(完整版)弹塑性力学公式

合集下载

(完整版)弹塑性力学公式

应力应变关系:弹性模量 || 广义虎克定律 1.弹性模量a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即E σε=b 切变模量切应力与相应的切应变之比,即G τγ=c 体积弹性模量三向平均应力0()3x y z σσσσ++=与体积应变θ(=εx +εy +εz )之比, 即K σθ=d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即1ενε= 2.广义虎克定律 a.弹性力学基本方程在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。

这15个未知量可由15个线性方程确定，即 (1)3个平衡方程(或用脚标形式简)写为:22()0jijii x u f tσρ∂∂++-=∂∂(,,,)i j x y z =(2)6个变形几何方程,或简写为:1()2ji ij j iu u E x x ∂∂=+∂∂(,,,)i j x y z =(3)6个物性方程简写为:0132ij ij E G E νσσδ=-2ij ij ijG σελθδ=+(,,,)i j x y z ={1()0()()i j ij i j δ=≠=2.边界条件x x xx xy xy xz xzF l l l σττ=++y yz xx y xy yz xzF l l l τσσ=++z zz xx xy xy z xzF l l l ττσ=++式中，l nj =cos(n,j)为边界上一点的外法线n 对j 轴的方向余弦 b 位移边界问题在边界S x 上给定的几何边界条件为*x x u u = *y y u u =*z z u u = 式中，u i 为表面上给定的位移分量Cauchy 公式： T x = σ x l + τ xy m +τ zx n T y = τ xy l+σ y m +τ zy n T y =τ xz l+τ y z m +σ z n22)(n x z n n n T l T T nT T T στ=+++=边界条件：()()()x xy xz s x xy y yz s y xz yz z s zl m n T l m n T l m n T στττστττσ++=++=++= 平衡微分方程：000yx x zxx xy y zyy yz xz zz F x y z F x y z F x y zτσττστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂ 主应力、不变量，偏应力不变量321231230x y zx xy y z zxyz yx y zy xz x z x xy xzyx y yzzx zy z I I I I I I σσσσσσστσστττσττσσστττστττσ-+-==++=++= 1231();3m i i m s σσσσσσ=++=-()()()112322222223016()6x y y z z xxy yz zx J ss s J J σσσσσστττ=++=⎡⎤=-+-+-+++⎢⎥⎣⎦=偏应力张量行列式的秩八面体812381()3σσσστ=++等效应力σ=体积应变x y z θεεε=++12312()Ev vεσσσ-=++几何方程：;;;x xy y yz z xy u u v x y x v v w y z y w u w z z xεγεγεγ∂∂∂==+∂∂∂∂∂∂==+∂∂∂∂∂∂==+∂∂∂ 12ij ij εγ=变形协调方程22222y xyx xy y xετε∂∂∂+=∂∂∂物理方程()()()12(1);12(1);12(1);x x y z xyxy y y x z yz yz z z y x zx zx v v E E v v E Ev v E Eεσσσγτεσσσγτεσσσγτ+⎡⎤=-+=⎣⎦+⎡⎤=-+=⎣⎦+⎡⎤=-+=⎣⎦偏应力与偏应变的关系 3;2m m ij ij K s Ge σε==平面应变问题()()()()()'x '''''''2111111112(1)2(1);0;110;x y x y y y x y x xy xyxy z zy zx zy zx z x y v v v v Ev v v v E v v E E E v E v v v v εσσσσεσσσσγττεγγττσσσ⎡⎤=-=--⎣⎦-⎡⎤=-=--⎣⎦-++=====--=====+ 平面应力问题()()()x 11;2(1)01;0x y y y x xy xyzy zx zy zx z x y z v v E Ev Evεσσεσσγτγγττεσσσ=-=-+======-+= 平面问题方程：平衡方程：00yxx x xy yy F x y F x yτστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂几何方程;;x y xy u v u v x y y xεεγ∂∂∂∂===+∂∂∂∂ 边界条件;x yx x xy y y l m T l m T σττσ+=+=位移边界条件;x x y y u u u u ==协调方程平面应变22222y xyxxy y xετε∂∂∂+=∂∂∂平面应力222220;0;0z z zxy x y εεε∂∂∂===∂∂∂平面问题应力解（直角坐标系）22222x x y y xy F xy F y x xy ϕσϕσϕτ∂=-∂∂=-∂∂=-∂协调方程：222222222()()()0x y x y x yϕσσ∂∂∂∂+=++=∂∂∂∂ 平面问题应力解（极坐标系）平衡微分方程：10210r r r r r r F r r r F r r rθθθθθθτσσσθτστθ∂-∂+++=∂∂∂∂+++=∂∂ 几何方程：1;1r r r r r u u u r r r u u u r r rθθθθθεεθγθ∂∂==+∂∂∂∂=+-∂∂ 本构方程：()()r 11;2(1)r r rrv v E E v Eθθθθθεσσεσσγτ=-=-+= 变形协调：22222211()0r r rr θ∂∂∂++=∂∂∂已知应力函数ϕ，求应力2222222211;111()r r r r r r r r r r r θθϕϕϕσσθϕϕϕϕτθθθ∂∂∂=+=∂∂∂∂∂∂∂=-+=-∂∂∂∂∂ 平面应变下：()()[]()()[]r (1)112(1)112r r Eu u u u E u u u u θθθσεεσεε=-++-=-++-屈服条件Tresca 屈服条件()12111s022ij sf k σσσστ-=-===单轴拉伸：k ;纯剪切：k Mises 屈服条件()()()()222222222222016()6K K ij x y y z z x xy yz zx s sf J k J σσσσσσστττσ=-=⎡⎤=-+-+-+++⎢⎥⎣⎦=单轴拉伸：;纯剪切：1、理想弹塑性材料的加卸载准则：()()0,0;0,0;ij ij ijij ij ij ff df d ff df d σσσσσσ∂===∂∂==<∂加载卸载2、硬化材料的加卸载准则：()()()0,0;0,0;0,0;ij ij ij ij ij ij ij ij ij ff d f f d ff d βββσεσσσεσσσεσσ∂=>∂∂==∂∂=<∂，加载，中性加载，卸载。

(完整word版)弹塑性力学总结

弹塑性力学总结弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。

并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。

通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下：一、弹性力学1、弹性力学的基本假定求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。

求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。

在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。

因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。

（1）假设物体是连续的。

就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。

这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。

（2）假设物体是线弹性的。

就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。

而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。

（3）假设物体是均匀的。

就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。

这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。

（4）假设物体是各向同性的。

也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。

（5）假设物体的变形是微小的。

即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。

厚壁圆筒__弹塑性力学知识

2. 弹塑性阶段：（1）弹性区：r r b
(1 )a 2 pe u E (b 2 a 2 ) b2 r (1 2 )r
a2 pe 1 2 2 b
ss

内半径为r ，外半径为b，在 r = r 处承受内压的厚壁筒
sq r
r rb
sq
p
r
sq r
a p
b
sq r
r b2 p a2 1 2 s s 1 l n 2 2 a b a r 2 2 2 s r a p b s 1 2 2 2 2 2 b b a r
通解：
s r C1 C2 r 2
s q C1 C2 r 2
一、弹性分析
2. 解答
通解：
s r C1 C2 r 2
s q C1 C2 r 2
er
1 1 C1 1 C 2 r 2 E 1 1 C1 1 C 2 r 2 eq E 1 1 C1r 1 C 2 r 1 u E 1 2 2 C1 2 a p b p2 1 2 b a a 2b 2 p2 p1 C2 2 2 b a
u
e
rr
u
p
rr
(1 ) r 2s s 2 2 C b ( 1 2 ) r 2 Eb 2

(1 ) r 2s s 2 2 u b ( 1 2 ) r 2 Eb 2 r

=1/2
3 r 2s s u 4 Er ul ue b2 2 a
弹性极限状态:
a p1

弹塑性力学1

n = n1 e1 + n2 e 2 + n3 e3 = ni ei
ni = n ⋅ ei = cos(n, ei ) dSi = cos(n, ei )dS = ni dS
dS dS3
第一章应力与平衡
一、固体中的应力状态
• 任意斜面上应力矢量的Cauchy应力公式
dSi = cos(n, e i )dS = ni dS
与
σ ij
的关系
′
(σ ij = σ ⋅ e j )
(i )
σ i′j′ = σ (i ) ⋅ e j′
= e i′ ⋅ σ ⋅ e j′ = e i′ ⋅ (σ mn e m e n ) ⋅ e j ′ = (α i′i e i ) ⋅ (σ mn e m e n ) ⋅ (α j′j e j ) = α i′iα j ′jσ mnδ imδ nj = α i′iα j′jσ ij
一点应力状态
σ = n ⋅ σ (n) σ j = niσ ij
(n)
t = n ⋅ σ t j = niσ ij
第一章应力与平衡
二、应力张量
u
u = ui e i
ui
u1 u2 u 3
σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ σ 32 σ 33 31
σ 11 − σ 0 σ 12 σ 13 0 σ 22 − σ σ 23 → σ 21 σ σ 32 σ 33 − σ 0 31 S11 S12 S13 = S 21 S 22 S 23 应力偏(斜)张量 S S32 S33 31
• 一点应力状态与应力标号

弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法

6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
θ = εx + ε y + εz
2 2 2 ∂ ∂ ∂ 2 ， ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
6.2 弹性力学问题的基本解法
位移法：
上述位移法平衡方程表示为张量形式为
(λ + μ )u j , ji + μui, jj + fi = 0
位移法平衡方程的推导包含了平衡方程、几何方程和本构方程的信息，求解时只需补充边界条件。当边界条件为给定位移时，可以直接使用；当边界条件为给定面力时，则可通过广义胡克定律和几何关系，将其中的应力用位移来表示。
增量理论
e dε ij = dε ij + dε ijp
e ij
1 dε ij = ( dui , j + du j ,i ) 2
3v 其中弹性应变增量 dε = − dσ mδ ij 2G E
塑性应变增量 dε ijp = dλ
dσ ij
∂ϕ 3dε p , dλ = ∂σ ij 2σ s
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
用张量公式表示为
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
此外还可补充6个应变协调方程
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学基本方程
本构方程：

弹塑性力学物理方程

z
x
1 2 yx
1 2
zx
1 2
xy
-
1 2
xz
y
-
1 2
yz
-
1 2
zy
z
以最后一个方程为例 zx 反号，而x，y，z和xy不变， c61＝c62＝c63＝c64＝0
x =c11x+ c12y+ c13z+ c14xy y =c12x+ c22y+ c23z+ c24xy z =c13x+ c23y+ c33z+ c34xy xy =c14x+ c24y+ c34z+ c44xy yz = c55yz+ c56zx zx = c56yz+ c66zx
x
1
Ex
- yx Ey
- zx Ez
0
0
0
x
y
xy
Ex
1
- zy
Ey
Ez
0
0
0
y
z
xy
yz
xz Ex
0
0
- yz Ey
0
0
1 Ez 0
0
0
0
1
0
G xy
0
1
G yz
0
z
0
xy
0
yz
zx
0
0
0
0
0
1 Gzx zx
1 v E
ij
E
kk ij
弹性应变能
• 一维情况
一细长杆，长度L，横截面积S，两端受拉力P作用，伸长量为L，
外力功为
L
U Pd (L) 0

弹塑性力学——精选推荐

1-5 已知1σσ=x ，2σσ=y ，0====zx yz xy z τττσ，试求与xy 平面垂直的任意斜截面上的正应力和剪应力。

解：由公式2221m l σσσυ+=， αcos =l ，αsin =m ，所以有：ασσσσασασσυ2cos )(21)(21sin cos 21212221-++=+= [注意：）αααα2cos 1(21cos )2cos 1(21sin 22+=-=•]法二：根据已知条件，建立如图所示的坐标系，设将外力沿外法线方向投影，得：sin sin cos cos =⋅⋅-⋅⋅-αασαασσυds ds ds y x 即 0sin cos 2221=⋅⋅-⋅⋅-ασασσυds ds dsασσσσασασσυ2cos )(21)(21sin cos 21212221-++=+=⇒与前同。

同理，将外力沿切线方向投影，得：cos sin sin cos =⋅⋅+⋅⋅-αασααστυds ds ds y x 即： 02sin 212sin 2121=⋅⋅+⋅⋅-ασαστυds ds ds ασστυ2sin 2)(21-=⇒ [注意：ααααααcos sin 22sin 2sin 21sin cos •••==] 综上，与xoy 平面垂直的任意斜截面上的正应力为：ασσσσασασσυ2cos )(21)(21sin cos 21212221-++=+=剪应力为：ασστυ2sin 2)(21-=。

1-6 当321σσσ>>时，如令313122σσσσσμσ---=，试证明3)3(22max 0σμττ+=，且该值在0.816~0.943之间。

解：0τ为等倾面上的剪应力，212132322210])()()[(31σσσσσστ-+-+-=由于剪应力的极值为2321σστ-±=，2132σστ-±=，2213σστ-±=232221032ττττ++=，另外有：max 2ττ=，max 121τμτσ+-=，max 321τμτσ--= 所以，212max 22max 0]426[324)1(4)1(132σσσμτμμττ+=-+++=3)3(22max 0σμττ+=⇒ 由于)30(3-=σσωμtg ，)30cos(136)]30(1[36212max 0-=-+=⇒σσωωττtg 因为：11≤≤-σμ，[当0=σω时，1-=σμ；当3πωσ=时，1=σμ；当6πωσ=时，0=σμ]将1=σμ和0=σμ代入maxττ则有： 943.0816.0max 0≤≤ττ，（816.030max 0==ττωσ时，当，943.060max0==ττωσ时，当）。

应用弹塑性力学考试用基本公式

1、平衡方程
简记为：
σ ji , j + f i = 0
∂σ r 1 ∂τ θr ∂τ zr σ r − σ θ + fr = 0 ∂r + r ∂θ + ∂z + r ∂τ rθ 1 ∂σ θ ∂τ zθ 2τ rθ + fθ = 0 + + + <ii>在柱坐标系中： r ∂z ∂r r ∂θ ∂τ rz + 1 ∂τ θz + ∂σ z + τ rz + f z = 0 r ∂z ∂r r ∂θ
应变余能 U 0* = σ ij ε ij − U 0 4、边界条件： <i>外力边界条件：
∂U 0 ∂ε ij
*
∂U 0 ε ij = ∂σ ij
σ x l + τ yx m + τ zx n = Tx τ xy l + σ y m + τ zy n = Ty τ l + τ m + σ n = T yz z z xz
εϕ =
1 ∂uϕ u r + r ∂ϕ r
体积应变
θ =
∂uθ ∂ 1 ∂ 2 1 ( ) ( ) ϕ + [ sin ] + r u u r ϕ 2 ∂θ r sin ϕ ∂ϕ r ∂r
应用弹塑性力学考试用基本公式-4
3、物理方程（本构方程、广义虎克定律）： <i>以应力分量表示应变分量：
εx =
应用弹塑性力学考试用基本公式-1
弹性力学基本方程
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx ∂x + ∂y + ∂z + f x = 0 ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + + fy = 0 <i>在直角坐标系中： ∂y ∂z ∂x ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z ∂x + ∂y + ∂z + f z = 0

弹塑性力学基本知识

dε p =
塑性功增量： dW = σ ij dε ij
p p
2 p p deij deij 3
（13）（14）
等效剪应变（或剪应变强度）： Γ=
2eij eij
（15）
T = 等效剪应力（或剪应力强度）： 4 3 1 3
1 2
sij sij
（16）
八面体剪应变： γ8 =
eij eij 2 3
P dε ij = dλ1
∂f1 ∂σ ij
（49）
特殊情况，若σ1 = σ 2 ≥ σ 3 ，则应力状态处于 f1 = σ 2 − σ 3 − σ s = 0 和 f 2 = σ 1 − σ 3 − σ s = 0
的交点处，则：
dε iP = dλ1
z 硬化模型（三类）等向硬化：
∂f1 ∂σ i
加载
中性变载
（37）
卸载
⎛ P ⎜ dε pq ∂f ∂g dσ ij = ⎜ 1 − i ∂σ ij ⎜ ∂ε pq ∂g dε mn ⎜ ∂ε mn ⎝
⎞ ⎟ ∂g ⎟ dε kl ⎟ ∂ε kl ⎟ ⎠
（条件：
∂g ∂ε ij
dε ij > 0 ）
（38）
注意：当材料处于硬化阶段时，采用
∂g ∂ε ij
第一、第二、第三偏应力不变张量：
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
（7）
J1 = skk = 0 J2 = 1 2
2 sij sij = I 2 + 3σ m
J 3 = det ( sij ) = sij s jk ski
第二偏应力不变张量：
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
（8）
J2 =
1

弹塑性力学

岩土塑性理论形成
早期研究： • 1773年Coulomb提出土质破坏条件，其后推广为 Mohr- Coulomb准则； • 1857年Rankine研究半无限体的极限平衡，提出滑移面概念； • 1903年Kö tter建立滑移线方法； • 1929年Fellenius提出极限平衡法； • 1943年Terzaghi发展了Fellenius的极限平衡法； • 1952~1955年Drucker和Prager发展了极限分析方法； • 1965年Sokolovskii发展了滑移线方法。
• ijk 符号有33或27个元素，取值为1，-1， 0。从下标为自然顺序1，2，3开始，如果交换次数为偶数，则元素为1，为奇数，则为-1，如果下标出现重复，则值为0。可从图解判断：
形成独立学科： • 岩土塑性力学最终形成于20世纪50年代末期； • 1957年Drucker指出要修改Mohr-Coulomb准则，以反映平均应力或体应变所导致的体积屈服； • 1958年剑桥大学的Roscoe等提出土的临界状态概念，于1963年提出剑桥粘土的弹塑性本构模型，开创了土体实用计算模型 • 从1970年前后至今岩土本构模型的研究十分活跃，建立的岩土本构模型也很多。 • 1982年Zienkiewicz提出广义塑性力学的概念，指出岩土塑性力学是传统塑性力学的推广。
2.2.2 标量积
• 矢量有两种乘法，即标量积（点积或内积）和矢量积（叉积）。 • 矢量U和V的标量积定义为： U V | U || V | cos • |U|表示矢量U的绝对长度，为矢量U和V的夹角。
e1 e2 | e1 || e2 | cos90 0

e1 e1 | e1 || e1 | cos0 1
2.3 张量

弹塑性力学基本方程

弹性力学基本方程平衡微分方程：0⋅+=σ∇f指标符号写为,0ji j i f σ+=在直角坐标系中分量形式311121112332122221231323333123000f x x x f x x x f x x x σσσσσσσσσ⎧∂∂∂+++=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎪∂∂∂⎩在柱坐标系中分量形式1012010r r r rz r r zr z zr z rzz f r r z rf r r z r f r r z r θθθθθθθθτσσστθτσττθττστθ∂-∂∂⎧++++=⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪++++=⎨∂∂∂⎪∂∂∂⎪++++=⎪∂∂∂⎩在球坐标系中分量形式211cot 0sin 113cot 0sin 1132cot 0sin r r r r r r r r r r f r r r r r f rr r r r f r r r r r ϕθϕθθθϕθϕθθθθϕϕθϕϕϕθϕτσσσττσθθθϕτσστστθθθϕττσττθθθϕ∂--⎧∂∂+++++=⎪∂∂∂⎪⎪∂-∂∂⎪+++++=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++++=⎪∂∂∂⎪⎩几何方程：1()2=+ε∇∇u u指标符号写为,,1()2ij i j j i u u ε=+在直角坐标系中分量形式1211221112113222223322333313331133131()21()21()2u u u x x x u u u x x x u u u x x x εεεεεεεεε⎧⎧∂∂∂==+=⎪⎪∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂===+⎨⎨∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂===+⎪⎪∂∂∂⎩⎩在柱坐标系中分量形式111r r z z zr u u v v r r r r v u v w r r z r w w u z r z θθθεγθεγθθεγ∂∂∂⎧⎧==+-⎪⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪⎪=+=+⎨⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪⎪==+⎪⎪∂∂∂⎩⎩在球坐标系中分量形式1111sin 11sin sin r rr r r r r r u u u u r r r r u u u u ctg u r r r r r u u ctg u u u u r r r r r r θθθϕθθθθϕϕϕϕϕϕθϕγεθθεγθθϕθθεγθϕθϕ⎧⎧∂∂∂=+-=⎪⎪∂∂∂⎪⎪⎪∂∂∂⎪=+=+-⎨⎨∂∂∂⎪⎪∂⎪⎪∂∂=++=+-⎪⎪∂∂∂⎩⎩应变协调方程：0⨯⨯=ε∇∇指标符号写为,0mjk nil ij kl e e ε=在直角坐标系中常用形式222112212222112222332322223223222331311221313223311112231123231232212312231233120001()21()21x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x εεγεγεεγεγγεγγγεγε∂∂∂+-=∂∂∂∂∂∂∂+-=∂∂∂∂∂∂∂+-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-++∂∂∂∂∂∂∂=∂∂2331123312()2x x x x γγγ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂∂-++⎪∂∂∂∂⎩本构方程：:=σεC指标符号写为ij ijkl klC σε=对各向同性弹性体的线弹性本构关系的指标符号写为2ij ij kk ijG σελεδ=+在直角坐标系中分量形式222x x yy z z xy xy yz yz zx zxG G G G G G σελθσελθσελθτγτγτγ=+⎧⎪=+⎪⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩边界条件：力边界条件指标形式写为 j i ijp νσ=在指标坐标系分量形式x yx zx xy y zy xz yz z X l m n Y l m n Z l m n στττστττσ⎧=++⎪⎪=++⎨⎪=++⎪⎩位移边界条件指标形式写为 i iu u =在直角坐标系分量形式112233u u u u u u ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩位移解法：L-N 方程及力边界条件指标形式,,,,,()0[()]i jj j ji i i j j i k k ij j iGu G u f G u u u X λλδν+++=++=在直角坐标系中分量形式212223()0()0()0(2)()()()(2)()()()(2)G u G f x G v G f y G w G f z u v u w uG l G m G n X x x y x z u v v w vG l G m G n Yy xy y z u w v w wG l G m G n Zz xz y z θλθλθλλθλθλθ⎧∂∇+++=⎪∂⎪∂⎪∇+++=⎨∂⎪⎪∂∇+++=⎪∂⎩⎧∂∂∂∂∂+++++=⎪∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂+++++=⎨∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂⎩⎪应力解法：B-M 方程指标形式2,,,,1()11ij ij i j j i ij k kf f f νσδνν∇+Θ=-+-+-平面问题本构方程平面应变平面应力平面应力（极坐标系）αβαβαβδλεεσkk G +=2, 平面应力→平面应变：21υ-→E E 、υυυ-→1xyxyx y y y x x G G G γτευυευυσευυευυσ=-+--=-+--=)1(21)1(2)1(21)1(2 xyxyx y y y x x G G Gγτυεευσυεευσ=+-=+-=)(12)(12 θθθθθγτυεευσυεευσr r r r r G G G=+-=+-=)(12)(12 0)()(==+=+=zx zx y x y x z ττεελσσυσ===zx zx z ττσ0=z σ 0==θττz zrαβαβαβδσυσυεkk EE -+=1 xyxy xy x y y y x x GE E τεγσυυσυεσυυσυε12)1(1)1(122==---=---= xyxy xy x y y y x x GEEτεγυσσευσσε12)(1)(1==-=-=θθθθθτγυσσευσσεr r r r r GE E1)(1)(1=-=-====zy zx z γγε)(==+-=zy zx y x z Eγγσσυε)(θσσυε+-=r z E0==θγγz z r协调方程:y x yx xy x y ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222，0112112222222=∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂θγεεθγθεεθθθθr r r r r r r r r r r r r))(1()(,,2y y x x y x f f ++-=+∇νσσ，如x x V f ,-=，y y V f ,-=，引入Airy 应力函数：V yy x +=,φσ V xx y +=,φσ,xy xy,φτ-=→V 222)1(∇--=∇∇νφ；22222yx ∂∂+∂∂=∇，4422444222yy x x ∂∂+∂∂∂+∂∂=∇∇极坐标系：02101=++∂∂+∂∂=+-+∂∂+∂∂θθθθθθτθστσσθτσf rr r f r r r r r r r r rrv r v u r ru v r r u r r rr r θθθθθθγθεε-∂∂+∂∂=+∂∂=∂∂=11 ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=∂∂=∂∂+∂∂=θφτφσθφφσθθr r rr r r r r 1 ,1122222V222)1(∇--=∇∇νφ，22222211θ∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r r,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θθθθσττσθθθθσττσθθθcos sin sin cos cos sin sin cos r r ry xyxy x塑性力学基本公式：一维随动强化模型材料后继屈服限与先期拉（压）塑性应变的关系**p s ps h d h d σσεσσε+-=+=-+⎰⎰一维等向强化模型材料后继屈服限与先期拉（压）塑性应变的关系***||p s h d σσεσσ+-+=+=-⎰应力偏量的第二不变量22222222112222333311122331221'21'[()()()6()]6'3'ij ij ijij J S S J J S J σσσσσστττσσ==-+-+-+++∂=∂=应变偏量的第二不变量2222222211222233331112233121'213'[()()()()]624'3ij ijI e e I I εεεεεεγγγε==-+-+-+++=金属材料的屈服条件：Mises 屈服条件2()03'ij s J σσσσ-==其中Tresca 屈服条件max ()02sij στσ-=三维随动强化模型后继屈服条件(,)()0p p pij ij ij s ij ij K c d σσσεσεεΦ=--==⎰其中三维等向强化模型后继屈服条件41(,)()()0032p p p pij ij s ij ij K h d d d d σσσσεεεεΦ=-+==⋅≥⎰其中全量形式的应力-应变关系2()1()33ij kk ij ij kk ij K σεσεδεεδε=+-全量形式的应变-应力方程13()1()923ij kk ij ij kk ij K εσεσδσσδσ=+-σε-关系为**3,3(),33',122(1)'3s s ss G GE G G E EE G E E E σεεσσσσεενν⎧⋅<⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩==-+-增量形式的应变-应力方程（指标符号）()011ij ij kk ij ij d d d d S E ευσυσδλ⎡⎤=+-+⎣⎦增量形式的应力-应变方程（矩阵形式）0000T e e e ep T e D D d D d D d D ασσασεεσαασ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭线性等向强化材料加载时的增量本构关系（指标符号）()()0020191114ij ij kk ij kl kl ij d d d S d S E h ευσυσδσσ⎡⎤=+-+⎣⎦线性等向强化材料加载时的增量本构关系（矩阵形式）()()000209114T e ep d F d d F d hεσασσασσσσ=+=。

弹塑性力学

如果选取的位移试验函数除了满足位移边界条件外，还满足力边界条件，则直接用上式更方便，上式退化为
• 将位移试验函数代入上式并展开，得到三组线性方程，即
• 通过求解方程组，确定待定常数ak，bk，ck，从而得到问题的近似解。这就是 Galerkin方法。它属于加权残数法的一种特殊形式。
1.利用Galerkin法计算薄板弯曲问题若所设的挠度试验函数既满足所有的位移边界条件，还满足所有力边界条件，则有位移变分原理可导出相应的变分方程
2.利用Galerkin法计算梁弯曲问题
计算梁弯曲问题的控制方程可写为
9.2加权残数方法
第九章弹性力学问题的数值方法
9.1 Ritz法和Galerkin法
9.1.1 基于位移变分原理的Ritz法
n
ux≈ux0+∑akuy，z）
k=1 n
n
uy≈uy0+∑bkuxk（x，y，z）
k=1
δuy=∑δbkuyk（x，y，z）
k=1
k=1
uz≈uz0+∑ckuxk（x，y，z）
k=1
n
δuz=∑δckuzk（x，y，z）
k=1
n
两个条件：在位移边界上，ux0、uy0、uz0等于已知位移， uxk、uyk、uzk（k=1，2，……，n）均为零。
• 总势能Π=U+V=Π(ak，bk，ck) • 变分原理要求
由于δak，δbk，δck是相互独立的，也是任意的，所以他们的系数应分别为零，于是
对于线弹性力学问题，将导致下面3个线性方程组
解上述3n个线性方程组，可得出待定系数ak，bk，ck。这就是所谓的Ritz法。
9.1.2 基于应力变分原理的Ritz法
它们为待定系数的线性方程组，解出这些待定系数则得到问题的解。

清华大学研究生弹塑性力学讲义 5弹塑性_弹性力学的基本方程与解法

弹塑性力学第四章弹性力学的基本方程与解法一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起的小变形问题，若以, ,u εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题：几何方程()1,,2ij i j j i u u ε=+ ()12∇+∇u u ε= (1a)广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε(1b)平衡方程 ,0ij j i f σ+= ∇⋅+=f 0σ V∀∈x (1c)以上方程均要求在域内各点均满足。

边界条件 u u i i = ∀∈x S ui (2a)n t j ji i σ= ∀∈x S ti(2b)对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。

当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。

对于边界条件的提法就有严格的要求。

即要求：S S S S S ui ti ui ti U I ==∅(2c)对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a)()11ij ij kk ij E ενσνσδ⎡⎤=+−⎣⎦ ()()1tr Eνν=⎡⎤⎣⎦I ε1+σ−σ (3b)以上就域内方程来说，一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。

对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。

这三个正交第四章弹性力学的基本方程与解法方向可以是整体笛卡儿坐标系的三个方向，也可以是边界自然坐标系的三个方向（即法向和两个切向）。

从更一般来说，除去给定位移或面力外，还有另一种线性的边界条件t K u c i ij j i +=(4)这是一种弹性约束条件。

用这个条件可以取代给定位移或给定面力的条件。

弹性力学常用公式

弹性力学常用公式一，三维空间应力：n x n x •=)(),(σσ，[][][][]Tβσβσ='，)(0,i i j ij u f ••=+ρσ应变：()i j j i ij u u ,,21+=ε，协调方程: 0,,,,=--+ik jl jl ik ij kl kl ij εεεε 线性本构方程：Hooke 定律 kl ijkl ij C εσ=，各向同性：ij kk ij ij ij kk ij ij EE G δσυσυεδλεεσ-+=+=1 ,2 边界条件：σS S B u ⋃=∂，φσ=⋂S S u ；i S i u u u=，i S jij X n =σσ二、平面问题本构方程平面应变平面应力平面应力（极坐标系）αβαβαβδλεεσkk G +=2, 平面应力平面应变：21υ-→E E 、υυυ-→1 xyxyx y y y x x G G G γτευυευυσευυευυσ=-+--=-+--=)1(21)1(2)1(21)1(2 xyxyx y y y x x G G Gγτυεευσυεευσ=+-=+-=)(12)(12 θθθθθγτυεευσυεευσr r r r r G G G=+-=+-=)(12)(12 0)()(==+=+=zx zx y x y x z ττεελσσυσ===zx zx z ττσ0=z σ 0==θττz zrαβαβαβδσυσυεkk EE -+=1 xyxy xy x y y y x x GE E τεγσυυσυεσυυσυε12)1(1)1(122==---=---= xyxy xy x y y y x x GEEτεγυσσευσσε12)(1)(1==-=-=θθθθθτγυσσευσσεr r r r r GE E1)(1)(1=-=-====zy zx z γγε)(==+-=zy zx y x z Eγγσσυε )(θσσυε+-=r z E0==θγγz zr协调方程:y x y x xy x y ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222，0112112222222=∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂θγεεθγθεεθθθθr r r r r r r r r r r r r ))(1()(,,2y y x x y x f f ++-=+∇νσσ，如x x V f ,-=，y y V f ,-=，引入Airy 应力函数：V yy x +=,φσV xx y +=,φσ,xy xy,φτ-=22222y x ∂∂+∂∂=∇，4422444222yy x x ∂∂+∂∂∂+∂∂=∇∇极坐标系：02101=++∂∂+∂∂=+-+∂∂+∂∂θθθθθθτθστσσθτσf r r r f r r r r r r r r r r v r v u r ru v r r u r r rr r θθθθθθγθεε-∂∂+∂∂=+∂∂=∂∂=11 , ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂-=∂∂=∂∂+∂∂=θφτφσθφφσθθr r rr r r r r 1 ,1122222 V 222)1(∇--=∇∇νφ，22222211θ∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r r , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θθθθσττσθθθθσττσθθθcos sin sin cos cos sin sin cos r r ry xyxy x三，柱形杆自由扭转位移：yz u α-=，xz v α=，),(y x w αψ=，02=∇ψ（翘曲函数），y x zx ααψγ-=,，x y zy ααψγ+=, 应力：zx y zx G γφτ==,，zy x zy G γφτ=-=,，其余应力、应变分量均为0，αφG 22-=∇（应力函数）边界条件：σS B =∂上0=+y zy x zx n n ττ→ )(y x y y x x xn yn n n -=+αψψ，C =φ 扭矩：t zx zyt D dxdy y x M αττ=-=⎰⎰Ω)(， ∑⎰⎰+=Ωii i t A dxdy M φφ22,抗扭刚度：22d d t D Gx y x y x y y x ψψΩ⎛⎫∂∂=++- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰; 薄膜比例：S q z /2-=∇，0|=Ω∂z狭长矩形杆：313t D Ga δ=，max 23t M a τδ=；开口薄壁杆：313n t i i i G D a δ==∑，max 313i t i n i i i M a δτδ==∑；闭口薄壁管：2tM A τδ=, ()24t M ds GA s αδ=⎰，等厚闭口薄壁管：24t M sGA αδ=四，能量原理与近似解法虚功原理：i i i i ij ij VS Vf u dV p u dS dV σδδσδε+=⎰⎰⎰余虚功原理：ui i ij ij S Vu p dS dV δεδσ=⎰⎰总势能：()()i ij i i i i VVS u W dV f u dV p u dS σε∏=--⎰⎰⎰，i S iu u u =，kl ij ijkl ij C W εεε21)(=；总余能：()()uc ij c ij i i VS W dV p u dS σσ∏=-⎰⎰，0,=+i j ij f σ，i S jij p n =σσ，kl ij ijkl ij c C W σσσ121)(-=；0=∏+∏c近似解法（Ritz 法与Galerkin 法）：齐次化，找基函数，求近似最小值。

塑性力学-简单弹塑性问题

ys
h2
理想弹塑性材料、矩形截面 b × h −σ s −
σ = Φ (ε ) = σ s
ys ys
其中：
⎤ ⎡ I (A ) M = σs ⎢ z e + Sp⎥ ⎦ ⎣ ys
2 3 I z ( Ae ) = b ⋅ y s 3
h2 2 S p = b( − y s ) 4
6
σs
+
M 3 1 y = − ( s )2 Me 2 2 h 2
+
ε=
y
+
σ
−
+
σs
σ
ρ
σ*
卸载前的应力、应变：σ 残余应力： σ * = σ − σ
ε
卸载过程应力改变量： σ = M y
I
10
2. 等截面梁的横向弯曲
•弯矩是变化的 M = M (x) •存在剪应力忽略剪应力对屈服的影响
y ⎧ σs ⎪ σ ( x, y ) = ⎨ y s ( x ) ⎪Φ ( ε ) ⎩ 在 y ≤ ys ( x )时在 y ≥ ys ( x )时
中性层曲率：
ρ
=
σs
Ey s
5
M = 2 ∫ σ ⋅ dA ⋅ y = 2 ∫ σ ⋅ dA ⋅ y + 2 ∫ σ ⋅ dA ⋅ y
0
h2
ys
h2
0
ys
= =
E
ρ σs
ys
I z ( Ae ) + 2 ∫ Φ (ε ) ⋅ dA ⋅ y
ys
h2
I z ( Ae ) + 2 ∫ Φ (ε ) ⋅ dA ⋅ y
z
该问题是球对称的。采用球坐标不为零的应力分量 σ θ σ ϕ σ r

弹塑性力学公式合集.doc

弹性力学假设：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、完全弹性假设、小变形假设、无初应力假设任意斜截而上的应力Cauchy 公式：T x= o xl+ T x〉m + T zxn> T y = T xy 1+ o ym +T zy n、T y=T xz I+T y zm +Q z n 弹性体的应力边界条件：—0 + mT^ + =X•I，人右I%+〃9;、+浒.、=「>yZr +g、・_ +Z・" y<.主应力、应力张量、不变量当一点处于某种应力状态时，在过该点的所有截面中，一般情况下存在着三个互相垂直的特殊截面，在这些截面上没有刃应力，这种剪应力等于零的截面称为过该点的主平面，主平面上的正应力称为该点的主应力，主平面的法线所指示方向称为该点的主方向。

4 = J + + %~ 2 2 j"/■I = + CT..C7. + — r 二——了二应力偏•不变si ♦勺+$3=q~~I=!（4+$;+日）=打（0 ,S ■成 + 0 - 0）' 1____ ©儿何方程:dx+ —dy+ —dx物理方程-y q）]*q+E）】7 _2Q +咯1 2（1+y）”=科=一r-^T F牛妇弘=.-,七-是体积弹形模量，3 3 （1-2。

三个基本原理：解的唯一性原理、叠加原理、圣维南原理。

圣维南原理：由作用在物体局部边界表面上的自平衡力系，所引起的应力和应变，在远离作用区的地方将衰减到可以忽略不计的程度。

另一种提法：如果把物体局部边界表面上的力系，使用分布不同但静力等效（主失相等，绕-点的主矩也相等）的力系来代替，则这种等效代换处理使得物体内的应力分布仅在作用区附近有显著影响，而在远离作用区的地方所受影响很小，可以忽略不计。

为什么要用：1、在弹性力学的边值问题中，要求在边界上任意点，应力与面力相等，方向一致，往往难以满足。

2、有时只知道边界而上的合力和合力矩，并不知道面力的分布形式。

弹塑性力学课件

i 1 j 1 2 2 2 2 2 31 31 32 32 33 33 x y z2 2 xy yz zx
3
3
方程 3 I1 I 2 I3 0 称为应力状态的特征方程，它有三个实根，并规定
2 3 2 1 2 2
2
2 n 2 2 12 32 n1 2 1 3 n12 2 3 n2 3 2 1 3 n1 n1
1 3 2 2 4 1 3 n1 1 3 n1 2 3 n2 3 2 1 3 2 2 4 1 3 n1 1 3 n1 2 3 n2 0 2 1 3 2 2 n1 1 3 n1 2 3 n2 0 2
位移矢量的分解
3
u ux ex u y ey uz ez u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1
一点的应力状态
z
z
zy yz
zx
x
x
xz
xy yx
y
y
一点的应力状态
z
N τyx τxy σy σx τxz τzx σz y
τyz τzy
2 2 2 J 2 S x S y S y S z S z S x S xy S yz S zx
1 2 2 2 2 S x S y S y S z S z S x S x S y S y S z S z S x S xy S yz S zx 3 1 2 2 2 2 2 S x S y S z2 S x S y S y S z S z S x S xy S yz S zx 3 2 2 1 2 2 2 2 S x S y S y S z S z S x S xy S yz S zx 6 1 2 2 2 S1 S 2 S 2 S3 S3 S1 6 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 6

弹塑性力学公式

形变协调方程yx x y xyy x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222。

几何方程：x u x ∂∂=ε，y v y∂∂=ε，y u x v xy ∂∂+∂∂=γ 应力问题()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+-=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂y f x f y x y x y xμσσ12222 应变问题()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+-=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂y f x f y x y x y x μσσ12222 应力分量22211ϕϕρρφρσρ∂∂+∂∂=，22ρφσϕ∂∂=，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=ϕφρρτρϕ1 极坐标相容方程011222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂φϕρρρρ圆环：边界条件()()()()b n a a b aq q -=-=======ρρρρρρϕρρϕσσττ,,0,0，圆环问题与ϕ无关，由此可得ρϕϕρτσσ,,，相容方程为01222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+φρρρd d d d ，()()πϕρμϕρμ2,,+=。

所以B=0，()aq C a B a A -=+++2ln 212，()b q C b B b A-=+++2ln 212，得到 ()222222222,ab b q a q C a b q q b a A b a a b --=--=，b a q b a a q a b b 222222221111------=ρρσρ， b a q ba a q ab b 222222221111-+--+-=ρρσϕ，两球之间接触：设两球体表面上距公共法线未r 的M1点及M2点，他们距公共切面的距离为z1及z2。

222211212,2z R r z z R r z -=-=,z 远小于2R 。

认为2221212,2R r z R r z ==，命M1沿z1方向位移为w1，命z1、z2轴上距O 较远处的两点相互趋近的距离为α，M1、M2之间距离缩短为()2121z z w w +=+-α，()2121221212,)(R R R R r z z w w +=-=+-=+ββαα.22221211211121,11r qdsd E E qdsd E βαψπμπμωωψπμω-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-=⎰⎰⎰⎰ 如果在接触面的边界上作半圆球面，用它在各点的高度代表压力q 在该点处的大小。

弹塑性力学基本知识

2
面在 π 平面上的投影为圆形。根据式（18）可知，Mises 屈服条件的物理意义为：当材料的八面体剪应力达到一定值时，材料屈服；根据式（26）可知，Mises 屈服条件的物理意义也为：当材料的剪切应变能达到一定值时，材料屈服。注意，Mises 屈服条件考虑了中间主应力的影响，但也忽略了静水压力的影响。
0
则材料稳定，（2）加载面 f σ ij , ξ β = 0 外凸。这也可以由式（42）推出。（3）正交流动法则（ dλ 的物理意义：反映塑性应变增量的大小，称作比例因子。）：
P dε ij = dλ
(
)
∂f ∂σ ij ∂f s ∂σ ij
（43）
或： dε ij = dλs
P
（44）
p
得：
h=−
∂
( ∫ dε )
p
∂f
2 ∂f
∂f
3 ∂σ ij ∂σ ij
（60）
对于 Mises 材料，设材料等向硬化，且内变量为累积塑性应变，结合式（51），有：
2 ∂f
∂f
3 ∂σ ij ∂σ ij
=1
（61）
结合式（61），（59），（60），可得：
dλ = d ε p ； h =
( 2σ 2 − σ 1 − σ 3 )
当采用极坐标表示时，则有：
⎧ rσ = x 2 + y 2 = 2 J 2 ⎪ ⎨ y 1 ⎛ 2σ 2 − σ 1 − σ 3 ⎞ 1 μσ ⎪ tan θσ = = ⎜ ⎟= x 3 ⎝ σ1 − σ 3 3 ⎩ ⎠
z Tresca 屈服条件当 τ max =
（59）
结合式（43）和式（14），（注意：当屈服与静水压力无关，体积应力不产生塑性应变），可得：

弹性力学公式总结

弹性力学公式总结弹性力学是研究物体在受力后的形变与应变关系的力学分支。

在弹性力学中，常使用一些公式来描述物体的力学性质。

下面是一些弹性力学中常用的公式：1. 应变（strain）公式：应变是物体在受力后发生的形变相对于初始状态的比例。

应变可以分为线性应变和剪切应变两种类型。

线性应变公式：ε=ΔL/L其中，ε表示线性应变，ΔL表示长度变化，L表示初始长度。

剪切应变公式：γ=Δθ其中，γ表示剪切应变，Δθ表示切变角度的变化。

2. 应力（stress）公式：应力是物体表面上的内力，是由外力作用于物体上的单位面积所产生的力。

法向应力公式：σ=F/A其中，σ表示法向应力，F表示受力，A表示作用面积。

切向应力公式：τ=F/A其中，τ表示切向应力，F表示受力，A表示作用面积。

3.长度变形公式：受力作用下，物体的长度会发生变化，有两种类型：拉伸和压缩。

拉伸变形公式：ΔL=FL/AE其中，ΔL表示长度变化，F表示受力，L表示初始长度，A表示截面积，E表示弹性模量。

压缩变形公式：ΔL=-FL/AE4.钢材弹性模量公式：钢材弹性模量是衡量材料抵抗外力而形变的能力指标。

E=σ/ε其中，E表示弹性模量，σ表示法向应力，ε表示线性应变。

5.线性弹性体系恢复力公式：恢复力是物体受到外力作用后恢复到初始状态所产生的力。

F=kΔx其中，F表示恢复力，k表示弹性系数，Δx表示位移。

6.钢丝绳伸长公式：钢丝绳在受拉伸力作用下会发生伸长。

ΔL=FL/EA其中，ΔL表示伸长长度，F表示受力，L表示初始长度，A表示截面积，E表示钢丝绳的弹性模量。

7.矩形梁弯曲公式：在作用力下，矩形梁会发生弯曲。

M = -EI(d^2y / dx^2)其中，M表示弯曲力矩，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，y表示梁的纵轴位移，x表示位置。

这些公式是弹性力学中的一些基本公式，用于描述物体在受力后的形变与应变关系，以及恢复力、弯曲等力学性质。

掌握这些公式对于深入理解和研究弹性力学具有重要意义。