贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔函数的有关公式贝塞尔函数是数学中一类特殊的函数，广泛应用于物理学、工程学和数学物理学等领域。
贝塞尔函数一族的定义包括第一类贝塞尔函数、第二类贝塞尔函数以及修正的贝塞尔函数。
本文将介绍这些贝塞尔函数的基本定义和性质，并给出一些常见的贝塞尔函数公式。
一、第一类贝塞尔函数(Bessel Function of the First Kind)第一类贝塞尔函数是非负整数阶的解特殊二阶常微分方程贝塞尔方程的解。
第一类贝塞尔函数通常用J_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
它的定义为：J_n(x) = (1/π) ∫[0,π] cos(nθ - xsinθ) dθ其中,J_0(x)是常数函数。
第一类贝塞尔函数有一些重要的性质：1.对于所有的实数x和n≥0，J_n(x)是实函数。
2.J_0(x)在x=0处取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3.J_n(x)在x→0时的行为类似于x^n，即J_n(x)~(x/2)^n/(n!)。
第一类贝塞尔函数的递推公式:J_{n+1}(x)=(2n/x)J_n(x)-J_{n-1}(x)其中J_{1}(x)=(2/x)J_0(x)。
第一类贝塞尔函数的导数计算公式:dJ_n(x)/dx = J_{n-1}(x) - (n/x) J_n(x)利用这个公式可以计算贝塞尔函数的导数。
二、第二类贝塞尔函数(Bessel function of the second kind)第二类贝塞尔函数是贝塞尔方程的另一类解，通常用Y_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
第二类贝塞尔函数的定义为：Y_n(x) = (1/π) ∫[0,π] sin(nθ - xsinθ) dθ其中,Y_0(x)是称作“诺依曼函数”。
第二类贝塞尔函数的性质如下：1.对于所有的实数x和n≥0，Y_n(x)是实函数。
2.Y_0(x)在x=0处不取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3. Y_n(x)在x→0时的行为类似于(2/π)(ln(x/2) + γ) + O(x^2)。
贝塞尔函数
第一类贝塞尔函数 J (x)的级数表示式为
J
(x)
(1)k
k 0
1
k !( k
1)
( x ) 2k 2
J
(x)
(1)k
k 0
1
k !(
k
1)
( x ) 2k 2
式中 ( x) 是伽马函数．满足关系
（1.2.1）
( k 1) ( k )( k 1) ( 2)( 1)( 1)
H (1)
H(2)
(x) (x)
J J
(x) (x)
iN iN
( (
x) x)
（1.1.9）
分别将
H (1)
,
H(
2
)
称为第一种和第二种汉克尔函数．
于是贝塞尔方程的通解又可以表示为
y(x
A
H (1)
(
x
)
BH(2) ( x)
（1.1.10）
最后，总结 阶贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式：
x 和
可以为任意数．
1.1.2 贝塞尔方程的解
通过数学物理方程的幂级数求解方法可以得出结论：
（1）当 整数时，贝塞尔方程(1.1.6)的通解为
y( x) AJ ( x) BJ ( x) （1.1.7）
其中 A, B 为任意常数，J (x) 定义为 阶第一类贝塞尔函数
但是当 n 整数时，有 Jn (x) (1)n Jn (x) 故上述解中的 Jn (x)
Jn (x)
(1)k
k n
1 k !(n
k
( x)n2k 1) 2
(1)n (1)l
1
( x)n2l ,
l0
l !(n l 1) 2
Excel公式和函数 贝赛耳函数
Excel 公式和函数 贝赛耳函数贝赛尔（Bessel ）函数是数学上一种特殊的函数。
1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架 该函数用于理论物理研究、应用数学、大气科学以及无线电等工程领域。
在Excel 中一共提供了4个贝赛耳函数，下面以BESSELI 函数为例进行介绍。
该函数返回修正Bessel 函数值，它与用纯虚数参数运算时的Bessel 函数值相等。
其中，变量x 与n 阶修正Bessel 函数公式为：In （x ）=（i ）-nJn （ix ）。
语法：BESSELI(x,n)在BESSELI 函数中，主要包含两个参数，其中，x 为参数值。
N 为函数的阶数，如果n 不是整数，则截尾取整。
例如，在Excel 中，A 列显示了运算公式，C 列为函数的计算说明。
然后，在B2中，输入“=BESSELI(3,0)”公式，即可求出相应的结果，并运用相同的方法，输入不同的公式，即可得到如图15-1所示的效果。
图15-1 BESSELI 函数提 示从上述的实例中，用户可以发现参数x 与参数n 之间的成反比例关系，当x 固定时，n 的取值越大，则得出的计算结果越小；反之，则计算结果越大。
在该函数的计算过程中，需注意以下几点说明：●如果参数x 为非数值型，则BESSELI 函数返回错误值#V ALUE!。
●如果参数n 为非数值型，则BESSELI 函数返回错误值#V ALUE!。
● 如果参数n<0，则BESSELI 函数返回错误值#NUM!。
另外，在Excel 中还为用户提供3种有关贝赛尔函数的用法，其功能如表15-1所示。
表15-1 贝赛尔函数功能表输入。
贝塞尔函数详细介绍(全面)
(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x
贝塞尔函数
5.2 贝塞尔方程的求解
取指标
c
n,
a0
1
2n n 1 得方程的另一特解
Jn
x
m0
1
m
1 2n2m m!
1 n m 1
xn2m
m0
m!
1m n m
1
(
x 2
)
n2
m
结论：当 n 不为整数时, Jn x和 Jn x 线性无关．
所以方程的通解可以表示为
y AJn x BJn x
通解可写为
y CJn x DYn x
5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解
Y0
x
2
J0
x
(ln
x 2
C)
2
n1 m0
(1)m (m !)2
x 2
2m
m k 1
1 k
Yn
x
lim
n
J
x
cos sin
J
x2Βιβλιοθήκη Jnx(ln
x 2
C)
1
n1 m0
(n
m m!
1)!
x 2
n2m
1
m0
xJ1 x 2 J1 x dx
xJ (J0 'xJ1x) 1
x
2
J0 '
x
dx
xJ1 x 2J0 x c
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
由于在Y本n 章0 开始，,我由们条从件薄|圆P盘(0)温|度分知布的D 定0解,问
题从中而，导出了贝塞尔方程的特征值问题：
k
0
[c(ckk
)2(c
n2ka1k )a(ck 2
贝塞尔函数的应用
( − ( µ m0 ) a ) 2 t
(47)
,
从而利用u ( r , t ) = R ( r )T (t ), 可得
u m (r , t ) = C m e
( − ( µ m0 ) a ) 2 t
( J 0 ( µ m0 ) r ).
6
u | r =1 = 0,
1 u t = a (u rr + u r ) (0 < r < 1), r
贝塞尔函数的递推公式 1 贝塞尔函数的递推公式
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x), (25) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x). (26) dx 特别的， 特别的， ′ ( x) = − J ( x); d [xJ ( x)] = xJ ( x). J0 1 (29) 1 0 dx
u ρρ + 1
ρ u | z =0 = 0, u | z = h = U ,
u ρ + u zz = 0 (0 < ρ < b, 0 < z < h),
(52) (53) (54)
12
u | ρ =b = 0,
为常数。 其中U为常数。
u ρρ +
1
ρ u | z =0 = 0, u | z = h = U ,
( 4 J 2 µ m0) C m = (0) 2 2 (0) , (µ m ) J 1 µ m
( ) ( )
代入(51)即得问题(44) (46)的解为 (51)即得问题(44)将 C m 代入(51)即得问题(44)-(46)的解为
( ( 4 J 2 µ m0) − ( µ m0 ) a ) 2 t (0) u (r , t ) = ∑ ( 0) 2 2 ( 0 ) J 0 µ m r e . m =1 ( µ m ) J 1 µ m ∞
第五章 贝塞尔函数1
q 1 1 q 1 1 q2 p 1 p 1 p q2 p 1 p 1 = (1 x ) ( x x x ) dx = (1 x ) [ x x (1 x)]dx p 0 p 0 q 1 q 1 q 1 = B( p, q 1) B ( p, q ) B ( p, q ) B( p, q 1) p p p q 1
第五章 贝塞尔函数
一、贝塞尔方程的引出 二、贝塞尔方程的求解
三、贝塞尔函数的递推公式 四、函数展开贝塞尔函数的级数 五、 应用
§ 5.1 贝塞尔方程的引出
例：设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒 保持为零度，且初始温度为已知，求圆盘内的温度分布规律。
问题归结为求解下述定解问题：
2 2 u u u 2 2 2 2 a ( ), x y R ; t 2 2 x y 2 2 2 u ( x, y ), x y R ; t 0 u x2 y 2 R2 0;
2 q 1 ( 2 2 )
d d
令： = cos , sin ( 0, 0< 则： ( p ) ( q ) 4
0 0
2
), d d d d
2 0
2
2( p +q ) 1 2
e
sin 2 p 1 cos 2 q 1 d d
0
=2 e 2( p +q ) 1d 2 2 sin 2 p 1 cos 2 q 1 d
2 x
=
0
e x x ( p +q ) 1dxB( p, q) ( p q)B( p, q)
贝塞尔函数的有关公式
C.贝塞尔函数的有关公式贝塞尔方程的持解B p(z)为(柱)贝塞尔函数。
有第一类柱贝塞尔函数J p(z)p为整数n时，J-n=(-1)n J n；p不为整数时，J p与J-p线性无关。
第二类柱贝塞尔函数N p(z)(柱诺依曼函数)n为整数时N-n=(-1)n N n。
第三类柱贝塞尔函数H p(z) (柱汉开尔函数)：第一类柱汉开尔函数H p(1)(z)= J p(z)+j N p(z)第二类柱汉开尔函数H p(2)(z)= J p(z)-j N p(z)大宗量z小宗量z 0，为欧拉常数见微波与光电子学中的电磁理论p668J n(z)的母函数和有关公式函数e z(t/2-1/2t)称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到在上式中作代换，令t=e j ，t= je j 等，可得又可得如z=x为实数贝塞尔函数的加法公式J n(z)的零点 niJ’n(z)的零点γni半整数阶贝塞尔函数J n+1/2(z)的零点χnpJ'n+1/2(z)的零点χ'npD．朗斯基行列式及其它关系式E．修正贝塞尔函数有关公式贝塞尔方程中用(j z)代换z，得到修正的贝塞尔方程方程的两个线性无关的解为I p(z)=j-p J p(j z)．称为第一类修正的柱贝塞尔函数。
K p(z)=(π/2)j p+1H p(1)(j z)．称为第二类修正的柱贝塞尔函数。
大宗量z小宗量z 0（0210）《古代散文》复习思考题一、填空题1．甲骨卜辞、和《易经》中的卦、爻辞是我国古代散文的萌芽。
2．深于比兴、，是先秦散文的突出特点。
3．《》长于描写外交辞令。
4．《国语》的突出特点是长于。
5．“兼爱”、“非攻”是思想的核心。
6．先秦诸子中，善养“浩然之气”。
7．先秦诸子中，提出了“言不尽意”、“得意忘言”的观点。
8．荀子的《》是我国最早以“赋”名篇的作品。
9．《鵩鸟赋》是的骚体赋。
10．枚乘的《》标志着散体赋的正式形成。
贝塞尔公式详细推导过程
贝塞尔公式详细推导过程《贝塞尔公式的详细推导过程》引言：贝塞尔公式是数学中一种重要且广泛应用的公式，它的推导过程相对较复杂、细致，但却十分精彩。
在本文中，我们将详细介绍贝塞尔公式的推导过程，让读者对这一公式有更深入的理解。
一、贝塞尔公式的定义：贝塞尔公式是一种用连分数表示的数学公式，其一般形式为：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta其中，J_n(x) 表示第n阶贝塞尔函数，x 是实数，\theta 表示角度，\pi 表示圆周率。
二、推导过程：1. 首先，我们从欧拉公式 e^ix = \cos(x) + i\sin(x) 出发，将其展开得到：e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)2. 接下来，我们将展开中的i\sin(x) 转化为两个实数的乘积。
我们知道，正弦函数的定义式为：\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}代入之前的展开式，得到：i\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}3. 现在，我们用这个展开式来推导贝塞尔公式。
我们首先将贝塞尔函数展开成幂级数形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}4. 接下来，我们将展开式中的 e^{ix} 替换为 \cos(x) + i\sin(x)：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\sin(x)\right)5. 然后，我们将正弦函数用欧拉公式展开为两个指数函数的乘积：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)6. 继续推导，我们可以将指数函数的乘积展开为两项之差：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{i e^{ix}}{2} - \frac{i e^{-ix}}{2}\right)7. 现在，我们可以将展开式中的 i 消去：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)8. 之后，我们可以将展开式进行拆分，分别对两项进行求和，并利用复数的性质对其中的复数部分进行化简：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)9. 最后，我们可以将两个求和式进行整理，将其中的复数部分转化为积分形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta -x\sin\theta)d\theta10. 将整理后的展开式中的求和式转化为连分数形式，即可得到贝塞尔公式：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta结论：通过上述推导过程，我们可以将贝塞尔公式从指数函数的展开式推导得到，将其转化为连分数形式。
贝塞尔函数综述
第一部分 Bessel 函数(阶数或自变量趋于0或无穷时，各种Bessel 函数的极限值，可以利用Mathematica 试算推得。
)一、Bessel 方程及其通解0)(22222=-++y n x dx dy x dxy d x （1） 上式称为以x 为宗量的n 阶Bessel 方程。
●当n 为整数时，（1）式的通解为)()(x BY x AJ y n n += （2）其中，A 、B 为任意实数；)(x J n 为n 阶第一类Bessel 函数；)(x Y n 为n 阶第二类Bessel 函数（或称为“诺依曼(Neumann)函数”）。
●当n 不为整数时，例如，v n =，（1）式的通解可表示为如下两种形式)()(x BJ x AJ y v v -+= （3） )()(x BY x AJ y v v += （4）其中，A 、B 为任意实数；)(x J v 和)(x J v -分别称为v 阶和v -阶第一类Bessel 函数； )(x Y v 称为v 阶第二类Bessel 函数。
另外，Bessel 方程的通解还可以表示为)()()2()1(x BH x AH y v v +=其中，)()()()1(x iY x J x H v v v +=，)()()()2(x iY x J x H v v v -=分别称为称为第一类和第二类汉克尔（Hankel ）函数，或统称为第三类Bessel 函数。
●值得注意的是， ∞=-→)(lim 0x J v x ，∞=→)(lim 0x Y v x ，∞=→)(lim 0x Y n x ，当所研究的问题的区域包含0=x 时，由于要求Bessel 方程的解在0=x 处取有限值，所以，此时对（2）、（3）、（4）式而言，必有0=B 。
此条件称为“Bessel 方程的自然边界条件”。
例1：022=+'+''y x y x y x λ （10<≤x ）此式为以x λ为宗量的0阶Bessel 方程，其通解为)()(00x BY x AJ y λλ+=另外，由于所求解问题的区域10<≤x 包含0=x ，根据Bessel 方程的自然边界条件，必然有0=B ，通解最后简化为)(0x AJ y λ=例2：0)413(22=-+'+''y x y x y x 为以x 3为宗量的21阶Bessel 方程，其通解为)3()3(2121x BJ x AJ y -+= 或 )3()3(2121x BY x AJ y +=例3：0)(1222=-+'+''y xm k y x y上式两边同乘以2x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的m 阶Bessel 方程0)(2222=-+'+''y m k x y x y x （0≠x ） 例4：012=+'+''y k y xy 上式两边同乘以2x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的0阶Bessel 方程0222=+'+''y k x y x y x （0≠x ）即：0)0(2222=-+'+''y k x y x y x （0≠x ）例5：0)]1([222222=+-++R l l r k rd Rd r r d R d r 令r k x =，xx y r R 2)()(π=，则可以将上式化为如下的21+l 阶Bessel 方程0])21([22222=+-++y l x xd yd x x d y d x 二、虚宗量Bessel 方程及其通解0)(22222=+-+y n x dx dy x dxy d x （5） 上式称为“n 阶虚宗量的Bessel 方程”或“n 阶修正的Bessel 方程”，其通解为)()(x BK x AI y n n += （6）其中，A 、B 为任意实数；)(x I n 为“n 阶第一类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第一类虚宗量Bessel 函数”； )(x K n 为“n 阶第二类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第二类虚宗量Bessel 函数”。
第十六章 贝塞尔函数
（2） 当 不是整数时 ，得到一个特解为
x y1 (1) 2 m 2 k ! ( k 1) k 0
k
2 k
称之为 n 阶第一类贝塞尔函数，记作
1 x 2k J ( x ) ( 1) ( ) k ! ( k 1) 2 k 0
k
（3）当 v =正整数n或零时，有 (n m 1) (n m )!
2n (1) J n1 ( x ) J n ( x ) J n 1 ( x ) ; x 1 ' ( 2) J n ( x ) [ J n1 ( x ) J n1 ( x )] ; 2 ( 3) ( 4) x J n ( x ) nJ n ( x ) xJn1 ( x ) ; x J n ( x ) xJn1 ( x ) nJ n ( x ) ;
(16.11)
(16.13)
令x kr , y( x ) R( r )，则式（16.11）变为 d y dy 2 2 x x ( x ) y 0 2 dx dx
2 2
式（16.13）称为v阶Bessel微分方程
二、Bessel方程的解-Bessel函数
d y dy 2 2 x x ( x ) y 0 2 dx dx
(k 1)! (k 1)k!
(3 1)! 4! (3 1)3!
2( k 1) x 2 k 1 ( 1) 2 k 2 2 ( k 1)!( k 1)!
k 2 k 1 2 ( k 1 ) x ( 1)k 2 k 2 2 k! ( k 1)(k 1)!
k
n=1 ；m=0→∞ ：
x x3 x5 x7 x 2 k 1 k J1 ( x ) 3 5 7 (1) 2k 1 2 2 2! 2 2! 3! 2 3! 4! 2 k!( k 1)!
第7章贝塞尔(Bessel)函数
⎡∞ ⎢ ⎢⎣ l =0
(−1)l ⎛ (n + l)!l ! ⎜⎝
x 2
⎞n+2l ⎟⎠
⎤ ⎥t n ⎥⎦
=
∞ n=−∞
J n (x)t n
母函数.
x (t−1)
e2 t
2. 贝塞尔函数的积分表达式
∫ 由洛朗系数公式
ak
=
1
2π i
f (x,t) L t k +1 dt
得积分表达式
x (t−1)
∫ J n ( x )
12
( i i ) 当ν = n (整数)时, J−n (x) = (−1)n Jn (x)P6线9 已性证相明关.不构
成通解. ∞ ∑ 故另一特解应为 y2 (x) = aJn (x) ln X + X −ν Dk X k k =0
但是用上式计算 a 和Dk 通常不易.
因此引入一个与 Jn 线性无关的特解.即诺伊曼函数(Neumann）
k =0
k =2
∞
∑ (1+ 2ν )C1x1+ν + [k(k + 2ν )Ck + Ck−2 ]xk+ν = 0
k =2
由x 的同次幂系数之和为零，得
⎧(1 + ⎨⎩k (k
2ν )C1 = + 2ν )Ck
0, +
(ν
Ck −2
> 0) =0
⎧⎪C1 ⎨⎪⎩Ck
= =
0 k
−Ck −2
(2ν + k
3
求正则解的步骤：
为方便起见，设正则奇点 z0 = 0 （对于一般的 z0点，只需把 z → z − z0 ）
第七章 贝塞尔函数
2 x 1 n 1 (n m 1)! x n 2 m N n ( x) J n ( x)(ln ) ( ) π 2 π m0 m! 2 m x n2m (1) ( ) n m 1 m 1 1 1 1 2 ( ) π m 0 m!(n m)! k 0 k 1 k 0 k 1 0.5772 为欧拉常数． 其中，
故 x 0为 p( x), q( x) 的奇点
数学物理方法
x 2 y xy ( x 2 2 ) y 0
0 xb
下面应用奇点邻域的幂级数解法：贝塞尔方程的求 解．设方程的一个特解具有下列幂级数形式：
y x Ck x k Ck x k
k 0 k 0
(1) x J v ( x) n ! ( v n 1) 2 n 0
n
2 n v
讨论： (1)当 不为整数时，例如 J ( x) 为分数阶贝塞尔函数：
J ( x), J ( x),
1 2 1 2
等, 当 x 0 时，
2n
x J ( x) 2
可证明， Nv ( x) 是贝塞尔函数方程的解，
Neumann 函数曲线
数学物理方法
cos( π)J ( x) J ( x) N ( x) sin( π) 是一个特解，它既满足贝塞尔方程，又与J n ( x) 线性无关．
这样我们可以得到
我们定义第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）为
l 从零开始，故
x n J n ( x) ( ) (1) n l 2 l 0
x 2l 2 n x 2l n ( ) ( ) 2 (1) n ( 1)l 2 (n l )!l ! (n l )!l ! l 0
贝塞儿函数
∞
k =0
k + ρ −1
k + ρ −2 ′ ′ y = ∑ ck (k + ρ )(k + ρ − 1) x ， k =0 k +ρ
∞
(1) → ∑ [(k + ρ ) 2 −ν 2 ]ck x
( ρ 2 −ν 2 )c0 = 0 (c0 ≠ 0)
2 2
+ ∑ ck x k + ρ + 2 = 0 ( 2)
k =0
∞
2、比较最低次幂 x ρ 的系数：
→ 判定方程：ρ －ν ＝0
→ ρ1 = ν , ρ 2 = −ν (设ν > 0 )
一、 Bessel方程的级数解 15.1 Bessel函数 x 2 y′′( x) + xy′( x) + ( x 2 −ν 2 ) y ( x) = 0 (1) → y ( x) = ?
本节作业
若 n 为整数，从贝塞尔函数 1. 2. J − n ( x ) = ( − 1) n J n ( x ) J n ( − x ) = ( − 1) n J n ( x ) = J − n ( x ) 定义式出发证明：
附：二阶线性常微分方程的级数解法2
W ′′( z ) + p (z )W ′( z ) + q (z )W ( z ) = 0
(*)
的两线性无关的根为 :
W1 ( z ) = ( z − z 0 )
ρ1
∑ ck ( z − z 0 )
k =0
∞
k
∞ k ρ2 ( z − z ) d ( z − z ) ρ1 − ρ 2 ≠ 整数 ∑ 0 k 0 , k =0 W2 ( z ) = ∞ ρ2 aw1 ( z ) ln( z − z0 ) + ( z − z0 ) ∑ d k ′ (z − z0 )k , ρ1 − ρ 2 = 整数 k =0
2.2 贝塞尔函数的性质_11
(7)
其中，m 1,2, , J n (k m a) 0
n
R' ' R'(k n ) R 0
2 2 2 2
2 d dR 2 2 n R 0 k 即 d d
n 2 dJ n (k m ) n 2 d n (k m ) d d
可算出
可算出
如由
由(4) : 知J v ( x)和J v ' ( x) J v 1 ( x)
如由 J1 ( x) J 2 ( x) J1 ' ( x)
仿此继续下去 J v (x)
注：
当v n时亦可用母函数法推得 上述递推公式
③ 用来计算含Jv(x)的积分：
例1： 解：
(3) (4) :
(5)
(6)
2v x
J v ( x) J v 1 ( x) J v 1 ( x)
② 只要查J0(x)和J1(x)表可计算出任一Jn(x)
由(3) :
知J v 1 ( x)和J v ( x) J v ' ( x)
J 0 ( x) J1 ' ( x) J1 ( x)
J n ( x)
2π
1
π
π
e
i( x sin n )
d
(n 0,1,2,....)
或着，J n ( x)
1
π
π
cos( x sin θ-nθ )d
0
二、贝塞尔函数的递推公式
d v v [ x J v ( x)] x J v 1 ( x) (1) dx d [ x v J ( x)] x v J ( x) ( 2) v v 1 dx
5.2-贝塞尔函数的递推公式
x n2m 2n2m m!(n
, m 1)
(18)
J n (x)
(1) m
m0
x n2m 2n2m m!(n
, m 1)
(19)
情形 2
如果 n 为整数(包括0)，
J n (x) (1)n J n (x).
这就说明了J n (x) 与 J n (x) 当 n(n 0)为整数时是
线性相关的。 为了求出贝塞尔方程的通解，我们
(26)
事实上，在(18)式的两边乘上 x n ,然后对 x
求导，得
d
dx
xn J n (x)
d dx
m0
(1)
m
x2m
2
n2m
m!(n
m
1)
令
m
1
k,
(k
(1)m
m1
0,1, 2,),
2n2m1 (m
得
x 2m1 1)!(n
m
1)
k 0
(1) k 1
x 2k 1 2n2k1 k!(n 1
x n J n (x) nxn1J n (x) x n J n1 (x),
x n J n (x) nxn1 J n (x) x n J n1 (x),
11
d
dx
xn J n (x)
x n J n1 (x),
(25)
d
dx
xn J n (x)
x n J n1 (x).
(26)
如果将以上两式左端的导数表出，化简后则得
x
(27) (30)
同样可得
J1 2
2 cos x.
x
(31)
应用公式(27)得
1
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==贝塞尔函数的有关公式篇一：贝塞尔函数的有关公式C.贝塞尔函数的有关公式贝塞尔方程的持解Bp(z)为(柱)贝塞尔函数。
有第一类柱贝塞尔函数Jp(z)p为整数n时，J?n=(?1) nJn；p不为整数时，Jp与J?p线性无关。
第二类柱贝塞尔函数N p(z)(柱诺依曼函数)n为整数时N?n=(?1) nNn。
第三类柱贝塞尔函数Hp(z) (柱汉开尔函数)：第一类柱汉开尔函数 Hp(1)(z)= Jp(z)+j N p(z)第二类柱汉开尔函数 Hp(2)(z)= Jp(z)?j N p(z)大宗量z??小宗量z?，为欧拉常数见微波与光电子学中的电磁理论p668Jn(z)的母函数和有关公式函数ez(t/2-1/2t)称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到在上式中作代换，令t=ej?，t=?jej?等，可得又可得如z=x为实数贝塞尔函数的加法公式Jn(z)的零点?niJ’n(z)的零点?ni半整数阶贝塞尔函数Jn+1/2(z)的零点?npJ'n+1/2(z)的零点?'npD．朗斯基行列式及其它关系式E．修正贝塞尔函数有关公式贝塞尔方程中用(jz)代换z，得到修正的贝塞尔方程方程的两个线性无关的解为Ip(z)=j?pJp(jz)．称为第一类修正的柱贝塞尔函数。
Kp(z)=(?/2)jp+1Hp(1)(jz)．称为第二类修正的柱贝塞尔函数。
大宗量z??小宗量z?篇二：贝塞尔函数的有关公式C.贝塞尔函数的有关公式贝塞尔方程的持解Bp(z)为(柱)贝塞尔函数。
有第一类柱贝塞尔函数Jp(z)p为整数n时，J?n=(?1) nJn；p不为整数时，Jp与J?p线性无关。
第二类柱贝塞尔函数N p(z)(柱诺依曼函数)n为整数时N?n=(?1) nNn。
贝塞尔函数的性质
贝塞尔函数的性质贝塞尔函数的性质ν+∞∑n nx 21ν+∞∑n nx 21()(()1)n n n ννν+Γ=++Γ+d J x J x()()()()J x J x d'诺伊曼函数也有与第一类贝塞尔函数相同的递推关系式，只不过将上述(1)—(6)中的换成() vJ x()vN x二. 半整数阶贝塞尔函数一般地有三、贝塞尔方程的固有值问题考虑贝塞尔方程的固有值问题固有值为2λω=(1)求固有函数、固有值(2)证明固有函数正交性(3)求固有函数的模作变换,r x ω=2220 ()()()()0(13)()0|(0)|r R r rR r r R r R R R λν'''⎧++-=⎨=<∞⎩ ，222()()()()0x y x xy x x v y x '''++-=(1)求固有函数、固有值2 d dν所以22n()()()0.Rmm n J r J r rdr ννωωωω-=⎰但，因此,,m n m n ωω≠≠0()()0()Rm n J r J r rdr m n ννωω=≠⎰22 R Rν21四、贝塞尔函数的零点由于正弦函数和余弦函数在0到∞之间振动无限多次，因此从上列渐近公式可以看出，与应该有无穷多个实零点。
)(x J ν)(x N ν性质一: 与有无穷多个实零点，)(x J ν)(x N ν且当时，其相邻两个零点之间距离接近于+∞→x π按照罗尔定理，可得如下推论:推论：与有无穷多个实零点。
)(x J ν''()N x ν由的级数表示形式可得，)(x J ν()(1)()J x J x ννν-=-因此可知当v 为实数时，若x 是的零点–x 也是的零点.)(x J ν)(x J ν性质二: 的无穷多个实零点是在x 轴上关于原)(x Jd第四章-贝塞尔函数的性质3131则该方程必有两个线性无关的解, 假设通解为1122()()().J x C y x C y x ν=+由边界条件可得11221122()()()0,()()()0,J a C y a C y a J a C y a C y a νν=+='''=+=因为1221()()()()0,y a y a y a y a ''-≠120,0.C C ∴==所以()0.J x ν≡这个矛盾说明了的零点都是单零点。
15.2贝塞尔函数性质
Methods in Mathematical Physics第十五章 贝塞尔函数Bessel Function武汉大学物理科学与技术学院Wuhan University第十五章 贝塞尔函数Bessel Function §15.2 贝塞尔函数的性质 Properties of Bessel FunctionWuhan University一、母函数关系式ex 1 (t − ) t 215.2 Bessel 函数的性质=n = −∞x t 2∑J∞n( x)tn(1)1 k e =∑ z , k = 0 k!z∞z <∞1 x l Q 证明： e = ∑ ( t ) , t < ∞ l = 0 l! 2 x ∞ − 1 x m 2t e = ∑ (− ) , t > 0 2t m = 0 m! ex 1 (t − ) 2 t∞x m 1 x l ∞ 1 = e ⋅ e = ∑ ( t ) ⋅∑ ( − ) ⋅ 2t l = 0 l! 2 m = 0 m! m ∞ ∞ (−1) x l + m l − m ( ) t = ∑∑ l =0 m =0 l !m ! 2x t 2 − x 2t∞Wuhan University一、母函数关系式ex 1 (t − ) 2 t15.2 Bessel 函数的性质(−1) x l + m l − m ( ) t = ∑∑ l =0 m =0 l !m ! 2∞ ∞ m令 l − m = n, 则 l = m + n→ ∑→l =0∞m + n =0∑∞∞→∞n=− m∑→∑∞∞n = −∞ex 1 (t − ) 2 t(−1) m x 2m+n n ( ) t = ∑∑ n = −∞ m = 0 ( m + n ) ! m ! 2=n = −∞J n ( x)t n ∑∞∞Wuhan University(−1) k x 2k +n ( ) J n ( x) = ∑ k = 0 k!( n + k )! 21 f ( z) f (z) = ∑ck (z − b) , ck =15.2 Bessel k +1 dz 2πi ∫l (z − b) 一、母函数关系式 k=−∞ 函数的性质∞ k1 问： .J n ( x)的积分表示？1 J n ( x) = 2πex 1 (t − ) 2 t=n=−∞∑ J (x)tn∞n(1)∫π−πei ( x sin θ − nθ ) dθπ或 J n ( x) =π∫10cos( x sin θ − nθ )dθ2.J n ( x)的微分式？ 3.Jν ( x（ν ≠ n）有母函数关系吗？ )Wuhan University二、递推公式：(−1) k x 2 k +ν 15.2 Bessel ) ( (4) Jν ( x) = ∑ ν k + 1) 2 k = 0 k!Γ ( +函数的性质∞⎧d ν [ x Jν ( x)] = xν Jν −1 ( x) ( 2) ⎪ dx ⎨d ⎪ [ x −ν Jν ( x)] = − x −ν Jν +1 ( x) (3) ⎩ dx（1）可派生出其他递推公式 用途： xJν′ ( x) +νJν ( x) = xJν −1 ( x) (4) xJν′ ( x) −νJν ( x) = − xJν +1 ( x) (5) ? ←⎯ ν = n ⎯ 2 Jν′ ( x) = Jν −1 ( x) − Jν +1 ( x) (6) 2ν Jν ( x) = Jν −1 ( x) + Jν +1 ( x) (7) x （2）只要查 J 0 ( x) 和 J1 ( x) 表，可计算出任一 Jν (x)Wuhan University二、递推公式：15.2 2Jν′ (x) = Jν −1(x) −Bessel (x) (6) Jν +1 函数的性质⎧d ν [ x Jν ( x)] = xν Jν −1 ( x) ( 2) ⎪ dx ⎨d ⎪ [ x −ν Jν ( x)] = − x −ν Jν +1 ( x) (3) ⎩ dx（3）可用来计算含 J ν (x) 的积分 用途：x 3 J 0 ( x)dx = ? 例1：∫0例2：∫ J1 ( x)dx = ? 例3： ∫ J 3 ( x)dx = ?Wuhan Universityaa 3 J 1 ( a ) − 2a 2 J 2 ( a )− J 0 ( x) + c′ J1 ( x) = − J 0 ( x)− J 0 ( x) − 2 J 2 ( x) + c三、正交性a2 2 n ρJ n (k m ρ )J n (kln ρ )dρ = J n +1 (kln a)δ ml ∫0 2a15.2 Bessel 函数的性质(8)′′( ρ ) + ρR′( ρ ) + (k 2 ρ 2 − n 2 ) R( ρ ) = 0 Q 证明： ρ R2d dR n2 → (ρ ) + (k 2 ρ − ) R = 0 dρ dρ ρ n dJ n (k m ρ ) d n2 n n [ρ ] + [(k m ) 2 ρ − ]J n (k m ρ ) = 0 (9) dρ dρ ρ dJ n (kln ρ ) d n2 [ρ ] + [(kln ) 2 ρ − ]J n (kln ρ ) = 0 (10) dρ dρ ρ n J n (k m a ) = 0, m = 1,2,L, l , LWuhan University三、正交性15.2 Bessel 函数的性质n dJ n (k m ρ ) n2 d n n ] + [(k m ) 2 ρ − ]J n (k m ρ ) = 0 (9) 证明： [ ρ ρ dρ dρ dJ n (kln ρ ) n2 d [ρ ] + [(kln ) 2 ρ − ]J n (kln ρ ) = 0 (10) ρ dρ dρ∫a0n [(9) ⋅ J n (kln ρ ) − (10) ⋅ J n (k m ρ )]dρ : n 2 m n 2 l an [(k ) − (k ) ]∫ ρJ n (k m ρ )J n (kln ρ )dρ 0 n a a dJ n (k m ρ ) dJ n (kln ρ ) d d n = ∫ J n (k m ρ ) [ ρ ]dρ − ∫ J n (kln ρ ) [ ρ ]dρ 0 0 dρ dρ dρ dρ n n a dJ ( k ρ ) dJ ( k ρ ) dJ n (kln ρ ) a n n m = ρJ n (k m ρ ) −∫ ρ n l ]dρ 0 0 dρ dρ dρ n n n a dJ ( k ρ ) dJ ( k ρ ) dJ n (k m ρ ) a n l − ρJ n (kln ρ ) +∫ ρ n m ]dρ 0 0 dρ dρ dρ Wuhan University三、正交性n 2 m n 2 l a 0xJν′ ( x) −νJν ( x) =15.2 Bessel − xJν +1 ( x 函数的性质 )(5)n [(k ) − (k ) ]∫ ρJ n (k m ρ )J n (kln ρ )dρn dJ n (kln ρ ) dJ n (k m ρ ) a n = ρ[ J n (k m ρ ) − J n (kln ρ ) ]0 dρ dρn = 0 (Q J n (k m a ) = 0, m = 1,2, L , l , L)1. 若 m ≠ l :a∫a0n ρJ n (k m ρ )J n (kln ρ )dρ = 02. 若 m = l , 令 m → ln ′ aJ n (k m a ) J n (kln a)kln n n n ∫0 ρJ n (km ρ )J n (kl ρ )dρ = klimln (km ) 2 − (kln ) 2 n m →k ′ n ′ a 2 kln J n (k m a ) J n (kln a ) a 2 n 2 a2 2 ′ = limn = [ J n (kl a )] = J n+1 (kln a) n n k m → kl 2k m 2 2Wuhan University四、广义傅氏展开若四、广义傅氏展开例4：四、广义傅氏展开四、广义傅氏展开解：2( dx五、小结本节作业。
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C.贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔方程
的持解B p(z)为(柱)贝塞尔函数。
有
第一类柱贝塞尔函数J p(z)
p为整数n时，J n=(1)n J n；
p不为整数时，J p与J p线性无关。
第二类柱贝塞尔函数N p(z)(柱诺依曼函数)
n为整数时N n=(1)n N n。
第三类柱贝塞尔函数H p(z) (柱汉开尔函数)：第一类柱汉开尔函数H p(1)(z)= J p(z)+j N p(z)
第二类柱汉开尔函数H p(2)(z)= J p(z)j N p(z) 大宗量z
小宗量z0
，为欧拉常数
见微波与光电子学中的电磁理论p668
J n(z)的母函数和有关公式
函数e z(t/2-1/2t)称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到
在上式中作代换，令t=e j，t=je j等，可得
又可得
如z=x为实数
贝塞尔函数的加法公式
J n(z)的零点ni
J’n(z)的零点ni
半整数阶贝塞尔函数
J n+1/2(z)的零点np J'n+1/2(z)的零点'np
D．朗斯基行列式及其它关系式
E．修正贝塞尔函数有关公式
贝塞尔方程中用(j z)代换z，得到修正的贝塞尔方程
方程的两个线性无关的解为
I p(z)=j p J p(jz)．称为第一类修正的柱贝塞尔函数。
K p(z)=(/2)j p+1H p(1)(jz)．称为第二类修正的柱贝塞尔函数。
大宗量z
小宗量z0。