2013年高考理科数学试卷及答案(湖南卷)(Word版)

2013年普通高等学校招生全国统一测试

数学（理工农医类）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1. 复数z=i ·（1+i ）（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于 ( )

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

2. 某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣和业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是

( )

A. 抽签法

B. 随机数法

C. 系统抽样法

D. 分层抽样法

3. 在锐角ABC ∆中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b 。若b B a 3sin 2=，则角A 等于( ) A. 12π B. 6π C. 4π D. 3

π 4. 若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧-≥≤+≤,1,1,2y y x x y 则y x 2+的最大值是( )

A. 25-

B. ０

C. 35

D. 2

5 5. 函数()x x f ln 2=的图象和函数()542+-=x x x g 的图象的交点个数为( )

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

6. 已知a ，b 是单位同量，a ·b =0。若向量c 满足1=--b a c ，则的取值范围是( )

A. [12-,12+]

B. [12-,22+]

C. [1, 12+]

D. [1, 22+]

7. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．

等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 212- D. 2

12+ 8. 在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC =4，点P 是边AB 上异于A ，

B 的一点，光线从点P 出发，经B

C ，CA 反射后又回到点P （如

图1）。若光线QR 经过ABC ∆的重心，则AP 等于( )

A. 2

B. 1

C. 38

D. 3

4

二、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分。

（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

9. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧-==a t y t x , (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕ

ϕsin 2,cos 3y x (ϕ为参数) 的右顶点，则常数a 的值为 . 10. 已知∈c b a ,,R ，a +2b +3c =6，则22294c b a ++的最小值为 .

11. 如图2，在半径为7的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，P A =PB =2，

PD =1，则圆心O 到弦CD 的距离为 .

(二)必做题（12～16题）

12. 若⎰=T

dx x 029，则常数T 的值为 . 13. 执行如图3所示的程序框图，如果输入a =1，b =2，则输出

的a 的值为 .

14. 设1F ，2F 是双曲线C ：122

22=-b

y a x （a >0，b >0）的两个焦点，P 是C 上一点。若a PF PF 621=+，且21F PF ∆的最小

内角为30°，则C 的离心率为 .

15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()n n n n a S 2

11--=，+∈N n ，则 （1）1a = ；

（2）10021S S S +++ = 。

16. 设函数()x x x c b a x f ++=，其中c >a >0，c >b >0。

（1）记集合M={（c b a ,,）|c b a ,,不能构成一个三角形的三条边长，且a =b }，则

（c b a ,,）∈M 所对应的f （x ）的零点的取值集合为 ；

（2）若c b a ,,是ABC ∆的三条边长，则下列结论正确的是 。（写出所有正

确结论的序号）

①()1,∞-∈∀x ，f （x ）>0；

②R x ∈∃，使x x x c b a ,,不能构成一个三角形的三条边长；

③若ABC ∆为钝角三角形，则∈∃x (1,2)，使f （x ）=0。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

已知函数f （x ）=sin （6π-x ）+cos （3π-x ），g （x ）=2sin 22

x 。 （Ⅰ）若α是第一象限角，且f （α）=5

33，求g （α）的值； （Ⅱ）求使f （x ）≥g （x ）成立的x 的取值集合。

18.（本小题满分12分）

某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该X 之间的关系如下表所示：

X 1 2 3 4

Y 51 48 45 42

1米。

（Ⅰ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；

（Ⅱ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列和数学期望。

19.（本小题满分12分）

如图5，在直棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BC AD //，∠

BAD =90°，BD AC ⊥，BC =1，AD =AA 1=3。

（Ⅰ）证明：D B AC 1⊥；

（Ⅱ）求直线B 1C 1和平面ACD 1所成角的正弦值。

20.（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横

方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”。

如图6所示的路径MM 1M 2M 3N 和路径MN 1N 都是M 到N

的“L 路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面

xOy 内三点A （3，20），B （-10，0），C （14，0）处，现

计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一

个文化中心。

（Ⅰ）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）； （Ⅱ）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保

护区。请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小。

21.（本小题满分13分）

过抛物线E ：py x 22=（p >0）的焦点F 作斜率分别为

k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且221=+k k 。l 1和E 相交

于点A ，B ；l 2和E 相交于点C ，D 。以AB ，CD 为直径的