双曲线导学案1

双曲线及其标准方程

一、学习目标

1、能口述：双曲线的定义和标准方程。

2、会利用双曲线的定义求双曲线的标准方程。会与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．

3、本节课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．

4．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．

5．难点：双曲线的标准方程的推导．

二、情景导入，问题引领：

1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)

2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)

老师：如果把椭圆的定义中的和变成差呢?同学们能求一下它的轨迹方程吗？

三、自主学习

1、类比椭圆得出双曲线的概念

2、类比椭圆得出双曲线的标准方程

四、合作探究

1、双曲线的定义

把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？

（1）、简单实验(边演示、边说明)

如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．

注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．（2）、类比椭圆设问

问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？

请学生回答：

问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？

请学生回答：

问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？

请学生回答：

问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？

请学生回答：

（3）．定义

在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：

平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．

教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．

2、双曲线的标准方程

现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．

标准方程的推导：

两种标准方程的比较(引导学生归纳)：

教师指出：

(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．

(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．

五、典型例题

书上相关例题

六、练习及其巩固，布置作业。

1．求满足下列的双曲线的标准方程：

焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；

3．已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？

由教师讲解：

按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．

因为2a=12，2c=10，且2a＞2c．

所以动点无轨迹

书上习题的相关作业

七、总结交流，归纳提升

1．知识与方法

2、你在本节学到了什么？