晶体对称性与空间群表
晶体对称性
准 晶
晶体中只有1， 2，3，4，6 次旋转轴，没有 5次轴和大于6 次以上的轴，可 以直观的从只有正方形、长方形、正三角形、正六边形可以重复布满平面， 而 5 边形和 n (>6)边形不能布满平面空间来直观理解。因此固体中不可能存 在 5 次轴曾是大家的共识，然而1984年美国科学家Shechtman在急冷的铝 锰合金中发现了晶体学中禁戒的 20 面体具有的 5 次对称性，这是对传统晶 体观念的一次冲击。
晶体的宏观对称性的描述
原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同 的宏观对称性 概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换的 不变性 三维情况下，正交变换的表示:
x x ' a11 y y ' a 12 z z' a 13
−1 ������ = 0 0
0 0 −1 0 0 −1
0 0 −1
1 0 ������(������������) = 0 1 0 0 1 0 ������ = 0 1 0 0 0 0 1
像转操作(Rotary reflection):
������������������������ ������ ������ = ������������������������ 0
目前普遍的认识是：晶体的必要条件是其 构成原子的长程有序，而不是平移对称性， 具有 5 次对称性的准晶体(Quasicrystal) 就是属于原子有严格的位置有序，而无平 移对称性的晶体。它的图像可从二维 Penrose拼图中得到理解。实际是一种准 周期结构，是介于周期晶体和非晶玻璃之 间的一种新的物质形态—准晶态。
(3). 底心单斜
C2 , Cs , C2 h
晶体的对称性理论
7
2、反映面——反映 对称要素：反映面，符号：m 对称动作：反映， 符号：M 阶次：2 一个面不动，反映能使左右手重合，一次反映不 能使相等的图形重合 特点：两个等同图形中相应点连线⊥反映面
30
问题：八种宏观对称要素之间究竟存在着多少种组 合方式？即晶体的宏观对称类型有多少种呢？ 组合要符合如下条件： (1)对称要素间是相互作用的，两个对称要素相组 合，必然产生新的对称要素来； (2)对称要素间的组合不是任意的，需要满足： A- 参加组合的对称要素必须至少相交于一点。 这是因为晶体的外形是有限的、封闭的多 面体。 B- 晶体是一种点阵结构，对称要素的组合结果 不容许产生与点阵结构不相容的对称要素 来。(5、7····等)
5、反轴 == 旋转+倒反(点在线上)
对称要素：反轴， 符 号：n 复合对称动作：旋转+倒反 (点在线上)又称旋转倒反 阶 次： 如果旋转轴的轴次n是偶数，那么反轴的阶次=n 如果旋转轴的轴次n是奇数，那么反轴的阶次=2n 旋转倒反动作只能使左右手重合，不能使相等图 形重合。
11
12
6、螺旋轴-旋转+平移
21
(3)对称轴、反映面、对称中心、反轴，对应的对 称动作是点动作，在动作中至少有一点不动， 既存在于无限结构中，又存在于有限晶体外形 的结构中； 点阵、螺旋轴、滑移面，对应的对称动作 是空间动作，每一点都移动了只能存在于无限 结构中，而不能存在于有限晶体外形的结构 中。 旋转轴、螺旋轴→统称对称轴； 反映面、滑移面→统称对称面。
晶体结构的对称性从点阵到空间群1
晶体学中的对称操作元素
❖ 分子和晶体都是对称图像，是由若干个相等的部分或单元按 照一定的方式组成的。对称图像是一个能经过不改变其中任 何两点间距离的操作后复原的图像。这样的操作称为对称操 作。
为记为
组合成这种复合操作的每一个操作本身不一定 是对称操作。其矩阵表示为：
001
0 1 0
001csio0nsqq
sinq cosq
0
100
cs0ionsqq
sinq cosq
0
001
旋转反映轴--映轴
❖ 旋转反映轴，简称映轴(rotoreflection axis)，其对 称操作是先进行绕映轴的旋转操作(n)后立刻再对垂 直于该映轴的反映面进行反映操作m。符号为ñ (Sn)， 设对称轴沿[001]方向，其矩阵表示为：
❖ σ 在二个C2轴之间角平分线的一个垂直平面叫作双面镜面， d （ dihedral plane ）。
通过yz面的反映。
旋转倒反轴-反轴
❖ 旋转倒反轴，简称反轴 (Axis of inversion ， Rotoinversion axis)，其对称操作是先进行旋转操
n 作(n)后立_刻再进行倒反操作，这样的复合操作称
100
0 1 0
001csio0nsqq
sinq cosq
0
100
csio0nsqq
sinq cosq
0
001
旋转反映Sn
❖ 旋转反映 Sn，包括绕对称轴的逆时针 旋转360°/n，接着作垂直反射。
❖ 旋转反演和旋转反映（Improper rotation）被（译）称为异常旋转、非 真旋转、不当旋转等。
晶体的对称性
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
晶系
第一位
第二位
第三位
点群(32个）
可能对称 元素
三斜 1,`1 单斜 2,m,2/m 正交 2，m
方向 可能对称 元素
任意 无
Y无 X 2，m
方向 可能对称 元素
无 无 Y 2，m
方向 Z
1，`1 2,m,2/m 222,mm2,mmm
比如：单斜空间群Pm 仅有垂直于b轴的二个镜面。 一 个在y = 0，另一个在y = ½位置。
通过镜面操作，在x， y， z的原子 --〉在x， - y， z 第二个原子。如果我们安置原子在其中一个镜面(它的Y座标将
必须是0或½)，镜面反射操作就不会产生第二个原子。
Wyckoff位置 （2）
多重性（ multiplicity ）：告诉我们如果安置一个特定原子在该位置，经过空间 群的所有对称操作，总共会产生多少个原子。
P21/m, Imm2, Ccca, I422, P4/mmm, R3, P3212, P63mc, Fd-3, Im-3m 6. 什么是等效点系，特殊等效点系有什么特点？ 7. 什么是wyscoff 晶位，如何表示？ 8. 原子参数中的占有率指的是什么？ 9. 一般晶体结构数据描述中的Z值指的是什么？ 10.完整描述晶体结构的要素有哪些？
记号（ letter ）是从高对称性位置开始按英文字母顺序指定的位置标记。 对称（ symmetry ）告诉我们原子所在之处具有的对称元素。
Pm空间群的 Wyckoff位置
多重性 Wyckoff记号 点对称
坐标
2
c
1
(1) x， y， z
(2) x， - y， z
ssp-05-晶体的宏观对称性-2014
中心反演矩阵的行列式等于-1
—— 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1
不动也是一个操作
1 0 0 0 1 0 0 0 1
对称操作 —— 一个物体在某一个正交变换下保持不变
—— 物体的对称操作越多，其对称性越高
第5讲_晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
——
0 0 0 0 0 0 0 0 0
D 0E
—— 正四面体晶体上述结论亦然成立 —— 介电常数的论证和推导也适合于一切具有二阶张量形 式的宏观性质：如导电率、热导率……等
第5讲_晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
—— 六角对称晶体，将坐标轴取在 六角轴和垂直于六角轴的平面 内介电常数具有如下形式
在三维情况下，正交变换可以写成
x x ' a11 y y ' a 12 z z ' a 13
{aij }, i, j 1, 2, 3
a12 a22 a13
a13 x a23 y a33 z
B点转到B’点 —— B’点必有一个格点
A和B两点等价——以通过B点 的轴顺时针转过
A点转到A’点 —— A’点必有一个格点 且有 B ' A ' nAB — n为整数
第5讲_晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
B ' A ' nAB
B ' A ' AB(1 2cos )
1 2cos n
第五讲： 晶体的宏观对称性
1. 2. 3. 4. 晶体中的基本宏观对称操作 晶体中的32个点群 晶体中的空间群（73点空间群，157复杂空间群） 晶体表面的几何结构
材料分析方法-李晓娜-3 微观对称性-空间群-实际晶体结构
Cu3Au, simple cubic
36
常用晶体学手册及软件介绍
1. 晶体学手册-Pearson’s Handbook （皮尔森手册）介绍
37
2. CaRIne Crystallography 程序简介
3. 晶体结构立体模型 建构软件-Diamond
常用的晶体学软件还有Mercury，Chemdraw，Olex，Atoms……等等，
4
螺旋轴： 旋转+平移
5
6
对称变 换中所 有的轴 对称素
7
滑移面
反映+平移
滑移面可以垂直纸面放置，如左图中虚线表示垂直于纸面的b滑移面的投
影，也可以平行于纸面放置或直接与纸面重合，如右图中右上角的标记表示
n滑移面与纸面重合，所以在图中起始在纸面上方的点，滑移一次后到纸面
下方，用点旁边的正负号分别表示其在纸面上或下，也可由空心圆圈中的点
从高到低用字母a、b、c、d、e、f等表示，称其为乌科夫（
Wyckoff）符号。具有同一个乌科夫符号的位置，属于同一 个等效点系。同乌科夫符号在一起的数字就是它所代表的等 效点系的点数，也就是由空间群对称性联系起来的对称相关 位置数。
17
晶体对称性小结
晶体宏观对称要素：5个旋转轴，5个旋转反轴
按规定组合在一点
40
2. 画出四种平面点阵（它是无限大的）除平移外的所有对称 元素及其所在位置（在有限个阵点画出就可以了）。
41
42
3. 某正交晶系单胞中，在如下位置有单原子存在：①(0, 1/2, 0)，(1/2, 0, 1/2)两种位置都是同类原子；②([1/2, 0,0])， (0, 1/2, 1/2)上是A 原子，(0, 0, 1/2)，(1/2, 1/2, 0)是B 原子。 问上两种晶胞各属于哪一种布喇菲点阵？
第一章 晶体的对称性
第一章晶体的对称性§1-1 晶体内部结构的周期性---点阵与晶格大家都知道晶体内部原子(分子、离子和原子团等，以后称质点)的排列是规则的，具有一定的周期性，这是晶体的主要特点。
不同晶体中的质点在空间中的排列规律是不同的，有许多种排列方式。
因此，在对晶体进行研究时，为了归类方便，常将构成晶体的实际质点抽象成纯粹的几何点，并称之为阵点。
这样的阵点在空间中周期性规则排列并有相同的周围环境。
这种阵点的空间排列就称为空间点阵，或晶体点阵，也称布拉法格子，简称点阵或晶格，共有14种。
§1-2 晶体的宏观对称性---点对称操作晶体内部结构不仅具有周期性，还具有比较复杂的对称性。
实际上，晶体宏观性质和外形的对称性都是其内部结构对称性的反映，与其有着密切关系。
应该说，人们最初认识晶体，是从它们丰富多彩又有规则的外部形状开始的，后来才逐步认识到，晶体外形上的规则性及其宏观性质的对称性，是与其内部微观结构的对称性密切相关的。
在本节及以下几节中，通过对晶体的宏观对称性的描述，引进群的初步概念，给出晶体的32个点群，并依据晶体对称性特征，区分晶类和晶系。
1．晶体的宏观对称性。
晶体外形上（宏观上）的规律性，突出表现在晶面的对称排列上。
如：把立方体的岩盐晶体绕其中心轴每转900后，晶体自身就会重合，而把六面柱体的石英晶体绕其柱轴每转600后，晶体亦会自身重合。
这里提到的绕轴转动称旋转操作，是一种点对称操作。
通常把经过某种点对称操作后晶体自身重合的性质称为晶体的宏观对称性。
描述晶体宏观对称性的方法，就是列举使其自身重合的所有点对称操作。
为了明确对称性和对称操作的概念，先给出以下概念：●相等图形。
如花瓣。
●等同图形。
如左右手。
相等图形属于等同图形，但等同图形不一定是相等图形。
●对称图形。
由两个或两个以上的等同图形构成的并在空间有规律排列的图形称对称图形。
2．对称性。
对称图形中各等同部分在空间排列的特殊规律性称对称性。
晶体的微观对称性
对称动作只有点动作
无限的晶体结构中的对称性
实际存在的、本质的
不仅考虑方向，还考虑对称元 素的相互位置关系 对称元素不须交于一点，在三 维空间无限分布 包括点动作与空间动作
点阵（平移轴）：对应的对称操作为平移。
点阵反映了晶体结构的周期性，这种周期性也就是点阵的平 移复原的特性。对于点阵，连接任意两个阵点的位置矢量： R = ma + nb + pc，进行平移可以使点阵复原，表现在晶体 结构上就是使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复。R 可以定义为晶体微观结构平移的方向矢量。
推论：两个平行滑移面的连续操作相当于一个平移对称操作，并 且该平移对称操作垂直于滑移面的分量也是一个平移对称操作。
NaCl结构沿c方向的投影
定理二：平移T及垂直于平移的反映面的连续操作相 当于与该反映面相距T /2处的一个反映面的反映操作。
推论：平移T及垂直于平移的滑移面的连续操作相当于与该 反映面相距T /2处的一个滑移面的反映平移复合操作。
• 布拉威法则： 1、划分出来的平行六面体单位必须充分地反映晶体的固
有对称性。
2、在不违背晶体固有对称性的条件下，平行六面体单位 的棱间直角数尽量多。
3、在满足条件1和2的前提下，平行六面体单位的体积 应为最小。
• 十四种空间格子 1）三斜格子：P 点阵点群：Ci 晶格参数：abc, 90o
• 点阵格子的对称性（点阵点群）
三斜格子：Ci / C 单斜格子：C2h / L2 PC 正交格子：D2h / 3L2 3PC 四方格子：D4h / L4 4L2 5PC 三方格子：D3d / L3 3L2 3PC 六方格子：D6h / L6 6L2 7PC 立方格子：Oh / 3L4 4L3 6L2 9PC 属于某一晶系的晶体，其点阵格子具有该晶系全对称 类型的对称性。
结晶学晶体的对称性第二章
! ! a +b 对角滑移 2
+
，−
! ! b +c 对角滑移 2
，1 + 2
+
+
+
，1 + 2
+
+
+
+
! ! ! ! ! ! a +b b +c c +a ½对角滑移滑移：m × ( , ) 2 2 2
! ! a+c 对角滑移 2
+
，
1 2
+
，
1 2
+
+
+
+
! ! ! ! ! ! ! ! ! a +b b +c c +a a +b +c ¼对角滑移： m× ( , , ) 4 4 4 4 ! ! a +b 对角滑移 4
F→I→B
正交
mmm
a ≠ b ≠ c,α = β = γ = 90o
C→P 不正交，不反映对称性
F
I
三维布拉菲群共有14种，分为七个晶系：
晶系 三斜 单斜 种类 简单三斜 简单单斜 侧心单斜 简单正交 正交 底心正交 体心正交 面心正交 四方 三角 六角 立方 简单四方 体心四方 简单三角* 简单六角 简单立方 体心立方 面心立方 符号 晶胞特征
! c
+
! c 3
+
41螺旋轴
3 4
+
1 2
+
! c
! c 4
+
1 4
+
4次轴存在四方晶系的主轴方向，以及立方晶系
晶体与空间群概述
aP
m
单斜
abc
90
mP,mC
o 正交 a bc 90 oP,oC,oI,oF
t 四方 a bc 90 tP,tI
h
a b, 120
三方
90 a bc
hP hR
六方
a b, 120 90
hP
c 立方 a bc 90 cP,cI,cF
简单、体心、 侧心和面心。
晶体学点群符号
Schonflies符号 国际符号 极射赤面投影图
Schonflies符号
Arthur Schönflies was a student at the University of Berlin from 1870 to 1875. He obtained a doctorate from Berlin in Arthur Moritz 1877 and the following Schönflies year he obtained a post as (1853.4.17— a teacher at a school in 1928.5.27) Berlin.
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
不对称单元
在空间群的对称操作作用下，可以
产出晶胞中全部原子的最少数目的原子 或原子团，就叫不对称单元（asymmetric unit）或不对称单位，也叫晶体学独立单 元（crystallographic independent unit）。 在《国际表》A卷[2]中每个空间群都列 出晶胞中各种元素的情况。
c
晶体结构和对称性
晶体宏观对称性受到的限制
晶体中的对称轴(包括旋转轴,反轴和螺旋轴)的轴次n并不 是可以有任意多重，n仅为1,2,3,4,6，即在晶体结构中， 任何对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重、二重、三重、 四重和六重这五种，不可能有五重和七重及更高的其它轴 次，这一原理称为“晶体的对称性定律”。
其对称操作是旋转反映。
sˆncˆnˆh
在晶体中反轴 n ，对应的操
作是先绕轴旋转 2P n，再过 轴的中心进行倒反。
L()I ＝ L() ● I
由此可知，n 与Sn都属于复合对称操作，且都由旋转与另
一相连的操作组合而成。
关于旋转反映轴与反轴的说明
❖ 用映轴表示的对称操作都可以用反轴表示，所以在新的晶体 学国际表中只用反轴。
(1)晶体多面体外形是有限图形，故对称元素组合时必通 过质心，即通过一个公共点。
(2)任何对称元素组合的结果不允许产生与点阵结构不相 容的对称元素，如5、7、…。
晶体宏观对称元素的组合
组合程序：
（1）组合时先进行对称轴与对称轴的组合， （2）再在此基础上进行对称轴与对称面的组合， （3）最后为对称轴、对称面与对称中心的组合。
格子。空间格子一定是平行六面体。
顶点的阵点，对每单位贡献1/8； 边上的阵点，对每单位贡献1/4； 面上的阵点，对每单位的献1/2； 六面体内的阵点，对每单位贡献1。
空间点阵与正当空间格子
C 空间点阵
空间点阵对应的平移群
T m n p m a n b p cm , n ,p = 0 , 1 , 2 ,
晶体对称性与空间群表
晶体对称性与空间群表表3.1.七个晶系三斜 triclinic a≠b ≠c; α≠β≠γ单斜 monoclinic a≠ b≠ c; α = γ = 90º,β≠ 90º正交 orthorhombic a≠b≠c; α= β = γ = 90º四方 tetragonal a = b≠c; α = β = γ = 90º六方 hexagonal a = b≠c;α = β = 90º, γ = 120º三方 trigonal a = b = c; α=β= γ≠ 90º立方 cubic a = b = c; α= β= γ= 90º注释：表中“≠”仅指不需要等于。
表3.2.七个晶系的特征对称元素晶系特征对称元素三斜无单斜一个二次对称轴或对称面正交三个互相垂直的二次对称轴或两个互相垂直的对称面四方有一个四次对称轴六方有一个六次对称轴三方有一个三次对称轴立方四个立方体对角线上有三次轴注：对称轴包括旋转、螺旋轴；对称面包括镜面和滑移面。
cP cFcI图3.5.14种Bravais晶格。
aP = 三斜（triclinic）, mP = 简单单斜（monoclinic primitive）, mC = 底心单斜（monoclinic C-centered），oP = 简单正交（orthorombic primitive），oC = C 底心正交（orthorombic C-centered，取轴方法不同，可以相当于A心底），oI = 体心正交（orthorombic body-centered），oF = 面心正交（orthorombic face-centered），tP = 简单四方（tetragonal primitive），tI = 体心四方（tetragonal body-centered），hP = 简单三方或六方（trigonal or hexagonal primitive），hR = 菱面体、按六方取晶胞（Rhombohedral hexagonal setting），cP = 简单立方（cubic primitive），cI = 体心立方（cubic body-centered），cF = 面心立方（cubic face-centered）。
晶体结构2
见黄昆书30页
三. 晶体宏观对称性的表述:点群: 晶体中只有 8 种独立的对称元素:
C1 (1),C2 (2),C3 (3),C4 (4),C6 (6),Ci (i),σ(m)和 S3 (4) σ 4
实际晶体的对称性就是由以上八种独立点对称元素 的各种可能组合之一,由对称元素组合成对称操作群 时,对称轴之间的夹角,对称轴的数目,都会受到严 格的限制,例如,若有两个2重轴,它们之间的夹角只 可能是 300 , 450 ,600 ,900 ,可以证明总共只能有 种不同 总共只能有32种不同 总共只能有 的组合方式, 种点群.形形色色的晶体就宏观 的组合方式,称为 32 种点群 对称性而言,总共只有这 32 种类型,每种晶体一定属 于这 32 种点群之一,这是对晶体按对称性特点进行的 第一步分类.
C2 (2)
C3 (3)
C4 (4)
C6 (6)
σ (m)
Ci (i)
S (6)
5 3
S (4)
3 4
S (3)
5 6
旋转-反演轴的对称操作:
1次反轴为对称中心;2次反轴为对称面; 3次反轴为3次轴加对称中心
旋转-反演轴的对称操作:
6次反轴为3次轴加对称面;4次反轴可以独立存在.
晶体中只有 2,3,4,6 次 旋转轴,没有 5次轴和大于 6 次以上的轴,可以直观的 从只有正方形,长方形,正 三角形,正六边形可以重复 布满平面,而 5 边形和 n (>6)边形不能布满平面空间 来直观理解.因此固体中不 可能存在 5 次轴曾是大家的 共识,然而1984年美国科学 家Shechtman在急冷的铝锰 合金中发现了晶体学中禁戒 的 20 面体具有的 5 次对称 性,这是对传统晶体观念的 一次冲击.
晶体学基础4
六，空间群国际表
查表 软件
空间群国际表给出的资料
简短国际符号，熊氏符号，点群，晶系 空间群序号，完整国际符号，帕特森对称性 空间群图示 原点的位置对称性 给出一个非对称性单元 空间群的基本对称操作
标题符号的继续 母操作 晶胞中一般点和特殊点的位置对称性 特定投影的对称性 子群的资料 超群的资料
《材料微结构及测试》
第一章 晶体学
晶体学基础（四）
1.7 晶体的微观对称性
一，微观对称要素：
• （1）平移是一切 点阵都具有的对称 动作，它所具有的 对称元素是点阵本 身。
（2）螺旋轴：
21螺旋轴：
21[0 0 1]
21[0 0 1]
21[1 0 0]
21[0 1 0]
21[0 1 0]
21[1 0 0]
31[0 0 1]
32[0 0 1]
41螺旋轴； 42螺旋轴； 43螺旋轴；
• 61
的概念
三，空间群的概念
能使晶体结构（无限图形）复原的所有对称变换之集合。 晶体结构中所有对称要素之集合叫空间群。
描述空间群的两种方法：
四，空间群简介 举例：空间群pmm2的图解
b m m a
2 c
同理还可导出：
P222 pmmm
举例：空间群 Cmm2的图解
同理还可导出：C222，Cmmm 同样的方法将I和F点阵与三个正交点群结合，又可导出 另外一些正交晶系的空间群。
73种点式空间群： 157种非点式空间群：
空间群P41
空间群P42
空间群P43
五，等效点系 一般等效点系：
晶体学中的对称群 课堂笔记 复习资料(完整版)
{
}
基 本 定 义
a 所得的变换，或 y 是 x 的共轭操作。
（1）共轭是相互的 （2）共轭是可以传递的。 PS：此 x 为对称操作，eg：镜面操作，旋转操作。 写为 [Y ] = a [ X ] 时，此 [ X ] 为对称元素，eg：转轴，镜面 一般来说， 如果某客体 （晶体） 具有若干个同种类的对称元素 （如点群 3m 中的三张互成 120° 的镜面） ，而且该客体的对称操作群 G 中存在着使这些对称元素相互重合的对称操作（如点 ，我们就称这些对称元素相互共轭。 “对称元素”是转轴、镜 群 3m 中的 3+ [001] 和 3− [001] ） 面等几何元素。而不是对称群的元素，对称群的群元是对称操作。 共轭类： （P55）在群 G 中任取一元素 y ，用群 G 中所有的元素对 y 进行变换，找出一切与
1 4
1 4
（5） 滑移反映： 一般可用字母 g 表示， 平移的滑移分量写在括号内， 随后是滑移面的位置。 滑移反映用 a, b, c, n, d 表示时，不必写出滑移分量 eg： g
几 何 符 号
1 1 1 1 1 1 1 , , x − , x, z ，即滑移分量 , , ，滑移面垂直于 [110] 方向，过 4 4 4 2 4 4 2
第二章 二维晶体学
平面点群：10 个—— 1, 2,3, 4, 6, m, 2mm,3m, 4mm, 6mm ，P33 图 2-2，P34 表 2-1 平面点阵：5 个——斜交点阵（mp） ，正交点阵（tp） ，六角点阵（hp） ，简单矩形点阵（op） ， c 心矩形点阵（oc） ，P35 图 2-3 平面晶系：4 个——斜交，矩形，正方，六角，P36 表 2-2 初基单胞：只含一个阵点； 非初基晶胞：含不止一个阵点； 惯用晶胞：能充分反映点阵的对称性的单胞。 平面群：17 个二维空间群：P39 表 2-3 把每一个平面点群和它相协调的每一个平面点阵组合起来， 即让该点阵的阵点所代表的 图像单元具有该点阵的对称性，或具有把该点群中的镜线 m 换成滑移线 g 之后的对称性， 得到 17 个平面群。 平面群的 HM 完全符号第一个字母（p 或 c）表示点阵是否有心，字母后的第一位数字 表示沿 c 方向的对称元素，第二、三位的符号分别表示沿平面上两类不同方向的对称元素。
04_10_晶体能带的对称性
2 的状态中是相 ( x ) e [ e a i 2 n x a
in
2 x a
u
k n
2 a
( x )]
可以证明 e
u
2 k n a
( x ) uk ( x ) ——
2 k n a
( x ) eikx uk ( x ) k ( x ) 2 的状态中是相同的 a
固体物理讲义_第四章 能带理论
04_10 晶体能带的对称性
1 空间群操作与算符 空间群 —— 由晶体的全部对称操作构成 简单空间群的表示： ( tl1l2l3 ) —— 点群对称操作和平移对称操作
tl1l2 l3 l1a1 l2 a2 l3a3 —— 平移晶格矢量：平移对称操作 复杂空间群的表示： ( tl1l2 l3 a ) —— 点群对称操作和平移操作 a —— 表示晶格小位移，不是晶格矢量 ( R l1a1 l2 a2 l3a3 ) 位移
结果表明在波矢 k 的状态中所观察到的物理量与在波矢 k k n 即 E (k ) E (k n
2 ) a
2) 点群对称操作对电子态的影响 引入描述点群对称操作的算符 T ( ) 对于任意函数有： T ( ) f ( r ) f ( r )
1
1 —— 的逆操作，物理意义是点 1r 经过 操作后，变换到 r 点
p 带 点波函数
m
s T ( ) s ( 1r Rm ) —— 对所有格点求和 T ( ) s [ 1 ( r Rm )] —— 原子 s 波函数具有球对称性，波函数在旋转、反演后保持不变
晶体的对称性讲解
7个晶系和32种晶体学点群的划分
对称 晶 特征对
点
群
性的 高低 系
称元素
晶胞类型
序 熊夫里 号 斯记号 国际记号
对称元素
三
斜
无
单 2 或m
斜
abc
1 c1
1
90 2 ci
abc
3 c2
c 4
s
1
i
2
2
mm
c 90 5
2h
2/m
2, m,i
低 正 两个互相垂 直的m或三
交 个互相垂的
晶体点群的记号
晶系
立方 Cubic 六方 hexagonal 四方 tetragonal 三方 rhombohetron 正交 orthorhombic 单斜 monoclinic 三斜 anorthic
1
a c c a＋b＋c a b
2
a＋b＋c a a a－b b ――
3
a＋b 2a＋b a＋b ―― c ――
晶体的32种对称类型32种点群符号符号的意义对称类型数目cnn度旋转对称轴c1c2c3c4c65ci对称心icis21cs对称面mcs1cnhn度轴与轴垂直的水平对称面c2hc3hc4hc6h4cnvn度轴通过该轴的铅垂对称面c2vc3vc4vc6v4dnn度轴n个与之垂直的2度轴d2d3d4d64符号符号的意义对称类型数目dnhdn与轴垂直的水平对称面d2hd3hd4hd6h4dnddn平分两个2度轴间夹角的对称面d2dd4d2sn经n度旋转后经垂直该轴的平面的镜像c3is6c4is42t4个3度轴3个2度轴t1thh与前面相同th1tdd与前面相同td1符号符号的意义对称类型数目o3个相互垂直的4度轴6个2度轴4个3度轴o1ohh与前面相同oh1总共32如果考虑平移还有两种情况即螺旋轴和滑移反映面
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晶体对称性与空间群表
表3.1.七个晶系
三斜 triclinic a≠b ≠c; α≠β≠γ
单斜 monoclinic a≠ b≠ c; α = γ = 90º,β≠ 90º
正交 orthorhombic a≠b≠c; α= β = γ = 90º
四方 tetragonal a = b≠c; α = β = γ = 90º
六方 hexagonal a = b≠c;α = β = 90º, γ = 120º
三方 trigonal a = b = c; α=β= γ≠ 90º
立方 cubic a = b = c; α= β= γ= 90º
注释：表中“≠”仅指不需要等于。
表3.2.七个晶系的特征对称元素
晶系特征对称元素
三斜无
单斜一个二次对称轴或对称面
正交三个互相垂直的二次对称轴或两个互相垂直的对称面四方有一个四次对称轴
六方有一个六次对称轴
三方有一个三次对称轴
立方四个立方体对角线上有三次轴
注：对称轴包括旋转、螺旋轴；对称面包括镜面和滑移面。
cP cF
cI
图3.5.14种Bravais晶格。
aP = 三斜（triclinic）, mP = 简单单斜（monoclinic primitive）, mC = 底心单斜（monoclinic C-centered），oP = 简单正交（orthorombic primitive），oC = C 底心正交（orthorombic C-centered，取轴方法不同，可以相当于A心底），oI = 体心正交（orthorombic body-centered），oF = 面心正交（orthorombic face-centered），tP = 简单四方（tetragonal primitive），tI = 体心四方（tetragonal body-centered），hP = 简单三方或六方（trigonal or hexagonal primitive），hR = 菱面体、按六方取晶胞（Rhombohedral hexagonal setting），cP = 简单立方（cubic primitive），cI = 体心立方（cubic body-centered），cF = 面
心立方（cubic face-centered）。
表3.3. 重要对称元素的书写与图形记号
表3.4. 32个点群和230个空间群
注：表中手性、非心、中心分别指该空间群属于手性、非中心对称或中心对称空间群。
星号表示该空间群可以由系统消光规律唯一确定。
表3.5. 各晶系空间群国际记号中三个位置代表的方向
位置所代表的方向
晶系
1 2 3
三斜 triclinic — — —
单斜 monoclinic b — —
正交 orthorhombic a b c
四方 tetragonal c a (110)
六方 hexagonal c a (210)
三方 trigonal c a (210)
立方 cubic c (111) (110)
表3.6. 系统消光的条件
衍射指
消光条件对称元素备注
标类型
hkl
无P
h + k + l ≠2n I格子
h + k ≠2n C格子
k + l ≠2n A格子
h + l ≠2n B格子
-h + k + l ≠3n R格子三方按六方指标化
h - k + l ≠3n R格子六方按三方指标化
0kl
k ≠2n b⊥a
l ≠2n c⊥a
k + l ≠2n n⊥a
k + l ≠4n d⊥a仅存在于F格子h0l
h ≠2n a⊥b
l ≠2n c⊥b
k + l ≠2n n⊥b
k + l ≠4n d⊥b仅存在于F格子
h ≠2n a⊥c
hk0
k ≠2n b⊥c
k + l ≠2n n⊥c
k + l ≠4n d⊥c
hhl
c⊥ [110] 四方、立方
l ≠2n
c⊥ [120] 三方
2h + l ≠4n d⊥ [110] 四方、立方I hhl l ≠2n c⊥a三方、六方
h00
h ≠2n 21//a
h ≠4n 41,43//a立方
0k0
k ≠2n 21//b
h ≠4n 41,43//b立方
00l
l ≠2n 21,42,63//c
l ≠3n 31,32,62,64//c三方、六方
l≠4n 41,43//c四方、立方
l≠6n 61,65//c六方。