微分及其计算
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4 . d [ f ( x ) • g ( x ) ] g ( x ) d f ( x ) f ( x ) d g ( x ) 5 .d g f( (x x ) ) g (x)d f([x g )( x)f]2 (x)d g (x)(g (x) 0 【)3-4-6】
五、复合函数的微分
cosxf(sinx)dx
(4)y f (ex)
解：dydf (ex) f (ex)dex ex f (ex)dx
本节作业：P78 27
【3-4-10】
dydf(x)A (x) x
【3-4-2】
二、可微与可导的关系
1、结论 f ( x ) 在 x 0 可 微 f ( x ) 在 x 0 可 导 , 且 有 A f ( x 0 )
2、证明 :Qf(x)在 x0可 微 y A x o ( x )( x 0 )
1、法则 设 y f [ g ( x ) ] 是 由 可 微 函 数 y f ( u ) 和 u g ( x ) 复 合 而 成 , 则 y f[g (x ) ] 关 于 x 可 微 , 且 有
d f [ g ( x ) ] f [ g ( x ) ] g ( x ) d x f [ g ( x ) ] d g ( x ) 注： 上述结论中的等式 dyf(g(x)dxf(u)du
2、应用举例
例1 求 50.99的 近 似 值
解： 取 f(x ) 5x ,x 0 1 , x 0 .0 1 ,则 有
50.99f(10.01) f(1 )f(1 )( 0 .0 1 )
10.010.998 5
【3-4-5】
例2 设 yx2,求 d y,d yx 1,d yx 0 解： d y d (x2) (x2)d x 2 x d x
d yf(x )也 称 为 微 商 ,即 是 微 分 的 商 d x
【3-4-4】
三、微分近似计算
1、公式
Q y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x o ( x ) ( x 0 )
当 x 1 时 有 f( x 0 x ) f( x 0 ) f( x 0 ) x
则 称 y f ( x ) 在 x 0 可 微 , 且 称 A x 为 f ( x ) 在 x 0 的 微 分 , 记 作
dyxx0 df xx0 Ax
若 f ( x ) 在 ( a , b ) 内 处 处 可 微 , 则 称 f ( x ) 在 ( a , b ) 内 可 微 , 此 时 有
解： Q d y y ( t ) d t ,d x x ( t ) d t ,x ( t ) 0
dyy(t)dty(t),t[,]
dx x(t)dt x(t)
【3-4-8】
例4 设 y f( u ) 可 微 ,求 下 列 函 数 的 微 分
(1)yf(2x1)
S
2x0x(x)2
x0
当 x 1 时 ,( x )2 就 更 小 ,此 时 有 S 2x0x
2x0x为 S的 主 部
【3-4-1】
2、微分
设 y f ( x ) 在 x 0 的 某 一 邻 域 内 有 定 义 , 若 有 y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) A x o ( x ) ( x 0 ) , 其 中 A 与 x 无 关 ,
3.4 微分及其计算
一、概念
1、引入实例 正方形边长改变时面积的改变量
设 正 方 形 边 长 为 x 0 ,则 其 面 积 为 S x 0 2
x
若 边 长 改 变 x , 则 其 面 积 变 为 S ( x 0 x ) 2
S S S (x 0 x )2 x 0 2 x 0
yAo(x)(x0)
x
x
f(x0)lixm 0 yxA
:Qf(x)在 x0可 导
y f ( x 0 ) x o ( x ) ( 有 限 增 量பைடு நூலகம்公 式 )
f(x)在 x0可 微
【3-4-3】
3、应注意的问题 （1）等价并不意味着完全相同
f ( x ) 只 与 x 有 关 , 而 d f ( x ) 则 与 x 和 x 都 有 关
(2)df(x)f(x) x 因此微分的计算实质上就是导数计算
（3）一般表示形式 令 y f( x ) x ,则 有 y f( x ) 1 ,
d x d f(x ) f(x ) x xdyf(x)dx
称为一阶微分的形式不变性，即对于一阶微分来说，不管是对于自变量， 还是中间变量，微分的形式是一样的，都有
dyf(x)dx
【3-4-7】
六、理解举例 例3 （参数方程函数求导法则） 设参数方程
x x(t) y y (t)
t [,]
其 中 x (t),y (t)关 于 t可 导 ,且 有 x (t) 0 ,求 d y d x
解： dydf(2x1) f(2x 1 )d(2x 1 )
2f(2x1)dx (2)yf(x21) 解： dydf(x21) f(x21)d(x21)
2xf(x21)dx
【3-4-9】
(3)yf(sinx)
解： dydf(sinx) f(sinx)dsinx
dyx12dx,dyx00
四、微分运算法则 依微分与导数的关系及求导法则有
1.d(C )0(C 为 常 数 ) 2 .d ( C f(x ) ) C d f(x ) ( C 为 常 数 )
3 .d [ f( x ) g ( x ) ] d f( x ) d g ( x )
五、复合函数的微分
cosxf(sinx)dx
(4)y f (ex)
解：dydf (ex) f (ex)dex ex f (ex)dx
本节作业：P78 27
【3-4-10】
dydf(x)A (x) x
【3-4-2】
二、可微与可导的关系
1、结论 f ( x ) 在 x 0 可 微 f ( x ) 在 x 0 可 导 , 且 有 A f ( x 0 )
2、证明 :Qf(x)在 x0可 微 y A x o ( x )( x 0 )
1、法则 设 y f [ g ( x ) ] 是 由 可 微 函 数 y f ( u ) 和 u g ( x ) 复 合 而 成 , 则 y f[g (x ) ] 关 于 x 可 微 , 且 有
d f [ g ( x ) ] f [ g ( x ) ] g ( x ) d x f [ g ( x ) ] d g ( x ) 注： 上述结论中的等式 dyf(g(x)dxf(u)du
2、应用举例
例1 求 50.99的 近 似 值
解： 取 f(x ) 5x ,x 0 1 , x 0 .0 1 ,则 有
50.99f(10.01) f(1 )f(1 )( 0 .0 1 )
10.010.998 5
【3-4-5】
例2 设 yx2,求 d y,d yx 1,d yx 0 解： d y d (x2) (x2)d x 2 x d x
d yf(x )也 称 为 微 商 ,即 是 微 分 的 商 d x
【3-4-4】
三、微分近似计算
1、公式
Q y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x o ( x ) ( x 0 )
当 x 1 时 有 f( x 0 x ) f( x 0 ) f( x 0 ) x
则 称 y f ( x ) 在 x 0 可 微 , 且 称 A x 为 f ( x ) 在 x 0 的 微 分 , 记 作
dyxx0 df xx0 Ax
若 f ( x ) 在 ( a , b ) 内 处 处 可 微 , 则 称 f ( x ) 在 ( a , b ) 内 可 微 , 此 时 有
解： Q d y y ( t ) d t ,d x x ( t ) d t ,x ( t ) 0
dyy(t)dty(t),t[,]
dx x(t)dt x(t)
【3-4-8】
例4 设 y f( u ) 可 微 ,求 下 列 函 数 的 微 分
(1)yf(2x1)
S
2x0x(x)2
x0
当 x 1 时 ,( x )2 就 更 小 ,此 时 有 S 2x0x
2x0x为 S的 主 部
【3-4-1】
2、微分
设 y f ( x ) 在 x 0 的 某 一 邻 域 内 有 定 义 , 若 有 y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) A x o ( x ) ( x 0 ) , 其 中 A 与 x 无 关 ,
3.4 微分及其计算
一、概念
1、引入实例 正方形边长改变时面积的改变量
设 正 方 形 边 长 为 x 0 ,则 其 面 积 为 S x 0 2
x
若 边 长 改 变 x , 则 其 面 积 变 为 S ( x 0 x ) 2
S S S (x 0 x )2 x 0 2 x 0
yAo(x)(x0)
x
x
f(x0)lixm 0 yxA
:Qf(x)在 x0可 导
y f ( x 0 ) x o ( x ) ( 有 限 增 量பைடு நூலகம்公 式 )
f(x)在 x0可 微
【3-4-3】
3、应注意的问题 （1）等价并不意味着完全相同
f ( x ) 只 与 x 有 关 , 而 d f ( x ) 则 与 x 和 x 都 有 关
(2)df(x)f(x) x 因此微分的计算实质上就是导数计算
（3）一般表示形式 令 y f( x ) x ,则 有 y f( x ) 1 ,
d x d f(x ) f(x ) x xdyf(x)dx
称为一阶微分的形式不变性，即对于一阶微分来说，不管是对于自变量， 还是中间变量，微分的形式是一样的，都有
dyf(x)dx
【3-4-7】
六、理解举例 例3 （参数方程函数求导法则） 设参数方程
x x(t) y y (t)
t [,]
其 中 x (t),y (t)关 于 t可 导 ,且 有 x (t) 0 ,求 d y d x
解： dydf(2x1) f(2x 1 )d(2x 1 )
2f(2x1)dx (2)yf(x21) 解： dydf(x21) f(x21)d(x21)
2xf(x21)dx
【3-4-9】
(3)yf(sinx)
解： dydf(sinx) f(sinx)dsinx
dyx12dx,dyx00
四、微分运算法则 依微分与导数的关系及求导法则有
1.d(C )0(C 为 常 数 ) 2 .d ( C f(x ) ) C d f(x ) ( C 为 常 数 )
3 .d [ f( x ) g ( x ) ] d f( x ) d g ( x )