lecture1(II) 矢量与张量
电动力学——矢量和张量课件
矢量和张量vectors and tensors中山大学理工学院黄迺本教授(2005级,2007年3月)如果不理解它的语言,没有人能够读懂宇宙这本书,它的语言就是数学.——Galileo经典电动力学的研究对象——电磁相互作用的经典场论——狭义相对论——电动力学的相对论协变性主要数学工具微积分、线性代数、矢量与张量分析、数学物理方程、级数等.教材和参考书教材：郭硕鸿《电动力学》（第二版）高等教育出版社，1997参考书：[1]黄迺本，方奕忠《电动力学（第二版）学习辅导书》，高等教育出版社，2004[2]J.D.杰克孙《经典电动力学》人民教育出版社，1978[3]费恩曼物理学讲义，第2卷，上海科技出版社，2005[4]朗道等《场论》人民教育出版社，1959[5]蔡圣善等《电动力学》（第二版），高等教育出版社，2003[6]尹真《电动力学》（第二版），科学出版社，2005[7]Daniel R Frankl,ELECTROMAGNETIC THEORY,Prentice-Hall,Inc.,1986矢量和张量目录(contens)1.矢量和张量代数(the algebra of vectors and tensors)2.矢量和张量分析(the analysis of vectors and tensors)3.δ函数(δ function)4.球坐标系和柱坐标系1 矢量和张量代数在三维欧几里德空间中，按物理量在坐标系转动下的变换性质，可分为标量（零阶张量），矢量（一阶张量），二阶张量，及高阶张量.（见郭硕鸿，电动力学，P258）分为：0 阶张量，即标量(scalar)，在3维空间中，只有30 = 1个分量.标量是空间转动下的不变量.例如，空间中任意两点之间的距离r ，就是坐标系转动下的不变量.温度、任一时刻质点的能量、带电粒子的电荷、电场中的电势，等等,都是标量.1阶张量，即矢量(vector)，在3维空间中，由31 = 3个分量构成有序集合.例如，空间中任意一点的位置矢量r ，质点的速度v 和加速度a ,作用力F 和力矩M ,质点的动量p 和角动量L 、电流密度J ,电偶极矩p ,磁偶极矩m ,电场强度E ,磁感应强度B ,磁场矢势A ，等等都是矢量.2阶张量(tow order tensor )，在3维空间中，由32 = 9个分量构成有序集合.例如，刚体的转动惯量→→I ,电四极矩→→D ,等.3阶张量，在3维空间中，由33 = 27个分量构成有序集合.矢量表示印刷——用黑体字母，如 r , A 书写——在字母上方加一箭头，如 A r ,正交坐标系的基矢量正交坐标系(如直角坐标系,球坐标系,柱坐标系)基矢量321,e e e ,的正交性可表示为⎩⎨⎧≠===⋅ji j i ij 01δj i e e (1.1) 一般矢量A 有三个独立分量A 1，A 2，A 3，故可写成∑==++=31332211i i i A A A A ee e e A (1.2)矢量的乘积两个矢量的标积与矢积，三个矢量的混合积与矢积分别满足A B B A ⋅=⋅ (1.3)A B B A ⨯-=⨯ (1.4))()()(B A C A C B C B A ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ (1.5))()()(B A C A C B C B A ⋅⋅=⨯⨯- (1.6)并矢量与二阶张量两个矢量A 和B 并置构成并矢量j i e e e e e e e e AB j j i i B A B B B A A A ∑==++++=31,332211332211))(( (1.7)它有9个分量j i B A 和9个基j i e e ，一般地BA AB ≠.三维空间二阶张量也有9个分量ij T ，它的并矢量形式与矩阵形式分别为j i e e ∑=→→=31,j i ij T T (1.8)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211T T T T T T T T T T (1.9) 张量的迹是其主对角线全部元素(分量)之和：332211tr T T T T ++= (1.10)单位张量的并矢量形式与矩阵形式分别是332211e e e e e e ++=→→I (1.11)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001I (1.12)因此(Ⅰ.1)式中的符号ij δ实际上是单位张量的分量.对称张量与反对称张量 若ij ji T T =，称之为对称张量，它有6个独立分量，若对称张量的迹为零，则它只有5个独立分量.单位张量是一个特殊的对称张量. 若ij ji T T -=，称之为反对称张量，由于0332211===T T T ，反对称张量只有3个独立分量.任何张量ij T 均可写成一个对称张量ij S 与一个反对称张量ij A 之和，即ij ij ij A S T +=，只需使)/2(ji ij ij T T S +=，)/2(ji ij ij T T A -=.二阶张量与矢量点乘，结果为矢量.由(Ⅰ.1)式，有∑∑∑∑==⋅=⋅→→ij j ij i j ki ij ji k k k ij ij k k T A e T A T A T e e e e A ji δ,, (1.13) ∑∑∑∑==⋅=⋅→→ij i ij j i ij k j i k k k k ij ij T A e T A A T T e e e e A jk j i δ,, (1.14)一般地A A ⋅≠⋅→→→→T T . 但单位张量与任何矢量点乘，均给出原矢量：A A A =⋅=⋅→→→→I I (1.15) 并矢量与并矢量、或二阶张量与二阶张量双点乘，结果为标量.运算规则是先将靠近的两个矢量点乘，再将另两个矢量点乘：))(()()(D A C B CD AB ⋅⋅=: (1.16)2 矢量和张量分析（1）算符∇和2∇物理量在空间中的分布构成“场”(field).表示“场”的物理量一般地是空间坐标的连续函数，也可能有间断点，甚至会有奇点.例如:温度T 、静电势ϕ的分布都构成标量场；电流密度J 、电场强度E 、磁感应强度B 、磁场矢势A 的分布都构成矢量场.∇是对场量作空间一阶偏导数运算的矢量算符，2∇=∇⋅∇是二阶齐次偏导数运算的标量算符，即拉普拉斯算符.在直角坐标系中z y x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e ，2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ (2.1) 三个基矢量z y x e ,e ,e 均是常矢量.（2）标量场的梯度(gradient of a scalar field)标量场ϕ在某点的梯度zy x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕe e e (2.2)是一个矢量，它在数值上等于ϕ沿其等值面的法向导数，方向沿ϕ增加的方向，即n dnd ϕϕ=∇ (2.3) 例如静电势ϕ的分布是一个标量场,E =-∇ϕ即变成矢量场——静电场.（3）矢量场的散度(divergence of a vector field)矢量场A 通过某曲面S 通量(flux)定义为⎰⋅=ΦSd S A (2.4) 其中n S dS d =是曲面S 某点附近的面积元矢量，方向沿曲面的法向n .对于闭合曲面(closed surface)，规定S d 的方向沿曲面的外法向.对于矢量场A 中包含任一点)(z y x ,,的小体积V ∆，其闭合曲面为S ，定义极限A S A ⋅∇=∆⋅⎰→∆Vd SV 0lim (2.5) 为矢量场A 在该点的散度，它是标量.在直角坐标系中zA y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A (2.6) 若0≠⋅=Φ⎰S d S A , 则该点散度0≠⋅∇A ，该点就是矢量场A 的一个源点； 若0=⋅=Φ⎰Sd S A ，则该点散度0=⋅∇A ，该点不是矢量场A 的源点. 若处处均有0=⋅∇A ，A 就称为无散场(或无源场)，它的场线必定是连续而闭合的曲线.磁场B 就是无散场(solenoidal field ).高斯定理(Gaussl theorem ) 对任意闭合曲面S 及其包围的体积V ，下述积分变换定理成立⎰⎰⋅∇=⋅S V A S A dV d (2.7) 由此推知，若A 是无散场，即处处有0=⋅∇A ，则A 场通过任何闭合曲面的净通量均为零.（4）矢量场的旋度(curl of a vector field)矢量场A 沿闭合路径(closed contour)L 的积分⎰⋅Ld l A 称为A 沿L 的环量(circulateon)，其中l d 是路径L 的线元矢量.若对任意闭合路径L ，均有0=⋅⎰Ld l A (2.8) 则称A 为保守场（conservative field ）.当闭合路径L 所围成的面积元S ∆是某点P 的无限小邻域，我们约定：路径积分的绕行方向即d l 的方向，与其所围成的面积元S ∆的法向n 成右手螺旋关系，并定义极限n LS S d )()(lim 0A n A l A ⨯∇=⋅⨯∇=∆⋅⎰→∆ (2.9)为矢量场A 在该点的旋度A ⨯∇在n 方向的分量.在直角坐标系中z x y y z x x y z yA x A x A z A z A y A e e e A )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇ (2.10) 它是矢量.按上述约定若()0>⨯∇n A ，则A 线在该点周围形成右手涡旋；若()0<⨯∇n A ，则A 线在该点周围形成左手涡旋；若()0=⨯∇n A ，A 线在该点不形成涡旋.如果所有点上均有0=⨯∇A ,A 就称为无旋场.例如静电场E 就是无旋场(irrotational field).斯托克斯定理(stokes theorem) 对任意的闭合路径L 所围的曲面S ，下述积分变换成立()S A l A Sd d L ⋅⨯∇=⋅⎰⎰ (2.11) （5） 矢量场的几个定理标量场的梯度必为无旋场：0=∇⨯∇ϕ (2.12)【证】对任意标量场ϕ的梯度zy x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕe e e 取旋度，可得[]0)()(=∂∂∂∂-∂∂∂∂=∇⨯∇yx x y x ϕϕϕ， []0=∇⨯∇y ϕ，[]0=∇⨯∇z ϕ 逆定理：无旋场必可表示成某一标量场的梯度，即若0=⨯∇A ,必可令ϕ∇=A例如对于静电场强度E ，就可用标势ϕ的负梯度描写: ϕ-∇=E .矢量场的旋度必为无散场：0=⨯∇⋅∇A (2.13)【证】0)()()(=∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂=⨯∇⋅∇y A x A z x A z A y z A y A x x y z x y z A 逆定理：无散场必可表成另一矢量场的旋度，即若0=⋅∇B , 必可令A B ⨯∇=例如对于磁感应强度B ，就可用矢势A 的旋度描写.（6）算符运算标量函数ϕ的梯度ϕ∇是矢量，矢量函数f 的散度f ⋅∇是标量，旋度f ⨯∇是矢量，而f ∇是二阶张量：∑∑∑===∂∂=∂∂=∇31,3131j i i j j j i i x f f x j i j i e e e e f (2.14)若ϕ和φ是标量函数，f 和g 是矢量函数，有ϕφφϕϕφ)()()(∇+∇=∇ (2.15) ϕϕϕ)()()(f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇ (2.16) ϕϕϕ)()()(f f f ⨯∇+⨯∇=⨯∇ (2..17) f g g f g f ⋅⨯∇⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(- (2.18) f g g f g f f g g f )()()()()(⋅∇+∇⋅⋅∇-∇⋅=⨯⨯∇- (2.19) g f g f f g f g g f )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ (2.20) g f g f fg )()()(∇⋅+⋅∇=⋅∇ (2.21) f f f 2)()(∇⋅∇∇=⨯∇⨯∇- (2.22)上述运算不必采用化成分量的方法进行，只要抓住算符∇的微分作用及其矢量性质，便可快捷准确地写出结果.当∇作用于两个函数的乘积（或两个函数之和）时，表示它对每一个函数都要作微分运算，可以先考虑∇对第一个量的作用，并将这个量记为∇的下标，以示算符只对此量执行微分运算，第二个量则视为常数，再考虑∇对第二个量的作用，此时亦将第二个量记为∇的下标，第一个量则视为常数；必须注意的是，算符不能与其微分运算对象掉换次序.例如(2.16)式，)(f ϕ⋅∇是对矢量f ϕ求散度，故运算结果的每一项都必须是标量，我们有ϕϕϕϕϕϕ)()()()()(f f f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇f又如(2.20)式，)(g f ⋅∇是对标量g f ⋅求梯度，结果的每一项都必须是矢量，先把它写成)()()(g f g f g f ⋅∇+⋅∇=⋅∇g f再根据三矢量的矢积公式(1.6)式，但结果中必须体现f ∇对f 的微分作用，以及g ∇对g 的微分作用，故有f g f g g f )()()(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇fg f g f g f )()()(∇⋅+∇⨯⨯=⋅∇gg f g f f g f g g f )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇右方所得结果中第二项实际上是f g ∇⋅，第四项是g f ∇⋅.（7）积分变换⎰⎰⋅=⋅∇SV d dV S A A )( （高斯定理） (2.23.) →→→→⋅=⋅∇⎰⎰T d dV T SV S )( (2.24) ⎰⎰⋅=⋅⨯∇LS d d l A S A )( （斯托克斯定理） (2.25) ⎰⎰⋅∇=∇+∇SV d dV S )()(22φϕϕφφϕ（格林公式） (2.26) ⎰⎰⋅∇-∇=∇-∇SV d dV S )()(22ϕφφϕϕφφϕ（格林公式） (2.27) 3 δ函数一维δ函数定义为 ⎩⎨⎧'≠'=∞='-x x x x x x 0)(δ (3.1) 1)(='-⎰b adx x x δ ，当b x a <'< (3.2) 主要性质为：)(x x '-δ为偶函数，其导数是奇函数；又若函数)(x f 在x x '=附近连续，有)()()(x f dx x x x f ba '='-⎰δ，当b x a <'< (3.3) 这一性质由中值定理可以证明.三维δ函数定义为⎩⎨⎧'≠'=∞='-x x x x x x 0)(δ (3.4) 1)(='-⎰VdV x x δ，当x '在V 内 (3.5) 因此，位于x '的单位点电荷的密度可表示为)()(x x x '-=δρ. (4.3)式可推广到三维情形，若函数)(x f 在x x '=附近连续，便有)()()(x x x x '='-⎰f dV f V δ，当x '在V 内 (3.6)4.球坐标系和圆柱坐标系直角坐标系当坐标),,(z y x 变化时，三个基矢z y x e ,e ,e 的方向保持不变.常用的微 分运算表达式为z y x zy x e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕ (4.1) zA y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A (4.2) z x y y z x x y z y A x A x A z A z A y A e e e A )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇ (4.3) 2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕ (4.4)曲线正交坐标系任一点的坐标也可用曲线正交坐标系描述，沿三个坐标),,(321u u u 增加方向的基矢量321e ,e ,e 互相正交，随着坐标变化，一般地三个基矢量的取向将会改变.无限小线元矢量l d 、坐标i u 的标度系数i h ，以及微分算符分别为333222111332211e e e e e e l du h du h du h dl dl dl d ++=++= (4.5)21222])()()[(ii i i u z u y u x h ∂∂+∂∂+∂∂= (4.6) 333222111111u h u h u h ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e (4.7) )]()()([13321322132113213212u h h h u u h h h u u h h h u h h h ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇ (4.8) 球坐标系r u =1，θ=2u ，φ=3u ；11=h ，r h =2，θsin 3r h =.三个基矢r e e =1，θe e =2，φe e =3的方向均与坐标θ和φ有关，而与r 无关.与直角坐标系基矢的变换为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x e e e e e e r 0cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin φφθφθφθθφθφθφθ (4.9) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡φθθθφφθφθφφθφθe e e e e e r 0sin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin z y x (4.10)坐标变换为φθcos sin r x =，φθsin sin r y =，θcos r z = (4.11)常用的微分运算表达式为φϕθθϕϕϕφθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin 11r r r re e e (4.12) φθθθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A r A r A r rr r sin 1)sin (sin 1)(122A (4.13) φθθφθφθφθφθθθe e e A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=⨯∇r r r A A r r r A r r A r A A rsin -))-(1(sin 11)sin (1 (4.14) 2222222sin 1)sin (sin 1)(1φϕθθϕθθθϕϕ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇r r r r r r (4.15) 立体角元、球面积元与体积元分别为φθθd d d sin =Ω (4.16) Ω===d r d d r dl dl dS r 2232sin φθθ (4.17) φθθd drd r dl dl dl dV sin 2321== (4.18)柱坐标系r u =1，φ=2u ，z u =3； 11=h ，r h =2，13=h .三个基矢量r e e =1，φe e =2 ，z e e =3中，r e 和φe 的方向均与坐标φ有关，z e 则为常矢量.与直角坐标系基矢的变换为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z e e e e e e r 1000cos sin 0sin cos φφφφφ (4.19) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z z y x e e e e e e r φφφφφ1000cos sin 0sin cos (4.20)坐标变换为φcos r x =，φsin r y =，z z = (4.21)常用的微分运算表达式为z r zr r e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕφϕϕϕφ1 (4.22) z A A r A r r r z r ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇φφ1)(1A (4.23)z r z r r z A A r r r rA z A z A A r e e e A ]([1()1(φφφφφ∂∂-∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=⨯∇))-- (4.24)2222221)(1z r r r r r ∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∇ϕφϕϕϕ (4.25) 体积元为dz rdrd dl dl dl dV φ==321 (4.26)例1．设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u dudfu f ∇=∇)( (1) dud u u AA ⋅∇=⋅∇)( (2) dud u u AA ⨯∇=⨯∇)( (3) 【证】对于)(u f ∇，注意到du df u f =∂∂，有u drdf z u y u x u du df zf y f x f u f z y x z y x∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∇)()(e e e e e e在直角坐标系中将矢量A 写成分量形式，便可证明(2)式和(3)式.例2．从源点（即电荷电流分布点）x '到场点x 的距离r 和矢径r 分别为222)()()(z z y x y x x r '-+'-+'-= z y x z z y -y x -x e e e r )-()('+'+'=)(对源变数x '和场变数x 求微商的算符分别为z y x z y x'∂∂+'∂∂+'∂∂=∇'e e e ,zy x zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e 证明下列结果，并体会算符∇'与∇的关系：rr r r=∇'-=∇ (单位矢量) (1) 3=⋅∇'-=⋅∇r r (2) 0=⨯∇'-=⨯∇r r (3)→→=∇'-=∇I r r (单位张量) (4) 311rr r r-=∇'-=∇(5)033=⋅∇'-=⋅∇rrr r ，（0≠r ） (6) 033=⨯∇'-=⨯∇r r r r (7)【证】 将算符∇与∇'分别作用于r 和矢径r 的表达式，可得到(1)至(4)式的结果.利用前面1.2题的第一式和本题(1)至(4)式的结果，得3211)(1rr r r dr r d r rr -=-=∇=∇- 0)(333=⋅∇+⋅∇=⋅∇-r r r -r r r ，（当0≠r ） 0)(333=⨯∇+⨯∇=⨯∇-r r r -r r r同理可证31r r r =∇'；03=⋅∇'rr ，当0≠r ；03=⨯∇'r r.事实上，对任意的标量函数)(r f 和矢量函数r )(r f ，不难证明)()(r f r f ∇'-=∇；])([])([r r r f r f ⋅∇'-=⋅∇ ])([])([r r r f r f ⨯∇'-=⨯∇；])([])([r r r f r f ∇'-=∇即算符∇与∇'存在代换关系∇'-→∇.这种代换将会经常用到.。
弹塑性力学第二章 矢量和张量概述
(2.16) （2.17）
矢量方程
通过方程来表示（矢量）物理量的关系或几何事实
如，一个质点受力 条件为
F , F ,..., F
(2)
(1)
(2)
( n)
作用，质点的平衡
F
(1)
F
... F
i y
( n)
0
n i z
在直角坐标系Oxyz中，用投影表示
U V u1v1 u 2 v2 u3 v3 ui vi ui vi u k vk
i 1
但要注意，非重复指标与重复指标的不同含义，如 ui vi 表示的是两个矢量的和（对应分量求和），得到的也是一个新 矢量，即 (w , w , w ) (u v , u v , u v )
C
X’
D
B x
A
可以表示为
' i
x ij x j
(i, j 1,2)
(a)
11 ij 21
12 cos sin 22 sin cos
Gi xi
（i=1,2,3）
这里的三个导数可以看成是矢量的三个分量，即 G grad ( , , ) x1 x2 x3 这里 ( , , ) 表示梯度算子。
x1 x2 x3
需要强调指出， 是垂直于空间曲面
( x1 , x2 , x3 ) c
则有如下平移公式
x x ' h x ' x h 或 y y ' k y ' y k
若原点保持不动,新坐标系由Ox和Oy沿逆时针方向旋转 角得到
矢量和张量
手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中
的分量分别为vi 和 vi ，则有
vi lij v j
• lij cos(xi, xi ) 称为方向余弦，即 xi 与 x j
轴夹角的余弦。
方向余弦表
新坐标 轴
x1
x2
x3
老坐标轴
x1
x2
x3
l11
l12
l13
l21
• 根据线性变换的思想来定义张量。
• 标量不受坐标变换的影响，定义为零阶 张量，分量数=30=1。
• 满足 vi lijv j ，这些矢量称为一阶张量， 分量数=31=3。
• 满足 aij liml jnamn ，称为二阶张量，分量 数= 32=9。
• 满足aijk liml jnlkpamnp ，称为三阶张量， 分量数=33=27。
W U V
• W的大小等于由U和V组成的平行四边形 的面积。
• 矢量积的计算式为
e1 e2 e3 W U V u1 u2 u3
v1 v2 v3
e1(u2v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3(u1v2 u2v1)
• 矢量叉积不满足交换律和结合律：
U V (V U )
• 在下标中，用一个逗号表示微分，如：
vi ,i
v1 x1
v2 x2
v3 x3
V
1.3.2 ij符号（Kronecker符号）
•克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的 缩写形式，即
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
•由求和约定可得到
ii 11 22 33 3
• 由于
ij v j vi
张量的基本概念(我觉得说的比较好,关键是通俗)
简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。
向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。
而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。
张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。
我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。
张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。
在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。
而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。
要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。
进而发展了张量分析。
现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。
比如泛函分析、纤维从理论等。
代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。
其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。
而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。
线性代数的精髓概念根本涉及不到。
这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。
现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。
这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。
公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。
武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。
应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。
LECTURE01矢量
u u r r A B = AB cos θ
u r B u r A
B cosθ
u u r r A B = AB cos θ
表示：两个矢量的标积是一个标量， 表示：两个矢量的标积是一个标量，其 标量 大小是第一个矢量的大小乘以第二个矢量在第一个矢量上的 投影。 是指这两个矢量的夹角。 投影。 θ 是指这两个矢量的夹角。
A
物理教研室 C. P. U.
u u r r u u r r 1) A × B = B × A
u r 2) 如果 A 如果: u r u u r r 反之亦成立。 B 则 A × B = 0反之亦成立。
3）两个矢量垂直时，矢积的模最大，方向 两个矢量垂直时，矢积的模最大， 按右手螺旋法则。 按右手螺旋法则。
物理教研室 C. P. U.
u r A
负矢量：方向相反，大小相等。 负矢量：方向相反，大小相等。
u u r r A = B
矢量由大小和其方向构成： 矢量由大小和其方向构成： u u r r u u uo r r r uo A A r A= A A A= u = r A A u r uo r A =A 为大小， A 为其单位矢量，大小为1。
矢量 (VECTOR)
1 标量和矢量 Scalar quantity and vector quantity
标量：大小， 标量：大小，由单一的数和单位描写 矢量：大小和方向（单位） 矢量：大小和方向（单位） 矢量可作图表示，用文字可表示 ur u u u r uv 为 A m AB A 。 特别提示，注意书本上的印刷体符号，如 特别提示 果是斜写的黑体，就是矢量。
物理教研室 C. P. U.
r r r r r r i ×i = j × j = k ×k = 0 r r r r r rr r r i × j = k , j × k = i, k × i = j u u r r r r r r r r A× B = ( Ax i + Ay j + Az k) × (Bx i + By j + Bz k) r r r = ( Ay Bz Az By )i + ( Az Bx Ax Bz ) j + ( Ax By Ay Bx )k
第1章 矢量与张量
xi
r = r ( x1 , x 2 , x3 )
( ( x i ) 与空间所有点1－1对应，x i )
就是曲线坐标系； 3.
( x i ) 不是 r 在在固定坐标系中的
(X i) ： 投影长度
≠ x1i + x 2 j + x3 k r = X 1 ( xi ) i + X 2 ( xi ) j + X 3 ( xi ) k
a ( u + v ) = au + av
uI 线性相（无）关：是（否）存在一组非全为零的数 aI ，使∑ ai ui = 0
i =1 I
8.叉积 i j k w = u × v = u x u y u z ； u × v = u v sin( u, v ); u, v组成的平行四边形面积 vx v y vz
2
指标升 / 降 ◊ 基矢量指标升 / 降：g i = G ij g j，gi = Gij g j （度量张量的元素实际上就是协、逆基矢量相互线性分解的系数） ◊ 矢量分量指标升 / 降：P = p i gi = p j g j ⇒ p i = G ij p j，p j = G ji p i ◊ 张量分量指标升 / 降：T = T•ij gi g j = T•ij Gim g m G jn gn = T•ij Gim G jn g m gn
矢量与张量(续)
笛卡尔张量的定义、张量的性质、各向同性张量
所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中—定 数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的 变换法则变换。n 阶张量满足以下的坐标变换规律：
T β β L β T iii2L in
i1 j1 i2 j2
in jn j1 j2L jn
张量有不同的阶和结构，这由它们所遵循的不同的变换法则来
• 矢量的旋度
算子与一个矢量V 的叉积可写成×V 的形式，称之为V 的
旋度，它的分量形式为：
e1 e2 e3 V ce1 (v1,3 v3,1)e2 (v2,1 v1,2)e3
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
x2
xi 正方向的单位基矢量
e i
V v1e1 v2e2 v3e3 viei
W U V u1 v1 e1 u2 v2 e2 u3 v3 e3
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
任意两矢量a和 b的点积: a b | a || b | cos(a, b)
由叉积定义,若 e1, e2 , e3 是直角坐标系的单位基矢量，则：
ei e j ei jkek
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
三矢量a,b,c的三重标量积或框积
[a,b,c] [b,c,a] [c,a,b] a (b c) aibjckeijk
aicibses aibicses (ac)b (ab)c
即
a(bc) (ac)b(ab)c
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
附录矢量与张量运算
附录 矢量与张量运算1标量﹑矢量与张量1.1基本概念在本书中所涉及的物理量可分为标量、矢量和张量。
我们非常熟悉标量，它是在空间没有取向的物理量，只有一个数就可以表示其状态。
例如质量、压强、密度、温度等都是标量。
矢量则是在空间有一定取向的物理量，它既有大小、又有方向。
在三维空间中，需要三个数来表示，即矢量有三个分量。
考虑直角坐标右手系，三个坐标轴分别以1、2和3表示，、2和3分别表示1、2和3方向的单位矢量。
如果矢量a 的三个分量分别为a 1、、a 2、a 3，则可以表示为也可以用以下符号表示 a =(a 1,a 2,a 3)矢量a 的大小以a 表示a =(a 12+a 22+a 32)1/2我们还会遇到张量的概念，可将标量看作零阶张量，矢量看作一阶张量，在此将主要讨论二阶张量的定义。
二阶张量w 有9个分量，用w ij 表示。
张量w 可用矩阵的形式来表示：w 其中下标相同的元素称为对角元素，下标不同的元素称为非对角元素。
若w ij =w ji ，则称为对称张量。
如果将行和列互相交换就组成张量w 的转置张量，记作w T ,则w T =显然，若w 是对称张量，则有w =w T 。
另外，如果w T =-w ，w 被称为反对称张量，同时有w ij =-w ji 。
任何一个二阶张量都可以写成两部分之和，一部分为对称张量，另一部分为反对称张量。
w =(w +w T )+ (w -w T )单位张量是对角分量皆为1，非对角分量皆为0的张量是最简单的对称张量。
张量对角分量之和称为张量的迹t r w =张量的迹是标量，如果张量的迹为零，称此张量为无迹张量。
1.2基本运算1.2.1矢量加法与乘法运算在几何上，矢量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
如图附-1所示，减法为加法的逆运算。
1e e e a 332211e e e a a a a ++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211w w w w w w w w w ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332313322212312111w w w w w w w w w 2121δ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001δδ∑iiiw图附-1 矢量加减法在解析上，矢量加法（减法）为对应分量之和（差）。
矢量到张量全面概述(包括白线性空间).
我们都生活在形形色色的空间中。
数学上所说的空间就是点的集合，如果我们给这个点集赋予特定的空间结构（引入不同的确定关系）。
但世界上不存在毫无任何空间结构的“裸空间”。
如果我们赋予空间以线性结构（可加性与数乘性），则这个空间就叫做线性空间。
一、线性空间只要在点集中定义了加法和数乘两种代数运算，则称之为赋予空间以线性结构，这样的点集（空间）就叫做数域P上的线性空间。
其中用于数乘的数域P是指包含0和1的数集，并且数集对加、减、乘、除（0不作除数）运算是封闭的。
此外，实数域R上的线性空间叫做实线性空间，复数域C上的线性空间叫做复线性空间。
二、广义向量空间线性空间的元素是空间点，任一元素都可以用一组有序的数（x1，x2，…）（或曰一组空间坐标）来表示。
如果我们把空间点的一组坐标看作一种广义的向量，则线性空间又可视为广义向量的集合，称之为广义向量空间。
换句话说，线性空间的元素是广义的向量。
广义向量的维数可以有限，也可以无限。
所以线性空间的维数可以是有限的，也可以是无限的。
如果一组向量线性无关，则其中任何一个向量都无法用其余向量线性表出。
在一个向量组中，向量的极大线性无关组中向量的个数叫做向量组的秩。
向量组的秩必然等于向量的维数。
线性空间是向量的集合，其中的极大线性无关组不是唯一的，可以根据需要选取。
但同一空间中极大线性无关组的秩都是相等的。
其中选定的任何一个极大线性无关组，都可以作为线性空间的一组基向量，简称基。
所谓“基”的含义，就是说该空间中的任一个向量γ都可以用该组基向量的线性组合表出（数学上称之为线性表出或线性表示）。
即其中基的秩n叫做线性空间的维数，数组为向量γ在该组基下的表出系数（组合系数、表示系数），我们称之为向量γ在基下的坐标。
当选定一组基后，某个向量的一组坐标就是唯一的。
但线性空间的基不是唯一的，所以同一个向量在两组不同的基下的坐标也是不同的。
三、矢量空间线性空间的维数可以有限，也可以无限。
通常我们把有限维的实线性空间叫做矢量空间。
第一章-矢量和张量(1)
矢量与张量为什么学习张量1. 物理量： 标量 矢量 张量2. 客观性： 客观规律与坐标系（观察者）无关第一章：矢量 矢量：1.方向性2.合成结果与顺序无关不符合这两点要求的不是矢量。
转动具有大小和方向 但由于不满足交换律（第2要素），因而不是矢量。
基本运算：1. 点积 abcos ⋅=θa b a 与b 在a 上的投影之积。
分配律：()⋅+=⋅+⋅a b c a b a c 证明：+b c 的投影等于b 的投影与c 的投影之和 推论：① ()()α+β⋅λ+γ=αλ⋅+αγ⋅+βλ⋅+βγ⋅a b c d a c a d b c b d ② ()111223311b b b b ⋅=++⋅=b e e e e e ③ ()()()333i i j j i i i 1i 1i 1a b a b ===⋅=⋅=∑∑∑a b e e2.叉积 absin ⨯=θa b n有方向的平行四边形面积3混合积 ()⋅⨯u v w 六面体体积改变六面体底、高顺序 可证：()()()⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯u v w v w u w u v推论：① 叉积分配律：()⨯+=⨯+⨯a b c a b a c 证明：()()()()()()()⋅⨯+=+⋅⨯=⋅⨯+⋅⨯=⋅⨯+⨯v a b c b c v a b v a c v a v a b a c上式对任何矢量v 都成立，所以()⨯+=⨯+⨯a b c a b a c② ()()α+β⨯λ+γ=αλ⨯+αγ⨯+βλ⨯+βγ⨯a b c d a c a d b c b d ③ ()()112233112233a a a b b b ⨯=++⨯++a b e e e e e e123231312123123231312123a a a a a a a a a b b b b b b b b b ==-+e e e e e e ④ ()⨯⋅=a b c 231312123231312a a a a a a c c cb b b b b b -+123123123c c c a a a b b b = ⑤ ()()21232123123u u u v v v w w w ⋅⨯=u v w wuvT123123123123123123u u u u u u v v v v v v w w w w w w ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅u u u v u w v uv vv ww u w v w w线性相关：一组矢量i (i=1,2,k)a 中至少有一个矢量可以用其余的矢量线性组合表示：()j i i i j≠=α∑a a线性无关：()ki i i 1=α=∑a 0等效于i 0α=(i=1,2,k)三维空间中三个线性无关的矢量,,a b c ,如果其线性组合111111112223222223323323a b c 0a b c 0a +b +c =0a b c 0a b c 0a b c 0α⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ααα⇒α= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥α⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭ 则i 0α=，说明系数矩阵满秩。
张量基础知识分解
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率 张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定 律可表示为
J E
11 12 13 21 22 23 31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分
量来描述，这种物理量就是二阶张量。
2.2 张量的数学定义
描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是 说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换， 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量
的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换
时分量变换的规律。
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
称9的a的分量组成的方阵称为坐标变换矩阵或方向余弦矩阵， 它简明的表示出了新老坐标之间变换的规律。
二、矢量分量的变换 设有一矢量p,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,p3, 在新坐标系中的分量为p1*,p2*,p3*,由于是同一个 矢量p,故有
p p1e1 p 2e2 p 3e3 p * 1e * 1 p * 2e * 2 p * 3e * 3
点操作时发生改变，这称为赝标量。
二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、
电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描 述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 为： f ( f 1, f 2, f 3) 。
或表示成分量形式
Ji ijEj （i 1, 2 , 3 )
j 1
3
矩阵形式
J 1 11 12 13 J 2 21 22 23 J 3 31 32 33
矢量和张量
在柱坐标系中，对应(r，θ，z)的拉梅系数h为(1，
r，1)故有
在球坐标系中，对应(r，θ，φ)的拉梅系数h为(1，
r，rsin θ)故有
称它为拉普拉斯算符(有些作者以符号△表示，特 别在早期德国文献中)。与梯度、散度和旋度一样， 拉普拉斯算符只具有分配律性质。
矢量场的拉普拉斯算符
虽然上式在直角座标系下成立，但不能应用于曲线 座标系，所以把矢量场的拉普拉斯算符定义为：
就可用于曲线座标系。
二阶张量
本节将给出一些与张量和并矢量相关的一些 运算方法。这些运算在传递现象的理论中 会遇到，特别是动量传递中。
两个矢量的加法可以用熟知的平行四边形 法则进行运算；矢量减法运算如下：改变 一个矢量的符号，然后与另一失量相加。
矢量和标量的乘法
用一标量乘一矢量，仍为一矢量，它的大 小改变，但方向不变。下述定律适用；
二矢量的标量积(或点积)
二矢量v和w的标量积为一标量，定义如下：
v w vwcosvw
a31 a32 a33
矢量及其大小的定义：单位矢量
一矢量v可以完全地用其在 座标抽I，2，3上的投影 v1,v2,v3来描述(见左图)。因 此一矢量可以解析地表示为：
3
v 1v1 2v2 3v3 ivi i 1
一矢量的大小如下式所给：
上面介绍过的单位矢量具有了下述几个性质 它们可归纳如下； 式中δij和εijk分别是前边介绍过的克罗内克符号和交错 单位张量。
v v 0
矢量运算的解析表示
克罗内克符号(Kronecker delta)δij和交错单位张量εijk， 可把许多公式表达得更为简单。它们的定义如下：
ij 1 若i j
流变学第二章 3
Ti j Tji (i, j 1, 2,3)
平衡时应力张量为对称张量，其中只有六个独 立分量。 三个为法向应力分量:T11,T22,T33 三个为剪应力分量： T12=T21 T13=T31 T23=T32
应力张量 应力是作用在单位体积上的表面力。 对于整个体积元，应以9个应力分量来表示其流 变学动力学量。 总的应力张量可以分为各向同性张量和偏张量。 各向同性张量引起体积改变， 偏张量引起形状 改变。
三、几个特殊的张量
a.单位张量 单位张量的表达式
称为克朗内克 符号
1 0 0
0 0 1 0 i j 0 1
1 当i j 0当i j
1 0 0
0 0 1 0 i j 0 1
b.对称张量
二阶张量的下标i与j互换后所代表分量不变， 称为二阶对称张量。即有σ ij=σ ji 二阶对称张量的矩阵表示形式中各元素关于对 角线对称。因而只有六个独立元素。有：
11 12 i j 21 22 31 32
13 11 12 13 23 22 23 33 33
C 反对称张量
二阶反对称张量的分量满足pij=-pji 对角线各元素为零，从而只有三个独立分量，有
或流动的无粘流体都处于这种应力状态。
例2
均匀拉伸或压缩
设流体只受到一个方向的拉力或压力，除此之 外不再有任何其他作用力，各应力分量为：
此时体系处于沿 x1方向的 均匀拉伸或压缩状态。τ0 为拉伸，τ<0 为压缩。
材料在单轴拉伸流场中（纺丝过程）处于这种 应力状态。
【张量分析ppt课件】张量分析课件第二章2 矢量函数共46页PPT资料
o
解：v ()vc o si1 vs ini2 (0 .5 c o s 0 .2 5 c o s 2)i1
(0 .5 s in 0 .2 5 s inc o s)i2 ; 0 /2 0 :v 0 .2 5 m / s ; 1 5 :v 0 .2 5 9 m / s
3 0 :v 0 .2 8 3 m / s ; 4 5 :v 0 .3 2 3 m / s
，b]区间的不同取值x (t)位置矢量平面描绘一条曲线。
对矢量函数： x x (t1 ,t2 ) x 1 (t1 ,t2 )i1 x 2 (t1 ,t2 )i2
t2
x2
当t = b 时： 2 2
x x (t1 ,b 2 ) x 1 (t1 ,b 2 )i1 x 2 (t1 ,b 2 )i2
a2
更一般地有：对矢量函数 x(t)的终点所描绘的曲线称为矢
端曲线或称为 x(t)的图形。而（2.3-1）式称为矢量方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ例12：
x2
已知小球在四分之一圆弧轨道中运动。圆弧
轨道半径R=50cm，小球运动速度的大小 v φ
0.51cos(m。/s)试求小球速度矢量方程；并在图
4
中画出小球速度的矢端曲线。
程。参数方程在 {o；i1，i2，i3} 中描绘的曲线称为矢端曲 线（面）。
具有一个参数的矢量函数矢端曲线（二维映射分析）：
设x = x (t) , b≤t≤a。在平面坐标系{o；i1，i2}中，矢量x
随t的变化，且： xx1(t)i1x2(t)i2
x2
x完全由x1(t), x2(t)的变化确定。
t*
xx(t1, ,tn)
（2.3-3）
x x 1 ( t 1 ,, t n ) i 1 x 2 ( t 1 ,, t n ) i 2 x 3 ( t 1 ,, t n ) i 3 x i ( t 1 ,, t n ) i i
从张量、矢量和标量角度看物理量
从张量、矢量和标量角度看物理量第28卷第6期2010年12月凯里学院JournalofKailiUniversityV01.28NO.6Dee.2010从张量,矢量和标量角度看物理量吴位巍(凯里学院理学院,贵州凯里556011)摘要:从逻辑学角度定义张量,矢量,标量,统一物理教材中矢量,标量的多种定义,剔除不恰当的定义,确保物理量的正确运算.关键词:量;坐标系;协变;逆变;法则论文编码:Doi:10.3969/j.issn.1673—9329.2010.06.15根据国际计量局(BIPM),国际电工委员会(IEC),国际标准化组织(ISO)和国际法制计量组织(OIMI)联合制定的《国际通用计量学基本名称》,量是"现象,物体或物质的可以定性区别和定量的确定的属性".量都具有可测性,可分为三大类:标量,矢量和张量.1张量,矢量和标量定义逻辑学指出[]:概念的内涵是反映在概念中的对象的本质属性.所谓本质属性就是某类对象共同具有并且仅为该类对象所具有的属性,亦即它是确定某类对象区别于其他对象的属性.概念的外延是指具有概念所反映的本质属性的每一个对象.外延和内涵是概念的两个不同方面,这两个方面具有密切的关系,两者互相依存,互相制约.概念的定义是用来揭示概念内涵的逻辑方法,应当既揭示它的内涵,又确定它的外延. 设一个量的分量在曲线坐标系32中定义,它们是坐标.12,,.220的函数.若坐标系容许变换成另一个新坐标系r,,32=r(l,2,0),则可以定义该量在新坐标系-r中的分量.若一个量在坐标系中只有一个分量妒,在新坐标系z中也只有一个分量,并且在两个坐标系中的对应点上,与的数值相等,即j:r1(),(),2F3()J(1,X2,X3)一p(x,,.)(1)这个量称为标量[.在Euclidean空间中一个量可以用3个有序数73i (或另3个有序数)的集合表示,且当坐标转换时,它们在新坐标系中按以下转换关系转换为另一组3个有序数的集合)～i协变转换关系vi一u一(2)逆变转换关系一"vj一u.(3)式中一一,届一.该量称为矢量E33,它d'(正是具有大小与方向且满足一定规则的实体.在坐标变换时,矢量本身是不变量,它的分量却是变量,并按(2),(3)式变换规则变换.张量是矢量概念的推广,若在坐标变换时,它的分量按下式变换一…筹….㈩这个量Alli,...,称为P阶逆变,q阶协变的r阶(r—P+q)张量.张量由它的分量的集合所规定,例如一个由9个有序数组成的集合T(i,)(i,J一1,2,3),在坐标变换时,这组数按照以下坐标转换关系而变化丁(i,)一T(k,z),(i,=1,2,3)(5)则这组有序数的集合就是张量,且是一个二阶张量.物理教材中,矢量,标量的定义多种多样,但都可归结为以上的定义,并还可以剔除不恰当的定义,如,标量是只有大小没有方向的物理量[4].2运算法则及相互关系标量计算遵从代数运算法则.矢量和遵从平行四边形法则,同一空间中两矢量之和仍是该空间的矢量,它满足交换律,结合律.矢量乘实数仍是同一空间的矢量,它满足分配律,结合律.两个矢量A与.B可以点积也可以叉积.如:A?B—lA1IBIcos(A,B),(6)C—A×B.(7)[1lvw]一(1l×v)?w—ll?(×'.,).(8)收稿日期:2010—10一】2作者简介:吴位巍(1963一),男.贵州天柱人,凯里学院理学院副教授,研究方向为物理教育48?定义(6)式为矢量A与B的点积,它满足交换律,分配律,正定性,Schwartz不等式规则;定义(7)式为矢量A与曰的叉积,它满足分配律,但不满足结合律.定义(8)式为矢量H,y,W的混合积.矢量的某一分量既不是矢量,也不是标量.两矢量的点积结果是标量,A与曰的叉积C是垂直于A,B构成平面的另一个矢量,三矢量的混合积是标量.张量可以进行代数运算,如相加,标量与张量相乘,张量与张量并乘,张量的缩并,张量的点积,张量的矢积等.张量计算遵从矩阵运算法则.张量可分为零阶,一阶,二阶,……,张量的阶等于变换法则中变换系数的维度,也等于张量的指标的数目.矢量是一阶张量而标量是零阶张量.3物理量描述同一空间的物理问题,可以根据需要选择各原来位形原来位形y种不同的坐标系,同一个物理量在不同坐标系中往往以不同的分量加以定量描述.在物理量中,有些与参考坐标无关,另有一些量,它们的分量却与参考坐标的选择有关,当坐标作容许变换时,这些量的分量服从不同的变换规则——(2),(3),(4),正因为如此,物理量才分为矢量,标量,张量.矢量是具有大小与方向且满足一定规则的实体,例如角位移,它有大小和方向,但在有限转动中,如把一长方形砖块先绕z轴转90.,然后再绕Y轴转90.,得到的位形图1与先绕Y轴转90.再绕轴转90.得到的位形图2比较,这两个位形迥然不同,它们不满足平行四边形加法所应该遵守的对易律,所以在有限转动中角位移不是矢量.再比如电流J,它虽有大小和方向,但它的计算遵从代数运算法则,故不是矢量,而是标量. X绕Z轴转9o.后图1绕y轴转90.后图2刚体的转动惯量,它是用9个实数描写(其中6个是独立的),而这9个数满足(5)式,它是一个二阶张量.但刚体作定轴转动时,它的转动惯量J是一个恒量,看起来是一个标量,实际上它是张量的一个分量.由于在定轴转动中这个分量不变,张量的其他分量又不出现,可以按标量来对待,但它仍是张量的一个分量,而不是标量.在理论物理中,像这样用一个实数描写,又与转动无关的物理量,如密度,摩擦系数和电阻等,虽然也符合标量的定义,但通常并不称为标量.4结束语质量,温度,长度,劲度系数,频率,速率,动能等物理量与坐标无关是标量;位移,速度,力,电场强度,能流密度等是矢量;各向异性电介质的极化率,铁磁质的磁介率和弹性体的应力等是张量.明确张量,矢量,标量定义,掌握各自的运算法则,是划分众多物理量的基yZ再绕Y轴转9o.后再绕z轴转90.后y础,是物理量进行正确运算的保证.参考文献:[1]中国人民大学哲学系逻辑教研室.逻辑学[M].北京:中国人民大学出版社,2000.[2]郭日修.弹性力学与张量分析[M].北京:高等教育出版社,2004.[3]黄克智,薛明德,陆明万.张量分析[M].北京:清华大学出版社,2003.[4]苏和.基础物理手册[M].呼和浩特:内蒙古人民出版社,1982.[5]基特尔C.力学[M].北京:科学出版社,1979.[责任编辑:张和平]49。
lecture1(I) 预备知识
参考书目
❖ 郭硕鸿 电动力学 中山大学 ❖ 蔡圣善 经典电动力学 复旦大学 ❖ J.D. Jackson Classical Electrodynamics ❖ David J. Griffiths
Introduction to Electrodynamics ❖ 林璇瑛、张之翔 电动力学习题解
矢量场的散度
一个矢量场f (x,y,z)在某点处的散度定义为
f lim S f dS V 0 V
强度量 类比密度：
通量密度
矢量场的散度是一个标量，它标志在矢量空间范 围内某点矢量线的发散或收缩情况。
在不同的坐标系中，矢量场的散度具有不同的形 式。在直角坐标系中，矢量的散度可以写成
f fx f y fz x y z
a (b c) b (c a) c (a b) a (b c) a (c b) b (a c) c (b a)
三矢量的矢积
三个矢量的矢量积是一个矢量，可以表示为
a (b c) (b c) a (a c)b (a b)c
或者写成
(a b) c (a c)b (b c)a
r
r
r r3 0 (r 0)
r 0
1 r
r r3
;
'
1 r
r r3
r r3 0. (r 0)
x y z fx fy fz
* 柱坐标系的旋度表示 在柱坐标系中，矢量场f (r,θ, z)的旋度可以表示为
f
1 fz
r
f z
er
fr z
f z r
e
1 r
r
(rf r
)
1 r
f r
e
z
* 球坐标系的旋度表示 在球坐标系中，矢量场f (r,θ,φ)的旋度可以表示为
CES01-向量与张量
本段内容下载自：/elasweb/course/cha0-3.htm1.1向量的定义从几何观点来看，向量定义为有向线段。
在三维欧氏空间中，建立直角坐标系，沿坐标方向的单位向量为，即其标架为。
设从坐标原点至点的向量为，它在所述坐标系中的坐标为，那么可写成(1.1)设在中有另一个坐标系，其标架为，它与之间的关系为（1.2）由于单位向量之间互相正交，之间也互相正交，因此矩阵(1.3)将是正交矩阵，即有，其中上标表示转置。
从(1.2)可反解出（1.4）向量在新坐标系中的分解记为(1.5)将(1.4)代入(1.1),得到(1.6)公式(1.6)是向量的新坐标和旧坐标之间的关系，它是坐标变换系数的一次齐次式。
这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。
可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。
这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组，如果在坐标变换下为关于变换系数由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。
1.2 Einstein约定求和用求和号，可将(1.1)写成(1.7)所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成(1.8)在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成(1.9)有时亦称求和的指标为“哑指标”。
本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示从1 至3 求和。
按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成(1.10)(1.11)将(1.11)代入(1.8)，得(1.12)由此就得到了(1.6)式的约定求和写法，(1.13)今引入Kronecker记号，(1.14)例如。
应用，单位向量之间的内积可写成(1.15)向量和向量之间的内积可写成(1.16)上式中最后一个等号是因为只有时，才不等于零，在这里的作用似乎是将换成了，因而也称为“换标记号”。
再引入Levi-Civita记号，(1.17)其中分别取1，2，3中的某一个值。
矢量张量公式及推导
矢量及张量1. 协变基矢量：321g g g a 321a a a ++=， 称为逆变基分量，是协变基矢量。
2. 逆变基矢量：321g g g a 321a a a ++=， 称为协变基分量，是逆变基矢量。
3. 爱因斯坦求和约定：省略求和符号，i i g g a i i a a ==4. 逆变基于协变基的关系：j i δ=∙j i g g5. 标积：i i j i j i b a b a =∙=∙g g b a6. 坐标转换系数：i i i i i iii i i i xx x x x x g g r r g '''''β=∂∂=∂∂∂∂=∂∂= 7. 转换系数的性质：i j k j i k δββ=''，因为''''m l m j i l j i i j g g g g ∙=∙=ββδ8. 张量：分量满足坐标转换关系的量，比如矢量''''''i i i i i i k k i i v v v ββ=∙=∙=g g g v 9. 置换张量：ijk k j i ijk e g ==][g g g ε，其中][321g g g =g ，同理有ijkk j i ijk e g1][==g g g ε 由行列式的性质及线性][][]['''''''''n m l nk m j l i n n k m m j l l i k j i g g g g g g g g g ββββββ==，因此是张量分量。
定义置换张量：k j i ijk k j i ijk g g g g g g εεε==10. 基的叉积：k l ijl ijk k j i g g g g g ∙==∙⨯εε，所以l ijl j i g g g ε=⨯，l ijl j i g g g ε=⨯ 11. 叉积：k ijk j i j i j i b a b a g g g b a ε=⨯=⨯，或写成实体形式ε:ab ab :εb a ==⨯，双标量积用前前后后规则完成。
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f ⋅ T = f ⋅ (ab) = ( f ⋅ a)b
显然，矢量与张量的标积不满足交换律， 显然，矢量与张量的标积不满足交换律，即
→ →
f⋅T ≠ T⋅f
→ →
→ →
* 矢量与并矢的矢积 当矢量与并矢矢乘时， 当矢量与并矢矢乘时，矢量仅与并矢中相邻的一 个矢量矢乘，运算结果为一个新的张量。 个矢量矢乘，运算结果为一个新的张量。即
→ → → →
T : T′ = (ab) : (cd) = (b⋅ c)(a ⋅ d)
作业 1.证明 1.证明
A×(B×C)= ( A⋅ C)B − ( A⋅ B)C ( A× B)×C = ( A⋅ C)B −(B⋅ C)A
2. 第一章习题 2，3，4，6 3.思考 3.思考
二阶张量是否一定能表示成两个矢量的并矢形式？ 二阶张量是否一定能表示成两个矢量的并矢形式？
▽算符及其运算公式
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = ex + ey + ez = ( , , ) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
称为梯度算符。 称为梯度算符。 梯度算符 由定义式可知， 由定义式可知，梯度算符是一个具有矢量性质的 偏微分算符，在具体运算中必须考虑这些特点。 偏微分算符，在具体运算中必须考虑这些特点。 球坐标系下： 球坐标系下：
f⋅ I = I⋅f
→ →
→ →
张量与张量的乘积
* 张量与张量的点积 当一个并矢与另一个并矢点乘时， 当一个并矢与另一个并矢点乘时，两个并矢中相 邻的两个矢量点乘，余下的两个矢量构成并矢， 邻的两个矢量点乘，余下的两个矢量构成并矢，其 运算结果为一个新的并矢，同样， 运算结果为一个新的并矢，同样，二阶张量与二阶 张量的点积为一个新的二阶张量。 张量的点积为一个新的二阶张量。
f × T = f ×(ab) = ( f ×a)b
同样，矢量与张量的矢积也不满足交换律， 同样，矢量与张量的矢积也不满足交换律，即
→ →
f×T ≠ T×f
→ →
→ →
* 单位张量与矢量的标积 单位张量与任意矢量的点乘， 单位张量与任意矢量的点乘，恒等于这个矢量本 身。即
f⋅ I =f
→ →
？
显然，任意矢量与单位张量的点乘积满足交换律， 显然，任意矢量与单位张量的点乘积满足交换律， 即
→ →
T = ab = a1b1e1e1 + a1b2e1e2 + a1b3e1e3 + a2b1e2e1 + a2b2e2e2 + a2b3e2e3 + a3b1e3e1 + a3b2e3e2 + a3b3e3e3
对于并矢，两个矢量之间不作任何运算。 对于并矢，两个矢量之间不作任何运算。 并矢是一个物理量，它由9个分量构成。 并矢是一个物理量，它由9个分量构成。这9个分 量分别为
∂ 1 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ ∇ = er + eθ + eφ = ( , , ) ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ
1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂fφ ∇⋅ f = 2 (r fr ) + (sin θfθ ) + r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ
张量与标量的乘积
标量与张量相乘，相当于用该标量乘张量的每一 标量与张量相乘， 个分量。 个分量。即
ϕ T = ∑∑ϕTijei e j
i=1 j =1
→ →
3
3
张量与矢量的乘积
* 矢量与张量的标积 当矢量与并矢点乘时， 当矢量与并矢点乘时，矢量仅与并矢中相邻的一 个矢量点乘，运算结果为一个矢量。 个矢量点乘，运算结果为一个矢量。即
T T T 11 12 13 T T T 21 22 23 T31 T32 T33
或简写成
Tij (i, j =1,2,3)
三维二阶张量的一般定义为
→ →
T = ∑∑Tijei e j
i=1 j =1
3
3
式中，并矢e 是张量的9个基矢， 式中，并矢 i ej是张量的9个基矢，Tij称为张量在这 些基上的分量。 些基上的分量。 * 当各分量满足
▽算符的运算公式
设以φ 代表标量场， 代表矢量场， 设以φ、ψ代表标量场，f、g代表矢量场，则根 代表矢量场 据矢量代数和算符的性质可以证明下列公式： 据矢量代数和算符的性质可以证明下列公式： * * * *
∇(ϕψ) = ϕ∇ψ +ψ∇ϕ ∇⋅ (ϕf ) = (∇ϕ) ⋅ f +ϕ∇⋅ f
(1) (2) (3) (4)
∇×(ϕf ) = (∇ϕ) × f +ϕ∇× f
∇⋅ ( f × g) = (∇× f ) ⋅ g − f ⋅ (∇× g)
…… *
∇×( f × g) = (g ⋅ ∇) f + (∇⋅ g) f − ( f ⋅ ∇)g − (∇⋅ f )g
(5)
*
∇( f ⋅ g) = f ×(∇× g) + ( f ⋅ ∇)g + g ×(∇× f ) + (g ⋅ ∇) f
T = T22 = T33 =1 11 12 13 T = T23 = T31 = T21 = T32 = T = 0
张量称为单位张量 单位张量， 时，张量称为单位张量，用
→ →
IHale Waihona Puke 表示。 表示。二阶张量是否一定能表示成两个矢量的并矢形式？ 二阶张量是否一定能表示成两个矢量的并矢形式？
* 两个张量相等是指它们所有的分量分别相等 两个张量相等是指它们所有的分量分别相等 张量相等 * 当张量满足
(a1b1
a3b1
a1b2 a2b2 a3b2
a1b3 a3b3 ) a2b3
ab = a2b1
一般地， 一般地，有
ab？ ba =
b1a3 b3a3 ) b2a3
(b1a1
b3a1
b1a2 b2a2 b3a2
ab ≠ ba = b2a1
张量
类似并矢这种具有9个分量的物理量， 类似并矢这种具有9个分量的物理量，称为三维的 二阶张量。 二阶张量。 二阶张量的9 二阶张量的9个分量可以用矩阵表示为
→ → → →
T ⋅ T′ = (ab) ⋅ (cd) = (b⋅ c)ab
* 张量与张量的双点积 当一个二阶张量与另一个二阶张量二次点乘时， 当一个二阶张量与另一个二阶张量二次点乘时， 两个张量中相邻的两个矢量点乘， 两个张量中相邻的两个矢量点乘，余下的两个矢量 再进行一次点乘，其运算结果为一个标量。 再进行一次点乘，其运算结果为一个标量。即
(6)
* *
∇⋅ ∇ϕ = ∇ ϕ
2
(7)
2
∇×(∇× f ) = ∇(∇⋅ f ) −∇ f
(8)
张量与并矢
并矢
两个矢量
a = a1e1 + a2e2 + a3e3 1 b = b e1 + b2e2 + b3e3
之间，除进行标乘和矢乘外，还存在一种关系 之间，除进行标乘和矢乘外，还存在一种关系—— 并矢， 并矢，即
Tij = Tji
对称张量。 时，称为对称张量。 称为对称张量 * 当张量满足
Tij = −Tji
称为反对称张量 反对称张量。 时，称为反对称张量。此时有
T = T22 = T33 = 0 11
张量代数
张量的加减
两个张量相加或相减时， 两个张量相加或相减时，是将它们对应的分量分 别相加或相减，并服从交换律和结合律。 别相加或相减，并服从交换律和结合律。