09工程力学答案第11章压杆稳定
建筑力学课件 第十一章 压杆稳定
11.1平衡的三种形态与压杆稳定的概念
1．如图11-3b所示，当杆承受的轴向 压力数值FN小于某一数值FNcr时 ，在撤去干扰力以后，杆能自动 恢复到原有的直线平衡状态而保 持平衡，这种原有的直线平衡状 态称为稳定的平衡。
11.1平衡的三种形态与压杆稳定的概念
2．如图11-3c所示，当杆承 受的轴向压力数值FN逐渐 增大到等于某一数值FNcr 时，即使撤去干扰力，杆 仍然处于微弯形状，不能 再自动恢复到原有的直线 平衡状态，但也不继续弯 曲，这种原有的直线平衡 状态就是临界的平衡。
11.1平衡的三种形态与压杆稳定的概念
压杆经常被应用于各种工程实际中，例如内燃机的连杆 （如图11-4）和液压装置的活塞杆（如图11-5），这 些构件在处于图示位置时，均承受压力。虽然这些受 压构件，不会受人为的干扰力作用，但是由于制造误 差可能造成初始弯曲、轴向力不一定完全与轴线重合 等因素，相当于作用了干扰力。所以此时必须考虑其 稳定性，以免产生压杆失稳破坏。
如图11-9所示，为一端固定一 端自由的细长压杆的挠曲 线形状，其长度为2l的挠 曲线形状，形成一半波正 弦曲线，即当将其原长度 乘以2的长度系数后，就 与长度为2l的两端铰支压 杆相同。所以，一端固定 一端自由的细长压杆的长 度系数等于2。
为方便查用，将几种不同杆 端约束情况下的长度系数 μ值列于表11—1中。
建筑力学 第十一章 压杆稳定
第十一章 压杆稳定
【学习目标】
1.理解稳定与失稳的概念； 2.掌握用欧拉公式计算压杆的临 界荷载与临界应力；
3.了解压杆的临界应力总图； 4.理解压杆稳定条件及其实用计 算。
11.1平衡的三种形态与压杆稳定的概念
在前面各章中，讨论了构件的强度计算问题，现在讨论 稳定问题。
第十一章 压杆失稳解析
例2 压缩机的活塞杆受活塞传来轴向压力F=100kN的作用，活塞杆 的长度L=1000mm，直径d=50mm，材料为45钢，σs=350MPa， σp=280MPa，E=210GPa，a=460MPa，b=2.57MPa，安全系数 [nst]=4，试进行稳定性校核。
•
解：
l
i
l
d
11000 50
80
p
l
i
1、对于粗短杆，属于强度问题，可选用高强度材料 2、对于中柔度杆，选用高强度杆可适当提高压杆的稳定性 3、对于大柔度杆，由于各种钢材的弹性模量差别不大， 选用高强度钢对于提高压杆的稳定性作用不大
压杆稳定
弹性稳定与不稳定的静力学准则
平衡—压杆的两种平衡形式：
F<Fcr : 直线平衡状态
F>Fcr :
弯曲平衡状态 (在扰动作用下)
压杆稳定
FP<FPcr :在扰动作用下，直线平 衡形式转变为弯曲平衡形式，扰 动除去后，能够恢复到直线平衡 形式，则称原来的直线平衡形式 是稳定的。
FP>FPcr :在扰动作用下，直线 平衡形式转变为弯曲平衡形式， 扰动除去后，不能恢复到直线 平衡形式，则称原来的直线平 衡形式是不稳定的。。
粗短杆： 不发生失稳，而发生 屈服(< s ) 强度问题
压杆稳定
稳定性计算
临界应力校核：
cr
nst
安全系数校核：
nst
cr
nst
• 例2 压缩机的活塞杆受活塞传来轴向压力 F=100kN的作用，活塞杆的长度L=1000mm， 直径d=50mm，材料为45钢，σs=350MPa， σp=280MPa，E=210GPa，a=460MPa， b=2.57MPa，规定压缩机活塞杆安全系数 [nst]=4，试进行稳定性校核。
第十一章压杆的稳定 - 工程力学
第十一章压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
(a) 稳定平衡图11.1 稳定平衡与不稳定平衡上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a)所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a)，平衡是稳定的；若轴向压力F足够大，即使微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
工程力学压杆稳定
MA=MA =0 相当长为2l旳两端简支杆
Fcr
EI 2
(2l ) 2
l
F
0.5l
两端固定 EI 2
Fcr (0.5l) 2
图形比拟：失稳时挠曲线 上拐点处旳弯矩为0，故可设想 此处有一铰，而将压杆在挠曲 线上两个拐点间旳一段看成为 两端铰支旳杆，利用两端铰支 旳临界压力公式，就可得到原 支承条件下旳临界压力公式。
两端铰支
= 1
一端固定，一端自由 = 2
一端固定，一端铰支 = 0.7
两端固定
= 0.5
§11-4中小揉度杆旳临界压力
一、临界应力与柔度
cr
Fcr A
对细长杆
cr
2 EI (l)2 A
2 Ei2 ( l ) 2
2E ( l )2
记 l
i
i
cr
2E 2
––– 欧拉公式
：柔度，长细比
[cr] = [] < 1，称为折减系数
[ cr ] [ ]
根据稳定条件
F Fcr nst
F A
Fcr Anst
cr
nst
[ cr ： 工作压力
： 折减系数
A： 横截面面积
[]：材料抗压许用值
解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示
下端固定，上端自由旳压杆。
＝2
F
l=0.375m
i I d A4
l l 2 0.375 75
i d 0.04 / 4 4
查表， = 0.72
F
A
80 103
0.72 0.042
88.5106 88.5MPa [ ] 160MPa
4
故此千斤顶稳定性足够。
工程力学 第二版 (范钦珊 唐静静 著) 高等教育出版社 课后答案 第11章 压杆的稳定性问题
角钢(连结成一整体)。试确定梁与柱的工作安全因 数。
解：1．查型钢表得
习题 11－12 图
No.16aI：Iz = 1130cm4，Wz = 141cm3 2No. 63×63×5： A = 2 × 6.143 = 12.286 cm2
i y = 1.94cm I y = 2 × 23.17 = 46.34 cm
采用，欧拉公式计算临界力
FPcr = σ cr A =
轴的工作安全因数
2 π E
λ2
=
所以，轴不安全。
11－11 图示正方形桁架结构，由五根圆截面钢杆组成，
连接处均为铰链，各杆直径均为 d＝40 mm，a＝1 m。材料 均为 Q235 钢，E＝200 GPa，[n]st＝1.8。试；
网
ww w
.k hd 案
μ =1
co
界力。
m
11－5
图示 a、b、c、d 四桁架的几何尺寸、圆杆的横截面直径、材料、加力点及加力
方向均相同。关于四桁架所能承受的最大外力 FPmax 有如下四种结论，试判断哪一种是正确 的。 （A）FPmax(a)=FPmax(c)<FPmax(b)=FPmax(d)； （B）FPmax(a)=FPmax(c)=FPmax(b)=FPmax(d)； （C）FPmax(a)=FPmax(d)<FPmax(b)=FPmax(c)；
案
对于 A3 钢， λ P = 102,
λs = 61.6 。因此，第一杆为大柔度杆，第二杆为中柔度杆，
网
i μl λ2 = 2 i μl λ3 = 3 i
λ1 =
=
ww w
FPcr = ( a − bλ ) A = (304 − 1.12 × 62.5) × 10 3 ×
材料力学习题册答案第章压杆稳定
第 九 章 压 杆 稳 定一、选择题1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。
在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力,则压杆〈A ）。
A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少,不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变；D 、弯曲变形继续增大。
2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态,此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形<C)A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大3、压杆属于细长杆,中长杆还是短粗杆，是根据压杆的〈D ）来判断的。
A 、长度B 、横截面尺寸C 、临界应力D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的〈 A )对临界应力的影响。
A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状；B 、材料,长度和约束条件；C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状；D 、材料，长度，截面尺寸和形状; 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。
答案：〈 a )6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ,直径50mm .其柔度为 ( C 〉A 。
60；B 。
66。
7；C .80；D 。
507、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图<D ）所示截面形状，其稳定性最好.8、细长压杆的<A ）,则其临界应力σ越大。
A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小；B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大；C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大；D 、弹性模量E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是,压杆的柔度〈C ）A 、λ≤P E πσB 、λ≤s E πσC 、λ≥PEπσ D 、λ≥sEπσ10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大<C ）A 、细长杆的临界应力是减小的,中长杆不是；B 、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是;C 、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的;D 、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的; 11、两根材料和柔度都相同的压杆〈A ）A 。
第十一章压杆的稳定_工程力学
第十一章 压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a )所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F 较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a )，平衡是稳定的；若轴向压力F 足够大，即使(a ) 稳定平衡 图11.1 稳定平衡与不稳定平衡微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
材料力学-第十一章-压杆稳定
＝
π2
×
206 52
×109
×
π
×
160 ×10-3 64
4
= 2.6 ×106 N = 2.60 ×103 kN
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa ，确定两根杆的临 界载荷
对于两端固定的压杆，就有
F
d2w + k2w = 0 k2 = F
dx 2
EI
M
F
F
w
微分方程的解: w =Asinkx + Bcoskx
边界条件:=x 0= , w 0 :
B=0
=x l= , w 0 :
Asin kl = 0
系数A，B不能全为0：sin kl = 0
= kl nπ , =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
k=2
F n2π 2
EI l2
屈曲位移函数： w = Asin nπ x l
弯曲幅值A取决于弯曲程度，与压力F有关。
分叉点 F
Fcr
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
压杆稳定平衡路径
F
平衡路径
F<Fcr 时，直线平衡态为稳定且唯一的
平衡路径
F>Fcr 时，直线平衡态不稳定，一旦有 扰动，杆将转为弯曲平衡态
=
, =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
EI l2
临界载荷： F=cr
n2π 2EI , =n
l2
1, 2,⋅ ⋅ ⋅
最小临界载荷：
Fcr
=
π 2EI
l2
工程力学：压杆稳定 习题与答案
一、单选题1、压杆一般分为三种类型，它们是按压杆的（）。
A.惯性半径分B.杆长分C.柔度分D.杆端约束情况分正确答案：C2、细长压杆，若其长度系数增加一倍，则（）。
A.Pcr增加一倍B.Pcr增加到原来的4倍C.Pcr为原来的二分之一倍D.Pcr为原来的四分之一倍正确答案：D3、下列结论中正确的是（）。
①若压杆中的实际应力不大于该压杆的临界应力，则杆件不会失稳；②受压杆件的破坏均由失稳引起；③压杆临界应力的大小可以反映压杆稳定性的好坏；④若压杆中的实际应力大于scr=πE2/λ2，则压杆必定破坏。
A.①+②B.②+④C.①+③D.②+③正确答案：C4、压杆临界力的大小（）。
A.与压杆所承受的轴向压力大小有关B.与压杆的柔度大小有关C.与压杆材料无关D.与压杆的柔度大小无关正确答案：B5、两端铰支的圆截面压杆，若λp=100，则压杆的长度与横截面直径之比l/d在时，才能应用欧拉公式（）。
A.25B.50C.400D.200正确答案：A6、若两根细长压杆的惯性半径i相等，当（）相同时，它们的柔度相等。
①杆长；②约束类型；③弹性模量；④外部载荷A.①+②B.①+②+③C.①+②+④D.①+②+③+④正确答案：A7、a、b两根都是大柔度杆，材料、杆长和横截面形状大小都相同，杆端约束不同。
其中a为两端铰支，b为一端固定，一端自由。
那么两杆临界力之比应为（）。
A.4B.1/4C.2D.1/2正确答案：A8、提高水稻抗倒伏性能的可能措施包括（）。
A.选用茎秆强壮品种B.选用节间较短的矮秆品种C.使用植物生长调节剂，以调控节间长度与株高等D.以上都是正确答案：D9、圆形压杆和矩形压杆在稳定性校核时有何区别（）。
A.圆形压杆不需要考虑失稳方向性，而矩形压杆需要考虑B.圆形压杆需要考虑失稳方向性，而矩形压杆不需要考虑C.两者都不需要考虑D.两者都需要考虑正确答案：A10、压杆合理设计措施包括：①合理选用材料；②合理选择截面；③合理安排压杆约束与杆长（）。
工程力学11-压杆的稳定性分析与设计解析
11.1.3 三种类型压杆的临界状态 压杆的分类：
细长杆 ——当F >Fcr时容易发生弹性屈曲 当F≤Fcr时不发生屈曲
中长杆 ——当F >Fcr时发生屈曲，但不再是弹性的
粗短杆 ——不会发生屈曲，失效属于强度破坏
《工程力学》
11.2
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
长细比概念三类不同压杆判断
11.3.2 三类不同压杆的区分
ห้องสมุดไป่ตู้
因，屈曲在弹性范围内导出
故有：
scr =
Fcr A
≤[sp]
在比例极限内有效
稳定平衡构形到屈曲（不稳定平衡构形）是一个 过程。
介于这个过程之间的平衡构形——临界平衡构形
或称：“临界状态” 临界载荷
处于临界状态时，杆件所受的施压载荷
称：“临界载荷”，或临界力，Fcr
《工程力学》
11.1
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
令：当材料达到比例极限时的长细比为“lp” 当材料屈服极限时的长细比为“ls”
细长杆 中长杆 粗短杆
—— l ≥ lp —— lp >l ≥ ls —— l < ls
细长压杆的临界载荷
工程力学第11章-压杆稳定
例10-4 图示支架中圆形截面压杆AB的直径为28mm,材料为A3钢， E=200GPa。试求荷载P的最大值。 解：AB压杆l=1000mm,
A
i
d 2
4
28 2
4
615 .75mm ; I
2
d 4
64
;
E 200000 96.7 MPa 2 2 142 .9 Pcr cr A 96.7 615 .75 59.6kN N BA ; cr
λ c—修正的分界柔度。 A3钢：λ c=123；16锰钢：λ c＝102。
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例10-3 22a号工字钢柱，长l＝3,两端铰接，承受压力P＝500kN。 钢的弹性模量E＝200GPa,试验算此杆是否能够承受此压力。 解：查表知A=42cm2,imin=2.31cm,μ=1,则柔度
由边界条件x 0, y 0; x l , y 0; 得c2 0; c1 sin k l 0;
因为c1 0, 所以 sin k l 0; 得k l n (n 0、 1、 2、 n)； 则 n 2 2 EI Pcr (n 0、 1、 2、 n); 2 l
2
欧拉公式
导出欧拉公式用了挠曲线近似微分方程
要求材料满足胡克定律
cr p
2 欧拉公式的适用范围 导出欧拉公式用了挠曲线近似微分方程 要求材料满足胡克定律
即： 记：
cr p
E P
2
E cr 2 p 2 E p P
2
则欧拉公式成立的条件为：
可以看出：p 只与材料的性质有关。
p
山东建筑大学期末工程力学第11章压杆稳定
对于等直杆
F N max [ ] max A
例题：一长为300 mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。钢 的许用应力为[ ]=196 MPa。按强度条件计算得钢板尺所能承受的 轴向压力为
一, 两端为绞支（球形绞支），长为 l 的 细长 压杆。
当 F 达到 FCr 时，压杆的特点是：保持微弯形式的平衡。
x
F cr
x
w
l
l 2
m w m
F cr
M ( x) F cr w
m m
x
o w o
x
w
F cr
FCr
x
w
m
M ( x) F cr w
m
x
o w
FCr
压杆任一 x 截面沿 w 方向的位移为 w = f (x) 该截面的弯矩为
E F cr cr A ( l / i )
l
i
称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，杆端约
束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。
2 E 2
cr
cr
E 2
2
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。
F Cr A Cr
x
y
2 EI F cr 2 ( l )
z
2 EI y ( F Cr ) y ( l )2 y
2 EI z ( F Cr ) z ( l )2 z
F Cr {( F Cr ) y,( F Cr ) z}min
工程力学-25压杆稳定11-1
33
例 求图示的结构的临界荷载。
A EI B
EI C F
a
1.5a
Fccrr11
=
EI π22 (1.5a)22
=
EI π22 2.25a 22
Fccrr22
=
EI π22 (2a)22
=
EI π22 4a 22
临界荷载
Fccrr
=
EI π22 4a 22
34
11.3 欧拉公式的适用范围
一、欧拉公式的另一形式
C 0.25l
A
固-固
μ=0.5
欧拉公式的一般形式
Pcr
=
π 2 EI
(μl )2
两端铰支 μ＝1.0
两端固定 μ＝0.5
一端自由，一端固定 μ＝2.0
一端铰支，一端固定 μ＝0.7 长度因数μ 反映了约束对稳定临界力的影响
约束强，稳定临界力大
28
P
讨论
分析小孔对 图示压杆的强度 和稳定临界力的 影响
欧拉公式的一般形式
Pcr
=
π 2 EI
(μl )2
σ cr
=
Pcr A
=
π 2 EI
(μl )2 A
=
π 2 Ei 2
(μl )2
i2 = I A
记 λ = μl 称为压杆的柔度
i
则得欧拉公式另一形式
σ cr
=
π 2E λ2
35
二、 欧拉公式的适用范围
分析1 欧拉公式是在挠曲线近似微分方程
的基础上推导出来的，EIw″=M
23
材力11-1
内容 要求
Chap.11 压杆稳定 11.1 概念 11.2 细长压杆的临界力 11.3 欧拉公式的适用范围 掌握欧拉公式
建筑力学 第11章 压杆稳定
11.3.2 欧拉公式的适用范围
欧拉临界力公式是以压杆的挠曲线近似
微分方程式为依据而推导得出的，而这个 微分方程式只是在材料服从虎克定律的条
件下才成立。因此只有在压杆内的应力不
超过材料的比例极限时，才能用欧拉公式 来计算临界力，即应用欧拉公式的条件可 表达为：
cr
2E 2
P
压力的初偏心、材质欠均匀等，都严重地影响了压
杆的稳定性，降低了临界力的数值。因此，稳定安
全系数一般规定得比强度安全系数n要高。于是，
压杆的稳定许用应力
为 cr
.
（3）选择截面。即当杆的长度、所用材料、杆端约 束情况及压杆的工作压力已知时，按稳定条件选
择杆的截面尺寸。由于设计截面时，稳定条件式 中的A、φ都是未知的，所以需采用试算法进行计 算。即先假定一个φ1值（一般取φ1=0.5），根据 工作压力P和允许应力[σ]，由稳定条件算出截面 面积的第一次近似值A1，并根据A1值初选一个截 面，然后计算I1、i1和λ1，，再由表查出相应的φ 值。如果查得的φ值与原先假定的φ1值相差较大， 可在二者之间再假定一个φ2值，并重新计算一次。 重复上述的计算，直到从表查得的φ值与假定者非 常接近时为止，这样便可得到满足压杆稳定条件 的结果。
(a)
(b)
图11-1
(c) 图11-2
11.2 压杆的临界力--欧拉公式
(a)
(b)
图11－3
11.2.2 杆端约束的影响
公式(11-1)为两端铰支压杆的临界力公 式，但压杆的临界力还与其杆端的约束情 况有关。因为杆端的约束情况改变了，边 界条件也随之改变，所得的临界力也就具 有不同的结果。表11-1为几种不同杆端约束 情况下细长杆件的临界力公式。从表中可 看出，各临界力公式中，只是分母中前的 系数不同，因此可将它们写成下面的统一 形式：
工程力学压杆稳定
第11章 压杆稳定
§11-2 细长压杆的临界压力
实验方法建立临界力的计算公式 1）用材料、截面的形状和尺寸相同 但长度不同的细长压杆实验： 2）用几何尺寸完全相同但材料不同 的细长压杆实验： 3）用材料相同、长度相等但截面尺 寸不同的细长压杆实验： 欧拉 公式
欧拉公式
1 Fcr 2 l
Fcr E Fcr I
解 （1）计算柔度
先计算惯性半径：
F
d 64 d1 I i A 4 d 4 0.032 m 0.008m 4
4 1 2 1
第11章 压杆稳定 为了偏于安全起见，将螺杆看成一端固定，另 一端自由，查表得 = 2。于是柔度为：
2 0.3 75 i 0.008
cr a b
式中a﹑b为与材料有关的常数。对于 b 1.12 MPa 结构钢：a 304 MPa， 铸铁：a 331 .9MPa ， b 1.453 MPa
小柔度杆或短杆：对于结构钢，当 60 时，压杆 可以不考虑稳定性，只需进行压缩强度计算。这种 杆称为小柔度杆或短杆。这时其临界应力 cr 等于 屈服点 s 。
cr
2 Fcr EI 2 A ( l ) A
截面惯性矩 I：截面面积 A 与惯性半径 i 平方之积。
引入压杆柔度
l
i
2 E cr 2
第11章 压杆稳定
欧拉公式的适用范围
由于实验时杆内的压应力不超过比例极限p，因此 只有当cr p 时欧拉公式才适用，即
E cr 2 p
2
大柔度杆或细长杆：对于结构钢的 p 2 10 Pa、 11 E 2 10 Pa，则由上式可算得欧拉公式的适用 范围为 100；同理对于铸铁，欧拉公式的适用 范围为 80 。这类杆称为大柔度杆或细长杆。
材料力学(单辉祖)第十一章压杆稳定问题
Pcr
=
π 2EI
l2
若杆端在各个方向的约束情况相同(如球形 铰)，I 应取最小的形心主惯矩，得到直杆 的实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取 挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即此 时要综合分析杆在各个方向发生失稳时的 临界压力，得到直杆的实际临界力(最小值)。
25
欧拉公式
求解上述非线性微分方程，得挠曲线中
点挠度δ 与压力P之间的近似关系
δ = 2 2l π
其图形为
P Pcr
⎡ − 1⎢1 −
⎣
1 2
⎛⎜⎜⎝
P Pcr
−1⎞⎟⎟⎠⎤⎥⎦
P
A
Pcr
可见，只有当P ≥Pcr时，压杆 B 才可能存在非直线的平衡态，
即直杆发生失稳，并且挠度δ
与压力P之间存在一对一关系，
M (x) = Pcrv(x) − Q(l − x)
x Pcr
Q A
M(x)
m
m
l
x
BQ MB y Pcr
39
Example-1
x
代入挠曲线近似微分方程
Pcr
EI
d 2v dx 2
=
−M
(x)
=
− Pcr v( x)
+
Q(l
−
x)
令 k 2 = Pcr
EI
则控制微分方程化简为
d 2v dx 2
+
k 2v
28
欧拉公式
思考题
29
不同约束下压杆临界力的 欧拉公式 • 压杆长度系数
30
长度系数
问题：
考虑下端固定、上端 自由并在上端承受轴 向压力作用等截面细 长杆，几何尺寸见图 确定此压杆临界压力
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11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。
（1）圆形截面，25,1d l==mm m；（2）矩形截面2400,1h b l===m m；（3）16号工字钢，2l=ml解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力：（1）圆形截面，25,1d l==mm m：2292220.025200106437.81crEIPlπππ⨯⨯⨯⨯===N kN （2）矩形截面2400,1h b l===m m当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳20.040.02min(,)12y z yI I I I⨯===，故：2292220.040.02200101252.71crEIPlππ⨯⨯⨯⨯===N kN （3）16号工字钢，2l=m查表知：4493.1,1130y zI I==cm cm，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1μ=时4min(,)93.1y z yI I I I===cm，故：2298222001093.110459.42crEIPlππ-⨯⨯⨯⨯===N kN 11-3 有一根30mm×50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σP=200MPa。
解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的Pλ2299.35P PPEπσλλ=→===（2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于Pλ可采用欧拉公式计算临界力。
故0.780.83 1.2290.0399.35x Pyzl ll liμλλ⋅===>>=→mm，即 1.229l >mm 为细长杆，可采用欧拉公式计算临界力。
11-6 某钢材的比例极限230P σ=MPa ，屈服极限274s σ=MPa ，弹性模量E=200GPa ，331 1.09cr σλ=-。
试求P s λλ和，并绘制临界应力总图（0150λ≤≤）。
解：（1）计算此钢材的判别柔度①将230P σ=MPa 代入欧拉公式22Eπσλ=可以计算此钢材细长压杆的判别柔度P λ：92.64P λ===②由经验公式331 1.09cr σλ=-知：此钢材的331, 1.09a b ==MPa MPa ，将274s σ=MPa 代入中柔度杆的公式可以此钢材中柔度杆的判别柔度s λ：33127452.291.09s s a b σλ--=== （2）绘制临界应力总图如图：52.29σ(MPa)cr11-7 b=40mm,h=60mm 的矩形截面压杆如图所示，在在平面内，两端铰支，出平面内两端固定。
材料为Q 235钢，其弹性模量210E G =Pa ,比例极限σP =200MPa 。
试求（1）压杆的临界荷载P cr ，（2）若[]3st n =，压杆所承受的最大轴向压力为多大（3）从稳定性考虑b/h 为何值时最佳习题11-7图解：（1）计算柔度：①当压杆在在平面内xoy 内失稳，为z 中性轴。
1 2.4138.560.060xy xy zli μλ⋅⨯=== ②当压杆在出平面内xoz 内失稳，为y 中性轴。
0.5 2.4103.920.04xz xz yli μλ⋅⨯===③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。
max(,)138.56xz xy λλλ==④计算压杆能采用欧拉公式所对应的P λ22101.8P P P E πσλλ=→===⑤101.8138.56P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr222362(2101010)(0.0600.040)259.10138.56cr cr E P A Aπσλπ=⋅=⋅⨯⨯⨯=⨯⨯=N kN(2) 由压杆稳定条件求压杆所承受的最大轴向压力［P ］若[]3st n =，[][]259.1086.373cr cr w w w P P n n P P n =≥→≤==kN （3）求稳定性最佳的b/h当压杆在不同方向的柔度相等时，才不会在某平面内先失稳。
故b1 2.41 2.40.5 2.40.50.5 2.4xyxyzxzxzylhibh b hlbiμλμλ⋅⎧⨯==⎪⎪⨯⨯⎪→=→=⎨⋅⨯⎪==⎪⎪⎩补充1 图示边长为a的正方形铰接结构，各杆的E、I、A均相同，且为细长杆。
试求达到临界状态时相应的力P等于多少若力改为相反方向，其值又应为多少F BC F N N BCN CD解：（1）各杆的临界力222..222cr BDcrEI EIPPa aππ===外（2）求各杆的轴力与P的关系。
由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，NAB NBC NCD NDAF F F F===。
研究C、B结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C、B结点受力如图所示。
第一种情况：C:)02450x NCB NCBF P F cos F=→--=→=∑压杆B:()02450Y NBD NBC NBD NBCF F F cos F P=→--=→==∑拉杆令22,.22==NCB cr CB crEI EIF P P Pa aπ===↔外第二种情况：)NCBF=拉杆()-NBD NBCF P==压杆22.22-==22NBD NBC cr BDEI EIF P P Pa aππ===↔补充2 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。
试求该木柱的临界力.解：（1）计算柔度：①当压杆在在平面内xoz 内失稳，y 为中性轴。
0.57101.04xz xz yli μλ⋅⨯===②当压杆在出平面内xoy 内失稳，z 为中性轴。
27242.490.200xy xy zli μλ⋅⨯===③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。
max(.)242.49xz xy λλλ==（2）松木75242.49P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr222112(0.110)(0.1200.200)40.28242.49cr cr EP A Aπσλπ=⋅=⋅⨯⨯=⨯⨯=N kN补充3 图示压杆，材料为Q235钢，横截面有四种形式，其面积均为23102.3mm ⨯，试计算其临界力.解：（1）矩形：①计算柔度：23632 3.210103.2100.04b b --=⨯⨯=⨯→=0.530.53129.90.04xz xz ylb i μλ⋅⨯⨯==== 129.9>123=xz P λλ=矩形截面压杆属于细长压杆，采用欧拉公式计算其临界力 ②计算其临界力22113222103,210N 374.34kN 129.9cr E P A ππλ-⨯⨯=⋅=⨯⨯= （2）正方形截面：①计算柔度：23633.210103.2100.057a a --=⨯⨯=⨯→=0.530.5391.860.057xz xz ylb i μλ⋅⨯⨯==== 06091.86<123=xz P λλλ=<=正方形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力63()(304 1.1291.86)10 3.210N 643.57kN cr cr P A a b A σλ-=⋅=-⋅=-⨯⨯⨯⨯=（3）圆形截面： ①计算柔度：23633.21010 3.2100.0644d d π--=⨯⨯=⨯→=0.530.5394.000.06444xz xz yld i μλ⋅⨯⨯==== 0=6094<123xz P λλλ<==圆形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力②采用直线经验公式计算其临界力63()(304 1.1294)10 3.210N 635.9kN cr cr P A a b A σλ-=⋅=-⋅=-⨯⨯⨯⨯=（3）圆环形截面： ①计算柔度：2222363(1)(10.7) 3.21010 3.2100.0894m 44D D D ππα---=-=⨯⨯=⨯→=0.530.5354.990.0894xz xz ylD i μλ⋅⨯⨯====054.99<60=xz λλ=圆环形截面压杆属于粗短杆，临界应力为屈服极限 ②计算其临界力()()6323510 3.210N 752kN cr cr s P A A σσ-=⋅=⋅=⨯⨯⨯=补充4 图示结构中，横梁AB 由14号工字钢制成，材料许用应力[]160MPa σ=，CD 杆为Q235轧制钢管，2636d D ==mm,mm 。
其弹性模量210E G =Pa 。
若[] 1.5st n =,试对结构进行强度与稳定校核。
F N 图（kN ）M 图（kN m ）+2412-解:（1）求反力：取ABC 杆为研究对象，受力如图所示。
()0sin 45122033.941kN ANDCNDC m FF =→-+⨯=→==∑F（2）内力分析：ABC 杆的AC 段发生拉弯组合变形，CB 段发生弯曲；CD 杆为轴向压缩杆件。
内力图如图所示。
（3）对压杆进行稳定性校核。
①求压杆的柔度127.39liμλ===②求压杆临界力对于Q 235钢材料为100P λ=，127.39>100P λλ==，采用欧拉公式计算压杆临界应力2292221010Pa 127.72MPa 127.39cr E ππσλ⨯⨯===③校核压杆的稳定性[][]666322127.7210127.7210 1.83 1.526/69.701033.9410/{0.036[1()]}436cr cr w w w w NDC n n n F A σσπσ⨯⨯=≥→===≥=⨯⨯⨯⨯-故，压杆的稳定性足够。
（4）对梁ABC 进行强度计算梁的C 的左截面为拉弯组合变形的危险面，其上距中性轴最远的上边缘点位危险点。
查表可知14号工字钢的2321.516cm,102cm z A W ==。
则梁的最大拉应力为：33max max4624101210Pa 11.154117.647MPa 128.8MPa 21.5161010210N z F M A W σ--⨯⨯=+=+=+=⨯⨯ 故，ABC 梁的的强度足够。