曲率挠率Frenet公式与标架
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r″(s) r″′(s) d 1 = (r′(s) , , + r″(s) ) ds |r″(s)| |r″(s)| |r″(s)| (r′(s) , r″(s) , r″′(s)) = |r″(s)|2 (r′(s) , r″(s) , r″′(s)) ． = 2 κ(s)
一．挠率
定理1 定理1 对曲率非零的曲线 C 而言，C 为平面曲线的充要 条件是其挠率函数恒等于零． 证明 由上节例4的结论可知，只要证明“从法向量恒等 于常向量”等价于“挠率函数恒等于零”， 而这由 B ′(s) = −τ N ，即可得证． □ 定理2 定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的挠 率 τ(s) 与 τ*(s) 总相等． 证明 与上一节定理2的证明相同，对曲线 C* 各相应量 的记号总打星号表示，并设矩阵 A∈SO(3) 和位置向量 OP = (b1 , b2 , b3) ，使
一．挠率
定理1 定理1 对曲率非零的曲线 C 而言，C 为平面曲线的 充要条件是其挠率函数恒等于零． 定理2 定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的挠率 τ(s) 与 τ*(s) 总相等． 定理意义： 定理意义 挠率确实是刻划曲线弯曲状况的又一个重要的几何量， 因而又可称之为曲线的第二曲率 第二曲率； 第二曲率 又由于挠率体现了密切平面的扭转状况，通常说它表 示了曲线的扭曲 扭曲程度． 扭曲
二．Frenet公式
在明确了Frenet公式之后，Frenet标架关于弧长的各阶导 向量在Frenet标架下的分量就都可以用曲率、挠率以及它 们的各阶导数等几何量具体表示出来． 因此，利用Frenet公式和微积分学的一般知识，就有求解 曲线几何问题的常用一般步骤： ① 将几何条件表示成解析表达式； ② 分析条件，合理进行求导（或积分等等）运算 和代数运算若干次， 寻找 所求几何 结论 所对应的解 析表达式； ③ 从解析式表述几何结论． 在学习过程中，特别需要注意培养和提高恰当地使用这 种步骤的能力．
二．Frenห้องสมุดไป่ตู้t公式
不仅仅局限在曲线几何上，从更为一般的角度讲，上述 步骤实际上是“翻译”和“推演”这两类过程在进行适 当的结合和互相提示；这种思维方式是重要的， 适用于一般场合下利用已知知识参与解决问题的过程， 特别适用于理性的数量关系问题的求解过程， 当然包括适用于对曲面几何问题的讨论． 具体的例子，读者可以回头总结前面的相关例题、定理 和公式的证明过程，直至理论框架． 典型的使用过程，也可以参阅第七章§6中球面曲线的局 部特征定理及其证明．本章§7中也经常使用这些步骤．
二．Frenet公式
dr = T ds ； T 0 κ ds 0 T (4.4) d N = −κ ds 0 τ ds N ． B 0 −τ ds 0 B 曲线论基本方程包含了曲线几何的最基本信息：弧长， 曲线论基本方程 曲率，挠率． 鉴于其重要地位，称为Frenet-Serret公式 公式，或简称为 公式 Frenet公式 公式，并通常写为 公式 dr =T ； ds (4.5) T 0 κ 0 T d N = −κ 0 τ N ． ds B 0 −τ 0 B
法平面 C r(t) N(t) 密切平面 T(t)
从切平面 O 图 2-7
曲率、挠率 Frenet 标架与Frenet 公式
一．挠率
分析从法向量 B(s) 对弧长 s 求导所得向量 B ′(s) 的行为
由于从法向量是单位向量场，易知 B ′(s)⊥B(s) ； 而由 B(s) = T(s)×N(s) 对弧长 s 求导得
B ′ = T ′×N + T×N ′ = T×N ′ ⊥ T ． 于是，B ′∥N ． 把 B ′(s) 在Frenet标架 {r(s); T(s) , N(s) , B(s)} 下的分量 抽象出来，将找到所需要的几何量． 定义1 定义1 对于无逗留点的曲线 C ，称 τ = − B ′•N 为曲线的 挠率函数 函数，其中 B ′ 为从法向量对弧长的导数；当挠率非 挠率函数 零时，称其倒数为挠率半径 挠率半径． 挠率半径 可证（习题2.4.1）挠率在容许参数变换下不变．
一．挠率
B ′∥N ． 对于无逗留点的曲线 C ，称 τ = − B ′•N 为曲线的挠率 挠率 函数，其中 B′ 为从法向量对弧长的导数． 计算：按挠率定义和Frenet标架的单位正交右手性质， (4.1) B ′(s) = −τ N ， (4.2) τ = − (T×N)′•N = − (T×N ′ • = (T , N , N ′ × ′• × ′) •N ′)
dr d r d r ( dt , dt2 , dt3 ) ． τ= dr d2r 2 | dt × dt2 |
2
3
或先确定参数与弧长参数的 关系，再利用复合求导以及 定义式计算； 或代入公式 (4.3) 计算．
这里采用第二种算法，按 上节例5接着计算．
二．Frenet公式
按照标架运动的一般规律，对于无逗留点的曲线 r ， 其Frenet标架关于曲线弧长 s 的运动公式 运动公式（作微小位 运动公式 移时的变换公式）现在已经可以确定为
挠率的计算
例1 对常数 a > 0 和常数 在一般参数下，挠率的 b ，计算曲线 用位置向量表示的计算 公式可以利用复合求导 r(t) = (a cos t , a sin t , b t) 而由弧长参数下的计算 的挠率. 公式 (4.2) 式和 (3.9) 式 注意解法有多种： 推出（参见习题 4 ）， 可先作弧长参数化，再用定 也可以从 (3.8) 式和 (3.9) 义式计算； 式导出
dr = T ds ； T 0 κ ds 0 T (4.4) d N = −κ ds 0 τ ds N ． B 0 −τ ds 0 B
这组公式称为曲线论基本方程 曲线论基本方程，它包含了曲线几何的 曲线论基本方程 最基本信息：弧长，曲率，挠率． ——在本章的后续内容中，可以进一步体会出这组公 式的重要含义．
三. 曲线的曲率和 Frenet 标架
一．曲率
考虑单位切向及其方向相对于弧长的变化率． 曲率向量；曲率 曲率半径． 曲率；曲率半径 定义1 曲率向量 曲率 曲率半径 定义 曲率和曲率向量的定义不依赖于正则参数的选取． 定理2 设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 定理 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的曲率 κ(s) 与 κ*(s) 总相等．
二．Frenet 标架
在曲线上与自身几何属性密切相关的标架场． 当曲率向量非零之时，利用曲率向量的单位化向量建立 符合需要的单位正交右手标架场．
二．Frenet 标架
B(t)
在曲线上与自身几何属性 密切相关的标架场． 当曲率向量非零之时，利 用曲率向量的单位化向量 建立符合需要的单位正交 右手标架场．
一．挠率
定理2 定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的挠率 τ(s) 与 τ*(s) 总相等． 证明 与上一节定理2的证明相同，对曲线 C* 各相应 量的记号总打星号表示，并设矩阵 A∈SO(3) 和位置向 量 OP = (b1 , b2 , b3) ，使 r = OP + r*A ，T = T*A ，T ′ = T*′A ，κ =κ* ． 将曲率向量用主法向量表示出来，则进一步有 N = N*A ，N ′ = N*′A ． 故由 (4.2) 式便知有 τ = (T , N , N ′) = (T*A , N*A , N*′A) = (T* , N* , N*′) |A| = (T* , N* , N*′) =τ* ． □
一．挠率
定理1 定理1 对曲率非零的曲线 C 而言，C 为平面曲线的充要 条件是其挠率函数恒等于零． 证明 由上节例4的结论可知，只要证明“从法向量恒等 于常向量”等价于“挠率函数恒等于零”， 而这由 B ′(s) = −τ N ，即可得证． □ 定理2 定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的挠 率 τ(s) 与 τ*(s) 总相等． 证明 与上一节定理2的证明相同，对曲线 C* 各相应量 的记号总打星号表示，并设矩阵 A∈SO(3) 和位置向量 OP = (b1 , b2 , b3) ，使
一．挠率
定理1 定理1 对曲率非零的曲线 C 而言，C 为平面曲线的 充要条件是其挠率函数恒等于零． 定理2 定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的挠率 τ(s) 与 τ*(s) 总相等． 定理意义： 定理意义 挠率确实是刻划曲线弯曲状况的又一个重要的几何量， 因而又可称之为曲线的第二曲率 第二曲率； 第二曲率 又由于挠率体现了密切平面的扭转状况，通常说它表 示了曲线的扭曲 扭曲程度． 扭曲
二．Frenet公式
在明确了Frenet公式之后，Frenet标架关于弧长的各阶导 向量在Frenet标架下的分量就都可以用曲率、挠率以及它 们的各阶导数等几何量具体表示出来． 因此，利用Frenet公式和微积分学的一般知识，就有求解 曲线几何问题的常用一般步骤： ① 将几何条件表示成解析表达式； ② 分析条件，合理进行求导（或积分等等）运算 和代数运算若干次， 寻找 所求几何 结论 所对应的解 析表达式； ③ 从解析式表述几何结论． 在学习过程中，特别需要注意培养和提高恰当地使用这 种步骤的能力．
二．Frenห้องสมุดไป่ตู้t公式
不仅仅局限在曲线几何上，从更为一般的角度讲，上述 步骤实际上是“翻译”和“推演”这两类过程在进行适 当的结合和互相提示；这种思维方式是重要的， 适用于一般场合下利用已知知识参与解决问题的过程， 特别适用于理性的数量关系问题的求解过程， 当然包括适用于对曲面几何问题的讨论． 具体的例子，读者可以回头总结前面的相关例题、定理 和公式的证明过程，直至理论框架． 典型的使用过程，也可以参阅第七章§6中球面曲线的局 部特征定理及其证明．本章§7中也经常使用这些步骤．
二．Frenet公式
dr = T ds ； T 0 κ ds 0 T (4.4) d N = −κ ds 0 τ ds N ． B 0 −τ ds 0 B 曲线论基本方程包含了曲线几何的最基本信息：弧长， 曲线论基本方程 曲率，挠率． 鉴于其重要地位，称为Frenet-Serret公式 公式，或简称为 公式 Frenet公式 公式，并通常写为 公式 dr =T ； ds (4.5) T 0 κ 0 T d N = −κ 0 τ N ． ds B 0 −τ 0 B
法平面 C r(t) N(t) 密切平面 T(t)
从切平面 O 图 2-7
曲率、挠率 Frenet 标架与Frenet 公式
一．挠率
分析从法向量 B(s) 对弧长 s 求导所得向量 B ′(s) 的行为
由于从法向量是单位向量场，易知 B ′(s)⊥B(s) ； 而由 B(s) = T(s)×N(s) 对弧长 s 求导得
B ′ = T ′×N + T×N ′ = T×N ′ ⊥ T ． 于是，B ′∥N ． 把 B ′(s) 在Frenet标架 {r(s); T(s) , N(s) , B(s)} 下的分量 抽象出来，将找到所需要的几何量． 定义1 定义1 对于无逗留点的曲线 C ，称 τ = − B ′•N 为曲线的 挠率函数 函数，其中 B ′ 为从法向量对弧长的导数；当挠率非 挠率函数 零时，称其倒数为挠率半径 挠率半径． 挠率半径 可证（习题2.4.1）挠率在容许参数变换下不变．
一．挠率
B ′∥N ． 对于无逗留点的曲线 C ，称 τ = − B ′•N 为曲线的挠率 挠率 函数，其中 B′ 为从法向量对弧长的导数． 计算：按挠率定义和Frenet标架的单位正交右手性质， (4.1) B ′(s) = −τ N ， (4.2) τ = − (T×N)′•N = − (T×N ′ • = (T , N , N ′ × ′• × ′) •N ′)
dr d r d r ( dt , dt2 , dt3 ) ． τ= dr d2r 2 | dt × dt2 |
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或先确定参数与弧长参数的 关系，再利用复合求导以及 定义式计算； 或代入公式 (4.3) 计算．
这里采用第二种算法，按 上节例5接着计算．
二．Frenet公式
按照标架运动的一般规律，对于无逗留点的曲线 r ， 其Frenet标架关于曲线弧长 s 的运动公式 运动公式（作微小位 运动公式 移时的变换公式）现在已经可以确定为
挠率的计算
例1 对常数 a > 0 和常数 在一般参数下，挠率的 b ，计算曲线 用位置向量表示的计算 公式可以利用复合求导 r(t) = (a cos t , a sin t , b t) 而由弧长参数下的计算 的挠率. 公式 (4.2) 式和 (3.9) 式 注意解法有多种： 推出（参见习题 4 ）， 可先作弧长参数化，再用定 也可以从 (3.8) 式和 (3.9) 义式计算； 式导出
dr = T ds ； T 0 κ ds 0 T (4.4) d N = −κ ds 0 τ ds N ． B 0 −τ ds 0 B
这组公式称为曲线论基本方程 曲线论基本方程，它包含了曲线几何的 曲线论基本方程 最基本信息：弧长，曲率，挠率． ——在本章的后续内容中，可以进一步体会出这组公 式的重要含义．
三. 曲线的曲率和 Frenet 标架
一．曲率
考虑单位切向及其方向相对于弧长的变化率． 曲率向量；曲率 曲率半径． 曲率；曲率半径 定义1 曲率向量 曲率 曲率半径 定义 曲率和曲率向量的定义不依赖于正则参数的选取． 定理2 设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 定理 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的曲率 κ(s) 与 κ*(s) 总相等．
二．Frenet 标架
在曲线上与自身几何属性密切相关的标架场． 当曲率向量非零之时，利用曲率向量的单位化向量建立 符合需要的单位正交右手标架场．
二．Frenet 标架
B(t)
在曲线上与自身几何属性 密切相关的标架场． 当曲率向量非零之时，利 用曲率向量的单位化向量 建立符合需要的单位正交 右手标架场．
一．挠率
定理2 定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的挠率 τ(s) 与 τ*(s) 总相等． 证明 与上一节定理2的证明相同，对曲线 C* 各相应 量的记号总打星号表示，并设矩阵 A∈SO(3) 和位置向 量 OP = (b1 , b2 , b3) ，使 r = OP + r*A ，T = T*A ，T ′ = T*′A ，κ =κ* ． 将曲率向量用主法向量表示出来，则进一步有 N = N*A ，N ′ = N*′A ． 故由 (4.2) 式便知有 τ = (T , N , N ′) = (T*A , N*A , N*′A) = (T* , N* , N*′) |A| = (T* , N* , N*′) =τ* ． □