初中数学九年级《一元二次方程求根公式的推导》公开课教学设计
《用公式法求解一元二次方程》示范公开课教学设计【北师大版九年级数学上册】(第2课时)
第二章 一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程第2课时 教学设计一、教学目标1．经历列一元二次方程解决简单实际问题的过程，体会模型思想，增强应用意识和能力．2．推导求根公式、判别方程根的情况的过程中，强化推理技能训练，进一步发展演绎推理能力．二、教学重点及难点重点：一元二次方程求根公式的应用．难点：一元二次方程求根公式的应用．三、教学用具多媒体课件，计算器.四、相关资源《一元二次方程求根公式》动画.五、教学过程【复习引入】学生活动：用公式法解下列方程：（1）2x 2-5x +2=0；（2）2x 2=1-3x ．解：（1）因为a =2，b =-5，c =2，所以Δ=b 2-4ac =(-5)2-4×2×2=25-16=9＞0．所以x =(5)22--±⨯=54， 即x 1=2，x 2=12． （2）方程化为2x 2+3x -1=0，其中a =2，b =3，c =-1．所以Δ=b 2-4ac =32-4×2×(-1)=9+8=17＞0．所以x即x 1x 2总结用公式法解一元二次方程的一般步骤：（学生总结，老师点评）：（1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值；（2）求出b2－4ac的值；（3）当b2-4ac≥0时，把a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式，求出x1，x2.设计意图：通过复习引入，让学生回忆用公式法解一元二次方程的一般步骤，为本节课的学习做好铺垫．【探究新知】例在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你能给出设计方案吗？小明的设计方案如图1所示，其中花园四周小路的宽度都相等．通过解方程，他得到小路的宽为2 m或12 m．小亮的设计方案如图2所示，其中花园每个角上的扇形都相同．（1）你认为小明的结果对吗？为什么？（2）你能帮小亮求出图中的x吗？（3）你还有其他设计方案吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师找学生代表回答，最后教师给出规范解题过程．解：（1）小明的结果不正确；正确解法：设小路的宽度为x m．根据题意列方程，得1(162)(122)12162x x --=⨯⨯．整理，得x 2-14x +24=0．解得x 1=2，x 2=12．小路的宽12 m 符合所列方程，但荒地的宽为12 m ，因而小路的宽不可能是12 m ，因此x =12不是实际问题的解，应舍去．而小路的宽2 m 符合这个实际问题，所以小路的宽应是2 m ．（2）在小亮的设计方案中，4个相同扇形的面积之和恰好为一个圆的面积，且其半径为x m ，根据题意，得21π12162x =⨯⨯．解得96 5.5πx =±±≈．所以图中的x 约为5.5． （3）设计方案是多种多样的，下面给出几种仅供参考：注意：一元二次方程有两个根，这些根虽然都满足所列的一元二次方程，但未必符号实际问题．因此，解完一元二次方程之后，要按题意检验这些根是不是实际问题的解．设计意图：通过引导学生分析、探究，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．【典例精析】对于例2中的花园设计问题，小颖的设计方案如图所示，你能帮她求出图中的x 吗？解：根据题意列方程，得1(16)(12)16122x x --=⨯⨯．整理，得x 2-28x +96=0． 解得x 1=4，x 2=24（不合题意，舍去）．所以图中的x 为4．【课堂练习】1．在一幅长90 cm 、宽40 cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72％，那么金色纸边的宽应该是多少？师生活动：教师出示问题，找学生代表回答．2．如图，圆柱的高为15 cm ，全面积（也称表面积）为200π cm 2，那么圆柱底面半径为多少？3．如图所示，要建一个面积为150 m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为a m，另三边用竹篱笆围成，已知竹篱笆总长为35 m，且要求全部用完．（1）求鸡场的长与宽各为多少米？（2）题中的墙长为a m对题目的解起着怎样的作用？师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．参考答案1．金色纸边的宽应该是5 cm．2．圆柱底面半径为5 cm．3．解：（1）设鸡场的宽为x m，则长为(35-2x)m．依题意可列方程为x(35-2x)=150．整理，得2x2-35x+150=0．解方程，得x1=10,x2=7.5．当x=10时，35-2x=15；当x=7.5时，35-2x=20．答：当鸡场的宽为10 m时，长为15 m；当鸡场的宽为7.5 m时，长为20 m．（2）由（1）解得的结果可知：题中墙长a m对题目的解起着严格的限制作用．当a＜15时，上述问题无解；当15≤a＜20时，上述问题只有一个解，即可建宽为10 m，长为15 m的一种鸡场；当a≥20时，上述问题有两个解．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．六、课堂小结本节课我们主要复习了：1．用公式法求解一元二次方程．2．列一元二次方程解决简单实际问题．注意：在利用一元二次方程解决实际问题时，要检验所得的一元二次方程的解是不是实际问题的解．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计2.3 用公式法求解一元二次方程（2）1．用公式法求解一元二次方程．2．列一元二次方程解决简单实际问题．。
初中数学九年级《用公式法解一元二次方程》公开课教学设计
初中数学九年级《用公式法解一元二次方程》公开课教学设计教育专区初中教育数初中数学九年级《用公式法解一元二次方程》公开课教学设计用公式法解一元二次方程学习目标姓名1、会用公式法解一元二次方程2、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0学习重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程学习难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误。
教学过程一、探究学习：1．尝试：如何用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）？回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：解：因为，所以方程两边都除以，得移项，得配方，得即（这样原方程就化成了（x+h）2=k的形式）能用直接开平方解吗？什么条件下就能用直接开平方解了？当，且时，大于等于零吗？让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当时，得所以到此，你能得出什么结论？2．概括总结一般地，对于一般形式的一元二次方程，当时，它的根是（）这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
问题2、（1）为什么在得出求根公式时有限制条件b2－4ac≥0？（2）在一元二次方程中，如果b2-4ac＜0，那么方程有实数根吗？为什么？4.典型例题：例用公式法解下列方程：(1) x2-7x-18 = 0 (2) x2+3=2x (3) (x-2)(1-3x)=6用公式法解一元二次方程的一般步骤？说明：用公式法解一元二次方程首先要把它化为，进而确定的值，再求出的值，当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解；当b2-4ac＜0时，方程无实数解(根)5.随堂练习：用公式法解下列方程（1）2x2-9x+8=0 （2）9x2+6x+1=0 （3）16x2+8x=3【课后作业】1．方程的根是.2.当时，代数式与的值相等.3.已知两个连续的奇数的积是255，则这两个奇数为.3、用公式法解方程x2+4x=2,其中求的b2-4ac的值是（）A.16B. 4C.D.644．用求根公式法解下列方程：（1）（2）（3）（4）3x(3x-2)+1=0 （5）3x2-7x+5＝0 （6）2x2-7x-18＝05.已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程的一个根，求这个三角形的周长。
人教版九年级数学上册21.2.1《用配方法推导一元二次方程的求根公式》优秀教学案例
（一）知识与技能
1.学生能够理解配方法的含义，并能够运用配方法将一元二次方程转化为完全平方形式。
2.学生能够掌握一元二次方程的求根公式，并能够熟练运用求根公式求解一元二次方程。
3.学生能够理解一元二次方程求根公式的推导过程，并能够运用求根公式进行相关计算。
（二）过程与方法
1.学生通过自主探究、合作交流的方式，经历一元二次方程求根公式的发现和推导过程。
2.学生通过总结归纳，形成对一元二次方程求根公式的系统认识和理解。
（五）作业小结
1.教师布置相关的作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
2.学生在完成作业的过程中，总结自己在学习中的优点和不足，明确改进方向。
3.教师对学生的作业进行评价和反馈，肯定学生的努力和进步，指出存在的问题，鼓励学生继续努力。
3.教师通过讲解一元二次方程求根公式的应用，让学生学会如何运用求根公式解一元二次方程。
（三）学生小组讨论
1.教师布置一道有一定难度的题目，让学生分组进行讨论和解答。
2.学生在小组内分享自己的思路和解题方法，互相学习和借鉴。
3.各小组向全班展示自己的解题过程和成果，互相评价和交流。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结一元二次方程求根公式的推导过程和应用方法，帮助学生巩固所学知识。
2.学生在教师的引导下，运用逻辑推理、数学思维等方法，总结一元二次方程求根公式的推导规律。
3.学生通过巩固练习，内化新知，形成运用求根公式解一元二次方程的方法和技巧。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够积极参与课堂活动，主动探究新知，培养良好的学习习惯和团队合作精神。
2.学生在克服困难、解决问题的过程中，增强自信心，培养坚持不懈、勇于探索的品质。
《一元二次方程的根与系数的关系》示范公开课教学设计【部编新人教版九年级数学上册】
《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计
一、教学目标
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系；
2.灵活运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题；
3.经历探索一元二次方程的根与系数的关系，发展学生的逻辑推理和数学运算的核心
素养，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力；
4.通过探索一元二次方程的根与系数的关系，体验韦达定理的发现、不完全归纳证明
以及演绎证明等整个数学思维过程，提升数学的学习兴趣；
5.提高学生综合运用知识分析解决较复杂问题的能力.
二、教学重难点
重点：一元二次方程的根与系数的关系.
难点：对一元二次方程的根与系数关系的理解和推导.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
问题：本节课你学到了什么？。
初中数学九年级《公式法解一元二次方程》公开课教学设计
【课题】21.2.2 公式法
【学情分析】
本节是在学生已经掌握了配方法解一元二次方程的基础上，从问题入手，推导求根公式，并能用公式法解简单系数的一元二次方程。
【教学目标】
1.会用公式法解一元二次方程；
2.经历求根公式的探究过程，提高学生分析能力以及逻辑思维能力；
3.渗透化归与分类讨论思想,感悟数学的内在美。
【教学重点】
知识层面:公式的推导和用公式法解一元二次方程;
能力层面:以求根公式的发现和探究为载体,渗透化归的数学思想方法。
【教学难点】求根公式的推导和对公式的理解。
【总体设计思路】
以旧知识为起点,问题为主线,以教师指导下学生自主探究为基本方式,突出数学知识的内在联系与探究知识的方法,发展学生的理性思维。
【教学过程设计】
一、教学流程设计
二、教学过程设计。
人教版数学九年级上册21.2.2.1求根公式的推导教案
5.对求根公式中各参数的理解和讨论，特别是判别式Δ=b^2-4ac的应用。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的逻辑推理、数学抽象和问题解决能力。通过求根公式的推导与应用，使学生能够：
1.理解并运用逻辑推理，从一元二次方程的一般形式推导出求根公式，增强推理与证明能力；
五、教学反思
在今天的教学中，我尝试通过不同的教学活动和方式来帮助学生理解和掌握求根公式的推导与应用。我发现，虽然大部分学生能够跟随我的讲解思路，但在某些环节还是遇到了一些挑战。
首先，求根公式的推导过程对学生来说是一个难点。我意识到，单纯地讲解推导过程并不足以让学生真正理解其背后的数学原理。在未来的教学中，我可能会考虑引入更多的直观图形或者物理模型，让学生能够更直观地感受配方法和求根公式之间的联系。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调求根公式的推导过程和判别式Δ的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的例子和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与求根公式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用图形计算器或软件来验证求根公式的准确性。
1.教学重点
-配方法解一元二次方程的步骤：重点在于使学生掌握将一元二次方程转化为完全平方公式的步骤，包括移项、配方、开方等。
-例如，对于方程ax^2 + bx + c = 0，要引导学生学会将方程左侧配成(x + m)^2的形式，并理解这一过程中各项系数的变化。
-求根公式的推导：重点在于理解求根公式的来源，包括从配方法到求根公式的过渡。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
全国初中数学优质课一等奖《用配方法推导一元二次方程的求根公式》教学设计
《用配方法推导一元二次方程的求根公式》教学设计一.教学内容的分析 1.教材的地位和作用一元二次方程的求根公式是一元二次方程中的重要内容，是在学习了一次方程、方程组，分式方程以及一元二次方程有关概念的基础之上学习的.求根公式的推导是引出根的判别式、进一步讨论一元二次方程的实数根的存在性的前提，同时也为推导根与系数的关系以及今后学习二次函数等有关内容奠定基础.2.对教学内容的认识用配方法推导一元二次方程的求根公式是本节课的教学内容.由于公式的推导均为字母间的运算，为了让学生能够亲自参与推演求根公式的过程，设计了三个活动，逐步由数字系数的一元二次方程过渡到含三个字母系数的一元二次方程，学生经历从特殊到一般的研究过程.一元二次方程的解法---公式法，安排3课时.本节课是第一课时:用配方法推导一元二次方程的求根公式.根据以上分析，确定本节课的教学重点是：用配方法推导一元二次方程的求根公式.3.学生学情分析我校是通州区一所普通中学，所授班级是学校音乐特长班，大部分学生个性活泼、开朗, 学习数学的积极性较高，兴趣较为浓厚，但数学基础一般.在上本节课之前，我对本校九年级两个班共计72位同学做了一次调查，用配方法解方程： 结果仅有3位同学推导过程完全正确，正确率仅约为4.17%。
我对其中的错误进行了简单分析：同时，设置了这样两个问题：在推导一元二次方程的求根公式时，你觉得有20(0).ax bx c a ++=≠哪些困难？有很多学生提到“字母太多”、“运算量大”等困难；在运用公式法解一元二次方程时，你有哪些困惑？有些学生认为公式的结构复杂，不便于记忆，主要靠死记硬背，套公式解一元二次方程，而不知公式从何而来.基于以上分析和调查，我认为虽然课标中并未对用配方法推导一元二次方程的求根公式提出具体要求，但推导过程本身的价值在于通过让学生亲历公式的推演，帮助学生理解一元二次方程的根是由系数a 、b 、c 决定的.由于公式的推导过程均为字母间的运算，对学生来说困难较大，因此本节课的难点是：一元二次方程求根公式的推导过程. 二.教学目标的确定结合教材内容和学生的实际情况，我从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三方面确定本节课的教学目标：1.理解配方法，能用配方法推导一元二次方程求根公式.2.经历探索一元二次方程求根公式的过程，初步了解从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律.3.逐步培养学生的探究意识和创新精神，渗透探索数学问题的一般方法. 三、教学过程设计与实施为了达到教学目标,我把教学过程设计为以下五个阶段:具体教学过程如下：3）用配方法解方程 22201+1+1方程两边同时除以 a x x a x x a x ≠∴⎛+ ⎝⎛⎫+220040可判断a a a a ⎝⎭≠∴≠∴∴>《用配方法推导一元二次方程求根公式》评析《用配方法推导一元二次方程的求根公式》这节课意在通过学生配方，感知一元二次方程中系数与根之间的联系。
九年级数学上册《一元二次方程求根公式及其应用》教案、教学设计
1.通过对一元二次方程的引入，使学生掌握从实际问题中抽象出一元二次方程的一般方法。
2.通过自主探究、小组合作等方式，引导学生发现一元二次方程求根公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
3.利用求根公式解决实际问题时，引导学生分析问题、建立数学模型，提高学生解决实际问题的能力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程求根公式的推导及其应用。
2.难点：理解求根公式的推导过程，以及如何运用求根公式解决实际问题。
（二）教学设想
1.引入新课：
-通过生活实例，如抛物线运动、面积计算等，引出一元二次方程的实际背景，激发学生的学习兴趣。
-对比一元一次方程，引导学生发现一元二次方程的特点，为新课的学习做好铺垫。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动：利用多媒体展示一个实际问题，如“一个学生从地面上抛出一个球，球的最高点离地面2米，问学生抛球的高度和初速度分别是多少？”
2.提出问题：引导学生思考如何解决这个问题，从而引出一元二次方程的求解。
3.引入新课：通过对比一元一次方程，强调一元二次方程的特点，即未知数的最高次数为2，且方程的根可能有0个、1个或2个。
1.必做题：
-请同学们完成课本第chapter页的练习题，包括直接求解一元二次方程和运用求根公式解决实际问题。
-从练习中挑选两道具有代表性的题目，要求同学们写出完整的解题过程，包括解题思路、步骤和最终答案。
2.选做题：
-针对课堂上的抛物线运动实例，请同学们设计一个类似的实际问题，并运用一元二次方程求根公式进行求解。
1.学生对一元二次方程的概念理解可能不够深入，需要通过实例引入，帮助学生建立直观的认识。
九年级一元二次方程求根公式的推导 人教版教学设计导学案
2、一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：
（1）Δ〉0⟺方程_______________________________
（2）Δ=0⟺方程_______________________________
（3）Δ<0⟺方程_______________________________
年级
九年级
科目
数学
备课人
课题
21.2.2.1一元二次方程的根的判别式
学习
目标
（1分钟）
1、能记住一元二次方程的根的判别式，掌握求根公式的推导过程（重点）
2、能运用根的判别式进行相关的计算和推理（难点）
学法
指导
分析法、转化法、类比法的学习方法
自
学
与
指
导
（9分钟）
自主复习
请每位同学编写一道一元二次方程，由同桌用配方法求方程的解，并填写步骤和每步的依据
题组2：（组内共同完成后交流展示，做好记录，总结归纳，做好笔记）
1、若方程x2+mx+2=0的根的判别式的值为4，则m=_____
2、关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是___________
方法归纳：在已知含字母系数的一元二次方程根的情况下，用逆向思维来解决问题:
1.根据判别式建立2. 一元二次方程的二次项系数0
训
练
与
总
结
题组3：（课堂检测：针对性检测，独立完成后展示）
1、一元二次方程x2-2x=0根的判别式的值为（ ）
A 4 B 2 C 0 D -4
人教版九年级数学上册21.2.2.1求根公式法推导教案
《公式法解一元二次方程》一、教学目标:知识目标：理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练运用公式法解一元二次方程。
能力目标：（1）通过求根公式的推导，加强推理技能的训练，培养学生数学推理的严密性及严谨性。
（2）培养学生准确快速的计算能力。
情感目标：（1）通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识。
（2）通过求根公式的推导，渗透分类讨论的数学思想。
二、教学重难点重点：求根公式的推导及公式法的应用难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解。
三、教学过程温故知新1」用配方法解一元二次方程方程（1)x2－4x－3＝0探索新知1、学生自主探究根据幻灯上展示的用配方法的步骤解一元二次方程2、合作交流：将自己的问题在小组内交流寻求帮助，并给出以下几个问题在小组内讨论交流问题：（1）哪些一元二次方程适合用直接开平方法解？(mx＋n)2＝p(p≥0)（2）在开方时，方程右边的数含有字母系数，你能确定它的正负吗？包含几种情况？在这呢我引导学生发现他有可能大于0、小于0、也有可能等于0（3）b 2 -4ac 的正负由谁来决定？为什么？这些问题解决了一元二次方程方程的根也就求出来了再返回去，引导学生发现b平方减4ac的正负与一元二次方程跟之间的关系：当它大于0时，方程有两个不相等的实数根，当它等于0时，方程有两个相等的实数根，当它小于0时，方程无实数根，（再幻灯上展示）既然知道了它们之间存在这样的关系，那么通过计算b平方减4ac的值，并与0作比较，就能判断出一元二次方程根的情况，所以我们把式子b平方减4ac来表示，引导学生通过上面的解答过程，发现当b平方减4ac大于或等于时，方程有实数根大于或等于0时，方程有实数根为：aacbbx242-±-=也就是说当（042≥-acb）可以利用这个公式可以求出方程的两根，把它就叫做一元二次方程的求根公式，用求根公式解方程的方法叫公式法。
九年级数学上册《求根公式推导》教案、教学设计
（1）请学生列出菜地长和宽的方程，引导学生复习一元二次方程的解法。
（2）讨论为什么需要学习新的解法——求根公式，以及它在我们生活中的重要性。
（3）通过这个问题情境，自然过渡到本节课的主题——求根公式的推导与应用。
（二）讲授新知
1.教学活动设计
在讲授新知环节，我将引导学生从已学过的一元二次方程解法入手，逐步推导出求根公式，并解释其含义。
-注重作业的反馈，及时了解学生的学习情况，为下一步教学提供依据。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计
在本节课的导入环节，我将设计一个与实际生活相关的问题情境，如“小明在计算一个长方形菜地的面积时，已知长比宽多3米，且长方形的周长为28米，求这个菜地的长和宽。”这个问题可以引发学生对一元二次方程的思考。
-设计一道有关求根公式推导过程中的关键环节的问题，引导学生反思求根公式的发现过程。
-鼓励学生在思考过程中，尝试从不同的角度和方法解决问题，提高其创新思维能力。
5.作业要求：
-请学生在完成作业时，注意书写的规范性和解答的条理性，养成良好的学习习惯。
-作业完成后，及时检查，确保解答的正确性，对错误的地方进行修正，以加深对知识点的理解。
-教师在批改作业时，要关注学生的个体差异，给予针对性的指导和评价，激发学生的学习兴趣。
2.教学过程
（1）布置一些基础题目，让学生独立完成，检验学生对求根公式的掌握程度。
（2）设计一些拓展题目，让学生运用求根公式解决，提高学生的应用能力。
（3）对学生的解答进行点评，指出错误和不足，引导学生找到正确答案。
（五）总结归纳
1.教学活动设计
在总结归纳环节，我将帮助学生梳理本节课所学内容，巩固知识点，并对学生的表现进行评价。
一元二次方程根公式的推导与教学教案
一元二次方程根公式的推导与教学教案一、前言二次函数是初中数学中的一个重要内容，其中，关于一元二次方程解法的讲解显得尤为重要。
在传统教学中，老师们常常是采用“白板黑板”直接讲解的方式来传授学生如何解一元二次方程的问题，这方式虽然可以准确地将知识点传达出去，但是对于理解程度较弱的学生而言来说，这种简单的“推导”方式并不能够真正地帮助他们理解、记忆二次函数的内容。
本文将会对一元二次方程的根公式进行推导探究，并且基于此，设计一套适合中学生的教学教案，使他们能够更好地理解和掌握这一知识点。
二、一元二次方程根公式的推导一元二次方程的标准形式为：$ax^2 + bx + c = 0$其中，$a \neq 0$，$b$ 和 $c$ 是已知数，$x$ 是未知数。
解一元二次方程的最常用方法是使用求根公式，也就是“二次公式”。
其原理是，通过综合对齐 $ax^2$ 和 $c$ 这两个项，利用配方法把中间项 $bx$ 抵消掉，从而得到答案的表达式。
1、对齐 $ax^2$ 和 $c$ 的项。
将 $ax^2$ 移到等式右边，并除以 $a$，将方程化为标准形式：$x^2 + \dfrac{b}{a}x = - \dfrac{c}{a}$2、利用配方法抵消 $bx$。
将 $x$ 的系数 $\dfrac{b}{a}$ 除以 $2$，并将结果平方，得到$\left( \dfrac{b}{2a} \right) ^2$ 。
接着，将其加入等式两边：$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \left( \dfrac{b}{2a} \right) ^2 = - \dfrac{c}{a} + \left( \dfrac{b}{2a} \right) ^2$两边整理得到：$\left( x + \dfrac{b}{2a} \right) ^2 = \dfrac{b^2 -4ac}{4a^2}$3、求根。
对于任何实数 $a$ 和 $b$，有 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab +b^2$。
人教版九年级数学上册《公式法解一元二次方程》公开课教学设计
人教版九年级数学上册《公式法解一元二次方程》公开课教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册《公式法解一元二次方程》是本学期的重要内容，它为学生提供了解决实际问题的工具，同时也为学习更高阶的数学知识打下基础。
本节课通过讲解公式法解一元二次方程的原理和步骤，使学生能够理解和掌握公式法解一元二次方程的方法。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元二次方程有了初步的了解。
但是，对于公式法解一元二次方程的原理和步骤，他们还不够熟悉。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握公式法解一元二次方程的方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握公式法解一元二次方程的原理和步骤。
2.过程与方法：通过实例演示和练习，培养学生运用公式法解一元二次方程解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 教学重难点1.教学重点：公式法解一元二次方程的原理和步骤。
2.教学难点：理解和掌握公式法解一元二次方程的方法，以及如何运用公式法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例演示法、练习法、小组合作学习法等教学方法，引导学生主动探究、积极参与，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 教学准备1.教学PPT：制作详细的PPT，内容包括公式法解一元二次方程的原理、步骤和实例。
2.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的学习效果。
3.小组分组：将学生分成若干小组，便于小组合作学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出一元二次方程，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解公式法解一元二次方程的原理和步骤，让学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用公式法解一元二次方程。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）挑选一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5.拓展（5分钟）引导学生思考如何将公式法解一元二次方程应用于实际问题，进行拓展训练。
优质课教学设计《一元二次方程公式法》公开课教案
本节课是本单元中，对知识的理解和贯彻最重要的一堂课。
在高效课堂模式中，一堂课的紧凑性和教师活动的多少，决定着课堂容量的高低。
但在实际教学中，教师应尽可能少地利用讲授法进行教学，多与学生进行交流，增加学生的实际操练和练习时间，对于一堂课来讲，是至关重要的。
对于课堂环节的布置，应该力求简练，语言应用尽量通俗易懂。
对于一名教师而言，教学质量的高低，与备课的充足与否有很大关系。
而教案作为这一行为的载体，巨大作用是不言而喻的。
本节课的准备环节，就充分地说明了这个道理。
一元二次方程 公式法教学目标知识与技能 1、一元二次方程求根公式的推导 2、利用公式法解一元二次方程过程与方法 通过配方法解一元二次方程的过程，进一步加强推理技能训练，同时发展学生的逻辑思维能力。
情感态度与价值观向学生渗透由特殊到一般的唯物辩证法思想。
重点 一元二次方程的求根公式的推导过程 难点 灵活地运用公式法解一元二次方程 教法、学法 引导、启发 自主学习、合作交流 课型新授课教学准备 小黑板 教学流程教师活动学生活动 二次备课 一、自主学习 1、知识回顾下面我们先用配方法解下列一元二次方程 学生；（每组一题，每组派一名同学板演）1．22410x x --= 2. 21.53x x +=- 302122=+-x x4. 24320x x -+= 用配方法解一元二次方程的步骤回忆2、出示学习目标了解一元二次方程求根公式的推导 能利用公式法解一元二次方程明确目标出示自学提纲⑴针对于一般的一元二次方程20(a 0)ax bx c ++=≠，能否也用配方法导出一般求解模式呢？动手试一试。
⑵什么是根的判别式？ ⑶求根公式⑷什么是公式法？ ⑸自学例2⑹用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？阅读提纲， （1）~（7）4、组织学生自学 指导学生阅读课本P9---12课文,并回答问题。
学生自学得出结论组内交流，互助互教。
二、自学反馈汇报或检测移项：2ax bx c+=-系数化1：2b cx xa a+=-配方：x2+bax+（2ba）2=-ca+（2ba）2即（x+2ba）2=2244b aca-直接开平方：（三种情况）对于200ax bx c a++=≠（），当24b ac-≥ 0时，在这里我们把242b b acxa-±-=称为一元二次方程的求根公式，用公式可以直接解一元二次方程.一般地，式子24b ac-叫做方程20(0)ax bx c a++=≠根的判别式，通常用希腊字母∆表示，即24b ac∆=-.回答老师提出的问题三、质疑精讲1、学生质疑，师生共同解疑提出质疑，师生共同解决2、教师横向拓展和纵向挖掘用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？学生（1）先将方程化为20(0)ax bx c a++=≠的一般形式。
人教版数学九年级上册21.2.2.1求根公式的推导教案
课堂预设
课后反思
1、求根公式的推导过程，
2、根的判别式的应用。
本课任务
学：一元二次方程求根公式的推导过程，
记：记下一元二次方程的求根公式，
会：会熟练应用公式法解一元二次方程，并能应用根的判别式解决问题。
共性教案
1、预习检测
请用配方法解一元二次方程2x2+4x+1=0.
二、新知探究
探究：请用配方法解
【解析】移项，得ax2+bx=-c，
当Δ＞0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)有两个不相等的实数根；
当Δ=0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)有两个相等的实数根；
当Δ＜0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)无实数根.
当Δ≥0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)的实数根可写为
的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.直接利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
∴
=
即： ，
四、能力提升
解方程：
归纳：用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1.把方程化成一般形式，并写出c≥0代入求根公式: (a≠0, b2-4ac≥0)
否则原方程无解.
4.写出方程的解： x1=?, x2=?
五、课堂检测
1.一元二次方程5x2-7x+5=0的根的情况是（ ）
方程两边都除以a,得 ，
配方，得 ，
即 ，
∵a≠0,∴4a2＞0,
（1）当 >0时，
方程有两个不相等的实数根
，
（2）当 =0时，方程有两个相等的实数根
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知识
教
技能
学
过程
目
方法
标 情感 态度
教学重点
21.2.2 公式法
课 型 新授
多媒体
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况.
3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程. 1.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式， 发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.； 2.通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简
为推导公式作铺 垫，激发学生探 索欲望
学生回顾配方法 的解题思路，从 数字系数过渡到 字母系数进行配 方，推导公式
对比探究，结合 字母表示数的特 点，尝试推导求 根公式，培养学 生发现问题的能 力
通过学生亲自解 方程的感受与经 验，体会数式通 性，为感受数学 的严谨性和数学 结论的确定性.
对 b2 4ac 的 4a2
学生独立完成，教师巡 回检查，师生集体订正
使学生熟练使用 本节课知识解题
三、课堂训练
1.利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况
（1）2x2-4x-1=0
（2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0
2.课本例 2
四、小结归纳
本节课应掌握：
1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根
值的情况具有不 确定性进行讨论
b2 4ac 的值与 0 的关系进行讨论 4a2
Hale Waihona Puke 师规范板书。之后总结 为以后熟练使用
使用公式步骤
公式打基础
活动 4.归纳出一元二次方程的根的判别式和求根公式，公式法.
活动 5.初步使用公式解方程 6x2-7x+1=0.
活动 6.总结使用公式法的一般步骤：○1 把方程整理成一般形式，确定
12 12
2a
4a2
否可以直接开平方？
活动 3.对（x+ b ）2= b2 4ac 观察，分析，在 a 0 时对
2a
4a2
教师提出问题，学生思 考.
学生观察思考尝试回答 学生对比进行配方，通 过自主探究，合作交 流，展开对求根公式的 推导
让学生尝试对 b2 4ac 的值进行
4a2 分析 学生尝试归纳，师生总 结 学生初步使用公式，教
a,b,c 的值，注意符号
○2 求出 b2 4ac 的值，方程 ax2 bx c 0a 0 ，当Δ＞0
时，有两个不等实根；Δ=0 时有两个相等实根；Δ<0 时无实根. ○3 在 b 2 4ac ≥0 的前提下把 a，b，c 的值带入公式 x=
b b2 4ac 进行计算，最后写出方程的根. 2a
解一般形式的一元二次方程 ax2 bx c 0a 0 ？
二、探究新知
活动 1.学生观察下面两个方程思考它们有何异同？
○1 ；6x2-7x+1=0 ○2 ax2 bx c 0a 0
活动 2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解：
1.移项得到 6x2-7x=-1， ax2 bx c
2.二次项系数化为 1 得到 x2 7 x 1 , x2 b x c
3
80
25
4
45
10
根据上表数据，求电厂规定的 A 值为多少？
教 学 反思
2.用求根公式求一元二次方程的根
学生归纳，总结阐 述，体会，反思.并做 出笔记.
加强教学反思， 帮助学生养成系 统整理知识的学 习习惯 加深认识，深化 提高，形成学生 自己的知识体 系.
3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程. 五、作业设计 必做：P17：4、5 选做：P12：1、2 补充作业：某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A
千瓦时，那么这户居民这个月只交 10 元电费，如果超过 A 千瓦时，
那么这个月除了交 10元用电费外超过部分还要按每千瓦时 A 元收 100
费． （1）若某户 2 月份用电 90 千瓦时，超过规定 A 千瓦时，则超过部分电 费为多少元？（用 A 表示）
（2）下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况 月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元）
单. 3.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.
1.感受数学的严谨性和数学结论的确定性. 2.提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心.
求根公式的推导，公式的正确使用
教学难点
求根公式的推导
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入 导语：我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法
6
6
a
a
3.配方得到
x2- 7 x+（ 7 ）2=- 1 +（ 7 ）2
6
12
6 12
x2+ b x+（ b ）2=- c +（ b ）2
a
2a
a 2a
4.写成（x+m）2=n 形式得到（x- 7 ）2= 25 ，（x+ b ）2=
12
144
2a
b2 4ac 4a2
5.直接开平方得到 x- 7 =± 5 ，注意：（x+ b ）2= b2 4ac 是