汽车流量问题数学建模

汽车流量问题数学建模

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交通流量图模型

摘 要

本论文解决的是交通流量的问题。本文根据某城市的单行道各交叉路口流入流出量相等列出方程组，利用线性代数的相关知识，求得各交叉路口交通流量通

解为),6000(05004002006001101111且为整数≤≤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=k k x ，此结果即为交通流量图的模型。

关键词：流入等于流出 线性代数 通解

一、问题重述

在某市中心单行道交叉路口，驶入和驶出如图所示，图中给出了上下班高峰时每个道路交叉口的交通流量（以每小时平均车辆数计），利用所学知识，建立这个交通流量图的模型。

二、问题分析

城市道路网中每条道路，交叉路口车流量分析是改善评价交通情况的基础。必要时设置单行线，减少了转弯时的交通容量，解决了大量车辆长时间拥堵问题。几条单行道彼此交叉，存在交叉点分别为A、B、C、D。本题给出了上下班高峰时每个道路交叉口的每小时交通流量。对于四个点流入量等于流出量，从而得出方程组，利用增广矩阵的初等变换，求出齐次方程组的解，得到线性方程组的通解，从而得最终结果。

三、问题假设

（1）假定全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；

（2）假定全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.

（3）假定汽车行驶的方向随机且概率相同

（4）假定每个道路交叉口的交通流量（以每小时平均车辆数计）

（5）假定车与车之间是相互独立的，互不影响

四、符号说明

（Ab ）：方程组的增广矩阵

η：方程组的一个特解

1λ：导出组的基础解系

x ：方程组的通解

五、模型建立与求解

在每一个路口处可根据进出的汽车流量相等关系,建立一个线性代数方程。则列出以下线性方程组：

600:400

100:300:500

300:51543

4221=++=++=++=+x x D x x C x x x B x x A

整理得线性方程组为：

600500

300

800

515443221=+=+=+-=+x x x x x x x x x

作方程组的增广矩阵）

（b A ，并对它施以初等行变换： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2001001050011000100111008000001120010010

50011000300011108000001160010001

5001100030001110800000

11b ）（A 则54r b r <==）（）（A A ，所以其线性方程组有无穷解

即原方程组与方程组

200500

100

800

525454321=-=+=++-=+x x x x x x x x x 5435251500400

200600x x x x x x x -==+=-=

同解，其中x 5为自由未知量。

令05=x ，得方程的一个特解

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0500400200600η 原方程的导出组与方程组

00

525454321=-=+=++-=+x x x x x x x x x 54352510

x x x x x x x -===-=

同解，其中x 5为自由未知量。

令15=x ，即得导出组的基础解系

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=110111λ 因此原方程组的通解为

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=+=050040020060011011111k k x η

λ（k 1为任意实数） 于是方程组的通解其中k 1为任意常数，所以x 有无穷多解.

但是根据题意60005≤≤x ，即60001≤≤k

所以符合交通流量图的模型为

),6000(05004002006001101111且为整数≤≤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=k k x

六、模型结果分析与检验

分别将k 取最最大值600和最小值0带入通解公式，求得i x ，将其带入图中，交通顺畅，基本不会造成车拥堵现象。因为两种极限情况符合要求，所以通解符合要求，模型结果可靠，具有推广意义。

七、模型评价

1、模型的优点：此模型比较充分的的考虑了题目中的约束条件，简单明了，采

用线性代数的方法确立最终模型，建立的模型贴近实际，具有推广意义和参考价值。

2、模型的缺点：模型与实际情况存在一定差异，没有考虑自然条件影响，仍有

理想化的地方。

八、参考文献

1.赵树嫄，《线性代数》，中国人民大学出版社

2.傅家良，《运筹学方法与模型》，复旦大学出版社

3.胡建，《线性代数》，化学工业出版社

4.钱春林. 《线性代数》，高等教育出版社

5.姜启源等编，《数学模型》，高等教育出版社