第十三讲 子空间：交与和,直和_wlkc-13

把它扩充为W2 的基α1 ,L,α t , γ t +1 ,L, γ s . 要证 α1,L,αt，βt +1,L, β r，γ t +1,L, γ s 恰为W1 + W2的基 设 λ1α1 + Lλtαt + λt +1βt +1 + L+ λr β r δ ∈ W 1 + µt +1γ t +1 + L+ µsγ s = 0, (1) − δ ∈ W2
特别 µ t +1 = L = µ s = 0, 代回(1)式中,
又由 α1 , L , α t , β t +1 , L , β r 线性无关得： λi = 0, i = 1, L , r 于是得 α1 , L , α t , β t +1 , L , β r , γ t +1 , L , γ s 线性无关 ∴ dim W1 + dim W2 = dim(W1 + W2 ) + dim(W1 I W2 ).
( 4 ) ⇒ (1) 若 W 1 I W 2 ≠ { 0 }, 则 ∃ α ( ≠ 0 ) ∈ W 1 I W 2 , 于是 0 = α + ( −α ) = 0 + 0 ,
则 0的分解式不唯一，矛盾. ∴ 必W1 I W2 = {0}, 即W = W1 ⊕ W2 .
命题 W 1 I W 2 = {0} ⇔ 至 少 有 一 个 α ∈ W , α = α 1 + α 2 ,α 1 ∈ W 1 ,α 2 ∈ W 2 分 解 式 唯 一 .
exp1: 给定 Vn ( F ) 的一组向量 α1 ,α 2 ,L,α m
3
W = {∑ kiα i ki ∈ F , i = 1,2, L, m} 是非空
i =1
m
记为 L (α 1 , α 2 , L , α m ) =< α 1 , α 2 , L , α m >, 称为 α 1 , α 2 , L , α m 的生成空间 . 例16：设 Am× n ,由 A 的列向量生成的空间 称为 A 的列空间 . 记 A = ( A1 , L , An ), 则
而任α ∈左 有α = α
<1> <2> <1>
s
t
i =1
i =1
+ α 且α
<2>
<1>
∈W1, α
<2>
∈W2 ,
∴α + α 可由 α1,L,αs , β1,L, βt 线性表出， ∴α ∈右，∴左 ⊆ 右，∴左 = 右.
Vn ( F ) =< ε1 , L , ε n >=< ε1 > + L + < ε n >
第十三讲
子空间
运算 交与和 直和
1
GA13
§4 子空间 §4-1 子空间的定义及例子 定义：设 V 是线性空间， W 是 V 的非空 子集，如果 W 也是线性空间，则称 W 是V 是 V的一个子空间 .
定理：设W是线性空间V 的非空子集， 那么W 是V 的子空间的充要条件是 W 对V 中定义的加法和数乘运算封闭.
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e3
e4
e5
§4- 3
子空间的直和
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定 义 9 : 设 W1 , W 2 是 V n ( F ) 的 子 空 间 , 如 果 W1 I W 2 = {0} , 则 称 W1 + W 2 为 子 空 间 W1 与 W 2 的 直 和 , 记 为 W1 ⊕ W 2 .
定理 : 设 W1 , W2 是 Vn ( F ) 的子空间 , W = W1 + W2 , 则以下 4个命题等价 : (1 ) W 1 I W 2 = { 0 }; 4个命题等价
任α = (ax , a y , az ) = ax i + (a y j + az k ) = ax i + a y j） az k = ax i + λ j） （a y − λ） + az k ] （ + （ +[ j 表示不唯一。
定理10：两个子空间的交与和 均为子空间. 证 :由 0 ∈ W1 , 0 ∈ W 2 ∴ 0 = 0 + 0 ∈ W1 + W 2 又设 α , β ∈ W1 + W2 , ∴ W1 + W 2非空 . 则 α = α 1 + α 2 , β = β 1 + β 2 , 其中 α 1， β 1 ∈ W1， α 2 , β 2 ∈ W2 → α 1 + β 1 ∈ W1， α 2 + β 2 ∈ W2 ∴α + β = α1 + β1） α2 + β 2） W1 + W2 . （ + （ ∈ kα = kα1 + kα2 ∈W1 + W2 .
9
∴ δ ∈ W1 I W 2 , 故存在 µ 1 , L , µ t 使 δ = µ 1α 1 + L + µ tα t = − µ t +1γ t +1 − L − µ sγ s 而 α 1 , L , α t , γ t + 1 , L , γ s 为 W 2的基 , ∴ 线性无关。 → 得 µ i = 0 , i = 1, L , s ,
k1 = k3 k = k 1 4 k 2 = k3 0 = k5
k1 = k2 = k3 = k4 = k , k5 = 0
16
为5阶方阵，A = N 2
试求
A 的化零空间 N ( A), 和 A 的列空间 R( A)
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
解： 0
A=
1 0 0 0 1 0 R ( A) =< 0 , 0 , 1 > 0 0 0 0 0 0
W2称为 W1在Vn ( F )中的补子空间
其不唯一） （ 其不唯一 ）
W1
⊥
% W2
α2
W2
α
W1
15
0
α1
若 要 求 正 交 补 ,则 唯 一 。
k1e1 + k2e2 = k3e3 + k4e4 + k5e5
1 1 0 k1 + k2 0 0 1 1 = k3 1 0 0 0 0 1 0 0 + k4 + k5 . 0 0 0 0 1
∴ α 1 , L , α r , β 1 , L , β m 线性无关 , 为 W 的基 . ∴ 任 α ∈ W , 在此基下坐标唯一
r m
α <1> ∈W1 唯一 α = ∑ xiαi +∑ xr +i βi = α <1> + α <2> , <2> α ∈W2 i =1 i =1
,
( 3) ⇒ ( 4 ) Q ∀ α ∈ W , 表为 W1与 W2中元素和的 方法唯一， ∴ 0向量的分解式唯一 . 13
( 2 ) dim( W ) = dim( W 1 ) + dim( W 2 ); (3)任 α ∈ W , α = α1 + α 2 , α1 ∈ W1 , α 2 ∈ W 2 分解式唯一 ; ( 4 ) 0 表为 W 1与 W 2中元素和的方法唯一， 即 0 = 0 + 0. 12
proof : (1) ⇒ (2), 由维数公式立得， W1 IW2 = 0, Qdim （2 ⇒ ( 3), 设 dim W1 = r , dim W 2 = m , 则 ） dim W = r + m , 取 W1的基 α1 , L , α r , W 2的基 β1 , L , β m 则 W =< α 1 , L , α r , β 1 , L , β m > , 且 dim W = r + m ,
W1 + W2 = L(e1, e2 , e3 , e4 , e5 ) = L(e1, e2 , e4 , e5 ) = M 2 ( R). Q e3 = e1 − e4 + e2 1 1 k (e1 + e2 ) = k (e3 + e4 ), W1 I W2 = k 1 0 a b ∈ M (R), a b = a(e − e ) + be + ce + de ∀ c d 2 1 4 4 2 5 c d = (ae1 + ce2 ) + ((b − a)e4 + de5) = α1 + α2
exp 1 : 在 V3 ( R )中， W1表 x 轴， W 2为 oyz 平面 . 那么 W1 I W 2 = {0}, W1 + W 2 = V3 ( R ).
任α = ( a x , a y , a z ) = a x i + ( a y j + a z k )分解唯一.
exp 2 : 在V3 ( R)中，W1 表 oxy 平面，W2表 oyz 平面. 则 W1 I W2 = y 轴, W1 + W2 = V3 ( R). 6
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命题2 命题2：设W1 =< α1 ,L,α s >, W2 =< β1 ,L, β t >, 则 W1 + W2 = L(α1 ,L,α s , β1 ,L, β t ).
proof : Q 任α ∈ 右, 有 α = ∑ λi αi + ∑ µi βi = α(1) + α( 2) , α(1) ∈W1, α( 2) ∈W2 , ∴ α ∈W1 + W2 ∴ 右 ⊆ 左
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x x x, y ∈ R}, 基为 1 1 0 0 ; 例19：W1 = { y 0 0 0 1 0 e1 e2 x y x, y, z ∈ R}, 基为1 0 0 1 0 0 . W2 = { 1 0 0 0 0 1 x z
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定理12 （维数公式） dimW1 + dimW2 = dim(W1 + W2 ) + dim(W1 I W2 ) proof : 设 dimW1 = r, dimW2 = s, dim (W1 IW2 ) = t. α1,L,αt 是 W1 IW2 的基， 把它扩充为 W1 的基 α1,L,αt，βt +1,L, βr ;
2
例11：设 Am× n
，则 AX = 0 的解全体构成
n
一个线性空间 . 这个空间是 R 的子空间 , 它在 A 的作用下化为 0 , 称为 A的零空间 ( null space ). 记为 N ( A)
N ( A) = { X ∈ R AX = 0}, 当 r ( A) = r 时,
n
dim N ( A) = n − r , AX = 0的基础解系就构成它的一组基。
∗ 若 W1是 Vn ( F )的子空间，怎么样去找 Vn ( F )的子空间 W 2 , 使 V = W1 ⊕ W 2 .
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L 从 W1选 基 α 1， α m， 扩 充 为 空 间 Vn ( F )的 基 L L L α 1， α m， α m +1， α n， 则 W 2 = < α m +1， α n >.
T T
5
N ( A) =< (1 0 0 0 0 ) , ( 0 1 0 0 0 ) >
§4-2 子空间的运算
定义 8：设 W1 , W 2 是 Vn ( F ) 的两个子空间 , W1 I W 2 = {α α ∈ W1 , α ∈ W 2 } 称为 W1与 W 2的交 . W1 + W 2 = {α = α1 + α 2 α1 ∈ W1 , α 2 ∈ W 2 } 称为 W1与 W 2的和 .
R ( A ) = L ( A1 , L , An ) = { AX X ∈ R },
n
且对加法和数乘封闭, ∴ 是 Vn ( F )的子空间，
dim R ( A ) = r ( A ) , 极大线性无关组就是
A 的列向量组的 R ( A ) 的一组基 .
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Exp2:
0 1 设 O O N = O 1 0