《运筹学》第四章 目标规划

线性规划 只能处理一个目标 满足所有约束条件的 可行解 约束条件同等重要
目标规划 处理多种目标的关系， 处理多种目标的关系， 的关系 求得更切合实际要求的解 可以在相互矛盾的约束 条件下找到满意解 条件下找到满意解 可根据实际需要给予轻重 可根据实际需要给予轻重 缓急或主次之分的考虑 缓急或主次之分的考虑 找到的最优解是指尽可能 地达到或接近一个或若干 个已给定的指标值
+ 2 − 2
+
第三目标： 第三目标： P 3 d 规划模型： 规划模型：
− 3
+ − − min Z = P1 d 1+ + P2 ( d 2 + d 2 ) + P3 d 3
x1 − x 2 + d 1− − d 1+ = 0 − + x1 + 2 x 2 + d 2 − d 2 = 10 − + s.t .8 x1 + 10 x 2 + d 3 − d 3 = 56 2 x + x ≤ 11 1 2 x1− 2 ≥ 0, d + . d − ≥ 0 ( j = 1 .2.3) j j
目标规划数学模型的一般形式
K − − + + min Z = Pl (W lk d l + W lk d l ) , ( l = 1, 2 L , L ) k =1 n − + c kj x j + d k − d k = g k ( k = 1, 2 L , K ) j =1 n a ij x j ≤ ( = , ≥ ) b i ( i = 1, 2 L , m ) s .t . j =1 (j = 1,2 L , n) x j ≥ 0 − + d k , d k ≥ 0 ( k = 1, 2 L , K )
目标规划的目标函数 4、目标规划的目标函数 由各目标约束的正 负偏差变量及 由各目标约束的正、负偏差变量及相应的优先 因子和权系数构成 构成。 因子和权系数构成。 使总偏差量为最小化的目标函数 要求恰好达到目标值 恰好达到目标值， ①要求恰好达到目标值， + （ min Z = f（d ，d ） min Z = f（ d ++ d - ） （ 即正、负偏差变量尽可能地小 即正、负偏差变量尽可能地小 （实现最少或为零） 实现最少或为零） 要求不超过目标值 不超过目标值， ②要求不超过目标值， 即要使正偏差变量 正偏差变量为零或最小 即要使正偏差变量为零或最小 要求超过目标值， ③要求超过目标值， 即要实现负偏差变量 负偏差变量为零或最小 即要实现负偏差变量为零或最小
+
-
引入一种新的变量 新的变量——正、负偏差变量d +、d 1、引入一种新的变量 正 在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又 在一次决策中， 未达到目标值， 0,并规定 并规定d 未达到目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d －≥ 0
+
-
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当完成或超额完成规定的指标则表示： 当未完成规定的指标则表示： 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 成立。 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。
例2： 某厂生产Ⅰ、Ⅱ两 ： 某厂生产Ⅰ 种产品， 种产品，有关数据如表 所示。 所示。试求获利最大的 生产方案？ 生产方案？
原材料 设备(台时 台时) 设备 台时 单件利润
Ⅰ 2 1 8
Ⅱ 1 2 10
拥有量 11 10
在此基础上考虑： 在此基础上考虑： 1、产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量； 、产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量； 2、充分利用设备有效台时，不加班； 、充分利用设备有效台时，不加班； 3、利润不小于 56 元。 、 解: 分析 第一目标： 第一目标：P1 d 1 即产品Ⅰ的产量不大于Ⅱ的产量。 即产品Ⅰ的产量不大于Ⅱ的产量。 第二目标： 第二目标：P2 (d + d )
可以认为目标规划更能确切地描述和 可以认为目标规划更能确切地描述和 目标规划 解决经营管理中的许多实际问题 一种简单、 一种简单、实用的处理多目标决策问 题的方法。 题的方法。
在经济计划、生产管理、经营管理、 在经济计划、生产管理、经营管理、市 场分析、 场分析、财务管理等方面得到了广泛的应 用。
目 标 规 划
(Goal programming)
目标规划问题及其数学模型 目标规划的图解法 目标规划的单纯形法 目标规划应用举例
目标规划
目标规划的方法是在1961年由查恩斯 目标规划的方法是在1961年由查恩斯 1961 (A.Charnes)和库伯 W.W.Cooper)提出 和库伯( (A.Charnes)和库伯( W.W.Cooper)提出 的 它是在线性规划的基础上， 它是在线性规划的基础上，适应企业经 营管理中多目标决策的需要而逐步发展 起来的。 起来的。 目标规划是在企业决策者所规定的若干 指标值及要求实现这些指标的先后顺序 并在给定有限资源条件下， 后，并在给定有限资源条件下，求得总 的偏离指标值为最小的方案， 的偏离指标值为最小的方案，称这方案 为满意方案。 为满意方案。
min Z = f（ d +） （
min Z = f（ d -） （
5、满意解 对于这种解来说， 对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部 分实现， 分实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分 实现，有些可能就不能实现。 实现，有些可能就不能实现。
例题1 分析： 例题1，分析： 由于原材料严重短缺， 由于原材料严重短缺，生产中应避免过量消 耗受到严格限制的基础上按顺序考虑其他目标的 实现 目标优先等级： 目标优先等级： 产品Ⅱ的产量最好不大于产品Ⅰ 1、P1 — 产品Ⅱ的产量最好不大于产品Ⅰ的一半 最好能节约设备工时4h 4h。 2、P2 — 最好能节约设备工时4h。 3、P3 — 总利润尽可能达到并超过 48 元。 由此，可以如下建立该问题的最优化模型 由此，可以如下建立该问题的最优化模型 ——
+ + + -
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约束条件： 约束条件： 绝对约束： ≤60 绝对约束： 5x1+ 10x2 + 目标约束： x1 - 2x2 + d1 - d1 = 0 （ P1 ） 目标约束： + 4x1 +4x2 + d2 - d2 =36 （ P2 ） + 6x1 +8x2 + d3 - d3 = 48 （ P3 ） 目标函数： 目标函数： + min Z = P1 d1 + P2 d2 + P3 d3
约束条件— 绝对（ 约束、目标（ 2、约束条件 绝对（硬）约束、目标（软）约束 引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一 引入了目标值和正、负偏差变量后， 问题有了新的限制， 目标约束。 问题有了新的限制，既目标约束。 目标约束是目标规划中特有的，是软约束。 目标约束是目标规划中特有的，是软约束。 绝对约束是指必须严格满足的等式或不等式约束。 绝对约束是指必须严格满足的等式或不等式约束。 是指必须严格满足的等式或不等式约束 如线性规划中的所有约束条件都是绝对约束， 如线性规划中的所有约束条件都是绝对约束，否则 无可行解。所以，绝对约束是硬约束。 无可行解。所以，绝对约束是硬约束。
决策变量： 决策变量： 产品Ⅰ的产量， x1 —— 产品Ⅰ的产量， x2 —— 产品Ⅱ的产量。 产品Ⅱ的产量。 偏差变量： 偏差变量： + 等级： 负偏差变量——d1 、d1 P1 等级：正、负偏差变量 + 等级： 负偏差变量——d2 、d2 P2 等级：正、负偏差变量 + 等级： 负偏差变量——d3 、d3 P3 等级：正、负偏差变量 x1 、x2 、d1 、d1 、d2 、d2 、d3 、d3 ≥ 0
（二）目标规划的数学模型 二
实际上工厂在做决策时，要考虑市场等其他条件： 实际上工厂在做决策时，要考虑市场等其他条件： 根据市场信息，产品Ⅱ的销售量已有下降的趋势， 1、根据市场信息，产品Ⅱ的销售量已有下降的趋势， 故考虑产品Ⅱ的产量最好不大于产品Ⅰ的一半； 故考虑产品Ⅱ的产量最好不大于产品Ⅰ的一半； 由于原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； 2、由于原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； 最好能节约设备工时（4h）； 3、最好能节约设备工时（4h）； 应尽可能达到并超过预计利润指标（48元 4、应尽可能达到并超过预计利润指标（48元）。 工厂现在的生产、经营问题 多目标决策问题。 工厂现在的生产、经营问题——多目标决策问题。 多目标决策问题 引入与建立目标规划数学模型有关的概念： 引入与建立目标规划数学模型有关的概念：
根据决策者的要求，按下列情况之一： 5、根据决策者的要求，按下列情况之一： 恰好达到目标值， ⑴ 恰好达到目标值，取 d l+ + d l−。 允许超过目标值， ⑵ 允许超过目标值，取 d 。 ⑶ 不允许超过目标值，取 不允许超过目标值，
− l
d
+ l 。
构造一个由优先因子和权系数相对应的偏差变量 组成的，要求实现极小化的目标函数。 组成的，要求实现极小化的目标函数。
引入一种新的变量 新的变量——正、负偏差变量d +、d -， 1、引入一种新的变量 正 d +:可能实现值超过规定目标值的偏差量，d +≥0。 可能实现值超过规定目标值的偏差量， ≥0。 d -:可能实现值未达到规定目标值的偏差量，d -≥0 可能实现值未达到规定目标值的偏差量， + d •d =0 约束条件— 绝对（ 约束、目标（ 2、约束条件 绝对（硬）约束、目标（软）约束 3、优先因子（优先等级）P1，P2，…，规定 Pl>> Pl+1， 优先因子（优先等级） ， l =1，2，…。表示Pl比Pl+1有更大的优先权。这意味着 =1， 有更大的优先权。 。表示P 当目标与目标之间发生冲突时应按其优先等级来实现。 当目标与目标之间发生冲突时应按其优先等级来实现。 相同优先因子的目标， 具有相同优先因子的目标 其重要程度用不同的权系数 具有相同优先因子的目标，其重要程度用不同的权系数 表示。 表示。 目标规划的目标函数 4、目标规划的目标函数
小结 线性规划LP 线性规划LP min , max 系数可正负 xi, xs xa 绝对约束 最优 目标规划GP 目标规划GP min , 偏差变量 系数≥ 系数≥0 xi xs xa d 目标约束、 目标约束、绝对约束 最满意
目标函数 变量 约束条件 解
二、目标规划的图解法
图解法同样适用两个变量的目标规划问题， 图解法同样适用两个变量的目标规划问题，但其操 适用两个变量的目标规划问题 作简单，原理一目了然。同时， 作简单，原理一目了然。同时，也有助于理解一般目 标规划的求解原理和过程。 标规划的求解原理和过程。 图解法解题步骤如下： 图解法解题步骤如下： 如下 1、确定各约束条件的可行域，即将所有约束条件 、确定各约束条件的可行域， 包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量） （包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量） 在坐标平面上表示出来； 在坐标平面上表示出来； 2、在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、 、在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、 负偏差变量值增大的方向； 负偏差变量值增大的方向；
∑
∑ ∑
g k 为第 k个目标约束的预期目标 值，
+ Wlk 和 Wlk 为 Pl 优先因子对应各目标的 权系数
建模的步骤
1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定 根据要研究的问题所提出的各目标与条件， 目标值，列出目标约束与绝对约束； 目标值，列出目标约束与绝对约束； 2、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束 可根据决策者的需要， 转化为目标约束。 转化为目标约束。这时只需要给绝对约束加上负偏差 变量和减去正偏差变量即可。 变量和减去正偏差变量即可。 l=1.2…L 3、给各目标赋予相应的优先因子 Pl（l=1.2 L）。 对同一优先等级中的各偏差变量， 4、对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其 重要程度的不同， 重要程度的不同，赋予相应的权系数 W lk+ 和 W lk− 。
一、目标规划问题及其数学模型
（一）目标规划问题的提出 单一目标问题 例1
产品 Ⅰ 5 4 6 原材料（kg/件 原材料（kg/件） 设备工时（h/件 设备工时（h/件） 利润（ 利润（元/件）
Ⅱ 10 4 8
限量 60 40
解：可用线性规划的模型来描述
目标函数： 目标函数： max z=6x1+8x2 约束条件： 5x1+10x2 ≤60 约束条件： 4x1+4x2 ≤40 x1，x2≥0 最优解： 最优解：x1=8件，x2=2件，max z=64元 件 件 元