汽车流量问题数学建模

合集下载

生活中的数学建模问题例子

生活中的数学建模问题例子生活中的数学建模问题数学建模是将实际问题抽象为数学模型的过程，通过数学模型的建立和求解，可以对问题进行分析、预测和优化。

在生活中，我们会遇到许多需要用数学建模来解决的问题。

下面是一些常见的例子。

1. 交通拥堵问题问题描述在城市交通流量较大时，往往会出现交通拥堵的情况。

为了合理规划交通流量，我们需要建立一个能预测交通拥堵程度的数学模型。

建模过程•收集数据：首先，我们需要收集一段时间内的交通数据，包括车辆数量、行驶速度等信息。

•分析数据：根据收集到的数据，我们可以分析交通拥堵的原因和模式。

例如，可以通过分析车辆密度和速度的关系来确定交通流量的阈值。

•建立数学模型：基于分析结果，我们可以建立一个数学模型来描述交通拥堵程度。

例如，可以使用流体力学中的守恒方程，考虑车辆的流入、流出和流动等因素。

•模型求解：通过求解建立的数学模型，我们可以得到交通拥堵程度的预测结果。

•模型评估和优化：根据模型预测的结果，我们可以评估当前交通规划的效果，并提出优化建议。

2. 疫情传播问题问题描述在疫情爆发时，我们希望能够及早预测疫情的传播趋势和规模，以便采取相应的措施来控制疫情。

建模过程•收集数据：收集疫情传播的相关数据，包括感染人数、治愈人数、病毒传播速度等信息。

•分析数据：利用收集到的数据，我们可以分析疫情传播的特点和规律。

例如，可以通过分析感染人数的增长速度来预测疫情的传播趋势。

•建立数学模型：基于分析结果，我们可以建立一个数学模型来描述疫情传播的过程。

例如，可以使用传染病数学模型中的传染病传播动力学模型，考虑人群的感染、康复和死亡等因素。

•模型求解：通过求解建立的数学模型，我们可以得到疫情传播的预测结果。

•模型评估和优化：根据模型预测的结果，我们可以评估当前疫情防控的效果，并提出优化建议。

3. 资产投资问题问题描述在投资领域，我们希望能够通过建立数学模型来分析不同投资策略下的收益和风险，并进行优化选择。

数学中关于车流量最大问题

数学中关于车流量最大问题
在数学中，关于车流量最大问题通常是指在一个交通网络中，如何通过合理的安排车辆的行驶路径，使得整体的车流量达到最大化。

这个问题可以被视为一个优化问题，其中需要考虑到车辆的交通状况、路径选择、道路容量等因素。

一种常见的建模方法是使用图论的相关知识，将道路视为图中的边，路口视为图中的顶点。

然后可以利用各种算法和策略，来寻找一种最佳的路径规划，以使得车流量最大化。

在实际应用中，针对这个问题可以使用不同的方法来解决，如线性规划、整数规划、动态规划、离散事件模拟等。

同时，还可以结合实时数据分析、交通流模型等技术，来优化车流量的分配和控制。

针对具体的情况和需求，可能会有不同的车流量最大化问题。

例如，可以考虑人口分布、道路布局、交通信号灯等因素，以及不同的目标，如最小化行驶时间、平均速度等。

总之，车流量最大问题是数学中的一个重要研究方向，涉及到图论、优化方法、数据分析等多个领域的知识和技术。

它在交通领域具有重要的应用价值，可以帮助提高交通效率、减少拥堵，提升城市交通运输的可持续性。

数学建模在交通流量分析中的应用

数学建模在交通流量分析中的应用在现代社会，交通流量的分析对于城市规划、交通管理以及公众出行都具有至关重要的意义。

数学建模作为一种有效的工具，为深入理解和优化交通流量提供了有力的支持。

交通流量分析所面临的问题复杂多样。

城市道路的布局千差万别，不同时间段的交通需求也大不相同。

高峰时段的拥堵、节假日的出行高峰以及突发事故等情况都会对交通流量产生显著影响。

要准确分析这些情况，就需要借助数学建模来建立交通流量与各种因素之间的关系。

数学建模在交通流量分析中的一个重要应用是预测交通流量。

通过收集历史交通数据，包括车流量、车速、道路状况等，利用数学模型对未来某一时间段内的交通流量进行预测。

常见的预测模型有时间序列模型、回归分析模型等。

以时间序列模型为例，它基于过去一段时间内的交通流量数据的变化趋势，来推测未来的流量情况。

而回归分析模型则可以将多个影响因素，如天气、节假日、特殊活动等，与交通流量建立起数学关系，从而提高预测的准确性。

在交通信号控制方面，数学建模也发挥着关键作用。

交通信号灯的合理设置对于减少拥堵、提高道路通行效率至关重要。

通过建立数学模型，可以根据实时的交通流量情况，优化信号灯的时长和相位，以最大程度地减少车辆等待时间和拥堵。

例如，利用排队论模型，可以分析车辆在路口的排队情况，从而确定最优的信号灯周期。

数学建模还能够用于评估交通规划方案的效果。

当城市规划新的道路、桥梁或者交通枢纽时，可以通过建立交通流模型来模拟不同方案下的交通流量分布。

这有助于比较不同方案的优劣，选择最能满足交通需求、提高交通效率的规划方案。

比如，在规划一个新的商业区时，可以通过建模预测未来的交通流量增长，从而提前规划相应的交通设施。

在分析交通事故对交通流量的影响时，数学建模同样不可或缺。

事故发生后，道路通行能力下降，车辆排队长度增加。

通过建立事故影响模型，可以估计事故造成的拥堵范围和持续时间，为交通管理部门采取及时有效的疏导措施提供依据。

数学建模在交通流量控制中的应用

数学建模在交通流量控制中的应用交通流量控制一直以来都是城市规划和交通管理中的重要课题之一。

如何在保障交通安全的前提下，提高交通效率，减少堵塞现象，一直是交通专家们所关注的核心问题。

为了解决这个问题，数学建模被引入到交通流量控制中，成为一种重要的工具和方法。

本文将探讨数学建模在交通流量控制中的应用，并介绍一些数学模型。

首先，我们来了解一下数学建模在交通流量控制中的作用。

交通流量控制的目标是尽可能地提高道路通行效率，并降低拥堵现象的发生。

传统的交通流量控制方法是依靠交通信号灯和道路限行等手段，但这些方法的效果往往有限，难以完全解决交通拥堵问题。

通过数学建模，我们可以通过建立交通流量的数学模型，分析道路上的车辆流动规律，预测拥堵状况，并据此制定相应的交通流量调控策略，从而更加有效地控制交通流量，减少拥堵现象发生。

其次，我们介绍一些在交通流量控制中常用的数学模型。

其中一个重要的数学模型是交通流量流动模型。

该模型基于流体力学的理论，将车辆流动看作是一种流体的流动，通过研究车辆流动的速度和密度之间的关系，从而推导出道路上的交通流量模型。

这种模型的优点是可以较为准确地预测道路上的车辆流动情况，为交通流量控制提供了有力的理论基础。

另一个常用的数学模型是交通信号控制模型。

交通信号控制是交通流量控制中常用的手段之一，通过合理地控制交通信号灯的周期和配时，可以有效地调控交通流量，减少拥堵现象。

在交通信号控制模型中，我们可以使用数学方法，分析交叉口的车流情况，确定最优的信号灯周期和配时，从而实现交通流量的优化控制。

这种模型的优势在于可以高效地解决交通信号灯控制问题，并提高交通流量的通行效率。

除了上述两种模型外，还有一些其他的数学模型在交通流量控制中得到了广泛应用。

例如，通过建立车辆行驶路径选择模型，可以分析不同路径选择对交通流量的影响，从而制定合理的路径规划策略；通过建立交通流量分配模型，可以优化车辆在不同道路上的分配，减少道路的拥堵程度。

数学建模在交通流量中的应用研究

数学建模在交通流量中的应用研究交通流量是城市交通运输中一项重要的指标，对于解决交通拥堵、提高交通效率有着举足轻重的作用。

而数学建模作为一种研究方法，可以帮助我们更好地理解和分析交通流量，找到改善措施。

本文将介绍数学建模在交通流量中的应用研究。

一、交通流量的数学建模1.交通流量定义交通流量指的是某一时刻通过交通网络的车辆数量。

它通常用单位时间内通过某一道路、交叉口或区域的车辆数来衡量，常用单位为车辆每小时（veh/h）。

2.交通流量的特性交通流量具有一定的特性，如：峰值流量、最大流量、流量密度等。

峰值流量是指在某一时刻交通流量达到的最高水平；最大流量是指在单位时间内通过某一点的最大车辆数；流量密度指的是单位长度或单位面积内通过的车辆数。

3.交通流量的影响因素交通流量的大小受到多个因素的影响，如道路容量、车辆速度、交叉口设计等。

通过对这些因素进行数学建模，可以更好地理解和预测交通流量变化。

二、常用的数学模型1.流量-密度模型流量-密度模型用来描述交通流量与流量密度之间的关系。

通常采用的模型有线性模型、拟线性模型和非线性模型等。

其中，绿波控制是一种常用的交通管理方法，在交通拥堵时可以通过调整交通信号配时来提高交通流量。

2.速度-密度模型速度-密度模型用来描述交通速度与流量密度之间的关系。

通常采用的模型有BPR模型和SMD模型等。

这些模型可以帮助我们评估交通流量对速度的影响，并为交通管理和交通规划提供依据。

3.排队模型排队模型用来描述交通拥堵时车辆排队的情况。

常用的排队模型有纳什模型、帕斯卡模型和饱和流队列模型等。

这些模型可以帮助我们分析交通拥堵的原因，并提出相应的解决方案。

三、数学建模在交通流量中的应用案例1.交通信号优化通过数学建模，可以对交通信号进行优化调整，以最大化交通流量。

例如，可以利用交通流量模型，确定每个信号灯的绿灯时长，以实现交通流畅。

2.交通拥堵预测利用数学建模可以预测交通拥堵的发生和持续时间，从而及时采取相应措施。

数学建模在交通流量中的应用研究

数学建模在交通流量中的应用研究数学建模作为一种在实际问题中运用数学方法进行分析和解决的手段，在交通领域中有着广泛的应用。

本文将通过对数学建模在交通流量中的应用进行研究，探讨其在交通管理和规划中的意义和作用。

一、交通流量模型的建立交通流量模型是交通建模的重要组成部分，通过对交通流的建模分析，可以揭示交通系统的运行规律，为交通管理和交通规划决策提供科学依据。

常见的交通流量模型包括微观模型和宏观模型。

微观模型主要研究个体交通参与者的行为和交通流的动态变化，常用的微观模型有细胞自动机模型和微观仿真模型。

细胞自动机模型基于个体车辆之间的相互作用，通过模拟车辆的运动行为来分析交通流量。

而微观仿真模型则是通过对交通流的详细描述和计算，模拟出交通系统的运行情况。

宏观模型则是以整个交通网络为研究对象，对交通流的分布和演化进行宏观描述和分析。

宏观模型主要包括流动模型和控制模型。

流动模型通过对交通流量的分布和速度进行建模，得到交通流的分布规律和拥堵状态。

控制模型则是通过对交通流量的控制策略进行建模，优化交通流量分布和缓解拥堵。

二、交通流量预测与优化基于建立的交通流量模型，可以进行交通流量的预测和优化，为交通管理和规划决策提供参考。

交通流量预测主要通过对历史交通数据的分析和预处理，结合数学建模方法预测未来的交通流量。

常用的预测方法包括时间序列分析、回归分析和神经网络等。

通过预测交通流量，可以为交通管理部门合理调度交通信号灯、优化道路布局等提供依据。

交通流量优化则是通过对交通流的建模和优化算法的应用，提出合理的交通流优化策略，减少交通拥堵，提高道路通行能力。

常用的优化方法包括交通信号控制优化、路径优化和交通调度等。

通过优化交通流量，可以提高交通效率，减少交通排放，提升城市交通服务水平。

三、案例分析：交通流量调度为了进一步了解数学建模在交通流量中的应用，我们以交通流量调度为例进行案例分析。

在日常交通中，常常出现因为交通事故、交通管制等因素导致路口拥堵的情况。

华中杯数学建模2023c题第二问

华中杯数学建模2023c题第二问华中杯数学建模2023c题第二问是关于城市道路交通流量的相关问题。

在这个问题中，我们需要从多个角度来进行评估和分析，以便能够更深入地理解并解决这个问题。

我们需要了解城市道路交通流量的含义和特点。

城市道路交通流量是指单位时间内通过某一路段的车辆数量，这个数量受到诸多因素的影响，包括但不限于道路规划、交通信号灯、驾驶员行为和车辆类型等。

考虑到这些因素的影响，我们需要从宏观和微观两个角度对城市道路交通流量进行评估。

我们需要分析城市道路交通流量的现状和趋势。

通过收集相关数据和统计资料，我们可以了解到不同时间段和地点的交通流量情况，以及其变化趋势。

通过对这些数据的分析，我们可以得出一些结论和规律，从而为解决这个问题提供有力的支持。

在对城市道路交通流量进行评估和分析的过程中，我们需要考虑到该问题可能涉及的多个方面，包括但不限于城市规划、交通管理、环境保护和公共安全等。

在撰写文章时，我们需要将这些方面都考虑在内，并对其进行全面的评述和分析。

在总结和回顾文章内容时，我们可以得出一些结论和建议，以便能够更好地解决这个问题。

我们也可以共享一些个人观点和理解，以期能够引发更多的讨论和探讨。

通过对城市道路交通流量进行评估和分析，我们可以更深入地理解这个问题，并为解决这个问题提供有力的支持。

希望在未来的工作中，我们可以进一步深入探讨这个问题，为城市的交通管理和规划工作做出更大的贡献。

在撰写文章时，我们需要将这些方面都考虑在内，并对其进行全面的评述和分析。

城市规划在城市道路交通流量的评估和分析中起到了至关重要的作用。

城市规划需要考虑到不同地区的交通流量情况，以及道路规划和交通设施的建设。

通过合理的城市规划，可以有效地引导交通流量，减少道路拥堵和交通事故的发生，提高交通运输效益和人民生活质量。

数学建模汽车销量预测

数学建模汽车销量预测在当今汽车市场竞争越来越激烈的时代，汽车销量成为衡量企业实力的重要指标之一。

因此，汽车销量预测成为汽车企业必须要面对的一个问题。

在这个问题中，数学建模将会是一种非常好的方法来解决这个预测问题。

在数学建模中，需要从多方面的角度来考虑汽车销量预测，其中包括以下几点：1.市场历史数据分析了解汽车市场的历史数据可以为汽车销量预测提供非常有价值的基础数据。

这些数据可能包括销售数量、价格、销售地区、汽车供应链等等。

通过对这些历史数据进行分析，可以发现某些趋势和模式，从而为汽车销量预测提供参考。

2.消费者心理分析消费者心理分析可以帮助企业更好地了解消费者的想法和消费动态。

例如，年轻人可能更喜欢酷炫的车型和高科技配置，而家庭用户可能更注重车内空间和舒适性。

通过研究消费者需求，可以更准确地预测汽车销售量。

3.经济环境分析经济环境是影响汽车销量的一个重要因素。

例如，通货膨胀、利率变化、人口流动等都可能对汽车销量造成影响。

因此，在汽车销量预测中，必须充分考虑当前的经济环境因素。

在汽车市场上，竞争环境也是一个非常重要的因素。

通过研究竞争对手的产品定位、价格、推广等信息，可以更好地预测销量。

此外，也可以通过在市场上进行调研，了解消费者的购买意愿和竞争对手的销售情况来预测销量。

5.数学建模最后，将以上四个方面的因素结合起来，通过数学建模来预测汽车销量。

数学建模是一种利用数学工具来分析和解决实际问题的方法，而在汽车销量预测中，可以采用统计分析、时间序列分析、回归分析等方法来进行建模。

在进行数学建模时，需要注意各个因素之间的影响关系，避免偏差和误差，提高预测的准确性。

此外，也需要不断对模型进行验证和更新，以保证预测的效果。

综上所述，在汽车销量预测中，数学建模是一种非常有用的工具。

通过分析多个方面的因素，并利用数学建模来处理和预测数据，可以帮助企业更好地掌握汽车市场的动态，从而更好地制定销售策略和计划，提高市场竞争力。

数学建模案例分析--线性代数建模案例20例

线性代数建模案例汇编目录案例一. 交通网络流量分析问题1案例二. 配方问题4案例三. 投入产出问题6案例四. 平板的稳态温度分布问题7案例五. CT图像的代数重建问题11案例六. 平衡结构的梁受力计算13案例七. 化学方程式配平问题16案例八. 互付工资问题17案例九. 平衡价格问题19案例十. 电路设计问题20案例十一. 平面图形的几何变换22案例十二. 太空探测器轨道数据问题24案例十三. 应用矩阵编制Hill密码25案例十四. 显示器色彩制式转换问题27案例十五. 人员流动问题29案例十六. 金融公司支付基金的流动31案例十七. 选举问题33案例十八. 简单的种群增长问题34案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解36 案例二十. 最值问题38附录数学实验报告模板错误!未定义书签。

案例一. 交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。

根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。

【模型准备】某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).图3 某城市单行线车流量(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? (3) 当x 4 = 350时, 确定x 1, x 2, x 3的值.(4) 若x 4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.【模型建立】根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足500 = x 1 + x 2① 400 + x 1 = x 4 + 300 ② x 2 + x 3 = 100 + 200 ③ x 4 = x 3 + 300 ④ 【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组12142334500100300300x x x x x x x x +=⎧⎪-=-⎪⎨+=⎪⎪-+=⎩其增广矩阵(A , b ) =1100500100110001103000011300⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭−−−−→初等行变换10011000101600001130000000--⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭由此可得142434100600300x x x x x x -=-⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩ 即142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩. 为了唯一确定未知流量, 只要增添x 4统计的值即可. 当x 4 = 350时, 确定x 1 = 250, x 2 = 250, x 3 = 50.若x 4 = 200, 则x 1 = 100, x 2 = 400, x 3 = -100 < 0. 这表明单行线“③←④”应该改为“③→④”才合理.【模型分析】(1) 由(A , b )的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.(2) 由142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩可得213141500200100x x x x x x =-+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩, 123242500300600x x x x x x =-+⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩, 132343200300300x x x x x x =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩, 这就是说x 1, x 2, x 3, x 4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值.Matlab 实验题某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开的车数相等, 整个图中进入和离开的车数相等.图4 某城市单行线车流量(1)建立确定每条道路流量的线性方程组.(2)分析哪些流量数据是多余的.(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.案例二. 配方问题在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模. 【模型准备】一种佐料由四种原料A 、B 、C 、D 混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?【模型假设】 (1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克). 【模型建立】根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x 袋第一种规格的佐料与y 袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A 、B 、C 、D 四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组24,327,3,2 5.x y x y x y x y +=⎧⎪+=⎨+=⎪+=⎩ 【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵(A , b ) =214327113125⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭−−−−→初等行变换101012000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,可见{1,2.x y == 又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6克, 所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成. 【模型分析】(1) 若令α1 = (2, 3, 1, 1)T , α2 = (1, 2, 1, 1)T , β = (4, 7, 5, 3)T , 则原问题等价于“线性方程组Ax = b 是否有解”, 也等价于“β能否由α1, α2线性表示”.(2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.(3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x 克第一种规格的佐料与y 克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表因而有如下线性方程组214(),7619327(),7619113(),7619125().7619x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎨⎪+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎩(*) 【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组(*), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个假设不影响解的正确性.Matlab 实验题蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表.问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?案例三. 投入产出问题在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief 提出了投入产出模型. 这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief 因此获得了1973年的Nobel 经济学奖.【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求? 【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出x 元, y 元, z 元刚好满足需求. 则有下表根据需求, 应该有(0.60.5)60000(0.30.10.1)100000(0.20.1)0x y z y x y z z x y -+=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩, 即0.60.5600000.30.90.11000000.20.10x y z x y z x y z --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1]; b = [60000;100000;0]; >> x = A\bMatlab 执行后得 x =1.0e+005 *1.99661.84150.5835可见煤矿要生产1.9966⨯105元的煤, 电厂要生产1.8415⨯105元的电恰好满足需求.【模型分析】令x =xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭, A =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭, b =60000100000⎛⎫⎪⎪⎝⎭, 其中x称为总产值列向量,A称为消耗系数矩阵, b称为最终产品向量, 则Ax =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭=0.60.50.30.10.10.20.1y zx y zx y+⎛⎫⎪++⎪+⎝⎭根据需求, 应该有x-Ax = b, 即(E-A)x = b. 故x = (E-A)-1b.Matlab实验题某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的产品. 乙企业每生产1元的产品要消耗0.65元甲企业的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产折旧分别为20万元, 5万元和5万元.(1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值.(2) 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求?案例四. 平板的稳态温度分布问题在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据…定律, 只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度.图8 一块平板的温度分布图【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周8个节点处的温度(单位°C), 求中间4个点处的温度T 1, T 2, T 3, T 4.图9 一块平板的温度分布图【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的四个节点温度的平均值.【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组1232143144231(90100)41(8060)41(8060)41(5050)4T T T T T T T T T T T T ⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪=+++⎪⎪=+++⎪⎩ 【模型求解】将上述线性方程组整理得1231241342344190414041404100T T T T T T T T T T T T --=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-=⎪--+=⎪⎩. 在Matlab 命令窗口输入以下命令T 1T 2 T 3 T 4 10080908060506050>> A = [4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]; b = [190;140;140;100];>> x = A\b; x’Matlab执行后得ans =82.9167 70.8333 70.8333 60.4167可见T1 = 82.9167, T2 = 70.8333, T3 = 70.8333, T4 = 60.4167.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数,: 电子工业, 2007. 页码: 15-16.Matlab实验题假定下图中的平板代表一条金属梁的截面, 并忽略垂直于该截面方向上的热传导. 已知平板内部有30个节点, 每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点温度的平均值. 设4条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的5倍, 例如学号为16308209的同学计算本题时, 选择T l = 40, T u = 10, T r = 0, T d = 45.图10 一块平板的温度分布图(1) 建立可以确定平板内节点温度的线性方程组.(2) 用Matlab软件求解该线性方程组.(3) 用Matlab中的函数mesh绘制三维平板温度分布图.案例五. CT图像的代数重建问题X射线透视可以得到3维对象在2维平面上的投影, CT则通过不同角度的X射线得到3维对象的多个2维投影, 并以此重建对象内部的3维图像. 代数重建方法就是从这些2维投影出发, 通过求解超定线性方程组, 获得对象内部3维图像的方法.图11双层螺旋CT 图12 CT图像这里我们考虑一个更简单的模型, 从2维图像的1维投影重建原先的2维图像. 一个长方形图像可以用一个横竖均匀划分的离散网格来覆盖, 每个网格对应一个像素, 它是该网格上各点像素的均值. 这样一个图像就可以用一个矩阵表示,其元素就是图像在一点的灰度值(黑白图像). 下面我们以3⨯3图像为例来说明.3⨯3图像各点的灰度值水平方向上的叠加值x1 = 1 x2 = 0 x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 1x4 = 0 x5 = 0.5 x6 = 0.5 x4 + x5 + x6 = 1x7 = 0.5 x8 = 0 x9 = 1 x7 + x8 + x9 = 1.5 竖直方向上的叠加值x1 + x4 + x7= 1.5x2 + x5 + x8= 0.5x3 + x6 + x9= 1.5i色. 如果我们不知道网格中的数值, 只知道沿竖直方向和水平方向的叠加值, 为了确定网格中的灰度值, 可以建立线性方程组(含有6个方程, 9个未知数)123456369111x x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎨⎪++=⎪⎩显然该方程组的解是不唯一的, 为了重建图像, 必须增加叠加值. 如我们增加从右上方到左下方的叠加值, 则方程组将增加5个方程x1 = 1,x2 + x4 = 0,x3 + x5 + x7 = 1,x 6 + x 8 = 0.5, x 9 = 1,和上面的6个方程放在一起构成一个含有11个方程, 9个未知数的线性方程组. 【模型准备】设3⨯3图像中第一行3个点的灰度值依次为x 1, x 2, x 3, 第二行3个点的灰度值依次为x 4, x 5,x 6, 第三行3个点的灰度值依次为x 7, x 8, x 9. 沿竖直方向的叠加值依次为1.5, 0.5, 1.5, 沿水平方向的叠加值依次为1, 1, 1.5, 沿右上方到左下方的叠加值依次为1, 0, 1, 0.5, 1. 确定x 1, x 2, …, x 9的值.【模型建立】由已知条件可得(含有11个方程, 9个未知数的)线性方程组1234569111x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,1,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,1;1,0,0,1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1,0,0,1; 1,0,0,0,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,1,0,1,0,0; 0,0,0,0,0,1,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1];>> b = [1;1;1.5;1.5;0.5;1.5;1;0;1;0.5;1]; >> x = A\b; x ’Matlab 执行后得Warning: Rank deficient, rank = 8 tol =4.2305e-015. ans =1.0000 0.0000 0 -0.0000 0.5000 0.5000 0.5000 -0.0000 1.0000 可见上述方程组的解不唯一. 其中的一个特解为x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0.5, x 6 = 0.5, x 7 = 0.5, x 8 = 0, x 9 = 1.【模型分析】上述结果表明, 仅有三个方向上的叠加值还不够.可以再增加从左上方到右下方的叠加值. 在实际情况下, 由于测量误差, 上述线性方程组可能是超定的. 这时可以将超定方程组的近似解作为重建的图像数据.Matlab 实验题给定一个3⨯3图像的2个方向上的灰度叠加值: 沿左上方到右下方的灰度叠加值依次为0.8, 1.2, 1.7, 0.2, 0.3; 沿右上方到左下方的灰度叠加值依次为0.6, 0.2, 1.6, 1.2, 0.6.(1) 建立可以确定网格数据的线性方程组, 并用Matlab 求解. (2) 将网格数据乘以256, 再取整, 用Matlab 绘制该灰度图像.案例六. 平衡结构的梁受力计算在桥梁、房顶、铁塔等建筑结构中, 涉及到各种各样的梁. 对这些梁进行受力分析是设计师、工程师经常做的事情.图14 埃菲尔铁塔局部下面以双杆系统的受力分析为例, 说明如何研究梁上各铰接点处的受力情况. 【模型准备】在图15所示的双杆系统中, 已知杆1重G1 = 200牛顿, 长L1 = 2米, 与水平方向的夹角为θ1 = π/6, 杆2重G2 = 100牛顿, 长L2 = 2米, 与水平方向的夹角为θ2 = π/4. 三个铰接点A, B, C所在平面垂直于水平面. 求杆1, 杆2在铰接点处所受到的力.图15双杆系统【模型假设】假设两杆都是均匀的. 在铰接点处的受力情况如图16所示.【模型建立】对于杆1:水平方向受到的合力为零, 故N1 = N3,竖直方向受到的合力为零, 故N2 + N4 = G1,以点A为支点的合力矩为零, 故(L1sinθ1)N3 + (L1cosθ1)N4 = (12L1cosθ1)G1.图16 两杆受力情况对于杆2类似地有AC杆1杆2CN1N2N3N5N6G1G2A B杆1杆2π/6π/4N 5 = N 7, N 6 = N 8 + G 2, (L 2sin θ2)N 7 = (L 2cos θ2)N 8 + (12L 2cos θ2)G 2.此外还有N 3 = N 7, N 4 = N 8. 于是将上述8个等式联立起来得到关于N 1, N 2, …, N 8的线性方程组:132414800N N N N G N N -=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪-=⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> G1=200; L1=2; theta1=pi/6; G2=100; L2=sqrt(2); theta2=pi/4; >> A = [1,0,-1,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0;0,0,L1*sin(theta1),L1*cos(theta1),0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,-1,0; 0,0,0,0,0,1,0,-1;0,0,0,0,0,0,L2*sin(theta2),-L2*cos(theta2); 0,0,1,0,0,0,-1,0;0,0,0,1,0,0,0,-1];>> b = [0;G1;0.5*L1*cos(theta1)*G1;0;G2;0.5*L2*cos(theta2)*G2;0;0]; >> x = A\b; x ’ Matlab 执行后得 ans =95.0962 154.9038 95.0962 45.0962 95.0962 145.0962 95.0962 45.0962【模型分析】最后的结果没有出现负值, 说明图16中假设的各个力的方向与事实一致. 如果结果中出现负值, 则说明该力的方向与假设的方向相反. 参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数,: 电子工业, 2007. 页码: 157- 158.Matlab 实验题有一个平面结构如下所示, 有13条梁(图中标号的线段)和8个铰接点(图中标号的圈)联结在一起. 其中1号铰接点完全固定, 8号铰接点竖直方向固定, 并在2号, 5号和6号铰接点上, 分别有图示的10吨, 15吨和20吨的负载. 在静平衡的条件下,任何一个铰接点上水平和竖直方向受力都是平衡的. 已知每条斜梁的角度都是45º.(1) 列出由各铰接点处受力平衡方程构成的线性方程组. (2) 用Matlab 软件求解该线性方程组, 确定每条梁受力情况.图17 一个平面结构的梁案例七. 化学方程式配平问题在用化学方法处理污水过程中, 有时会涉及到复杂的化学反应. 这些反应的化学方程式是分析计算和工艺设计的重要依据. 在定性地检测出反应物和生成物之后,可以通过求解线性方程组配平化学方程式.【模型准备】某厂废水中含K, 其浓度为650mg/L. 现用氯氧化法处理, 发生如下反应:K + 2KOH + Cl 2 = KO+ 2KCl + H 2O.投入过量液氯, 可将氰酸盐进一步氧化为氮气. 请配平下列化学方程式:KO +KOH +Cl 2 ===CO 2+N 2+KCl +H 2O.(注: 题目摘自XX 省XX 外国语学校2008-2009学年高三第三次月考化学试卷) 【模型建立】设x 1KO ＋x 2KOH ＋x 3Cl 2 === x 4CO 2 ＋x 5N 2 ＋x 6KCl ＋x 7H 2O,则1261247141527362222x x x x x x xx x x x x x x x +=⎧⎪+=+⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩, 即1261247141527360200202020x x x x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+--=⎪⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎪-=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,0,0,0,-1,0;1,1,0,-2,0,0,-1;1,0,0,-1,0,0,0;1,0,0,0,-2,0,0;0,1,0,0,0,0,-2;0,0,2,0,0,-1,0];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’Matlab 执行后得 ans =1 2 3/2 1 1/2 3 1 可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1)T .取k = 2得x = (2, 4, 3, 2, 1, 6, 2)T . 可见配平后的化学方程式如下2KO + 4KOH + 3Cl 2 ===2CO 2+ N 2+ 6KCl + 2H 2O.【模型分析】利用线性方程组配平化学方程式是一种待定系数法. 关键是根据化学方程式两边所涉及到的各种元素的量相等的原则列出方程. 所得到的齐次线性方程组Ax = θ中所含方程的个数等于化学方程式中元素的种数s , 未知数的个数就是化学方程式中的项数n .当r(A ) = n -1时, Ax = θ的基础解系中含有1个(线性无关的)解向量. 这时在通解中取常数k 为各分量分母的最小公倍数即可. 例如本例中1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1分母的最小公倍数为2, 故取k = 2.当r(A ) ≤n -2时, Ax = θ的基础解系中含有2个以上的线性无关的解向量. 这时可以根据化学方程式中元素的化合价的上升与下降的情况, 在原线性方程组中添加新的方程. Matlab 实验题配平下列反应式(1) FeS + KMnO 4 + H 2SO 4—— K 2SO 4 + MnSO 4 + Fe 2(SO 4)3 + H 2O + S ↓ (2) Al 2(SO 4)3 + Na 2CO 3 + H 2O —— Al(OH)3↓+ CO 2↑+ Na 2SO 4案例八. 互付工资问题互付工资问题是多方合作相互提供劳动过程中产生的. 比如农忙季节, 多户农民组成互助组, 共同完成各户的耕、种、收等农活. 又如木工, 电工, 油漆工等组成互助组, 共同完成各家的装潢工作. 由于不同工种的劳动量有所不同, 为了均衡各方的利益, 就要计算互付工资的标准.【模型准备】现有一个木工, 电工, 油漆工. 相互装修他们的房子, 他们有如下协议:(1) 每人工作10天(包括在自己家的日子), (2) 每人的日工资一般的市价在60~80元之间, (3) 日工资数应使每人的总收入和总支出相等.求每人的日工资. 【模型假设】假设每人每天工作时间长度相同. 无论谁在谁家干活都按正常情况工作, 既不偷懒, 也不加班.【模型建立】设木工, 电工, 油漆工的日工资分别为x , y , z 元, 则由下表可得2610451044310x y z xx y z y x y z z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [-8,1,6;4,-5,1;4,4,-7];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’ Matlab 执行后得ans =31/36 8/9 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (31/36, 8/9, 1)T . 因而根据“每人的日工资一般的市价在60~80元之间”可知60 ≤3631k <98k < k ≤ 80, 即 312160≤k ≤ 80.也就是说, 木工, 电工, 油漆工的日工资分别为3631k 元, 98k 元, k 元, 其中312160≤k ≤ 80. 为了简便起见, 可取k = 72, 于是木工, 电工, 油漆工的日工资分别为62元, 64元, 72元.【模型分析】事实上各人都不必付自己工资, 这时各家应付工资和各人应得收入如下6845447y z x x z y x y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 可见这样得到的方程组与前面得到的方程组是一样的.Matlab 实验题甲, 乙, 丙三个农民组成互助组, 每人工作6天(包括为自己家干活的天数), 刚好完成他们三人家的农活, 其中甲在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 2, 2.5, 1.5; 乙在甲, 乙, 丙三家各干2天活, 丙在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 1.5, 2, 2.5. 根据三人干活的种类, 速度和时间, 他们确定三人不必相互支付工资刚好公平. 随后三人又合作到邻村帮忙干了2天(各人干活的种类和强度不变), 共获得工资500元.问他们应该怎样分配这500元工资才合理?案例九. 平衡价格问题为了协调多个相互依存的行业的平衡发展, 有关部门需要根据每个行业的产出在各个行业中的分配情况确定每个行业产品的指导价格, 使得每个行业的投入与产出都大致相等.【模型准备】假设一个经济系统由煤炭、电力、钢铁行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:等的平衡价格.【模型假设】假设不考虑这个系统与外界的联系.【模型建立】把煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别用x 1,x 2, x 3表示, 则123212331230.40.60.60.10.20.40.50.2x x x x x x x x x x x =+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩, 即1231231230.40.600.60.90.200.40.50.80x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩. 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.4,-0.6;-0.6,0.9,-0.2;-0.4,-0.5,0.8]; >> x = null(A,’r ’); format short, x ’ Matlab 执行后得ans =0.9394 0.8485 1.0000 可见上述齐次线性方程组的通解为x = k(0.9394, 0.8485, 1)T.这就是说, 如果煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别0.9394亿元, 0.8485亿元, 1亿元, 那么每个行业的投入与产出都相等.【模型分析】实际上, 一个比较完整的经济系统不可能只涉及三个行业, 因此需要统计更多的行业间的分配数据.Matlab实验题假设一个经济系统由煤炭、石油、电力、钢铁、机械制造、运输行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:产出分配购买者煤炭石油电力钢铁制造运输0 0 0.2 0.1 0.2 0.2 煤炭0 0 0.1 0.1 0.2 0.1 石油0.5 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 电力0.4 0.1 0.2 0 0.1 0.4 钢铁0 0.1 0.3 0.6 0 0.2 制造0.1 0.7 0.1 0 0.4 0 运输等的平衡价格.案例十. 电路设计问题电路是电子元件的神经系统. 参数的计算是电路设计的重要环节. 其依据来自两个方面: 一是客观需要, 二是物理学定律.图22 USB扩展板【模型准备】假设图23中的方框代表某类具有输入和输出终端的电路. 用11vi⎛⎫⎪⎝⎭记录输入电压和输入电流(电压v以伏特为单位, 电流i以安培为单位), 用22vi⎛⎫⎪⎝⎭记录输出电压和输入电流. 若22vi⎛⎫⎪⎝⎭= A11vi⎛⎫⎪⎝⎭,则称矩阵A为转移矩阵.图23 具有输入和输出终端的电子电路图图24给出了一个梯形网络, 左边的电路称为串联电路, 电阻为R 1(单位: 欧姆). 右边的电路是并联电路, 电路R 2. 利用欧姆定理和楚列斯基定律, 我们可以得到串联电路和并联电路的转移矩阵分别是1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭和2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭串联电路并联电路图24 梯形网络设计一个梯形网络, 其转移矩阵是180.55-⎛⎫⎪-⎝⎭. 【模型假设】假设导线的电阻为零.【模型建立】设A 1和A 2分别是串联电路和并联电路的转移矩阵, 则输入向量x 先变换成A 1x , 再变换到A 2(A 1x ). 其中A 2A 1 =2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭=121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭就是图22中梯形网络的转移矩阵.于是, 原问题转化为求R 1, R 2的值使得121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 【模型求解】由121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭可得121281/0.51/5R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据其中的前两个方程可得R 1 = 8, R 2 = 2. 把R 1 = 8, R 2 = 2代入上面的第三个方程确实能使等式成立. 这就是说在图22中梯形网络中取R 1 = 8, R 2 = 2即为所求.【模型分析】若要求的转移矩阵改为180.54-⎛⎫⎪-⎝⎭, 则上面的梯形网络无法实现. 因为v 2这时对应的方程组是121281/0.51/4R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据前两个方程依然得到R 1 = 8, R 2 = 2, 但把R 1= 8, R 2 = 2代入上第三个方程却不能使等式成立.练习题根据基尔霍夫回路电路定律(各节点处流入和流出的电流强度的代数和为零, 各回路中各支路的电压降之和为零), 列出下图所示电路中电流i 1, i 2, i 3所满足的线性方程组, 并用矩阵形式表示:图25简单的回路案例十一. 平面图形的几何变换随着计算机科学技术的发展, 计算机图形学的应用领域越来越广, 如仿真设计、效果图制作、动画片制作、电子游戏开发等.图形的几何变换, 包括图形的平移、旋转、放缩等, 是计算机图形学中经常遇到的问题. 这里暂时只讨论平面图形的几何变换.【模型准备】平面图形的旋转和放缩都很容易用矩阵乘法实现, 但是图形的平移并不是线性运算, 不能直接用矩阵乘法表示. 现在要求用一种方法使平移、旋转、放缩能统一用矩阵乘法来实现. 【模型假设】设平移变换为(x , y ) → (x +a , y +b )旋转变换(绕原点逆时针旋转θ角度)为(x , y ) → (x cos θ-y sin θ, x sin θ + y cos θ)放缩变换(沿x 轴方向放大s 倍, 沿y 轴方向放大t 倍)为(x , y ) → (sx , ty )【模型求解】R 2中的每个点(x , y )可以对应于R 3中的(x , y , 1). 它在xOy 平面上方1单E 12位的平面上. 我们称(x , y , 1)是(x , y )的齐次坐标. 在齐次坐标下, 平移变换(x , y ) → (x +a , y +b )可以用齐次坐标写成(x , y , 1) → (x +a , y +b , 1).于是可以用矩阵乘积1001001a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=1x a y b +⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭实现.旋转变换(x , y ) → (x cos θ-y sin θ, x sin θ + y cos θ)可以用齐次坐标写成(x , y , 1) → (x cos θ-y sin θ, x sin θ + y cos θ, 1). 于是可以用矩阵乘积cos sin 0sin cos 0001θθθθ-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=cos sin sin cos 1x y x y θθθθ-⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭实现.放缩变换(x , y ) → (sx , ty )可以用齐次坐标写成(x , y , 1) → (sx , ty , 1).于是可以用矩阵乘积0000001s t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=1sx ty ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭实现.【模型分析】由上述求解可以看出, R 2中的任何线性变换都可以用分块矩阵1⎛⎫⎪⎝⎭A O O 乘以齐次坐标实现, 其中A 是2阶方阵. 这样, 只要把平面图形上点的齐次坐标写成列向量, 平面图形的每一次几何变换, 都可通过左乘一个3阶变换矩阵来实现.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译,: 人民邮电, 2009. 页码: 139-141.Matlab 实验题在Matlab 命令窗口输入以下命令 >>clear all , clc,>>t=[1,3,5,11,13,15]*pi/8; >>x=sin(t); y=cos(t); >>fill(x,y,'r'); >>grid on ;>>axis([-2.4, 2.4, -2, 2])运行后得图25.图26Matlab绘制的图形(1) 写出该图形每个顶点的齐次坐标;; 最后进行横(2) 编写Matlab程序, 先将上面图形放大0.9倍; 再逆时针旋转3坐标加0.8, 纵坐标减1的图形平移. 分别绘制上述变换后的图形.案例十二. 太空探测器轨道数据问题太空航天探测器发射以后, 可能需要调整以使探测器处在精确计算的轨道里. 雷达监测到一组列向量x1, …, x k,它们给出了不同时刻探测器的实际位置与预定轨道之间的偏差的信息.图28 火星探测器【模型准备】令X k = [x1, …, x k]. 在雷达进行数据分析时需要计算出矩阵G k = X k X k T. 一旦接收到数据向量x k+1,必须计算出新矩阵G k+1. 因为数据向量到达的速度非常快, 随着k的增加, 直接计算的负担会越来越重. 现需要给出一个算法, 使得计算G k的负担不会因为k的增加而加重.【模型求解】因为G k = X k X k T=[x 1, …, x k ]T 1T k⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x =T 1k i i i =∑x x ,G k +1 = X k +1T1k +X =[X k , x k +1]T T 1k k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦X x = X k X k T +x k +1T 1k +x =G k +x k +1T 1k +x ,所以一旦接收到数据向量x k +1, 只要计算x k +1T1k +x , 然后把它与上一步计算得到的G k相加即可. 这样计算G k 的负担不会因为k 的增加而加重.【模型分析】计算机计算加法的时间与计算乘法的时间相比可以忽略不计. 因此在考虑计算矩阵乘积的负担时, 只要考察乘法的次数就可以了. 设x k 的维数是n , 则X k = [x 1, …, x k ]是n ⨯k 的矩阵, G k = X k X k T 是n ⨯n 的矩阵. 直接计算G k = X k X k T 需要做n 2k 次乘法. 因而计算的负担会随着k 的增加而增加. 但是对于每一个k , 计算x k Tk x 始终只要做n 2次乘法.Matlab 实验题用Matlab 编写一个程序用于处理这个问题.案例十三. 应用矩阵编制Hill 密码密码学在经济和军事方面起着极其重要的作用. 现代密码学涉及很多高深的数学知识. 这里无法展开介绍.图29 XX 通信的基本模型密码学中将信息代码称为密码, 尚未转换成密码的文字信息称为明文, 由密码表示的信息称为密文. 从明文到密文的过程称为加密, 反之为解密. 1929年, 希尔(Hill)通过线性变换对待传输信息进行加密处理, 提出了在密码史上有重要地位的希尔加密算法. 下面我们略去一些实际应用中的细节, 只介绍最基本的思想.【模型准备】若要发出信息action, 现需要利用矩阵乘法给出加密方法和加密后得到的密文, 并给出相应的解密方法.。

数学建模在交通流量中的应用

数学建模在交通流量中的应用1. 引言交通流量是指在特定时间内通过给定路段的车辆数量。

对于城市交通管理而言，准确地预测和掌握交通流量情况至关重要。

数学建模是一种有效的方法，可以帮助我们理解和解决复杂的交通流量问题。

本文将介绍数学建模在交通流量中的应用，并探讨其在提高交通管理效率和保障交通安全方面的意义。

2. 数学模型的建立在交通流量中，我们常用的数学模型有流量-密度模型、流量-速度模型和流量-延误模型。

这些模型基于各种假设和参数，可以帮助我们描述和预测交通流量的变化。

- 流量-密度模型：该模型假设交通流量与交通密度呈正相关关系。

将交通流量表示为单位时间通过的车辆数，交通密度表示单位路段上车辆的数量。

通过收集实际的流量与密度数据，可以建立数学函数来表达二者之间的关系，例如流量-密度函数。

- 流量-速度模型：该模型假设交通流量与车辆速度呈负相关关系。

车辆速度受到交通流量、信号灯、道路条件等因素的影响。

通过研究速度与流量之间的关系，可以建立数学模型来预测交通流量，并根据实际速度调整交通信号灯的时长。

- 流量-延误模型：该模型考虑了车辆在交通拥堵中的延误情况。

通过分析车辆在不同流量下的平均延误时间，可以建立数学模型来预测交通流量对行程延误的影响。

这对交通管理者来说非常重要，可以帮助他们制定合理的交通策略以减少延误。

3. 数学建模的应用案例- 交通信号灯优化：利用数学建模可以分析不同交通流量下车辆通过交叉口的时间，并优化交通信号灯的配时方案，以减少拥堵和延误。

通过模型的预测和实时调整，可以实现交通信号灯的智能化调整，提高交通效率。

- 道路扩建规划：数学建模可以模拟交通流量在不同道路扩建方案下的变化，并预测不同方案的交通状况。

通过比较不同扩建方案的模拟结果，可以找到最优的道路扩建策略，优化交通网络结构。

- 交通事故预测与防范：利用数学建模可以分析历史交通事故数据和交通流量数据，建立事故发生的概率模型，并预测交通事故的发生概率。

2023本科数学建模b题

2023本科数学建模b题
2023年本科数学建模竞赛B题
B题交通流量分配优化
问题：
交通流量分配是交通工程领域的重要研究内容，对于提高道路使用效率、缓解交通拥堵具有重要意义。

请你们建立数学模型，解决以下问题：
1. 对于一个城市的道路网络，如何进行最优的交通流量分配，使得总的行驶时间最短？
2. 如果在某些路段实施了交通限制措施（例如限行、限速等），如何调整交通流量分配，以使得总的行驶时间最短？
3. 如何评估交通流量分配的优化效果？
要求：
1. 请根据以上问题，建立数学模型。

模型应包括目标函数、约束条件和决策变量。

2. 在模型中，应考虑实际的道路网络特性，如道路的长度、宽度、车流量等。

3. 对于第二个问题，应考虑不同限制措施对交通流量分配的影响，并给出相应的优化方案。

4. 对于第三个问题，应提出一种有效的评估方法，以量化优化效果。

5. 最后，请根据给定的数据（见附件），对模型进行验证和求解，并给出相应的结果分析。

数学建模在交通流量中的应用

数学建模在交通流量中的应用随着城市人口的增加以及交通工具的普及，交通流量的管理和控制成为当代社会的一个重要问题。

为了解决交通拥堵和安全问题，许多研究者开始运用数学建模的方法来分析和优化交通流量。

本文将探讨数学建模在交通流量中的应用，包括基础数学模型、优化模型和实际应用案例。

一、基础数学模型1.1 离散模型离散模型是最常见的交通流量建模方法之一。

该模型将道路网格划分为离散的小元胞，通过模拟车辆在各个元胞之间的运动来预测交通流量。

其中，元胞自动机（Cellular Automata）模型是应用最广泛的离散模型之一，它通过定义元胞的状态和转移规则来模拟车辆的运动。

1.2 连续模型除了离散模型，连续模型也被广泛应用于交通流量建模。

连续模型基于偏微分方程，通过考虑交通流的连续性和流体力学原理来描述交通流量的变化。

其中，最著名的连续模型是Lighthill-Whitham-Richards （LWR）模型，该模型通过守恒定律和流速-密度关系来描述交通流的演化。

二、优化模型2.1 交通信号优化交通信号优化是交通流量管理的重要方面之一。

数学建模可以帮助确定最佳的信号配时方案，以最大程度地减少车辆的停顿和排队时间。

优化模型通常考虑交通状况、道路容量和信号周期等因素，并利用数学算法来寻找最佳解。

2.2 路网设计优化路网设计是指在给定的地理环境和交通需求下，确定最佳的道路布局和连接方式。

数学建模可以通过考虑交通流量分配、路段容量和成本等因素，来优化路网设计。

常用的优化方法包括线性规划、整数规划和遗传算法等。

三、实际应用案例3.1 城市交通拥堵预测数学建模可以根据历史交通流量数据、天气信息和事件影响等因素，来预测城市交通的拥堵情况。

通过建立拥堵预测模型，交通管理部门可以提前采取措施，减轻拥堵状况并优化交通流量。

3.2 交通事故预测与分析数学建模也可以帮助预测和分析交通事故的发生概率和影响因素。

通过建立统计模型和机器学习算法，研究者可以识别出导致事故的关键因素，并提出相应的安全措施。

数学建模在交通流量优化中的应用

数学建模在交通流量优化中的应用1. 引言交通拥堵是现代城市面临的重要问题之一。

为了提高交通效率、减少交通堵塞的时间和燃料消耗，数学建模成为了一种有效的工具。

本文将讨论数学建模在交通流量优化中的应用，重点探讨交通信号灯优化和路网规划两个方面。

2. 交通信号灯优化交通信号灯是调控交通流量的重要设施。

为了提高信号灯的效率，可以利用数学建模来优化信号灯的时长和相位。

首先，通过采集交通数据，可以获取车辆通过信号灯的数量和时间。

接下来，可以根据这些数据建立数学模型，比如用图论中的最短路径算法来计算车辆的最优通过信号灯的路径。

然后，根据路径计算各个信号灯的时长和相位，使得车辆的整体通过时间最短。

最后，利用数学优化算法，如动态规划或模拟退火算法，求解信号灯时长和相位的最优解。

通过这种方式，可以有效地减少车辆的等待时间，提高交通流量的效率。

3. 路网规划在城市交通规划中，考虑到交通流量的优化是非常重要的。

通过数学建模，可以对路网进行优化规划，以提高交通流量的吞吐量和减少拥堵现象。

首先，可以利用数学模型来表示不同道路之间的关系，如图论中的网络图。

然后，根据各个道路的容量和车辆通过的速度，建立数学模型，通过网络流算法来计算交通流量在路网上的分布情况。

接着，通过调整道路的容量、规划新的道路或改变道路的方向等方式，来优化路网的结构，使得交通流量能够更加顺畅地流动。

最后，利用数学优化算法，如线性规划或整数规划，求解路网规划的最优解。

通过这种方法，可以有效地减少交通拥堵，提高交通效率。

4. 数学建模的挑战虽然数学建模在交通流量优化中有着广泛的应用，但也面临一些挑战。

首先，交通流量是一个复杂的系统，涉及到大量的数据和变量，如车辆的数量、速度、行驶方向等。

因此，在建立数学模型时需要考虑到这些变量之间的相互影响和约束关系。

其次，数学建模需要依赖大量的交通数据，如车辆的轨迹数据、时空数据等。

因此，数据的采集和处理也是一个关键的环节。

数学建模在交通流量优化中的应用

数学建模在交通流量优化中的应用随着城市交通压力的不断增加，如何优化交通流量成为了城市管理者和交通专家的重要任务。

在这个问题上，数学建模发挥了重要的作用。

本文将探讨数学建模在交通流量优化中的应用，通过建立数学模型来解决交通流量优化问题，提高交通效率，减少交通拥堵。

一、道路网络拓扑模型在交通流量优化中，首先需要建立道路网络拓扑模型。

这个模型可以用来描述城市中各个路段的关联关系及其对交通流量的影响。

通过分析路段之间的连接关系，我们可以确定交通流的传播路径，并找到优化路线以减少拥堵。

在道路网络拓扑模型中，我们可以使用图论的方法进行描述。

将交通网络视为一张有向图，每个节点表示一个路口，每条有向边表示一条道路。

通过对网络中的节点和边进行建模，并引入相关的约束条件，我们可以得到一个准确的道路网络拓扑模型。

二、交通流量模型建立了道路网络拓扑模型后，接下来需要建立交通流量模型。

交通流量模型可以用来表示在不同时间段内通过道路网络的车辆数量以及其运行状态。

通过对交通流量的建模分析，可以帮助我们了解交通状况，找到瓶颈路段，并提出优化方案。

在交通流量模型中，我们可以使用微观模型或宏观模型来描述车辆的运行。

微观模型可以考虑车辆之间的相互作用，结合领车模型、车队模型等，以模拟车辆的运行轨迹和交通行为。

宏观模型则更注重整体的交通流分布、平均速度等参数的分析，以描述整个交通网络的总体状况。

三、优化算法通过建立道路网络拓扑模型和交通流量模型，我们可以得到一个具体的交通流量数据。

然而，如何根据这些数据来优化交通流量成为了另一个问题。

在这个问题上，数学建模能够提供一些有效的优化算法。

在交通流量优化中，常用的优化算法包括遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。

这些算法可以通过对交通流量数据进行分析和计算，找到最优的交通路线，调整信号灯周期，优化车辆调度等，以减少交通拥堵，提高交通效率。

四、实例分析为了更好地理解数学建模在交通流量优化中的应用，我们以某城市的交通流量优化为例进行分析。

2023数学建模b题思路

2023数学建模b题思路2023数学建模b题思路如下：一、问题描述2023数学建模b题给出了一个关于城市交通流量的数据集，要求我们通过建立数学模型来预测未来一段时间内的交通流量。

具体而言，我们需要预测未来7天每天早高峰和晚高峰的交通流量。

二、思路分析1.数据预处理：首先需要对原始数据进行预处理，包括缺失值填充、异常值处理、数据规范化等操作，以确保数据的质量和可靠性。

2.特征选择：从数据集中选择与交通流量相关的特征，如日期、天气状况、星期几、节假日等，以便更好地预测未来交通流量。

3.模型选择：根据问题的特点，可以选择多种预测模型，如线性回归模型、支持向量回归模型、神经网络模型等。

在选择模型时，需要考虑模型的精度、泛化能力和计算复杂度等因素。

4.模型训练与优化：使用历史数据对模型进行训练和优化，可以采用交叉验证、网格搜索等技术来提高模型的预测精度。

5.模型评估：使用未来7天的数据进行模型评估，比较预测值与实际值的差异，并计算模型的预测精度和误差。

6.结果解释：根据模型预测结果，给出未来一段时间内城市交通流量的趋势和预测值，为城市交通管理部门提供决策支持。

三、具体步骤1.数据预处理：对原始数据进行清洗和规范化处理，处理缺失值和异常值，将数据转换为适合建模的形式。

2.特征选择：从数据集中选择与交通流量相关的特征，如日期、天气状况、星期几、节假日等。

3.模型选择与训练：选择适合的预测模型，如支持向量回归模型或神经网络模型等，使用历史数据对模型进行训练和优化。

4.模型评估：使用未来7天的数据进行模型评估，比较预测值与实际值的差异，计算模型的预测精度和误差。

5.结果解释：根据模型预测结果，给出未来一段时间内城市交通流量的趋势和预测值，为城市交通管理部门提供决策支持。

2023全国数学建模b题

2023全国数学建模b题2023全国数学建模B题是一道关于交通流量优化的问题。

在该题中，我们被要求通过调整交通信号灯的方案来减少城市交通中的拥堵问题。

这是一个非常实际且具有现实意义的问题，因为交通拥堵是现代城市面临的主要挑战之一。

下面是本人的一些参考内容。

首先，我们可以通过对城市交通流量进行模拟和分析来获取交通流量的数据。

通过收集信息，我们可以得到每个交叉口的车辆数量、靠近红绿灯的行驶速度、行驶路径以及车辆类型等各种数据。

这将有助于我们了解交通流量的分布情况，并更好地理解路口交通的规律和特点。

接下来，我们可以使用传统的交通流量优化模型，例如基于交通流理论的微观仿真模型，来评估交通拥堵问题。

这些模型可以帮助我们模拟不同交通信号灯方案下的交通流量，为我们提供一些主观的参考。

通过调整不同的参数和变量，我们可以得出最佳的交通信号灯方案，以减少交通拥堵。

此外，我们还可以使用数据挖掘技术来收集交通数据并进行分析。

通过分析交通流量数据，我们可以识别出车辆行驶的主要路径和拥堵点。

随后，我们可以将这些信息与交通信号灯的数据相结合，以优化交通信号灯的周期和定时设置。

通过采用机器学习算法和数据挖掘技术，我们可以更精确地预测和优化交通流量，减少交通拥堵。

此外，我们还可以利用现有城市交通系统中的实时数据来优化交通信号灯方案。

许多城市已经使用了交通监测系统和实时数据收集技术来监测车辆流量和交通状况。

通过分析实时数据，我们可以实时调整交通信号灯的方案，以适应交通状况的变化。

例如，在高峰时段增加绿灯时间，或者在交通拥堵时通过调整信号灯时长来减少交通堵塞。

最后，为了更好地优化交通信号灯方案，我们应该考虑纵向和横向的交通流量。

除了考虑车辆在道路上行驶的情况外，我们还应该考虑行人和自行车的流量。

因此，在制定交通信号灯方案时，我们应该综合考虑所有交通参与者的需求，确保交通流量的平衡和效率。

综上所述，通过模拟和分析交通流量数据、使用交通流量优化模型、通过数据挖掘和机器学习技术分析交通数据，以及考虑纵向和横向交通流量，我们可以制定出更好的交通信号灯方案，从而减少交通拥堵问题。

数学建模在流量控制中的应用研究

数学建模在流量控制中的应用研究一、引言流量控制是现代社会中极为重要的一个问题。

无论是城市道路交通，还是数据网络传输，流量的合理控制对于提高效率、降低拥堵、保证安全都有着重要的作用。

数学建模作为一种研究方法，已经在流量控制领域发挥了重要作用。

本文将探索数学建模在流量控制中的应用，并对其研究现状进行分析。

二、数学模型在交通流量控制中的应用2.1 基于微分方程的交通流模型在交通流量控制中，我们常常关注的是路段上的车辆密度和速度。

基于这些影响因素，可以建立微分方程模型来描述交通流量的变化。

常见的模型包括Lighthill-Whitham-Richards (LWR) 模型和Aw-Rascle模型等。

这些模型能够预测交通流量的变化趋势，为交通信号灯的优化控制提供了理论支持。

2.2 基于随机漫步的车辆排队模型在交通拥堵的情况下，车辆形成排队等待的现象较为普遍。

基于随机漫步理论，我们可以使用排队理论来建立车辆排队模型，从而更好地理解交通拥堵的本质。

该模型考虑了车辆之间的跟驰行为和交通信号灯的控制，为工程师制定交通管理策略提供了参考。

2.3 基于优化理论的最优控制模型最优控制理论是流量控制中常用的数学工具之一。

通过建立动态规划模型或者最优控制模型，我们可以寻找到最佳的交通信号灯控制策略，以实现路口交通流量的最优化。

这种基于优化理论的数学建模方法能够在理论上证明控制方案的最优性，并且可以通过计算机仿真加以验证。

三、数学模型在数据网络流量控制中的应用3.1 基于网络流模型的数据包调度数据网络中存在大量的数据包传输，如何合理调度数据包的传输路径和服务策略是保证网络效率的关键。

基于网络流模型的数学建模方法可以将数据网络抽象为图论，通过最小费用流算法等优化策略来解决数据包调度问题。

这种方法在减轻网络拥堵、提高传输效率方面具有重要作用。

3.2 基于排队论的数据传输模型数据网络中，路由器经常会发生排队现象，这会导致数据传输时延的增加。

汽车流量问题数学建模

交通流量图模型摘要本论文解决的是交通流量的问题。

本文根据某城市的单行道各交叉路口流入流出量相等列出方程组，利用线性代数的相关知识，求得各交叉路口交通流量通解为),6000(05004002006001101111且为整数≤≤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=k k x ，此结果即为交通流量图的模型。

关键词：流入等于流出线性代数通解一、问题重述在某市中心单行道交叉路口，驶入和驶出如图所示，图中给出了上下班高峰时每个道路交叉口的交通流量（以每小时平均车辆数计），利用所学知识，建立这个交通流量图的模型。

二、问题分析城市道路网中每条道路，交叉路口车流量分析是改善评价交通情况的基础。

必要时设置单行线，减少了转弯时的交通容量，解决了大量车辆长时间拥堵问题。

几条单行道彼此交叉，存在交叉点分别为A、B、C、D。

本题给出了上下班高峰时每个道路交叉口的每小时交通流量。

对于四个点流入量等于流出量，从而得出方程组，利用增广矩阵的初等变换，求出齐次方程组的解，得到线性方程组的通解，从而得最终结果。

三、问题假设（1）假定全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）假定全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.（3）假定汽车行驶的方向随机且概率相同（4）假定每个道路交叉口的交通流量（以每小时平均车辆数计）（5）假定车与车之间是相互独立的，互不影响四、符号说明（Ab ）：方程组的增广矩阵η：方程组的一个特解1λ：导出组的基础解系x ：方程组的通解五、模型建立与求解在每一个路口处可根据进出的汽车流量相等关系,建立一个线性代数方程。

则列出以下线性方程组：600:400100:300:500300:515434221=++=++=++=+x x D x x C x x x B x x A整理得线性方程组为：600500300800515443221=+=+=+-=+x x x x x x x x x作方程组的增广矩阵）（b A ，并对它施以初等行变换： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=200100105001100010011100800000112001001050011000300011108000001160010001500110003000111080000011b ）（A 则54r b r <==）（）（A A ，所以其线性方程组有无穷解即原方程组与方程组200500100800525454321=-=+=++-=+x x x x x x x x x5435251500400200600x x x -==+=-=同解，其中x 5为自由未知量。

车流量建模

车流量建模3.2问题二的建立和求解建立进出校园车辆流模型，提出停车位的需求；由于进出校园的车辆有进又出，我们建立如下常微分方程模型由于第一问当中估计第一天是600辆私家车，第二天是400辆私家车，再此我们仅建立第一天新生报到私家车进入校园数量随时间变化的情况。

不妨设r1=0.1，r2=0.06；得到如下的结果：N=375-375某e某p(-(4某t)/25)具体程序见附件随着时间的增加，校园内的私家车数量在不断的增加，甚至到了晚上车的数量都没有减少的趋势反到还在增加。

模型的改进：由于r1，r2并不是一个常数，r1是随着待报到新生私家车数量的减少而减少的，即r1正比于校外待报到新生私家车数量，由于随着时间的推移，校外待报到新生私家车数量逐渐减少，即r1在逐渐减小。

由r1的定义：单位时间进入校内的车的数量占校外车的比例系数。

在此我们做出如下的假设：进入校内私家车的数量与时间成线性关系，同理驶出校内的私家车的数量与时间也成线性关系，只不过前者是负线性相关，后者是正线性相关。

由于一天驶入校内的车总共为600辆，报道的时间为8个小时，有线性关系得出;n1=-18,75某t+150;同理：n2=18.75某t;为使模型简化，我们假设r1，r2的分母项校外车和校内车均为一个常数，用Nc表示。

则有：r1n1n;r22;Nc600NcNc由此我们建立了如下改进的常微分方程：其中r1=0.25-0.03125某t；r2=0.03125某t;得到如下的结果：N=900-900某e某p(-t/4)-75某t具体程序见附件如果八点钟为0时段的话，11点钟前后为私家车数量高峰，这是应该多派人手管制，避免混乱。

虽然由微分方程建立的模型私家车有进有出，但有微分方程得到的图像可知，八点至十一点为校内私家车数量净增长的高峰期，而二点以后私家车逐渐离去，由图像可知，校内私家车减少的斜率小于校内私家车增长的斜率，所有下午仍然保持一定量的人手，避免造成拥堵。

汽车流量问题数学建模

生活中的数学建模问题例子

数学中关于车流量最大问题

数学建模在交通流量分析中的应用

数学建模在交通流量控制中的应用

数学建模在交通流量中的应用研究

数学建模在交通流量中的应用研究

华中杯数学建模2023c题第二问

数学建模 汽车销量预测

数学建模案例分析--线性代数建模案例20例

数学建模在交通流量中的应用

2023本科数学建模b题

数学建模在交通流量中的应用

数学建模在交通流量优化中的应用

数学建模在交通流量优化中的应用

2023数学建模b题思路

2023全国数学建模b题

数学建模在流量控制中的应用研究

汽车流量问题数学建模

车流量建模

数学建模汽车销量预测