lecture1(II) 矢量与张量

f × T = f ×(ab) = ( f ×a)b
同样，矢量与张量的矢积也不满足交换律， 同样，矢量与张量的矢积也不满足交换律，即
→ →
f×T ≠ T×f
→ →
→ →
* 单位张量与矢量的标积 单位张量与任意矢量的点乘， 单位张量与任意矢量的点乘，恒等于这个矢量本 身。即
f⋅ I =f
→ →
？
显然，任意矢量与单位张量的点乘积满足交换律， 显然，任意矢量与单位张量的点乘积满足交换律， 即
→ → → →
T : T′ = (ab) : (cd) = (b⋅ c)(a ⋅ d)
作业 1.证明 1.证明
A×(B×C)= ( A⋅ C)B − ( A⋅ B)C ( A× B)×C = ( A⋅ C)B −(B⋅ C)A
2. 第一章习题 2，3，4，6 3.思考 3.思考
二阶张量是否一定能表示成两个矢量的并矢形式？ 二阶张量是否一定能表示成两个矢量的并矢形式？
Tij = Tji
对称张量。 时，称为对称张量。 称为对称张量 * 当张量满足
Tij = −Tji
称为反对称张量 反对称张量。 时，称为反对称张量。此时有
T = T22 = T33 = 0 11
张量代数
张量的加减
两个张量相加或相减时， 两个张量相加或相减时，是将它们对应的分量分 别相加或相减，并服从交换律和结合律。 别相加或相减，并服从交换律和结合律。
(6)
* *
∇⋅ ∇ϕ = ∇ ϕ
2
(7)
2
∇×(∇× f ) = ∇(∇⋅ f ) −∇ f
(8)
张量与并矢
并矢
两个矢量
a = a1e1 + a2e2 + a3e3 1 b = b e1 + b2e2 + b3e3
之间，除进行标乘和矢乘外，还存在一种关系 之间，除进行标乘和矢乘外，还存在一种关系—— 并矢， 并矢，即
→ → → →
T ⋅ T′ = (ab) ⋅ (cd) = (b⋅ c)ab
* 张量与张量的双点积 当一个二阶张量与另一个二阶张量二次点乘时， 当一个二阶张量与另一个二阶张量二次点乘时， 两个张量中相邻的两个矢量点乘， 两个张量中相邻的两个矢量点乘，余下的两个矢量 再进行一次点乘，其运算结果为一个标量。 再进行一次点乘，其运算结果为一个标量。即
∇×(ϕf ) = (∇ϕ) × f +ϕ∇× f
∇⋅ ( f × g) = (∇× f ) ⋅ g − f ⋅ (∇× g)
…… *
∇×( f × g) = (g ⋅ ∇) f + (∇⋅ g) f − ( f ⋅ ∇)g − (∇⋅ f )g
(5)
*
∇( f ⋅ g) = f ×(∇× g) + ( f ⋅ ∇)g + g ×(∇× f ) + (g ⋅ ∇) f
T T T 11 12 13 T T T 21 22 23 T31 T32 T33
或简写成
Tij (i, j =1,2,3)
三维二阶张量的一般定义为
→ →
T = ∑∑Tijei e j
i=1 j =1
3
3
式中，并矢e 是张量的9个基矢， 式中，并矢 i ej是张量的9个基矢，Tij称为张量在这 些基上的分量。 些基上的分量。 * 当各分量满足
(a1b1
a3b1
a1b2 a2b2 a3b2
a1b3 a3b3 ) a2b3
ab = a2b1
一般地， 一般地，有
ab？ ba =
b1a3 b3a3 ) b2a3
(b1a1
b3a1
b1a2 b2a2 b3a2
ab ≠ ba = b2a1
张量
类似并矢这种具有9个分量的物理量， 类似并矢这种具有9个分量的物理量，称为三维的 二阶张量。 二阶张量。 二阶张量的9 二阶张量的9个分量可以用矩阵表示为
T = T22 = T33 =1 11 12 13 T = T23 = T31 = T21 = T32 = T = 0
张量称为单位张量 单位张量， 时，张量称为单位张量，用
→ →
I
表示。 表示。
二阶张量是否一定能表示成两个矢量的并矢形式？ 二阶张量是否一定能表示成两个矢量的并矢形式？
* 两个张量相等是指它们所有的分量分别相等 两个张量相等是指它们所有的分量分别相等 张量相等 * 当张量满足
∂ 1 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ ∇ = er + eθ + eφ = ( , , ) ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ
1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂fφ ∇⋅ f = 2 (r fr ) + (sin θfθ ) + r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ
→ →
T = ab = a1b1e1e1 + a1b2e1e2 + a1b3e1e3 + a2b1e2e1 + a2b2e2e2 + a2b3e2e3 + a3b1e3e1 + a3b2e3e2 + a3b3e3e3
对于并矢，两个矢量之间不作任何运算。 对于并矢，两个矢量之间不作任何运算。 并矢是一个物理量，它由9个分量构成。 并矢是一个物理量，它由9个分量构成。这9个分 量分别为
f ⋅ T = f ⋅ (ab) = ( f ⋅ a)b
显然，矢量与张量的标积不满足交换律， 显然，矢量与张量的标积不满足交换律，即
→ →
f⋅T ≠ T⋅f
→ →
→ →
* 矢量与并矢的矢积 当矢量与并矢矢乘时， 当矢量与并矢矢乘时，矢量仅与并矢中相邻的一 个矢量矢乘，运算结果为一个新的张量。 个矢量矢乘，运算结果为一个新的张量。即
▽算符的运算公式
设以φ 代表标量场， 代表矢量场， 设以φ、ψ代表标量场，f、g代表矢量场，则根 代表矢量场 据矢量代数和算符的性质可以证明下列公式： 据矢量代数和算符的性质可以证明下列公式： * * * *
∇(ϕψ) = ϕ∇ψ +ψ∇ϕ ∇⋅ (ϕf ) = (∇ϕ) ⋅ f +ϕ∇⋅ f
源自文库
(1) (2) (3) (4)
▽算符及其运算公式
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = ex + ey + ez = ( , , ) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
称为梯度算符。 称为梯度算符。 梯度算符 由定义式可知， 由定义式可知，梯度算符是一个具有矢量性质的 偏微分算符，在具体运算中必须考虑这些特点。 偏微分算符，在具体运算中必须考虑这些特点。 球坐标系下： 球坐标系下：
f⋅ I = I⋅f
→ →
→ →
张量与张量的乘积
* 张量与张量的点积 当一个并矢与另一个并矢点乘时， 当一个并矢与另一个并矢点乘时，两个并矢中相 邻的两个矢量点乘，余下的两个矢量构成并矢， 邻的两个矢量点乘，余下的两个矢量构成并矢，其 运算结果为一个新的并矢，同样， 运算结果为一个新的并矢，同样，二阶张量与二阶 张量的点积为一个新的二阶张量。 张量的点积为一个新的二阶张量。
张量与标量的乘积
标量与张量相乘，相当于用该标量乘张量的每一 标量与张量相乘， 个分量。 个分量。即
ϕ T = ∑∑ϕTijei e j
i=1 j =1
→ →
3
3
张量与矢量的乘积
* 矢量与张量的标积 当矢量与并矢点乘时， 当矢量与并矢点乘时，矢量仅与并矢中相邻的一 个矢量点乘，运算结果为一个矢量。 个矢量点乘，运算结果为一个矢量。即