利用函数的单调性解不等式PPT演示文稿
合集下载
函数的单调性ppt
05
函数的单调性的实际案例
利用函数的单调性解决实际问题
1 2
判断经济增长趋势
通过分析经济增长率函数，利用函数的单调性 可以判断经济是处于增长趋势还是下降趋势。
确定最优化解决方案
在生产、销售或投资领域，利用函数的单调性 可以帮助我们确定最优的策略或方案。
3
预测天气变化趋势
通过分析气象数据函数，利用函数的单调性可 以预测未来的天气变化趋势，为灾害预防和应 对提供参考。
函数的单调性的判断方法
定义法
根据函数的单调性定义来判断 。
导数法
对于可导函数，可以根据导数 的正负来判断函数的单调性。 当导数大于0时，函数单调递增 ；当导数小于0时，函数单调递
减。
图像法
观察函数的图像，上升曲线表 示函数单调递增，下降曲线表
示函数单调递减。
02
函数的单调性的应用
单调函数在生活中的应用
感谢您的观看
THANKS
单调函数与导数的关系总结
单调函数的导数
01
单调递增函数的导数大于等于0，单调递减函数的导数小于等
于0。
导数的正负与单调性
02
导数的正负与函数的单调性是一致的，即导数大于0时，函数
递增；导数小于0时，函数递减。
导数与变化趋势
03
导数可以反映函数的变化趋势，即函数在某点处的变化率，因
此可以用来预测函数的未来变化趋势。
一次函数和二次函数
一次函数在其定义域内具有单调性，而二次函数在其定义域内也 可能具有单调性。
极限和导数
在数学分析中，单调函数的极限和导数具有特定的性质和计算方 法。
不等式和排序
单调函数在求解不等式和进行排序等方面具有重要应用。
函数的单调性ppt课件
在[0, ) 上，任取 x1， x2 ，只要 x1 x2 ，就有 f ( x1 ) f ( x2 ) ．
问题：你能归纳以上两个函数单调性的刻画方法，给出函数 =
()在区间I上单调性的符号表述吗？
二、新课讲解
1、函数的单调性的定义:
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间 ⊆D:
• 思考1：根据图象，当自变量x的值增大时,相应函数值是如何变化的呢？
4
当x≤ 0时，y随x的增大而减小
当x≥0时，y随x的增大而增大
1
-2 -1
O
x
1 2
0.001和0.002差着
0.001，0.001和0却
差着一切。
二、新课讲解
• 以函数图像y=f(x)= 2 为例：
思考2：我们知道当x≤0时，y随x的增大而减小。那“x增大了”如何用符号语言
表示？“对应函数值y减小”又该如何表示？观察下表，你能给出具体描述吗？
x
...
-5
-4
-3
-2
-1
...
f(x)=x2
...
25
16
9
4
1
...
当x从-5增大到-4，函数值f(x)从25减小到16；当x从-4增大到-3，函数值f(x)从
16减小到9；当x从-3增大到-2，函数值f(x)从9减小到4；
即f (x1)<f (x2).这时,f (x)=kx+b是增函数.
②当k<0时,k(x1-x2)＞0.于是f (x1)-f (x2)>0,
即f (x1)>f (x2).这时,f (x)=kx+b是减函数.
变形
判号
定论
三、题目训练
问题：你能归纳以上两个函数单调性的刻画方法，给出函数 =
()在区间I上单调性的符号表述吗？
二、新课讲解
1、函数的单调性的定义:
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间 ⊆D:
• 思考1：根据图象，当自变量x的值增大时,相应函数值是如何变化的呢？
4
当x≤ 0时，y随x的增大而减小
当x≥0时，y随x的增大而增大
1
-2 -1
O
x
1 2
0.001和0.002差着
0.001，0.001和0却
差着一切。
二、新课讲解
• 以函数图像y=f(x)= 2 为例：
思考2：我们知道当x≤0时，y随x的增大而减小。那“x增大了”如何用符号语言
表示？“对应函数值y减小”又该如何表示？观察下表，你能给出具体描述吗？
x
...
-5
-4
-3
-2
-1
...
f(x)=x2
...
25
16
9
4
1
...
当x从-5增大到-4，函数值f(x)从25减小到16；当x从-4增大到-3，函数值f(x)从
16减小到9；当x从-3增大到-2，函数值f(x)从9减小到4；
即f (x1)<f (x2).这时,f (x)=kx+b是增函数.
②当k<0时,k(x1-x2)＞0.于是f (x1)-f (x2)>0,
即f (x1)>f (x2).这时,f (x)=kx+b是减函数.
变形
判号
定论
三、题目训练
2024版《函数的单调性》全市一等奖完整版PPT课件
利用单调性证明不等式
1 2
构造函数 根据不等式的特点，构造一个与不等式相关的函 数。
判断函数单调性 通过求导或差分等方法判断所构造函数的单调性。
3
利用单调性证明不等式 根据函数的单调性，结合不等式的性质，证明不 等式成立。
2024/1/29
18
利用单调性解决实际应用问题
要点一
建立数学模型
要点二
判断函数单调性
2024/1/29
21
导数与微分在函数单调性研究中的应用
导数大于零的区间内函数单调 增加，导数小于零的区间内函 数单调减少。
2024/1/29
导数等于零的点为函数的驻点， 需要进一步判断其左右两侧导 数的符号来确定该点的单调性。
微分的概念可以应用于函数单 调性的研究，通过微分可以分 析函数的局部变化率，进而判 断函数的单调性。
14
指数函数与对数函数
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的单调 性
当 $0 < a < 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递减。
当 $a > 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递增。
指数函数与对数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称，即 互为反函数。
2024/1/29
19
05
函数单调性与其他知识点关联
2024/1/29
20
函数奇偶性与周期性对单调性影响
奇函数在对称区间上的单调性相 同，偶函数在对称区间上的单调
性相反。
周期函数在一个周期内的单调性 与整体单调性一致，可以通过研 究一个周期内的单调性推断整体
的单调性。
函数的单调性的应用课件
详细描述
在许多优化算法中，如梯度下降法、牛顿法等，可以 利用函数的单调性来指导搜索方向，加速算法的收敛 速度。此外，在求解最优化问题时，可以利用单调性 来证明解的存在性和唯一性。
THANKS
感谢观看
导数与函数的单调性
导数与函数的单调性密切相关。导数大于零的区间内，函数单调递增；导数小于零的区间内，函数单 调递减。
通过求函数的导数，可以判断函数的单调性，进而研究函数的极值、拐点等性质。此外，导数还可以 用于求解函数的零点、近似计算等问题。
微积分中的单调性应用
单调性在微积分中有着广泛的应用。例如，在积分学中，可以利用单调性判断积分的符号和大小；在级数理论中，可以利用 单调性判断级数的收敛性和发散性。
02
在单调增函数中，随着自变量$x$的增大，函数值 $f(x)$也相应增大。
03
单调增函数在图像上表现为从左到右逐渐上升的曲 线。
单调减函数
01
单调减函数是指函数在某个区间内，对于任意$x_1 <
x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$。
02
在单调减函数中，随着自变量$x$的增大，函数值
$f(x)$相应减小。
单调性在图像分析中的应用
判断极值点
通过单调性分析，可以确定函数的极值 点，即函数由递增转为递减或由递减转 为递增的点。
VS
确定函数值范围
根据单调性，可以确定函数在某个区间内 的最大值和最小值。
图像变换与单调性的关系
平移变换
函数图像的平移不影响函数的单调性，平移 后的图像仍保持相同的单调性。
伸缩变换
利用单调性进行投资决策分析
总Hale Waihona Puke 词投资决策分析中，函数的单调性可以用于评 估投资组合的风险和回报。
《函数的单调性》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
答案：图象略．
（1）（－∞，0）∪（0，＋∞）．
（2）当k＞0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减； x
当k＜0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增． x
目标检测
44．画出反比例函数y＝
k x
的图象．
（1）这个函数的定义域I是什么？
新知探究
追问5 函数f（x）＝|x|，f（x）＝－x2各有怎样的单调性？
f（x）＝|x|在区间（－∞，0]上单调递减， 在区间[0，＋∞）上单调递增； f（x）＝－x2在区间（－∞，0]上单调递增， 在区间[0，＋∞）上是单调递减．
新知探究
问题4 如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大 （减小）呢？
证明：由x1，x2∈（1，＋∞），得x1＞1，x2＞1，
所以x1x2＞1，x1x2－1＞0．
由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是（x1－x2）（
x1x2 1 x1 x2
）＜0，即y1＜y2．
所以，函数y＝x＋ 1 在区间（1，＋∞）上的单调递增． x
新知探究
追问 你能用单调性定义探究y＝x＋ 1 在整个定义域内的单调性吗？ x
图1
图2
图3
图1的特点是：从左至右始终保持上升；
图2与图3的特点是：从左至右有升也有降．
新知探究
★资源名称： 【数学探究】函数值的变化情况 ★使用说明：本资源通过操作展示动画，使学生观察函数值随着自变量值的变化而变化的情 况．通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教 学效率． 注：此图片为动画缩略图，如需使用资源，请于资源库调用
函数的单调性ppt课件
在(-∞, 0)
上单调递减
当 ∈ (0, +∞)时， ′ > 0
在(0, +∞)
上单调递增
探究二：观察下列4个函数的图像，探讨函
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(3)
= 3
o
定义域
导数正负
函数增减
∈
′ = 3 2 ≥ 0
在R上单调
递增
探究二：观察下列4个函数的图像，探讨函
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(1)
定义域
导数正负
函数增减
∈
′ = 1 > 0
在R上单调
递增
=
o
探究二：观察下列4个函数的图像，探讨函
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(2)
= 2
o
定义域
导数正负
∈
′ = 2
函数增减
当 ∈(-∞, 0)时， ′ < 0
例2：已知导函数′ 的下列信息,试
画出函数 图像的大致形状：
当 < < 时，′ > ；
当 < ，或 > 时， ′ < ；
当 = ，或 = 时， ′ = .
课后作业
问题1：回顾函数单调性的定义，并思考能否从平均变化
率，瞬时变化率的代数表达式中找到函数单调性与导数正
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(4)
定义域
1
=
o
导数正负
∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
′ = − −2 < 0
函数的单调性ppt课件
应用实例
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
经济数学4.利用函数的单调性求证不等式
经济数学
经济数学在线开放课程
利用函数的单调性 求证不等式
授课教师：陈笑缘教授
经济数学
1
2
例题 思路
经济数学
1
例题
经ห้องสมุดไป่ตู้数学
例题
x 当 x 0 时，证明不等式 e 1 x 。
分析：
要证明 e 1 x ( x 0) ，只要证明 e 1 x 0 ( x 0) 。
思路
经济数学
利用函数单调性证明不等式的一般步骤
要证明原不等式 ，一般先将不等式右边的项移至左边 然后关键看左边函数 f ( x) 在规定的范围内的单调性。 利用一阶导数 f ( x ) 的符号判断单调性，从而得到证明结论。
经济数学
证明：当 x 0 时，sin x x 。
经济数学
经济数学在线开放课程
谢谢!
x x
关键看左边函数 f ( x) e x 1 x 在 x 0 的范围内的单调性。 利用一阶导数 f ( x) e x 1 的符号可以判断了。
例题
证明不等式： e x 1 x ( x 0)
证明： 设
经济数学
f ( x) e x 1 x ， 且 f (0) 0 。 显然 f ( x ) 在 x 0 时连续，
x
又 f ( x) e 1 ，当
x0
时，f ( x) e 1 0
x
所以函数 f ( x) 在 (0,) 上单调增加， 那么当
x 0 时， f ( x) f (0) ，即 e x 1 x 0 ，
x
因此，当 x 0 时，e 1 x 。
经济数学
2
经济数学在线开放课程
利用函数的单调性 求证不等式
授课教师：陈笑缘教授
经济数学
1
2
例题 思路
经济数学
1
例题
经ห้องสมุดไป่ตู้数学
例题
x 当 x 0 时，证明不等式 e 1 x 。
分析：
要证明 e 1 x ( x 0) ，只要证明 e 1 x 0 ( x 0) 。
思路
经济数学
利用函数单调性证明不等式的一般步骤
要证明原不等式 ，一般先将不等式右边的项移至左边 然后关键看左边函数 f ( x) 在规定的范围内的单调性。 利用一阶导数 f ( x ) 的符号判断单调性，从而得到证明结论。
经济数学
证明：当 x 0 时，sin x x 。
经济数学
经济数学在线开放课程
谢谢!
x x
关键看左边函数 f ( x) e x 1 x 在 x 0 的范围内的单调性。 利用一阶导数 f ( x) e x 1 的符号可以判断了。
例题
证明不等式： e x 1 x ( x 0)
证明： 设
经济数学
f ( x) e x 1 x ， 且 f (0) 0 。 显然 f ( x ) 在 x 0 时连续，
x
又 f ( x) e 1 ，当
x0
时，f ( x) e 1 0
x
所以函数 f ( x) 在 (0,) 上单调增加， 那么当
x 0 时， f ( x) f (0) ，即 e x 1 x 0 ，
x
因此，当 x 0 时，e 1 x 。
经济数学
2
精选 《函数的单调性》完整版教学课件PPT
么参数的这个值应舍去;假设只有在个别点处有f'(x)=0,那么由
f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.
激趣诱思
知识点拨
3.解决该类问题常用的有关结论:
m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max;
m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)在区间(a,b)上,假设f'(x)>0,那么f(x)在此区间上单调递增,反之也
较大
较小
函数值变化
较快
较慢
函数的图象
比较“陡峭”(向上或向下)
比较“平缓”(向上或向下)
名师点析1.原函数的图象通常只看增(减)变化,而导函数的图象通
常对应只看正(负)变化.
2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个
对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数值大小的关
系.
解:①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为
(0,+∞).
2
②当 a<0 时,f'(x)=-ax2+2x.令 f'(x)>0,得(-ax+2)x>0,即 - x>0,得
2
2
2
x>0 或 x< ;令 f'(x)<0,得(-ax+2)x<0,即 - x<0,得 <x<0.故 f(x)的单
(2)函数定义域为R,f'(x)=ex-1.
知识点拨
四、解析式中含参数的函数单调区间的求法
函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往
f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.
激趣诱思
知识点拨
3.解决该类问题常用的有关结论:
m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max;
m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)在区间(a,b)上,假设f'(x)>0,那么f(x)在此区间上单调递增,反之也
较大
较小
函数值变化
较快
较慢
函数的图象
比较“陡峭”(向上或向下)
比较“平缓”(向上或向下)
名师点析1.原函数的图象通常只看增(减)变化,而导函数的图象通
常对应只看正(负)变化.
2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个
对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数值大小的关
系.
解:①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为
(0,+∞).
2
②当 a<0 时,f'(x)=-ax2+2x.令 f'(x)>0,得(-ax+2)x>0,即 - x>0,得
2
2
2
x>0 或 x< ;令 f'(x)<0,得(-ax+2)x<0,即 - x<0,得 <x<0.故 f(x)的单
(2)函数定义域为R,f'(x)=ex-1.
知识点拨
四、解析式中含参数的函数单调区间的求法
函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往
函数单调性课件(公开课)ppt
函数单调性课件(公开课)
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
函数单调性课件ppt
导数与函数单调性
01
02
03
导数大于0
函数在对应区间内单调递 增
导数小于0
函数在对应区间内单调递 减
导数等于0
函数可能存在拐点或不可 导点
复合函数的单调性
同增异减
内外层函数单调性相同，则复合 函数单调递增；内外层函数单调 性不同，则复合函数单调递减。
注意拐点
复合函数在拐点处可能改变单调 性。
常见函数的单调性
函数单调性课件
目录
• 函数单调性的定义 • 判断函数单调性的方法 • 函数单调性的应用 • 函数单调性的实例分析 • 函数单调性的综合练习
01
函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的 增减性。如果函数在某个区间内单调 递增，那么对于该区间内的任意两个 数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时 ，有$f(x_1) < f(x_2)$；反之，如果 函数在某个区间内单调递减，那么对 于该区间内的任意两个数$x_1$和 $x_2$，当$x_1 < x_2$时，有 $f(x_1) > f(x_2)$。
03
函数单调性的应用
利用单调性证明不等式
总结词
单调性是证明不等式的一种有效工具 ，通过比较函数在不同区间的增减性 ，可以推导出不等式的正确性。
详细描述
利用单调性证明不等式的基本思路是 ，首先确定函数在指定区间上的单调 性，然后根据单调性定义，比较函数 值的大小，从而证明不等式。
利用单调性求函数的极值
VS
单调性是函数的一种固有属性，与函 数的定义域和值域无关，只与函数的 增减性有关。
单调增函数和单调减函数
01
单调增函数是指函数在某个区间 内单调递增的函数。对于任意两 个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) < f(x_2)$。
函数的单调性 PPT精品课件
1. Def（局部极值） 若f (x)在x0点的某领域
注1. Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别 其导数的符号即可，其步骤是: ⑴ 确定 f ( x) 的定义域； ⑵ 求 f (x) ，令 f(x)0求出分界点； ⑶ 用分界点将定义域分成若干个开区间； ⑷ 判别 f (x) 在每个开区间内的符号，即可
确定 f ( x) 的严格单调性（严格单调区间）.
教学方法： 启发式教学法和学生探究式教学法
目录
1 教学内容分析 2 学生情况分析 3 教学目标分析 4 教学重难点分析 5 教学方法分析 6 教学过程设计
六、教学过程设计
创设情境 引入新课
初步探索 概念形成
概念深化 延伸拓展
证法探究 应用定义
小结评价 作业创新
六、教学过程设计
创设情境 引入新课
x
(,1) (1,2) (2,)
y'
+
－
+
y
例2. y(x1)2(x2)3.
解：定义域是 R. 由 y f(x ) (x 1 )x ( 2 )2 (5 x 7 ). 令 f(x)0解x 得 1, 7和 2. 现列表讨论如下： 5
x
(,1)
(1 , 7 ) 5
(7 5
,2 )
(2,)
y'
+
－
+
+
y
可见 f(x)， 在(7, )严格单调f(上 2)0 升 . ，但 5
注2. 利用函数的升降性及其导数之间的关系来证明不等式．
Th. 2 （不等式定理）若 f (x) 与 g(x) 满足条件：
(1) 在[a,b]上可导;
( 2 )在 ( a ,b ) 内 ,f( x ) g ( x )( 或 , f( x ) g ( x )); (3 )f(a)g(a),(或 f(b)g(b)),y
注1. Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别 其导数的符号即可，其步骤是: ⑴ 确定 f ( x) 的定义域； ⑵ 求 f (x) ，令 f(x)0求出分界点； ⑶ 用分界点将定义域分成若干个开区间； ⑷ 判别 f (x) 在每个开区间内的符号，即可
确定 f ( x) 的严格单调性（严格单调区间）.
教学方法： 启发式教学法和学生探究式教学法
目录
1 教学内容分析 2 学生情况分析 3 教学目标分析 4 教学重难点分析 5 教学方法分析 6 教学过程设计
六、教学过程设计
创设情境 引入新课
初步探索 概念形成
概念深化 延伸拓展
证法探究 应用定义
小结评价 作业创新
六、教学过程设计
创设情境 引入新课
x
(,1) (1,2) (2,)
y'
+
－
+
y
例2. y(x1)2(x2)3.
解：定义域是 R. 由 y f(x ) (x 1 )x ( 2 )2 (5 x 7 ). 令 f(x)0解x 得 1, 7和 2. 现列表讨论如下： 5
x
(,1)
(1 , 7 ) 5
(7 5
,2 )
(2,)
y'
+
－
+
+
y
可见 f(x)， 在(7, )严格单调f(上 2)0 升 . ，但 5
注2. 利用函数的升降性及其导数之间的关系来证明不等式．
Th. 2 （不等式定理）若 f (x) 与 g(x) 满足条件：
(1) 在[a,b]上可导;
( 2 )在 ( a ,b ) 内 ,f( x ) g ( x )( 或 , f( x ) g ( x )); (3 )f(a)g(a),(或 f(b)g(b)),y
函数的单调性优质课课件pptx
04 复合函数与反函 数单调性分析
复合函数单调性判定方法
同增异减原则
内外层函数单调性相同时 ，复合函数为增函数；内 外层函数单调性相反时， 复合函数为减函数。
求导判断法
对复合函数求导，根据导 数的正负判断函数的单调 性。
图像判断法
画出内外层函数的图像， 通过观察图像的升降来判 断复合函数的单调性。
参变量变化对实际问题解 决的影响分析
案例分析：参变量在实际 问题中的具体应用
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
01 02
函数单调性的定义
对于函数y=f(x)，如果对于区间I内的任意两个数x1, x2，当x1<x2时， 都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），则称函数f(x)在区间I上是单调递增 （或单调递减）的。
判断函数单调性的方法
通过求导判断函数的单调性，若f'(x)>0，则f(x)在对应区间内单调递增 ；若f'(x)<0，则f(x)在对应区间内单调递减。
03
单调性与函数图像的关系
单调递增函数的图像从左到右呈上升趋势，单调递减函数的图像从左到
右呈下降趋势。
易错难点剖析及解题技巧分享
易错点
在求导过程中忽略定义域的限制 ，导致判断错误；将函数的局部
极值点处的一阶偏导数必须为零，即 驻点。
案例分析：多元函数单调性应用
01
02
03
经济学中的应用
在生产函数中，通过判断 多元函数的单调性可以确 定生产要素的投入量对产 出的影响。
工程学中的应用
在优化设计中，利用多元 函数的单调性可以找到最 优的设计方案。
数学建模中的应用
在解决实际问题时，通过 建立多元函数模型并利用 其单调性进行分析，可以 得到问题的解决方案。
函数单调性的应用PPT教学课件
春天来了，经受了风 霜考验的橘子树更加茂 盛。
那四季常青的叶片在明 媚的阳光下闪着绿油油 的光。
春天来了，经受了风 霜考验的橘子树更加茂 盛，那四季常青的叶片 在明媚的阳光下闪着绿 油油的光。
到了四五月，各种花 竞相开放，争奇斗艳， 而橘子树却不声不响地 长出米粒大小的花骨朵。
花骨朵绽放开来，形状像 茉莉，一瓣一瓣的，有指 甲那么大，小巧、洁白、 清新、朴素，一簇簇藏在 枝叶间，星星点点的，不 大起眼。
但当你走近，那阵 阵香气扑面而来， 会使你醉倒。
到了四五月，各种花竞相开放， 争奇斗艳，而橘子树却不声不响 地长出米粒大小的花骨朵。花骨 朵绽放开来，形状像茉莉，一瓣 一瓣的，有指甲那么大，小巧、 洁白、清新、朴素，一簇簇藏在 枝叶间，星星点点的，不大起眼。 但当你走近，那阵阵香气扑面而 来，会使你醉倒。
x3
3.求参数取值范围
例3：已知函数f(x)=- x2+tx+6在（- ，2]上递增
求 t 的取值范围
x 例4：已知二次函数f(x)=
2-(a-1)x+5在区间（
1 2
，1）
上是增函数，求f(2)的取值范围
4.求函数的值域（包括最值）
例1。已知函数f(x)= x2 -2x+3在[0，a](a>0)上最大值是3
课堂练习：
1．求 y 6x 3 2x 1 的值域。
log 3 1 a4
2．函数f (x) x2 2(a 1)x 2 在区间(-∞,4)上 是减函数,则实数a的取值范围是 [ ]
A．a≥3 B．a≤-3 C．a≤5 D．a=-3
9·家乡的 红橘
风霜考验 明媚 花骨朵竞 相开放 绽放 茉莉 一 瓣一瓣 一簇簇 朴素 又酸 又涩 成熟 沉甸甸 鲜嫩 舒畅
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
∴所求函数的定义 域为 { x| 1 < x < 2}
x log ( 3 1) 3 3. 解不等式 ： 1 2
解：原不等式等价于 log 1 (3x 1) log 1 8
3 1 0 3x 1 8
x
2
即
3x 1
2
3x 9
∴所求不等式的解集 为{x| 0 < x < 2}
思考题
解：∵ 0∈[-1,1] 已知奇函数f(x)在定义域 [-1，1]上是减函数，解不 ∴ f(0) = 0
等式f ( 2x- 1 ) > 0
∴有
1 2 x 1 1 2 x 1 0
1 ∴0 ≤ x < 2
（1）在 （0,） 上是增函数 （2）f ( 1 ) = 0
则不等式f ( x ) > 0的解为
X > 1 或 -1< x <0
x 0 ∴有 x) f (1 x 1) -1 f (0 x 0 或 f ( x) f (1)
∴f(x)>0的解为x>1
或-1<x<0
岳阳市第十四中学
岳阳市第十四中学
利用函数的单调性解不等式
回顾指数函数、对数函数的图像与性质
指数函数 y = a x 0<a<1 y a>1 定义域：R 定义域：R 值
值域: ( 0 , + ∞ ) 域：(0 , + ∞ )
1
0 x
过点(0 ，1),即x=0 时 y=1 a>1时，在R上是增函数 0<a<1时，在R上是减函数
归纳方法
1 2
观察不等式两端 的特点， 化为同类函数
借助函数的单调 性，去掉“ f “
归纳方法
3
注意定义域及单调 区间（特别是对数 函数中真数大于0）
课后作业
3 x , x 1 1. 已知f(x) = ，若f(x) = 2，则x= x, x 1
性 质
0<a<1
图
像
基础型练习
1. 解下列不等式
（1）2 x > 4
（2） ( 1 ) x < 8ห้องสมุดไป่ตู้
2
解： x > 2 解： x > -3 解： x > 100 解：0 x
1 4
（3）lgx > 2 （4） log1 x 2
2
小结：
指数函数、对数函数不等式的解法 1. 将不等式两边变成底数相同； 2. 利用函数的单调性，注意函数的定义域； 3. 若y=f(x)在区间D上是增(减)函数，则对于x1,x2 ∈D, 2 有： (1) f(x1)<f(x2 ) x1 < x2 (x1 > x 2)
3x 2 0 2x 0 3x 2 2 x
2 x2 3
2 x 3 x0
x2
5. 已知奇函数 f ( x ) 的定义 （0,） 域为（ ,0） 且满足条件:
解: 由已知得f ( （ , 0） yx )在 上也是增函数（可证）， 且 f ( -1 ) = 0
（1）当 a > 1时有： 解：
3x 2 0 2x 0
( a > 0,且a 1 ) 的取值范围
4. 已知函数 f(x)=loga (3x 2)
2 x 3 x0
x2
3x 2 2 x
∴x > 2
若 f ( x ) > loga ( 2x ), 求x
（2）当 0<a < 1时有：
(2) f(x1)=f(x2)
(3) f(x1)>f(x2)
x1
x1 = x2
> x2
(x1 = x2 )
(x 1 < x2 )
提高型练习
2. 求函数
y 1 log1 ( 2 x)
2
的定义域
解:依题意有
2–x <1 即 2–x>0
log1 (2 x) 0
1 1 2. 函数f(x) = |lgx|，则f ( )， f ( ) ，f(2)的大小关系是 4 3
3. 已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，
1 2
且 f(
) = 0，求不等式f ( log 4 x ) > 0的解集；
岳阳市第十四中学
谢谢大家!
性 质
图
像
回顾指数函数、对数函数的图像与性质
对数函 数 y = logax
y
a>1
定义域：( 0 , + ∞ ) 值 域：R
过点(1 ，0)即x = 1时y = 0 0 1 x a > 1 时: 在( 0 , + ∞ )上是增函数 0 < a < 1时: 在( 0 , + ∞ )上是减函数
∴所求函数的定义 域为 { x| 1 < x < 2}
x log ( 3 1) 3 3. 解不等式 ： 1 2
解：原不等式等价于 log 1 (3x 1) log 1 8
3 1 0 3x 1 8
x
2
即
3x 1
2
3x 9
∴所求不等式的解集 为{x| 0 < x < 2}
思考题
解：∵ 0∈[-1,1] 已知奇函数f(x)在定义域 [-1，1]上是减函数，解不 ∴ f(0) = 0
等式f ( 2x- 1 ) > 0
∴有
1 2 x 1 1 2 x 1 0
1 ∴0 ≤ x < 2
（1）在 （0,） 上是增函数 （2）f ( 1 ) = 0
则不等式f ( x ) > 0的解为
X > 1 或 -1< x <0
x 0 ∴有 x) f (1 x 1) -1 f (0 x 0 或 f ( x) f (1)
∴f(x)>0的解为x>1
或-1<x<0
岳阳市第十四中学
岳阳市第十四中学
利用函数的单调性解不等式
回顾指数函数、对数函数的图像与性质
指数函数 y = a x 0<a<1 y a>1 定义域：R 定义域：R 值
值域: ( 0 , + ∞ ) 域：(0 , + ∞ )
1
0 x
过点(0 ，1),即x=0 时 y=1 a>1时，在R上是增函数 0<a<1时，在R上是减函数
归纳方法
1 2
观察不等式两端 的特点， 化为同类函数
借助函数的单调 性，去掉“ f “
归纳方法
3
注意定义域及单调 区间（特别是对数 函数中真数大于0）
课后作业
3 x , x 1 1. 已知f(x) = ，若f(x) = 2，则x= x, x 1
性 质
0<a<1
图
像
基础型练习
1. 解下列不等式
（1）2 x > 4
（2） ( 1 ) x < 8ห้องสมุดไป่ตู้
2
解： x > 2 解： x > -3 解： x > 100 解：0 x
1 4
（3）lgx > 2 （4） log1 x 2
2
小结：
指数函数、对数函数不等式的解法 1. 将不等式两边变成底数相同； 2. 利用函数的单调性，注意函数的定义域； 3. 若y=f(x)在区间D上是增(减)函数，则对于x1,x2 ∈D, 2 有： (1) f(x1)<f(x2 ) x1 < x2 (x1 > x 2)
3x 2 0 2x 0 3x 2 2 x
2 x2 3
2 x 3 x0
x2
5. 已知奇函数 f ( x ) 的定义 （0,） 域为（ ,0） 且满足条件:
解: 由已知得f ( （ , 0） yx )在 上也是增函数（可证）， 且 f ( -1 ) = 0
（1）当 a > 1时有： 解：
3x 2 0 2x 0
( a > 0,且a 1 ) 的取值范围
4. 已知函数 f(x)=loga (3x 2)
2 x 3 x0
x2
3x 2 2 x
∴x > 2
若 f ( x ) > loga ( 2x ), 求x
（2）当 0<a < 1时有：
(2) f(x1)=f(x2)
(3) f(x1)>f(x2)
x1
x1 = x2
> x2
(x1 = x2 )
(x 1 < x2 )
提高型练习
2. 求函数
y 1 log1 ( 2 x)
2
的定义域
解:依题意有
2–x <1 即 2–x>0
log1 (2 x) 0
1 1 2. 函数f(x) = |lgx|，则f ( )， f ( ) ，f(2)的大小关系是 4 3
3. 已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，
1 2
且 f(
) = 0，求不等式f ( log 4 x ) > 0的解集；
岳阳市第十四中学
谢谢大家!
性 质
图
像
回顾指数函数、对数函数的图像与性质
对数函 数 y = logax
y
a>1
定义域：( 0 , + ∞ ) 值 域：R
过点(1 ，0)即x = 1时y = 0 0 1 x a > 1 时: 在( 0 , + ∞ )上是增函数 0 < a < 1时: 在( 0 , + ∞ )上是减函数