勾股定理小结
勾股定理
第1讲勾股定理第一部分知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。
4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。
5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。
6．勾股定理中的方程思想：勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。
7．勾股定理中的转化思想：在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。
8．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。
第二部分精讲点拨考点1. 勾股定理【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为变式1 等腰三角形的两边长为10和12，则周长为______，底边上的高是________，面积是_________。
变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。
第十七章 勾股定理知识点与常见题型总结
《勾股定理》小结与复习资料一．知识点：1. 勾股定理及逆定理①勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边为 ，那么 __ 。
直角三角形2+b 2=c 2 (数)（形）公式的变形：（1）c 2= , c= ;（2）a 2= , a= ;（3）b 2= , b= ; ②勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ___ ，那么这个三角形是 __ ．a 2+b 2=c 2 (数直角三角形 注：（1依据；（2）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据．利用勾股定理逆定理证明三角形是否是直角三角形的步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数法计算 a 2+b 2 和c 2 的值；③判断a 2+b 2和 c 2 是否相等。
若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
2、勾股数满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数如下：3、互逆命题和互逆定理互逆命题:两个命题中，如果第一个命题的 恰为第二个命题的 ，而第一个命题的 恰为第二个命题的 ，像这样的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ．互逆定理:一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是 ，那么它也是一个 ，称这两个定理互为 ，其中一个叫做另一个的逆定理.4、勾股定理的应用（最短路线、梯子下滑、船在水中航行等）5、常见平方数：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222=529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=《勾股定理题型分类》题型一：直接考查勾股定理：直角三角形中，若a, b 分别为直角边，c 为斜边，那么直角三角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2注意：直角三角形中，最长的边为斜边，较短的两边为直角边1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积，则图中A 字母所代表的正方形面积是2、 如图4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
中考勾股数知识点总结
中考勾股数知识点总结一、勾股定理在讨论勾股数之前，首先需要了解勾股定理。
勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的一个重要定理，它表明在直角三角形中，直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方之和，即a² + b² = c²。
这个定理对于解决数学和几何问题都有很大的帮助，也为勾股数的研究奠定了基础。
二、勾股数的性质1. 勾股数的分类根据勾股定理，我们可以将勾股数分为两种情况：（1）素勾股数：如果a、b、c互质（即它们的最大公因数为1），则称这组勾股数为素勾股数。
（2）合成勾股数：如果a、b、c不互质（即它们的最大公因数大于1），则称这组勾股数为合成勾股数。
2. 勾股数的性质勾股数有着一些特殊的性质，这些性质对于中考数学的学习和解题都有一定的帮助：（1）勾股数的性质1：一个数的平方如果是勾股数，那么这个数一定是偶数。
这可以通过反证法来证明：假设一个数n的平方是勾股数，且n是奇数，那么n可以表示为2m+1，其中m是整数。
那么n的平方就可以表示为(2m+1)²=4m²+4m+1=2(2m²+2m)+1，这样n的平方就变成了奇数，与勾股数必为偶数的性质相矛盾。
所以一个数的平方如果是勾股数，那么这个数一定是偶数。
（2）勾股数的性质2：3、4、5是最小的一组勾股数。
根据勾股定理，3²+4²=5²，所以3、4、5就是最小的一组勾股数。
这也是勾股数的一个重要性质。
（3）勾股数的性质3：所有的勾股数都可以表示成m²-n²、2mn、m²+n²的形式。
这是勾股数的三角形形式，通过这个公式，我们可以求得无数个勾股数。
三、勾股数的判定方法判定一个数是否是勾股数是中考数学的重要考点之一，下面将介绍几种判定勾股数的方法：1. 枚举法：对于一个较小的数，可以通过暴力枚举的方法判断它是否是勾股数。
第3章 勾股定理(小结与思考)(复习课件)八年级数学上册(苏科版)
解:∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第
三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
.....．∴第六代勾股树中正方形有
1+2+22+23+24+25+26=127（个）.
巩固练习
4.（2021·四川）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的
2
∵ S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC= b + ab，
2
S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB= c + a(b-a)，
2
b + ab= c2+ a(b-a).
∴
∴ a2+b2=c2.
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，
勾股定理的简单应用
解决简单的实际问题
求几何体表面上两点间的最短距离
考点分析
考点一
勾股定理的验证
例1 如图，以Rt△ABC的三条边为直径的半圆的面积分别为S1、S2、S3，
已知S1=9，S3=25，求S2.
解:由图形可得
2
2
S1= π( ) =
，S2= π( ) =
c
a
b
a
c b
a
b
b
c
a
c
4个小直角三角形的面积=4× ab=2ab，
∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习与小结课件
P
M
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
典例3 如图,长方形 ABCD 中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点 D与点B
重合,折痕为 EF,求△ABE 的面积。
A
B
E
D
F
C
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
A
解析：折叠问题中，要找到折叠前
后相等的线段或角，注意这些线段
与其他线段的关系，再利用勾股定
D. 若、、是的△ABC的三边，且 − = ，则∠A=90°
第一章 勾股定理
基础训练
第一章 勾股定理
2. 如图是商场的台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是20cm，每级台
阶的高度都是15cm，则连接AB的线段长为（ B ）
A. 100cm
B. 150cm
C. 200cm
D. 250cm
解：(1)供水站P的位置如图所示.
(2)过B作BM⊥，过A’作A’M⊥BM于M.
B
A
由已知可得A’M=8，BM=2+4=6.
在Rt△AMB中，
A’B2=AM2+BM2=82+62=100
解得A’B=10
5000×10+50000=100000.
故供水站修建完成后共计要花100000元.
∙∙
A’
∙
是直角三角形.
知识梳理
第一章 勾股定理
内容：直角三角形两
直角边的平方和等于
斜边的平方.
探索勾
股定理
表达式：用
和分别表示直角三
角形的两直角边和斜
边，那么
验证方法：面积法
勾股定理小结与复习初中数学原创课件
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
A
c
如果三角形的三边长a，b，c满足 b
a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. C a B
2.勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
考点二 勾股定理的逆定理及其应用
例4 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b， c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为 直角三角形． 【解析】要证∠C＝90°，只要证△ABC是直角三角形，并且 c边最大．根据勾股定理的逆定理只要证明a2＋b2＝c2即可．
解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边 于点D，取点C，使CD＝1.4米，过C作OD的平行线交半圆直 径于B点，交半圆于A点. 在Rt△ABO中，由题意知OA＝2米，DC＝OB＝1.4米， 所以AB2＝22－1.42＝2.04. 因为4－2.6＝1.4，1.42＝1.96， 2.04＞1.96， 所以卡车可以通过． 答：卡车可以通过，但要小心．
∴AC= AB2 BC2 =24米，
已知AD=4米，则CD=24-4=20（米）， ∵在直角△CDE中，CE为直角边，
∴CE= DE2 CD2 =15（米），
BE=15-7=8（米）．故选C．
针对训练
3.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个 半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家 具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通 过这个通道？
第十七章 勾股定理
要点梳理
一、勾股定理
1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，
勾股定理长方体最短路径问题解题步骤小结
勾股定理长方体最短路径问题解题步骤小结嘿，咱今儿个就来讲讲勾股定理长方体最短路径问题的解题步骤哈！
你想想看，那长方体就像个大盒子，里面藏着好多秘密呢！要找到
最短路径，那可得有点小窍门。
首先呢，咱得认清这个长方体的各个面和棱。
就好比认识一个新朋友，得先知道他长啥样，有啥特点不是？然后呢，在脑海里构想出各
种可能的路径。
比如说，从一个顶点到另一个顶点，那可以直直地沿着棱走过去，
可这往往不是最短的哟！这时候就得发挥咱的想象力啦。
咱可以把长方体展开呀，就像把一个盒子打开一样。
展开之后，原
来在长方体里弯弯绕绕的路径就变得一目了然啦！然后再根据勾股定理，找到直角三角形的两条边，一计算，最短路径不就出来啦？
你可别小看这勾股定理，它就像一把神奇的钥匙，能帮咱打开最短
路径的大门呢！这不就跟咱出门找路一样嘛，得找条最近最方便的道
儿呀。
再举个例子哈，就像你要从家去个啥地方，你肯定得找最近的路走呀，总不能绕一大圈吧？那多浪费时间和精力呀！
在解这题的时候，一定要仔细认真，可别马马虎虎的。
要是算错一步，那可就前功尽弃啦！就好像你走在路上看错了方向，那不就走冤
枉路啦？
所以呀，对待这个勾股定理长方体最短路径问题，咱可得像对待宝
贝一样，小心翼翼地去解开它的秘密。
咱得不断地练习，多做几道题，这样才能熟能生巧呀！等你熟练了，再遇到这种题，那不就跟玩儿似的，轻松就解决啦！
总之呢，解勾股定理长方体最短路径问题，就得有耐心、有细心，
还得有想象力。
只要咱掌握了方法，那都不是事儿！加油吧，朋友们，相信你们一定能行！。
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习优秀教学案例
在教学评价方面，我将以学生的课堂表现、作业完成情况和课后实践成果为主要评价依据，全面评价学生对勾股定理的掌握程度。通过这一系列的教学设计，我相信学生们在复习和巩固勾股定理的过程中，能够提高自己的数学素养，为后续学习奠定坚实的基础。
3. 对学生的作业和实践活动进行评价，反馈学生学习情况，及时调整教学策略。
作业小结环节是课堂教学的延伸和巩固。我布置具有针对性、多样性的作业，巩固学生对勾股定理的理解和应用。设置课后实践任务，让学生将所学知识应用于实际问题，提高学生的数学应用能力。同时，我还对学生的作业和实践活动进行评价，反馈学生学习情况，及时调整教学策略，以保证教学效果的最大化。通过这一系列的教学内容与过程，我相信学生能够更好地理解和掌握勾股定理，提高自己的数学素养和问题解决能力。
（二）过程与方法
1. 通过自主探究、合作交流的方式，培养学生主动学习和团队协作的能力。
2. 引导学生运用多媒体教学资源，提高信息技术与数学学科的整合能力。
3. 培养学生关注生活中的数学问题，提高数学应用能力。
在过程与方法目标部分，我注重引导学生积极参与课堂活动，通过自主探究、合作交流等方式，培养学生主动学习和团队协作的能力。同时，我还充分利用多媒体教学资源，将信息技术与数学学科相结合，提高学生的学习兴趣和效果。此外，我还注重培养学生的数学应用能力，使学生能够将所学知识运用到实际生活中。
（四）总结归纳
引导学生对所学知识进行总结，巩固学习成果。
第十八章 勾股定理小结与复习
第十八章 勾股定理小结与复习考点呈现一、运用勾股定理求边长例1 如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C ′处，则折痕BD 的长为__________．解析：由勾股定理可求AB =10.通过折叠,有BC ˊ＝BC＝6,故AC ˊ＝AB －BC ˊ＝4．设DC ＝DC ＝x ,在Rt △ADC ˊ中,由勾股定理得x 2+42=(8-x )2,解得x ＝3.在Rt △BCD 中，由勾股定理可得 53632222=+=+=CB CD BD .点评：本题融勾股定理于折叠的动态过程中，把轴对称与勾股定理有机结合起来.解决问题的关键是抓住折叠过程中对应量，运用勾股定理建立方程.二、运用勾股定理作无理数长度的线段例2 图2是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为5的线段__________条. 解析：由于长度为5的线段是以直角边长为1，2的直角三角形的斜边，在“田字格”中最多可以构造8个这样的三角形．故有8条长度为5的线段.点评：本题考查了运用勾股定理做无理数长度的线段，关键是找到满足斜边长度为5的直角三角形.三、应用勾股定理解决实际问题例3 如图3，铁路上A ，B 两站（可以看作直线上的两点）相距25 km ，C ，D 为两个村庄（可以看作两个点），AB DA ⊥于A ，AB CB ⊥于B.已知DA=15 km ，CB=10 km ，现在要在铁路AB 上建设一个收购站E ，使C ，D 为两个村庄到E 站的距离相等，则E 站距离A 村多远？解析：设AE=x km ，则)25(x BE -= km ．在ADE Rt ∆中，222AE AD DE +=，即22215+=x DE ．在ADE Rt ∆中，222BC BE CE +=，即22210)25(+-=x CE ．因为DE CE =，所以 222210)25(15+-=+x x ，图2E D C B A Ａ C ’ Ｄ ＣＢ解得x=10．即E 站距离A 村10 km ．点评：本题的考查了学生关建立数学模型以及运用勾股定理解决实际问题的能力.四、勾股定理的逆定理例4 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A ．1，2，3 B, 2，3，4 C ．3，4，5 D ．4，5，6解析：根据勾股定理的逆定理可知，当已知线段长度时，如果最短的两条线段的平方和等于最长线段的平方，则以这三条线段为边可构成直角三角形．因为12＋22≠32，,2 2＋32≠42，32＋42＝52，42＋52≠62，所以以3,4，5为边能构成一个以5为斜边的直角三角形. 故本题应选C.点评：本题考查了学生运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，关键是验证两条较短线段的平方和是否等于最长线段的平方.误区点拨一、忽视定理存在的条件例1 在边长都为整数的ABC ∆中，AB AC >，如果cm AC 4=，cm BC 3=，求AB 的长．错解：由AB AC >，由勾股定理，得222AB AC BC =+， 即)(5342222cm BC AC AB =+=+=．剖析：此题没有指明ABC ∆是直角三角形，因此不能使用勾股定理求解，只能利用三角形三边关系的定理求解．正解：根据三角形三条边的关系定理：三角形两边的和大于第三边，得A C AB AC <<+．即47AB <<．从而得AB 等于5cm 或6cm ．二、忽视斜边直角边分类例2 在直角ABC ∆中，5=a ，12=b ，则第三边c 的长度为 .错解：13剖析：在不确定斜边的情况下，应该注意分类讨论，即第三边c 有可能是斜边，也有可能是直角边.正解：当c 是斜边时，有)(131252222cm b a c =+=+=； 当c 是直角边时，有)(1195122222cm a b c =-=-=.故第三边c 的长度为13 cm 或cm 119.三、审题不仔细，受思维定势影响例3 在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，且满足2))((c b a b a =-+，则（ ）A. A ∠是直角B. B ∠是直角C. C ∠是直角D. ABC ∆不是直角三角形错解：选C.剖析：因为常见的直角三角形在表示时，一般讲直角标注为C ∠，因而有许多同学就习惯性的认为C ∠就一定是直角，导致错误.正解：因为2))((c b a b a =-+，所以222c b a =-，即222a c b =+，所以ABC ∆是直角三角形，且A ∠是直角.故选A.四、对互逆定理、互逆命题的理解错误例4 “定理“对顶角相等”有逆定理吗?若有，请你写出其逆定理，若没有，请说明理由。
初中数学勾股定理知识点小结
初中数学勾股定理知识点小结0 1勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么.勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方0 2勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以方法三：化简得证.0 3勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形0 4勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题0 5勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形；若，时，以a，b，c 为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以a，b，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a，b，c 及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c 满足，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边.③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形0 6勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，a，b，c 为正整数时，称a，b，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等。
勾股定理题型总结【范本模板】
勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理—-揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。
（1）重视勾股定理的叙述形式：①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方,等于两个直角边长度平方之和。
从这两种形式来看，有“形的勾股定理"和“数的勾股定理”之分。
（2)定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。
②证明三角形中的某些线段的平方关系.③作长为n 的线段.(利用勾股定理探究长度为,3,2……的无理数线段的几何作图方法,并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。
） 2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。
(2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。
(3）勾股定理的逆定理是把数转化为形,是利用代数计算来证明几何问题。
要注意叙述及书写格式。
运用勾股定理的逆定理的步骤如下：①首先确定最大的边（如c )②验证22b a +与2c 是否具有相等关系：若222c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形. 若222c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。
补充知识:当222c b a >+时,则是锐角三角形；当222c b a <+时，则是钝角三角形.（4）通过总结归纳,记住一些常用的勾股数.如：3，4，5；5，12,13；6，8，10；8,15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。
勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数)② 毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数） ③柏拉图发现的:1,1,222+-n n n （1>n 的整数）3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系 （1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习教学设计
4.借助勾股定理这一数学工具，引导学生发现数学与生活、艺术的紧密联系，培养他们的审美情趣和跨学科素养。
二、学情分析
八年级学生在学习勾股定理之前，已经具备了平面几何的基础知识，掌握了三角形的基本概念和性质，能够识别直角三角形，并对直角三角形的边长关系有初步的了解。在此基础上，他们对勾股定理的学习将更加深入和系统。然而，学生在运用勾股定理解决问题时，可能会遇到以下困难：对勾股定理的理解不够深刻，不能灵活运用定理解决实际问题；对勾股数的性质掌握不牢固，容易混淆；在解决复杂问题时，缺乏解题思路和方法。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，引导他们通过合作学习、自主探究等方式，逐步克服困难，提高解决问题的能力。同时，注重激发学生的学习兴趣，使他们主动参与到勾股定理的学习中，为后续数学知识的学习打下坚实基础。
-设计意图：巩固学生的基础知识，为解决复杂问题打下基础。
4.例题解析：选择不同类型的例题，包括简单应用和综合应用，逐步引导学生掌握勾股定理的运用。
-设计意图：通过梯度性练习，使学生在解决问题的过程中逐步提高解题能力。
5.课堂互动：鼓励学生主动提问，开展小组讨论，分享解题思路，促进师生之间、生生之间的互动交流。
-设计意图：激发学生的学习兴趣，增强他们对数学知识实用性的认识。
2.新课呈现：采用探究式教学方法，引导学生通过观察、猜想、验证等步骤，发现并理解勾股定理。
-设计意图：培养学生的逻辑思维能力和探索精神，加深对勾股定理的理解。
3.课堂讲解：结合教材，详细讲解勾股定理的证明过程，以及勾股数的性质和判定方法。
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习教学设计
数学《勾股定理》教学反思
数学《勾股定理》教学反思数学《勾股定理》教学反思1对于“勾股定理的应用”的反思和小结有以下几个方面：1、课前准备不充分：基础题中是一些由正方形和直角三角形拼合而成的图形（与希腊邮票设计原理相同），其中两个正方形的面积分别是14和18，求最大的正方形的面积。
分析：由勾股定理结论：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
其实质即以直角三角形两直角边为边长的两个正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
但学生竟然不知道。
其二是课件准备不充分，其中有一道例题的答案是跟着例题同时出现的，再去修改，又浪费了一点时间。
其三，用面积法求直角三角形的高，我认为是一个非常简单的数学问题，但在实际教学中，发现很多学生仍然很难理解，说明我在备课时备学生不充分，没有站在学生的角度去考虑问题。
2、课堂上的语言应该简练。
这是我上课的最大弱点，我不敢放手让学生去独立思考问题，会去重复题目意思，实际上不需要的，可以留时间让学生去独立思考。
教师是无法代替学生自己的思考的，更不能代替几十个有差异的学生的思维。
课堂上老师放一放，学生得到的更多，老师放多少，学生就有多大的自主发展的空间。
但这里的“放多少”是一门艺术，我要好好向老教师学习！3、鼓励学生的艺术。
教师要鼓励学生尝试并尊重他们不完善的甚至错误的意见，经常鼓励他们大胆说出自己的想法，大胆发表自己的见解，真正体现出学生是数学学习的主人。
4、启发学生的技巧有待提高。
启发学生也是一门艺术，我的课堂上有点启而不发。
课堂上应该多了解学生。
数学《勾股定理》教学反思2反思之一：教学观念的转变。
“教师教，学生听，教师问，学生答，教师出题，学生做”的传统教学摸模式，已严重阻碍了现代教育的发展。
这种教育模式，不但无法培养学生的实践能力，而且会造成机械的学习知识，形成懒惰、空洞的学习态度，形成数学的呆子，就像有的大学毕业生都不知道1平方米到底有多大？因此，《新课标》要求老师一定要改变角色，变主角为配角，把主动权交给学生，让学生提出问题，动手操作，小组讨论，合作交流，把学生想到的，想说的想法和认识都让他们尽情地表达，然后教师再进行点评与引导，这样做会有许多意外的收获，而且能充分发挥挖掘每个学生的潜能，久而久之，学生的综合能力就会与日剧增。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理小结教学设计
2.实践应用题：设计一道与实际生活相关的勾股定理应用题，要求学生运用勾股定理解决问题，并简要说明解题思路。例如，计算学校旗杆的高度、测量三角形地块的面积等。这样的题目可以培养学生的空间想象能力和解决问题的策略。
5.数学日记：请学生撰写一篇关于勾股定理学习的数学日记，内容包括学习心得、解题经验、遇到的问题和解决方法等。通过撰写数学日记，学生可以反思自己的学习过程，提高自我监控和自我评价的能力。
在布置作业时，我会强调以下几点：
-作业完成时间为课后自主安排，鼓励学生合理分配时间，保证作业质量。
-强调作业的目的是巩固所学知识，提高解题能力，而非应付任务。
1.学生对勾股定理的理解程度，注意引导他们从直观到抽象的过程，逐步提高学生的几何直观能力。
2.学生在解决实际问题时，可能对勾股定理的应用方法不够熟练，需要通过丰富的例题和练习，帮助学生巩固所学知识。
3.部分学生对数学学习存在恐惧心理，教师应关注学生的情感态度，鼓励他们积极参与，提高自信心。
4.学生在小组合作学习过程中，可能存在分工不均、沟通不畅等问题，教师需引导学生学会合作、分享和交流。
-通过直观演示和动画模拟，解释定理的内涵和证明过程。
-设计梯度练习题，由浅入深，让学生在练习中逐步掌握定理的应用。
4.分层教学，关注差异：针对不同学生的学习能力，实施分层教学，确保每个学生都能得到有效提升。
-为基础薄弱的学生提供更多的辅导和练习，加强基础知识的学习。
-对于学有余力的学生，设计拓展性问题和挑战性任务，提高他们的思维能力和创新精神。
勾股定理 小结与复习 教学设计
小结与复习教学设计教学设计思想：本章内容比较单纯，故组织学生自己进行总结与反思，首先提出问题作为引导，让学生自己总结反思，全班交流、讨论补充，老师进一步帮助完整化和系统化。
然后给出几道典型题目让学生练习，以加强对知识的应用能力。
教学目标：知识与技能：熟记勾股定理，会由边的关系识别直角三角形（即勾股定理的逆定理），以及用这些知识解决相关的实际问题过程与方法：反思本章的学习过程，体会观察实验、猜想验证的方法，提高研究问题的能力情感态度价值观：阅读有关“勾股定理”历史的文章，了解更多的数学文化。
教学重难点：重点：掌握勾股定理及其逆定理。
难点：准确应用勾股定理及其逆定理。
课时安排1课时教学用具多媒体教学过程：一、知识总结（一）根据如下问题总结本章主要内容1．直角三角形的边存在着什么关系？画出直角三角形，并写出三边之间的数量关系。
2．直角三角形的角存在着什么关系？3．直角三角形还有哪些性质？4．如何判断一个三角形是直角三角形？5．你会用拼图的方法验证勾股定理吗?请你画图说明一种拼图验证的方法6．你能举例说明勾股定理和由边识别直角三角形有哪些应用吗？7．勾股定理与逆定理体现了什么数学思想？（二）知识构图二、例题讲解例在Rt△ABC中，∠C＝90°，D在BA上，且DA＝DB，M、N分别在AC和BC 上，且∠MDN＝90°求证：MN2＝AM2＋NB2证明：延长ND到N’使DN’＝DN连AN’、MN，由于AD＝DB，∠1＝∠2所以△AN’D≌△BND即AN’＝BN，∠B＝∠3，又MD⊥NN’故MN’＝MN’因为∠A十∠B＝90°，所以∠3＋∠4＝90°那么MN’2＝AM2＋AN’2即MN2＝AM2＋BN2三、练习课本P90 习题A组1，2，3，4四、课堂小结1．直角三角形有哪些性质？2．什么叫勾股定理？如何证明勾股定理？3．有几种方法可以判定一个三角形是直角三角形？五、作业课本P习题A组5，6，7六、板书。
勾股定理复习小结
勾股定理复习小结一、二. 知识点回顾1、 勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形（1） 先确定最大边（如c ）（2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系（3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a +则△ABC 不是直角三角形。
3、 勾股数满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 二、 专题练习(一) 勾股定理的计算1、如图中字母A 所代表的正方形的面积为( )A 、4B 、8C 、16D 、642、一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（ ）A 、 第三边一定为10B 、三角形的周长为24C 、三角形的面积为24D 、第三边有可能为103、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，（1）已知c ＝4，b ＝3，求a ； （2）若a:b=3:4，c=10cm ，求a 、b 。
（3）已知b=B ＝30°，求a 。
（4）已知a=c=6，求∠A ，∠B 。
（二）直角三角形的判定1、下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2, c=3B 、a=7,b=24,c=25C 、a=6, b=8, c=10D 、a=3,b=4,c=52、三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定3、已知2226810500x y z x y z ++---+= 求由此z y x ,,为三边的三角形的面积。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理小结(教案)
一、教学内容
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理小结：
1.勾股定理的概念及表述；
2.勾股定理的证明方法（几何法和代数法）；
3.勾股数及其性质；
4.勾股定理在实际问题中的应用；
5.勾股定理与相似三角形、锐角三角函数的联系。
二、核心素养目标
1.培养学生运用勾股定理解决实际问题的能力，提高数学应用意识；
在小组讨论中，我努力扮演好引导者的角色，尽量提出一些启发性的问题，引导学生发现问题、分析问题并解决问题。但从学生的反馈来看，部分学生在解决问题的过程中仍然显得有些迷茫，这让我认识到，在今后的教学中，我要更加关注学生的个体差异，针对性地给予指导。
-对于勾股数的识别，学生可能会局限于整数勾股数的认识，难以推广到分数或小数勾股数，教师需要提供更多例子，拓展学生的认知范围；
-在实际问题中应用勾股定理时，学生可能难以将问题转化为数学模型，教师应引导学生分析问题，明确已知和未知量，建立方程；
-对于勾股定理与其他数学知识的联系，学生可能难以自主发现，教师需要设计相关练习和讨论活动，帮助学生建立知识网络。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理小结》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形斜边长度的情况？”（如测量国旗杆的高度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表述和证明这两个重点。对于难点部分，如几何法和代数法的证明过程，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
勾股定理小结与复习一
勾股定理小结与复习一、教学目标：1、知识技能会使用勾股定理解决简单问题；2、会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3、会使用勾股定理及逆定理解决综合问题及实际问题重点：1、回顾并思考勾股定理及其逆定理；2、总结直角三角形边、角之间分别存有的关系．3、体会勾股定理及其逆定理在生活中的广泛应用．难点：勾股定理及其逆定理的应用二、回顾与思考：1、直角三角形的性质已知如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．问题1：直角三角形的周长问题2：直角三角形的面积问题3：直角三角形的角的关系问题4：直角三角形的边与角的关系问题5：直角三角形的边的关系2、直角三角形的判定已知如图，在△ABC中， a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．问题1：从角来判断：问题2：从边去判断：1、利用勾股定理已知两边求第三边(1)在△ABC中，∠C=90°若，c=4，则b= ；(2)在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
(3) 在Rt△ABC，∠C=90°，c=25，a：b=3：4，则a= ，b= 。
(4) 在△ABC中，若∠A=30°，BC=2，则AB= ，AC= 。
（5）直角三角形直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________2、利用勾股逆定理判断一个三角形是否为直角三角形（1）以下各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是( ) A．1.5，2，3 B. 8，15，17 C．6，8，10 D. 3，4，（2）.若△ABC的三边满足则以下结论准确的是( )A.△ABC是直角三角形,且∠C为直角B. △ABC是直角三角形,且∠A为直角C. △ABC是直角三角形,且∠B为直角D. △ABC不是直角三角形.（3）如图，AD⊥BC，垂足为D，假如CD=1，AD=2，BD=4，试判断ΔABC的形状，并说明理由。
勾股定理复习小结
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
【思考】1、由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？2、在
Rt△DFC中，你可以求出DF的长吗？3、由DF的长，你还可以求出哪条线 段长？4、设BE = x，你可以用含有x的式子表示出哪些线段长？
第一组练习: 勾股定理的直接应用
1、下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）． A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5,6 D．3，4，5 2.在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）如果a=3，b=4， 则c=
；
（2）如果a=6，c=10， 则b=
；
（3）如果c=13，b=12，则a=
；
3、在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是
解：连接AC,∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°. ∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2， ∴AC= 5.∵CD=2，AD=3, ∴△ACD是直角三角形； ∴四边形的面积为1+ 5.
变式训练:如图，有一块地，已知，AD=4m， CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m， BC=12m。求这块地的面积。
（）
A．BC2=AB2+AC2; B．AB2=AC2+BC2;
C．AB2=BC2-AC2; D．AC2=BC2-AB2
4、已知直角三角形的两边长为3、2，则第三条边长
是
．
第二组练习: 用勾股定理解决简单的实际问题
1. 在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树
．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下
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课题：勾股定理小结
（这个问题可让学生在小组内交流讨论，实例已由学生事先准备好，然后每组推荐一个最好的实例，展示给全班同学．在全班进行交流）
生：例如：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如下图，据气象观测，距沿海城市A•的正南方向260千米B处有一台风中心，沿BC的方向以15千米/时的速度向D移动，已知AD•是城市A距台风中心的距离最短，且AD=100千米，求台风中心经过多长时间从B点移到D点？
解：根据题意可知AD⊥BC．
在Rt△ABD中，AB=260千米，AD=100千米，AB2=AD2+BD2，所以BD2=AB2-AD2=2602-1002=2402，BD=240千米．则台风中心经过240千米÷15千米/时=16（小时）从B点移到D点．
生：例如：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米吗？试说明理由．
解：根据题意，可知：下图中AB=DE=10米，AC=8米，AD=2米，所以DC=8-2=6米．
在Rt△ABC中，BC=AB-AC=10-8=36，BC=6米，在Rt△CDE中，CE2=DE2-CD2=102-62=82，•CE=8米，则BE=CE-CB=8-6=2米．
所以顶端向下滑动2米，底端也水平滑动2米．
……
师：我们从学习这一章开始，就让同学们通过各种渠道收集勾股定理史料．现在我们就来介绍一下你们收集到的有关勾股定理的史料吧．
问题4：你了解勾股定理的史料吗？
生：在上古时代，人类虽然“愚昧无知”，但是，当他们仰望苍穹时，也会引起无穷无尽的遐想，经常有人提出这样的问题：天有多高？
三、课时小结
通过回顾与思考中的问题的交流．由同学们自己建立本章的知识结构图．
直角三角形
--→
⎧
⎨
→
⎩
三边关系勾股定理历史,应用直角三角形的判别
板书设计
本章小结
1．回顾与思考
问题1：直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？
在Rt△ABC中，∠C=90°，则有∠A+∠B=90°，a2+b2=c2．
问题2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形？
在△ABC中．①如果∠A+∠B=90°，则△ABC是直角三角形．②如果a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
问题3：举生活实例，用勾股定理解决它．
例1．台风问题
例2．梯子问题
问题4：勾股定理史料
2．本章知识结构图
直角三角形
--→
⎧
⎨
→
⎩
三边关系勾股定理历史,应用直角三角形的判别
活动与探究
如下图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD，点D落在BC•边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
过程：“折叠”问题是数学中常见问题之一．由折叠的过程可知．•△AFE•≌△ADE，AD=AF，DE=EF，
在Rt △ABF 中，AB=8cm ，AF=10cm ，BF 2=AF 2-AB 2=102-82=62，BF=6，•FC=BC-BF=10-6=4cm ，如果设CE=xcm ，DE=（8-x ）cm ，所以EF=（8-x ）cm ．
在Rt △CEF 中，EF 2=CF 2+CE 2，用这个关系就可建立关于x 的方程．解出x 便求得CE ．
结果：解：根据题意，得
（8-x ）2=42+x 2
所以x=3，即CE 的长为3cm ．
习题详解
复习题18
1．解：两人从同一地点同时出发10分后，一人向北直行200米，•一人向东直行300米，此时，他
们相距22200300+=10013米．
2．解：根据题意AC=222213477AB BC -=-=110mm ．所以两孔中心的垂直距离110mm ．
3．解：覆盖在顶上的塑料薄膜需
22223 1.5a b d +=+×10≈33.5m 2．
4．解：根据题意，设三角形的三边分别为k ，3k ，2k ，（3k ）2+k 2=（2k ）2，所以这个三角形是直角三角形．
5．（1）逆命题：同位角相等，两条直线平行．此逆命题成立；
（2）逆命题：如果两个数的积是正数，那么这两个数是正数，此逆命题不成立；
（3）逆命题：锐角三角形是等边三角形，此逆命题不成立；
（4）逆命题：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．此逆命题成立．
6．解：（1）四边形ABCD 的面积为：
5×6-（12×2×4+12×1×5+12×2×1+12
×1×4+1×5）
=30-（4+
52+1+2+6） =30-13-52
=14.5．
四边形ABCD 的周长为：
2222222224121415+++++++
=25+5+17+26=35+17+26
（2）BC=25，CD=5，BD=5． （25）2+（5）2=25．
所以BC 2+CD 2=BD 2，即∠BCD 为直角．
7．解：设折断处离地面的高度是x 尺，根据题意，得
（10-x ）2=x 2+32,解得x=9120
； 所以折断处离地面的高度是为
9120尺．
8．解：圆柱底面的周长为12πcm ，则
蚂蚁从A 点爬到B 点的最短路程=22(6)10π+≈14.6cm ．
9．解：根据题意长方体的斜对角线的长度=222304050++≈70.7cm ．
70cm<70.7cm ．
所以一根70cm 长的木棒，可以放在长、宽、高分别是30cm 、40cm 、50cm •的长方体木箱中．。