三维空间转动变换 李群的基本概念
李群和李代数 直接法 特征点法 相机位姿
序1. 概述李裙和李代数是计算机视觉和机器人领域中重要的数学工具，它们在相机位姿估计中扮演着重要的角色。
本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨李裙和李代数在相机位姿估计中的应用，包括直接法和特征点法。
通过本文的阅读，读者将对这些概念有一个更深入的理解。
2. 李裙和李代数简介在计算机视觉和机器人领域，李裙和李代数被广泛应用于描述运动学和动力学变换。
李裙是具有裙结构和光滑流形结构的空间，而李代数则是描述李裙附近的局部性质的代数结构。
通过对李裙和李代数的理解，我们可以更好地描述物体在三维空间中的运动状态。
3. 相机位姿估计相机位姿估计是计算机视觉中的一个重要问题，它涉及确定相机的位置和方向。
在现实世界中，由于环境的复杂性，相机位姿估计往往是一个具有挑战性的任务。
李裙和李代数为解决这一问题提供了有力的数学工具。
4. 直接法直接法是一种相机位姿估计方法，它通过直接比较图像像素之间的亮度值来估计相机的运动。
这种方法不需要特征点的匹配，因此对环境的要求较低。
在直接法中，我们可以利用李裙和李代数来描述相机的运动变换，从而实现对相机位姿的精确估计。
5. 特征点法特征点法是另一种常用的相机位姿估计方法，它通过检测图像中的特征点，并利用这些特征点在不同图像间的对应关系来估计相机的位姿。
在特征点法中，李裙和李代数同样扮演着重要的作用，它们可以帮助我们更准确地描述相机的运动状态。
6. 总结与展望通过本文的介绍，读者对李裙和李代数在相机位姿估计中的应用有了一定的了解。
这些数学工具为相机位姿估计提供了强大的支持，使我们能够更准确地捕捉相机的运动状态。
未来，随着计算机视觉和机器人技术的发展，相信李裙和李代数的应用将会更加广泛，并为更多领域带来前所未有的变革。
7. 个人观点与理解作为一个研究计算机视觉和机器人的专业人士，我深切理解李裙和李代数在相机位姿估计中的重要性。
它们不仅为我们提供了丰富的数学工具，还促进了这一领域的技术进步。
我相信随着李裙和李代数理论的不断深化，相机位姿估计技术将会取得更大的突破，为智能机器人和自动驾驶等领域带来更多的便利和效益。
3.2李群的基本概念
因此，若在群空间中，代表元素R的点与
E
代表恒元E的点可以通过一条完全在群空间 R
内的连续曲线相连结，则R可表示为无穷多个
无202穷0/2/6小元素的乘积
(2) 群元素 简单李群：群元素可表示为无穷多个无穷小元素的乘积
混合李群：除无穷小元素外，还需在群空间每一个连续片 给出一个特殊元素（包括恒元），它们的乘积才能表示出 任意群元素
(A)ax (x) j 0xa
引入g个微量微分算符，它们线性无关
I(j0) i
a
(Ax)a j 0 xa
g
PA(x)(x)i jI(j0)(x) j1
这样 李群中无穷多个无穷小元素对标量函数的作用 就 可以用g个微量微分算符I(0)j完全描写
A(α) A,B是无穷小元素，但不一定很小， B(β) 参数α,β是无穷小量
李群无穷小元素的性质决定了李群的局域性质
2020/2/6
2. 局域性质 ➢无穷小元素与任意元素R的乘积，是R的邻近元素
乘积的参数在元素R参数的邻域中
➢R的邻近元素和R-1相乘，得到无穷小元素
➢粗略地说，无穷多个无穷小元素相继乘到群元素上，在 群空间表现为 由元素R对应点出发的一条连续曲线
2020/2/6
二、李群的局域(Local)性质
1. 邻近元素 在群空间中，邻近的点对应的元素为邻近元素
无穷小元素 因常把恒元的参数选为零，恒元邻近的元素，参数是无 穷小量，称为无穷小元素 注意：不要把无穷小元素看成是一个很小的元素
无穷小量是一个极限过程 无穷小元素与群元素的微分运算相联系
E(e)
空间是连通的 简单连续群：群空间是连通的连续群
B A
如 SO(3)群，又称简单李群
三维李代数分类
三维李代数分类
三维李代数中的分类与李代数的结构有关。
在三维李代数中，最基本的结构是由两个基本元素构成的，一个是“幺元”，另一个是“结构常数矩阵”。
根据结构常数矩阵的不同，可以将三维李代数分类为以下四种类型。
1. 旋转群
在三维李代数中，旋转群是最简单的一种类型，它的结构常数矩阵满足反对称性。
旋转群包含三个元素：一个幺元、一个矩阵形式的反演元素和一组旋转矩阵。
旋转矩阵被用于描述物体在三维空间中的旋转。
2. 声子群
在三维李代数中，声子群是描述晶体的振动的一类群。
它的结构常数矩阵是以矩阵形式表示的，包含离散的元素，由此构成了一个离散的群。
声子群在物质研究领域中有广泛的应用。
3. 轴反演群
与旋转群相似，轴反演群也包含三个元素：一个幺元、一个轴反演元素和一组轴反演操作矩阵。
这个群的结构常数矩阵是对称的，并且具有一种“对合”性质。
轴反演群涉及到的研究范围包括物理、化学、数学等多个领域。
4. 洛伦兹群
洛伦兹群是描述四维时空的李代数，包括多种不同的特殊情况，其结
1/ 2
构常数矩阵是具有对称性的。
洛伦兹群在相对论物理、粒子物理等领域中有广泛的应用。
2/ 2。
三维旋转群SO(3)
采用欧勒角描述SO(3)群的转动时，其转动方
式如下： (1) 先将坐标系绕z轴转 角，这时矢量 r 变
为 rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ，其矩阵形式为：
其中
r Rz ()r
( 1)
cos sin 0
Rz () sin cos 0
0
0 1
(2) 接着绕新坐标系的 y 轴转 角，变矢量 r 为 r，其矩阵形式为：
下面我们来证明，这个对应关系是同态的. 设
U SU(2) RU SO(3)
V SU(2) RV SO(3)
( 8)
UV SU(2) RUV SO(3)
现在要证明的是 RUV RURV ，即两元素乘积的映射等于 两元素映射的乘积.
由前面的(2)、(3)、(4)与(6)式得
M
(3)式
VMV
( 2)式
V
r
V
( 4)式
r (6)式
(R
V
r)
(9) 11
两边用U与U 作用得
UVMV U UVM (UV)
(9)式
Ur U
( 9)式
(RUr ) r RV r
(R
UR
V
r)
sin 1 2
sin 1 2
cos 1 2
e
i
2
0
0
e
i
2
15
亦即
i e 2
cos
1
U(, , )
i
e2
2 sin 1
2
群论-三维转动群
物理学中的群论——三维转动群主讲翦知渐群论-三维转动群第四章三维转动群三维转动群的表示4.1 维转动群的表示§拓扑群和李群42§4.2轴转动群SO (2)§4.3 三维转动群SO (3)§4.4二维特殊幺正群SU (2)§4.1拓扑群和李群连续群的基本概念1拓扑群无限群分为分立无限群和连续无限群有关有限群的理论对于分立无限群来说几乎全部成立定义4.1 连续群的维数, a2, …, a n所标明连续群G的元素由一组实参数a1其中至少有一个参数在某一区域上连续变化，且该组参数对标明群的所有元素是必需的而且足够的则该组参数中连续参数的个数l 称为连续群的维数。
在具体的群中，参数的取法可能不唯一例子如下的线性变换T(a,b)x'= T(a,b)x = ax +b,a,b∈(-∞,+∞), a≠0构成的集合，定义其上的乘法为：T(a1,b1)T(a2,b2)x = T(a1a2, a1b2+b1)x，b b T封闭律是显然的逆元素为T-1(a,b) = T(1/a, -b/a) ，单位元是T(1,0)结合律也容易证明因此{T(a,b)}构成个连续群。
构成一个连续群。
由于群元素的连续性质，需要在群中引入拓扑由于群元素的连续性质需要在群中引入简单说拓扑是个集子集族简单地说，拓扑是一个集合以及它的子集族拓扑学研究的是某个对象在连续变形下不变的性质为简单起见，我们仅讨论其元素可与l 维实内积空间的某个子有对应关系的群有一一对应关系的群集Sl该子集称为参数空间定义4.2 拓扑群群元的乘法法则和取逆法则在群的所有元素处都连续的群，称为拓扑群定义4.3 简单群和混合群拓扑群G的任意两个元素x1和x2在参数空间中如果能用一条或者多条道路连接（道路连通），则该群的参数空间是连通的，该群称为连通群或简单群。
若群的参数空间形成不相连结的若干片，则该群称为混合群。
前者如三维转动群SO(3)，后者如三维实正交群O(3)。
群论-4 三维转动群
1 连续群的定义
连续群G的元素由一组实参数a1, a2, …, an 确定 ——该组参数对标明群的所有元素是必需的而且足够的
其中至少有一个参数在某一区域上连续变化
该组参数中连续参数的个数 l 称为连续群的维数 在具体的群中，参数的取法可能不唯一
群论-三维转动群-拓扑群和李群
返回
例：定义线性变换T(a, b)为 x'= T(a, b)x = ax +b, a, b∈(-∞,+∞), a ≠ 0 ——x为实数轴上的点
而两个变换的乘积为：
T(a1,b1)T(a2,b2)x = T(a1a2, a1b2+b1)x ——先做后一个变换，再做前一个变换
所有这样的线性变换{T(a, b)}构成一个连续群
封闭律：显然
单位元：T(1,0) 逆元素：T-1(a, b) = T(1/a, -b/a) ， 结合律：易证
{T(a, b)}构成一个二维连续群
任一连续表示都有等价的幺正表示； 任一幺正表示都是完全可约的； 不可约表示都是有限维的。
群论-三维转动群-拓扑群和李群
返回
3 李群的生成元
设李群G的单位元为e ≡ e( 0, 0,…,0 )——参数均取为0
其邻域的元素x(0,…εj,…,0)精确到一级近似可写为：
x(0,…εj,…,0) ≈ e(0,…,0) + i εj Ij (0,…,0)，
Ij 称为微分微量算符，可由求极限得到：
I j
lim
ε j 0
1
iε j
[x
0,,ε j ,, 0
e 0,, 0]
引入虚数i 的原因：使得 Ij 是厄密算符
这l 个算符 Ij (1 ≤ j ≤ l) 只需定义在单位元附近，它们决定了李 群的全部性质
第一章 李群的概要_2
令 iJ z , 则 J z i ( x
y x 这是角动量Z分量算符（ħ =1）
y
)
ex.3 x1 1 x1 2 x2 f 1 ( x1 x2 a ); x2 3 x1 4 x2 f 2 ( x1 x2 a )
单位元：1= 4=1, 2= 3=0 在此附近展开
r
ˆ 当并不很小时而很大时。 P 此算子使g(0)变到g(/N) r 在 点上 g g 0 i i g 0 群空间
N
k 1
N
i 1
N
2 g g N N
r i g 0 i g N N i 1
a * b b * a
（有三个独立参量，a,b是复数） a,b很小
1 2 1 2 2 u i v 1 3 2 i
b 1 a g a , b I ( a , b ) * b 1 a*
∴
i i 1 u du u 3u 2 1 v f u u , v , 1 , 2 , 3 2 2 2
i i 1 v dv v 2 1 u 3 v f v u , v, 1 , 2 , 3 2 2 2 f u i u u1 v 1 { } 0 2
定轴转动
0 1 无穷小生成元 dg 0 1 0 d 1 0 0 g e 0 1 0 令 ，则
N
三维旋转群SO(3)
本章将讨论物理上常用的一种李群三维旋转群 SO(3). 旋转群在物理学的应用中占有十分重要的地位. 它不仅是描述物理系统在普通坐标空间中各向同性的 对称群，也是处理物理系统内部对称性的有用工具. 本章我们将介绍三维旋转群SO(3)的基本知识.
§5.1 三维旋转群SO(3)
r R z ()R y ()R z ( )r R(, , )r
其中
R(, , ) R z ()R y ()R z ( ) cos sin 0 cos 0 sin cos sin 0 sin cos 0 0 1 0 sin cos 0 0 sin 0 cos 0 0 1 0 1
(1)
(2) 接着绕新坐标系的 为 r ，其矩阵形式为： r R y (2)
2
显然
R y () Rz ()R y ()Rz ()
1
(3)
这样绕新坐标系 y 轴的转动，变成绕原坐标系坐 标轴的转动，其中
cos 0 sin R y () 0 1 0 sin 0 cos
2 1 2 1
U(, , ) U1 ( )U 2 ()U1 ( )
U SU(2) R U SO(3) V SU(2) R V SO(3) UV SU(2) RUV SO(3) (8)
现在要证明的是 R UV R UR V ，即两元素乘积的映射等于 两元素映射的乘积. 由前面的(2)、(3)、(4)与(6)式得
M (3)式 VMV
SO(3)群是三参数 [ 2 n(n - 1), n 3] 的李群，在§4.5节 例3中，我们曾求得SO(3)群的群元素. 在那里，三个 群参数选为坐标系绕三个坐标轴的三个转角 1 、 2 、 2 . 在实际应用中，人们通常取三个欧勒角 ( ) 作 为SO(3)群的群参数. 这一节，我们将导出该情况下， SO(3)群的群元素的具体形式. 1
第一章李群概要
另外： O(n)的子群SO(n) (ASO(n);detA=+1)
代表n位维实空间中的纯转动
根据陪集定理和拉格朗日定性，O(n)按子群SO(n)作陪集分解：
O(n) SO(n) SO(n)
其中 为空间反演矢矩
商群O(n) / SO(n)为二阶群即[SO(n), SO(n) ]
O(n)中行列式为-1的部分代表转动反演。
2．G： x 1x 2
·单位元: 1 1,2 0
·逆元：x 1x 2 1 (1x 2 ) 2 11x 12 2
∴
,2
1 2
2 1
·封闭性 x 1x 2 1(1x 2 ) 2
11x 12 2 1x 2
∴ 1 1(, ) 11, 2 2 (, ) 2 12
由此可见，SU(2)的群参数空间由上式确定，它是一个四维 球面，此球面是单连通的。
∴ SU(2)为单连通李群。
1.23 紧致性
Def. 如果李群的参数空间是闭而有界，则称它为紧致李群。
例：一维
-1 0 1
区间（—1， 1）开区间 区间 [—1， 1] 闭区间
ex. n维正交群O(n)是紧致群
证：如果AO(n) ，则 AA~ A~A 1
ⅰ）U(1)群的每一个元素都可用参数来标志，参数连续变化
ⅱ）乘积元数g()g()所相应的参数+是参数和的连续函数
ⅲ）逆元[g()]-1的参数也是的连续函数。
1.1.2 群的参量和连续群
群中各元素可看作某个抽象空间（群空间group space）中 的一个点集（群流形group manifold）。
ex.2,二维特殊么正群SU(2)
uu+=u+u=1 det u=+1
几何变换和群的初步认识
几何变换和群的初步认识几何变换是几何学中的重要概念，用于描述对图形进行的变换操作。
而群是代数学中的一个基本概念，可以用来描述和研究各种变换的集合。
本文将介绍几何变换和群的基本概念，并探讨它们之间的关系。
一、几何变换的概念几何变换是指通过一系列操作将一个图形转化为另一个图形的过程。
常见的几何变换包括平移、旋转、缩放和对称等操作。
下面将分别介绍这些几何变换的定义及其性质。
1. 平移平移是指将一个图形沿着平行于某一方向的直线进行移动，保持图形内部所有点与原位置的相对位置不变。
平移变换可以用向量表示，即通过给定的位移向量来确定平移的幅度和方向。
平移变换具有保持图形形状、大小和内部结构不变的特点。
2. 旋转旋转是指将一个图形绕着某一点或某条线进行转动，使图形内部所有点绕着该点或该线固定方向旋转一定角度。
旋转变换可以用旋转矩阵或复数表示，其中旋转角度可以是正数、负数或零。
旋转变换具有保持图形形状、大小和内部结构不变的特点，但会改变图形的方向。
3. 缩放缩放是指通过改变图形的尺寸来进行变换，使图形的各个部分在同一直线上，与原图形相似但大小不同。
缩放变换可以用缩放因子表示，即通过给定的比例因子来确定缩放的程度。
缩放变换具有保持图形形状和内部结构不变，但会改变图形的大小。
4. 对称对称是指通过某一直线、点或平面将图形中的点与其对应的镜像位置进行互换，从而得到一个与原图形关于对称轴对称的图形。
对称变换可以有多种方式，包括关于某一直线的对称、关于某一点的对称、关于某一平面的对称等。
对称变换具有保持图形形状不变但可能改变图形的位置和朝向的特点。
二、群的概念群是一个集合，同时满足封闭性、结合律、存在单位元素和存在逆元素这些性质。
在几何变换中，我们可以将一组具有某种特定性质的变换操作构成一个群。
以下介绍几何变换中常见的群。
1. 平移群平移群是指所有平移变换构成的群，平移变换之间的组合仍然是一个平移变换。
平移群具有封闭性、结合律和存在单位元素的性质，每个平移变换都有一个相应的逆变换。
群论(1)第三章
2
3.3 SO(3)群的欧拉角表示
绕n轴转动w角也可通过下述步骤实现
1. 绕z轴转动alpha角 R(ez; ®)~r = ~r 0; 0 · ® < 2¼
2. 绕y’轴转动beta角 R(e0y; ¯)~r 0 = ~r 00; 0 · ¯ · ¼
3. 绕z’’轴转动gamma角 R(e0z0; °)~r 00 = ~r 000; 0 · ° < 2¼
y
¡ sin μ
0
cos μ
Á
x
三维转动群的基础表示
R(n^; w) = S(μ; Á)R(ez; w)S¡1(μ; Á)
0
=
B@
n2x(1 ¡ cos w) + cos w nxny(1 ¡ cos w) + nz sin w
nxny(1 ¡ cos w) ¡ nz sin w n2y(1 ¡ cos w) + cos w
¡i 2
(a2
¡
a¤2
+
b2
¡
b¤2)
1 2
(a2
+
a¤2
+
b2
+
b¤2)
i(a¤b ¡ ab¤)
nxnz(1 ¡ cos w) ¡ ny sin w nynz(1 ¡ cos w) + nx sin w
1 nxnz(1 ¡ cos w) + ny sin w nynz(1 ¡ cos w) ¡ nx sin w CA
n2z(1 ¡ cos w) + cos w
nx = sin μ cos Á; ny = sin μ sin Á; nz = cos μ
二维幺模幺正矩阵
3、李群
的性质 1、此表示是幺正的（证明见教材）
2、此表示是不可约的（证明见教材）
3、此表示是完备的（证明略）
李 群
学习提纲
（学习基本理论和对几个重要群的应用）
李群的定义——一些基本概念 概念 定理 SO（3）群和 SU（2）群 无穷小生成元和无穷小算符——李氏定理 群上的不变积分——有限群定理的推广 SU（2）群的不可约表示 应用 SU（2）群和 SO（3）群的同态映射 洛仑兹群及其表示
李群这一章可以分成三部分学习
SO（3）群的参数化
9个矩阵元，独立参数只有3个，有多种参数化选择
方法一：三个平面转动的组合
方法二：三个独立转动的组合
方法三：绕一动轴的“定轴”转动
SU（2）群的参数化 独立参数数为3
例子：习题
上述定理的证明见教材P133-135
我们重点介绍求生成元的两种方法
1）矩阵形式的生成元 2）坐标空间中的生成元
重点讲清思路和结果的意义，不细讲具体计算。
无穷小生成元→群元一般表示式（矩阵形式）
在坐标空间求中写法易误 这里是一个有限大参数
此即SU（2）D的表示
即可用此函数基作为表示的基
即构造2l+1个 2l次齐次函数
1）李群的基本概念及其参数化方法（6.1和6.2节）。 最重要的是认识李群是参数群，并通过实例学习参数化方 法。 2）李氏定理和有限群定理的推广（6.3和6.5节）。 最重要的是认识生成元在李群理论中的重要地位和生成元的 基本性质，通过实例学习求生成元、结构常数和对易关系的方法， 学习从生成元导出群元的一般表示。并通过对群上不变积分的了 解，理解有限群表示理论的主要结论可推广到紧致李群（为此将6.5 节调整到6.4节前讲授）。 3）李群理论的应用实例（6.4，6.6，6.9节）。 应用李群理论研究紧致李群SU（2）和SO（3）的表示，并简 要介绍非紧致群——洛仑兹群及其表示。
李代数知识点总结
李代数知识点总结李代数的概念是由挪威数学家Sophus Lie提出的。
它是一种在向量空间上定义的代数结构，它可以用来描述连续对称性，例如旋转、对称变换等。
李代数的基本概念是李括号（Lie bracket）和李群（Lie group）, 其中李括号是在向量空间上定义的二元运算，满足一定的性质。
在这篇文章中，我们将介绍李代数的基本知识和重要性质，包括定理和应用。
同时，我们也将介绍李代数在数学、物理和工程中的应用，并讨论李代数的未来发展方向。
一、李代数的基本定义和性质1. 定义：李代数是定义在一个向量空间上的一种代数结构，它是一个满足以下性质的向量空间和二元运算的组合：（1）封闭性：对于任意两个元素x, y∈V，它们的李括号[x, y]∈V；（2）双线性：李括号[x, y]是关于x和y线性的；（3）对称性：李括号的对称性[x, y] = −[y, x]；（4）Jacobi等式：对任意的x, y, z∈V，李括号满足Jacobi等式[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0。
2. 李代数的例子：一个最简单的李代数是一维向量空间R上的李代数，它的李括号可以定义为对任意的x, y∈R，[x, y] = 0。
另一个例子是三维欧几里得空间R^3上的李代数，它的李括号可以定义为对任意的x=(x1, x2, x3), y=(y1, y2, y3)∈R^3，[x, y] = (x2y3 − x3y2, x3y1 − x1y3, x1y2 − x2y1)。
3. 李代数的性质：李代数有许多重要的性质，其中最重要的是Lie括号的Jacobi等式，它保证了李代数的代数结构的稳定性。
李代数还有一些其他的重要性质，例如子代数、理想、李代数的同态等。
二、李群和李代数的关系李代数和李群是紧密相关的数学结构，它们之间有着密切的联系和相互作用。
李群是一种拓扑群，它在局部上是类似于欧几里得空间的群结构，而李代数是李群在单位元上的切空间结构。
群论-4 三维转动群
—— 三维转动群
主讲 翦知渐
ห้องสมุดไป่ตู้
群论-三维转动群
第四章 三维转动群
三维转动群及其表示
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 拓扑群和李群 轴转动群SO(2) 三维转动群SO(3) 二维特殊幺正群SU(2)
群论-三维转动群-拓扑群和李群
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§4.1 拓扑群和李群
——连续群的基本概念
无限群分为分立无限群和连续无限群 有关有限群的理论对于分立无限群来说几乎全部成立 连续群的元素个数是不可数的 1 连续群的定义 连续群G的元素由一组实参数a1, a2, …, an 确定 ——该组参数对标明群的所有元素是必需的而且足够的 其中至少有一个参数在某一区域上连续变化 该组参数中连续参数的个数 l 称为连续群的维数
取逆法则的连续性：对于任意元素x， 其邻域中的任何元素的逆均属于其逆x-1 的邻域
群论-三维转动群-拓扑群和李群
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简单群和混合群 拓扑群G的任意两个元素x1和x2在参数空间中如果能用一条或 者多条道路连接（道路连通），则该群的参数空间是连通的， 该群称为连通群或简单群。 若群的参数空间形成不相连结的若干片，则该群称为混合群。 连通群：三维转动群SO(3) 混合群：三维实正交群O(3) ；{T(a, b)} 多重连通群 简单群根据其参数空间的拓扑，进一步分为单连通和多连通 的。若任意群元在参数空间中的连通道路恰有k条，并且它们 不能通过在参数空间内部的连续形变而重合，则称该群为k重 连通。k称为连通度。 双连通
群论-三维转动群-轴转动群SO(2)
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4) T(ϕ)是一个作用在函数f(x, y)上的转动变换，函数f(x, y)定 义于(x, y)平面上，而转动轴为z轴：
李代数与旋转
李代数与旋转：理解背后的数学原理
李代数，作为数学的一个重要分支，与旋转之间的关系源远流长，尤其在物理学和工程学中，这种联系更是密不可分。
旋转，作为我们日常生活中经常遇到的现象，从简单的物体转动到复杂的空间变换，其背后都隐藏着李代数的身影。
首先，我们来理解一下什么是李代数。
简单来说，李代数是一种具有特定运算规则的代数结构，这种结构在描述连续对称性时特别有用。
在物理学中，许多连续对称性变换，如旋转、平移等，都可以通过李代数来描述。
旋转，作为一种特殊的对称性变换，同样可以通过李代数来描述。
在三维空间中，一个物体的旋转可以通过三个角度（绕x轴、y轴、z轴的旋转角）来完全确定。
这三个角度正好构成了一个三维向量，而这个向量空间正是李代数的一个实例——SO(3)李代数。
SO(3)李代数与旋转的关系体现在它的运算规则上。
在SO(3)李代数中，两个向量的加法不再是简单的向量相加，而是通过一种称为“指数映射”的方式来实现。
这种运算方式使得SO(3)李代数能够很好地描述旋转的连续性和平滑性。
除了SO(3)李代数外，还有其他的李代数也可以用来描述旋转。
例如，在更高维度的空间中，可能需要使用更复杂的李代数来描述旋转。
这些李代数在理论物理学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
总的来说，李代数与旋转之间的关系体现了数学与物理的紧密联系。
通过深入研究这种关系，我们不仅可以更好地理解旋转的本质，还可以为各种实际应用提供更强大的数学工具。
无论是设计复杂的机械系统、开发精确的导航算法，还是研究基本粒子的运动规律，李代数都发挥着不可或缺的作用。
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P’ P x1 x’1Biblioteka x1x1x’1
x'2 x1 sin x2 cos
x'3 x3
将系数写成矩阵
cos
R(e3, ) sin
0
sin cos
0
x'1
x1
0 0
x'2 x'3
R(e3, ) x 2 x3
1
●利用物理中常用的泡利矩阵，可将转动矩阵写成矩阵指 数函数的形式
3
r' ea x'a
则 x1' R11 R12 R13 x1
a 1 3
x2 ' R 21
x3 ' R31
R 22 R 32
R 23 x2 R33 x3
xa '
b1
R abx b
♣坐标的齐次变换保证原点位置不变
♣距离不变要求矩阵R是实正交矩阵 （距离与x2联系，两个列矩阵相乘xT x）
n0
1 (i n!
2
)
n
n0
1 n n!
(i2
泡利矩阵： 0 1 0 i 1 0
1 1 0, 2 i
0
,3
0
1
三个矩阵之间的关系：
3
ab ab1 i abcc c1
1 abc 1
0
abc : 123,231,312 abc : 321,213,132
others
a2 1, 12 i3, Tra 0, Tr(ab ) 2ab, etc.
♣O(3)群：三维实正交矩阵群 SO(3)+空间反演变换σ群
四、特殊的转动
1. 绕x3(z)转动ω角的变换矩阵 R(e3, )
●给出x-y平面(右手坐标)
x’2 x2
z轴垂直于xy面向外
●两个坐标系： K 固定在空间
P’
x2
P
x’1
K’ 固定在系统上 ●转动变换前，K与K’重合
x3
x1
x1
空间某点P在两个坐标系中
的坐标为 x1，x2，x3
●变换：系统绕x3轴转动ω角，即K’系随着转动ω角 标记为 x’1，x’2，x’3;系统上的P点位置转过ω角到P’点
●P’点在K系中坐标为(x’1,x’2,x’3) K’系中坐标为(x1,x2,x3)
●由图中得到两组坐标的关系 x'1 x1 cos x2 sin
x’2 x2 x’2
(e2
e3
)
1
转动变换保持系统的手征性不变，就是要求固定在系统
上的坐标系 单位矢量混合积在变换前后都是1，即 e1'(e2 'e3') 1 det R
三维空间转动变换：由行列式为1的实正交矩阵R描写
◆行列式为+1的实正交矩阵R满足空间转动变换的三个要 求：保持原点、两点间距离、手征性不变——R对应的是 固有转动
量记作 ea , a 1,2,3 则
P点位置矢量：r
坐标：xa r
固有转动要求：
3 a 1
eaxa , a
1,2,3
x
e e1
z
3
O
r e
2
P y
坐标系原点不变，保持空间任意点到原点的距离不变
设转动操作R把P点转到P'点 R：P P'
变换前后的坐标可用R矩阵联系，位置矢量变换为
2. 固有转动： 三维空间纯粹的转动，即保持坐标系手征性不变的转动
3. 非固有转动： 若转动后，再做空间反演，改变坐标系的手征性
两类转动都保持 坐标系原点不变， 保持空间任意点到原点的距离不变（即无变形）
4. 幺模矩阵： 行列式为 1 的矩阵 detA=1
三、三维空间转动群
1. 转动变换
在三维空间建立 直角坐标系K，用原点O到空间任意点 P的位置矢量 r 来描写P点的位置，坐标轴向的单位矢
都有近似的球对称性质 ♣在球对称系统中，空间各向同性，系统绕通过原点的 任何轴转动都保持不变，因而，球对称变换群是三维空 间转动群 ♣因转动角度可以任意，故群元素无限多——无限群， 群元素可以用一组实参数来描写 ♣实参数在一定区域内连续变化，且涉及的这些连续参 数的函数是解析函数——转动群是连续群，且是连续群 中可以用微积分方法深入研究的一类，称为李群
3.1 三维空间转动变换
一、约定
1. 主动观点： 坐标系固定，系统转动
2. 矢量： r
矢量基： ea (a 1,2,3)
其它单位矢量： nˆ
二、概念
1. 手征性不变： 右手坐标系： x
左手坐标系： y
z
y e1 (e2 e3 ) 1
z
x e1 (e2 e3 ) 1
右（左）手坐标系经变换后仍为右（左）手坐标系
◆行列式为-1的实正交矩阵会改变系统的手征性，说明变 换中包含了空间反演σ——非固有转动
◆实正交矩阵行列式只能取+1或-1，分别对应固有转动和 非固有转动，即
非固有转动元素=固有转动R+空间反演σ
2. 三维空间转动群 ♣SO(3)群：三维幺模实正交矩阵R(nˆ, )描写绕三维空 间 nˆ 方向转动ω角的变换，按照矩阵的乘积规则，它的 集合构成群。（O：实正交；S：幺模）
z Px’a P
r
x'a
xa
e'a
y
3
3
3
相当于 eb ' 按 ea 线性
r ' ea x'a e'bxa eb ' ea R ab 展开，Rab为展开系
a 1
b1
a 1
数
♣坐标系的手征性
3
xa ' R abx b b1
用右单手位：矢e量1 的(e混2 合e积3 )来确1定左手：e1
x'T x' (R x)T (R x) xTR TR x xT x
要求为1
若在系统上建立 坐标系K’ 实正交：RR 1,detR 1
单位矢量记为 ea '
则 r ' 在坐标系K'中的分量保持不变（系统与坐标系相
对静止），因此有
3
3
r' ea x'a e'bxa
a 1
b1
x
ea
矩阵的指数函数用它的级数展开来定义
ex 1 x x2 ... xn ... xn
2!
n!
n0 n!
sin x x x3 x5 ... (1)n1 x2n1 ...;cosx 1 x2 x4 ... (1)n x2 ...
3! 5!
(2n 1)!
2! 4!
(2n)!
exp{i2}
第三章 三维转动群
3.1 三维空间转动变换 3.2 李群的基本概念 3.3 三维转动群的覆盖群SU(2) 3.4 SU(2)群的不等价不可约表示 3.5 李氏定理 3.6 李代数 3.7 张量和旋量
♣ 球对称：是物理学中常见的对称性 无论经典力学还是量子力学，中心力场问题总是最
基本的研究课题 不仅是中心力场容易处理，而且很多真实物理系统