种；第三类，既有甲又有乙。有C52种。
03
引例（曾经作过的题）： 4名运动员出组成4×100米接力队，参加校运会，其中甲，乙两人不同时跑中间两棒的安排方法有多少种？

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以整治四哥壹番，但碍于太子出席了婚宴，太子没有发话，各位兄弟也都不敢造次，即使暗地里磨拳头擦掌，但表面上仍然按部就班地你来我往喝着喜酒。宴过三巡、菜过五味，太子爷喝完五弟、八弟、九弟的轮番敬酒，好不容易歇了口气，十弟、十二弟又来了。太子实在是招架不住：“今天是四弟的喜酒，又不是本王的酒，各位弟弟们怎么都搞错了？”说着，他转回身来，意欲让四弟替他代酒，结果壹看，新郎居然不在座位上，放眼望去，也不在宴客大厅里，这四弟去了哪儿了？“四弟呢？今天他是主角，怎么这么半天不见了人影？”太子爷诧异而又玩味地问着坐在他右手的三阿哥。“不会是四哥心急，趁着兄弟们喝酒，先会新娘子去了吧？” 十四阿哥壹脸不以为然的神情。因为与四哥是同父同母的亲兄弟，十四阿哥平日里说起话来从来都是无所顾忌，此时也壹如往常，脱口而出，虽然这个回答不过是他的胡乱猜疑而已。“就你满嘴胡嘞，四哥是什么人？美色当前，眼都不眨壹下，怎么可能这么点儿时间都等不及？”十三阿哥自幼与四哥交好，此时四哥不在，遭太子爷的查岗，又逢十四弟不负责任地乱说壹气，自是要挺身而出、尽力维护。“我看十四弟说得也有道理，否则四弟怎么会这么半天还不见人影？若是更衣，这时间也太长了吧。”三阿哥不露声色地插了壹句，既是回答了前面太子爷的问题，又表明了是赞同十四弟的猜测。“这向皇阿玛亲请的侧福晋就是不壹样啊！早知如此，赶明儿，我也向皇阿玛去求个小福晋回来。”“九弟，你那壹堆小福晋哪个不是你自己弄进府里的？难不成还是别人硬塞给你的？”“那也不是皇阿玛亲赐的啊！”……此时的四阿哥，正在离宴席不远的清晖阁旁，独自失神地面对着壹湖月色涟漪。多少天了，自从接到赐婚圣旨的那壹天起，他那无以倾诉的悲伤就像壹座大山，重重地压在他的心头，日复壹日，他根本不知道，这么多个日日夜夜，是如何度过来的。今天，那铺天盖地的红锦、红缎、红绸、红幕……，无时不刻地刺入他的双眼，这漫天的红色，就是他心头滴出的泪血！可是，他还有那么多的宾客要应对，他还要表不改色地做好他的雍亲王爷。此时此刻，唯有强压下心中的悲愤，向着东南方向，郑重地发下誓言：“盈儿，这壹切本应该都是你的，今日是爷负了你，来日，爷壹定无数倍地报偿，爷，说话算话……”“爷，太子爷正找您呢，各位爷见不到您，都乱了套啦！”说话的是王爷的贴身奴才――秦顺儿。壹听此言，他才猛然间发觉，自己出来的时间太长了。刚刚在宴席上，心情压抑得喘不上气来，就借更衣的机会，到这里来排遣，没想到，心绪飘得这么远，时间过得这么快。“哟，四弟这是去了哪里？”太子爷眼见着四弟重新坐回宴

排列组合的应用题解法

2 1 6 2
5 5 7 7 11 11 13 11 13 13 11 15 11 13 13 5 5 7 7 11
解：因为从六个数字中任选两个作为分子分母的分数中，其中真分数出现的机会与出现假分数的机会是均等的，因此真分 P 数的个数为个。 ②5名运动员参加100米决赛，如果每人到达终点的顺序不相同, 2P 5 答 : 1 5 问甲比乙先到达终点的可能有几种? 小结：在排列或组合中若某两个元素出现的机会是相同的，在求解中我们只要求出它的全体，那么，所求种数为全体的二分之一，这种方法叫机会均等法。（概率法）
例1：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆中，问有多少不同的种法？
解一：分两步完成； 3 第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置有P 5 种排法 4 3 4 第二步排其余的位置：有P 种排法共有 P 4 5 P 4 种不同的排法 2 有P 解二：第一步由葵花去占位： 4 种排法第二步由其余元素占位： 5 2 5 有P 种排法共有 P 5 4 P 5 种不同的排法
5
例3：某工厂制造的一台机器要按装一排8个不同的按钮，其中 3个方按钮一定要装在一起，而且红色方钮必在另两方钮中间，有多少种装法？【图示】
解：先把三个方按钮排好，有 P22 种排法，然后把三个方按钮“捆绑”在一起看成一个按钮，与其余5个按钮相当于6个按 P66 所以共有 P66 P22 1440 种装法。钮排成一排，有种排法，
小结：在中学数学中，解答数学问题常用的数学思想方法很多如数形结合思想；分类讨论思想；化归的思想……等等。而我们以上的：特殊元素（位置）分析法，插入法，捆绑法，排除法，转化法，机会均等法，隔板法都是运用这些思想在解排列组合应用题时所得到的各种解法，当然，这些解法要灵活运用，而且有时要联合运用才能把问题解决。

(完整版)解排列组合应用题的解法技巧(可编辑修改word版)

n n nn 解排列组合应用题的解法·技巧引言：1、本资料对排列、组合应用题归纳为 8 种解法、13 种技巧2、解排列组合问题的“16 字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。

弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径(1) 以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2) 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则.(3) 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法注：数量不大时可以逐一排出结果。

3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．（一）排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。

下面通过一些例题来说明几种常见的解法。

一. 运用两个基本原理二. 特殊元素（位置）优先三. 捆绑法四. 插入法五. 排除法六. 机会均等法七. 转化法八. 隔板法一. 运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。

例 1：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法 1：用分类记数的原理，没有人通过，有 C 0 种结果；1 个人通过，有 C 1 种结 n n果，……；n 个人通过，有C n 种结果。

所以一共有C 0 + C 1 + +C n = 2n 种可能的结果。

排列组合问题的解题技巧

排列组合问题的解题方略排列组合知识，广泛应用于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在生产生活中，解决许多实际应用问题。

同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。

因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作一点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。

首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:1．使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。

运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分类或分步处理。

例1．n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类计数的原理：没有人通过，有C n 0种结果；1个人通过，有C n1种结果，……；n 个人通过，有C n n 种结果。

所以一共有C C C n n n n n 012+++= 种可能的结果。

解法2：用分步计数的原理：第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n 个人也是这样。

所以一共有2n 种可能的结果。

2．排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。

3．复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。

4．按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。

排列组合应用题的解题技巧

2016年第44期（总第308期）N排列组合应用题是高考常见题型，内容独特，解题方法灵活多变，学生普遍感到难以把握，不知怎样解，下面介绍几种常见的解题方法与技巧。

一、优先法解排列组合的应用问题应遵循先特殊后一般，先选元素再排列的原则。

即对于特殊元素应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；对于特殊位置应先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；这样就会保证分类时既不重复也不遗漏。

例1：某校从8名老师中选派4名老师同时去4个边远地区支教（每地1人）,其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有多少种？解：按特殊元素甲、乙进行分类。

甲和乙不同去分为三种情况：（1）甲去乙不去，（2）甲不去乙去，（3）甲、乙都不去。

当甲去乙不去时，丙去，此时不同的选派方案有（种）当甲不去乙去时，丙不去，此时不同的选派方案有（种）当甲、乙都不去时，丙不去，此时不同的选派方案有（种）所以不同的选派方案共有240+240+120=600（种）二、对等法有些限制条件的肯定和否定是对等的，各占全体的二分之一，还有“顺序一定”与“平均分组”问题要用除法，即:判断限制条件中的各种可能出现的情形是否对等的，也就是各种情形出现的概率是否相等。

例2：（1）期中考试安排科目8门，语文要排在数学之前考，共有多少种安排顺序？（2）四名男生和三名女生按要求站成一排，三名女生顺序一定，则有几种排法?（3）将6本不同的书平均分成3堆，每堆2本，有几种分法?解：（1）不加任何限制，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文要排在数学之前考共有种安排顺序。

（2）7名学生的全排列有种，3名女生有种排序。

其中3名女生的每一种排序对应这7名学生的排法是相等的，所以若三名女生顺序一定有种。

（3）这是“无序均匀分组”问题，不妨记6本书为A、B、C、D、E、F,由于平均分成3堆，3堆书之间无序，所以由分步计数原理得到种分法中的(AB、CD、EF)，（AB、EF、CD ），（CD、EF、AB ），（CD、AB、EF ），(EF、AB、CD)，(EF、CD、AB)共种本质上只算一种，所以共有种。

排列组合问题解法总结

排列组合问题的常见解法一.元素相同问题隔板策略例1.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排．相邻名额之间形成９个空隙．在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法．注：这和投信问题是不同的，投信问题的关键是信不同，邮筒也不同，而这里的问题是邮筒不同，但信是相同的．即班级不同，但名额都是一样的．练习题：个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法 49C 2.100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C 二.环排问题直排策略如果在圆周上m 个不同的位置编上不同的号码，那么从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题．一个m 个元素的环形排列，相当于一个有m 个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m 个元素的环形排列对应着m 个直线排列，设从n 个元素中取出m 个元素组成的环形排列数为N 个，则对应的直线排列数为mN 个，又因为从n 个元素中取出m 个元素的排成一排的排列数为mnA 个，所以mn mN A=，所以m nA N m=．即从n 个元素中取出m 个元素组成的环形排列数为m nA N m =．n 个元素的环形排列数为!(1)!n n A n N n n n===-例2. 8人围桌而坐,共有多少种坐法解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(81)!7!-=种排法，即7!7654321840=⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 种七班练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 三.多排问题直排策略例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先排前４个位置，２个特殊元素有24A 种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种排法．（排好后，按前４个为前排，后４人为后排分成两排即可）练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346解：由于甲乙二人不能相邻，所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第１，１２位置是排甲乙中的一个时，与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除３个，所以共有排列11116181417108238346C C C C +=+=四.排列组合混合问题先选后排策略例4.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种五.小集团问题先整体后局部策略例5.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个（注：两个偶数２，４在两个奇数１，５之间，这是题意，说这个结构不能被打破，故３只能排这个结构的外围，也就是说要把这个结构看成一个整体与３进行排列）．解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种六.正难则反总体淘汰策略例6.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法．这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555C C C +．再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C C C +-练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种七.平均分组问题除法策略例7. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法解: 分三步取书得222642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则222642C C C 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22264233C C C A 种分法．练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法（544138422C C C A ）名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法（1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______（2224262290C C A A =）八. 合理分类与分步策略例8.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员．选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类计数原理共有 22112223353455C C C C C C C ++种．解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。

排列组合题型及解题方法

排列组合题型及解题方法
排列组合是数学中的一个重要概念，用于计算对象的不同排列或组合的数量。

在解决排列组合问题时，可以使用以下几种常见的方法：
1. 计数法：根据问题的条件，逐步计算出排列或组合的数量。

例如，如果要求从n个不同的元素中选取r个元素进行排列，可以使用计数法计算出排列的数量为n(n-1)(n-2)...(n-r+1)。

2. 公式法：排列组合问题有一些常用的公式，可以直接使用这些公式计算出排列或组合的数量。

例如，排列的数量可以使用阶乘计算，组合的数量可以使用组合公式计算。

3. 递归法：对于一些复杂的排列组合问题，可以使用递归的方法进行求解。

递归法的基本思想是将问题分解为更小的子问题，并通过递归调用解决子问题。

4. 动态规划法：对于一些具有重叠子问题的排列组合问题，可以使用动态规划的方法进行求解。

动态规划法的基本思想是将问题划分为多个阶段，并通过保存中间结果来避免重复计算。

在实际应用中，排列组合问题常常与概率、统计、组合优化等领域相关。

解决排列组合问题需要灵活运用数学知识和方法，同时也需要具
备一定的逻辑思维能力。

排列组合五类应用题的常见解法

排列组合五类应用题的常见解法排列组合应用题是高考必考题。

由于有些排列组合应用题比较抽象，题型繁多、解法独特，再加上限制条件，往往容易发生重复和遗漏现象，历来是考生失分较多的一部分内容。

解决这一问题的有效方法是对常见题型及求解方法加以归类，反复训练，形成模式便能在考试中得心应手，水到渠成。

下面就五类问题的常见解法综述如下。

一、排除法解立体几何中的排列组合问题立体几何中的组合问题，大多带有附加条件。

因此，这类问题正面分类讨论求解，不仅麻烦，还最容易漏解。

若根据立体几何的特点，从反面入手，从总体数目中排除不合乎条件的方法数，通过排除的间接方法求解，可以减少失误，提高解题效率。

例1、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有( )A、150种B、147种C、144种D、141种(1997年全国高考题)解：从10个点中取4个点的取法有C种，其中四点共面的分为三类：①从四面体的每个面上的6点之中取4个点，有4C种；②不同在一个面上两棱中点连线都平行第三边棱(如图中SF‖CD，HR‖CD)，可确定一个平面SFRH，这样的平面有3个；③一条棱上的中点与此点所在面的对棱上的三点可确定一个平面(如图中平面HAFD)有六个中点，这样的平面有6个。

故符合题设条件的取法有：C-4C-3-6-141种。

故选(D)。

例2、空间有10个点，其中有4个点共面但不共圆，此外不再有4个点共面，以其中1点为顶点，过另外3个点的圆为底面构成圆锥(不一定是直圆锥)，这样的圆锥最多有多少个？解：选3个点构成底面有C种，从余下7点再选一个点为顶点有C种。

于是共有C C 种，再除去4个点共面不能构成的圆锥数C种。

所以，这样的圆锥最多有C C-C=846个。

例3、以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有( )A、70个B、64个C、58个D、52个(1990年全国高考题)解：若不考虑四点共面的情况，共有C个，但正方体的六个面和六个对角面的四个顶点都不能构成四面体，因此，四面体共有C-12=58个，故选(C)。

排列组合题型方法总结

排列组合题型方法总结排列组合是高中数学中的一个重要概念，是组合数学的一部分。

在实际问题中，排列组合经常用于解决具体的计数问题。

在本文中，我将总结一些常见的排列组合题型及解题方法。

一、排列题型排列是指将一组元素按照一定的顺序进行排列，其中每个元素只能使用一次。

在排列题中常见的有以下几个题型：1. 线性排列：将不同的元素排成一列，求出排列的总数。

解题方法：根据要求确定对应的元素个数，并使用乘法法则计算排列的总数。

2. 圆排列：将不同的元素排成一个圆，求出排列的总数。

解题方法：将圆转成线性排列问题，然后使用相应的公式计算总数。

3. 重复排列：将一组相同的元素排列，求出排列的总数。

解题方法：根据相同元素的个数和元素总数使用组合计数的方法求解。

4. 位置固定：将一组元素排列，其中有一些元素的位置是固定的，求出排列的总数。

解题方法：先将固定位置的元素排列，再将剩余的元素排列，最后将两部分排列的总数相乘。

二、组合题型组合是指从一组元素中选取一部分元素进行组合，其中元素的顺序不重要。

在组合题中常见的有以下几个题型：1. 选取固定元素数量：从一组元素中选取固定数量的元素，求出组合的总数。

解题方法：根据选取数量使用排列计数的方法求解，然后除以固定元素的排列数。

2. 选取至少/至多元素数量：从一组元素中选取至少或至多数量的元素，求出组合的总数。

解题方法：分别计算满足要求的最少元素数量和最多元素数量的组合数，再将两者相加。

3. 选取按顺序：从一组元素中按照一定的顺序选取元素，求出组合的总数。

解题方法：根据顺序确定每个元素的选取范围，然后使用乘法法则计算总数。

4. 选取排除元素：从一组元素中选取一部分元素，其中不能包含某些特定的元素，求出组合的总数。

解题方法：先计算从总元素中选取的组合数，再计算不包含特定元素的组合数，最后将两者相减。

三、应用题在实际问题中，排列组合常常用于解决具体的计数问题。

下面列举几个常见的排列组合应用题：1. 手环问题：将不同颜色的手环依次戴在手上，求出不同戴法的总数。

排列与组合问题的解题思路与示例解析

排列与组合问题的解题思路与示例解析在数学中，排列与组合是一类常见的问题类型，需要运用一定的思维方法和技巧来解决。

本文将介绍一些解题思路和示例解析，帮助读者更好地理解和应用排列与组合的知识。

一、排列问题排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定顺序进行排列的方式。

解决排列问题的关键在于确定元素的选取顺序和确定每个位置的元素个数。

1.1 顺序问题在解决排列问题时，首先需要确定元素的选取顺序。

例如，有6个人参加一场比赛，需要确定他们的名次。

这是一个顺序问题，因为名次的不同会导致结果的不同。

解决这类问题时，可以使用乘法原理。

即，第一个位置有6种选择，第二个位置有5种选择，以此类推，直到最后一个位置有1种选择。

因此，总的排列方式为6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720种。

1.2 重复元素问题在一组元素中，如果存在重复的元素，解决排列问题时需要考虑重复元素的影响。

例如，有4个字母A、B、C、D，需要排列成3位的字符串。

解决这类问题时，可以使用分情况讨论的方法。

首先，考虑第一位的选择，共有4种选择。

然后，考虑第二位的选择，由于第一位已经选择了一个元素，所以只剩下3种选择。

最后，考虑第三位的选择，由于前两位已经选择了两个元素，所以只剩下2种选择。

因此，总的排列方式为4 × 3 × 2 = 24种。

二、组合问题组合是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑元素的顺序。

解决组合问题的关键在于确定元素的选取个数和确定元素的组合方式。

2.1 选取个数问题在解决组合问题时，首先需要确定元素的选取个数。

例如，有8个人参加一场晚会，需要从中选取3个人组成一个小组。

解决这类问题时，可以使用组合数的公式。

即，从8个人中选取3个人的组合数为C(8,3) = 8! / (3! × (8-3)!) = 56种。

2.2 重复元素问题在一组元素中，如果存在重复的元素，解决组合问题时需要考虑重复元素的影响。

排列组合应用题常用解法

排列组合应用题的常用解法包括以下几种：
1. 直接计算法：根据题目中的要求，直接使用排列组合公式计算即可。

2. 分步计算法：当题目中的要求比较复杂时，可以将问题分解为几个简单的步骤，然后逐步计算。

3. 构造模型法：将问题转化为一个数学模型，然后进行求解。

4. 排列组合思想法：利用排列组合的基本原理和性质，结合题目的实际情况，进行推理和分析，最终得到答案。

以上是排列组合应用题的常用解法，具体使用哪种方法取决于题目的难度和情况。

排列组合应用题七大解法摭谈

方法。
１．插入法
于是一共有ｃ６４种走法。
４．剩余法
例１排一张有８个节目的演出表，其中有３个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？解：先排５个不是小品的节目，有Ａｉ种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有５个空隙，再将３个小品插入进去，有Ａ；种排法，所以一共有 × Ａ７２００种排法。例２学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票ｌ２张。８个学生，４个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析：此题涉及的是不相邻问题，并且对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。解：先排学生共有Ａ：种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有７个空档可插，选其中的４个空档，共有Ａ；种选法。根据乘法原理，不同的坐法共有Ａ；种。
共有种。
６．多元问题分类法
分析：此题若直接去考虑的话，就会比较复杂。但如果我们将其转换为等价的其他问题，就会显得比较清楚，方法简单，结果容易理解。解：此题可以转化为“ 将１２个相同的白球分成８份，有多少种不同分法” 的问题，因此需把这１２个白球排成一排，在１１个空挡中放上７个相同的黑球，每个空档最多放一个，即可将白球分成８份，显然有Ａ种不同的放法，所以名额分配方案有Ａ种。注：捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条件的排列问题。