卷积和的主要性质
2-5 新版卷积的性质
(1)
结论1：
f(t)
f (t ) (t ) f (t )
f(t)
*
=
δ(t-t0)
f ( t ) (t t 0) f ( t t 0)
f(t-t1)
*
(1)
=
t0
f ( t t 1) ( t t 2 ) f ( t t 1 t 2 )
第五节 卷积积分的性质
•运算规律
•微积分性质
•与冲激函数卷积(重现性)
一．运算规律(代数运算)
1．交换律
f1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 ( t ) f1 ( t )
2．分配律
f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
( 1) 2
直接
1
O
sgn(t )
t 1
O
(t )
(1)
t
是有始信号
正确f (t ) sgn( t ) (t ) sgn( t )
错误原因：
t
用微积分性质
sgn( t )
O
t
dsgn( t ) dt dt sgn( t ) 1 sgn( t ) ( 1) (1)
Sgnt g2 (t )
(t 2) g2 (t )
例题2-5-5
已知线性时不变系统对激励f1(t)与响应波形 y1(t)如图示,求该系统的冲激响应和在以下激励的 零状态响应.
f (t ) sin t (t ) (t 1)
f1(t) 1 0 2 t 1 0 1 y1(t)
2-5 卷积的性质
f(t-t1)
f (t t1) (t t2) f (t t1 t2)
*
t1
δ(t-t0)
(1) =
t0 δ(t-t2)
=
t2
t0 t1X+t2
第
结论2：
12 页
如果：f (t) f1(t) f2 (t) 则： f1(t t1) f2 (t t2 ) f1(t t2 ) f2 (t t1) f (t t1 t2 )
m=n, 微分次数＝
f1(t)
f2 (t )
f1(t)
f (1)
2
(t)
积分次数
X
求系统零状态响应的另一方法
第 8
页
yzs (t) 结论y zs:(yt )zs(t
f (t) h(t)
f (t) h(1) (t) yzs (t) f (t) s(t
)是激励的导数与系统阶跃响应的卷积.
求： x(t) h(t)
3.已知：x(t)与h(t)波形，求： x(t) h(t)波形
X(t)
h(t)
2
1
01
t
0
2
第 16 页
t tX
第
例题2-5-4 求以下两信号的卷积，并画出波形
17 页
x1(t)
3
1
0 12
6
t
x2(t)
1
-2
t
方法一：图解法（麻烦） 方法二：用微积分性质（小心） 方法三：将无始信号变为有始信号表示（聪明）
f (t)
h(t )
g(t) ht h1t h2 t
结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于
第二章 (4)卷积积分的性质
f 1 (t )
f 2 (t )
2
1
0
2
0 1
1
2 3
t
1
3
t
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
f (t ) = 0
2
0
1
2 3
τ
f 2 (t τ
t2
)
1
t 0
1
τ
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
t
f (t ) = 0
1< t < 2 ,
f (t ) = ∫ 2dτ = 2(t 1)
(2) e ε(t + 3) ε(t 5) 2t e ε (t + 3) ε (t 5) ∞ 2τ = ∫ e ε (τ + 3) ε (t τ 5)dτ ∞
2t
=∫t 53e2τ1 2(t 5) 6 e = e 2 6 1 2( t 2) = e 1 e 2
[
1 2τ dτ = e 2
' ∞ ∞
上式称为杜阿密尔积分. 上式称为杜阿密尔积分. 杜阿密尔积分 其物理含义为: 其物理含义为:LTI系统的零状态响应等于激励的 系统的零状态响应等于激励的
f ' (t )与系统的阶跃响应 g(t )的卷积积分. 的卷积积分. 导数
例2.4-4 求图示函数 f1(t ) 与 f2 (t ) 的卷积 f (t ) .
若f (t ) = f1(t ) f2(t ),则 f1(t t1 ) f2(t t2 ) = f1(t t2 ) f2 (t t1 ) = f (t t1 t2 )
推广4 推广
卷积和的性质
n
1 y[n] y[n 1] x[n] 2 x[n 1] 3 x[n 2] 5 1 1
9 1 n h( n) 1 66( 5 ) 5 n 2 n 0
稳定系统
第3章 离散时间系统的时域分析
3.8 反卷积及其应用(自学)
h1[n]
h[n]
h[n] k [n]
可逆性：由y[n]可确定x[n].
条件
x[n]
h[n] h1[n] [n]
y[n]
h1[n]
x[n]
第3章 离散时间系统的时域分析
•LTI离散系统的互联
对于级联系统：
x[n] h1[n] h2 [n] y[n]
h[n] h1[n] h2 [n]
1 x1[k ] n[n 1]u[n] 2 k
n
x2 (n) [u(n 6) u(n 1)] (n 6) (n 1)
y( n) x1[n] x2 [n]
k
x [k ] x [n]
1 2
n
1 n( n 1)u[n] { [n 6] [n 1]} 2
三.卷积和的性质
2.分配律:
第3章 离散时间系统的时域分析
1.交换律： x1[n]* x2 [n] x2 [n]* x1[n]
x1[n] x2[n]* x[n] x1[n] x[n] x2[n]* x[n]
3.结合 律： { x1[n] * x2 [n]}* x3 [n] x1[n] * { x2 [n] * x3 [n]}
第3章 离散时间系统的时域分析
例：试用系统模拟图来表示下列方程所描述的LTI系统
信号与系统笔记
信号与系统第一章1。
1 连续时间与离散时间信号确知信号可以表示成一个或几个自变量的函数连续时间信号在［t1，t2］区间的能量定义为：连续时间信号在［t1,t2］区间的平均功率定义为：离散时间信号在［n1,n2］区间的能量定义为离散时间信号在[n1，n2]区间的平均功率为在无限区间上也可以定义信号的总能量：连续时间情况下:离散时间情况下:在无限区间内的平均功率可定义为： 21lim 2()TTT P dtTx t ∞-→∞=⎰能量信号——信号具有有限的总能量，即：功率信号—-信号有无限的总能量,但平均功率有限。
即：信号的总能量和平均功率都是无限的。
即:如果信号是周期信号，则或这种信号也称为功率信号，通常用它的平均功率来表征或或如果信号是非周期的，且能量有限则称为能量信号。
1.2 自变量的变换1.时移变换当时，信号向右平移时，信号向左平移当时，信号向右平移 时，信号向左平移,0E P ∞∞<∞=,E P ∞∞=∞=∞2。
反转变换信号以t=0为轴呈镜像对称。
与连续时间的情况相同。
3. 尺度变换时，是将在时间上压缩a倍,时,是将在时间上扩展1/a倍。
由于离散时间信号的自变量只能取整数值，因而尺度变换只对连续时间信号而言。
周期信号与非周期信号：周期信号：满足此关系的正实数（正整数)中最小的一个，称为信号的基波周期（）。
可视为周期信号，但它的基波周期没有确定的定义。
可以视为周期信号,其基波周期。
奇信号与偶信号：对实信号而言：如果有和则称该信号是偶信号。
（镜像偶对称）如果有和则称该信号为奇信号。
(镜像奇对称）对复信号而言：如果有和则称该信号为共轭偶信号.如果有和则称为共轭奇信号。
任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。
对实信号有：其中其中对复信号有：其中：其中：1。
3 复指数信号与正弦信号一. 连续时间复指数信号与正弦信号其中C, a 为复数1. 实指数信号：C,a 为实数呈单调指数上升呈单调指数下降。
卷积和的概念
卷积和的概念卷积和的概念卷积和是一种在信号处理、图像处理、数值分析和控制理论等领域广泛应用的数学运算。
其主要用于处理具有周期性特征的数据，如正弦波、余弦波等。
一、卷积和的定义卷积和通常用符号"*" 表示，对于两个函数f(t) 和g(t)，其卷积和定义为：(f * g)(t) = ∫(-∞to ∞) f(τ) g(t - τ) dτ这表示将函数f(t) 向右平移，与函数g(t) 在每个位置上进行相乘，然后将所得的积分求和。
这个过程也被称为卷积积分。
二、卷积和的性质1. 交换律：f * g = g * f2. 结合律：f * (g * h) = (f * g) * h3. 单位元：e * f = f4. 反元素：f * (f^-1) = e三、卷积和的应用1. 在信号处理中，卷积和是描述信号的线性滤波和卷积的关键工具。
它能够揭示信号中的特定频率分量，对于提取信号中的关键信息具有不可替代的作用。
在数字信号处理中，通过将一个信号与一个滤波器函数进行卷积和，可以精确地调整信号的频率成分，从而提取出特定的频率分量。
这一过程不仅在通信、语音识别等领域有着广泛的应用，同时也是其他领域如图像处理、数值分析等的重要基础。
2. 在图像处理中，卷积和被用于实现图像的滤波和锐化，是图像处理的关键工具之一。
通过将图像与特定的滤波器函数进行卷积和，可以增强图像的特定特征，如边缘、纹理等。
这一技术在计算机视觉、图像分析等领域发挥着重要的作用，为机器视觉、人脸识别等复杂任务提供了可能。
3. 在数值分析中，卷积和是数值积分和微分方程求解的重要手段之一。
在科学研究和工程实践中，许多复杂的问题需要用数学模型进行描述和解决，而卷积和在这其中扮演着关键的角色。
例如，通过将一个函数与一个基函数（例如正弦函数或余弦函数）进行卷积和，可以获得该函数的离散化数值表示，为解决复杂的数学问题提供了有效的途径。
4. 在控制理论中，卷积和是描述系统的稳定性和响应特性的重要工具。
信号与系统 卷积积分的性质
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
任意函数卷积政正弦函数
任意函数卷积政正弦函数一、函数卷积定义函数卷积是指将两个函数在某个区间内进行重叠部分的求和运算。
具体定义为：对于函数f(x)和g(x)，定义f(x)与g(x)的卷积为[f(x) * g(x)] = (f(x)与g(x)的函数图像重叠部分的面积)/dx。
二、卷积运算性质1.线性性质：对于任意常数a和b，有[a f(x)+b g(x)]h(x) = a[f(x)h(x)]+b[g(x)* h(x)]。
2.结合律性质：对于任意函数f(x)，g(x)和h(x)，有[f(x)(g(x)h(x))] =[f(x)g(x)]h(x)。
3.交换律性质：对于任意函数f(x)和g(x)，有[f(x)g(x)] = [g(x)f(x)]。
4.分配律性质：对于任意函数f(x)，g(x)和h(x)，有[f(x)(g(x)+h(x))] =[f(x)g(x)]+[f(x) * h(x)]。
三、函数卷积应用函数卷积在信号处理、图像处理、统计学等领域有着广泛的应用。
例如，在信号处理中，卷积运算可以用来对信号进行滤波、去噪等操作；在图像处理中，卷积运算可以用来对图像进行模糊、锐化等操作；在统计学中，卷积运算可以用来对概率密度函数进行积分、求期望等操作。
四、正弦函数定义正弦函数是指三角函数中的正弦函数部分，一般用sin(x)表示。
正弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
五、正弦函数性质1.周期性：正弦函数是周期函数，其周期为2π。
2.奇偶性：正弦函数是奇函数，满足sin(-x)=-sin(x)。
3.有界性：正弦函数的值域为[-1,1]，在定义域内函数的取值范围有限。
4.振幅特性：正弦函数的振幅随着频率的变化而变化，频率越高振幅越小。
5.波形特性：正弦函数的波形是一条周期性的曲线，每个周期内的形状相同且对称。
六、正弦函数图像正弦函数的图像是一条周期性的曲线，每个周期的长度为2π。
图像呈“波峰”和“波谷”交替出现的形式，且在每个周期内，函数的取值范围从-1变化到1，再从1变化到-1。
《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
卷积积分及其性质 ppt课件
d dx
(t)是奇函数 [ (x t)] f (x) d x [ f (t)] f (t)
第2-15页
PPT课件
15
■
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信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
3. f(t)*ε(t)
t
f ( ) (t ) d f ( ) d
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =
-?
t
(6 e- e2t 3t - et ) d t
?
(t)
t0
)
f
(
t
)
d
t
f (t0)
'(t) f (t) d t f '(0)
PPT课件
(t
t0 )
f
(t) d t
f
(t0 )
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2.4 卷积积分的性质
三、卷积的微积分性质
1.
dn dtn
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PPT课件
11
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2.4 卷积积分的性质
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
卷积结合律
卷积结合律卷积结合律是信号处理和图像处理中非常重要的一种运算法则，它的形式化定义是：对于三个信号序列f(t)、g(t)、h(t)，它们的卷积运算具有结合律，即(f * g) * h = f * (g * h)，其中“*”表示卷积运算。
这意味着，无论在什么顺序下进行三个信号的卷积运算，最终的结果都是一样的。
卷积结合律的数学证明较为复杂，但可以借助傅里叶变换来简化。
具体地，我们可以利用卷积的频域性质和傅里叶变换的线性性质，将三个信号的卷积运算转化为它们的傅里叶变换的乘积，然后再应用乘法结合律进行变形。
经过一番推导，我们最终可以得到结论：卷积运算满足结合律。
卷积结合律在实际应用中具有非常广泛的用途。
首先，它可以使得一些卷积运算的计算更加高效。
比如，我们可以将一个信号分解成若干个小的信号段，分别对它们进行卷积计算，然后再将它们组合起来，这样可以显著缩小计算量，提高运算效率。
其次，卷积结合律还为一些信号处理和图像处理算法的设计提供了思路。
比如，在图像分割和物体检测领域中，我们通常需要将一个图像和若干个滤波器进行卷积操作，然后对滤波器响应的结果进行加权平均得到最终的分割或检测结果。
此时，卷积结合律可以使得我们更加灵活地设计滤波器的组合方式，进而提高算法的性能。
最后，卷积结合律还可以用于解决一些实际问题。
比如，在天气预报领域中，我们通常需要将多个不同的气象模型的结果进行组合，以提高预报准确率。
此时，我们可以将每个模型的结果看成一个信号，然后对它们进行卷积操作，从而得到一个最终的预报结果，这可以进一步提高预报的准确性。
总之，卷积结合律是信号处理和图像处理中极为重要的一个概念，它具有广泛的应用和实际意义。
在实际应用中，我们可以根据卷积结合律的特性来在计算上进行优化，设计更加灵活和高效的算法，提高处理效率和性能。
因此，了解卷积结合律的概念和应用，对于从事相关领域的研究者和工程师来说，是非常重要的一件事情。
函数的卷积及其公式的应用
函数卷积及其应用摘要 卷积是一个很重要的数学概念．它描述了对两个（或多个）函数之积进行变换的运算法则，是频率分析的最有效的工具之一。
本文通过对卷积的概念，性质，具体应用以及对卷积公式，卷积定理等方面进行较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。
关键词 卷积 卷积公式 性质 应用1引言卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的。
狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出了“冲击函数”这一符号，而卷积的诞生正是为了研究“冲击函数”服务的；卷积是一种数学积分变换的方法，也是分析数学中一种重要的运算。
卷积在物理学，统计学，地震预测，油田勘察等许多方面有十分重要的应用。
本文通过对卷积的概念，性质，应用等方面进行较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。
2卷积的定义和性质2.1卷积的定义（基本内涵）设:)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，作积分:()()τττd x g f -⎰+∞∞- 随着x 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数)(x h ，称为函数()x f 与)(x g 的卷积，记为)(x h =)()(x g x f * (或者()()x g f *) .注(1)如果卷积的变量是序列()()n h n x 和，则卷积的结果：∑+∞-∞=*=-=i n h n x i n h i x n y )()()()()(，其中星号*表示卷积。
当时序n=0时，序列h(-i)是)(i h 的时序i 取反的结果;时序取反使得)(i h 以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积.另外，n 是使)(i h -位移的量，不同的n 对应不同的卷积结果.（2）如果卷积的变量是函数)(t x 和)(t h ，则卷积的计算变为：)()()()()(t h t x dp p t h p x t y *=-=⎰+∞∞-，其中p 是积分变量，积分也是求和，t 是使函数)(p h -位移的量，星号*表示卷积.（3）由卷积得到的函数g f *一般要比g f 和都光滑.特别当g 为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积g f *也是光滑函数.2.2卷积的性质性质2.2.1（交换律）设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则)()()()(x f x g x g x f *=*. 证 =*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-令τ-=x u ，则u x -=τ，τd du -= 所以=*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()du u g u x f ⎰-∞∞+--=()()du u x f u g ⎰+∞∞--=)()(x f x g *性质2.2.2（分配律）设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]x h x g x f +*)()()()()(x h x f x g x f *+*=.证 根据卷积定义()()[]x h x g x f +*)(=()()()[]ττττd x h x g f -+-⎰+∞∞-=()()τττd x g f -⎰+∞∞-+()()τττd x h f -⎰+∞∞-)()()()(x h x f x g x f *+*= 性质2.2.3（结合律）设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]()x h x g x f **()()()[]x h x g x f **=.证 令()()=*=x g x f x m )(()()τττd x g f -⎰+∞∞-，()()()()()dv x h v x g x h x g x s ⎰+∞∞--=*=，则()()[]()x h x g x f **=()()x h x m *=()()du u x h u m -⎰+∞∞-=()()()du u t h d u g f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞-+∞∞-τττ=()()τττd du u t h u g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)(令v x u u x v -=-=则,，上式=()()τττd dv v h v x g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)(=()()du u x s f -⎰+∞∞-τ=()()x s x f *()()()[]x h x g x f **=性质2.2.4 ()()x g x f x g x f *≤*)()(. 证明 =*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-≤()()τττd x g f -⋅⎰+∞∞-=()()x g x f *.性质2.2.5（微分性）设)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，则())()()()()()(x g x f x g x f x g x f dxd'*=*'=*. 证明 ()()()()()τττττd h dxx df d dx x dg x f x g x f dx d⎰⎰∞+∞-∞+∞-=-=*-)()( 即())()()()()()(x g x f x g x f x g x f dxd'*=*'=* 意义 卷积后求导和先对其任一求导再卷积的结果相同.性质2.2.6（积分性） 设()()()x h x g x f *=，则()()()()()()()x h x g x h x g x f11)1(---*=*=.意义 卷积后积分和先对其任一积分再卷积的结果相同. 推广 ()()()()()()()()x h x g x h x g x fn n n *=*=.性质2.2.7（微积分等效性）设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则()()ττd g x f x g x f x⎰∞-*'=*)()(.例2.1 设()0010≥<⎩⎨⎧=x x x f ，()000≥<⎩⎨⎧=-x x e x g x ，求()x g x f *)(.解 由卷积定义知()x g x f *)(=()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()t t t tx e e e d e-----=-=⋅⎰1110ττ例2.2 设函数()()()()()t e t f t t t f t μμμ-=--=21,3试计算其卷积()()()t f t f t y 21*=. 解 由卷积定义知()()()其他300131<<⎩⎨⎧=--=ττμτμτf()()()tte t ef t t ><⎩⎨⎧=-=----τττμτττ0)(2 所以()()()t f t f t y 21*==()()τττd t f f -⎰+∞∞2-1显然这个积分值与函数()ttt ><⎩⎨⎧=-τττμ01，所取非零值有关，即与参数t 的取值有关.()1当t 0<时，因30<<<τt ，所以()0=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==003)(=⋅⎰--ττd e t()2当30<<t 时，只有t <<τ0时，有()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==t tt e d e ----=⎰10)(ττ()3当3>t 时，因为t <<<30τ，所以()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==()t t e e d e ----=⎰133)(ττ综上所述，有()()()t f t f t y 21*==()33001-103><<<⎪⎩⎪⎨⎧⋅---t t t e e ett3.卷积定理3.1 时域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω [],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()()()(2121~ωωF F t f t f s ⋅=*上式称为时域卷积定理，它表明两信号在时域的卷积积分对应于在频域中该两信号的傅立叶变换的乘积.证明 []=*)()(21~t f t f s ()()dt e d t f f t j ωτττ-+∞∞-+∞∞-⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21=()()τττωd dt e t f f t j ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞--+∞∞-21=()()τωτωd e F f t j -+∞∞-⎰21=()()ττωωd e f F t j -+∞∞-⎰12=()()=⋅ωω12F F ),()(21ωωF F ⋅ 3.2频域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω [],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()(21)()(2121~ωωπF F t f t f s *=上式称为频域卷积定理，它表明两信号在时域的乘积对应于这两个函数傅氏变换的卷积除以π2.证明 ()()()()ωππωωπωd e du u w F u F F F s tj ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*21211-~212121 ()du d e u F u F tj ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰∞+∞-∞+∞-ωωππω2121)(21()()()t f t f du e t f u F jut 1221)(21⋅==⎰+∞∞-π于是[])()(21)()(2121~ωωπF F t f t f s *= 例3.1 求积分方程()()()()τττd t g f t h t g -+=⎰+∞∞-的解，其中()()t f t h ,为已知函数，且()()()t h t f t g 和,的Fourier 变换都存在. 解 假设()[](),ωG t g F =()[](),ωH t h F =()[](),ωF t f F =由卷积定义知()()()()t g t f d t g f *=-⎰+∞∞-τττ现对积分方程两端取Fourier 变换可得 ()()()()ωωωωG F H G ⋅+=解得()()()ωωωF H G -=1所以原方程的解为()()()ωωωπωd e F H t g ti ⎰∞+∞--=121例3.2 求常系数非齐次线性微分方程()()()t f t y t y dtd -=-22的解，其中()t f 为已知函数. 解 设()[]()[]()ωωF t f F Y t y F ==),(现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得 ()()()()ωωωωF Y Y i -=-2解得()()21ωωω+=F Y 所以原方程的解 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=-∞+∞-⎰ωωωωωπωF F d e F t y t i 212111121 由卷积定理得()()[]ωωF F F t y 12111--*⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==()()τττd e f t f et t--∞+∞--⎰=*212.例3.3 求微分积分方程()()()()t h dt t x c t bx t x a t=++'⎰∞-的解.其中c b a t ,,,+∞<<∞-均为常数.解 设()[]()()[]()ωωH t h F X t x F ==,现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得 ()()()()ωωωωωωH X i c bX X ai =++解得()()()⎪⎭⎫⎝⎛-+=++=ωωωωωωωc a i b H i c b ai H X ，所以原方程的解 ()()dt e c a i b H t x ti ωωωωπ⎰∞+∞-⎪⎭⎫⎝⎛-+=214.卷积公式及其应用与推广4.1卷积公式设X 和Y 的联合密度函数为）y x f ,(，则Y X Z +=得概率密度为⎰+∞∞--='=dx x z f x fZ F Z f Y Xz z )()()()(⎰+∞∞--='=dy y f y z fZ F Z f Y Xz z )()()()(证明 Y X Z +=的分布函数是：⎰⎰=≤+=≤=Dz xy f p z Z p Z F )()z Y X ()()(其中D ={}z y x y x ≤+:),(于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-+=+∞∞--∞-≤+-===zy x u yz zy x Z dudy y y u f dxdyy x f dxdy y x f Z F ),(),(),()(=⎰⎰∞-+∞∞--z dydu y y u f ),(从而⎰+∞∞--='=dy y y z f Z F Z f z z ),()()(由X 和Y 的对称性知⎰+∞∞--='=dx x x z f Z F Z f z z ),()()(。
卷积积分的性质
ε(t) *ε(t) = tε(t)
4. 卷积的时移特性 若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)
例 1： P70
▲
例2
■
第 8页
3．结合律 f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) [ f1 (t ) f 2 (t )]
系统级联运算
▲ ■ 第 3页
证明交换律
f1 t f 2 t
f1 ( ) f 2 ( t ) d
令t ，
2. [ f1 ( ) * f 2 ( )] d [ f1 ( ) d ] * f 2 (t ) f1 (t ) * [ f 2 ( ) d ] 证：上式=ε(t) *[f1(t)* f2(t)] = [ε(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(–1)(t) * f2(t) 3. 在f1(– ∞) =f2(– ∞) = 0的前提下， f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t)
y (t )
f ( t ) h1 ( t )
f (t )
h( t )
y (t )
f ( t ) h1 ( t ) h2 ( t )
ht h1 (t ) h2 (t )
结论：1.子系统级联时，总的冲激响应等于子系 统冲激响应的卷积。 2.子系统级联时，可以交换子系统响应次序。
显然，R(-τ)= R(τ)偶函数。
▲ ■ 第 14 页
实功率有限信号相关函数的定义
卷积和相关
都是两个函数通过某种运算得到另一函数。 一个函数是输入函数（待观测量、输入信号）， 一个函数描述观测方式或观测仪器的特征（或作用 特点） 另外一个函数就是输出函数（信号），即观测得到 的结果。 “某种运算”：就是观测方式或观测仪器对输入 函数作用的数学描述。
平移量等于两者的平移量之和。
8、函数 f ( x, y) 与
d
函数的卷积
根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质, 有:
f ( x) d ( x) f ( )d ( x )d f ( x)
即任意函数与d(x) 卷积后不变 利用卷积的位移不变性可得:
g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积. 二维函数的卷积:
g ( x, y ) f ( x, y ) h ( x, y )
f ( , )h( x , y )d d
三、卷积的物理意义和几何意义
物理意义：像强度分布是物强度分布与单位强度点 光源对应的像强度分布的卷积.
若右边园孔上加p 位相板, 则 t (x, y)
=
x2 y2 circ l/2
*
d (x+d/2 - d (x-d/2)]
练习 1-12
若f(x) * h(x) = g(x), 证明 (1) f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) (2) h(x) * f(x) = g(x)
卷积运算：可用来表示一个观测系统或一个 观测仪器对输入信号的作用过程，等等。
向量卷积运算公式
向量卷积运算公式摘要：1.卷积运算的定义2.向量卷积运算公式3.向量卷积运算的性质4.向量卷积运算的应用正文：1.卷积运算的定义卷积运算是一种在信号处理和图像处理中广泛应用的运算。
它主要是通过一个函数（信号）与另一个函数（卷积核）的组合，产生一个新的函数（输出信号）。
卷积运算可以用于提取信号的特征，或者对信号进行滤波等操作。
2.向量卷积运算公式在向量卷积运算中，假设有两个向量A 和B，其长度分别为m 和n，则它们的卷积运算可以用以下公式表示：(A * B)[i] = ∑(A[j] * B[i-j]) (0 <= i <= m-1, 0 <= j <= n-1)其中，A * B 表示向量A 和向量B 的卷积，[i] 表示卷积结果的第i 个元素。
公式中的求和符号表示对向量A 中的每个元素与向量B 中对应的元素进行点乘，然后将结果相加。
3.向量卷积运算的性质向量卷积运算具有以下性质：1) 交换性：A * B = B * A，即卷积运算满足交换律。
2) 分配律：(A + B) * C = A * C + B * C，即卷积运算满足分配律。
3) 结合律：(A * B) * C = A * (B * C)，即卷积运算满足结合律。
4) 数值稳定性：对于常数k，A * k = k * A。
4.向量卷积运算的应用向量卷积运算在信号处理和图像处理中有广泛应用，例如：1) 在图像处理中，卷积运算可以用来实现滤波、锐化、边缘检测等操作。
2) 在深度学习中，卷积运算被用于实现卷积神经网络（CNN），用于图像分类、目标检测等任务。
卷积积分介绍
h(t)
(1) 1
O
(1) t
g(t)
1
O12 1
g(t)f(1)(t)h(1)(t)
t 3 2t
t 3
0t 1 1t 2 2t 3
3 t
注意
28
注意
当f1(t)
t df1(t)dt时, dt
f 1 ( t) f 2 ( t) f 1 ( t) f 2 ( 1 )( t)
例 sg t： n t
系统并联运算
3．结合律
f ( t ) f 1 ( t ) f 2 ( t ) f ( t ) [ f 1 ( t ) f 2 ( t )]
系统级联运算
22
系统并联
f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t ) f ] 1 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) f 3 ( t ) 系统并联，框图表示：
一般数学表示： g(t) f1()f2(t)d 信号无起因时： g(t) f()h(t)d
(4)卷积是数学方法，也可运用于其他学科 。
(5)积分限由 f1(t),f2(t)存在的区间决定，即由
f1()f2(t)0的范围决定。
20
总结
求解响应的方法： 时域经典法： 完全解=齐次解 + 特解 双零法：
: 信号作用的时刻，积分变量
从因果关系看，必定有 t
(2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容；
f() 是h(t-)的加权，求和
即d f() 是h(t-)的加权，积分
(t-)的响应
19
(3)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建 立了响应r(t)与激励e(t)之间的关系。
零输入响应：解齐次方程，用初（起）始条件求系数；
卷积及其性质
利用图形处理器（GPU）的并行计算能力进行卷积运算加速。GPU具 有大量的计算核心和高速内存访问能力，适用于大规模并行计算。
03
FPGA加速
利用现场可编程门阵列（FPGA）的可编程性和并行处理能力进行卷积
运算加速。FPGA可以根据具体需求进行定制化的硬件设计，实现高效
的卷积运算加速。
THANK YOU
利用卷积核检测图像的边缘信息，可以实现基于 边缘的图像分割。
3
目标检测与识别
卷积神经网络（CNN）在目标检测和识别领域 取得了显著成果，通过训练CNN模型可以实现 对图像中特定目标的检测和识别。
05
卷积在深度学习中的应用
卷积神经网络（CNN）基本原理
局部连接
01
卷积神经网络通过卷积核实现局部连接，每个神经元仅与输入
数据并行
将输入数据划分为多个子集，每 个处理单元负责一个子集的卷积 运算，最后合并各子集的结果得 到最终输出。
任务并行
将卷积运算划分为多个子任务， 每个处理单元负责一个子任务的 计算，最后合并各子任务的结果 得到最终输出。
硬件加速技术在卷积中的应用
01 02
硬件加速技术
利用专用硬件加速器（如GPU、FPGA等）提高卷积运算速度。这些加 速器具有高度的并行处理能力和优化的数据存储方式，能够显著提高卷 积运算的效率。
模式识别
卷积运算还可以应用于模式识别领域。通过将输入信号与一组预定义的卷积核进行卷积运算，可以得 到一组特征图。这些特征图可以作为模式识别的输入，用于训练分类器或进行相似度匹配等操作。
04
卷积在图像处理中的应用
图像滤波与去噪
滤波器的设计
卷积在图像处理中常被用于设计 各种滤波器，如均值滤波器、高 斯滤波器等，用于去除图像中的
§7.6 离散卷积(卷积和)ppt课件
o 123
m
n0
o 123
m
n 1
y(n) u(n) n αm 1 αn1 un 1 yn
m0
1α
11
当n 时，yn 1
1α
o 1234
n
X
第
例7-6-2
8 页
已知x1(n)
4
,
n0
3,
2,
1，x2(n)
3
,
n0
2,
1, ，
求：yn x1(n) x2(n)
使用对位相乘求和法求卷积 步骤： 两序列右对齐→ 逐个样值对应相乘但不进位→ 同列乘积值相加（注意n=0的点）
信号与系统
7.5 7.7
§7.6 卷积（卷积和）
•卷积和定义 •离散卷积的性质 •卷积计算烟台大学光Βιβλιοθήκη 学院1一．卷积和定义
第 2
页
任意序列xn表示为 n的加权移位之线性组合:
xn x 1 n 1 x0 n x1 n 1 xm n m
xm n m
m
x(n)
y(n)
(n)
h(n)
X
第 9
页
x1n : x2 n :
4 321
n0
3
21
n0
4321
86 4 2
12 9 6 3
yn : 12 17 16 10 4 1 n0
所以yn 12 ， 17， 16， 10， 4，1
n0
X
例7-6-3
已知x(n)
R3 n,
h(n)
1
，2，3，求x(n)
n0
h(n)。
第 10
页
x(n) 1 1 1
123
离散卷积(卷积和)
y(n)= x1(n)* x2(n)= x1(n)* x2(n)
n
x1(n)*i x2
i =
x1(n)*
x2(n)
n
i
si
=
n i
x1
i
*x2(n)=
x1(n)*
n i
x2
i
返回
三.卷积计算 yn
xn* hn
xmhn m
m
m的范围由x(n)、h(n)的范围共同决定。
6
*
n
6
n
1
1 n 6n 7un 6 un 15un un 5
2
1 n 1n 2un 1 un 5
2
这与前面所得结果是相同的，但运算过程比较简单。
返回
例7-6-7已知离散信号 x1(n)=n[u(n)-u(n-6)]
利用单x2位(n样)=值u(信n+号6)d-(un()n求+1卷) 积 y(n)= x1(n)*x2(n)
mumun m 6 mum 6un m 6
m
m
mumun m 1 mum 6un m 1
m
m
n6
mun
6
n6
mun
n1
mun
1
n1
mun
5
m0
m6
m0
m6
n6
mun
6
n6
m
5
mun
n1
mun
1
n1
m
5
mun 5
i
i
i0 i6
1 2
nn
1un
1 2
nn
1un
15un
信号与系统教案第3章
2. 差分方程
包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。
将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m)
差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励， 利用迭代法可求得其数值解。
第3-3页
■
©东北电力大学电气工程学院
第3-6页
■
©东北电力大学电气工程学院
信号与系统
3.1
LTI离散系统的响应
例：若描述某系统的差分方程为 P88例题3.1-2 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程的
全解。 解： 特征方程为 λ2 + 4λ+ 4=0 特征根λ1=λ2= – 2，为二重根，差分方程齐次解为 yh(k)=(C1k +C2) (– 2)k 特解为 yp(k)=P (2)k , k≥0 代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2k ， 解得 P=1/4 所以得特解： yp(k)=2k–2 , k≥0 故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) (– 2)k + 2k–2 , k≥0 代入初始条件解得 C1=1 , C2= – 1/4
求单位序列响应h(k)。 P97例题3.2-1给的是框图 解 根据h(k)的定义 有 h(k) – h(k –1) – 2h(k –2) = δ(k) h(–1) = h(–2) = 0 （1）递推求初始值h(0)和h(1) 方程（1）移项写为