中考数学复习:九年级圆与三角函数
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圆与三角函数的有关计算和证明
【学习目标】
1、熟练掌握圆中有关的证明与计算;
2、能熟练运用三角函数;
3、能从复杂图形中识别常用的基本图形。
【典例分析】
一、以等腰三角形的腰为直径作圆,过底边中点作另一腰的垂线构切线
例1、如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ,交CA 的延长线于F ,DE
⊥AC 于E.
(1)求证:DE 为⊙O 的切线;(2)若AB =5,AF =3,求tanC 的值.
练习1、如图,△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径的⊙O 交BC 于D 点,DE ⊥AC 于点E.
(1)求证:DE 是⊙O 的切线;
(2)连接OE 交⊙O 于F ,连接DF ,若tan ∠EDF=2
1,求cos ∠DEF 的值.
练习2、在Rt ABC △中,90ACB ∠=°,D 是AB 边上一点,以BD 为直径的O ⊙与边AC
相切于点E ,连结DE 并延长,与BC 的延长线交于点F .
(1)求证:BD BF =;(2)若64BC AD ==,,求sin ∠CEF .
练习3、如图,在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径的⊙O 分别交AC ,BC 于点D ,E ,点F 在AC 的延长线上,且∠CBF=
1
2
∠CAB. (1)求证:直线BF 是⊙O 的切线;(2)若AB=5,sin ∠5BF 的长.
O
A
B
D E
F
E D
O
A B C
A E D O
B C
变式1、如图, AB 为⊙O 的直径, AC 为⊙O 的弦, ∠BAC 的平分线交⊙O 于点D, DE ⊥AC 于点E.
(1)求证: DE 为⊙O 的切线;
(2)连接OE 交AD 于点F, 连接BD, 若cos ∠BAC=
54, 求BD
OF 的值.
变式2、如图1,AB 是⊙O 的直径,AD 是弦,点E 是弧BD 上一点,EF ⊥AD 于点F ,且EF 是⊙O 的切线.
(1)求证:弧DE=弧BE ;(2)连接BE ,若tan ∠DAB=
12
5
,求tan ∠B 的值. 二、(圆中的三个二分之一)已知:如图,AB 是半圆O 的直径,点E 是半圆O 上一动点(不与A 、B 重合),点C 是弧BE 的中点,连接BE 、AC 交于点G ,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,交BE 于F 点。求证:(1)CD=½BE ;(2)CF=½BG ;(3)DF=½EG 。
例2、如图,Rt △ABCK ,∠ACD=90°,以AB 为直径作⊙O ,F 是⊙O 上一点,⌒
⌒
FC =AC ,CD ⊥AB 于点D ,连AF 分别交CD 、BC 于E 、G 两点,连接CF 。 (1)求证:△ACE ∽△AFC ;(2)若sin ∠DAE=31,求BG
CG 。
练习1、如图,AB 是⊙O 的直径,C 是弧BD 的中点,CE ⊥AB ,垂足为E ,BD 交CE 于点F . (1)求证:CF=BF ;(2)若cos ∠BAD=31,,⊙O 的半径为3,求BC 的长.
C
B
E
F
A
D
O
练习2、如图,ABC ∆内接于⊙O ,AB 为直径,弦CE AB ⊥于F ,C 是AD 的中点,连结
BD 并延长交EC 的延长线于点G ,连结AD ,分别交CE 、BC 于点P 、Q 。
(1)求证:P 是ACQ ∆的外心;(2)若3
tan ,84
ABC CF ∠=
=,求CQ 的长。
三、切割线型:从圆外一点同时引圆的切线和过圆心的割线
例3、如图,AC 为⊙O 的直径, PA ⊥AC ,BC 是⊙O 的一条弦,直线PB 交直线AC 于点D ,DO
DC
DP DB =.
(1)求证:直线PB 是⊙O 的切线;(2)若AC =CD =2, 求cos ∠BCA 的值.
练习1、如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,AC 是⊙O 的直径,AB =BD ,BD 交AC 于P ,过B 作BE ∥AD 交AC 和延长线于E. (1)求证:BE 是⊙O 的切线;(2)若AC =8,PC =1,求tan ∠CBD 的值.
练习2、已知:如图,在矩形ABCD 中,点O 在对角线BD 上,以OD 的长为半径的⊙O 与AD ,BD 分别交于点E 、点F ,且∠ABE =∠DBC .
(1)判断直线BE 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论; (2)若3
3
sin =∠ABE ,2=CD ,求⊙O 的半径.
E
P
D C O
B A E O F
D
B
F O
E A
G
C
F
B O E
练习3、如图,D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点,点B 在⊙O 上,且AB=AD=AO 。 (1)求证:BD 是⊙O 的切线;
(2)若E 是劣弧BC 上一点,AE 与BC 相交于点F ,△BEF 的面积为8,且3
2cos =
∠BFA ,求△ACF 的面积。
四、角平分线型:过圆周角的角平分线与圆的交点或弧的中点引圆的切线
例4、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ,点O 在AB 上,经过A 、D 两点的⊙O 交AB 于E.
⑴求证:BC 是⊙O 的切线;⑵若4
3tan =B ,求ADC ∠cos .
练习1、如图,AB 是⊙O 的直径,点C 是⊙O 上任意一点,点D 是弧BC 的中点,DE ⊥AC ,交
AC 的延长线于点E ,I 是△ABD 的内心,连结DI 并延长交⊙O 于点F . (1)求证:DE 是⊙O 的切线;(2)若2
1tan =∠BAD ,CE =2,求DF 的长.
练习2、如图,在△ABC 中,∠C 为直角,BD 平分∠ABC 交AC 于D.在AB 上取一点D.在AB 上取一点O ,以点O 为圆心作经过B 、D 的圆,⊙O 分别交AB 、BC 于E 、F ,连DE 、EF ,EF 交BD 于G.
⑴求证:AC 与⊙O 相切;⑵若DE=2,BG=3,求sin ∠A.
B
C
E
D
O I