几何体的外接球与内切球问题归纳
外切球和内切球知识点总结
外切球和内切球知识点总结一、外切球和内切球的定义1. 外切球在几何学中，外切球是指一个球与另外一个几何体（通常是一个多边形或圆柱体）相切于凸多边形或凸多面体的每一侧面的情况。
外切球的直径等于两相切多边形（或多面体）的对边之和。
以正方形为例，外切球的定义如下：对于一个正方形，以正方形的每一条边为切点做球的切线，则球的外切球的半径等于正方形的边长的一半。
2. 内切球内切球是指一个球刚好被另外一个几何体（通常是一个多边形或圆柱体）所包围，并且与该几何体的每一边或面都相切的情况。
内切球的直径等于围绕这个球的多边形（或多面体）的对边之和。
以正方形为例，内切球的定义如下：对于一个正方形，用正方形的每个顶点作为球的切点，那么这个球就是正方形的内切球。
二、外切球和内切球的性质1. 外切球的性质外切球的性质主要有以下几点：（1）外切球的半径等于多边形（或多面体）的对角线的一半。
（2）对于任意多边形，外切球与多边形的外切圆心在一条直线上。
（3）外切球的切点在多边形（或多面体）的中点处。
（4）外切球的半径等于多边形（或多面体）的外接圆的半径。
2. 内切球的性质内切球的性质主要有以下几点：（1）内切球的半径等于多边形（或多面体）的内切圆的半径。
（2）对于任意多边形，内切球的内切圆心和多边形的顶点在一条直线上。
（3）内切球的切点在多边形（或多面体）的中点处。
（4）内切球的半径等于多边形（或多面体）的外接圆的半径减去多边形（或多面体）的半径。
三、外切球和内切球的应用外切球和内切球在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用，下面将分别介绍它们在不同领域的具体应用。
1. 数学领域在数学领域，外切球和内切球主要应用于解决几何问题和优化问题。
例如，外切球和内切球可以用来求解多边形（或多面体）的面积、体积、周长等问题，同时也可以用来解决某些最优化问题，比如求解最大最小值等。
此外，外切球和内切球还可以应用于解决一些具体的数学难题，比如利用外切球和内切球的性质证明某些几何定理、求解某些不等式等。
几何体外接球或内切球问题的类型与解法
几何体外接球或内切球问题的类型与解法 几何体外接球和内切球问题是近几年的高考热点内容之一，尤其是几何体外接球问题，基本上近几年的高考试题中都有出现。
从题型上看是5分小题，可能是选择题，也可能是填空题；从难易程度上看，属于中、低档难度的问题。
纵观近几年高考，归结起来几何体外接球或内切球问题主要包括：①已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积（或几何体的体积）；②已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的表面积（或几何体的表面积）；③已知球内切于几何体，求内切球的体积（或表面积）等几种类型。
解答这类问题的基本思路是根据问题给出的条件，求出球的半径，然后运用球的体积（或表面积）公式通过运算就可得出结果。
各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻，那么在实际解答几何体外接球或内切球问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、（理）如图，在边长为2的正方形A 1P 2P 3P 中，线段BC 的端点B ，C 分别在边1P 2P ，2P 3P 上滑动，且1P B=2P C=x ，现将∆ A 1P B ， ∆ C 3P A 分别沿AB ，CA 折起使点1P ， 3P 重合，重合后记为点P ，得到三棱锥P —ABC ，现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为1P 2P ，2P 3P 的中点时，三棱锥P —ABC 的外接球的表面积为6π；③x 的取值范围为（0，4-22）；④三棱锥P —ABC 体积的最大值为13。
则正确结论的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4（文）如图，在边长为2的正方形A 1P 2P 3P 中，边1P 2P ，2P 3P 的中点分别为B ，C ，现将∆ A 1P B ，∆ B 2P C ，∆ C 3P A 分别沿AB ，BC ，CA 折起使点1P ，2P ，3P 重合，重合后记为点P ，得到三棱锥P —ABC ，则三棱锥P —ABC 的外接球体积为 （2020成都市高三一诊）（理科图） （文科图） 【解析】【考点】①正方形定义与性质；②三棱锥定义与性质；③判断直线垂直平面的基本方法；④求三棱锥外接球表面积的基本方法；⑤求三棱锥体积的基本方法；⑥求函数最值的基本方法。
专题——几何体的外接球和内切球问题
B．112π
C.1 000π 9
D.5 000 10π 81
※内切球问题 1．正棱锥的内切球.
第一步：先现出内切球的截面图， E, H 分别是两个三角形的外心； 第二步：由 POE 相似于 PDH ，建立等式： OE PO ，解出 r
DH PD
2．任意多面体的内切球：等体积法，
例 3 非直二面角类型
（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
专题——几何体的外接球和内切球问题
※基础知识：
1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆
长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；
正三角形的内切圆半径： 3 a 6
外接圆半径： 3 a 3
面体的外接球的球心。 由定义，给出以下简单多面体外接球的球心的结论。
结论 1：正方体或长方体的外接球的球心就是其体对角线的中点，即其外接球的半径 R 满足：
2R2 a2 b2 c2 ，即 R a2 b2 c2
2 结论 2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点，即正棱柱的外接球的半径 R 为： R h 2 r 2 （其中 h 为正棱柱的侧棱长， r 是底面多边形的外接圆的半径）
（1）已知边长为 2 3 的菱形 ABCD 中，BAD 60 ，沿对角线 BD 折成二面角 A BD C 的大
小为120 的四面体，则该四面体的外接球的表面积为
。
第一步：先求出多面体的表面积和体积； 第二步：解出 r 3V S表
例 1、正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）
球。
3．球的截面：
用一平面 去截一个球 O ，设 OO 是平面 的垂线段，O 为垂 足，且 OO d ，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以
内切球和外接球常见解法
内切球和外接球常见解法内切球和外接球是在几何学中常用的概念，它们分别指的是一个几何体内切或外接于另一个几何体的球。
在实际问题中，内切球和外接球常常用于优化问题和几何问题的求解，其解法也有多种。
以下将介绍一些常见的解法。
1. 解法一：利用勾股定理求解。
内切球和外接球都可以利用勾股定理求解。
以内切球为例，我们可以考虑任意三角形ABC，设其内切球的半径为r，以I为内切圆心，则：AB + AC = 2r；AC + BC = 2r；AB + BC = 2r。
整理可得：r = [ABC] / (s + a + b + c)，其中s为半周长，a、b、c为三角形ABC的三边长，[ABC]为三角形ABC的面积。
而外接球的半径r'则可用公式r'=[ABC] / (4S)，其中S为三角形ABC的外接圆半径。
欧拉定理是内切球和外接球求解的另一个重要工具。
欧拉定理有两种形式，分别为：对于任意四面体，其四个顶点、三条棱的中点和六面体质心共九个点在同一球面上。
对于任意三角形ABC，其外接圆心、垂足交点、垂心、重心四点在同一圆上，且圆心为外接球心。
利用欧拉定理可以求得内切球半径：点O为六面体质心，点I为内切圆心，则IO等于内切球半径r。
点O为三角形外心，点H为垂心，点G为重心，则OG等于外接球半径r'。
对于一些优化问题，内切球和外接球也可以通过线性规划求解。
例如，对于一个凸多面体，求其内切球或外接球的半径最大值，可以将问题转化为线性规划问题，即：max rs.t. A_i * x <= b_i, i=1,2,...,mx_i >= 0, i=1,2,...,n其中，A_i是多面体的几何信息，b_i是多面体中某一点到各个面的距离，x是优化变量，r就是所需要求的内切球或外接球半径。
可以使用线性规划求解器求解其最优解。
立体几何中球的内切和外接问题完美版
性质
内切球的球心位于旋转体 的轴线上，且球的半径等 于旋转体半径。
应用
在几何和工程领域中，内 切球常用于研究旋转体的 体积和表面积。
旋转体的外接球
定义
旋转体的外接球是指与旋 转体外侧相切的球。
性质
外接球的球心位于旋转体 外侧，且球的半径等于旋 转体轴线到旋转体外侧的 垂直距离。
应用
在几何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ工程领域中，外 接球常用于研究旋转体的 空间位置和关系。
立体几何中球的内 切和外接问题完美 版
目 录
• 球与多面体的内切和外接问题 • 球与旋转体的内切和外接问题 • 球与几何体的内切和外接问题实例 • 总结与展望
01
CATALOGUE
球与多面体的内切和外接问题
多面体的内切球
01
02
03
04
多面体的内切球是指与多面 体的所有顶点和面都相切的
球。
内切球半径的求法：设多面体的 每个面为$S_i$，内切球的半径
03
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球与几何体的内切和外接问题实例
多面体内切球实例
总结词
多面体内切球是指一个球完全内切于一个多面体，且与多面体的每个面都相切 。
详细描述
多面体内切球的问题可以通过几何定理和公式来解决，例如欧拉公式和球内切 定理。例如，一个正方体的内切球就是其中心，半径等于正方体边长的一半。
旋转体外接球实例
外接球的性质：外接球与 多面体的每个顶点都相切 ，且外接球的直径等于多 面体的对角线长度。
外接球的应用：在几何、 物理和工程领域中，外接 球的概念被广泛应用于研 究多面体的性质和计算。
02
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球与旋转体的内切和外接问题
立体几何外接球和内切球十大题型
立体几何外接球和内切球十大题型
立体几何中的外接球和内切球是常见的题型，下面我将列举十个常见的题型并进行解答。
1. 求立方体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于立方体的对角线的一半，内切球的半径等于立方体的边长的一半。
2. 求正方体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正方体的对角线的一半，内切球的半径等于正方体的边长的一半。
3. 求圆柱体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于圆柱体的底面半径，内切球的半径等于圆柱体的高的一半。
4. 求圆锥的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于圆锥的底面半径，内切球的半径等于圆锥的高的一半。
5. 求球的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于球的半径的根号3倍，内切球的半径等于球的半径的一半。
6. 求棱锥的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于棱锥的底面边长的一半，内切球的半径等于棱锥的高的一半。
7. 求棱柱的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于棱柱的底面边长的一半，内切球的半径等于棱柱的高的一半。
8. 求四面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于四面体的外接圆的半径，内切球的半径等
于四面体的内切圆的半径。
9. 求正六面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正六面体的对角线的一半，内切球的半径等于正六面体的边长的一半。
10. 求正八面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正八面体的对角线的一半，内切球的半径等于正八面体的边长的一半。
以上是关于立体几何中外接球和内切球的十个常见题型及其解答。
希望能对你有所帮助。
外接球和内切球问题总结归纳
外接球和内切球问题总结归纳外接球和内切球问题总结归纳在几何学中，外接球和内切球问题是一个重要的概念。
它们不仅在数学领域有着重要的应用，同时也被广泛运用在物理学、工程学以及计算机科学等领域。
本文将对外接球和内切球问题进行深入探讨，从基础概念到应用实例，帮助读者全面理解这一主题。
一、外接球和内切球的定义1. 外接球外接球是指一个球与给定的多边形的所有顶点相切于球面的情况。
在数学中，外接球常常与三角形、四边形等几何图形相关联，其特点是与多边形的各个顶点相切，并且球心通常位于多边形的某个重要位置。
2. 内切球内切球则是指一个球完全被给定的多边形所包围，且球与多边形的边界相切。
在实际应用中，内切球往往能够最大化地利用多边形所包围的空间，因此在工程设计和优化问题中具有重要意义。
二、外接球和内切球的性质1. 外接球的性质外接球的半径通常与多边形的边或者角有着特定的关系。
以三角形为例，外接圆的半径等于三角形三条边的乘积除以其周长的两倍。
这一性质在计算三角形的外接圆时具有重要意义，同时也为几何问题的解决提供了基础。
2. 内切球的性质内切球的半径与多边形的边界有着紧密的联系。
以正方形为例，内切圆的半径等于正方形的边长的一半。
这一性质在优化问题中有着重要的应用，能够帮助设计者最大化地利用空间，提高效率和节约成本。
三、外接球和内切球的应用1. 工程设计外接球和内切球在工程设计中有着广泛的应用。
例如在建筑设计中，内切球可以帮助设计者合理利用建筑空间，提高使用效率；在机械设计中，外接球则可以帮助设计者确定零部件的匹配度和适用性。
2. 计算机科学外接球和内切球也在计算机科学领域有着重要的应用。
例如在计算机图形学中，外接球和内切球经常被用来描述物体的外形和几何特征，同时也可以用于物体的碰撞检测和三维建模。
个人观点和总结外接球和内切球作为一个基础的数学概念，在几何学、工程学和计算机科学等领域有着重要的应用。
通过对外接球和内切球的定义、性质和应用进行深入探讨，我们可以更好地理解其在实际问题中的作用和意义，进一步拓展其在更多领域的应用。
立体几何外接球及内切球问题
立体几何外接球及内切球问题一、球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1球与正方体如图1所示，正方体1111D C B A ABCD -,设正方体的棱长为a ，G H F E ,,,为棱的中点，O 为球的球心。
常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFHG 和其内切圆，则2a r OJ ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG 和其外接圆，则a R OG 22==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11A ACC 和其外接圆，则23'1a R O A ==. 例 1： 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ） A ．B ．C ． D1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间1111ABCD A B C D -O E F ，1AA 1DD EF O 2112+,,,a b c l 2l R ==部分的体积为( ) A.10π3B.4πC.8π3D.7π31.3球与正棱柱：①结论：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. ②球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.本类题目的解法：构造直角三角形法：设正三棱柱111C B A ABC -的高为h ，底面边长为a ； 如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心。
根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，a AD R AO h OD 33,,2===，借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求22332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a h R 。
外接球内切球题型总结
外接球内切球题型总结和内切球是高中数学中常见的几何题型。
它们看似简单，但实际上需要一定的思维和推理能力。
在这篇文章中，我将总结和内切球的题型，并提供一些解题思路和方法。
一、题型是指一个球完全地包围住一个几何体，即几何体的各个顶点都在球的表面上。
以下是一些常见的题型：1. 外接圆题型外接圆是指一个圆正好切合于一个三角形的三条边上。
在解决外接圆题型时，我们通常可以利用其性质来推导出一些关系式来简化问题。
例如，假设一个三角形的三个顶点分别是A、B、C。
若存在一个外接圆，那么圆心必然在三角形的垂直平分线的交点处。
因此，我们只需要求出垂直平分线的交点即可确定圆心的位置。
2. 题型与外接圆类似，也可以用类似的思路来解决。
我们可以通过求出几何体的垂直平分面的交线来确定球心的位置。
举个例子，假设我们有一个四面体ABCD，我们需要求出其。
首先，我们可以通过连接四面体的两个对角线来得到一个交点E。
然后，我们找出四面体的垂直平分面，分别与对角线DE、CE、BE、AE相交，这些相交点的集合就是球心所在的平面。
最后，我们通过球心与四面体任意一个顶点的距离就可以确定球的半径。
二、内切球题型内切球是指一个球正好与一个几何体的各个面相切。
以下是一些常见的内切球题型：1. 内切圆题型内切圆是指一个圆正好与一个三角形的三边内切。
解决内切圆题型时，我们通常可以利用其性质来推导出一些关系式。
例如，假设我们有一个三角形ABC，其内切圆的半径为r，圆心为O。
根据内切圆的性质，我们可以知道三角形的三个角都是圆心O的切点。
因此，我们可以利用三角函数的关系式来求解r。
2. 内切球题型内切球题型相对来说会更加复杂一些。
我们需要找到几何体的内切面以及球心的位置。
举个例子，假设我们有一个四面体ABCD的内切球。
我们可以通过连接四面体相对面的交点的连线找到内切球的球心。
然后，我们继续找到相应的内切面，通过求解距离或者长度的关系还可以进一步确定内切球的半径。
简单几何体的外接球与内切球问题
简单几何体的外接球与内切球问题定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
一、直棱柱的外接球1 长方体的外接球：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,则体对角线长为l「a2 b2 c2，几何体的外接球直径2R为体对2 2 2角线长I即R= a b C22、正方体的外接球：正方体的棱长为a，则正方体的体对角线为3a，其外接球的直径2R为、.3a。
3、其它直棱柱的外接球：方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。
例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3,则这个球的体积为.8例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A. 16 二B. 20 二C. 24 二D. 32 二二、棱锥的外接球1、正棱锥的外接球方法：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方程。
例3、正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为.2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，贝卩此球的体积例5、若正四面体的棱长为4,则正四面体的外接球的表面积为__________________ 。
例6、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（）(A) 343(B) ；(C)(D)3122、补体方法的应用（1）、正四面体（2）、三条侧棱两两垂直的三棱锥（3）、四个面均为直角三角形的三棱锥例7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直, 它们的面积分别为6cm2、4cm2和3cm2，那么它的外接球的体积是例9、在三棱锥 A - BCD 中，AB —平面BCD,CD — BC , AB = 3, BC = 4, CD = 5则三棱锥A-BCD外接球的表面积_______________例10、如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）三、圆柱、圆锥的外接球旋转体的外接球，可以通过研究轴截面求球的半径。
2023届高三数学一轮复习专题 空间几何体的外接球与内切球问题 讲义 (解析版)
空间几何体的外接球与内切球问题高考分析： 球与几何体的切接问题是近几年高考的高频考点，常以选择题和填空题的形式出现，以中档题和偏难题为主. 一、几种常见几何体的外接与内切球 1.长方体的外接球 (1)球心：体对角线的交点；(2)半径：R ＝a 2＋b 2＋c 22(a ，b ，c 为长方体的长、宽、高)．2.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径R ＝32a(a 为正方体的棱长)； (2)内切球：球心是正方体的中心；半径r ＝2a(a 为正方体的棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径=2r a (a 为正方体的棱长)． 3.正四面体的外接球与内切球(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径R (a 为正四面体的棱长)；(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r (a 为正四面体的棱长)．求外接球问题常用方法：1.补体法。
将几何体补形成长方体正方体等常见模型去求解2.外接球的球心都在过底面外接圆圆心的垂线上（注意球体可以滚动所以可以选择较为方便计算的那一面作为底面）3.利用外接球球心到几何体各顶点距离都等于半径4.球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆求外接球的关键是确定球心位置，进而计算出外接球半径。
题型一：柱体的外接球1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_________．2.已知三棱柱111ABC A B C －的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12 ，则该三棱柱的体积为_________．3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π4.已知圆柱的底面半径为12，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4 C.π2 D.π4题型二：锥体的外接球5.求棱长为1的正四面体外接球的体积为_________．6.已知正四棱锥P －ABCD 内接于一个半径为R 的球，则正四棱锥P －ABCD 体积的最大值是( )A.16R 381B.32R 381C.64R 381 D ．R 3 7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PB ＝1，∠APB ＝∠BAD ＝π3，则三棱锥P －AOB 的外接球的体积是_________．8.已知△ABC 是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ） A.B.C. 1D.9.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π10.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱切开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均是直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝5，AB ＝3，BC ＝4，则阳马C 1－ABB 1A 1的外接球的表面积是( )A ．25πB ．50πC ．100πD ．200π11.已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π12.已知正三棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为3，E,F ,G 分别为为侧棱AB,AC,AD 的中点.若O 在三棱锥A -BCD 内，且三棱锥A -BCD 的体积是三棱锥O -BCD 体积的3倍，则平面EFG 截球O 所得截面的面积为微专题 球与几何体的切接问题——内切球1.半径为R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为_________，体积为_________．2.若正四面体的棱长为a ，则其内切球的半径为_________．3.已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为( ) A ．18 B ．12 C ．6 3 D ．434.将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则该圆锥的内切球的体积为( )A.2π3 B.3π3 C.4π3D ．2π 5.如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A.66π B.π3 C.π6 D.33π题型三 最值问题6.已知底面是正六边形的六棱锥P －ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为3，则球O 的表面积为_________．7.四棱锥S －ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于8＋83，则球O 的体积等于( )A.32π3B.322π3 C ．16π D.162π38.已知SAB 是边上为2的等边三角形，045ACB ∠=，则三棱锥体积最大时，CA = ;其外接球的表面积为。
空间几何体的外接球内切球问题
空间几何体的外接球内切球问题空间几何体的外接球、内切球问题自己总结供参考红岩外接球问题一.棱锥的外接球三棱锥都有外接球；底面有外接圆的任意棱锥都有外接球。
1.确定棱锥外接球球心的通法先找到棱锥底面的外接圆的圆心D ，过D 作底面的垂线ＤＰ交一侧棱的中垂面于O ，点O 即为外接球的球心。
练习：1.三棱锥S-ABC 的各顶点都在同一球面上，若SB ⊥平面ABC ,SB=6，AB=AC=2120BAC ∠=?，则此球的表面积等于。
2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为。
3.四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ，6=BD ，则该球的表面积为（）A ．π14 B.π15 C.π16 D.π182.补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一结论求解。
练习：1.三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（）A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．224a π2.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π3.,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3πB.4πD.6π4.3.公共边所对的两个角为直角确定球心法练习1.在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π2.空间四边形ABCD中，1,AB BC AD DC ====ABCD 的外接球的表面积为4.利用轴截面截球为大圆确定球半径正四、六、八棱锥的外接球的一个轴截面为大圆，该圆的半径等于外接球的半径. 练习：1.正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .2.正六棱锥EF S ABCD -的底面边长为1S A B C D 、、、、、E 、F 都在同一球面上，则此球的表面积为 .3.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_ C_ A_ O_ D _ BA B．13π C．23π D二.棱柱的外接球底面有外接圆的直棱柱才有外接球。
立体几何中的外接球与内切球问题
ＡＢＣ，点 Ｐ，Ａ，Ｂ，Ｃ都在半径为￣／３的球面上 ，若
ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ 两 两 相 互 垂 直 ，则 球 心 到 截 面
ＡＢＣ的距 离 为
．
解 ：如图 ３，将正三棱锥 Ｐ—ＡＢＣ置于正方
体 的一 角 ，两者 的外 接 球 相 同 ，球 心 即正 方 体 的 中 心 ０．由题 意 知 ， 正 方体 的体 对 角线 长 ｚ
角线长 的一 半 ，即—Ｊａ２ｎ－ ｂ￣￣ ｃ２
—
＿
一
．
座 ，利用 公式快 速求 解． 例 １ 一个 正方体 的各顶 点 均 在 同一个 球
注 ：一 般地 ，长方 体没 有 内切 球．
的球 面上 ，若 该 正 方 体 的 表 面积 为 ２４，则 该 球
３，正 四面体 的外 接球 与 内切球．
一 、 常 用结 论 １．正方 体 的外接球 与 内切球 ． 棱长 为 以的正方 体 的外接球 与 内切球 的球
心均为正方体 的中心，它们的半径分别为 以
得 Ｒ 一（ＡＧ－Ｒ） ４－ＧＤ ．解 得 Ｒ一， Ｖ ｕ ｎ．内切
球 的半 径 ｒ＝ＯＧ＝ＡＧ－Ｒ一 口．内切 球 的 半
１厶
的表 面积为— — ．
棱 长 为 ｎ的正 四面体 的外接 球 与 内切 球 的
解 ：易 知正方 体 的棱 长 为 ２，所 以其 外 接球
球 心均 为 正 四面 体 的 中心 ，它 们 的半 径 分 别 为 和 ．
的表 面积 为 ４７【（ ×２） 一１２ｎ．故填 １２ｎ．
厶
例 ２ （２０１４年 陕 西 卷 ）已 知 底 面 边 长 为
解题探讨
０
２．定 义法 ．
根据球的定义，几何 体外接球 的球 心到几 何 体 各顶 点 的距 离 相 等 ，为 球 的半 径．因此 ，定
立体几何中球的内切和外接问题(完美版)
C 1
注意：①割补法，② V多面体 3 S全 r内切球
变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如 图所示，则截面的可能图形是（ ）
①
②
③
④
• A ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①②③ Ｄ．②③④
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
变式训练：已知正四面体内接于一个球，某人画出四 个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下，
的动点，当弦 MN 的长度最大时， PM • PN 的取值范围是
．
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球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系？
.r
a
一、 球体的体积与表面积
①
②
二、球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球多是面这体个的外接球
。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
，即 为该四面体的外接球的球心
A
O
C
所以该外接球的体积为
03
破译规律-特别提
醒
2 例题剖析-针对讲 解
04
举一反三-突破提
升
4 举一反三-突破提 升 1、（2015 海淀二模）已知斜三棱柱的三 视图如图所示，该斜三棱柱的体积为 ______.
4 举一反三-突破提 升
2、（2015 郑州三模） 正三角形ABC的2 边3 长
5 正棱锥的外接球的球心是在其 高上
空间几何体外接球与内切球问题解决方法
空间几何体的外接球与内切球问题一、有关定义1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1．性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.2．结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.四、八大模型类型一柱体背景的模型题型1、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（C）A．π16B．π20C．π24D．π32解：162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C；（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是π9解：933342=++=R ，ππ942==R S ；（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是.π36解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1，取BC AB ,中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ，∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥，∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ，∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36.（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（D ）π11.A π7.B π310.C π340.D 解：在ABC ∆中，7120cos 2222=⋅⋅-+= BC AB AB AC BC ，7=BC ，ABC ∆的外接球直径为372237sin 2==∠=BAC BC r ，∴3404)372()2()2(2222=+=+=SA r R ，340π=S ，选D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（+∈R c b a ,,），则⎪⎩⎪⎨⎧===6812ac bc ab ，∴24=abc ，∴3=a ，4=b ，2=c ，29)2(2222=++=c b a R ，ππ2942==R S ，（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解：3)2(2222=++=c b a R ，432=R ，23=R πππ2383334343=⋅==R V 球，题型2、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222za c y cb x b a ⇒2)2(2222222z y xc b a R ++=++=，补充：图2-1中，abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-.第三步：根据墙角模型，22222222z y x c b a R ++=++=，82222z y x R ++=，8222z y x R ++=，求出R .思考：如何求棱长为a 的正四面体体积，如何求其外接球体积？例2（1）如下图所示三棱锥A BCD -，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为.解：对棱相等，补形为长方体，如图2-1，设长宽高分别为c b a ,,，110493625)(2222=++=++c b a ，55222=++c b a ，5542=R ，π55=S （2）在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为.π229解：如图2-1，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,，则922=+b a ，422=+c b ，1622=+a c ∴291649)(2222=++=++c b a ，291649)(2222=++=++c b a ，229222=++c b a ，22942=R ，π229=S（3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，32=R ，23=R ，ππ2383334=⋅=V （4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为1PCO ∆，面积是2.题型3、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ；第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 212111==（h AA =1也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)2(r hR +=⇒22)2(h r R +=，解出R 例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为解：设正六边形边长为a ，正六棱柱的高为h ，底面外接圆的半径为r ，则21=a ，正六棱柱的底面积为833)21(4362=⋅⋅=S ，89833===h Sh V 柱，∴3=h ，4)3(14222=+=R 也可121()23(222=+=R ），1=R ，球的体积为34π=球V ；（2）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于.解：32=BC ，4120sin 322==r ，2=r ，5=R ，π20=S ；（3）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为.π16解：折叠型，法一：EAB ∆的外接圆半径为31=r ，11=OO ，231=+=R ；法二：231=M O ，21322==D O r ，4413432=+=R ，2=R ，π16=表S ；法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略.换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径：162)32()2(222=+=R ，π16=表S ；（4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π，则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为.π3160解：法一：282164236162=⋅⋅⋅-+=BC ，72=BC ，37423722==r ，372=r ，3404328)2(2122=+=+=AA r R ，π3160=表S ；法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.类型二锥体背景的模型题型4、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）1．如图4-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R ；事实上，ACP ∆的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R .2．如图4-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=3．如图4-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=4．题设：如图4-4，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=；第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R .例4（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为.解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径）；法二：找球心联合勾股定理，72=R ，ππ4942==R S ；（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为解：方法一：找球心的位置，易知1=r ，1=h ，r h =，故球心在正方形的中心ABCD 处，1=R ，34π=V 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC ∆的外接圆，此处特殊，SAC Rt ∆的斜边是球半径，22=R ，1=R ，34π=V .（3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．433B．33C．43D．123解：高1==R h ，底面外接圆的半径为1=R ，直径为22=R ，设底面边长为a ，则260sin 2==a R ，3=a ，433432==a S ，三棱锥的体积为4331==Sh V ；（4）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为 60，则该三棱锥外接球的体积为（）A．πB.3π C.4πD.43π解：选D，由线面角的知识，得ABC ∆的顶点C B A ,,在以23=r 为半径的圆上，在圆锥中求解，1=R ；（5）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =，则此棱锥的体积为（）AA．6B．6C．3D．2解：36)33(12221=-=-=r R OO ，362=h ，62362433131=⋅⋅==Sh V 球题型5、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径.解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=.2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.例5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()A．π3B．π2C．316πD．以上都不对解：选C，法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，221)3(R R =+-,32=R ,ππ31642==R S ；法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形PMN 的外接圆是大圆，于是3460sin 22==R ，下略；类型三二面角背景的模型题型6、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心1H 和2H ；第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,；第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：22121OC CH OH =+注：易知21,,,H E H O 四点共面且四点共圆，证略.例6（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为.解：如图，3460sin 22221=== r r ，3221==r r ，312=H O ，35343121222=+=+=r H O R ，315=R ；法二：312=H O ，311=H O ，1=AH ，352121222=++==O O H O AH AO R ，315=R ；（2）在直角梯形ABCD 中，CD AB //， 90=∠A ，45=∠C ，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为π4解：如图，易知球心在BC 的中点处，π4=表S ；（3）在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为π6解：如图，法一：33)2cos(cos 211-=+∠=∠πO OO B SO ，33sin 21=∠O OO ，36cos 21=∠O OO ，22cos 21211=∠=O OO O O OO ，232112=+=R ，ππ642==R S ；法二：延长1BO 到D 使111r BO DO ==，由余弦定理得6=SB ，2=SD ，大圆直径为62==SB R ；（4）在边长为32的菱形ABCD 中，60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为π28解：如图，取BD 的中点M ，ABD ∆和CBD ∆的外接圆半径为221==r r ，ABD ∆和CBD ∆的外心21,O O 到弦BD 的距离（弦心距）为121==d d ，法一：四边形21MO OO 的外接圆直径2=OM ，7=R ，π28=S ；法二：31=OO ，7=R ；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ,则3==CM AM ，4=CE ，1=ME ，7=AE ，33=AC ，72147227167cos -=⋅⋅-+=∠AEC ，7233sin =∠AEC ，72723333sin 2==∠=AEC AC R ，7=R ；(5)在四棱锥ABCD 中，120=∠BDA ，150=∠BDC ，2==BD AD ，3=CD ，二面角C BD A --的平面角的大小为120，则此四面体的外接球的体积为解：如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心，32=AB ，22=r ，弦心距32=M O ，13=BC ，131=r ，弦心距321=M O ，∴2121=O O ，72120sin 21==O O OM ，法一：∴292222=+==OM MD OD R ，29=R ，∴329116π=球V ；法二：2522222=-=M O OM OO ，∴29222222=+==OO r OD R ，29=R ，∴329116π=球V .题型7、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型题设：如图7，90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ，连接OC OP ,，则AB OP OC OB OA 21====，∴O 为三棱锥ABC P -外接球球心，然后在OCP 中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.例7（1）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（）A．π12125B．π9125C．π6125D．π3125解：（1）52==AC R ，25=R ，6125812534343πππ=⋅==R V ，选C（2）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥BCD A -的外接球的表面积为．解：BD 的中点是球心O ，132==BD R ，ππ1342==R S .类型四多面体的内切球问题模型题型8、锥体的内切球问题1．题设：如图8-1，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其内切球的半径.第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；第二步：求BD DH 31=，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ∆的高；第三步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：PDPODH OE =，解出r 2．题设：如图8-2，四棱锥ABC P -是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，H O P ,,三点共线；第二步：求BC FH 21=，r PH PO -=，PF 是侧面PCD ∆的高；第三步：由POG ∆相似于PFH ∆，建立等式：PFPOHF OG =，解出3．题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=⇒rS S S S r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC PBC PAC PAB ABC ABC P ⋅+++=⋅+⋅+⋅+⋅=∆∆∆∆-)(3131313131第三步：解出PBCO PAC O PAB O ABCO ABCP S S S S V r -----+++=3例8（1）棱长为a 的正四面体的内切球表面积是62a π，解：设正四面体内切球的半径为r ，将正四面体放入棱长为2a的正方体中（即补形为正方体），如图，则2622313133a a V V ABCP =⋅==-正方体，又 r a r a Sr V ABC P 223343314314=⋅⋅⋅=⋅=-，∴263332a r a =，62a r =，∴内切球的表面积为6422a r S ππ==表（注：还有别的方法，此略）（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长为2，侧棱长为3，则其内切球的半径为2217+解：如图，正四棱锥ABCD S -的高7=h ，正四棱锥ABCD S -的体积为374=-ABCD S V 侧面斜高221=h ，正四棱锥ABCD S -的表面积为284+=表S ，正四棱锥ABCD S -的体积为r r S V ABCD S ⋅+==-328431表，∴3743284=⋅+r ，771427)122(7221728474-=-=+=+=r （3）三棱锥ABC P -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，⊥PA 底面ABC ，2=PA ，则该三棱锥的内切球半径为47332++解：如图，3=∆ABC S ，2==∆∆ACP ABP S S ，7=∆BCP S ，743++=表S ，三棱锥ABC P -的体积为332=-ABC P V ，另一表达体积的方式是r r S V ABC P ⋅++==-347331表，∴3323473=⋅++r ，∴47332++=r巩固练习：1．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（）A.3B.6C.36D.9解：【A】616164)2(2=++=R ，3=R 【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】2．三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三棱锥的外接球体积等于.332π解：260sin 32== r ，16124)2(2=+=R ，42=R ，2=R ，外接球体积332834ππ=⋅【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】3．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于.解：ABC ∆外接圆的半径为，三棱锥ABC S -的直径为3460sin 22== R ，外接球半径32=R ，或1)3(22+-=R R ，32=R ，外接球体积2733233834343πππ=⋅==R V ，4．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为.解：PAC ∆的外接圆是大圆，3460sin 22== R ，32=R ，5．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为.解：973324992cos 222=⋅⋅-+=⋅-+=∠PC PA AC PC PA P ，8121697(1sin 22⋅=-=∠P ，924sin =∠P ，42922992422===R ，829=R 6．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，PC PA ⊥，BC AB ⊥，则三棱锥ABCP -外接球的半径为.解：AC 是公共的斜边，AC 的中点是球心O ，球半径为1=R。
几何体的外接球与内切球的有关问题
几何体的外接球与内切球的有关问题一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是计算球的半径或确定球心O 的位置问题，其中球心的确定是关键．（一） 由球的定义确定球心球的定义：在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.（在1BOO Rt ∆中，21212OO BO BO +=，即.）结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过构造直角三角形利用勾股定理求得． （以正三棱锥为例：设正三棱锥的底面△ABC 的边长为a ，高为h ，外接球球心为O ，半径为R .在1AOO Rt ∆中，21212OO AO AO +=，即222)(33R h a R -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.） 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心，则公共斜边的一半就是其外接球的半径．（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．1.可构造正方体的类型：①正四面体：棱长对应正方体的面对角线.①②③②三条侧棱两两垂直的正三棱锥：底面棱长对应正方体的面对角线，侧棱对应正方体的棱长.③四个面都是是直角三角形的三棱锥：最长的棱长对应正方体的体对角线.2.可构造长方体和正方体的类型①同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体；②三个侧面两两垂直的三棱锥；③有三个面是直角三角形的三棱锥；①与②与③④④相对的棱相等的三棱锥：设对应长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则BC2=a2+b2，AC2=a2+c2，AB2=b2+c2. 所以对应长方体的体对角线为.⑤含有其它线面垂直关系的棱锥.（三）由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O’的连线垂直于截面圆，确定球心．记球的半径为R，截面圆的半径为r，球心O与截面圆圆心O’的距离为d，则有R2=r2+d 2.（四）圆柱外接球模型计算球的半径一个底面半径为r，高为h的圆柱，求它的外接球半径.（1）（2）（3）变形一：如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图（1）所示.我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型. 在这里棱柱的高就是公式中的h，而棱柱底面△ABC外接圆的半径则是公式中的r.变形二：如果把三棱柱上面的C1去掉，如图（2）所示，我们得到有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥，其中r为垂直底面的侧面△ABC的外接圆半径，h为垂直于那个侧面的底面边长AA1.变形三：如果把上面的那个三棱柱上面的B1,C1两点去掉，如图（3）所示，我们得到一根侧棱⊥底面的三棱锥，其中r为底面△ABC外接圆半径，h为垂直于底面的那条侧棱AA1.二、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.结论1：内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.结论2：正多面体的内切球和外接球的球心重合.结论3：正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.结论4：基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理.结论5：体积分割是求内切球半径的通用做法.（一）正方体的的内切球设正方体的棱长为a，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径.（1）内切球：截面图为正方形的内切圆，得.（2）棱切球：切点为正方体各棱的中点，截面图为为正方形的外接圆，得.（二）棱锥的内切球(分割法)将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径的方程.设三棱锥的棱长为a ，内切球半径为r.V V V V V PAB O PBC O PAC O ABC O ABC P -----+++=r S r S r S r S PAB PBC PAC ABC 31313131+++= r S S S S PAB PBC PAC ABC )(31+++=所以一般地，记棱锥的体积为V ，表面积为S ，则内切球的半径为.（三）圆柱、圆锥的内切球(截面法)（1）圆柱的内切球：圆柱的轴截面为正方形，记圆柱的底面圆的半径r ，内切球的半径R ，则R =r .（2）圆锥的内切球：圆锥的轴截面为三角形的内切圆，记圆锥的底面圆的半径r ，内切球的半径R ，由于在△ABC 中，所以.备注：1.三角形内切圆的半径S S S S AOB AOC BOC ABC ∆∆∆∆++=r c b a cr br ar )(21212121++=++=所以三角形内切圆的半径为，其中S 为△ABC 的面积，C 为△ABC 的周长.2. 三角形外接圆的半径利用正弦定理，.①正三角形：，其中a 为正三角形的边长.②直角三角形：，其中c 为直角三角形的斜边.3. 正三角形的内切圆与外接圆的半径之比正三角形的内切圆与外接圆的两个圆心“二心合一”.设正三角形的边长为a ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R.由于，a a a a a a C S r 6360sin 2122=++︒⋅⋅⋅⨯==， 所以，即圆心O 为正三角形高h 的三等分点.4. 正四面体的内切球与外接球的半径之比正四面体的内切球与外接球的两个球心“二心合一”.设正四面体A -BCD 的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球半径为R ，则OA=OB=R ，OE=r.∵底面△BCD 为正三角形，∴BE=在BEO Rt ∆中，，即，得∴，即球心O 为正四面体高h 的四等分点.5.正三棱柱的内切球与外接球的半径之比正三棱柱的内切球与外接球的球心是重合的，过侧棱和它们的球心O 作截面如下图所示：设正三棱柱底面边长为. 由于内切球投影到底面的圆是底面正三角形的内切圆，所以，从而正三棱柱的高为.在O D A Rt 11∆中，得， 因此1:5:21=R R .。
高中数学立体几何之外接球与内切球问题常见模型归纳(完整版)
外接球问题江西省永丰中学陈保进若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
若一个定点到一个多面体的所有顶点的距离都相等，则这个定点就是该多面体外接球的球心。
以下为常见模型。
1、长方体模型结论：长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，直径为体对角线。
公式：2222c b a R ++=（a ,b ,c 为长宽高）补充：以下情况可转化成长方体模型。
①若三棱锥的三条棱PA ,PB ,PC 两两互相垂直(墙角模型），则可在长方体中构造。
2222PC PB P A R ++=②正四面体P -ABC 可在正方体中构造，正方体棱长2=PA a ③若三棱锥的三组对棱两两相等，则可在长方体中构造。
设AC =BP =m ,AP =BC =n ,AB=PC =t ,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222t c b n c a m b a ，三式相加,222222)(2t n m c b a ++=++2)2(2222222t n m c b a R ++=++=abc2、直三棱柱模型结论：直三棱柱外接球的球心是上、下底面外心连线的中点，222()2hR r =+r 为底面三角形外接圆的半径，可用正弦定理求，h 为直三棱柱的高。
补充：有一条侧棱垂直底面的三棱锥可补成直三棱柱，如图P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，则可补成直三棱柱PB 1C 1-ABC ,外接球半径公式同上。
提醒：底面具有外接圆的直棱柱才有外接球，比如正棱柱，且球心在上、下底面外心连线的中点，底面无外接圆的直棱柱，以及所有斜棱柱均无外接球。
3、共斜边模型四面体D-ABC 中，DC AD ⊥，BC AB ⊥，AC 为公共的斜边，O 为AC 的中点，则O 为四面体D-ABC 外接球的球心。
4、正棱锥模型外接球的球心在正棱锥的高所在直线上，如图正三棱锥A-BCD 中，作AO 1⊥平面BCD ，则易得BO 1=CO 1=DO 1，所以O 1为△BCD 的外心，设O 为其外接球球心，半径为R ，则BO =AO =R ,设AO 1=h ,BO 1=r ,则由BO 2=BO 12+OO 12,得R 2=r 2+(h-R )2。
专题讲解 立体几何中的外接球与内切球问题（学生版）
专题讲解立体几何中的外接球与内切球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点。
考查学生的空间想象能力以及化归能力。
研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。
球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作。
当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径。
球与多面体的关系是高考考查的重点，但同学们又因为缺乏较强的空间想象能力，较难找到解题的切入点和突破口。
解决这类题目是要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置是关键。
常见题型有求对应外接球或内切球半径、表面积、体积或球内接几何体最值等问题。
本章节将对常见的关于内切球和外接球的模型作一总结，并附有针对性训练题，供教师和学生参考使用。
一.常见模型归纳1. 墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决。
外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a 2＋b2＋c2。
)，秒杀公式：R2＝a2＋b2＋c24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例1】已知二面角α－l－β的大小为π3，点P∈α，点P在β内的正投影为点A，过点A作AB⊥l，垂足为点B，点C∈l，BC＝22，P A＝23，点D∈β，且四边形ABCD满足∠BCD＋∠DAB＝π．若四面体P ACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．A BCDA1B1C1D1类型ⅠA BCDA1B1C1D1类型ⅡA BCDA1B1C1D1类型ⅢA BCDA1B1C1D1例外型【例2】已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为( )．A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π【变式练习1】在空间直角坐标系Oxyz 中，四面体ABCD 各顶点的坐标分别为A (2，2，1)，B (2，2，－1)，C (0，2， 1)，D (0，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A ．16πB ．12πC ．43πD ．6π【变式练习2】在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为32的正方形，AA 1＝3，E 是线段A 1B 1上一点， 若二面角A －BD －E 的正切值为3，则三棱锥A －A 1D 1E 外接球的表面积为________．2. 对棱相等模型对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决。
高考数学中的内切球和外接球问题
高考数学中的内切球和外接球问题一、 有关外接球的问题一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ，则该球的体积为.2、求长方体的外接球的有关问题例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1, 2, 3 ，则此球的表面积为. 例 4 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4， 体积为 16，则这个球的表面积为（ ）.A. 16B. 20C. 24D. 323.求多面体的外接球的有关问题例 5 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面8 周长为3 ，则这个球的体积为.解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有⎧6x = 3 ⎪ ⎧h = 3⎪ ⎨9 = 6 ⨯ 3 x 2h ⎨x = 1 ⎪⎩8 ⎩⎪ 2a 2 +b 2 +c 2 ∴正六棱柱的底面圆的半径r = 1 ，球心到底面的距离d =2 3 .∴2外接球的半径R = . 体积：V = 4R 3 . 3小结 本题是运用公式R 2 = r 2 + d 2 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例 5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是.例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 .故其外接球的表面积S = 4r 2 = 9.小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a , b , c ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体 的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R = 长方体。
. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a , b , c ，则体对角线长为l = ，几何体的外接球直径为2R 体对角线长l 即R =2r 2 + d 2a 2 +b 2 +c 2 a 2 + b 2 + c 2AO练习：在四面体 ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为1, 6,3 ，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
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几何体的外接球与内切球问题归纳
2020.9.10
课前测验：
1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．
2..正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60°角，则正三棱锥的外接球的体积为（）
A．4πB．16πC．D．
3.一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）
A．24πB．C．D．12π
4.已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，且两两垂直，△ABC是边长为2的正三角形，则球O的体积为（）
A．8πB．4πC．πD．π
5.在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′＝，AB＝2，则该正三棱柱外接球的表面积是（）A．7πB．C．D．8π
例1、在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝PC＝2，且P A，PB，PC两两互相垂直，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（）
A．4πB．8πC．16πD．2π
变式训练：已知三棱锥S﹣ABC，△ABC是直角三角形，其斜边，SC⊥平面ABC，SC＝6，则三棱锥的外接球的表面积为（）
A．144πB．72πC．100πD．64π
例2、已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC ＝，则球O的体积为（）
A．B．C．D．
变式训练：已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，SA＝AB ＝AC＝2，则球O的表面积为（）
A．4πB．C．20πD．36π
例3、已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的体积是（）A．16πB．C．64πD．
变式训练：已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为3
的正方形，则该球的表面积为（）
A．B．C．36πD．34π
例4、已知正三棱锥S﹣ABC的底面是面积为的正三角形，高为2，则其内切球的表面积为（）A．B．C．D．
变式训练：已知正三棱锥A﹣BCD中，底面边长BC为3，侧棱长AB为，求此正三棱锥的内切球的表面积为．
【课后练习】
1、已知某三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，若其外接球的表面积为，则该三棱柱的高为（）
A．B．3C．4D．
2、已知△ABC中，∠B＝90°，DC⊥平面ABC，AB＝4，BC＝5，CD＝3，则三棱锥D﹣ABC的外接球表面积为（）
A．B．25πC．50πD．
3、已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝3，∠BAC＝120°，AA1＝8，则球O的表面积为（）
A．25πB．πC．100πD．π
4、已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为π．
5、已知三棱锥P﹣ABC中，PB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，P A＝，AB＝BC＝1，则三棱锥P﹣ABC 的外接球的表面积为（）
A．12πB．6πC．24πD．
6、在三棱锥A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为的等边三角形，且平面ABC⊥平面BCD，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）
A．8πB．12πC．16πD．20π
7、在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝3，，平面SAC⊥平面BAC，则该四面体外接球的表面积为（）
A．8πB．12πC．16πD．24π
8、在三棱锥S﹣ABC中，SB＝SC＝AB＝BC＝AC＝2，侧面SBC与底面ABC垂直，则三棱锥S﹣ABC外接球的表面积是．
9、在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，若其外接球的表面积为12π，则SA＝（）
A．1B．2C．D．4
10、在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB＝AC＝BC＝3，SA＝2，则该四面体的外接球的半径为（）A．1B．C．2D．4。