2013年高考理科数学试卷及答案(湖南卷)(Word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖南卷)理
数学(理工农医类)(湖南卷)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013湖南,理1)复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案:B解析:z=i +i 2=-1+i,对应点为(-1,1),故在第二象限,选B .2.(2013湖南,理2)某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( ). A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法答案:D解析:看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异,应当分层抽取,故宜采用分层抽样. 3.(2013湖南,理3)在锐角△ABC 中,角A ,B 所对的边长分别为a ,b.若2a sin B=√3b ,则角A 等于( ).A.π12 B.π6C.π4D.π3答案:D解析:由2a sin B=√3b 得2sin A sin B=√3sin B ,故sin A=√32,故A=π3或2π3.又△ABC 为锐角三角形,故A=π3.4.(2013湖南,理4)若变量x ,y 满足约束条件{y ≤2x ,x +y ≤1,y ≥-1.则x+2y 的最大值是( ).A.-52B.0C.53D.52答案:C解析:约束条件表示的可行域为如图阴影部分.令x+2y=d ,即y=-12x+d2,由线性规划知识可得最优点为(13,23),所以d max =13+43=53.5.(2013湖南,理5)函数f (x )=2ln x 的图象与函数g (x )=x 2-4x+5的图象的交点个数为( ). A.3 B.2C.1D.0答案:B解析:设f (x )与g (x )图象的交点坐标为(x ,y ),则y=2ln x ,y=x 2-4x+5,联立得2ln x=x 2-4x+5,令h (x )=x 2-4x+5-2ln x (x>0), 由h'(x )=2x-4-2x =0得x 1=1+√2,x 2=1-√2(舍). 当h'(x )<0时,即x ∈(0,1+√2)时,h (x )单调递减; 当h'(x )>0,即x ∈(1+√2,+∞)时,h (x )单调递增. 又∵h (1)=2>0,h (2)=1-2ln 2<0,h (4)=5-2ln 4>0, ∴h (x )与x 轴必有两个交点,故答案为B .6.(2013湖南,理6)已知a ,b 是单位向量,a ·b =0,若向量c 满足|c-a-b |=1,则|c |的取值范围是( ). A.[√2-1,√2+1] B.[√2-1,√2+2] C.[1,√2+1] D.[1,√2+2]答案:A解析:由题意,不妨令a =(0,1),b =(1,0),c =(x,y),由|c-a-b |=1得(x-1)2+(y-1)2=1,|c |=√x 2+y 2可看做(x,y)到原点的距离,而点(x,y)在以(1,1)为圆心,以1为半径的圆上.如图所示,当点(x,y)在位置P 时到原点的距离最近,在位置P'时最远,而PO=√2-1,P'O=√2+1,故选A .7.(2013湖南,理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于( ). A.1 B.√2C.√2-12D.√2+12答案:C解析:根据三视图中正视图与俯视图等长,故正视图中的长为√2cos θ,如图所示.故正视图的面积为S=√2cos θ(0≤θ≤π4),∴1≤S ≤√2, 而√2-12<1,故面积不可能等于√2-12.8.(2013湖南,理8)在等腰直角三角形ABC 中,AB=AC=4,点P 为边AB 上异于A,B 的一点,光线从点P 出发,经BC,CA 反射后又回到点P.若光线QR 经过△ABC 的重心,则AP 等于( ).A.2B.1C.83D.43答案:D解析:以A 为原点,AB 为x 轴,AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示.则A(0,0),B(4,0),C(0,4).设△ABC 的重心为D,则D 点坐标为(43,43).设P 点坐标为(m,0),则P 点关于y 轴的对称点P 1为(-m,0),因为直线BC 方程为x+y-4=0,所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4-m),根据光线反射原理,P 1,P 2均在QR 所在直线上,∴k P 1D =k P 2D ,即4343+m=43-4+m43-4, 解得,m=43或m=0.当m=0时,P 点与A 点重合,故舍去. ∴m=43.二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)9.(2013湖南,理9)在平面直角坐标系xOy 中,若直线l:{x =t ,y =t -a (t 为参数)过椭圆C:{x =3cosφ,y =2sinφ(φ为参数)的右顶点,则常数a 的值为 . 答案:3解析:由题意知在直角坐标系下,直线l 的方程为y=x-a,椭圆的方程为x 29+y 24=1,所以其右顶点为(3,0).由题意知0=3-a,解得a=3.10.(2013湖南,理10)已知a ,b ,c ∈R ,a+2b+3c=6,则a 2+4b 2+9c 2的最小值为 . 答案:12解析:由柯西不等式得(12+12+12)(a 2+4b 2+9c 2)≥(a+2b+3c)2,即a 2+4b 2+9c 2≥12,当a=2b=3c=2时等号成立,所以a 2+4b 2+9c 2的最小值为12. 11.(2013湖南,理11)如图,在半径为√7的☉O 中,弦AB,CD 相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O 到弦CD 的距离为 . 答案:√32解析:如图所示,取CD 中点E,连结OE,OC.由圆内相交弦定理知PD ·PC=PA ·PB, 所以PC=4,CD=5,则CE=52,OC=√7.所以O 到CD 距离为OE=√(√7)2-(52)2=√32.(二)必做题(12~16题)12.(2013湖南,理12)若∫ T0x 2d x=9,则常数T 的值为 . 答案:3解析:∵(13x 3)'=x 2,∴∫ T 0x 2d x=13x3|T=13T 3-0=9,∴T=3.13.(2013湖南,理13)执行如图所示的程序框图,如果输入a=1,b=2,则输出的a 的值为 . 答案:9解析:输入a=1,b=2,不满足a>8,故a=3;a=3不满足a>8,故a=5; a=5不满足a>8,故a=7;a=7不满足a>8,故a=9,满足a>8,终止循环.输出a=9. 14.(2013湖南,理14)设F 1,F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是C 上一点.若|PF 1|+|PF 2|=6a,且△PF 1F 2的最小内角为30°,则C 的离心率为 . 答案:√3 解析:不妨设|PF 1|>|PF 2|,由{|PF 1|+|PF 2|=6a ,|PF 1|-|PF 2|=2a可得{|PF 1|=4a ,|PF 2|=2a .∵2a<2c,∴∠PF 1F 2=30°,∴cos 30°=(2c )2+(4a )2-(2a )22×2c×4a ,整理得,c 2+3a 2-2√3ac=0,即e 2-2√3e+3=0,∴e=√3.15.(2013湖南,理15)设S n 为数列{a n }的前n 项和,S n =(-1)n a n -12n ,n ∈N *,则 (1)a 3= ;(2)S 1+S 2+…+S 100= . 答案:(1)-116 (2)13(12100-1)16.(2013湖南,理16)设函数f(x)=a x +b x -c x ,其中c>a>0,c>b>0.(1)记集合M={(a,b,c)|a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为 ;(2)若a,b,c 是△ABC 的三条边长,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号) ①∀x ∈(-∞,1),f(x)>0;②∃x ∈R ,使a x ,b x ,c x 不能构成一个三角形的三条边长; ③若△ABC 为钝角三角形,则∃x ∈(1,2),使f(x)=0. 答案:(1){x|0<x ≤1} (2)①②③三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(2013湖南,理17)(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin (x -π6)+cos (x -π3),g (x )=2sin 2x2.(1)若α是第一象限角,且f(α)=3√35,求g(α)的值;(2)求使f(x)≥g(x)成立的x 的取值集合. 解:f(x)=sin (x -π6)+cos (x -π3)=√32sin x-12cos x+12cos x+√32sin x =√3sin x,g(x)=2sin 2x2=1-cos x. (1)由f(α)=3√35得sin α=35.又α是第一象限角,所以cos α>0. 从而g(α)=1-cos α=1-√1-sin 2α =1-45=15.(2)f(x)≥g(x)等价于√3sin x ≥1-cos x,即√3sin x+cos x ≥1. 于是sin (x +π6)≥12.从而2k π+π6≤x+π6≤2k π+5π6,k ∈Z , 即2k π≤x ≤2k π+2π3,k ∈Z .故使f(x)≥g(x)成立的x 的取值集合为 {x |2kπ≤x ≤2kπ+2π3,k ∈Z}.18.(2013湖南,理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg )与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示:这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率; (2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.解:(1)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C 31C 121=36种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种.故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为836=29. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列. 因为P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4), 所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可.记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k=1,2,3,4),则 n 1=2,n 2=4,n 3=6,n 4=3.由P(X=k)=nkN 得P(X=1)=215,P(X=2)=415,P(X=3)=615=25,P(X=4)=315=15. 故所求的分布列为所求的数学期望为E(Y)=51×215+48×415+45×25+42×15=34+64+90+425=46. 19.(2013湖南,理19)(本小题满分12分)如图,在直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,∠BAD=90°,AC ⊥BD,BC=1,AD=AA 1=3.(1)证明:AC ⊥B 1D;(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值.解法1:(1)如图,因为BB 1⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD,所以AC ⊥BB 1.又AC ⊥BD,所以AC ⊥平面BB 1D. 而B 1D ⊂平面BB 1D,所以AC ⊥B 1D.(2)因为B 1C 1∥AD,所以直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ). 如图,连结A 1D,因为棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1是直棱柱,且∠B 1A 1D 1=∠BAD=90°,所以A 1B 1⊥平面ADD 1A 1.从而A 1B 1⊥AD 1.又AD=AA 1=3,所以四边形ADD 1A 1是正方形,于是A 1D ⊥AD 1. 故AD 1⊥平面A 1B 1D,于是AD 1⊥B 1D.由(1)知,AC ⊥B 1D,所以B 1D ⊥平面ACD 1.故∠ADB 1=90°-θ.在直角梯形ABCD 中,因为AC ⊥BD,所以∠BAC=∠ADB.从而Rt △ABC ∽Rt △DAB, 故AB DA =BCAB .即AB=√DA ·BC =√3. 连结AB 1,易知△AB 1D 是直角三角形,且B 1D 2=BB 12+BD 2=BB 12+AB 2+AD 2=21,即B 1D=√21.在Rt △AB 1D 中,cos ∠ADB 1=ADB 1D=3√21=√217,即cos (90°-θ)=√217.从而sin θ=√217.即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为√217.解法2:(1)易知,AB,AD,AA 1两两垂直.如图,以A 为坐标原点,AB,AD,AA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.设AB=t,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(t,0,0),B 1(t,0,3),C(t,1,0),C 1(t,1,3),D(0,3,0),D 1(0,3,3).从而B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-t,3,-3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-t,3,0). 因为AC ⊥BD,所以AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-t 2+3+0=0.解得t=√3或t=-√3(舍去). 于是B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,3,-3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0).因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+3+0=0,所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AC ⊥B 1D.(2)由(1)知,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0). 设n =(x ,y ,z )是平面ACD 1的一个法向量,则{n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{√3x +y =0,3y +3z =0.令x=1,则n =(1,-√3,√3).设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ,则 sin θ=|cos <n ,B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n |·|B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || =√3√7=√217.即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为√217.20.(2013湖南,理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”.如图所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明):(2)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小. 解:设点P 的坐标为(x,y).(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为 |x-3|+|y-20|,x ∈R ,y ∈[0,+∞).(2)由题意知,点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.①当y ≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|, 因为d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*) 当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立,又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**)当且仅当x ∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立. 所以d 1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立. d 2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P 的坐标为(3,1)时,P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小,且最小值为45. ②当0≤y ≤1时,由于“L 路径”不能进入保护区, 所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|, 此时,d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|, d 2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y ≥21.由①知,d 1(x)≥24,故d 1(x)+d 2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小. 21.(2013湖南,理21)(本小题满分13分)过抛物线E:x 2=2py(p>0)的焦点F 作斜率分别为k 1,k 2的两条不同直线l 1,l 2,且k 1+k 2=2,l 1与E 相交于点A,B,l 2与E 相交于点C,D,以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k 1>0,k 2>0,证明:FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ <2p 2; (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为7√55,求抛物线E 的方程.解:(1)由题意,抛物线E 的焦点为F (0,p2),直线l 1的方程为y=k 1x+p2, 由{y =k 1x +p2,x 2=2py 得x 2-2pk 1x-p 2=0. 设A,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 则x 1,x 2是上述方程的两个实数根. 从而x 1+x 2=2pk 1,y 1+y 2=k 1(x 1+x 2)+p=2p k 12+p.所以点M 的坐标为(pk 1,pk 12+p 2),FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(pk 1,p k 12).同理可得点N 的坐标为(pk 2,pk 22+p 2),FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(pk 2,p k 22).于是FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =p 2(k 1k 2+k 12k 22).由题设,k 1+k 2=2,k 1>0,k 2>0,k 1≠k 2, 所以0<k 1k 2<(k 1+k 22)2=1. 故FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN⃗⃗⃗⃗⃗ <p 2(1+12)=2p 2. (2)由抛物线的定义得|FA|=y 1+p 2,|FB|=y 2+p2,所以|AB|=y 1+y 2+p=2p k 12+2p. 从而圆M 的半径r 1=p k 12+p,故圆M 的方程为 (x-pk 1)2+(y -pk 12-p 2)2=(p k 12+p)2.化简得x 2+y 2-2pk 1x-p(2k 12+1)y-34p 2=0.同理可得圆N 的方程为x 2+y 2-2pk 2x-p(2k 22+1)y-34p 2=0.于是圆M,圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2-k 1)x+(k 22−k 12)y=0.又k 2-k 1≠0,k 1+k 2=2,则l 的方程为x+2y=0. 因为p>0,所以点M 到直线l 的距离d=121√5=121√5=p [2(k 1+14)2+78]√5.故当k 1=-14时,d 取最小值85. ,8√5=7√55,解得p=8.故所求的抛物线E 的方程为x 2=16y.22.(2013湖南,理22)(本小题满分13分)已知a>0,函数f(x)=|x -ax+2a|. (1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:(1)当0≤x ≤a 时,f(x)=a -xx+2a ;当x>a 时,f(x)=x -ax+2a . 因此,当x ∈(0,a)时,f'(x)=-3a (x+2a )2<0,f(x)在(0,a)上单调递减;当x ∈(a,+∞)时,f'(x)=3a (x+2a )2>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增.①若a ≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=12. ②若0<a<4,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增. 所以g(a)=max {f(0),f(4)}. 而f(0)-f(4)=12−4-a4+2a =a -12+a , 故当0<a ≤1时,g(a)=f(4)=4-a4+2a ;当1<a<4时,g(a)=f(0)=12.综上所述,g(a)={4-a 4+2a ,0<a ≤1,12,a >1.(2)由(1)知,当a ≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求.当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增.若存在x 1,x 2∈(0,4)(x 1<x 2),使曲线y=f(x)在(x 1,f(x 1)),(x 2,f(x 2))两点处的切线互相垂直,则x 1∈(0,a),x 2∈(a,4),且f'(x 1)·f'(x 2)=-1,即-3a(x 1+2a )2·3a(x 2+2a )2=-1.亦即x 1+2a=3a x 2+2a.(*) 由x 1∈(0,a),x 2∈(a,4)得x 1+2a ∈(2a,3a),3ax 2+2a ∈(3a 4+2a ,1).故(*)成立等价于集合A={x|2a<x<3a}与集合B={x |3a 4+2a <x <1}的交集非空. 因为3a 4+2a <3a,所以当且仅当0<2a<1,即0<a<12时,A ∩B ≠⌀.综上所述,存在a 使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a 的取值范围是(0,12).。
2013年高考理数真题试卷(湖南卷)
第1页，总20页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2013年高考理数真题试卷（湖南卷）考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共8题)1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ）A . 1B .C .D .2. （2013•湖南）在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=4，点P 是边AB 边上异于AB 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图），若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于（ ）A . 2B . 1C .D .3. （2013•湖南）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ） A . 抽签法 B . 随机数法 C . 系统抽样法 D . 分层抽样法4. （2013•湖南）已知 ， 是单位向量， ，若向量 满足 ，则 的取值范围为（ ） A . B . C . D .答案第2页，总20页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5. （2013•湖南）在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ．若2asinB= b ，则角A 等于（ ）A .B .C .D .6. （2013•湖南）若变量x ，y 满足约束条件 ，则x+2y 的最大值是（ ）A .B . 0C .D .7. （2013•湖南）复数z=i•（1+i ）（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限8. （2013•湖南）函数f （x ）=2lnx 的图象与函数g （x ）=x 2﹣4x+5的图象的交点个数为（ ） A . 3 B . 2 C . 1 D . 0第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释评卷人得分一、填空题（共7题)1. （2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a 的值为 ．2. （2013•湖南）设F 1 ， F 2是双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|+|PF 2|=6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为 ．3. （2013•湖南）在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：，（t 为参数）过椭圆C ： （θ。
2013年湖南省高考数学试卷(理科)
2013年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法 D．分层抽样法3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A． B．0 C．D．5．（5分）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．06．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C． D．7．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．8．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2 B．1 C．D．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为．10．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为．11．（5分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．12．（5分）若x2dx=9，则常数T的值为．13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为．14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．15．（5分）设Sn 为数列{an}的前n项和，Sn=（﹣1）n an﹣，n∈N*，则（1）a3= ；（2）S1+S2+…+S100= ．16．（5分）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．21．（13分）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．22．（13分）已知a＞0，函数．（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．2013年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．【解答】解：z=i•（1+i）=﹣1+i，故复数z对应的点为（﹣1，1），在复平面的第二象限，故选：B．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．2．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法 D．分层抽样法【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．故选：D．【点评】本小题主要考查抽样方法，属基本题．3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选：A．【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A． B．0 C．D．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z=F（，）=最大值故选：C．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．5．（5分）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如图：由图可知，两个函数图象共有2个交点故选：B．【点评】求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案．6．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C． D．【分析】令，，，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值．【解答】解：令，，，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，所以的取值范围为[﹣1，+1]．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具．7．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出．【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．故选：C．【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键．8．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2 B．1 C．D．【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP 的值．【解答】解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0，解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=【点评】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 3 ．【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．【解答】解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．【点评】本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，10．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为12 ．【分析】根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12．【解答】解：∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）∴a2+4b2+9c2≥12，当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12故答案为：12【点评】本题给出等式a+2b+3c=6，求式子a2+4b2+9c2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．11．（5分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD 的距离，注意计算的正确率．【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，∴2×2=CP•1，解得：CP=4，又PD=1，∴CD=5，又⊙O的半径为，则圆心O到弦CD的距离为d===．故答案为：．【点评】此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中、高考题的热点问题．12．（5分）若x2dx=9，则常数T的值为 3 ．【分析】利用微积分基本定理即可求得．【解答】解：==9，解得T=3，故答案为：3．【点评】本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题．13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为32 ．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a的值，当a=32时，满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2不满足条件a＞31，a=2不满足条件a＞31，a=4不满足条件a＞31，a=8不满足条件a＞31，a=16不满足条件a＞31，a=32满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．故答案为：32．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c=a所以e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．15．（5分）设Sn 为数列{an}的前n项和，Sn=（﹣1）n an﹣，n∈N*，则（1）a 3= ﹣ ；（2）S 1+S 2+…+S 100=．【分析】（1）把给出的数列递推式先分n=1和n ≥2讨论，由此求出首项和n ≥2时的关系式．对此关系式再分n 为偶数和奇数分别得到当n 为偶数和奇数时的通项公式，则a 3可求； （2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n ∈N *，则利用数列的分组求和和等比数列的前n 项和公式可求得结果． 【解答】解：由，n ∈N *， 当n=1时，有，得．当n ≥2时，．即． 若n 为偶数，则． 所以（n 为正奇数）；若n 为奇数，则=．所以（n 为正偶数）．所以（1）．故答案为﹣；（2）因为（n 为正奇数），所以﹣，又（n 为正偶数），所以．则．，．则．…．所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100====．故答案为．【点评】本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．16．（5分）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为{x|0＜x≤1} ．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．【分析】（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得的范围，解出函数f（x）=a x+b x﹣c x的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；（2）对于①，把函数式f（x）=a x+b x﹣c x变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于②，利用取特值法说明命题是正确的；对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．【解答】解：（1）因为c＞a，由a，b，c不能构成一个三角形的三条边长得c ≥a+b=2a，所以，则．令f（x）=a x+b x﹣c x=．得，所以．又∵＞1，则ln＞0，所以x=＞0，所以0＜x≤1．故答案为{x|0＜x≤1}；（2）①因为，又，所以对∀x∈（﹣∞，1），．所以命题①正确；②令x=﹣1，a=2，b=4，c=5．则a x=，b x=，c x=．不能构成一个三角形的三条边长．所以命题②正确；③若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0．f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0．所以∃x∈（1，2），使f（x）=0．所以命题③正确．故答案为①②③．【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．【分析】（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（x）的解析式，可得f（α）的解析式，再根据f（α）=，求得cosα的值，从而求得g（α）=2sin2=1﹣cosα的值．（2）由不等式可得 sin（x+）≥，解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得x的取值集合．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx，所以f（α）=sinα=，所以sinα=．又α∈（0，），所以cosα=，所以g（α）=2sin2=1﹣cosα=．（2）由f（x）≥g（x）得sinx≥1﹣cosx，所以sinx+cosx=sin（x+）≥．解2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+，k∈z，所以x的取值范围为〔2kπ，2kπ+〕k∈z．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，解三角不等式，正弦函数的图象及性质，属于中档题．18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．【分析】（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．【解答】解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P （X=4）∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可记nk 为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n 3=6，n4=3由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==∴所求的分布列为数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=46【点评】本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．【分析】（I）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D；（II）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△AB1D中算出B1D=，可得cos∠ADB1=，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．【解答】解：（I）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线∴AC⊥平面BB1D，∵B1D⊂平面BB1D，∴AC⊥B1D；（II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，由此可得：直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角（记为θ），连接A1D，∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1⊂平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1=90°﹣θ，∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB 因此，，可得AB==连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=在Rt△AB1D中，cos∠ADB1===，即cos（90°﹣θ）=sinθ=，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为．【点评】本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知识，属于中档题．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M 到N 的“L 路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy 内三点A （3，20），B （﹣10，0），C （14，0）处．现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心．（I ）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）； （II ）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．【分析】（I ）根据“L 路径”的定义，可得点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值；（II ）由题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和（记为d ）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P 的坐标． 【解答】解：设点P 的坐标为（x ，y ），则（I ）点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为|x ﹣3|+|y ﹣20|，y ∈[0，+∞）； （II ）由题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和（记为d ）的最小值 ①当y ≥1时，d=|x+10|+|x ﹣14|+|x ﹣3|+2|y|+|y ﹣20| ∵d 1（x ）=|x+10|+|x ﹣14|+|x ﹣3|≥|x+10|+|x ﹣14|≥24∴当且仅当x=3时，d 1（x ）=|x+10|+|x ﹣14|+|x ﹣3|的最小值为24 ∵d 2（y ）=2|y|+|y ﹣20|≥21∴当且仅当y=1时，d 2（y ）=2|y|+|y ﹣20|的最小值为21∴点P 的坐标为（3，1）时，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小，且最小值为45；②当0≤y ≤1时，由于“L 路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x ﹣14|+|x ﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y ﹣20|此时d 1（x ）=|x+10|+|x ﹣14|+|x ﹣3|，d 2（y ）=1+|1﹣y|+|y|+|y ﹣20|=22﹣y≥21由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．【点评】本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题．21．（13分）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，则抛物线E 的方程可求．【解答】解：（I）由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为．由，得．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1+x2=2pk1，．所以点M的坐标为，．同理可得点N的坐标为，．于是．由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜．故．（Ⅱ）由抛物线的定义得，，所以，从而圆M的半径．故圆M的方程为，化简得．同理可得圆N的方程为于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为．又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．因为p＞0，所以点M到直线l的距离为=．故当时，d取最小值．由题设，解得p=8．故所求抛物线E的方程为x2=16y．【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．22．（13分）已知a＞0，函数．（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．【解答】解：（I）当0≤x≤a时，；当x＞a时，∴当0≤x≤a时，，f（x）在（0，a）上单调递减；当x＞a时，，f（x）在（a，+∞）上单调递增．①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增∴g（a）=max{f（0），f（4）}∵f（0）﹣f（4）==∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=，综上所述，g（a）=；（II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x 1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1∴•=﹣1∴①∵x1∈（0，a），x2∈（a，4），∴x+2a∈（2a，3a），∈（，1）1∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（，1）的交集非空∵，∴当且仅当0＜2a＜1，即时，A∩B≠∅综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0，）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．。
最新湖南省高考数学试卷(理科)及解析汇总
2013年湖南省高考数学试卷(理科)及解析2013年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2013•湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0C．D．5．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3B．2C．1D．06．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．7．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1B．C．D．8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2B．1C．D．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为_________．10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为_________．11．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O 到弦CD的距离为_________．12．（5分）（2013•湖南）若，则常数T的值为_________．13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为_________．14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2=30°的最小内角为30°，则C的离心率为_________．15．（5分）（2013•湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，，n∈N*，则（1）a3=_________；（2）S1+S2+…+S100=_________．16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f （x）的零点的取值集合为_________．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖南）已知函数，．（I）若α是第一象限角，且，求g（α）的值；（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4Y 51 48 45 42这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．19．（12分）（2013•湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（I）证明：AC⊥B1D；（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M 到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．21．（13分）（2013•湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（I）若k1＞0，k2＞0，证明：；（II）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数．（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．2013年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．解答：解：z=i•（1+i）=﹣1+i，故复数z对应的点为（﹣1，1），在复平面的第二象限，故选B．点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．2．（5分）（2013•湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样解答：解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．故选D点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题．3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．解答：解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选D．点评：本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0C．D．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（，）=故选：C点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．5．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3B．2C．1D．0考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．解答：解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如下图：由图可知，两个函数图象共有2个交点故选B．点评：求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案．6．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．考点：等差数列；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：令，，，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值．解答：解：令，，，如下图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，所以的取值范围为[﹣1，+1]．故选A．点评：本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具．7．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出．解答：解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．故选C．点评：正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键．8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2B．1C．D．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：直线与圆．分析：建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．解答：解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0，解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=故选D点评：本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为3．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．解答：解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．点评：本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为12．考点：柯西不等式；柯西不等式的几何意义．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12．解答：解：∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）∴a2+4b2+9c2≥12，当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12故答案为：12点评：本题给出等式a+2b+3c=6，求式子a2+4b2+9c2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．11．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O 到弦CD的距离为．考点：圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率．解答：解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，∴2×2=CP•1，解得：CP=4，又PD=1，∴CD=5，又⊙O的半径为，则圆心O到弦CD的距离为d===故答案为：．点评：此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中考中热点问题．12．（5分）（2013•湖南）若，则常数T的值为3．考点：定积分．专题：计算题．分析：利用微积分基本定理即可求得．解答：解：==9，解得T=3，故答案为：3．点评：本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题．13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为9．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a 值，并判断满足a＞8时输出a的值．解答：解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环 a b循环前/1 2第一圈是 3 2第二圈是 5 2第三圈是 7 2第四圈是 9 2第五圈否故最终输出的a值为9．故答案为：9．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2=30°的最小内角为30°，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．解答：解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c= a所以e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．15．（5分）（2013•湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，，n∈N*，则（1）a3=﹣；（2）S1+S2+…+S100=．考点：数列的求和；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．解答：解：由，n∈N*，当n=1时，有，得．当n≥2时，．即．若n为偶数，则．所以（n为正奇数）；若n为奇数，则=．所以（n为正偶数）．所以（1）．故答案为﹣；（2）因为（n为正奇数），所以﹣，又（n为正偶数），所以．则．，．则．…．所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100====．故答案为．点评：本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f （x）的零点的取值集合为{x|0＜x≤1}．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．考点：命题的真假判断与应用；函数的零点；进行简单的合情推理．专题：阅读型．分析：（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得的范围，解出函数f（x）=a x+b x﹣c x的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；（2）对于①，把函数式f（x）=a x+b x﹣c x变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于②，利用取特值法说明命题是正确的；对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．解答：解：（1）因为c＞a，由c≥a+b=2a，所以，则．令f（x）=a x+b x﹣c x=．得，所以．所以0＜x≤1．故答案为{x|0＜x≤1}；（2）因为，又，所以对∀x∈（﹣∞，1），．所以命题①正确；令x=1，a=b=1，c=2．则a x=b x=1，c x=2．不能构成一个三角形的三条边长．所以命题②正确；若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0．f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0．所以∃x∈（1，2），使f（x）=0．所以命题③正确．故答案为①②③．点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖南）已知函数，．（I）若α是第一象限角，且，求g（α）的值；（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（I）根据两角和与差的三角函数公式化简，得f（x）=sinx，结合解出sinα=，利用同角三角函数的基本关系算出cosα=．由二倍角的余弦公式进行降次，可得g（x）=1﹣cosx，即可算出g （α）=1﹣cosα=；（II）f（x）≥g（x），即sinx≥1﹣cosx，移项采用辅助角公式化简整理，得2sin（x+）≥1，再根据正弦函数的图象与性质，即可求出使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．解答：解：：∵sin（x﹣）=sinxcos﹣cosxsin=sinx﹣cosxcos（x﹣）=cosxcos+sinxsin=cosx+sinx∴=（sinx﹣cosx）+（cosx+sinx）=sinx而=1﹣cosx（I）∵，∴sinα=，解之得sinα=∵α是第一象限角，∴cosα==因此，g（α）==1﹣cosα=，（II）f（x）≥g（x），即sinx≥1﹣cosx移项，得sinx+cosx≥1，化简得2sin（x+）≥1∴sin（x+）≥，可得+2kπ≤x+≤+2kπ（k∈Z）解之得2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）因此，使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）}点评：本题给出含有三角函数的两个函数f（x）、g（x），求特殊函数值并讨论使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．着重考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4Y 51 48 45 42这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．解答：解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可记n k为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==∴所求的分布列为Y 51 48 45 42P数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=46点评：本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）（2013•湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（I）证明：AC⊥B1D；（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D；（II）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△AB1D中算出B1D=，可得cos∠ADB1=，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．解答：解：解：（I）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线∴AC⊥平面BB1D，∵B1D⊂平面BB1D，∴AC⊥B1D；（II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，由此可得直线B1C1与平面ACD1所成的角，等于直线AD与平面ACD1所成的角（记为θ）连接A1D，∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1⊂平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD，从而得到∠ADB1=90°﹣θ，∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB因此，，可得AB==连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=在Rt△AB1D中，cos∠ADB1===，即cos（90°﹣θ）=sinθ=，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为．点评：本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知知识，属于中档题．20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M 到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．考点：根据实际问题选择函数类型；绝对值三角不等式．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：（I）根据“L路径”的定义，可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标．解答：解：设点P的坐标为（x，y），则（I）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值①当y≥1时，d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|∵d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24∴当且仅当x=3时，d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24∵d2（y）=2|y|+|y﹣20|≥21∴当且仅当y=1时，d2（y）=2|y|+|y﹣20|的最小值为21∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45；②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|此时d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y≥21由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．点评：本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题．21．（13分）（2013•湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（I）若k1＞0，k2＞0，证明：；（II）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，则抛物线E的方程可求．解答：解：（I）由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为．由，得．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1+x2=2pk1，．所以点M的坐标为，．同理可得点N的坐标为，．于是．由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜．故．（Ⅱ）由抛物线的定义得，，所以，从而圆M的半径．故圆M的方程为，化简得．同理可得圆N的方程为于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为．又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．因为p＞0，所以点M到直线l的距离为=．故当时，d取最小值．由题设，解得p=8．故所求抛物线E的方程为x2=16y．点评：本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数．（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．解答：解：（I）当0≤x≤a时，；当x＞a时，∴当0≤x≤a时，，f（x）在（0，a）上单调递减；当x＞a时，，f（x）在（a，+∞）上单调递增．①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增∴g（a）max={f（0），f（4）}∵f（0）﹣f（4）==∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=，综上所述，g（a）=；（II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1∴•=﹣1∴①∵x1∈（0，a），x2∈（a，4），∴x1+2a∈（2a，3a），∈（，1）。
2013年高考湖南理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年湖南，理1，5分】复数i (1i)z =⋅+(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】B【解析】2i i 1i z =+=-+，对应点为()1,1-，故在第二象限，故选B ． 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题． （2）【2013年湖南，理2，5分】某学校有男、女学生各500名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）（A ）抽签法 （B ）随机数法 （C ）系统抽样法 （D ）分层抽样法 【答案】D【解析】总体由男生和女生组成，比例为500:500=1:1，所抽取的比例也是1:1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法，故选D ．【点评】本小题主要考查抽样方法，属基本题．（3）【2013年湖南，理3，5分】在锐角中ABC ∆，角A ，B 所对的边长分别为,a b ．若2sin a B ，则角A 等于（ ）（A ）12π（B ）6π （C ）4π （D ）3π【答案】D【解析】∵在ABC ∆中，2sin a B =，∴由正弦定理2sin sin a bR A B==得：2sin sin A B B ，∴sin A =，又ABC ∆为锐角三角形，∴3A π=，故选D ．【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．（4）【2013年湖南，理4，5分】若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是（ ）（A ）52- （B ）0 （C ）53（D ）52【答案】B【解析】约束条件表示的可行域为如图阴影部分．令2x y d +=，即122dy x =-+，由线性规划知识可得最优点为12,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以max 145333d =+=，故选B ．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．（5）【2013年湖南，理5，5分】函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0 【答案】B【解析】解法一：设()f x 与()g x 图象的交点坐标为()x y ，，则2ln y x =，245y x x =-+，联立得22ln 45x x x =-+，令()2450()2ln h x x x x x =-+->，由()2240h x x x'=-=-得11x =+21x =-(舍)． 当()0h x '<，即(0,1x ∈时，()h x 单调递减；当()0h x '>，即()1x ∈++∞时，()h x 单调递增．又∵()120h =>，()212 20h ln =-<，()452 40h ln =->，∴()h x 与x 轴必有两个交点，故选B ．解法二：在同一坐标系下，画出函数()2ln f x x =的图象与函数()245g x x x =-+的图象如下图：由图可知，两个函数图象共有2个交点，故选B ．【点评】求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案． （6）【2013年湖南，理6，5分】已知,a b 是单位向量，0a b ⋅=．若向量c 满足1c a b --=， 则c 的取值范围是（ ）（A ）[21,21]-+ （B ）[21,22]-+ （C ）[1,21]+ （D ）[1,22]+【答案】A【解析】由题意，不妨令()0,1a =，()1,0b =，()c x y =，，由1||c a b --=得22()(11)1x y -+-=，22c x y =+可看做()x y ，到原点的距离，而点()x y ，在以()1,1为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点()x y ，在位置P 时到原点的距离最近，在位置P '时最远，21PO =-，21P O '=+，故选A ．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具． （7）【2013年湖南，理7，5分】已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）212- （D ）212+ 【答案】C【解析】根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为2cos θ，如图所示．故正视图的面积为2cos 04S πθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭=，∴12S ≤≤，而21<12-，故面积不可能等于212-，故选C ． 【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为1,2⎡⎤⎣⎦是解题的关键．（8）【2013年湖南，理8，5分】在等腰直角三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图）．若光线QR 经过ABC ∆的重心，则AP 等于（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）83（D ）43【答案】D【解析】以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．则()0,0A ，()4,0B ，()0,4C ．设ABC ∆的重心为D ，则D 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭．设P 点坐标为(),0m ，则P 点关于y 轴的对称点1P 为(),0m -，因为直线BC 方程为40x y +-=，所以P 点关于BC 的 对称点2P 为(4,4)m -，根据光线反射原理，1P ，2P 均在QR 所在直线上，∴12P DP D k k =， 即4443344433mm -+=+-，解得，43m =或0m =．当0m =时，P 点与A 点重合，舍去．∴43m =，故选D ． 【点评】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题． 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分）（二）必做题（12~16题）．（9）【2013年湖南，理9，5分】在平面直角坐标系xoy 中，若直线:x t l y t a=⎧⎨=-⎩ (t 为参数) 过椭圆3cos :2sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点，则常数a 的值为 ． 【答案】3【解析】由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y x a =-，椭圆的方程为22194x y +=，所以其右顶点为()3,0．由题意知03a =-，解得3a =．【点评】本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题． （10）【2013年湖南，理10，5分】已知,,a b c R ∈，236a b c ++=，则22249a b c ++的最小值为 ． 【答案】12【解析】由柯西不等式得()()()22222221114923a b c a b c ++++≥++，即2224912a b c ++≥，当232a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++的最小值为12．【点评】本题给出等式236a b c ++=，求式子22249a b c ++的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题． （11）【2013年湖南，理11，5分】如图，在半径为7的O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，2PA PB ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 的距离为 ．【答案】32【解析】如图所示，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内相交弦定理知··PD PC PAPB =，所以4PC =，5CD =，则52CE =，7OC =．所以O 到CD 距离为2253722OE ⎛⎫()-= ⎪⎝⎭=． 【点评】此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中考中热点问题．（二）必做题（12~16题）（12）【2013年湖南，理12，5分】若209Tx dx =⎰，则常数T 的值为 ．【答案】3【解析】∵3213x 'x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴23300110933T T x dx x T ==-=⎰，∴3T =． 【点评】本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题． （13）【2013年湖南，理13，5分】执行如图3所示的程序框图，如果输入1,2a b ==，则输出的a 的值为 ． 【答案】9【解析】输入1a =，2b =，不满足8a >，故3a =；3a =不满足8a >，故5a =；5a =不满足8a >，故7a =；7a =不满足8a >，故9a =，满足8a >，终止循环．输出9a =．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．（14）【2013年湖南，理14，5分】设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为 ．【答案】3【解析】不妨设12PF PF >，由1212||||6||||2PF PF a PF PF a +=⎧⎨-=⎩，可得12||4||2PF aPF a =⎧⎨=⎩．∵22a c <，∴1230PF F ∠=︒，∴22224 322402cos c a a a()+()-()=⨯︒⨯，得222330c c a a +-=，即23023e e -+=，∴3e =．【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．（15）【2013年湖南，理15，5分】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),2n n n n S a n N *=--∈，则（1）3a = ； （2）12100S S S ++⋅⋅⋅+= ．【答案】(1)116-(2)10011132⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）由()112n n n n S a =--，*n N ∈，当1n =时，有()111112a a =--，得114a =-．当2n ≥时，()()1111111122n n n n n n n n n a S S a a ----=-=----+．即()()11112n nn n n n a a a -=-+-+．若n 为偶数，则()1122n n a n -=-≥．所以112n n a +=-（n 为正奇数）；若n 为奇数，则()1111111222222n n n n n n a a -+-⎛⎫=-+=-⋅-+= ⎪⎝⎭．所以12n n a =（n 为正偶数）．所以3411216a =-=-．（2）112n n a +=-（n 为正奇数），所以1221122a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，又12n n a =（n 为正偶数），所以2212a =．则122122a a -+=⨯．3441122a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，4412a =．则344122a a -+=⨯．…99100100122a a -+=⨯．所以，()()()1234912349910031900100111222a a a a S S S a a S S S ++++⋯+⎛⎫=-++-+++-+-+++ ⎪⎝⎭+501001002100100111111111111114422221114162222321142⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+++-+++=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭--．【点评】本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n 为偶数时能求出奇数项的通项，当n 为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．（16）【2013年湖南，理16，5分】设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0c a c b >>>>．（1）记集合{(,,)|,,M a b c a b c =不能构成三角形的三条边长，且}a b =，则(,,)a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为______ ．（2）若,,a b c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）① ()(),1,0x f x ∀∈-∞>；②x R ∃∈，使,,x x x a b c 不能构成一个三角形的三条边长； ③ 若ABC ∆为钝角三角形，则(1,2)x ∃∈使()0f x =． 【答案】(1){}1|0x x <≤；(2)①②③【解析】（1）c a >，2c a b a ≥+=，所以2c a ≥，则ln ln 20c a ≥>．令2210x x x x x x xa f x abc a c c c ⎡⎤⎛⎫=+=-=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-（）． 得2xc a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ln 2ln 21ln 2ln x c a=≤=．所以01x <≤．（2）因为1x xx x x x a b f x a b c c c c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢-⎥⎣⎦（），又1,1a b c c <<，所以对,1x ∀∈∞（-），1x x a b c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1110a b a b c c c c +-⎛⎫⎛⎫>+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以命题①正确；令1x =，1a b ==，2c =．则1x x a b ==，2x c =．不能构成一个三角形的三条边长．所以命题②正确；若三角形为钝角三角形，则2220a b c -+<．2221020f a b c f a b c =+->-=+<（），（）．所以12x ∃∈（,），使0f x =（）．所以命题③正确．【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2013年湖南，理17，12分】已知函数()sin()cos()63f x x x ππ=-+-，2()2sin 2xg x =．（1）若α是第一象限角，且33()5f α=，求()g α的值； （2）求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合．解：()sin()cos()63f x x x ππ=-+-3113sin cos cos sin 2222x x x x =-++3sin x =，2()2sin 1cos 2xg x x ==-．（1）由33()5f α=得3sin 5α=．又α是第一象限角，所以cos 0α>．从而241()1cos 11sin 155g ααα=-=--=-=．（2）()()f x g x ≥等价于3sin 1cos x x ≥-，即3sin cos 1x x +≥．于是1sin()62x π+≥．从而522,666k x k k πππππ+≤+≤+∈，即222,3k x k k πππ≤≤+∈， 故使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合为2{|22,}3x k x k k πππ≤≤+∈． 【点评】本题给出含有三角函数的两个函数()f x 、()g x ，求特殊函数值并讨论使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合．着重考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．（18）【2013年湖南，理18，12分】某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验， 一株该种作物的年收获量Y （单位：kg ）与它的 “相近” 作物株数X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4 Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好 “相近” 的概率； （2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望． 解：（1）所种作物总株数1234515N =++++=，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有1131236C C =种，选取的两株作物恰好 “相近”的不同结果有3328++=种，故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为82369=．（2）先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列，因为：(51)(1),(48)(2)P Y P X P Y P X ======；(45)(3),(42)(4)P Y P X P Y P X ======；所以只需求出()(1,2,3,4)P X k k ==即可，记k n 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数（1,2,3,4k =）则12342,4,6,3n n n n ====由()k n P X k N ==得：2(1)15P X ==；4(2)15P X ==；62(3)155P X ===； 31(4)155P X ===，故所求的分布列为 Y 51 48 45 42 P215 415 25 15所求的数学期望为： 2421()5148454246151555E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点评】本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题． （19）【2013年湖南，理19，13分】如图，在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，，190,,1,3BAD AC BD BC AD AA ∠=⊥===．（1）证明：1AC B D ⊥；（2）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值．解：（1）如图，因为1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AC BB ⊥，又因为AC BD ⊥，所以AC ⊥平面1BB D ，而1B D ⊂面1BB D ，所以1AC B D ⊥． （2）因为11//B C AD ，所以直线11B C 与平面1ACD 所成的角等于直线AD 与平面1ACD 所成的角（记为θ），如图，连接1A D ，因为棱柱1111ABCD A B C D -是直棱柱，且011190B A D BAD ∠=∠=， 所以11A B ⊥平面11ADD A ，从而111A B AD ⊥，又13AD AA ==，所以四边形11ADD A 是正方形，于是11A D AD ⊥，故1AD ⊥平面11A B D ，于是11AD B D ⊥，由（1）知，1AC B D ⊥，所以1B D ⊥平面1ACD ，故0190ADB θ∠=-，在直角梯形ABCD 中，因为AC BD ⊥，所以BAC ADB ∠=∠，从而Rt ABC Rt DAB ∆∆，故AB BCDA AB=，即3AB DA BC =⋅=，连接1AB ，易知1AB D ∆ 是直角三角形，且22222211121B D B B BD B B AB AD =+=++=，即121B D =， 在1Rt AB D ∆中，11321cos 721AD ADB B D ∠===，即021cos(90)7θ-=，从而21sin 7θ=， 即直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值为217． 解法二：（1）易知，1AB AD AA ，，两两垂直．如图，以A 为坐标原点，1AB AD AA ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB t =，则相关各点的坐标为：()000A ，，，111()()(00)()()031013030)033(B t B t C t C t D D ，，，，，，，，，，，，，，，，，．1(33)B D t =∴--，，，(1)0A t C =，，，(3)0D t B =-，，．因为AC BD ⊥，所以2300AC BD t =-++=⋅．解得3t =或3t =-(舍去)．于是()13,3,3B D =--，()3,1,0AC =．因为13300AC B D -++=⋅=，所以1AC B D ⊥，即1AC B D ⊥． （2）由（1）知，10()33AD =，，，()3,1,0AC =，11()010B C =，，．设()n x y z =，，是平面1ACD 的一个法向 量，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30330x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则()1,3,3n =-．设直线11B C 与平面1ACD 所成角为θ，则11111132177sin cos ,B C n B B C C θ⋅==⋅==n n ．即直线B 1C 1与平面1ACD 所成角的正弦值为217． 【点评】本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知知识，属于中档题．（20）【2013年湖南，理20，13分】在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”．如图所示的路径1231MM M M N MN N 与路径都是M 到N 的“L 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处．现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心．（1）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（2）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．解：设点P 的坐标为()x y ，．（1）设点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为|3||20|,,[0,)x y x R y -+-∈∈+∞．（2）有题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和（记为d ）的最小值．①当1y ≥时，|10||14||3|2|||20|d x x x y y =++-+-++-，因为1()|10||14||3|d x x x x =++-+-|10||14|x x ≥++-（*）当且仅当3x =时，不等式（*）中的等号成立．又因为|10||14|24x x ++-≥（**）当且仅当[10,14]x ∈-时，不等式（**）中的等号成立．所以1()24d x ≥，当且仅当3x =时，等号成立．2()2|20|21d y y y =+-≥，当且仅当1y =时，等号成立．故点P 的坐标为(3,1)时，P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小，且最小值为45．②当01y ≤≤时，由于“L 路径”不能进入保护区，所以|10||14||3|1|1||||20|d x x x y y y =++-+-++-++-，此时，1()|10||14||3|d x x x x =++-+-， 2()1|1||||20|2221d y y y y y =+-++-=-≥，由①知，1()24d x ≥，故12()()45d x d y +≥，当且仅当3,1x y ==时等号成立．综上所述，在点(3,1)P 出修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．【点评】本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题．（21）【2013年湖南，理21，13分】过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ，且122k k +=，1l E 与相交于点A ，B ，2l E 与相交于点C ，D ．以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N（M ，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l ．（1）若120,0k k >>，证明：22FM FN p ⋅<； （2）若点M 到直线l，求抛物线E 的方程． 解：（1）由题意，抛物线E 的焦点为(0,)2p F ，直线1l 的方程为12p y k x =+由1222p y k x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22120x pk x p --=设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则12,x x 是上述方程的两个实数根，从而1212x x pk +=，212121()2y y k x x p pk p +=++=+，所以点M 的坐标为211(,)2ppk pk +，211(,)FM pk pk =，同理可得点N 的坐标为222(,)2p pk pk +，222(,)FN pk pk =，于是2221212()FM FN p k k k k ⋅=+由题设，122k k +=，12120,0,k k k k >>≠，所以21212012k k k k +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭，故222(11)2FM FN p p ⋅<+=． （2）由抛物线的定义得12p FA y =+，22pFB y =+，所以212122AB y y p pk p =++=+，从而圆M 的半径211r pk p =+，故圆M 的方程为22222111()()()2px pk y pk pk p -+--=+，化简得：22221132(21)04x y pk x p k y p +--+-=，同理可得圆N 方程为：22222232(21)04x y pk x p k y p +--+-=于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为222121()()0k k x k k y -+-=，又21210,2k k k k -≠+=，则l的方程为20x y +=，因为0p >，所以点M 到直线l的距离2117[2()]p k d ++=故当114k =-时，d=8p =，故所求的抛物线E 的方程为216x y =． 【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．（22）【2013年湖南，理22，13分】已知0a >，函数()2x af x x a-=+．（1）记()f x 在区间[0,4]上的最大值为()g a ，求()g a 的表达式；（2）是否存在a ，使函数()y f x =在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．解：（1）当0x a ≤≤时，()2a x f x x a -=+；当x a >时，()2x af x x a-=+，因此，当(0,)x a ∈时，23'()0(2)a f x x a -=<+，()f x 在(0,)a 上单调递减；当(,)x a ∈+∞时，23'()0(2)af x x a =>+，()f x 在(,)a +∞上单调递增；①若4a ≥，则()f x 在(0,4)上单调递减，1()(0)2g a f ==；②若04a <<，则()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,4)a 上单调递增．所以()max{(0),(4)}g a f f =，而141(0)(4)2422a a f f a a ---=-=++，当01a <≤时，4()(4)42ag a f a-==+；当14a <<时，1()(0)2g a f ==． 综上所述，4,0142()1,12aa a g a a -⎧<≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩．（2）由（1）知，当4a ≥时，()f x 在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当04a <<时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,4)a 上单调递增，若存在1212,(0,4)()x x x x ∈<，使曲线()y f x =在1122(,()),(,())x f x x f x 两点处的切线互相垂直，则12(0,),(,4)x a x a ∈∈，且12'()'()1f x f x ⋅=-，即2212331(2)(2)a ax a x a -⋅=-++， 亦即12322a x a x a +=+ （*）由12(0,),(,4)x a x a ∈∈得12(2,3)x a a a +∈，233(,1)242a a x a a∈++，故（*）成立等价于集合{|23}A x a x a =<<与集合3{|1}42aB x x a =<<+的交集非空．因为3342aa a<+，所以当且仅当021a <<，即102a <<时，A B ≠∅．综上所述，存在a 使函数()f x 在区间(0,4)内的图像上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是1(0,)2．【点评】本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．。
13年高考真题理科数学湖南卷
ABCD A1B1C1D1 中（如图 5），
AD // BC ， BAD 900 ， AC BD ， BC 1，
AD AA1 3 。⑴证明: AC B1D ；⑵求直线 B1C1 与平
面 ACD1 所成角的正弦值。
图5
20．（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，将
2013 年高考真题理科数学（解析版） 卷
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南）卷
数学（理科）
一．选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给也的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．复数 z i 1 i（ i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
则输出的 a 的值为__________。
14．设 F1, F2 是双曲线 C :
个焦点， P 是 C 上一点，若| PF1 | | PF2 | 6a ，且
PF1F2 的最小内角为 300 ，则 C 的离心率为__________。
15．设 Sn 为数列an
的前 n
⑴ a3 _______；⑵ S1 S2 S100 ___________。
（C）第三象限
（C）系统抽样法
x
2
（D）0
6．已知 a, b 是单位向量， a b 0 。若 c 满足| c a b | 1 ，则| c | 的取值范围是（
） （A） 2 1, 2+1 （B） 2 1, 2+2 （C） 1, 2+1 （D） 1, 2+2
全做，则按前两题计分）
椭圆
9．在平面直角坐标系
2013年湖南省高考数学试卷(理科)附送答案
2013年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0 C．D．5．（5分）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．06．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．7．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．8．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2 B．1 C．D．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为．10．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为．11．（5分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．12．（5分）若x2dx=9，则常数T的值为．13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为．14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．15．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，S n=（﹣1）n a n﹣，n∈N*，则（1）a3=；（2）S1+S2+…+S100=．16．（5分）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．21．（13分）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．22．（13分）已知a＞0，函数．（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．2013年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．【解答】解：z=i•（1+i）=﹣1+i，故复数z对应的点为（﹣1，1），在复平面的第二象限，故选B．2．（5分）（2013•湖南）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．故选：D．3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选D．4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0 C．D．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z=F（，）=最大值故选：C5．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如图：由图可知，两个函数图象共有2个交点故选B．6．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】令，，，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值．【解答】解：令，，，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，所以的取值范围为[﹣1，+1]．故选A．7．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出．【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．故选C．8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2 B．1 C．D．【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．【解答】解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0，解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=故选D二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为3．【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．【解答】解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为12．【分析】根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12．【解答】解：∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）∴a2+4b2+9c2≥12，当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12故答案为：1211．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD 的距离，注意计算的正确率．【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，∴2×2=CP•1，解得：CP=4，又PD=1，∴CD=5，又⊙O的半径为，则圆心O到弦CD的距离为d===．故答案为：．12．（5分）（2013•湖南）若x2dx=9，则常数T的值为3．【分析】利用微积分基本定理即可求得．【解答】解：==9，解得T=3，故答案为：3．13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为9．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．【解答】解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环 a b循环前/1 2第一圈是 3 2第二圈是 5 2第三圈是7 2第四圈是9 2第五圈否故最终输出的a值为9．故答案为：9．14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C 的离心率为．【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c=a所以e==．故答案为：．15．（5分）（2013•湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，S n=（﹣1）n a n﹣，n ∈N*，则（1）a3=﹣；（2）S1+S2+…+S100=．【分析】（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．【解答】解：由，n∈N*，当n=1时，有，得．当n≥2时，．即．若n为偶数，则．所以（n为正奇数）；若n为奇数，则=．所以（n为正偶数）．所以（1）．故答案为﹣；（2）因为（n为正奇数），所以﹣，又（n为正偶数），所以．则．，．则．…．所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100====．故答案为．16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为{x|0＜x≤1} ．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．【分析】（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得的范围，解出函数f（x）=a x+b x﹣c x的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；（2）对于①，把函数式f（x）=a x+b x﹣c x变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于②，利用取特值法说明命题是正确的；对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．【解答】解：（1）因为c＞a，由a，b，c不能构成一个三角形的三条边长得c≥a+b=2a，所以，则．令f（x）=a x+b x﹣c x=．得，所以．又∵＞1，则ln＞0，所以x=＞0，所以0＜x≤1．故答案为{x|0＜x≤1}；（2）①因为，又，所以对∀x∈（﹣∞，1），．所以命题①正确；②令x=﹣1，a=2，b=4，c=5．则a x=，b x=，c x=．不能构成一个三角形的三条边长．所以命题②正确；③若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0．f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0．所以∃x∈（1，2），使f（x）=0．所以命题③正确．故答案为①②③．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖南）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．【分析】（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（x）的解析式，可得f（α）的解析式，再根据f（α）=，求得cosα的值，从而求得g（α）=2sin2=1﹣cosα的值．（2）由不等式可得sin（x+）≥，解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+，k ∈z，求得x的取值集合．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx，所以f（α）=sinα=，所以sinα=．又α∈（0，），所以cosα=，所以g（α）=2sin2=1﹣cosα=．（2）由f（x）≥g（x）得sinx≥1﹣cosx，所以sinx+cosx=sin（x+）≥．解2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+，k∈z，所以x的取值范围为〔2kπ，2kπ+〕k∈z．18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．【分析】（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．【解答】解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P （X=4）∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可记n k为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==∴所求的分布列为Y51484542P数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=4619．（12分）（2013•湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．【分析】（I）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D；（II）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△AB1D中算出B1D=，可得cos∠ADB1=，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．【解答】解：（I）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线∴AC⊥平面BB1D，∵B1D⊂平面BB1D，∴AC⊥B1D；（II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，由此可得：直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角（记为θ），连接A1D，∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1⊂平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1=90°﹣θ，∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB 因此，，可得AB==连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=在Rt△AB1D中，cos∠ADB1===，即cos（90°﹣θ）=sinθ=，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为．20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x 轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．【分析】（I）根据“L路径”的定义，可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标．【解答】解：设点P的坐标为（x，y），则（I）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值①当y≥1时，d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|∵d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24∴当且仅当x=3时，d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24∵d2（y）=2|y|+|y﹣20|≥21∴当且仅当y=1时，d2（y）=2|y|+|y﹣20|的最小值为21∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45；②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|此时d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y ≥21由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．21．（13分）（2013•湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，则抛物线E的方程可求．【解答】解：（I）由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为．由，得．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1+x2=2pk1，．所以点M的坐标为，．同理可得点N的坐标为，．于是．由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜．故．（Ⅱ）由抛物线的定义得，，所以，从而圆M的半径．故圆M的方程为，化简得．同理可得圆N的方程为于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为．又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．因为p＞0，所以点M到直线l的距离为=．故当时，d取最小值．由题设，解得p=8．故所求抛物线E的方程为x2=16y．22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数．（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．【解答】解：（I）当0≤x≤a时，；当x＞a时，∴当0≤x≤a时，，f（x）在（0，a）上单调递减；当x＞a时，，f（x）在（a，+∞）上单调递增．①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增∴g（a）=max{f（0），f（4）}∵f（0）﹣f（4）==∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=，综上所述，g（a）=；（II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1∴•=﹣1∴①∵x1∈（0，a），x2∈（a，4），∴x1+2a∈（2a，3a），∈（，1）∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（，1）的交集非空∵，∴当且仅当0＜2a＜1，即时，A∩B≠∅综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0，）．。
2013年高考真题——理科数学(湖南卷)解析
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()1z i i i =+ 为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】 B【解析】 z = i ·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B 选B2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法 【答案】 D 【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。
选D3.在锐角中A B C ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π【答案】 D【解析】 3=A 223=sinA sinB 3 = sinB 2sinA :得b 3=2asinB 由ππ⇒<⇒⋅⋅A ，选D4.若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是A ．5-2B ．0C ．53D ．52【答案】 C【解析】 区域为三角形，直线u = x + 2y 经过三角形顶点最大时，35)32,31(=u选C5.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】 B【解析】 二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为x=2，g(2) = 1； f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为2 选B6. 已知,a b 是单位向量，0a b = .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A ．⎤⎦B ．2⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．12⎡⎤⎣⎦【答案】 A【解析】向量之差的向量与即一个模为单位c 2.1|c -)b a (||b a -c |,2|b a |向量，是b ,a =+=-=+∴ 的模为1，可以在单位圆中解得12||1-2+≤≤c 。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)-理科数学
数学(理工农医类)(湖南卷)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013湖南,理1)复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B2.(2013湖南,理2)某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是().A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法答案:D3.(2013湖南,理3)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2a sin B=b,则角A等于().A. B.C. D.答案:D4.(2013湖南,理4)若变量x,y满足约束条件则x+2y的最大值是().A.-B.0C.D.答案:C5.(2013湖南,理5)函数f(x)=2ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象的交点个数为().A.3B.2C.1D.0答案:B6.(2013湖南,理6)已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是().A.[-1,+1]B.[-1,+2]C.[1,+1]D.[1,+2]答案:A7.(2013湖南,理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于().A.1B.C.D.答案:C8.(2013湖南,理8)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P为边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于().A.2B.1C.D.答案:D二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)9.(2013湖南,理9)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为.答案:310.(2013湖南,理10)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为.答案:1211.(2013湖南,理11)如图,在半径为的☉O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为.答案:(二)必做题(12~16题)12.(2013湖南,理12)若x2d x=9,则常数T的值为.答案:313.(2013湖南,理13)执行如图所示的程序框图,如果输入a=1,b=2,则输出的a的值为.答案:914.(2013湖南,理14)设F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为.答案::15.(2013湖南,理15)设S n为数列{a n}的前n项和,S n=(-1)n a n-,n∈N*,则(1)a3=;(2)S1+S2+…+S100=.答案:(1)-(2)16.(2013湖南,理16)设函数f(x)=a x+b x-c x,其中c>a>0,c>b>0.(1)记集合M={(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为;(2)若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号)①∀x∈(-∞,1),f(x)>0;②∃x∈R,使a x,b x,c x不能构成一个三角形的三条边长;③若△ABC为钝角三角形,则∃x∈(1,2),使f(x)=0.答案:(1){x|0<x≤1}(2)①②③三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(2013湖南,理17)(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin+cos,g(x)=2sin2.(1)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值;(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.解:f(x)=sin+cos=sin x-cos x+cos x+sin x=sin x,g(x)=2sin2=1-cos x.(1)由f(α)=得sinα=.又α是第一象限角,所以cosα>0.从而g(α)=1-cosα=1-=1-.(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1-cos x,即sin x+cos x≥1.于是sin.从而2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,即2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为.18.(2013湖南,理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.解:(1)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种.故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为.(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列.因为P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4),所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可.记n k为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k=1,2,3,4),则n1=2,n2=4,n3=6,n4=3.由P(X=k)=得P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.故所求的分布列为所求的数学期望为E(Y)=51×+48×+45×+42×=46.19.(2013湖南,理19)(本小题满分12分)如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.(1)证明:AC⊥B1D;(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.解:(1)易知,AB,AD,AA1两两垂直.如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设AB=t,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).从而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0).因为AC⊥BD,所以·=-t2+3+0=0.解得t=或t=-(舍去).于是=(-,3,-3),=(,1,0).因为·=-3+3+0=0,所以,即AC⊥B1D.(2)由(1)知,=(0,3,3),=(,1,0),=(0,1,0).设n=(x,y,z)是平面ACD1的一个法向量,则令x=1,则n=(1,-).设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ,则sinθ=|cos <n,>|==.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.20.(2013湖南,理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明):(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.解:设点P的坐标为(x,y).(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*)当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立,又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**)当且仅当x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立.所以d1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立.d2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|,此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小. 21.(2013湖南,理21)(本小题满分13分)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1>0,k2>0,证明:<2p2;(2)若点M到直线l的距离的最小值为,求抛物线E的方程.解:(1)由题意,抛物线E的焦点为F,直线l1的方程为y=k1x+,由得x2-2pk1x-p2=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实数根.从而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2p+p.所以点M的坐标为=(pk1,p).同理可得点N的坐标为=(pk2,p).于是·=p2(k1k2+).由题设,k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,所以0<k1k2<=1.故·<p2(1+12)=2p2.(2)由抛物线的定义得|FA|=y1+,|FB|=y2+,所以|AB|=y1+y2+p=2p+2p.从而圆M的半径r1=p+p,故圆M的方程为(x-pk1)2+=(p+p)2.化简得x2+y2-2pk1x-p(2+1)y-p2=0.同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2+1)y-p2=0.于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1)x+()y=0.又k2-k1≠0,k1+k2=2,则l的方程为x+2y=0.因为p>0,所以点M到直线l的距离d===.故当k1=-时,d取最小值.由题设,,解得p=8.故所求的抛物线E的方程为x2=16y.22.(2013湖南,理22)(本小题满分13分)已知a>0,函数f(x)=.(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)当0≤x≤a时,f(x)=;当x>a时,f(x)=.因此,当x∈(0,a)时,f'(x)=<0,f(x)在(0,a)上单调递减;当x∈(a,+∞)时,f'(x)=>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增.①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=.②若0<a<4,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增.所以g(a)=max{f(0),f(4)}.而f(0)-f(4)=,故当0<a≤1时,g(a)=f(4)=;当1<a<4时,g(a)=f(0)=.综上所述,g(a)=(2)由(1)知,当a≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求.当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增.若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2),使曲线y=f(x)在(x1,f(x1)),(x2,f(x2))两点处的切线互相垂直,则x1∈(0,a),x2∈(a,4),且f'(x1)·f'(x2)=-1,即·=-1.亦即x1+2a=.(*)由x1∈(0,a),x2∈(a,4)得x1+2a∈(2a,3a),.故(*)成立等价于集合A={x|2a<x<3a}与集合B=的交集非空.因为<3a,所以当且仅当0<2a<1,即0<a<时,A∩B≠⌀.综上所述,存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是.。
2013年湖南省高考数学试卷(理科)及解析
2013年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2013•湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样解答：解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．故选D3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0C．D．5．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3B．2C．1D．06．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．点评：本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具．7．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1B．C．D．8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P 出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2B．1C．D．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：直线与圆．分析：建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P 的坐标，进而可得AP的值．解答：解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0，解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=故选D点评：本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为3．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．解答：解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．点评：本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为12．考点：柯西不等式；柯西不等式的几何意义．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12．解答：解：∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）∴a2+4b2+9c2≥12，当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12故答案为：12点评：本题给出等式a+2b+3c=6，求式子a2+4b2+9c2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．11．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．考点：圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率．解答：解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，∴2×2=CP•1，解得：CP=4，又PD=1，∴CD=5，又⊙O的半径为，则圆心O到弦CD的距离为d===故答案为：．点评：此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中考中热点问题．12．（5分）（2013•湖南）若，则常数T的值为3．考点：定积分．专题：计算题．分析：利用微积分基本定理即可求得．解答：解：==9，解得T=3，故答案为：3．点评：本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题．13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为9．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．解答：解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环 a b循环前/1 2第一圈是 3 2第二圈是 5 2第三圈是7 2第四圈是9 2第五圈否故最终输出的a值为9．故答案为：9．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2=30°的最小内角为30°，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．解答：解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c= a所以e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．15．（5分）（2013•湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，，n∈N*，则（1）a3=﹣；（2）S1+S2+…+S100=．考点：数列的求和；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．解答：解：由，n∈N*，当n=1时，有，得．当n≥2时，．即．若n为偶数，则．所以（n为正奇数）；若n为奇数，则=．所以（n为正偶数）．所以（1）．故答案为﹣；（2）因为（n为正奇数），所以﹣，又（n为正偶数），所以．则．，．则．…．所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100====．故答案为．点评：本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为{x|0＜x≤1}．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．考点：命题的真假判断与应用；函数的零点；进行简单的合情推理．专题：阅读型．分析：（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得的范围，解出函数f（x）=a x+b x﹣c x的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；（2）对于①，把函数式f（x）=a x+b x﹣c x变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于②，利用取特值法说明命题是正确的；对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．解答：解：（1）因为c＞a，由c≥a+b=2a，所以，则．令f（x）=a x+b x﹣c x=．得，所以．所以0＜x≤1．故答案为{x|0＜x≤1}；（2）因为，又，所以对∀x∈（﹣∞，1），．所以命题①正确；令x=1，a=b=1，c=2．则a x=b x=1，c x=2．不能构成一个三角形的三条边长．所以命题②正确；若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0．f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0．所以∃x∈（1，2），使f（x）=0．所以命题③正确．故答案为①②③．点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖南）已知函数，．（I）若α是第一象限角，且，求g（α）的值；（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（I）根据两角和与差的三角函数公式化简，得f（x）=sinx，结合解出sinα=，利用同角三角函数的基本关系算出cosα=．由二倍角的余弦公式进行降次，可得g（x）=1﹣cosx，即可算出g（α）=1﹣cosα=；（II）f（x）≥g（x），即sinx≥1﹣cosx，移项采用辅助角公式化简整理，得2sin（x+）≥1，再根据正弦函数的图象与性质，即可求出使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．解答：解：：∵sin（x﹣）=sinxcos﹣cosxsin=sinx﹣cosxcos（x﹣）=cosxcos+sinxsin=cosx+sinx∴=（sinx﹣cosx）+（cosx+sinx）=sinx而=1﹣cosx（I）∵，∴sinα=，解之得sinα=∵α是第一象限角，∴cosα==因此，g（α）==1﹣cosα=，（II）f（x）≥g（x），即sinx≥1﹣cosx移项，得sinx+cosx≥1，化简得2sin（x+）≥1∴sin（x+）≥，可得+2kπ≤x+≤+2kπ（k∈Z）解之得2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）因此，使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）}点评：本题给出含有三角函数的两个函数f（x）、g（x），求特殊函数值并讨论使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．着重考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4Y 51 48 45 42这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．解答：解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可记n k为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==∴所求的分布列为Y 51 48 45 42P数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=46点评：本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）（2013•湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（I）证明：AC⊥B1D；（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D；（II）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△AB1D中算出B1D=，可得cos∠ADB1=，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．解答：解：解：（I）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线∴AC⊥平面BB1D，∵B1D⊂平面BB1D，∴AC⊥B1D；（II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，由此可得直线B1C1与平面ACD1所成的角，等于直线AD与平面ACD1所成的角（记为θ）连接A1D，∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1⊂平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD，从而得到∠ADB1=90°﹣θ，∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB因此，，可得AB==连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=在Rt△AB1D中，cos∠ADB1===，即cos（90°﹣θ）=sinθ=，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为．点评：本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知知识，属于中档题．20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．考点：根据实际问题选择函数类型；绝对值三角不等式．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：（I）根据“L路径”的定义，可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标．解答：解：设点P的坐标为（x，y），则（I）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值①当y≥1时，d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|∵d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24∴当且仅当x=3时，d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24∵d2（y）=2|y|+|y﹣20|≥21∴当且仅当y=1时，d2（y）=2|y|+|y﹣20|的最小值为21∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45；②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|此时d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y≥21由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．点评：本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题．21．（13分）（2013•湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（I）若k1＞0，k2＞0，证明：；（II）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，则抛物线E的方程可求．解答：解：（I）由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为．由，得．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1+x2=2pk1，．所以点M的坐标为，．同理可得点N的坐标为，．于是．由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜．故．（Ⅱ）由抛物线的定义得，，所以，从而圆M的半径．故圆M的方程为，化简得．同理可得圆N的方程为于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为．又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．因为p＞0，所以点M到直线l的距离为=．故当时，d取最小值．由题设，解得p=8．故所求抛物线E的方程为x2=16y．点评：本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数．（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．解答：解：（I）当0≤x≤a时，；当x＞a时，∴当0≤x≤a时，，f（x）在（0，a）上单调递减；当x＞a时，，f（x）在（a，+∞）上单调递增．①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增∴g（a）max={f（0），f（4）}∵f（0）﹣f（4）==∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=，综上所述，g（a）=；（II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1∴•=﹣1∴①∵x1∈（0，a），x2∈（a，4），∴x1+2a∈（2a，3a），∈（，1）∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（，1）的交集非空∵，∴当且仅当0＜2a＜1，即时，A∩B≠∅综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是（0，）．点评：本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．。
2013年全国高考理科数学试题-湖南卷
2013年全国高考理科数学试题-湖南卷1.复数为虚数单位()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案：B分析：(1)1z i i i =⋅+=-,所以对应点()1,1-.2.某学校有男、女学生各500名，为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ） A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法 答案：D分析：因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例．3.在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin a B =，则角A 等于（ ） A.12π B. 6π C. 4π D. 3π答案：D分析：由2sin a B 得：2sin sin sin sin ,23A B B A A A ππ⋅=⇒=<⇒=，选D ．4.若变量满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是（ ）A. 52-B. 0C. 53D. 52答案：C分析：区域为三角形，直线2u x y =+经过三角形顶点12(,)33时，53u =最大．选C ．5.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0 答案：B分析：二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为()2,21x g ==；()22ln 2ln 41f ==>，所以()()22g f <，从图像上可知交点个数为2，选B ．6.已知,a b是单位向量，0a b ⋅= .若向量c 满足||1c a b --= ，则||c的取值范围是()A.11]B. 1C. D. [1 答案：A分析：,a b是单位向量，||||()|1a b c a b a b c ∴+--=+-=c向量之差的模为1， 1||1c ≤≤．7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于A. 1B.C.12D.2答案：C分析：由题知，正方体的棱长为1，正视图的高为1，宽在区间[1上，所以正视图的面积也在区间[11<． 选C ．8.在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，P 点是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图）．若光线QR 经过ABC ∆的中心，则AP 等于（ ）A. 2B. 1C. 83D. 43答案：D分析：设(,0),P x BC 的中点(2,2)D .ABC ∆ 的重心O 在中线的23处，44(,)33O ∴． 设直线RQ 的斜率为k ，则其方程为4444(2)4(21)()(0,(1)),(,)3333(1)3(1)k k y k x R k Q k k ++=-+⇒-++． 4(1)4(21),34(2)3(1)RP QP k k k k k x k -+==+-+， 由题知0,1(21)(1)0RP QPk k k k k k +=⋅=⇒--=10k x =⎧⇒⎨=⎩（舍）1243k x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，选D ．9.在平面直角坐标系xOy 中，若,:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆C ：3cos ,2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点，则常数a 的值为_______． 答案：3分析：直线l 方程:y x a =-，椭圆方C 程：22194x y +=的右顶点(3,0)303a a a -⇒--=-⇒=．10.已知,,,236a b c a b c ∈++=，则22249a b c ++的最小值为_____．答案：12 分析：2222222222(111)((2)(3))(11213)364912a b c a b c a b c ++⋅++≥⋅+⋅+⋅=⇒++≥且当22,1,3a b c ===时，取最小值．11.O 中，弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 的距离为______．分析：由相交弦定理得4,5AP PB DP PC PC DC ⋅=⋅⇒==， 圆心O 到CD 的距离d ==． 12.若209Tx dx =⎰，则常数T 的值为______．答案：3 分析：3329333TTx T x dx T ===⇒=⎰．13.执行如图所示的程序框图，如果输入1,2a b ==，则输出的a 的值为_____．答案：9分析：122229a =++++=．14.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30︒，则C 的离心率为___．分析：设P 点在右支上，12||,||m PF n PF ==，则由题知，12PF F ∆的最小内角为30︒，由余弦定理得：222164413cos30()2842a c a a c ac c a ︒+-==+=⋅c e a ⇒==15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和*1(1),2nn n n S a n N =--∈，则 (1) 3a =_____；(2) 12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________．答案：(1) 116-； (2) 10011(1)32-．分析：由*1(1),2nn n n S a n N =--∈， 当1n =，有1111(1)2a a =--，得114a =-，当2n ≥时，111111(1)(1)22n n n n n n n n n a S S a a ----=-=-----，即11(1)(1)2n nn n n n a a a -=-+-+，若n 为偶数，则11(2)2n n a n -=-≥，所以1112n n a -+=-（n 为正奇数）， 若n 为奇数，则11111112(2)()2222n n n n n n a a -+-=-+=-⋅-+=，所以12n n a =（n 为正偶数），所以(1)3411216a =-=-，故答案为116-；因为112n n a +=-（n 为正奇数），所以121()2a -=--212=，又12n n a =（n 为正偶数），所以2212a =，则122122a a -+=⨯，34411()22a -=--=，4412a =，则344122a a -+=⨯⋯99100100122a a -+=⨯，所以123499100S S S S S S ++++⋯++10021001111112()()4162222=+++-+++501001111(1)(1)44222111142--=⋅---10011(1)32=-， 故答案为10011(1)32-．16.设函数()xxxf x a b c =+-，其中0,0.c a c b >>>>(1)记集合{(,,),,M a b c a b c =不能构成一个三角形的三条边长，且}a b =，则(,,)a b c M∈所对应的()f x 的零点的取值集合为_____．(2)若,,a b c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号） ①()(),1,0;x f x ∀∈-∞>②x R ∃∈，使,,x x x xa b c 不能构成一个三角形的三条边长；③若ABC ∆为钝角三角形，则()1,2x ∃∈，使()0f x =．答案：(1) (0,1]；(2) ①②③分析：(1)由题知,2c a c a b a >≥+=，令ln 2()2[2()1]0()2ln x x x x x ac f x a c c x c c aa=-=-=⇒=⇒=2c a ⇒≥． 又ln 2ln 2ln 2lnln 200,(0,1]ln 2ln ln c x c c a a a≥>⇒≥>∴=∈．所以()f x 的零点集合为(0,1]．(2)()[()()1],1,1x x x a b a bf x c c c c c =+-<<∴11(,1),()()1()()10x x a b a b a b cx c c c c c+-∀∈-∞+->+-=> 所以①正确．令1,1,2x a b c ====，则1,1,2xxxa b c ===不能构成三角形的三条边长．所以②正确．若三角形为钝角三角形，则令222222-0;(1)0,(2)-0a b c f a b c f a b c +<=+->=+<(1,2)x ⇒∈，使()0f x =．所以③正确．。
2013年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(湖南卷)【word精析版】
这8道选择题中，第1-3为基础题，注重基础知识的考查、基本公式的应用，第4-7为数形结合的问题，基本图像的观察以及基本思想的渗透，其中4、5两题注重培养学生的动手能力，要求学生自己做出图像，自己分析得到答案，第7题注重空间想象能力的培养，要求学生寻找正方体在旋转过程中的最值，第8题，与平面几何知识想结合，要求将平面几何问题解析话，降低解题的难度；总体老说，这9道问题难度相对均衡，无偏题、怪题；二、填空题考点一览表：题号主要考点9 参数方程10 不等式选讲11 几何证明12 定积分的基本运算第21题：本题为圆锥曲线问题，试题以此开始，难度和计算量有了较大的提升，第（1）小题以向本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法3.在锐角中，角所对的边长分别为.若（）A．B．C．D．4.若变量满足约束条件，A．B．C．D．5.函数的图像与函数的图像的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B；6. 已知是单位向量，.若向量满足（）A．B．C．D．7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（）A．B．C．D．【答案】C；【解析】正方体的正视图面积应当介意1与之间，故C不正确.【考点定位】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力.8.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的中心，则等于（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系中，若右顶点，则常数.10.已知.【答案】12【解析】，所以.【考点定位】本题考查柯西不等式的使用，考查学生的化归与转化能力.11.如图2，在半径为的中,弦.（一）必做题（12-16题）12.若.13.执行如图3所示的程序框图，如果输入.14．设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若且的最小内角为，则C的离心率为___。
2013年湖南省高考数学试卷(理科)及word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖南卷)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖南，理1)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2013湖南，理2)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )．A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法3．(2013湖南，理3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B，则角A 等于( )．A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π34．(2013湖南，理4)若变量x ，y 满足约束条件2,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则x ＋2y 的最大值是( )．A ．52-B ．0C ．53D ．525．(2013湖南，理5)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )． A ．3 B ．2 C ．1 D ．06．(2013湖南，理6)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )． A ．11] B ．12] C ．[11] D ．[12] 7．(2013湖南，理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )．A ．1 BC．12 D．128．(2013湖南，理8)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )．A ．2B ．1C ．83 D ．43二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9．(2013湖南，理9)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：,x t y t a=⎧⎨=-⎩(t 为参数)过椭圆C ：3cos ,2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为__________．10．(2013湖南，理10)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为__________． 11．(2013湖南，理11)如图，在半径为7的O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为__________．(二)必做题(12～16题)12．(2013湖南，理12)若T ⎰x2dx ＝9，则常数T 的值为__________．13．(2013湖南，理13)执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为__________．14．(2013湖南，理14)设F1，F2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为__________．15．(2013湖南，理15)设Sn 为数列{an}的前n 项和，Sn ＝(－1)nan －12n ，n ∈N*，则 (1)a 3＝__________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝__________.16．(2013湖南，理16)设函数f(x)＝ax ＋bx －cx ，其中c ＞a ＞0，c ＞b ＞0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为__________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是__________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )＞0；②∃x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(2013湖南，理17)(本小题满分12分)已知函数ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，g (x )＝22sin 2x .(1)若α是第一象限角，且f (α)g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．18．(2013湖南，理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“这里，两株作物“相近”(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．19．(2013湖南，理19)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．20．(2013湖南，理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”．如图所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点A (3,20)，B (－10,0)，C (14,0)处．现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心．(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明)：(2)若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．21．(2013湖南，理21)(本小题满分13分)过抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1＞0，k 2＞0，证明：FM ·FN ＜2p 2；(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为5，求抛物线E 的方程． 22．(2013湖南，理22)(本小题满分13分)已知a ＞0，函数f (x )＝2x ax a-+.(1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）（2013•湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．πB．πC．πD．π2asinB=由正弦定理=2sinAsinB= sinA=A=．4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．5B．0 C．5D．5，y=取得最大值为解：作出不等式组表示的平面区域，，﹣（，，）26．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值C D．令，，作出图象，根据图象可求出解：令，如下图所示：则，又共线时达到最值，最大值为，最小值为所以[﹣+17．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ）A ．1BC ．12 D ．12求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为；当正视图为对角面时，其面积最大为皆有可能，而正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=4，点P 是边AB 边上异于AB 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图1），若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于（ ）A ．2B ．1C ．8 D ．4，）解得k=，故直线（的重心（，），或，AP=二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为3．：，得得，．的右顶点为（c=时等号成立时，11．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．的半径为，==故答案为：12．（5分）（2013•湖南）若，则常数T的值为3．解：=9的值为9．14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2=30°的最小内角为30°，则C的离心率为．×，c==故答案为：15．（5分）（2013•湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，，n∈N*，则（1）a3=﹣；（2）S1+S2+…+S100=．解：由时，有，得时，即．所以=所以）故答案为﹣）因为，所以﹣又，所以则，则．====故答案为．16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=a+b﹣c，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为{x|0＜x≤1}．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；，求得的范围，解出函数变形为，所以，则得，所以）因为又17．（12分）（2013•湖南）已知函数，．（I）若α是第一象限角，且，求g（α）的值；（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．=，结合，利用同=；，即））=sinxcos﹣cosxsin=cosx）+sinxsin=cosx+∴（cosx+sinx而）∵，∴===，即移项，得sinx+cosx x+x+≥，可得+2k x+≤+2k≤18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有为；得，==，=××+45×+42×=461111AD=AA1=3．（I）证明：AC⊥B1D；（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．，最后在D=，由此即可得因此，=D==，，可得直线20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．12l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N 为圆心）的公共弦所在直线记为l．（I）若k1＞0，k2＞0，证明：；（II）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．求出向量和转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于的焦点为的方程为．由，得．的坐标为，的坐标为，于是．故，，所以的半径的方程为化简得．的方程为的方程为．=．故当取最小值．由题设22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数．（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．时，时，时，，时，=；当，=∴•∴∈，（∵，即，。
2013年高考理科数学(湖南卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z = i ·(1+i)（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法3.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于 A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π4.若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是A ．5-2 B ．0 C ．53 D ．525.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．06. 已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是 A．⎤⎦ B．⎤⎦C．1⎡⎤⎣⎦ D．1⎡⎤⎣⎦7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 A ．1 BCD8.在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的中心，则AP 等A ．2B ．1C ．83 D ．43二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 .10.已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 .11.如图2的⊙O 中,弦,,2,AB CD P PA PB ==相交于点1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 .必做题（12-16题） 12.若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 .13.执行如图3所示的程序框图，如果输入1,2,a b a ==则输出的的值为 .14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ，则C 的离心率为___。
2013湖南理科高考数学卷(含答案)
2013年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）若M={直线}，N={抛物线}，则M∩N的元素个数是（）A．0B．1C．2D．不能确定3．（5分）如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为（）A．π+2 B．C．2π+2 D．24．（5分）高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则换届后不同的任职结果有（）A．16种B．18种C．20种D．22种5．（5分）若在区域内任取一点P，则点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）设直线l的方程为：x+ysinθ﹣2013=0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的范围是（）A．[0，π）B．C．D．7．（5分）下列命题正确的有①用相关指数R2来刻画回归效果越小，说明模型的拟合效果越好；②命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定¬p：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；③设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则；④回归直线一定过样本中心（）．（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（5分）在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的“理想距离”为：d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；若C（x，y）到点A（2，3）、B（8，8）的“理想距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤8、0≤y≤8，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和是（）A．3+B．C．10 D．5二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题0分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．计算的值等于_________．10．（5分）如图，点A，B，C是圆O上的点，且，，则圆O的面积等于_________．11．（5分）若曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ，则曲线C的普通方程为_________．12．（5分）看图程序运行后的输出结果s=_________．13．（5分）已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p 是q的_________条件．14．（5分）为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文密文密文明文．现在加密密钥为y=log a（x+2），如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为_________．15．（5分）已知a，b，c成等差数列，则直线ax﹣by+c=0被曲线x2+y2﹣2x﹣2y=0截得的弦长的最小值为_________．16．（5分）已知x，y∈N*，且1+2+3+4+…+y=1+9+92++…+9x﹣1，当x=2时，y=_________；若把y表示成x的函数，其解析式是y=_________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知，设ω＞0，，，若f（x）图象中相邻的两条对称轴间的距离等于．（1）求ω的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．当f（A）=1时，求b，c的值．18．（12分）在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜．（Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；（Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列．19．（12分）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长是，侧棱长是3，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．（1）求证：A1C⊥面AEF；（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角θ的正切值．20．（13分）京广高铁于2012年12月26日全线开通运营，G808次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程S（t）（单位：m）和时间t（单位：s）的关系为：．（1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间；（2）求列车正常行驶的速度；（3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值．21．（13分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．（1）求这三条曲线的方程；（2）对于抛物线上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，求a的取值范围．22．（13分）已知二次函数f（x）=x2﹣ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{a n}的前n项和S n=f（n），（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}中，令，T n=，求T n；（3）设各项均不为零的数列{c n}中，所有满足c i•c i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c n}的变号数．令（n为正整数），求数列{c n}的变号数．2013年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：要求两个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式．解答：解：复数===2﹣i故选B．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大，解题应用的原理也比较简单，是一个送分题目．2．（5分）若M={直线}，N={抛物线}，则M∩N的元素个数是（）A．0B．1C．2D．不能确定考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：根据两个集合的意义，两个集合的交集的定义，求得M∩N的元素个数．解答：解：由于M={直线}，表示所有直线构成的集合，N={抛物线}，表示所有的抛物线构成的集合，故M∩N=∅，故M∩N的元素个数是0，故选A．点评：本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，集合的表示方法，属于基础题．3．（5分）如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为（）A．π+2 B．C．2π+2 D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，再利用体积公式，即可得到结论．解答：解：由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是斜边为2的等腰直角三角形，高是2，圆柱的底面半径是1，高是2，所以该几何体的体积为=π+2故选A．点评：本题考查由三视图还原几何体的直观图，考查几何体体积的计算，属于基础题．4．（5分）高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则换届后不同的任职结果有（）A．16种B．18种C．20种D．22种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：利用两个计数原理及排列和组合的计算公式即可得出．解答：解：分为以下两类：一类：若选出的3人中有乙，还得选出另外2人有，又乙只能从书记、宣传委员中选出一个职位，可有，因此，共有=12种不同的结果；另一类：若选出的3人中没有乙，则可有=6种不同的结果．综上共有：12+6=18种不同的结果．故选B，点评：熟练掌握两个计数原理及排列和组合的计算公式是解题的关键．5．（5分）若在区域内任取一点P，则点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率为（）A．B．C．D．考点：简单线性规划的应用；几何概型．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△AB0及其内部．单位圆x2+y2=1位于△AB0内的部分为一个圆心角为的扇形，由此结合几何概型计算公式和面积公式，即可算出所求的概率．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△AB0及其内部，其中A（1，0），B（0，1），0为坐标原点∵单位圆x2+y2=1位于△AB0内的部分为一个扇形，其圆心角为∴在区域内任取一点P，点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率为P===故选：A点评：本题给出不等式组表示的平面区域内一点，求点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识，属于基础题．6．（5分）设直线l的方程为：x+ysinθ﹣2013=0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的范围是（）A．[0，π）B．C．D．考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：当sinθ=0时，直线l的斜率不存在，倾斜角α=，当sinθ≠0时，直线l的斜率k=结合正弦函数的值域及反比例函数的性质，可以分析出直线l的斜率k的取值范围，进而得到倾斜角的范围，综合讨论结果，可得答案．解答：解：当sinθ=0时，直线l的方程为：x﹣2013=0此时倾斜角α=当sinθ≠0时，直线l的方程为：y=x+2013直线l的斜率k=∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）直线l的倾斜角α∈综上所述：直线l的倾斜角α∈故选C点评：本题考查的知识点是直线的方程，直线斜率与倾斜角的关系，解答时易忽略直线l的斜率不存在，倾斜角α=，而错选D．7．（5分）下列命题正确的有①用相关指数R2来刻画回归效果越小，说明模型的拟合效果越好；②命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定¬p：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；③设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则；④回归直线一定过样本中心（）．（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：命题的真假判断与应用；命题的否定；线性回归方程；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：证明题．分析：①相关指数表示拟合效果的好坏，指数越大，相关性越强．②存在性命题的否定是全称命题③正态分布函数曲线的特点是：关于x=μ对称，在x=μ处达到最大值④性回归方程一定过样本中心点，在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，解答：解：①R2越大拟合效果越好，故①不正确，②由存在性命题的否定是全称命题得②正确，③正态分布函数曲线的特点是：关于x=0对称，在x=0处达到最大值，且p（ξ＜0）=，若P（ξ＞1）=p则若P（ξ＜﹣1）=p所以．故③正确．④样本中心点在直线上，故④正确故选C．点评：本题考查衡量两个变量之间相关关系的方法，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断．大于0.75时，表示两个变量有很强的线性相关关系．8．（5分）在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的“理想距离”为：d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；若C（x，y）到点A（2，3）、B（8，8）的“理想距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤8、0≤y≤8，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和是（）A．3+B．C．10 D．5考点：两点间的距离公式．专题：新定义．分析：利用新定义对x、y分类讨论即可得出．解答：解：∵d（C，A）=|x﹣2|+|y﹣3|，d（C，B）=|x﹣8|+|y﹣8|，d（C，A）=d（C，B），∴|x﹣2|+|y﹣3|=|x﹣8|+|y﹣8|，（*）∵实数x、y满足0≤x≤8、0≤y≤8，则可以分以下4种情况：①当0≤x＜2，0≤y≤3时，（*）化为2﹣x+3﹣y=8﹣x+8﹣y，即11=0，矛盾，此种情况不可能；②当0≤x＜2，3＜y≤8时，（*）化为2﹣x+y﹣3=8﹣x+8﹣y，得到y=＞8，此时矛盾，此种情况不可能；③当2≤x≤8，0≤y≤3时，（*）化为x﹣2+3﹣y=8﹣x+8﹣y，得到x=，此时满足条件的点C（x，y）的轨迹的长度为3；④当2≤x≤8，3＜y≤8时，（*）化为x﹣2+y﹣3=8﹣x+8﹣y，得到x+y=10.5，令y=8，得x=2.5，点（2.5，8）；令y=3，得x=7.5，点（7.5，3）．此时满足条件的点C（x，y）的轨迹的长度==．综上可知：所有满足条件的点C的轨迹的长度之和是3+5．故选A．点评：正确理解新定义、分类讨论的思想方法是解题的关键．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题0分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．计算的值等于2．考点：定积分．专题：计算题．分析：根据定积分的计算法则进行计算，求出3x2的原函数即可；解答：解：==13﹣（﹣1）3=2，故答案为2．点评：此题主要考查定积分的计算，这是高考新增的知识点，此题是一道基础题．10．（5分）如图，点A，B，C是圆O上的点，且，，则圆O的面积等于4π．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：设圆的半径为R，由正弦定理可得，可求圆的半径，进而可求圆的面积解答：解：设圆的半径为R由正弦定理可得，∵，∴2R=∴R=2，S=4π故答案为：4π点评：本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基础试题11．（5分）若曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ，则曲线C的普通方程为x2=2y．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：曲线的方程即ρ2•cos2θ=2ρsinθ，根据极坐标和直角坐标之间的互化公式，求出它的直角坐标方程．解答：解：曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ，即ρ2•cos2θ=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2=2y，故答案为x2=2y点评：本题主要考查曲线的极坐标方程和直角坐标方程之间的互化，属于基础题．12．（5分）看图程序运行后的输出结果s=21．考点：伪代码．专题：图表型．分析：先读懂程序的算法，再据算法规则依次算出结果．可以看出这是一个循环结构．依其特点求解即可．解答：解：程序是一个循环结构，步长是2，每循环一次i就加进2，初始i=1，可循环4次，第4次进入循环体后i=9，故S=9×2+3=21．故答案为：21．点评：考查算法语言的结构，此类题的做法通常是把值代入，根据其运算过程求出值．13．（5分）已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p 是q的必要不充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：a与b没有公共点，则a与b所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b上）；但α∥β，则面面平行的性质定理，我们易得a与b平行或异面．结合充要条件定义即可得到结论．解答：解：∵a与b没有公共点时，a与b所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b上）；∴命题p：a与b没有公共点⇒命题q：α∥β，为假命题；又∵α∥β时，a与b平行或异面，即a与b没有公共点∴命题q：α∥β⇒命题p：a与b没有公共点，为真命题；故p是q的必要不充分条件故答案：必要不充分点评：本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，我们先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论．14．（5分）为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文密文密文明文．现在加密密钥为y=log a（x+2），如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为14．考点：通讯安全中的基本问题．专题：计算题．分析：根据题意中给出的解密密钥为y=log a（x+2），及明文“6”通过加密后得到密文“3”，可求出底数a的值，若接受方接到密文为“4”，不妨解密后得明文为b，构造方程，解方程即可解答．解答：解：∵加密密钥为y=log a（x+2），由其加密、解密原理可知，当x=6时，y=3，从而a=2；不妨设接受方接到密文为“4”的“明文”为b，则有4=log2（b+2），从而有b=24﹣2=14．即解密后得明文为14故答案为：14．点评：本题考查新运算，解题的关键是：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．15．（5分）已知a，b，c成等差数列，则直线ax﹣by+c=0被曲线x2+y2﹣2x﹣2y=0截得的弦长的最小值为2．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：利用等差数列的定义得到2b=a+c，求出圆心坐标及半径，求出圆心到直线的距离d，利用勾股定理求出弦长，求出最小值．解答：解：因为a，b，c成等差数列，所以2b=a+c因为x2+y2﹣2x﹣2y=0表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆，则圆心到直线的距离为d==则直线ax﹣by+c=0被曲线x2+y2﹣2x﹣2y=0截得的弦长l=≥2所以0截得的弦长的最小值为2，故答案为2．点评：求直线与圆相交的弦长问题，一般通过构造直角三角形，利用勾股定理求出弦长．16．（5分）已知x，y∈N*，且1+2+3+4+…+y=1+9+92++…+9x﹣1，当x=2时，y=4；若把y表示成x的函数，其解析式是y=．考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：把x=2代入已知可得=10，解之即可；由又求和公式可得=，解之可得答案．解答：解：由题意可得x=2时，1+2+3+4+…+y=1+9，故可得=10，解得y=4，又由1+2+3+4+…+y=1+9+92++…+9x﹣1可得=，即y（y+1）=，故y=，故答案为：4；点评：本题考查等差数列和等比数列的求和公式，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知，设ω＞0，，，若f（x）图象中相邻的两条对称轴间的距离等于．（1）求ω的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．当f（A）=1时，求b，c的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）由数量积的定义和三角函数的公式可得f（x）=，又可得，由周期公式可得；（2）由题意可得，由余弦定理和面积可得b，c的方程组，解之即可．解答：解：（1）∵==，又∴，解得ω=1；（2）∵f（A）=1，∴，由0＜A＜π得，又∵∴解得或点评：本题考查平面向量数量积的运算，以及余弦定理的应用，属中档题．18．（12分）在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜．（Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；（Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列．考点：相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：应用题．分析：（Ⅰ）根据题意，该考生8道题全答对即另四道题也全答对，根据相互独立事件概率的乘法公式，计算可得答案．（Ⅱ）根据题意，分析可得，该生答对题的个数可能为4，5，6，7，8，分别求出其概率，进而可得其分布列．解答：解：（Ⅰ）根据题意，该考生8道题全答对即另四道题也全答对，即相互独立事件同时发生，故其概率为：P=．（5分）（Ⅱ）根据题意，分析可得，该生答对题的个数可能为4，5，6，7，8，其概率分别为：P（ξ=8）=分布列为：（13分）点评：本题考查相互独立事件概率的乘法公式与随机变量的分布列，两者经常一起考查，平时要加强这方面的训练．19．（12分）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长是，侧棱长是3，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．（1）求证：A1C⊥面AEF；（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角θ的正切值．考点：直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间角．分析：（1）连接A1C，证明AE⊥A1C，AF⊥A1C，利用直线与平面垂直的判定定理证明A1C⊥面AEF；（2）如图说明∠NAO=θ就是截面AEF与底面ABCD所成二面角θ，通过解三角形，求出AC，BE，即可求解θ的正切值．解答：证明：（1）连接A1C正四棱柱⇒CB⊥平面ABB1A1⇒CB⊥AE又∵AE⊥A1B∴AE⊥平面A1BC⇒AE⊥A1C同理可得：AF⊥A1C∴A1C⊥平面AEF（2）∵AE⊥A1B⇒Rt△ABA1∽Rt△ABE⇒∠ABA1=∠BEA，如图EF的中点为N，AC 的中点为O，连结NO，则∠NAO=θ，又底面边长是，侧棱长是3∴，得，BE=1同理DF=1又，∴．点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．20．（13分）京广高铁于2012年12月26日全线开通运营，G808次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程S（t）（单位：m）和时间t（单位：s）的关系为：．（1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间；（2）求列车正常行驶的速度；（3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值．考点：函数模型的选择与应用；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数求出列车的速度关于t的表达式，令v（t）=0解出即可；（2）利用（1），令t=0，解出即可；（3）因为加速度a（t）=V'（t），利用导数求出即可．解答：解：（1）∵紧急刹车后列车的速度V（t）=S'（t），∴，当列车完全停止时V（t）=0m/s，∴t2﹣4t﹣60=0，解得t=10或t=﹣6（舍去）．即从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为10s．（2）由（1）知，从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为10 s，又由列车的速度∴火车正常行驶的速度当t=0时，V（0）=90m/s（3）∵紧急刹车后列车运行的加速度a（t）=V'（t）∴∵|a（t）|=∴|a（0）|最大，|a（t）|max=84m/s2点评：熟练掌握v（t）=s′（t），a（t）=v′（t）是解题的关键．21．（13分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．（1）求这三条曲线的方程；（2）对于抛物线上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，求a的取值范围．考点：圆锥曲线的共同特征；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意求出平行方程，得到椭圆与双曲线的焦点坐标，求出椭圆与双曲线中a，b，然后求椭圆与双曲线的方程；（2）设出抛物线上任意一点Q的坐标，点P（a，0）求出|PQ|，利用|PQ|≥|a|恒成立，求a的取值范围．解答：解：（1）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），将M（1，2）代入方程得p=2∴抛物线方程为：y2=4x由题意知椭圆、双曲线的焦点为F（﹣1，0）1，F2（1，0），∴c=1对于椭圆，∴，所以椭圆方程为对于双曲线，∴，所以双曲线方程为（2）设由|PQ|≥|a|得，t2+16﹣8a≥0，t2≥8a﹣16恒成立则8a﹣16≤0，a≤2∴a∈（﹣∞，2]点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，三种曲线的求法，两点间的距离公式的应用，考查学生分析问题与解决问题的能力，考查转化思想．22．（13分）已知二次函数f（x）=x2﹣ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{a n}的前n项和S n=f（n），（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}中，令，T n=，求T n；（3）设各项均不为零的数列{c n}中，所有满足c i•c i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c n}的变号数．令（n为正整数），求数列{c n}的变号数．考点：数列与函数的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由f（x）≤0的解集有且只有一个元素可知△=a2﹣4a=0，从而可求得a值，又定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，对a进行检验取舍，可确定a值，利用S n与a n的关系即可求得a n．（2）由（1）求得b n，根据其结构特征利用错位相减法即可求得T n；（3）先求出C n，判断n≥3时数列的单调性，根据变号数的定义可得n≥3时的变号数，根据c1=﹣3，c2=5，c3=﹣3，可得此处变号数，从而可求得数列{c n}的变号数．解答：解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，∴△=a2﹣4a=0⇒a=0或a=4，当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+∞）上递增，故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，当a=4时，函数f（x）=x2﹣4x+4在（0，2）上递减，故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．综上，得a=4，f（x）=x2﹣4x+4，∴，∴；（2）∵=，∴b n=n，，①，②①﹣②得，﹣T n=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1，∴；（3）由题设∵n≥3时，，∴n≥3时，数列{c n}递增，∵，由，可知a4•a5＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；又∵c1=﹣3，c2=5，c3=﹣3，即c1•c2＜0，c2•c3＜0，∴此处变号数有2个．综上得数列{c n}共有3个变号数，即变号数为3；点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，考查学生解决新问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求高．。
2013年湖南高考理科数学卷及答案
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数i (1i)z =+(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 ( ) A .抽签法B .随机数法C .系统抽样法D .分层抽样法3.在锐角中ABC △,角A ,B 所对的边长分别为a ,b .若2sin a B =,则角A 等于( )A .π12B .π6C .π4D .π34.若变量x ,y 满足约束条件2,1,1,y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥,则2x y +的最大值是( )A .52-B .0C .53D .525.函数()2ln f x x =的图象与函数2()45g x x x =-+的图象的交点个数为( )A .3B .2C .1D .06.已知a ,b 是单位向量,0=a b .若向量c 满足||1--=c a b ,则||c 的取值范围是( ) A.1] B.2] C.1]D.2]+7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不．可能．．等于( )A .1BCD8.在等腰直角三角形ABC 中,=4AB AC =,点P 是边AB 上异于A ,B 的一点,光线从点P 出发,经BC ,CA 发射后又回到原点P （如图）.若光线QR 经过ABC △的中心,则AP 等于( ) A .2 B .1 C .83D .43二、填空题：本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.（一）选做题（请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）9.在平面直角坐标系xOy 中,若l ：,x t y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆C ：3cos ,2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点,则常数a 的值为 . 10.已知,,a b c ∈R ,236a b c ++=,则22249a b c ++的最小值为 .11.如图,的O 中,弦AB ,CD 相交于点P ,2PA PB ==,1PD =,则圆心O 到弦CD 的距离为 .（二）必做题（12～16题）12.若20d 9Tx x =⎰,则常数T 的值为 .13.执行如图所示的程序框图,如果输入1a =,2b =,则输出的a 的值为 .14.设1F ,2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点.若126PF PF a +=,且12PF F △的最小内角为30,则C 的离心率为 . 15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和,1(1)2n n n n S a =--,*n ∈N ,则 （1）3a = . （2）12100S S S +++= .16.设函数()xxxf x a b c =+-,其中0c a >>,0c b >>.（1）记集合{(,,),,}M a b c a b c a b =不能构成一个三角形的三条边长,且=,则(,,)a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为 .（2）若a ,b ,c 是ABC △的三条边长,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号)①(,1)x ∀∈-∞,()0f x >；②x ∃∈R ,使x a ,x b ,x c 不能构成一个三角形的三条边长； ③若ABC △为钝角三角形,则(1,2)x ∃∈,使()0f x =.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数ππ()sin()cos()6f x x x =-+-,2()2sin 2xg x =.（Ⅰ）若α是第一象限角,且()f α,求()g α的值；（Ⅱ）求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.18.（本小题满分12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.（Ⅰ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率； （Ⅱ）从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.19.（本小题满分12分）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________如图,在直棱柱1111ABCD A B C D -中,AD BC ∥,90BAD ∠=,AC BD ⊥,1BC =,13AD AA ==.（Ⅰ）证明：1AC B D ⊥；（Ⅱ）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值.20.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”.如图所示的路径123MM M M N 与路径1MN N 都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点(3,20)A ,(10,0)B -,(14,0)C 处.现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心.（Ⅰ）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）； （Ⅱ）若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区.请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小.21.（本小题满分13分） 过抛物线E :22(0)x py p =>的焦点F 作斜率分别为1k ,2k 的两条不同的直线1l ,2l ,且122k k +=.1l 与E 相交于点A ,B ,2l 与E 相交于点C ,D .以AB ,CD 为直径的圆M ,圆N （M ,N 为圆心）的公共弦所在直线记为l .（Ⅰ）若10k >,20k >,证明：22FM FN P <；（Ⅱ）若点M 到直线l,求抛物线E 的方程.21.（本小题满分13分）已知0a >,函数()||2x af x x a-=+. （Ⅰ）记()f x 在区间[0,4]上的最大值为()g a ,求()g a 的表达式；（Ⅱ）是否存在a ,使函数()y f x =在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直？若存在,求a 的取值范围；若不存在,请说明理由.2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案解析【解析】i(1i)1z=+=-【提示】利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解【考点】复数乘法的运算法则，复数集与复平面上的点对应关系2sina B【提示】给出三角形中的边角关系，运用正弦定理求解未知角【考点】正弦定理33⎝⎭333【解析】2()g x x=一直角坐标系内画出函数()f x与()g x有2个不同的交点在位置P'时最远，而21PO=-，21P O'=+，故选A．【提示】令OA a=，OB b=，OD a b=+，OC c=，作出图象，根据图象可求出||c的最2)2(11213)2(121212)(24292)3(a b c a b c a =⨯+⨯+⨯≤++++=，化简得212c ≥，由此可得当且仅当2a =，1b =，2c =时，224a b +PD PC PA PB =，22⎝⎭a22a c <，【解析】n n a S =-n 为偶数时11210021431009923100()()()2222S S S a a a a a a ⎛⎫∴+++=-+-++--++++ ⎪⎝⎭399210010011111111122222232⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【提示】（1）把给出的数列递推式先分1n =和2n ≥讨论，由此求出首项和2n ≥时的关系式11(1)(1)2n n n n n n a a a -=-+--．对此关系式再分n 为偶数和奇数分别得到当n 为偶数和a 【解析】0c a >>①a ，b ，c ，0c a >>0ac∴<<,1)-∞110x ab c c +->∞则a ，b ，c ③c a >，c上存在零点，故③正确【提示】（1）由集合M 中的元素满足的条件，得到2c a b a ≥+=，求得a的范围，解出函数的零点，利用()xxxf x a b c +-=不等式可得零点x 的取值集合；（2）对于①，把函数式()xxxf x a b c +-=变形为()1xxx x x xa b f x a b c c c c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；解出3sin 5α=，利用同角三角函数的基本关系算出4cos 5α=．由二倍角的余弦公式进行降次，可得()1cos g x x =-，即可算出1()1cos g αα=-=； 【提示】（Ⅰ）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，)ABCD -ABCD ，且面又AC BD ⊥，且1BD BB B =，AC ⊥面BDB ，1B D ⊂面BDB 1AC B D ⊥（Ⅱ）11B C BC AD ∥∥∴直线．建立直角坐标系，用向量解题．设原点在正半轴，AA 设(0,0,0)A ，(3,0,0)，D ，(0,,0)B y ，(1C 则(1,,0)AC y =，(3,BD =-，AC BD ⊥00AC BD y =⇒-+=0y >⇒=，(1,AC ∴=，(3,0,3)AD =设平面A C D ,,)x y z ，则100n A Cn A D ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩平1C D 的一，(1,0,0)B C =1法向3(1,0,0)sin |cos ,|B C n B C θ=⇒=<>==71BD B=，AD与平面【考点】绝对值函数最值（Ⅰ）22FM FN p<已知抛物线的焦点为212(x x p FM k p=-⇒⇒=同理23422x k p⇒==，(FN k p⇒=121)FM FN k k⇒=1k>，2k2122k k k+>⇒21FM FN p k∴=所以，22FM FN p<（Ⅱ）径分1⎡⎛222)0+=211214455k kp p⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭≥抛物线的方程为216x y=求出向量FM和FN2)()f x'=-232)3axx aa+-，2223(2)ax a -+12)4x x a ++【提示】（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得()g a 的表达式；（Ⅱ）利用曲线()y f x =在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论【考点】导数求分段函数的最值，导数的几何意义。
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2013年普通高等学校招生全国统一测试数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数z=i ·（1+i ）（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣和业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A. 抽签法B. 随机数法C. 系统抽样法D. 分层抽样法3. 在锐角ABC ∆中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b 。
若b B a 3sin 2=，则角A 等于( ) A. 12π B. 6π C. 4π D. 3π 4. 若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤,1,1,2y y x x y 则y x 2+的最大值是( )A. 25-B. ０C. 35D. 25 5. 函数()x x f ln 2=的图象和函数()542+-=x x x g 的图象的交点个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 06. 已知a ，b 是单位同量，a ·b =0。
若向量c 满足1=--b a c ，则的取值范围是( )A. [12-,12+]B. [12-,22+]C. [1, 12+]D. [1, 22+]7. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 212- D. 212+ 8. 在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC =4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图1）。
若光线QR 经过ABC ∆的重心，则AP 等于( )A. 2B. 1C. 38D. 34二、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分。
（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧-==a t y t x , (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin 2,cos 3y x (ϕ为参数) 的右顶点，则常数a 的值为 . 10. 已知∈c b a ,,R ，a +2b +3c =6，则22294c b a ++的最小值为 .11. 如图2，在半径为7的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，P A =PB =2，PD =1，则圆心O 到弦CD 的距离为 .(二)必做题（12～16题）12. 若⎰=Tdx x 029，则常数T 的值为 . 13. 执行如图3所示的程序框图，如果输入a =1，b =2，则输出的a 的值为 .14. 设1F ，2F 是双曲线C ：12222=-by a x （a >0，b >0）的两个焦点，P 是C 上一点。
若a PF PF 621=+，且21F PF ∆的最小内角为30°，则C 的离心率为 .15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()n n n n a S 211--=，+∈N n ，则 （1）1a = ；（2）10021S S S +++ = 。
16. 设函数()x x x c b a x f ++=，其中c >a >0，c >b >0。
（1）记集合M={（c b a ,,）|c b a ,,不能构成一个三角形的三条边长，且a =b }，则（c b a ,,）∈M 所对应的f （x ）的零点的取值集合为 ；（2）若c b a ,,是ABC ∆的三条边长，则下列结论正确的是 。
（写出所有正确结论的序号）①()1,∞-∈∀x ，f （x ）>0；②R x ∈∃，使x x x c b a ,,不能构成一个三角形的三条边长；③若ABC ∆为钝角三角形，则∈∃x (1,2)，使f （x ）=0。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）已知函数f （x ）=sin （6π-x ）+cos （3π-x ），g （x ）=2sin 22x 。
（Ⅰ）若α是第一象限角，且f （α）=533，求g （α）的值； （Ⅱ）求使f （x ）≥g （x ）成立的x 的取值集合。
18.（本小题满分12分）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。
根据历年的种植经验，一株该X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4Y 51 48 45 421米。
（Ⅰ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（Ⅱ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列和数学期望。
19.（本小题满分12分）如图5，在直棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BC AD //，∠BAD =90°，BD AC ⊥，BC =1，AD =AA 1=3。
（Ⅰ）证明：D B AC 1⊥；（Ⅱ）求直线B 1C 1和平面ACD 1所成角的正弦值。
20.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”。
如图6所示的路径MM 1M 2M 3N 和路径MN 1N 都是M 到N的“L 路径”。
某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点A （3，20），B （-10，0），C （14，0）处，现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心。
（Ⅰ）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）； （Ⅱ）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区。
请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小。
21.（本小题满分13分）过抛物线E ：py x 22=（p >0）的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且221=+k k 。
l 1和E 相交于点A ，B ；l 2和E 相交于点C ，D 。
以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N （M ，N 为圆心）的公共弦所在直线记为l 。
（Ⅰ）若k 1>0，k 2>0，证明：22·p <；（Ⅱ）若点M 到直线l 的距离的最小值为557，求抛物线E 的方程。
22.（本小题满分13分）已知a >0，函数f （x ）=a x a x 2+-。
（Ⅰ）记f （x ）在区间[0，4]上的最大值为g （a ），求g （a ）的表达式；（Ⅱ）是否存在a ，使函数y = f （x ）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。
2012年高考理科数学（湖南卷）参考答案一、1—5：BDDCB 6—8：ACD二、9、3 10、12 11、23 12、3 13、9 14、3 15、（1）161- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-12131100 16、（1）{x |0＜x ≤1} （2）①②③ 三、17、解： f （x ）=sin （6π-x ）+cos （3π-x ） =x x x x sin 23cos 21cos 21sin 23++- =x sin 3，g （x ）=2sin 22x =x cos 1-。
（Ⅰ）由f （α）=533得sin α=53，又α是第一象限角，所以cos α>0，从而 g （α）=αcos 1-=α2sin 11--=541-=51。
（Ⅱ）f （x ）≥g （x ）等价于x sin 3≥x cos 1-，即x x cos sin 3+≥1，于是sin （6π+x ）≥21。
从而62ππ+k ≤6π+x ≤652ππ+k ，Z k ∈，即πk 2≤x ≤322ππ+k ，Z k ∈。
故使f （x ）≥g （x ）成立的x 的取值集合为{x |πk 2≤x ≤322ππ+k ，Z k ∈}。
18、解：（Ⅰ）所种作物总株数N =1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有11213C C =36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种。
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为92368=。
（Ⅱ）先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列。
因为 P （Y = 51）= P （X = 1），P （Y = 48）= P （X = 2），P （Y = 45）= P （X = 3），P （Y = 42）= P （X = 4），所以只需求出P （X = k ）（k =1，2，3，4）即可。
记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物侏数（k =1，2，3，4），则n 1=2，n 2=4，n 3=6，n 4=3由P （X = k ）=Nn k 得 P （X =1）=152，P （X =2）=154，P （X =3）=156=52，P （X =4）=153=51。
Y 51 48 45 42P 152 154 52 51 E （Y ）=51×152+48×154+45×52+42×51=542906434+++=46。
19、解法1：（Ⅰ）如图1，因为⊥1BB 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，所以1BB AC ⊥。
又BD AC ⊥，所以⊥AC 平面BB 1D 。
而⊂D B 1平面BB 1D ，所以D B AC 1⊥。
（Ⅱ）因为AD C B //11，所以直线B 1C 1和平面ACD 1所成的角等于直线AD 和平面ACD 1所成的角（记为θ）。
如图1，边结A 1D 。
因为棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1是直棱柱，且∠B 1A 1D 1=∠BAD =90°，所以⊥11B A 平面ADD 1A 1，从而111AD B A ⊥。
又AD =AA 1=3，所以四边形ADD 1A 1是正方形，于是11AD D A ⊥。
故⊥1AD 平面A 1B 1D ，于是D B AD 11⊥。
由（Ⅰ）知，D B AC 1⊥，所以⊥D B 1平面ACD 1，故∠ADB 1=θ-︒90。
在直角梯形ABCD 中，因为BD AC ⊥，所以∠BAC =∠ADB 。
从而Rt ABC ∆～Rt DAB ∆，故ABBC DA AB =，即3·==BC DA AB 。