质点动力学例题

dx dt
x
dx
t F0t 2 dt
0
0 2m
x F0 t3 6m
竖直方向有 运动轨迹为
Fy may 0
x
F0
6mv
3 0
y3
y v0t
例2 设一物体在离地面上空高度等于地球半径处由静止落下。
求 它到达地面时的速度（不计空气阻力和地球的自转）。
解
以地心为坐标原点，物体受万有引力
在可地得面：附近g有Rr22mGMRmm2a
求 物体对斜面的压力和物体相对斜面的加速度。
பைடு நூலகம்
解 方法（一）取地面为参考系
设物体的加速度为 a a ar a0
mg
N
ma
m(ar
a0 )
a0
m
ar
x 方向 mg sin m(ar a0 sin )
y 方向 N mg cos ma0 cos
N m(g a0)cos ar (g a0)sin
所受链条的作用力？
解设
ml
l
ml L
h
链条在此时的速度
v 2g(l h)
dm
根据动量定理
fdt 0 (vdt)v
地面受力
f vdtv v 2 2m(l h)g f '
dt
L
F
f ' ml g
m (3l L
2h)g
例11一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块, 已知两木块的质量分别为 m1, m2 ，子弹穿过两木块的时间 各为 t1, t2 ，设子弹在木块中所受的阻力为恒力F
求 车运动的速度。
解 取车和沙子为研究对象，地面参考系如图，t = 0 时 v = 0
f d (mv) dmv m dv
f
dt
dt
dt
m
f m dv v
x
mM t
f
dt v (M
t) dv
dv d t
f v M t
dt
v
t
d(ln( f v)) d(ln(M t))
0
0
ln f v ln M t
v0 2gR 2 9.8 6370103 =11.2 km·s-1
这个速度称为第二宇宙速度。需要指出，在上面的分析 中忽略了空气阻力，同时也未考虑地球自转等影响。
例10 质量为 m 的匀质链条，全长为 L，
开始时，下端与地面的距离为 h , 当链
条自由下落在地面上时
Lm
求 链条下落在地面上的长度为 l ( l<L )时，地面
例1设一高速运动的带电粒子沿竖直方向以 v0 向上运动，从
时刻 t = 0 开始粒子受到 F =F0 t 水平力的作用，F0 为常
量，粒子质量为 m 。
求 粒子的运动轨迹。
y
解 水平方向有 Fx F0t max
v0
m
ax
dv x dt
v 0
x
dv
x
t F0t dt 0m
o
F (t)
x
vx
F0t 2 2m
x2
dv dv dx v dv dt dx dt dx
vdv
gR2
dx x2
设飞船在地面附近(x≈R)发射时的初速度为v0，在x处的速度为v
v
vdv
v0
x R
gR2
dx x2
v2
v02
2 gR 2
1 R
1 x
飞船要脱离地球引力的作用，即意味着飞船的末位置x趋于无 限大而v≥0。把x→∞时v=0代入上式，即可求得飞船脱离地球 引力所需的最小初速度(取地球的平均半径为6370 km)为
，到相距为 r 时。
求 它们之间的相对速率为多少？
解 由动量守恒，机械能守恒
mv1 mv2 0
1 2
m1v12
1 2
m2v
2 2
G m1m2 r
0
m1 v1
• O
m2 v2
x
解得
v1 m2
2G (m1 m2 )r
v2 m1
2G (m1 m2 )r
相对速率 v12 v1 v2 m2
, 已知链条与水平面间静摩擦系数为0 , 滑动摩擦系数为
飞船能脱离地球引力所需的最小初速度(不计空气阻力及其它 作用力）
解：选宇宙飞船为研究对象。设地球为均质球，地心为原点
，取x坐标轴向上为正。飞船只受地球引力作用，根据万有
引定力定律，地球对飞船引力的大小为
Mm F G0 x2
Q G0 gR2 M
mgR2 F x2
由牛顿第二定律得
dv mgR2
m dt
O
(l y)2g v 2
v 2 yg 2(l y)g yg
N 3g(l y)
例4 以初速度v0 竖直向上抛出一质量为m 的小球，小球除受 重力外，还受一个大小为αmv 2 的粘滞阻力。
求 小球上升的最大高度。
解 f m(g v 2) m dv
dt
dv g v 2
dt
dv dv dy dv v dt dy dt dy
求 子弹穿过后， 两木块各以多大速度运动
解 子弹穿过第一木块时，两木块速 度相同，均为v1
Ft1 m1 m2 v1 0
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
Ft2 m2v2 m2v1
解得
v1
Ft1 m1 m2
v2
Ft1 m1 m2
Ft2 m2
例12 如图所示，两部运水的卡车A、B在水平面上沿同一方向运 动，B的速度为u ，从B上以6kg/s的速率将水抽至A上，水 从管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻 t 时，A车的质量为M，速度为v 。
解 F T sinθ 0
T cosθ mg 0
F mg tanθ
A
F
dr
F
cosθ
ds
mg tanθ cosθ ds θ0 mg tanθ cosθ dθ
0
Lθ T
F
G
y
1 mgLcosθ 0
x
例18 已知 m = 2kg , 在 F = 12t 作用下由静止做直线运动.
sin
sin
sin
sin 41
72 41
0.71
即碰撞后 粒子的速率约为初速率为71%。
例16
质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质
点的速度为 v 4t 2i16 j ,开始时质点位于坐标原点。
求 在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。
解
vx
dx dt
求 时刻 t ，A 的瞬时加速度
解 选A车M和t时间内抽至A
A
v
B
u
车的水m为研究系统，
A
水平方向上动量守恒
Mv mu (M m)v
v Mv mu M m
v v v mu v
M m
v m u v
M
a lim v dm u v 6 u v
t0 t dt M M
例13 在恒星系中，两个质量分别为 m1 和 m2 的星球，原来为 静止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近
求 下落到任意长度 y 时刻，给地面的压力为多少？
解 在竖直向上方向建坐标，地面为原点（如图）.
取整个绳为研究对象 设压力为 N
N gl dp p p yv
y
dt
N gl d( yv) dy v gt
dt dt
y
l
d( yv) dyv dv y v 2 yg dt dt dt
f
M
v f ( M 1)
Mt
例6 质量分别为 m1 和 m2 的两物体用轻细绳相连接后，悬挂在 一个固定在电梯内的定滑轮的两边。滑轮和绳的质量以及
所有摩擦均不计。当电梯以 a0=g/2 的加速度下降时。
求 m1 和 m2 的加速度和绳中的张力。 解 取电梯为参考系
对m1 有 m1g T m1a0 m1a'
o
（a）
x
（b）
例题 2-6图
解：直接用动量定理的矢量形式求解。垒球被击中前后的动量
和 p1 mv的1 矢量p2关系m。v2
Ft、mv2、mv1 组成矢量三角形。由题意可知
mv1 mv2 mv
a 1 30
2
F t 2mv cos
F 2mv cos
t
2 0.14 40 cos 30
4t 2
vy
dy dt
16
dx 4t2dt
y 16t
y 16时 t 1 y 32时 t 2
Fx
m dv x dt
80t
Fy
m dv y dt
0
A
Fxdx Fydy
2320t3dt 1200 J
1
例17
已知用力
F 缓慢拉质量为m
的小球，F保持方向不变
求 = 0 时，F 作的功。
求 t = 02s内F 作的功及t = 2s 时的功率。
解 F 6t dv
m
dt
v 3t2 dx dt
dx 3t2dt
A
x
Fdx
t F 3t2dt
236t3dt 144J
0
0
0
P Fv 12t 3t2 288W
例19 一轻弹簧的劲度系数为k =100N/m，用手推一质量 m =0.1 kg 的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x1=0.02m处, 如图所 示。放手后，物体沿水平面移动到x2=0.1m而停止。
求 物体与水平面间的滑动摩擦系数。
解 放手后，物体运动到 x 1 处和弹簧分离。在整个过程中，
弹簧弹性力作功
1 2
kx12
摩擦力作功
mgx2
根据动能定理有
1 2
kx12
mgx2
0
0
x1 x2
kx12 100 0.022 0.20
2mgx2 2 0.1 9.8 0.1
例20 长为l 的均质链条，部分置于水平面上，另一部分自然下垂
1.2 103
8.1103 (N)
垒球受到棒的平均打击力约为垒球自身重力的5900倍 ，说明打击力是多么强大！
例题15 粒子是氦原子核。在一次粒子散射实验中，粒 子和静止的氧原子核发生“碰撞” 。实验测出，碰撞后 粒 子沿与入射方向成 72 角的方向运动，而氧原子核沿与 粒 子入射方向成 41角 的方向运动。求碰撞前后 粒子的速
mg m dv
dt
F
G
Mm r2
r0
GM gR2
dv dt
g
R2 r2
dv dt
dv dr
dr dt
v
dv dr
g
R2 r2
v 0
vdv
gR2
r 2R
drr2v
2
2gR2 r
gR
v 2gR2 gR r R v gR r
例3 一柔软绳长 l ，线密度 r ，一端着地开始自由下落.
率比。
解：令 粒子入射方向与x轴平行
，由动量守恒定律得
m v 0 m v Mv
y
v
v 0
m M
m v0 m v cos Mv cos
o
v 图2-12 粒子散射
x
mava sin Mv sin 0
由以上两式解得
v 0
v
cos
v sin sin
cos
v
sin
sin
v v 0
1 d(v 2 ) g α v 2 2 dy
(
d(v 2 )
g v
2
)
1
d(g v 2 ) (g v 2 )
2dy
y
H
1
0 d(ln(g v 2)) 2
H
dy
v0
0
v0
H
1
ln
(
g
v
2 0
)
2
g
mg fr
例5 装沙子后总质量为M 的车由静止开始运动，运动过程中合
外力始终为 f ，每秒漏沙量为 。
ln mg F0 kv k t
解出小球的
v
mg
F0
(1
kt
em
)
mg F0
m 速度
k
v
mg
F0
(1
kt
em
)
k
v
v vm
mg F0 k
Q v dx dt
dx
mg
F0
kt
(1 e m
)dt
k
x x0
mg F0 k
m t
mg F0 k2
kt
(e m 1)
例题9 由地面沿铅直方向发射质量为m的宇宙飞船。试求宇宙
解： 该题为已知力
求运动。以小球m为研究对象，画出受 力图，并以小球运动直线为x轴，取其 一点为原点O。由牛顿定律可写出
O
F
F0
v
G F0 f ma
mg
F0
kv
m
dv dt
x
o
即 d(mg F0 kv) k dt
mg F0 kv
m
v d(mg F0 kv)
tk dt
0 mg F0 kv 0 m
a' O' a'
T
对m2 有 m2g T m2a0 m2a'
T
m2g
a'
m1 m1
m2 m2
(g
a0
)
T
2m1m2 m1 m2
(g
a0 )
a1 a'a0
m1g
a0
a2 a'a0
例7 一光滑斜面固定在升降机的底板上，如图所示，当升降机以 匀加速度a0 上升时，质量为m 的物体从斜面顶端开始下滑。
(m1
2G m2 )r
m1
2G (m1 m2 )r
例题14 一个质量 m 0.14kg 的垒球，以v 40m s1的速率沿水平 方向飞向击球手，被击中后，又以相同的速率沿 60 的仰
角方向飞出。设球和棒的作用时间 Δt 1.2 ms，求垒球受到
棒的平均打击力。
y
v2
F
v1
mv1
FΔt
mv2
y
a0
N
mg
ar
x
方法（二） 取升降机为参考系
惯性力
F0
ma0
mg
N
F0
mar
x 方向 N sin mar cos
y
N
mg
ar x
ma0
y 方向 N cos mg ma0 mar cos
N m(g a0)cos
ar (g a0)sin
例题8 物体在黏滞流体中的运动。质量为m的小球在重力G（ mg）、浮力F0、阻力f=－kv（其中k是一个比例常数，它与小 球的尺寸、材料与流体的黏度有关，而v是小球的运动速度） 的作用下竖直下降。试求小球的速度、位置随时间变化的函 数关系。