曲率挠率Frenet公式与标架

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曲率挠率Frenet公式与标架

而这由 B (s) = N ，即可得证． □
定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的挠
率 (s) 与 *(s) 总相等．
证明与上一节定理2的证明相同，对曲线 C* 各相应量的记号总打星号表示，并设矩阵 ASO(3) 和位置向量 OP = (b1 , b2 , b3) ，使
适用于一般场合下利用已知知识参与解决问题的过程，特别适用于理性的数量关系问题的求解过程，当然包括适用于对曲面几何问题的讨论．具体的例子，读者可以回头总结前面的相关例题、定理
和公式的证明过程，直至理论框架．典型的使用过程，也可以参阅第七章§6中球面曲线的局部特征定理及其证明．本章§7中也经常使用这些步骤．
二．Frenet公式
按照标架运动的一般规律，对于无逗留点的曲线 r ，其Frenet标架关于曲线弧长 s 的运动公式（作微小位移时的变换公式）现在已经可以确定为
dr = T ds ；
00ds
ds
0
ds

d00 s

定义1 对于无逗留点的曲线 C ，称 = B N 为曲线的
挠率函数，其中 B 为从法向量对弧长的导数；当挠率非零时，称其倒数为挠率半径．
可证（习题2.4.1）挠率在容许参数变换下不变．
一．挠率
B ∥N ．
对于无逗留点的曲线 C ，称 = B N 为曲线的挠率
一．挠率
定理1 对曲率非零的曲线 C 而言，C 为平面曲线的充要条件是其挠率函数恒等于零．
定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s)

空间曲线的曲率挠率

. 故曲率中心的半径向量为可以求出密切平面为
于是曲率圆为
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设曲线方程为
曲率半径及曲率中心设点M 处的曲率圆方程为
且
求曲线上点M 处的
的坐标公式 .
y
D( , )
故曲率半径公式为
R
1
(1
y2
)
3 2
y
, 满足方程组
密切平面：法平面：从切平面：
r(s)
v (R
rv)
v
0
v (R
rv,v,
v
)
0
密切平面
v (R
rv)
v
0
α(s)
而由三个基本向量(R和v上面rv)三个v平面0所构成的图形叫做曲线的基本三从棱切形平面。
C β(s)
O
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曲线。
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1.曲线的自然参数
自然参数：我们知道曲线有不同的参数表示，能否找一种参数使研究曲线很方便呢？回答是肯定
的这就对是于以光弧滑长曲s线为参r(t数) （(x自(t然), y参(t数), z）(t)), t A R
若曲线方程为
x ( y), 若曲线由参数方程
x x(t)
y
y(t)
x
则 (1 x 2 )32
xy xy
给出, 则 ( x2 y2 )32
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时域下空间曲线曲率及挠率问题的研究

收稿日期：2019-11-24修回日期：2020-01-17作者简介：许飞（1981-），男，河北张家口人，硕士研究生。

研究方向：微分几何。

摘要：空间域下拦截弹制导问题可转化为空间曲线进行研究，由空间曲线论的基本定理可知该曲线的曲率和挠率能够完全确定曲线的性态，由此可通过曲率和挠率的调整来确定拦截弹的制导路径，从而实现对目标弹的有效拦截，基于此思想，将几何中弧长域下的Frenet 公式转化为时域下的Frenet 公式，并建立了视线运动方程和弹目相对运动方程，在此基础上推导了曲率和挠率的指令公式，相对于比例导引律及大量的现代制导律，采用几何的方法更加直接，为拦截弹制导及相关问题的进一步研究提供了思路。

关键词：曲率，挠率，Frenet 公式，制导律中图分类号：TJ013；O186.1文献标识码：ADOI ：10.3969/j.issn.1002-0640.2021.01.019引用格式：许飞，刘翠香，闵祥娟，等.时域下空间曲线曲率及挠率问题的研究［J ］.火力与指挥控制，2021，46（1）：108-111.时域下空间曲线曲率及挠率问题的研究许飞，刘翠香，闵祥娟，单彩虹，曹贻鹏（陆军装甲兵学院基础部，北京100072）Research on Curvature and Torsion of Space Curve in Time DomainXU Fei ，LIU Cui-xiang ，MIN Xiang-juan ，SHAN Cai-hong ，CAO Yi-peng （Basic Education Department ，Army Academy of Armored Force ，Beijing 100072，China ）Abstract ：The guidance problem of interceptor missile in space domain can be transformed intothe study of space curve.According to the basic theorem of space curve theory ，the curvature and torsion of the curve can completely determine the properties of the curve.Thus ，the guidance path of interceptor missile can be determined by adjusting curvature and torsion ，so as to achieve effective interception of target missile.In this paper ，the Frenet formula in the arc-length domain of geometry is transformed into the Frenet formula in the time domain ，and the sight motion equation and the relativemotion equation of missile and target are established.On this basis ，the directive formulas of curvature and torsion are pared with proportional guidance law and a large number of modern guidance laws ，the geometric method is more direct.It provides a way of thinking for the further study of interceptor missile guidance and related issues.Key words ：curvature ，torsion ，frenet formula ，guidance law Citation format ：XU F ，LIU C X ，MIN X J ，et al.Research on curvature and torsion of space curve in time domain ［J ］.Fire Control &Command Control ，2021，46（1）：108-111.0引言在战术弹道导弹拦截领域，传统的基于视线（LOS ）角速度的比例导引及其变形，以其易于实现、高效而得到广泛的应用［1-2］，其在本质上是在目标不机动、系统无延时、控制能量不受约束情况下产生零脱靶量和控制量的平方积最小的制导律［2］。

曲线的挠率和Frenet公式

r(t ) a(sin t , cos t ,0),
所以 (r, r, r) a2b,
b . a2 b2
注：方法二(弧长参数)及不变量公式.
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二、挠率
s 是弧长定理4.2 设曲线 r r (s) 的曲率 ( s) 和挠率 ( s ) 都不为零，
r 例求圆柱螺线 (t ) (a cos t , a sin t , bt ) 的挠率. 解 r(t ) (a sin t, a cos t, b), r(t ) (a cos t , a sin t ,0), | r(t ) | a2 b2 , r | a a2 b2 , r r (absin t, ab cos t, a2 ) a(b sin t, b cos t, a), | r
由条件设曲线所在的球面半径是a球心是411求导得到412再求导利用frenet公式得413其中略去了自变量sdsds414将412两边平方可得由证明过程中的413第3式还可得dsds416在一般参数下挠率的计算公式
微分几何
第二章
曲线论
§ 2.4 曲线的挠率和Frenet公式
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注记. 由证明过程中的(4.13)第3式还可得
d 1 d 1 0. ds ds
（4.16）
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课外作业：
习题1(2, 4)，4，9,11(选)
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（4.9）
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二、挠率

空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式

空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式前言空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0k >时为直线,0τ=时为平面曲线.本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.1. 空间曲线的曲率和挠率的定义1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架给出2c 类空间曲线()c 和()c 上一点p .设曲线()c 的自然参数表示是(),r r s =其中s 是自然参数，得drdsr ==α 是一单位向量.α 称为曲线()c 上p 点的单位切向量.由于1=α，则⊥αα，即r r ⊥.在α上取单位向量==αr βαr， (1)β称为曲线()c 上p 点的主法向量.再作单位向量=⨯γαβ，γ称为曲线()c 上p 点的副法向量.我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架. 1.2 空间曲线的曲率我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角.设空间中3c 类曲线()c 的方程为().r r s =曲线()c 上一点p ，其自然参数为s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +∆.在p 、1p 两点各作曲线()c 的单位切向量()s α和()s s +∆α.两个切向量的夹角是ϕ∆，也就是把点1p 的切向量()s s +∆α平移到点p 后，两个向量()s α和()s s +∆α的夹角为ϕ∆.我们把空间曲线在p处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p的曲率.定义[]1空间曲线()c 在p 点的曲率为()lims k s sϕ∆→∆=∆，其中s ∆为p 点及其邻近点1p 间的弧长，ϕ∆为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角. 再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线()c 的切向量α上去，则有()k s =α.由于r =α，所以曲率也可表示为()k s r =.由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率. 1.3 空间曲线的挠率当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一），所以我们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）.现在设曲线()c 上一点p 的自然参数为s ，另一邻近点1p 的参数为s s +∆，在p 、1p 两点各作曲线()c 的副法向量()s γ和()s s +∆γ.此两个副法向量的夹角是ϕ∆(如图一).()s s γ+∆（图一）再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度” .把这个结果应用到曲线()c 的副法向量向量γ上去，得到lims sϕ∆→∆=∆γ，此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.根据（1）和曲率的定义，我们有()k s ===r ααβrα，即()k s =αβ. (2) 对=⨯γαβ求微商，有()()k s =⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯αβαβαβββαβαβγ，因而⊥αγ.又因为γ是单位向量，所以⊥γγ.由以上两个关系可以推出//γβ. (3) 现在我们给出挠率的定义如下：定义[]1曲线()c 在p 点的挠率为：().s τ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩γγβγγβ，当和异向，，当和同向挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度. 介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.2. Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导2.1 Frenet 公式的推导根据（3）及挠率的定义有τ=-γβ（s) （4）另外，对=⨯βγα求微商，并利用（4）和（2），可以推导出()()()()()s k s k s s ττ=⨯=⨯+⨯=-⨯+⨯=-+βγαγαγαβαγβαγ（5）公式（2），（5），（4）称为空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式，即()()()()k s k s s s ττ⎧=⎪⎪=-+⎨⎪=-⎪⎩αββαγγβ，这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量α、β、γ关于弧长s 的微商可以用α、β、γ的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵()0()0()0()0k s k s s s ττ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭2.2 曲率的一般参数表示式的推导若给出3c 类的空间曲线()c().r r s =，则有,dr ds dsr r ds dt dt==，22,222,,222ds d s d r ds d s ds d s r r r r r r dt dt ds dt dt dt dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以232,,,2ds ds d s ds r r r r r r r dt dt dt dt ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯=⨯+=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由上式得3,,,sin ds r r r r dt θ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.注意上式中,1,,dsr r r r dt=⊥=，因而有3,,,,r r k r ⨯=.由此得到曲率的一般参数表示式,,,3,r r k r⨯=.2.3挠率的一般参数表示式的推导再由伏雷内公式的（4）式τ=-γβ（s)，两边点乘β得r τ=-βββ，因而()()26,2,,,1111111,,,,kk k k k k k k r r r τ⎛⎫=-==⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯γβγβαβαααααγγγγγγγγγγ再把,ds r rdt= 22,,2ds d s r r r dt dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭323,,,233ds ds d s d s r dt dt dt dt ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭γγγ 代入(),,,,,,r r r ⨯⨯中得()66,,,,,,,,,,,ds r r r r dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭γγγγγγ，所以得到()(),,,,,,2,,,r r r r r τ⨯⨯=⨯. 这是一般参数表示的挠率计算公式.另外说一下密切圆，曲率中心，曲率半径的定义.空间曲线()c 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线()c 上一点()P s 的主法线的正侧取线段PC ，使PC 的长为1k ，以C 为圆心，以1k为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线()c 在()P s 点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径（如图二）.（图二）3. 有关曲率、挠率的计算和证明例 1[]1求圆柱螺线{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ()θ-∞<<+∞的曲率和挠率.解由圆柱螺线方程{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ，先计算{},sin ,cos ,a a b θθ=-r ,{},,cos ,sin ,0a a θθ=--r ,{},,,sin ,cos ,0a a θθ=-r ,于是有,=r{},,,2sin cos sin ,cos ,,cos sin 0a ab ab ab a a a θθθθθθ⨯=-=---123e e e r r ,,,⨯=r r代入曲率和挠率的公式得,,,322,,ak a b ⨯===+r r r β()(),,,,,,2222422,,,,,.,ba ba b aa b τ===++r r r r r 由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.例 2[]1 证明曲率恒等于零的曲线是直线. 证明已知0,k =≡r 因而,=r 0由此得到 =r a （常向量）. 再积分即得 ,s =+r a b 其中b 也是常向量.这是一条直线的参数方程.例 3[]1证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线.证明若0,τ≡则γ是固定向量，但是我们已知0,=αγ因而有0,=r γ积分后得a =r γ（常数），所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、挠率对空间曲线的研究有重要意义.结语:空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中Frenet 公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之.微分几何（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2008.。

frent公式

frent公式
弗雷内公式（Frenet formula），也称为弗勒内-塞雷公式，是向量微积分中描述欧几里得空间R3中的粒子在连续可微曲线上的运动的数学公式。

它描述了曲线的切向、法向、副法方向之间的关系。

具体来说，弗雷内公式可以表示为：
dT/ds = kN
dN/ds = -kT + τB
dB/ds = -τN
其中，T代表切向量，N代表法向量，B代表副法向量，k为曲率，τ为挠率。

这些量描述了曲线的几何性质。

此外，弗雷内公式也可以表示为：
dT/ds = kN
dN/ds = -kT
dB/ds = τN
这些公式在向量微积分、曲线和曲面理论、物理和工程等领域中有着广泛的应用。

§3 曲线的曲率和 Frenet 标架

证明：r′(t) = (−a sin t , a cos t , 0) ，故 |r′(t)| = a > 0 ．此即参数 t 是正则的，且对弧长参数 s 有 ds = |r′(t)| dt = a dt ．进一步，
T(t) =
r′(t) |r′(t)|
= (−sin t , cos t , 0) ，
定理 2 设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的曲率 κ(s) 与 κ*(s) 总相等．
证明已知两条曲线合同，即存在行列式为 1 的 3 阶正交矩阵 A∈SO(3) 和点 P 坐标 b = (b1 , b2 , b3) ∈ E3 ，使 (x, y, z) = b + (x*, y*, z*) A ，即
T(s)
•s
C
•
T(s+Δs)
s+Δs
T(s) ΔT(s)
Δθ
T(s+Δs)
图 2-6
定理 1 设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 的单位切向量场 T 从 T(s) 到 T(s+Δs) 的夹角为 Δθ(s, Δs)∈(−π, π) ，则
lim
Δs→0
|
Δθ Δs
|
=
|T
′(s)|
．
-1-
解：当 T(s)×[r(s+Δs) − r(s)] ≠ 0 时为平面 Π1 的一个法向量，而
T(s)×[r(s+Δs) − r(s)]
=
T(s)×[(Δs)r′(s)
+
(Δs)2 2
r″(s) + o((Δs)2)R2(s, Δs)]

(整理)空间曲线的曲率挠率和Frenet公式

空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式摘要：本文研究了刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量—曲率和挠率以及空间曲线论的基本公式--Frenet公式,并且举例有关曲率、挠率的计算和证明.关键词：空间曲线；曲率；挠率；Frenet公式Spatial curvature,torsion and Frenet formulas Abstract:This paper studies space curves depict a point near the bend in the degree and extend of the amount of leave plane-the curvature and torsion and the basic formula of space curves-Frenet formulas,and for example the curvature and torsion of the calculation and proof.Key Words: space curves; curvature; torsion; Frenet formulas前言空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0k>时为直τ=时为平面曲线.线,0本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.1.空间曲线的曲率和挠率的定义1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架给出2c 类空间曲线()c 和()c 上一点p .设曲线()c 的自然参数表示是(),r r s =其中s 是自然参数，得dr dsr ==α 是一单位向量.α 称为曲线()c 上p 点的单位切向量.由于1=α，则⊥αα，即r r ⊥.在α上取单位向量==αr βαr， (1)β称为曲线()c 上p 点的主法向量.再作单位向量=⨯γαβ，γ称为曲线()c 上p 点的副法向量.我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架. 1.2 空间曲线的曲率我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角.设空间中3c 类曲线()c 的方程为().r r s =曲线()c 上一点p ，其自然参数为s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +∆.在p 、1p 两点各作曲线()c 的单位切向量()s α和()s s +∆α.两个切向量的夹角是ϕ∆，也就是把点1p 的切向量()s s +∆α平移到点p 后，两个向量()s α和()s s +∆α的夹角为ϕ∆.我们把空间曲线在p 处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p 的曲率.定义[]1 空间曲线()c 在p 点的曲率为()lims k s sϕ∆→∆=∆，其中s ∆为p 点及其邻近点1p 间的弧长，ϕ∆为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角.再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线()c 的切向量α上去，则有()k s =α.由于r =α，所以曲率也可表示为()k s r =.由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率. 1.3 空间曲线的挠率当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一），所以我们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）.现在设曲线()c 上一点p 的自然参数为s ，另一邻近点1p 的参数为s s +∆，在p 、1p 两点各作曲线()c 的副法向量()s γ和()s s +∆γ.此两个副法向量的夹角是ϕ∆(如图一).（图一）再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度” .把这个结果应用到曲线()c 的副法向量向量γ上去，得到lims sϕ∆→∆=∆γ，此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.根据（1）和曲率的定义，我们有()k s ===r ααβr α，即()s s γ+∆()k s =αβ. (2) 对=⨯γαβ求微商，有()()k s =⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯αβαβαβββαβαβγ，因而⊥αγ.又因为γ是单位向量，所以⊥γγ.由以上两个关系可以推出//γβ. (3) 现在我们给出挠率的定义如下：定义[]1 曲线()c 在p 点的挠率为：().s τ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩γγβγγβ，当和异向，，当和同向挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度. 介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.2. Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导2.1 Frenet 公式的推导根据（3）及挠率的定义有τ=-γβ（s) （4）另外，对=⨯βγα求微商，并利用（4）和（2），可以推导出()()()()()s k s k s s ττ=⨯=⨯+⨯=-⨯+⨯=-+βγαγαγαβαγβαγ（5）公式（2），（5），（4）称为空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式，即()()()()k s k s s s ττ⎧=⎪⎪=-+⎨⎪=-⎪⎩αββαγγβ，这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量α、β、γ关于弧长s 的微商可以用α、β、γ的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵()0()0()0()0k s k s s s ττ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭2.2 曲率的一般参数表示式的推导若给出3c 类的空间曲线()c().r r s =，则有,dr ds dsr r ds dt dt==，22,222,,222ds d s d r ds d s ds d s r r r r r r dt dt ds dt dt dt dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以232,,,2ds ds d s ds r r r r r r r dt dt dt dt ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯=⨯+=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由上式得3,,,sin ds r r r r dt θ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.注意上式中,1,,dsr r r r dt=⊥=，因而有3,,,,r r k r ⨯=.由此得到曲率的一般参数表示式,,,3,r r k r⨯=.2.3挠率的一般参数表示式的推导再由伏雷内公式的（4）式τ=-γβ（s)，两边点乘β得r τ=-βββ，因而()()26,2,,,1111111,,,,kk k k k k k k r r r τ⎛⎫=-==⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯γβγβαβαααααγγγγγγγγγγ 再把,ds r rdt= 22,,2ds d s r r r dt dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭323,,,233ds ds d s d s r dt dt dt dt ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭γγγ 代入(),,,,,,r r r ⨯⨯中得()66,,,,,,,,,,,ds r r r r dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭γγγγγγ，所以得到()(),,,,,,2,,,r r r r r τ⨯⨯=⨯. 这是一般参数表示的挠率计算公式.另外说一下密切圆，曲率中心，曲率半径的定义.空间曲线()c 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线()c 上一点()P s 的主法线的正侧取线段PC ，使PC 的长为1k ，以C 为圆心，以1k为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线()c 在()P s 点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径（如图二）.（图二）3. 有关曲率、挠率的计算和证明例 1[]1求圆柱螺线{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ()θ-∞<<+∞的曲率和挠率.解由圆柱螺线方程{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ，先计算{},sin ,cos ,a a b θθ=-r ,{},,cos ,sin ,0a a θθ=--r ,{},,,sin ,cos ,0a a θθ=-r ,β于是有,=r{},,,2sin cos sin ,cos ,,cos sin 0a ab ab ab a a a θθθθθθ⨯=-=---123e e e r r,,,⨯=r r代入曲率和挠率的公式得(),,,3322,,ak a b⨯===+r r r ()(),,,,,,2222422,,,,,.,ba ba b aa b τ===++r r r r r 由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.例 2[]1 证明曲率恒等于零的曲线是直线. 证明已知0,k =≡r 因而,=r 0由此得到 =r a （常向量）. 再积分即得 ,s =+r a b 其中b 也是常向量.这是一条直线的参数方程.例 3[]1 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线. 证明若0,τ≡则γ是固定向量，但是我们已知0,=αγ因而有0,=r γ积分后得a =r γ（常数），所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、挠率对空间曲线的研究有重要意义.结语:空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中Frenet公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之.微分几何（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2008.精品文档精品文档。

曲线论的基本公式

(R − r(s)) · γ = 0.
由题设密切平面过定点, 不失一般性设定点为坐标原点, 则
r(s) · γ = 0,
(3)
两边关于弧长 s 求导, 得
τ (s)r(s) · β = 0.
(4)
反设曲线在某点 P (s0) 处 τ (s0) = 0, 那么利用 τ 的连续性, 必存在一个含 s0 的开区间 (s0 − ε, s0 + ε) 满足下述性质：对于 ∀s ∈ (s0 − ε, s0 + ε) , τ (s) = 0. 则由(4)式 r(s) ⊥ β, 而由(3)式 r(s) ⊥ γ, 所以 r(s) α , 即存在可微分函数 λ(s) , 使得
·
k2(s2) τ2(s2)
= 1.
【例6 】若曲线 C 能与另一条曲线 C1 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与 C1 的副法线重合, 则称曲线 C 称为孟恩哈姆曲线. 试证明：曲线 C 为孟恩哈姆曲线的充要条件是 λ0(k2 + τ 2) = k, 其中 λ0 是常数, k, τ 分别是C 的曲率和挠率.
类似的推理, 我们可以得到
d(α1 · α2) ds2
=
0,
于是 (α1 · α2) 是与参数 s1 和 s2 无关的常量, 从而夹角 ϕ 为定值.
(3) 类似于(1)的证明, 留作习题.
【例5 】设在两条曲率处处不为 0 的曲线 C1, C2 的点之间建立了一一对应关系, 已知曲线 C1 的切线平行于曲线 C2 的从法线, 证明：在对应点处
1.4.3 两条曲线之间的对应【例4 】设在两条曲线 C1, C2 的点之间建立了一一对应关系, 证明： (1) 若它们在对应点的切线平行, 则对应点的主法线及副法线也分别平行. (2) 若它们在对应点的主法线平行, 则对应点的切线作成固定角. (3) 若 C1, C2 作为挠曲线在对应点的副法线平行, 则它们在对应点的切线和主法线也分别平行. 【证明】设曲线 Ci (i = 1, 2) 的自然参数方程为 ri = ri(si) (i = 1, 2), 其中 si 分别是对应曲线的自然参数, 记 Ci 在对应点的基本向量为 αi(si), βi(si), γi(si), 曲率为 ki(si), 挠率为 τi(si).

空间曲线的曲率与挠率理解空间曲线的曲率与挠率的计算方法

空间曲线的曲率与挠率理解空间曲线的曲率与挠率的计算方法空间曲线的曲率与挠率是数学中关于曲线性质的重要概念，它们可以帮助我们理解曲线在不同点上的弯曲程度以及曲线的扭转情况。

本文将介绍空间曲线的曲率与挠率的概念，并讨论它们的计算方法。

一、空间曲线的曲率空间曲线的曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。

具体而言，曲率可以用曲率圆的半径来表示，即在曲线上某一点处，与曲线相切且与曲线处处相切的所有圆中，半径最小的那个圆的半径就是曲率。

曲率的计算方法如下：设空间曲线为C，参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中t表示参数。

为了计算曲线在某一点的曲率，我们需要求得曲率向量k(t)，该向量与切线方向相同，其模长为曲率。

曲率向量的计算公式为：k(t) = | r''(t) | / | r'(t) |其中，r'(t)表示曲线的切向量，r''(t)表示曲线的二阶导数。

通过加减法、乘除法等运算，我们可以得到曲率向量的具体数值。

曲率越大，曲线的弯曲程度就越大；反之，曲率较小则曲线的趋势更为直线。

二、空间曲线的挠率空间曲线的挠率描述了曲线在某一点的扭转情况。

具体而言，挠率是指曲线在某一点的切线方向与曲线法平面法向量的夹角的大小。

挠率的计算方法如下：设空间曲线为C，参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中t表示参数。

为了计算曲线在某一点的挠率，我们需要求得挠率向量v(t)，该向量与法平面法向量相同，其模长为挠率。

挠率向量的计算公式为：v(t) = ( r'(t) × r''(t) ) / | r'(t) |^3其中，×表示叉乘运算，r'(t)表示曲线的切向量，r''(t)表示曲线的二阶导数。

通过叉乘、模长计算等方法，我们可以得到挠率向量的具体数值。

挠率的大小与曲线的扭转程度成正比，挠率越大，曲线的扭转程度就越大。

2.3 曲线的曲率和Frenet标架

所以

|
rv(t
) rv(t s3
)
|

|
rv(t) | rv(t
rv(t ) |3
)
|
代入公式得 v
|
rv(t) rv(t)

rv(t) rv(t)
|
.
储亚伟
三、曲率与Frenet标架的计算
（三）、实例
例 3.1 求圆柱螺线 rv(t) (a cost, a sin t,bt), (a 0,t R) 的曲率和Frenet标架. 解： rv(t) (a sin t, a cost,b) ，rv(t) (a cost, a sin t, 0) ，| rv(t) | a2 b2 ,
次法线：v(u) rv(s) uv(s);
法平面：[uXuv rv(s)]v(s) 0;
从切面：[uXuv rv(s)]v(s) 0; 密切面：[uXuv rv(s)]v(s) 0.
v (s)
次
法
从
线
切平
面
切线
v(s)
法平面
v(s)
rv(s)
密切平面
5
所以在（0,0,1）点处的曲率 5 ，Frenet标架为rv (0,0,1); v (0, 1,0);
v
1 (2,0, 1);
v 1 (1,0, 2).
5
5
储亚伟
三、曲率与Frenet标架的计算
解法2. 设曲线的弧长参数方程为 x x(s), y y(s), z z(s), s ( , ).
v(s)

v
(s),
(3.7)
它是曲线的第二个法向量场，称为在该点的次法向量(副法向量).

空间曲线曲率挠率和Frenet公式讲解

的自然参数为
s

s
，在
P,
P
两点作曲线
1
(C
)
的副法向
量 (s)和 (s s),此两个副法向量的夹角是
由第一节命题知扭转程度大小为 lim
s0 s
几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋转
速度
下面考虑扭转方向,因

r r

k（s）
所以
k(s）
r , r ,,
于是 k r, 3 = ＝（(rr,,,r,r,,,r,),2,,）=
所以圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.
. 故曲率中心的半径向量为
可以求出密切平面为于是曲率圆为
3.3空间曲线曲率挠率和Frenet公式
定义：空间曲线 (C) 在 p 点的曲率为
k(s) lim
s0 s
其中 s 为 p 点及其邻近点 p1间的弧长，为曲线在点 p 和 p1 的切向量的夹角。
曲率刻画了曲线的弯曲程度，刻画了曲线偏离切线程度。
空间曲线曲率计算公式（自然参数）

,当
和异向，
，当和同向。

挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度。
由定义（） (s） k(s） k(s） + (s）
则有基本向量导向量与基本向量的关系，即微分几何的的重要公式

s

|
1|
s

|
MM s
，|

|
MM s
，
|
| |
MM MM

空间曲线曲率挠率和Frenet公式-PPT课件

这组公式是空间曲线论的基本公式。它的特点是基，关于弧长本向量，的微商可以用，，的线性组合来表示。系数组成反称的方阵
s
k (s) 0 0 k (s) 0 ( s ) 0 ( s ) 0
挠率的计算公式 ( s ) ( r , r , , r , ) 2
(s)
(r,r,,r,)
2
（） s 0
r
所以（） s 0
等价于
(r ,r ,r ) 0
,( C ) 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线 ( C ) 上一点 P ( s ) 的主法线的正侧取线段 P C 1 1 使 P C 的长为 k 。以 C 为圆心，以 k 为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线( C ) 在 P ( s ) 点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径。曲率中心轨迹设对应Y，则有
r , r ,, r
, 3
例：空间曲线：r = r(s)为直线的充要条件是曲率k(s)=0. 证明若为直线 r = s a + b，其中a和b都是常向量，并且| a | = 1，则k(s)= | r ( s ) | 0 ; 反之, 若k(s)=0, 则 | r ( s ) | 0 于是
lim
s 0
s
几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋转速度
下面考虑扭转方向,因

r r

k （ s）
所以
k ( s）（）
k ( s）
， || ||
r

空间曲线曲率和挠率的介绍

1.空间曲线的基本三棱形、伏雷内标架
dr 2 r r ( s ) r 1) 给出C 类曲线得一单位向量， ds dr 称 r 为曲线（C）上 P 点的单位切向量。 ds r 称为曲线在 P 点的主法向量, r 它垂直于单位切向量。 γ(s) 称为曲线在 P 点的次法向量。
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
( s) lim r s 0 s
P ( s) M P1 (s s) M

MM MM 1 lim lim lim s 0 s s 0 s 0 s s MM ( s s ) ( s ) MM ( s s ) ( s ) lim lim s 0 s s MM s 0 ( s ) ( s ) ( s ) r r r
3)由任意两个基本向量所确定的平面
分别叫做: 密切平面： ( R r ) 0 ( R r , , ) 0 法平面：
γ(s) 法平面 C r(s) β(s) 密切平面 α(s) 从切平面 O
( R r ) 0
从切平面： ( R r ) 0
而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的基本三棱形。
k (s) (s) (s)
这个公式称为空间曲线的伏雷内（Frenet)公式。它的系
于是有
k ( s)

k (s) 0 0 0 (s) 数组成一反称方阵 k ( s ) 0 (s) 0

空间曲线曲率和挠率的介绍ppt课件

.
说明: 设曲线弧 yf(x) 二阶可导,
y
则曲率计算公式为
(1
y 2
)3 2
d
ds
当y 1时 ,有曲率近似计算公式 y
若曲线由参数方程
x x(t)
y
y(t)
给出, 则
xy xy
( x2 y2)32
若曲线方程为 x(y),
x
则
(1
x
2
)
3 2
若曲线由参数方程
x x(t)
.
微分几何的应用
▪ 理论物理
➢ 广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说，空间和时间结合在一起由一个流形描述：不同的参照系给出不同的局部坐标；不同参照系之间的关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓 Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出曲率等几何量。
➢ Einstein方程说：时空的物理量（能量动量张量）等于时空的几何量（Ricci曲率张量）。
由 0
(
)
(
1
)
(
1
)
((
1
)
1
)
( r 1 r ) [( 1 ) r 1 r ]
( r , r , r )
2
r 6 ( r , r , r )
( r r) 2
r rrrds3
可得 r 挠率(r 公式d d为st2rd d22 st()(• rr, rdr,trd d )2) st3r
.
1.空间曲线的基本三棱形、伏雷内标架
1) 给称出C2r类曲dr线为r曲线r（(sC)）得上一单P 位点向的量单位切r向量dd。rs ，
ds
称
r r

第二章曲线论-Frenet标架(2)

| | | | 0 . 即有
0.
2
“ ”设 0 . 由(4.1)得 0 . 所以 ( s) c 0 是常向量. 由
d ( r ( s)c ) r ( s )c ( s ) ( s) 0 ds
可知 r ( s)c 是一个常数，即 r ( s)c r ( s0 )c ，其中 s0 [0, L] 是固定的. 于是曲线 C 上的点满足平面方程 [r ( s) r ( s0 )]c 0 ，其中 r ( s0 ) 是平面上一个定点的位置向量， c 是平面的法向量. □
3 r ( t ) r ( t ) s (t ) ( s(t )) ( s(t )) ，从而于是
d ( s(t )) ( s(t )) dt
r (t ), r(t ), r(t ) r (t ) r (t ) r (t ) s3 (t ) ( s(t )) ( s(t )) r (t )
，
(4.1)
从而 | || | ，即挠率的绝对值刻画了曲线的扭曲程度. 定理 4.1 设曲线 C 不是直线，则 C 是平面曲线的充分必要条件是它的挠率 0 .
1
证明. 设曲线 C 的弧长参数方程为 r r ( s) ， s [0, L] . 因为 C 不是直线， 0 (见定理 3.2 )，存在 Frenet 标架 r ; , , . “ ” 设 C 是平面曲线，在平面 : ( X a )n 0 上，其中 a 是平面上一个定点的位置向量， n 是平面的法向量， a 和 n 均为常向量. 则有
ds | r (t ) | ，利用 dt
(4.18)
Frenet 公式，有

课件二：曲率、挠率、伏雷内公式

P(s)
并且则
s
s 越小
s
就越接近曲线在P点的弯曲程度,进一步令
s 0
的极限就应该是曲线在P点的弯曲程度。
由定义可知 ①曲率是单位切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大,切向量关于弧长的旋转速度就越大.因此曲率刻画了曲线的弯曲程度——曲率的几何意义.（在这个意义下，在非正常点，切向量不存在，所以曲率也不存在.） ② 推论：k (s) | || r | ——曲率计算公式. 证明由定义k(s)实际是单位切向量对于S的旋转速度，而 “单位向量关于参数的旋转速度等于其微商的模”. 1 lim ③ 半径为R的圆的曲率k=s 0 = lim s 0 s R R ④ 直线的曲率k = 0 .（怎么证？）
3

般参数表示的挠率公式. r r 由伏雷内公式, , |r |
, , r r | r | r r (| r |) (r r , r ) (r r , r) 2 2 2 |r | |r | |r |
3 伏雷内(Frenet)公式简单地说， Frenet 公式是由基本向量表示其导 ②应用伏雷内(Frenet)时应 (s) 矢的式子。它是： :公式中等号左边是基本向注意
④ 伏雷内公式的另一形式: 0 ( s ) 0 ，，就用伏雷内公式, 该式其系数构成反对称矩阵： k ) 0 ， ( s) ( s 这是微分几何中解决问题 0 ( s ) 0 的重要技巧和方法; 其中

frenet坐标系参考线曲率 -回复

frenet坐标系参考线曲率-回复标题：深入理解Frenet坐标系中的参考线曲率一、引言在理论力学、几何学和工程领域中，Frenet坐标系是一种非常重要的工具，尤其在处理曲线和曲面的问题时。

Frenet坐标系是以曲线的自然参数为基础建立的一组正交坐标系，其中包含了描述曲线局部形态的关键参数——曲率和挠率。

本文将重点探讨Frenet坐标系中的一个重要概念——参考线曲率。

二、Frenet坐标系的基础理解Frenet坐标系，也被称为正常坐标系或者曲线坐标系，是在三维欧几里得空间中，对于给定的一条光滑曲线，以其切线、主法线和副法线为基向量建立的一个局部正交坐标系。

1. 切线：在曲线上的每一点，都可以定义一条切线，它代表了曲线在该点的局部方向。

2. 主法线：主法线是与切线垂直，并且沿着曲线的弯曲方向的向量。

主法线的方向由曲线的曲率决定。

3. 副法线：副法线是与切线和主法线都垂直的向量，它反映了曲线的扭转程度，由曲线的挠率决定。

三、参考线曲率的概念参考线曲率，又称作法曲率或测地曲率，是在Frenet坐标系中描述曲线弯曲程度的重要参数。

具体来说，参考线曲率是在曲线的每一点上，测量曲线偏离其自然参数（即弧长）所对应的直线的程度。

四、计算参考线曲率的步骤以下是一步一步计算参考线曲率的步骤：1. 确定曲线的参数方程：首先，我们需要明确我们要研究的曲线的参数方程，通常形式为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中t是曲线的自然参数（通常是弧长）。

2. 计算切向量T：切向量T表示曲线在每一点上的切线方向，其计算公式为T = dr/dt = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)。

3. 计算单位切向量T̂：为了方便后续计算，我们需要将切向量T归一化，得到单位切向量T̂= T/ T 。

4. 计算曲率k：曲率k是描述曲线在每一点上弯曲程度的参数，其计算公式为k = dT̂/dt 。

这里的dT̂/dt是对单位切向量T̂关于自然参数t的导数，dT̂/dt 表示其模长。

曲率与挠率

曲率与挠率摘要:三维欧氏空间中的曲线中的曲率与挠率是空间曲线理论中最基本、最重要的两个概念,分别刻画空间曲线在一点邻近的弯曲程度和离开密切平面的程度,本文中给出了曲率与挠率的定义及其计算公式,并根椐公式实例进行计算,以及曲率和挠率关于刚性运动及参数变换的不变性.关键词：曲率与挠率平面特征刚性运动1. 曲率与挠率的定义及其几何意义1.1曲率的解析定义设曲线C 的自然参数方程为()s r r =,且()s r 有二阶连续的导矢量r,称()s r 为曲线C 在弧长为s 的点处的曲率,记为()()s r s k=,并称()s r 为C 的曲率向量,当()0≠s k 时,称()()s k s p 1=为曲线在该点处的曲率半径. 1.2 挠率的解析定义空间曲线不但要弯曲,而且还要扭曲,即要离开它的密切平面,为了能刻画这一扭曲程度,等价于去研究密切平面的法矢量（即曲线的副法矢量）关于弧长的变化率,为此我们先给出如下引理.引理:设自然参数曲线C :()s r r =本向量为βα ,和γ ,则0=⋅α r,即r r 垂直于α.另一方面由于1=r,两边关于弧于s 求导便得0=⋅r r ,即r 垂直于r ,这两方面说明r 与γα ⨯共线,即r 与β 共线.由()βτ s r -=（负号是为了以后运算方便而引进的）所确定的函数()s r 称为曲线C的挠率.当()0≠s τ时,它的倒数()1s τ称为挠率半径. 1.3曲率与挠率的几何意义 1.3.1 曲率的几何意义任取曲线C :()s r r=上的一点()p s 及其邻近点()Q s s +∆,P 和Q 点处的单位切向量分别为()()s rs =α和()()s s r s s ∆+=∆+ α,它们的夹角设为θ∆,将()s s ∆+α 的起点移到()p s 点,则()()2sin2θαα∆=-∆+s s s,于是 ()()s s ss s s ∆∆⋅∆∆=∆∆=∆-∆+θθθθαα22sin 2sin 2故 ()()s r s k= ()()ss s s s s s s ∆∆=∆∆⋅∆∆=∆-∆+=→∆→∆→∆→∆θθθθααθθ000limlim 22sinlimlim这表明曲线在一点处的曲率等于此点与邻近点的切线向量之间的夹角关于弧长的变化率,也就是曲线在该点附近切线方向改弯的程度,它反映了曲线的弯曲程度.如果曲线在某点处的曲率愈大,表示曲线在该点附近切线方向改变的愈快,因此曲线在该点的弯曲程度愈大.1.3.2挠率的几何意义由挠率的定义和()γτ =s ,因此挠率的绝对值表示曲线的副法向量关于弧长的变化率,换句话说,挠率的绝对值刻画了曲线的密切平面的变化程度.所以曲线的挠率就绝对值而言其几何意义是反映了曲线离开密切平面的快慢,即曲线的扭曲程度.1.4 直线与平面曲线的特征1.4.1直线的特征定量3.1 曲线为直线的充分必要条件是曲率0k =证明()⇒若曲线C :()s r r =为直线,则其方程为s r r α +=0,其中0r为常矢量,α为直线的单位方向矢量,s 为弧长参数.于是0==r k()⇐若有0k ≡,则α α为常矢量,对r =α两边关于弧长s 积分得 ⎰+==0r s ds rαα这正是直线的方程. 1.4.2平面曲线的特征定理3.3曲线为平面曲线的充分必要条件是挠率()0s τ≡. 证明()⇒若曲线C :()s r r =为平面曲线,则γ为常矢量,于是()0≡⋅-=βγτ s()⇐由于()0s τ≡,即0=⋅βγ ,而γ 共线于β ,所以()0≡s γ 或()s γ 为常矢量,于是可直接验证()0=⋅dsr d γ ,即 p r =⋅γ(常数)这说明曲线C 上的点满足一平面的方程,即C 为平面曲线.2. 曲率和挠率的计算公式2.1曲率的计算公式①给出曲线C 的自然参数方程()s r r=时:()()()s r s s k ==α②给出曲线C 的一般参数方程()t r r=时:()()()()3t r t r t r t k '''⨯'=1.2挠率的计算公式①给出曲线C 的自然参数方程()s r r=时:()()()()()()()2,,s r s rs r s r s =τ ②给出曲线C 的一般参数方程()t r r=时:()()()()()()()()2,,t r t r t r t r t r t ''⨯'''''''=τ3.曲率和挠率的计算实例例1分别求椭圆C :(){}()00,sin ,cos >>=b a t b t a t r长轴上顶点(),0,0A a 及短轴上顶点()0,,0B b 处的曲率和挠率.解注意到点A 和点B 对应的参数值分别为0,/2t t π==,直接计算得到()a r b r =⎪⎭⎫⎝⎛'='2,0πab r r =''⨯'于是A 点处的曲率3A ab k b =,B 点处的曲率3B abk a=,显然A B k k >,这正说明椭圆C 在长轴顶点处的弯曲程度比C 在短轴顶点处的弯曲程度高,换句话说,椭圆C 在短轴顶点邻近比长轴顶点邻近平坦.至于挠率,因为曲线C 是平面曲线,其挠率处处为0.特别地,若a b =,即C 是圆,这时,容易验证圆上每一点处的曲率都相待,且等于半径的倒数,这一方面表明圆在其上每一点处的弯曲程度都相同,同时也表明半径愈大,弯曲程度愈小,这些事实的几何直观是不言而语的.例2求圆柱螺线(){}bt t b t a t r ,sin ,cos =()0>>b a 的曲率和挠率.解直接计算到22b a r +=' ,22b a a r r +=''⨯' ()b a r r r 2,,=''''''代入曲率和挠率的计算公式立即得2222,a bk a b a b τ==++ 由此可见圆柱螺线的曲率和挠率均为常数,其逆命题也成立,即曲率和挠率均为非零常数的曲线一定是圆柱螺线.例3 求曲线(){}t t t t r 233cos ,sin ,cos =的曲率和挠率，这里02t π<<.解直接计算得到()t t r 2sin 25=',可见t 不是弧长参数,所以将()t r ' 单位化后得到 ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=''=54,sin 53,cos 53t t t r t rα而{}0,cos ,sin t t dsdt dtda ds dtdtdar r ====ααβ 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⨯=53sin,54,cos 54t βαγ于是曲线的曲率625sin 2dada da dt dt k dr ds dt ds t dt ==⋅==为了计算挠率,由定义βλτ ⋅-=ds d ，而dsdt ds r d ds r d ⋅=,故 dtr d dt r d βτ-=简单计算得曲线的挠率825sin 2tτ=-说明:本题可像例2直接利用公式求曲率和挠率,但有一定的计算量,如果曲线的赂量式比较复杂,这里介绍的方法比较稳妥.4. 曲率和挠率关于刚性运动及参数变换的不变性4.1 曲率和挠率关于刚性运动的不变性所谓刚性运动是指3R 中的平移,或旋转,或平移与旋转的合成,祥言之,设33:f R R →是一个刚性运动（简称运动）,意指存在一个向量()321,,b b b b =和一个正交矩阵A （即t A A ⋅=单位矩阵,这里tA 表示A 的转置矩阵）,使得对任意3(,,)A x y z R ⋅∈,有(,,)(,,)f x y z x y z A b =+曲率和挠率关于刚性运动的不变性是指当曲线C 经过3R 中的一个运动变为C 时,C 和C 上对应点的曲率和挠率皆相等.设曲线C 的自然参数表示是()r s ,并设曲线C 经过运动f 变为典线C ,那么C 有参赞数表示()r s ,使得()(())()r s f r s r s A b ==⋅+于是()()dr drs s A ds ds=⋅ 从而2()()d r drs s A ds ds=⋅()()tdr dr s A s A ds ds ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()ttt dr dr dr dr s A A s s s ds ds ds ds ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2()1dr s A ds=⋅= 故s 也是曲线()r s 的弧长参数.C 与C 的上述参数表达式()r s 和()r s 有一个特点,那就是()(())r s r s =这表明:若0P 是C 上的点,它经过f 变为C 上的点0P ,则0P 与0P 有相同的参数值,即00()()s P d P =设曲线()r rs 的曲率和挠率分别为k 和τ,曲线()r r s =上相应的曲率和挠率分别为k 和τ,则因22332233,,,dr drd r d rd r d rA A A ds dsds ds ds ds=⋅=⋅=⋅同时注意一det 1A =,我们有22332233,,dr drd r d rd r d rds dsds ds ds ds===从而由曲率的计算公式,我们有2222()d r d rk s A ds ds ==⋅22()d rk s ds == 这表明曲率在运动f 下不变.再由挠率的确良计算公式,结合上述讨论及解析几何中关于混合积的几何意义,我们得到:23232,,()()d r d r d r ds ds ds s k s τ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎡⎤⎣⎦[]23232,,()dr d r d r A A A ds ds ds k s ⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭=[]23232,,()()dr d r d r ds ds ds s k s τ⎛⎫ ⎪⎝⎭== 这表明挠率在运动f 下不变,至此我们证明了曲率和挠率皆是运动不变量.4.2 曲率和挠率关于参数变换的不变性设曲线C 的一般参数议程为(),()r r t t t t ==是任一容许的参数变换,由复合函数的链式求异法则,容易验验证2222222,,dr dr dt d rd r dt dr d r dt dt dt dt dt dt dt dt⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 333223323323,d rd r dt d r dt d t dt d tdt dt dt dt dt dtdt dt ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 将以上三式代入曲率和挠率的计算公式,就可得到()(()),()(())k t k t t t t t ττ==这表明曲线在容许的参数变换下,对应点的曲率和挠率都不变,即曲率和挠率都是参数变换下的不变量.结束语以上所述即是根据曲率与挠率的计算公式进行实例分析.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之。

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