章绍辉数学建模第一章
捕食者与被捕食者模型——logistic-volterra
捕食者与被捕食者模型——Logistic-Volterra模型摘要Logistic模型是最常用的模型之一，在其基础上又可以发展出许多其他数学模型，其重要性不言而喻，而Volterra模型则是经典的被捕食者与捕食者模型之一。
本文尝试结合两者，建立一个Logistic-Volterra模型，并做出数值解和分析。
关键词：Logistic模型 Volterra模型数值解一、问题的提出Volterra模型显示的被捕食者与捕食者系统存在着显著的周期振荡，而实际上，多数的捕食者与捕食者系统都是观察不到的。
尝试建立模型，描述这种现象。
二、符号说明r：被捕食者固有增长率d：捕食者固有死亡率a：捕食者掠取被捕食者的能力b：被捕食者供养捕食者的能力N1：被捕食者的最大环境容纳量N2：捕食者的最大环境容纳量三、模型假设1.在没有天敌的情况下，被捕食者数量增加的固有速度与被捕食者数量x和阻滞作用因子(1-x/N1)成正比，即dxdt =rx(1−xN1)2.在没有食物的情况下，捕食者数量减少的固有速度与捕食者数量y和阻滞作用因子(1+y/N2)成正比，即dydt =−dy(1+yN2)3.捕食者与被捕食者在同一环境下生存，它们的种群变化速度互相影响，影响因子应与它们相遇的频率成正比，即捕食导致被捕食者数量减少的速度为-axy，捕食导致捕食者数量增加的速度为bxy四、模型建立与求解1.Volterra模型的分析意大利数学家Volterra在上世纪20年代提出的Volterra模型：dxdt=rx−axydydt=−dy+bxy取r=1 d=0.5 a=0.1 b=0.02，运用matlab的ode45功能函数，做出数值解，并绘图分析。
图1被捕食者与捕食者随时间变化图图2捕食者与被捕食者相图从图形可以看出，捕食者与被捕食者共同生存，数量随时间作周期变化。
2.建立Logistic-Volterra模型在Volterra模型中的物种自身增长率中，考虑自身阻滞作用，即加入Logistic项，得到以下模型：dx dt =rx(1−xN1)−axydy dt =−dy(1+yN2)+bxy取r=1 d=0.5 a=0.1 b=0.02 N1=100 N2=25，运用matlab的ode45功能函数，做出数值解，并绘图分析。
章绍辉数学建模第一章
f2=@(xb,t)(xb(1)).*exp(xb(2).*(t-1790)); xb0=[3.9 0.1]; xb=nlinfit(t,x,f2,xb0); x0=xb(1) r=xb(2) sseb=sum((x-f2(xb,t)).^2) %（iii) f3=@(xc,t)(xc(2)).*exp(xc(1).*(t-xc(3))); xc0=[0.1 3.9 1790]; xc=nlinfit(t,x,f3,xc0); t0=xc(3) x0=xc(2) r=xc(1) ssec=sum((x-f3(xc,t)).^2)
输出结果如下： （i） r = 0.021194226383220 ssea = 1.741848398741968e+04 （ii） x0 = 14.993958741348798 r = 0.014223075471036 sseb = 2.263917490355983e+03 （iii） t0 = -3.555319403868392e+43 x0 = -2.354423987310530e+42 r = -2.276151673580580e+37 ssec = 3.584072600000000e+05 由输出结果我们可以看到：情况（ii）的误差平方和相最 小，所以认为（ii）的拟合效果最好，并由此做出拟合效 果图： Matlab代码： %画图
%（i) f1=@(xa,t)(3.9).*exp(xa(1).*(t-1790)); x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4]; t=1790:10:2000; xa0=0.1; xa=nlinfit(t,x,f1,xa0); r=xa ssea=sum((x-f1(xa,t)).^2) %（ii)
第一讲 数学模型,数学建模与生物医学
2.数学方法及应用
问题范畴
精确领域
数学化方法
数学物理方法
随机领域
概率统计方法
模糊领域
模糊方法
某些复杂系统 的最优解
统筹方法
生命领域
生命统计方法
数学模型
代数方程 微分方程 经验公式 随机模型 模糊数学模 型
规划模型
生态模型
主要数学知识
初等数学 数学分析 概率论 数理统计
模糊集论
线性代数 规划论 最优化理论 生物数学 离散数学 突变论
2）令 h()= f()–g(), 则 h(0)>0 和 h(/2)<0.
3）由 f, g 的连续性知 h为连续函数, 据连续函数
的基本性质, 必存在0 ( 0< 0 < /2) , 使h(0)=0, 即 f(0) = g(0) . 4）因为 f() • g()=0, 所以 f(0) = g(0) = 0.
血液在血管中心处流得最快，管壁处流 速为零，存在着从管心到管壁的速度递减， 流过一个半径为r的圆环的流速为：
通过该圆环单位时间的血流量 ：
dQ＝V(r)2πrdr
单位时间血液总流量为 ：
例3. 如何施救药物中毒 场景 两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.
诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量 100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.
模型的非预制性 模型的条理性 模型的技艺性 模型的局限性
数学模型的分类
应用领域 人口、交通、经济、生态 … …
数学方法 初等数学、微分方程、规划、统计 … …
表现特性 建模目的
确定和随机
静态和动态
离散和连续
线性和非线性
描述、优化、预报、决策 … …
数学建模第一章作业(章绍辉)
X 1 X 2 X n nP nP(1 P)
的分布趋向于标准正态分布 （也就是说， 当 n 充分大的时候， 随机变量 ( X1 X 2 X n ) n 的分布近似于均值为 P、方差 为 P(1 P) n 的正态分布）. 用循环语句实现以下计算：考虑试验次数 n=100、400、y Nhomakorabea0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 x
0.6
0.7
0.8
0.9
1
3. 两个人玩双骰子游戏，一个人掷骰子，另一个人打赌 掷骰子者不能掷出所需点数，输赢的规则如下：如果第一次 掷出 3 或 11 点，打赌者赢；如果第一次掷出 2、7 或 12 点， 打赌者输；如果第一次掷出 4,5,6,8,9 或 10 点，记住这个点 数， 继续掷骰子， 如果不能在掷出 7 点之前再次掷出该点数， 则打赌者赢. 请模拟双骰子游戏，要求写出算法和程序，估 计打赌者赢的概率. 你能从理论上计算出打赌者赢的精确概 率吗？请问随着试验次数的增加，这些概率收敛吗？ 解答 （一）算法 输入 模拟试验的次数 n； 输出 打赌者赢的概率 p. 第 1 步 初始化计数器 k=0； 第 2 步 对 i=1,2,…,n，循环进行第 3～7 步； 第 3 步 产生两个在 1～6 这 6 个整数中机会均等地取 值的随机数， 并把这两个随机数之和赋值给 x； 第 4 步 如果 x 是 3 或 11，那么 k 加 1，进入下一步循 环；否则，做第 5 步； 第 5 步 如果 x 不是 2、7 和 12，那么做第 6～8 步；否 则，直接进入下一步循环； 第 6 步 产生两个在 1～6 这 6 个整数中机会均等地取 值的随机数， 并把这两个随机数之和赋值给 y； 第 7 步 如果 y 不等于 x，也不等于 7，重复第 6 步所 做的； 第 8 步 如果 y 等于 7，那么 k 加 1，进入下一步循环； 否则，直接进入下一步循环； 第 9 步 计算概率 p=k./n .
2001年度全国大学生数学建模竞赛获奖名单
张明星 姜英琼 黄志祥 周玉兰 要尉鹏 郭强辉 刘挺 李亮 林波 陈芳 徐庆新 江浩 杨涛 王瑛 刘伟 刘超慧 覃健 赵亮 程亮 杨飞锋 黄华基 李玉珍 李蓉 唐卓
陈明 黄静波 陈明生 李德 王艳辉 李胜梅 彭张节 苗宇 张晖 黄厚旗 朱亚红 陈璐 孙晓 伍微 陈爽 马熠 曾艳 方程 张丽强 徐哲晟 郑顺洪 赵大 李刚 文家新
翟冰洁 林镇伟 彭志生 张凯 李小金
李峰 廖敬青 梁祖红 郑泽伟 王茜
唐海伟 梁 斌 杨春传
秦 宇 曾 毅 李作新 许 彦 郭研研 冷建全
肖伟 魏巍 雷磊 戴帅湘
杨威 弓晨 王伟民 武胜波
涂寅辉 李艳 杜雄 刘娟
吴华玉 叶 飞 任 凯 张 杨 王慧欣 孟 超 管 立 俞一凡 高 芸
宫凤强 谷霖 李振国 谢国亮
刘则毅 李宝毅 韩家楠 教练组 郝培锋 郝培锋 薛定宇 韩莉 教师组 丁永生 杜育根 数模教练组 数模教练组 数模教练组 张耀 王兵团 邢启江 王鸣 指导小组
贺祖国 贺祖国 贺祖国 贺祖国 贺祖国 汪飞星 汪飞星 指导小组 邹述超 舒慕增 马邦勤 赵凌 数模组 欧志英等 霍海峰等 张民悦等 孙海珍 宁如云等 刘启明等 数模组 数模组 秦衍 陈荣军 梅银珍
东南大学
55
东南大学
56
东南大学
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兰州铁道学院
58
北方交通大学
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北京大学
60
北京大学
61
北京工业大学
62
北京邮电大学
63
北京邮电大学
64
北京邮电大学
65
北京邮电大学
66
北京邮电大学
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北京科技大学
68
北京科技大学
69
北京理工大学
《数学建模》(章绍辉-著)参考解答
习题3参考解答4. 某成功人士向学院捐献20万元设立优秀本科生奖学金，学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行，第二年一到期就支取，取出一部分作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行……请你研究这个问题，并向学院领导写一份报告.解答 假设整存整取一年定期的年利率保持不变，记为r ，假设一到期就支取，取出b 元作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行……记捐款存入银行之后第k 年一年定期到期日奖学金捐款账户余额为k x 万元，0x =20万元，则列式得1(1), 0,1,2,k k x r x b k +=+-=⋅⋅⋅.其解为()0(1), 0,1,2,k k x r x b r b r k =+-+=⋅⋅⋅ 平衡点为x b r =.因为r >0，所以如果0x b r >，即00b rx <<，k x 就会单调增加趋于无穷大，并且增加得越来越快；如果0x b r <，即0b rx >，k x 就会单调衰减（到零为止），并且减少得越来越快；如果0x b r =，即0b rx =，k x 就会保持不变，即0k x x ≡.如果取r ＝0.025，则b 的临界值为00.025200.5rx =⨯=（万元）. 进一步，可编程分别计算当b =0.4、0.5、0.6、1以及2万元时账户总额k x 的具体变化过程，并绘图.程序：r=0.025; x=[20,20,20,20,20];b=[.4,.5,.6,1,2]; n=20;for k=1:nx(k+1,:)=x(k,:).*(1+r)-b;endplot(0:n,x(:,1),'k.',0:n,x(:,2),'kx',...0:n,x(:,3),'k^',0:n,x(:,4),'ks',0:n,x(:,5),'kp')axis([-1,n+1,0,25])legend('每年用0.4万元','每年用0.5万元',...'每年用0.6万元','每年用1万元','每年用2万元',3)title('奖学金捐款账户余额的演变，年利率2.5%')xlabel('第 k 年'), ylabel('账户余额（万元）')绘得的图形：第 k 年账户余额（万元）奖学金捐款账户余额的演变，年利率2.5%（略去给学院领导的报告，该报告要用非数学语言陈述上述分析）5. 有一位老人60岁时将养老金10万元以整存零取方式（指本金一次存入，分次支取本金的一种储蓄）存入，从第一个月开始每月支取1000元，银行每月初按月利率0.3%把上月结余额孳生的利息自动存入养老金. 请你计算老人多少岁时将把养老金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？解答 假设月利率保持不变，记为r ，记养老金存入银行之后第k 月末账户总额为k x 元，从第一个月开始每月支取b 元. 则列式得1(1), 0,1,2,k k x r x b k +=+-=⋅⋅⋅.解得()0(1), 0,1,2,k k x r x b r b r k =+-+=⋅⋅⋅依题意有r =0.003，b =1000，0x =100000. 因为r >0，且0x b r <，所以k x 就会单调衰减（到零为止），并且减少得越来越快；若要0k x ≤，可以解得只需要()()()0log log log 1b r b r x k r --≥+ 所以令()(){}()0log log log 1K b r b r x r ⎡⎤=--+⎢⎥（上取整），则养老金在第K 个月恰好用完. 把具体数据代入，执行以下程序，算得K =120，即10万养老金恰好10年用：x=100000; r=0.003; b=1000;K=ceil((log(b/r)-log(b/r-x))/log(1+r))也可以用条件循环语句按差分方程迭代计算，直到0k x ≤停止. 程序如下：x=100000; r=0.003; b=1000; n=0;while x(n+1)>0n=n+1;x(n+1)=(1+r).*x(n)-b;endn如果养老金想用到80岁，即240x =0，那么()()()2400240111709081b r x r r +-==+.。
高等数学建模系列教材目录
高等数学建模系列教材目录第一章数列与数学归纳法1.1 等差数列与等差数列的性质1.2 等比数列与等比数列的性质1.3 数列的求和公式1.4 数学归纳法的基本原理与应用第二章极限与连续2.1 极限的概念与性质2.2 极限运算的基本法则2.3 无穷小与无穷大2.4 一致连续与间断点的分类第三章导数与微分3.1 导数的概念与性质3.2 常见函数的导数及其应用3.3 高阶导数与导数的几何意义3.4 微分的概念与性质第四章微分中值定理与导数的应用4.1 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理4.2 洛必达法则与洛必达不定型4.3 泰勒公式与泰勒展开式4.4 导数在几何与物理问题中的应用第五章不定积分与定积分5.1 不定积分的概念与性质5.2 基本积分公式及其运算法则5.3 定积分的概念与性质5.4 定积分的几何与物理应用第六章微分方程6.1 微分方程的概念与基本术语6.2 可分离变量方程与一阶线性方程6.3 高阶线性齐次与非齐次微分方程6.4 常微分方程的初值问题与边值问题第七章无穷级数与傅里叶级数7.1 级数的概念与性质7.2 数项级数、函数项级数与幂级数7.3 收敛判别法与级数的运算7.4 傅里叶级数的概念与性质第八章多元函数微分学8.1 多元函数的极限与连续性8.2 偏导数与全微分8.3 隐函数与参数方程求导8.4 多元函数的极值与条件极值第九章重积分与曲线曲面积分9.1 二重积分的概念与性质9.2 二重积分的计算与应用9.3 三重积分的概念与性质9.4 三重积分的计算与应用第十章曲线与曲面积分10.1 第一类曲线积分的概念与计算10.2 第二类曲线积分的概念与计算10.3 曲面积分的概念与计算10.4 斯托克斯公式与高斯公式第十一章偏微分方程与特殊函数11.1 偏微分方程的基本概念与分类11.2 常见偏微分方程及其解法11.3 常见特殊函数及其性质11.4 特殊函数在物理问题中的应用第十二章线性代数初步12.1 行列式的概念与性质12.2 矩阵的概念与运算12.3 矩阵的逆与初等变换12.4 线性方程组与矩阵的秩第十三章线性空间与线性映射13.1 线性空间的基本概念与性质13.2 线性子空间与线性独立性13.3 线性映射与线性变换13.4 基变换与线性映射的矩阵表示以上为《高等数学建模系列教材》的目录，涵盖了数学建模中所需的基础知识和方法。
数学建模简明教程课件-第1-2章
第1章数学建模概论随着电子计算机的出现和科学技术的迅猛发展，数学的应用已不再局限于传统的物理领域，而正以空前的广度和深度逐步渗透到人类活动的各个领域。
生物、医学、军事、社会、经济、管理等各学科、各行业都涌现出大量的实际课题，亟待人们去研究、去解决。
利用数学知识研究和解决实际问题，遇到的第一项工作就是要建立恰当的数学模型，简称数学建模，数学建模正在越来越广泛地受到人们的重视。
从这一意义上讲，数学建模被看成是科学研究和技术开发的基础。
没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果，所以，从这一意义上讲，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键步骤之一。
1.1 数学模型与数学建模1.1.1 模型的概念在日常生活和工作中，人们经常会遇到或用到各种模型，如飞机模型、水坝模型、火箭模型、人造卫星模型、大型水电站模型等实物模型；也有文字、符号、图表、公式、框图等描述客观事物的某些特征和内在联系的模型，如模拟模型、数学模型等抽象模型。
模型是客观事物的一种简化的表示和体现，它应具有如下的特点：1.它是客观事物的一种模仿或抽象；它的一个重要作用就是加深人们对客观事物如何运行的理解，为了使模型成为帮助人们合理进行思考的一种工具，因此要用一种简化的方式来表现一个复杂的系统或现象。
2.为了能协助人们解决问题，模型必须具备所研究系统的基本特征和要素。
此外，还应包括决定其原因和效果的各个要素之间的相互关系。
有了这样的一个模型，人们就可以在模型内实际处理一个系统的所有要素，并观察它们的效果。
模型可以分为实物（形象）模型和抽象模型，抽象模型又可以分为模拟模型和数学模型。
对我们来说，最感兴趣的是数学模型。
与上述的各种各样的模型相对应的是它们在现实世界中的原型（原始参照物）。
所谓原型，是指人们研究或从事生产、管理的实际对象，也就是系统科学中所说的实际系统，如电力系统、生态系统、社会经济系统等。
而模型则是指为了某个特定目的，将原型进行适当地简化、提炼而构造的一种原型替代物。
数学建模教案(章节版)
难点
重点：用微分方程知识建立数学模型的原理、方法，对微分方程进行精确求解或近似求解。
难点：掌握常见的微分方程模型的求解方法
教学进程
（含课堂
教学内容、
教学方法、辅助手段、
师生互动、
时间分配、
板书设计）
课堂教学内容：
1.建立微分方程模型
2.微分方程模型解法
3.微分ห้องสมุดไป่ตู้程建模案例
教学方法：
理论讲解法：通过讲授微分方程的基本概念、分类和性质，以及常见的求解方法，帮助学生建立起对微分方程模型的整体认识和理解。
重点
难点
重点：掌握非线性规划模型的基本特点
难点：非线性规划问题的求解、使用Python语言实现非线性规划模型
教学进程
（含课堂
教学内容、
教学方法、辅助手段、
师生互动、
时间分配、
板书设计）
课堂教学内容：
1.非线性规划模型
2.用Python求解非线性规划模型
3.非线性规划案例
教学方法：
理论讲解法：通过讲授和演示的方式，向学生介绍线性规划的基本概念、理论和方法。可以使用幻灯片、示意图、实例等形式，将抽象的概念转化为具体的案例，帮助学生理解和记忆。
辅助手段：
雨课堂手机学生对不同论文的看法
时间分配：
2学时讲授
课堂思政：
中国参加美国大学生数学建模比赛的人数和获奖的人数逐年递增
作 业
根据以往的论文的比对总结优秀论文的特点
主要
参考资料
《数学模型》（第五版），主编：姜启源谢金星叶俊，出版社：高等教育出版社，立项规格：“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
重点
难点
重点：统计量的计算及含义、统计描述的应用
华南师范大学参与美国数学建模竞赛获奖成绩
一等奖 22308
一等奖 20506
一等奖 22082
一等奖 20879
一等奖 22480
二等奖 20382
二等奖 20749
二等奖 21061
二等奖 21593
二等奖 21691
二等奖 22266
二等奖 22398
二等奖 22532
二等奖 22791
二等奖 18193
二等奖 18560
控制号 18252
20615
二等奖 22496 章绍辉
二等奖 23225 章绍辉
二等奖 23230 章绍辉
二等奖 17949 教练组
二等奖
20557
二等奖 20839 教练组
二等奖 21410 教练组
成功参赛 17929
成功参赛 23401
成功参赛 18227 李湖南
成功参赛 21730 李湖南 9 2009 数金融
队员三 黄培鸿 2010 计算机 孙淼 2010 计算机 林俊成 2009 物电 区诵宜 2011 心理 张树邦 2011 数勷勤 张俊仪 2010 光电 吴锐欢 2010 光电 吴欣 2010 数统计 黄迪 2011 物电 彭冬雨 2011 理综一 郑嘉鹏 2010 物电 尹李明 2011 物勷勤 陈祖杰 2010 物电 程志南 2010 计算机 关恩 2010 数师 史华杰 2010 数师 刘梓煊 2011 光电 萧筠儒 2011 理综一
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
数学建模数模第一次作业(章绍辉版)
1．（1） n=101;x1=linspace(-1,1,n); x2=linspace(-2,2,n);y1=[sqrt(1-x1.^2);-sqrt(1-x1.^2)];y2=[sqrt(4-x2.^2);-sqrt(4-x2.^2);sqrt(1-(x2.^2)/4);-sqrt(1-(x2.^2)/4)];plot(x1,y1) hold on; plot(x2,y2)title('椭圆x^2/4+y^2=1的内切圆和外切圆') axis equal-2.5-2-1.5-1-0.500.51 1.52 2.5-2-1.5-1-0.500.511.52椭圆x 2/4+y 2=1的内切圆和外切圆（2）x1=linspace(-2,2,101); x2=linspace(-2,8); axis equalplot(exp(x1),x1,x1,exp(x1),x2,x2)title('指数函数y=exp(x)和对数函数y=ln(x)关于y=x 对称')-2-112345678-2-1012345678指数函数y=exp(x)和对数函数y=ln(x)关于y=x 对称（3） hold onq=input('请输入一个正整数q;') for i=1:q for j=1:i if rem(j,i)plot(j/i,1/i) end end end0.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.050.10.150.20.250.30.350.40.450.53．代码如下：n=input('请输入实验次数n=') k=0;for i=1:nx=ceil(rand*6)+ceil(rand*6); if x ==3|x==11 k=k+1; elseif x~=2&x~=7&x~=12y= ceil(rand*6)+ceil(rand*6); while y~=x&y~=7y=ceil(rand*6)+ceil(rand*6); end if y==7k=k+1; end end end从上表可看出打赌者赢的概率大约为。
数学建模实用教程课件第1章 数学建模入门-PPT文档资料
数学技术= 数学建模+科学计算
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3、数学模型无处不在
计算机技术
数学模型宝库
航空航天技术 工程设计技术
工程制造技术 政治、经济、社会、 军事等信息技术
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信息工程大学 韩中庚
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3、数学模型无处不在
实际中，要用数学知识去解决实际问题，就一 定要用数学的语言、方法去近似地刻画该实际问 题，这种刻画的数学表述就是一个数学模型。
第1章 数学建模入门
主要内容
数学建模与能力培养； 数学模型无处不在；
数学模型与数学建模； 数学建模的案例分析； 几个数学建模问题。
2019/3/25 信息工程大学 韩中庚 2
1、数学建模与能力培养
• 数学建模越来越火了！
• 关心的人越来越多了！ • 社会关注越来越多了！ • 参与的人越来越多了！ • 文章成果越来越多了！ • 出版的书越来越多了！ • 竞赛规模越来越大了！ • 竞赛水平越来越高了！ • 竞赛获奖越来越难了！
2019/3/25 信息工程大学 韩中庚 14
2、数学建模的方法
（4）如何做好数学建模？
Mathematical modeling cannot be learned by reading books or listening to lectures, but only by doing!---Practice!
－－－COMAP：Solomon A. Garfunkel
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信息工程大学 韩中庚
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3、数学模型无处不在
• 21世纪是知识经济的时代，信息的社会； • 当今社会正在日益数学化； • 数学无处不在已成为不可争辩的事实；
数学建模章绍辉答案
数学建模章绍辉答案【篇一：第三次数学建模作业】数科院105 刘镜韶 20102201092 数科院105 蔡秋荣 20102201166 数科院104 梁浩坤 201022011004、不妨令第k年取出奖学金后，继续存在银行的捐款余额为xk，且银行的整存整取的利率为r，奖学金的金额为d万元，则由已知可得：xk+1 =（1+r）xk－d 故：其解为数列：xk =(x0-d/r)+d/r,且x0=20万元；①奖学金金额d0.6万元，让存在银行的捐款余额每年逐步增加；②奖学金金额d=0.6万元，让存在银行的捐款余额每年保持不变；③奖学金金额d0.6万元，让存在银行的捐款余额每年逐步减少；故对于不同的情况，不妨通过编程对比xk的变化趋势；程序：n=20;r=[0.03,0.03,0.03];x=[20,20,20];d=[0.45,0.6,0.75]; fork=1:nx(k+1,:)=x(k,:).*(1+r)-d; enddisp(本金为20万时不同的奖学金下余额的变化)disp(年 0.45万元0.6万元0.75万元) disp([(0:n),x]);plot(0:n,x(:,1),k^,0:n,x(:,2),ko,0:n,x(:,3),kv) axis([-1,n+1,14,25]) legend(d=0.45,d=0.6,d=0.75,2)title(本金为20万时不同的奖学金下余额的变化) xlabel(第k年),ylabel(余额) 其命令窗口显示结果为：年 0.45万元0.6万元0.75万元 020.000020.000020.00001.000020.150020.000019.85002.000020.304520.000019.69553.000020.463620.000019.53644.000020.627520.000019.37255.000020.796420.000019.20366.000020.970320.000019.02977.000021.149420.000018.8506 8.000021.333920.000018.66619.000021.523920.000018.4761本金为20万时不同的奖学金下余额的变化10.000021.719620.000018.2804 11.000021.921220.000018.078812.000022.128820.000017.871213.000022.342720.000017.657314.000022.562920.000017.4371 15.000022.789820.000017.210216.000023.023520.000016.976517.000023.264220.000016.735818.000023.512220.000016.4878 19.000023.767520.000016.2325 第k年20.000024.030620.000015.9694当利率r=3%时，且以整存整取一年定期的形式来存入银行时；由上述图像可知：①奖学金金额d≤0.6万元时，可以永久持续下去，实现可持续发展，即用20万元本金所得的利息作为奖学金。
第一章数学建模概论
则他先遇 上B方向来的车的概率为 否AB则发一9出0处%车的。次车显辆然将是会一越样积多越的多，。
例7 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射 出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须 尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确 定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑 匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要 用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发 射射线的强度。
L
例4 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，
某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗 一下，再放不进妨热可水以提池出洗以涤下 简，化水假温设：不能太高， 否则会烫手（盘，1子）但吸水也热池，不、盘空能子气太的吸大低热小不，、计否材，料则只相考不同虑干净。 由于想节省（开2）支盘，子餐初始馆温老度板与气想温了相解同，一洗池热水 到下底这可一以问可问准究洗题见题备的完（度（个不多 。建深，有后3为4常要立 入））假关少的T数）什程水每1，设盘温。盘盘假均盘清，么度那你然素意大池个还条不洗洗冲了根衡易一下度（子子设为子洗最子样有么想应都只约中盘和件难盘过洗，据定回下瓷与这有是我瓷浸。终的关热建当考是可的子，看子的，而上律答一盘的你水一大怎们质泡换模，水一把虑想以水的出的，更是述，了池的准提请温假小样了菜在水型即为个水进了洗量洗，数其换因简餐，水吸备出相设吗洗解盘热时你以在什较池去解多为涤是量后热为化馆当的热利不同甚的到，水的及你么精、，一少?常时帮水可水假老然质系用。至水：洗中是温仅你提会细空但下盘?数间能并设板，量数哪盘他可不的盘涤，什度和准出变的气餐一子，…还非，的你是和△些子以够温子时然么为你建假冷模等馆池，开…会因利问还多质T知是去热度大先后样设T是研备呢型吸老热…始模再为用题应少量杀先掉了在2小将的识时一的研？，热板水温用水热就当，等鸡用分。决相一盘不，、假你的的平一清太量很调查。冷同叠子妨定析如当因原均水脏守容查一水，？一
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m=m+1; end end p=m/n; end
重复10次测试结果（输入n为1000）： 0.4970 0.5150 0.5270 0.5000 0.5230 0.5110 0.5000 0.4960 0.5270 0.5110 估计打赌者赢的概率： 0.5107 理论计算： 掷两个骰子,掷出的结果共有36种结果，当第一次掷出3或 11时概率为P3=P11=1/18，当第一次掷出4，5，6，8，9或 10时，继续掷骰子直到掷出7或第一次掷出的值时停止，此 时概率P=196/495，则理论概率为 P3+P11+P=251/495=0.5071； 随着试验次数增加，这些概率收敛到0.5070。 4. （1）Matlab命令：
结果： m = 0.020219333761898 1.799226697714661 r = 0.020219333761898 x0 = 6.044971066570829 sse = 3.489176713658146e+04
（3） 从误差结果来看，指数增长模型非线性拟合的误差平方和 2.2639e+03比线性拟合的误差平方和3.4892e+04要小得 多，可以观察到随着线性拟合的越大，其误差也越大，造 成这样的结果原因在于：对于越大的数据，由于求了对数 处理，把变化的幅度改变了，进而引起了越大的误差。 （4） Matlab代码：
%（i) f1=@(xa,t)(3.9).*exp(xa(1).*(t-1790)); x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4]; t=1790:10:2000; xa0=0.1; xa=nlinfit(t,x,f1,xa0); r=xa ssea=sum((x-f1(xa,t)).^2) %（ii)
运行结果如下： （i） N = 3.424421452047254e+02 r = 0.027352784587056 ssee = 1.224893784300030e+03 （ii） N = 4.465731912033727e+02 r = 0.021547289105893
x0 = 7.698118979647007 ssed = 4.577405235783897e+02 （iii） N = 94.772723008835442 r = 0.782933071457756 x0 = 4.543142434814583 t0 = 1.715002873656930e+03 ssef = 1.608061236363640e+05 比较误差平方和，模型（ii）的误差平方和最小，故认为 拟合效果最好，下面的拟合效果图。 Matlab代码：
xe=nlinfit(t,x,g1,xe0); N=xe(1) r=xe(2) ssea=sum((x-g1(xe,t)).^2) %（ii) g2=@(xe,t)xe(1)*xe(3)./(xe(3)+(xe(1)-xe(3))*exp(-xe(2)* (t-1790))); xd0=[5 0.01 3.9]; xd=nlinfit(t,x,g2,xd0); N=xd(1) r=xd(2) x0=xd(3) sseb=sum((x-g2(xd,t)).^2) %（iii) g3=@(xf,t)xf(1)*xf(3)./(xf(3)+(xf(1)-xf(3))*exp(-xf(2)*(txf(4)))); xf0=[5 0.01 3.9 1790]; xf=nlinfit(t,x,g3,xf0); N=xf(1) r=xf(2) x0=xf(3) t0=xf(4) ssec=sum((x-g3(xf,t)).^2)
x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4]; t=1790:10:2000; X=t-1790;
Y=log(x); m=polyfit(X,Y,1) r=m(1) x0=exp(m(2)) ycx=exp(polyval(m,X)); sse=sum((x-ycx).^2) plot(t,x,'+') xlabel('年份') ylabel('人口/百万') hold on plot(t,g2(xd,t),'ro') legend('实际值','拟合值',2) hold off
习题一
1. （1）Matlab命令：
hold on; x1=linspace(-1,1); y11=sqrt(1-x1.^2); y12=-sqrt(1-x1.^2); plot(x1,y11); plot(x1,y12); x2=linspace(-2,2); y21=sqrt(4-x2.^2); y22=-sqrt(4-x2.^2); plot(x2,y21); plot(x2,y22); x3=linspace(-2,2); y31=sqrt(1-x3.^2/4); y32=-sqrt(1-x3.^2/4); plot(x3,y31); plot(x3,y32);
输出结果如下： （i） r = 0.021194226383220 ssea = 1.741848398741968e+04 （ii） x0 = 14.993958741348798 r = 0.014223075471036 sseb = 2.263917490355983e+03 （iii） t0 = -3.555319403868392e+43 x0 = -2.354423987310530e+42 r = -2.276151673580580e+37 ssec = 3.584072600000000e+05 由输出结果我们可以看到：情况（ii）的误差平方和相最 小，所以认为（ii）的拟合效果最好，并由此做出拟合效 果图： Matlab代码： %画图
plot(t,x,'+') xlabel('年份') ylabel('人口/百万') hold on plot(t,g2(xd,t),'ro') legend('实际值','拟合值ŗ') xlabel('年份') ylabel('人口/百万') hold on plot(t,f2(xb,t),'ro') legend('实际值','拟合值',2) hold off
(2)对模型两边分别求对数： （1） 令，则方程（1）可化为（2）为一次线性模型，下面对方 程（2）进行线性拟合。 Matlab代码：
输出图像：
（3）Matlab命令：
function Riemann(n) for i=2:n j=1:i-1; j=j(gcd(i,j)==1); plot(j/i,1/i,'b.'); hold on; end
输入n=100
输出图像： 3.Matlab命令：
function p=win(n) m=0; for i=1:n x1=ceil(6*rand); x2=ceil(6*rand); x=x1+x2; if x==3 || x==11 m=m+1; end if x==4 || x==5 || x==6 || x==8 || x==9 || x==10 y1=ceil(6*rand); y2=ceil(6*rand); y=y1+y2; while y~=7 && y~=x y1=ceil(6*rand); y2=ceil(6*rand); y=y1+y2; end if y==7
%(i) g1=@(x,t)N*x0/(x0+(N-x0)*exp(-r*(t-t0))); g1=@(xe,t)xe(1)*3.9./(3.9+(xe(1)-3.9)*exp(-xe(2)*(t1790))); x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4]; t=1790:10:2000; xe0=[5 0.01];
输出图形：
（2）Matlab命令：
hold on; x1=linspace(-3,3); y1=exp(x1); plot(x1,y1,'-'); x2=linspace(-5,25); y2=x2; plot(x2,y2,'-'); x3=linspace(0.05,20); y3=log(x3); plot(x3,y3,'-');
f2=@(xb,t)(xb(1)).*exp(xb(2).*(t-1790)); xb0=[3.9 0.1]; xb=nlinfit(t,x,f2,xb0); x0=xb(1) r=xb(2) sseb=sum((x-f2(xb,t)).^2) %（iii) f3=@(xc,t)(xc(2)).*exp(xc(1).*(t-xc(3))); xc0=[0.1 3.9 1790]; xc=nlinfit(t,x,f3,xc0); t0=xc(3) x0=xc(2) r=xc(1) ssec=sum((x-f3(xc,t)).^2)