高中数学必修5__第三章《不等式》复习知识点总结与练习(二)

高中数学必修5__第三章《不等式》复习知识点总结与练习（二）

第三节

二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

[知识能否忆起]

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域

(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域：

不等式表示区域

Ax＋By＋C＞0直线Ax＋By＋C＝0某一侧

的所有点组成的平面区域不包括边界直线

Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分

(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定：

二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．

2．线性规划中的基本概念

名称意义

约束条件由变量x，y组成的不等式(组)

线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解(x，y)

可行域所有可行解组成的集合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧

确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．

(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；(2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C ＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．

2．最优解问题

如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数个．

二元一次不等式(组)表示平面区域

典题导入

[例1]

(2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧

x ≥0，

y ≥0，

x －y ≥－2，

4x ＋3y ≤20

表示的

平面区域的公共点有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．无数个

[自主解答] 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)． 直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且斜率k ＝－2＜k AB ＝－4

3，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．

[答案] B

由题悟法

二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．

注意：不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．

以题试法

1．(1)(2012·海淀期中)若满足条件⎩⎨⎧

x －y ≥0，

x ＋y －2≤0，

y ≥a

的整点(x ，y )恰有9个，其

中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )

A ．－3

B ．－2

C ．－1

D ．0

(2)(2012·北京朝阳期末)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧

x ＋y ≥0，

x －y ＋4≥0，

x ≤a

所表

示的平面区域的面积是9，则实数a 的值为________．

解析：(1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故选C.

(2)不等式组所表示的平面区域是如图所示的△ABC ，且A (－2,2)，B (a ，a ＋4)，C (a ，－a )，若a ≤0，则有△ABC 的面积S △ABC ≤4，故a ＞0，BC 的长为2a ＋4，由面积公式可得△ABC 的面积S △ABC ＝1

2(a ＋2)·(2a ＋4)＝9，解得a ＝1.

答案：(1)C (2)1

求目标函数的最值

典题导入

[例2](1)(2012·新课标全国卷)设x，y满足约束条件

⎩⎪

⎨

⎪⎧

x－y≥－1，

x＋y≤3，

x≥0，

y≥0，

则z＝x －2y的取值范围为________．

(2)(2012·广州调研)已知实数x，y满足

⎩

⎨

⎧x≥0，

y≤1，

2x－2y＋1≤0，

若目标函数z＝ax＋y(a≠0)取得最小值时的最优解有无数个，则实数a的值为________．[自主解答](1)依题意，画出可行域，如图阴影部分所示，显

然，当直线y＝1

2x－

z

2

过点B(1,2)时，z取得最小值为－3；当直线

过点A(3,0)时，z取得最大值为3，综上可知z的取值范围为[－3,3]．

(2)画出平面区域所表示的图形，如图中的阴影部分所示，平移直线ax＋y＝0，可知当平移到与直线2x－2y＋1＝0重合，即a＝－1时，目标函数z＝ax＋y的最小值有无数多个．

[答案](1)[－3,3](2)－1

若本例(2)条件变为目标函数z＝ax＋y(a≠0)仅在点⎝⎛⎭⎫

1

2，1处取得最小值，其它条件不变，求a的取值范围．

解：由本例图知，当直线ax＋y＝0的斜率k＝－a＞1，

即a＜－1时，满足条件，