静安区2016年高三数学理科一模试卷(含答案)

合集下载

上海市静安区2014-2015学年高三一模数学(文理)试卷含答案

静安区2014学年第一学期高三年级高考数学模拟文理合卷（试卷满分150分考试时间120分钟） 2014.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．文：1．计算：=++∞→712lim22n n n . 理：已知集合{}0,2>==x x y y M ，{})2lg(2x x y x N -==，则=N M . 2．文：同理1理：设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则=++++8710a a a a . 3．文：已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为4，则该数列的前n 项和=n S ________．理：不等式01271<--x 的解集是 . 4．文：一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有种不同结果.（用数值作答）理：如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 底面ABCD ，1=PA ，底面ABCD 是正方形，PC 与底面A B C D 所成角的大小为6π，则该四棱锥的体积是 .5．文：不等式0124<--x x 的解集是 . 理：已知数列{}n a 的通项公式1222+-+=n n n a （其中*N n ∈），则该数列的前n 项和=n S .6．文：同理2理：已知两个向量a ，b 的夹角为303=，b 为单位向量，b t a t c )1(-+=, 若c b ⋅=0，则t = .7．文：已知圆锥底面圆的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为32π的扇形，则该圆锥的侧面积是 .理：已知11)(+-=x x x f ，45)2(=x f (其中)0>x ，则=x . 8．文：已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边在射线)0(2≤-=x x y 上，则=α2sin .ABCD P理：已知△ABC 的顶点)6,2(A 、)1,7(B 、)3,1(--C ，则△ABC 的内角BAC ∠的大小是 .（结果用反三角函数值表示） 9．文：同理6理：若α、β是一元二次方程0322=++x x 的两根，则βα11+= .10．文：已知两条直线的方程分别为01:1=+-y x l 和022:2=+-y x l ，则这两条直线的夹角大小为 .（结果用反三角函数值表示）理：已知αtan 、βtan 是方程04332=++x x 的两根，α、)2,2(ππβ-∈，则βα+= . 11．文：同理10理：直线l 经过点)1,2(-P 且点)1,2(--A 到直线l 的距离等于1，则直线l 的方程是 . 12．文：同理11理：已知实数x 、y 满足1+≥y x ，则xy 2-的取值范围是 . 13．文：同理12理：一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S ，则S 的取值范围是 . 14．文：同理13理：两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分.两名高一年级的学生共得8分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有名高二年级的学生参加比赛.（结果用数值作答）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．在下列幂函数中，是偶函数且在),0(+∞上是增函数的是 ( ) A ．2-=x y ； B ．21-=xy ； C ．31x y =； D ．32x y =16．已知直线06)2(3:1=++-y k x l 与直线02)32(:2=+-+y k kx l ，记32)2(3-+-=k k k D .0=D 是两条直线1l 与直线2l 平行的( )A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件17．已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是 ( )xA ．MB ．NC ．PD ．Q18．到空间不共面的四点距离相等的平面个数为( ) A ．1个； B ．4个； C ．7个；D ．8个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 在锐角ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边长，且满足ba A 23sin =. （1）求∠B 的大小；（2）若b =ABC ∆的面积ABC S ∆=a c +的值.20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.某地的出租车价格规定:起步费a 元，可行3公里，3公里以后按每公里b 元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c 元计算（这里a 、b 、c 规定为正的常数，且b c >），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）若取14=a ，4.2=b ，6.3=c ，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y （元）与行车里程x (公里)之间的函数关系式)(x f y =.21．文：(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，点P 为面11A ADD 的对角线1AD 的中点.⊥PM 平面ABCD 交AD 于点M ，BD MN ⊥于点N .（1）求异面直线PN 与11C A 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求三棱锥BMN P -的体积.理：(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，2==AD AB ，41=AA ，点P 为面11A ADD 的对角线1AD 上的动点（不包括端点）.⊥PM 平面ABCD 交AD 于点M ，BD MN ⊥于点N . （1）设x AP =，将PN 长表示为x 的函数；（2）当PN 最小时，求异面直线PN 与11C A 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）A B CD A 1 B 1C 1D 1 P M NA BCDA 1B 1C 1D 1PMN22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数)1(log )(2x x x f a ++=（其中1>a ）. （1）判断函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由；（2）文：求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=；理：判断nm n f m f ++)()(（其中R n m ∈,且0≠+n m ）的正负号，并说明理由；（3）若两个函数)(x F 与)(x G 在闭区间],[q p 上恒满足2)()(>-x G x F ，则称函数)(x F 与)(x G 在闭区间],[q p 上是分离的. 试判断)(x f y =的反函数)(1x fy -=与x a x g =)(在闭区间]2,1[上是否分离？若分离，求出实数a 的取值范围；若不分离，请说明理由.23．(本题满分16分) 文：本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.理：本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分3分，第3小题满分7分. 在数列{}n a 中，已知12=a ，前n 项和为n S ，且2)(1a a n S n n -=.（其中*N n ∈）（1）文：求1a ；理：求数列{}n a 的通项公式；（2）文：求数列{}n a 的通项公式；理：求2limnS n n +∞→；（3）设nn n a b 31lg +=，问是否存在正整数p 、q （其中q p <<1），使得1b ，p b ，q b 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组),(q p ；否则，说明理由.静安区2014学年第一学期高三年级高考数学模拟文理合卷参考答案一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．理：)2,0(；文：121； 2. 理：25628=；文：)2,0( 3. 理：)4,21(；文：n n +22； 4. 理：21；文：455. 理：)212(4n n-；文：)4,21(； 6. 理：-2，文： 25628=7. 理：221log 2+=x ；文：π3； 8. 55arccos ；文：54-9. 理：31-；文：-2； 10. 32π-；文：10103arccos （或31arctan ）11. 理：03213=++-y x 或03213=-+--y x ；文：31-12．理：]2,2[-；文：03213=++-y x 或03213=-+--y x13. 理：12S <<；文：]2,2[-； 14. 理：228+=+n C nk ．7或者14；文：12S <<二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．D ； 16．B ； 17． D ；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. （1）根据正弦定理Bb A a sin sin =，得b B b a A sin 23sin ==，所以23sin =B ，………（4分）又由角B 为锐角，得3π=B ；…………………………（6分）（2）B ac S ABC sin 21=∆，又ABC S ∆=，所以3=ac ，…………………………（8分）根据余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得1037cos 2222=+=+=+B ac b c a ，…………………………（12分）所以ac c a c a 2)(222++=+=16，从而a c +=4．…………………………（14分）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分. （1）他应付出租车费26元；……………………………（ 4分）（2）　, )10( 107c )013( 3b )30( ,⎪⎩⎪⎨⎧>-++≤<-+≤<=x c b a x x b a x x a y 文21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.（1）因为点P 为面11A ADD 的对角线1AD 的中点.⊥PM 平面ABCD ，所以PM 为△1ADD 的中位线，得1=PM ，又BD MN ⊥，所以2222===MD ND MN ………………（ 2分）因为在底面ABCD 中，BD AC B M ⊥⊥,D N ，所以AC MN //，又AC C A //11，∠PNM 为异面直线PN 与11C A 所成角的平面角，………………（ 6分）在△PMN 中，∠PMN 为直角，2tan =∠PNM ，所以2arctan =∠PNM 。

上海静安区高中教学质量检测高三数学

静安区2016-2017学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．“0<x ”是“a x <”的充分非必要条件，则a 的取值范围是． 2．函数⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 31)(2πx x f 的最小正周期为． 3．若复数z 为纯虚数，且满足i )i 2(+=-a z (i 为虚数单位)，则实数a 的值为．4．二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的系数为．5．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米． 6．已知α为锐角，且3cos()45πα+=，则sin α=________ ． 7．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车. 假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式0r x p p e =⋅（r 为常数）.若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过小时方可驾车．(精确到小时) 8．已知奇函数)(x f 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足0)()(87=+x f x f ，则2017x 的值为．9．直角三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是三角形ABC 外接圆上任意一点，则AB AM ⋅的最大值为________．10．已知b a x f x -=)( 0(>a 且1≠a ，R ∈b )，1)(+=x x g ，若对任意实数x 均有0)()(≤⋅x g x f ，则ba 41+的最小值为________．二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 11．若空间三条直线a 、b 、c 满足c b b a ⊥⊥,，则直线a 与c 【】A ．一定平行；B ．一定相交；C ．一定是异面直线；D ．平行、相交、是异面直线都有可能．12．在无穷等比数列{}n a 中，21)(lim 21=+⋅⋅⋅++∞→n n a a a ，则1a 的取值范围是【】 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛210，；B ．⎪⎭⎫⎝⎛121，；C ．()10，；D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛210，⎪⎭⎫ ⎝⎛121，．13．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有【】 A ．336种； B ．320种； C ．192种； D ．144种. 14．已知椭圆1C ，抛物线2C 焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则1C 的左焦点到2C 的准线之间的距离为【】A ．12-；B1；C ．1；D ．2．15．已知)(x g y =与)(x h y =都是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数，且当0>x 时，⎩⎨⎧>-≤<=.1),1(,10,)(2x x g x x x g ，x k x h 2log )(=（0>x ），若)()(x h x g y -=恰有4个零点，则正实数k 的取值范围是【】A ．]1,21[；B ．]1,21(；C ．]2log ,21(3；D ．]2log ,21[3．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 16．（本题满分11分，第1小题6分，第2小题5分）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -，a AA a AB 2,1==,,E F 分别是棱,AD CD 的中点． (1) 求异面直线1BC EF 与所成角的大小； (2) 求四面体EF CA 1的体积．17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）设双曲线C ：22123x y -=， 12,F F 为其左右两个焦点． (1) 设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求M F OM 1⋅的取值范围； (2) 若动点P 与双曲线C 的两个焦点12,F F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19-，求动点P 的轨迹方程．18．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛=⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．(1) 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； (2) 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？19．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设集合|)({x f M a =存在正实数a ，使得定义域内任意x 都有)}()(x f a x f >+．(1) 若22)(x x f x -=，试判断)(x f 是否为1M 中的元素，并说明理由；(2) 若341)(3+-=x x x g ，且a M x g ∈)(，求a 的取值范围； (3) 若),1[),(log )(3+∞∈+=x xkx x h （R ∈k ），且2)(M x h ∈，求)(x h 的最小值．20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分）由)2(≥n n 个不同的数构成的数列12,,n a a a 中，若1i j n ≤<≤时，i j a a <（即后面的项j a 小于前面项i a ），则称i a 与j a 构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为3012=++；同理，等比数列81,41,21,1--的逆序数为4． (1) 计算数列*219(1100,N )n a n n n =-+≤≤∈的逆序数；(2) 计算数列1,3,1nn n a n n n ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-⎪+⎩为奇数为偶数（*1,N n k n ≤≤∈）的逆序数；(3) 已知数列12,,n a a a 的逆序数为a ，求11,,n n a a a - 的逆序数．静安区2016-2017学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷答案与评分标准一、1．()∞+，0; 2．π; 3．21; 4．10; 5．243π; 6．102; 7．8; 8．4019; 9．12; 10．4 二、11. D; 12. D; 13. A; 14.B; 15.C. 16．解：（1）连接11C A ，……………………………….1分则B C A 11∠为异面直线1BC EF 与所成角 …………….1分在B C A 11∆中，可求得a B A B C 511==，a C A 211=11cos 1010AC B ∠==∴异面直线所成角的大小arccos …………………….4分（2）113112322212C A EF A EFCa a a V V a --==⋅⋅⋅⋅= ……………………………….5分 17．（1）设(),M x y，x ≥1(F ，1(,)()OM FM x y x y ⋅=⋅2222332x x y x =+=+-……………………………4分2532x =+-（x ≥5x =-≤)12OM F M ⎡⋅∈+∞⎣……………………………3分（2）由椭圆定义得：P 点轨迹为椭圆22221x y a b+=，12F F =122PF PF a +=2221212121212204220cos 22PF PF a PF PF F PF PF PF PF PF +--⋅-∠==⋅⋅21242012a PF PF -=-⋅……………………………4分由基本不等式得122a PF PF =+≥当且仅当12PF PF =时等号成立212PF PF a ⋅≤221224201cos 1929a F PF a a -⇒∠≥-=-⇒=，24b = 所求动点P 的轨迹方程为22194x y +=……………………………3分 18．解：（1）如图建立直角坐标系，……………………………1分则城市()0,0A ，当前台风中心(P -，设t小时后台风中心P 的坐标为(),x y，则x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，4.184PA ≈km ，台风的半径为=r 160km,PA <r , ……………………………5分故，10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . ………1分（2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A 受到台风侵袭，则210800864000300t t -+≤⇒，即2362880t t -+≤，……………………………5分解得1224t ≤≤ ……………………………1分答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. ……………………………1分19．解：（1）∵1)0()1(==f f ， ∴1)(M x f ∉. ……………………………4分（2）由0413341)(41)()()(32233>-++=++--+=-+a a x a ax x a x x a x x g a x g …2分 ∴0)41(12934<--=∆a a a a ， ……………………………3分故 1>a . ……………………………1分（3）由0)(log ]2)2[(log )()2(33>+-+++=-+xkx x k x x h x h , ………………1分即：)(log ]2)2[(log 33xk x x k x +>+++ ∴ 022>+>+++xkx x k x 对任意),1[+∞∈x 都成立 ∴ 3113)2(2<<-⇒⎩⎨⎧-><⇒⎩⎨⎧->+<k k k x k x x k ……………………………3分当01≤<-k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分当10<<k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分当31<≤k 时，)2(log )()(3min k k h x h ==. ……………………………1分综上：⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<-+=.31),2(log ,11),1(log )(33mink k k k x h ……………………………1分 20．（1）因为{}n a 为单调递减数列，所以逆序数为(991)999998149502+⨯+++== ； ……………………………4分（2）当n 为奇数时，13210n a a a ->>>> ．……………………………1分当n 为偶数时，222(4)112120(1)(1)n n n n a a n n n n n n ---=-+≥+--=--=<+-所以2420n a a a >>>> ． ……………………………2分当k 为奇数时，逆序数为235341(1)(3)21228k k k k k k ---+-+-++++++= ……………2分当k 为偶数时，逆序数为22432(1)(3)11228k k k kk k ----+-++++++= …………………2分（3）在数列12,,n a a a 中，若1a 与后面1n -个数构成1p 个逆序对，则有1(1)n p --不构成逆序对，所以在数列11,,n n a a a - 中，逆序数为12(1)(1)(2)()2n n n n p n p n n p a ---+--++--=- ．…7分。

2016年上海市静安区中考数学一模试卷及参考答案

2016年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）的相反数是（）A．B．﹣C．D．﹣2．（4分）下列方程中，有实数解的是（）A．x2﹣x+1＝0B．＝1﹣x C．＝0D．＝1 3．（4分）化简（x﹣1﹣1）﹣1的结果是（）A．B．C．x﹣1D．1﹣x4．（4分）如果点A（2，m）在抛物线y＝x2上，将抛物线向右平移3个单位后，点A同时平移到点A′，那么A′坐标为（）A．（2，1）B．（2，7）C．（5，4）D．（﹣1，4）5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是高，如果AD＝m，∠A＝α，那么BC的长为（）A．m•tanα•cosαB．m•cotα•cosαC．D．6．（4分）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A．＝B．＝C．＝D．＝二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分44分）7．（4分）化简：（﹣2a2）3＝．8．（4分）函数的定义域是．9．（4分）方程＝x﹣1的根为．10．（4分）如果函数y＝（m﹣3）x+1﹣m的图象经过第二、三、四象限，那么常数m的取值范围为．11．（4分）二次函数y＝x2﹣6x+1的图象的顶点坐标是．12．（4分）如果抛物线y＝ax2﹣2ax+5与y轴交于点A，那么点A关于此抛物线对称轴的对称点坐标是．13．（4分）如图，已知D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，如果AE＝1，CE＝2，那么EF：BF等于．14．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是重心，如果sin A＝，BC＝2，那么GC的长等于．15．（4分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设＝，＝，那么＝．（用向量，的式子表示）16．（4分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB＝5，BC＝8，sin B ＝，那么tan∠CDE＝．17．（4分）将▱ABCD（如图）绕点A旋转后，点D落在边AB上的点D′，点C落到C′，且点C′、B、C在一直线上．如果AB＝13，AD＝3，那么∠A 的余弦值为．三、解答题：（本大题7题，满分78分）18．（10分）化简：÷，并求当x＝时的值．19．（10分）用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3＝0．20．（10分）如图，直线y＝x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα＝．（1）求点B的坐标；（2）求△OAB的面积．21．（10分）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P 的仰角是26.6°，向前走30米到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是45°和33.7°，求该电线杆PQ的高度（结果精确到1米）（备用数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.50，cot26.6°＝2.00；sin33.7°＝0.55，cos33.7°＝0.83，tan33.7°＝0.67，cot33.7°＝1.50）22．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，BD＝AD＝AC，AD与CE相交于点F，AE2＝EF•EC．（1）求证：∠ADC＝∠DCE+∠EAF；（2）求证：AF•AD＝AB•EF．23．（12分）如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，二次函数的图象与y轴相交于点C，与直线y＝x+1相交于点A、D，CD∥x轴，∠CDA＝∠OCA．（1）求点C的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．24．（14分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上，且CE＝AD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G，设AD＝x，△AEF的面积为y．（1）求证：∠DCA＝∠EBC；（2）如图，当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△DFG是直角三角形，求△AEF的面积．2016年上海市静安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）的相反数是（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：根据相反数定义得：的相反数为：﹣，分子分母同乘得：﹣．故选：D．2．（4分）下列方程中，有实数解的是（）A．x2﹣x+1＝0B．＝1﹣x C．＝0D．＝1【解答】解：A、∵△＝1﹣4＝﹣3＜0，∴原方程无实数根，B、当1﹣x＜0，即x＞1时，原方程无实数根，C、当x2﹣x＝0，即x＝1，或x＝0时，原方程无实数根，D、∵＝1，∴x＝﹣1．故选：D．3．（4分）化简（x﹣1﹣1）﹣1的结果是（）A．B．C．x﹣1D．1﹣x【解答】解：原式＝（﹣1）﹣1＝（）﹣1＝．故选：A．4．（4分）如果点A（2，m）在抛物线y＝x2上，将抛物线向右平移3个单位后，点A同时平移到点A′，那么A′坐标为（）A．（2，1）B．（2，7）C．（5，4）D．（﹣1，4）【解答】解：把A（2，m）代入y＝x2得m＝4，则A点坐标为（2，4），把点A （2，4）向右平移3个单位后所得对应点A′的坐标为（5，4）．故选：C．5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是高，如果AD＝m，∠A＝α，那么BC的长为（）A．m•tanα•cosαB．m•cotα•cosαC．D．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是高，如果AD＝m，∠A＝α，∴tanα＝，∴CD＝m•tanα，∵∠ACB＝∠A+∠B＝90°，∠BDC＝∠B+∠BCD＝90°，∠A＝α，∴∠BCD＝α，∴cos∠BCD＝，即cos，BC＝．故选：C．6．（4分）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A．＝B．＝C．＝D．＝【解答】解：∵∠BAC＝∠D，，∴△ABC∽△ADE．故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分44分）7．（4分）化简：（﹣2a2）3＝﹣8a6．【解答】解：（﹣2a2）3＝（﹣2）3•（a2）3＝﹣8a6．故答案为：﹣8a6．8．（4分）函数的定义域是x≠﹣2．【解答】解：根据题意得：x+2≠0解得x≠﹣2．故答案为x≠﹣2．9．（4分）方程＝x﹣1的根为4．【解答】解：由二次根式性质得：x+5≥0且x﹣1≥0，∴x≥1．将＝x﹣1两边平方得：x+5＝x2﹣2x+1，整理得：x2﹣3x﹣4＝0，分解因式：（x﹣4）（x+1）＝0，得：x1＝4，x2＝﹣1，∵x≥1，∴x＝4．故答案为：4．10．（4分）如果函数y＝（m﹣3）x+1﹣m的图象经过第二、三、四象限，那么常数m的取值范围为1＜m＜3．【解答】解：∵函数y＝（m﹣3）x+1﹣m的图象经过第二、三、四象限，∴，解得1＜m＜3．故答案为：1＜m＜3．11．（4分）二次函数y＝x2﹣6x+1的图象的顶点坐标是（3，﹣8）．【解答】解：∵y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8，∴抛物线顶点坐标为（3，﹣8）．故答案为：（3，﹣8）．12．（4分）如果抛物线y＝ax2﹣2ax+5与y轴交于点A，那么点A关于此抛物线对称轴的对称点坐标是（2，5）．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+5与y轴交于点A坐标为（0，5），对称轴为x＝﹣＝1，∴点A（0，5）关于此抛物线对称轴的对称点坐标是（2，5）．故答案为：（2，5）．13．（4分）如图，已知D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，如果AE＝1，CE＝2，那么EF：BF等于．【解答】解：∵AE＝1，CE＝2，∴AC＝3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵DE∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴＝，故答案为：1：3．14．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是重心，如果sin A＝，BC＝2，那么GC的长等于2．【解答】解：如图所示，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝2，∴AB＝3BC＝6．∵点G是重心，∴CD为△ABC的中线，∴CG＝CD＝×3＝2．故答案为：2．15．（4分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设＝，＝，那么＝﹣﹣．（用向量，的式子表示）【解答】解：如图，过点D作DE∥AB，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BE＝AD，DE＝AB，∵BC＝2AD，＝，＝，∴＝＝，＝＝，∴＝﹣＝﹣（+）＝﹣（+）＝﹣﹣．故答案为：﹣﹣．16．（4分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB＝5，BC＝8，sin B ＝，那么tan∠CDE＝．【解答】解：在△ABE中，AE⊥BC，AB＝5，sin B＝，∴BE＝3，AE＝4．∴EC＝BC﹣BE＝8﹣3＝5．∵平行四边形ABCD，∴△CED为等腰三角形．∴∠CDE＝∠CED．∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED．∴∠CDE＝∠ADE．在Rt△ADE中，AE＝4，AD＝BC＝8，∴tan∠CDE＝＝，故答案为：．17．（4分）将▱ABCD（如图）绕点A旋转后，点D落在边AB上的点D′，点C落到C′，且点C′、B、C在一直线上．如果AB＝13，AD＝3，那么∠A 的余弦值为．【解答】解：∵▱ABCD绕点A旋转后得到▱AB′C′D′，∴∠DAB＝∠D′AB′，AB＝AB′＝C′D′＝13，∵AB′∥C′D′，∴∠D′AB′＝∠BD′C′，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠C＝∠DAB，∴∠C＝∠BD′C′，∵点C′、B、C在一直线上，而AB∥CD，∴∠C＝∠C′BD′，∴∠C′BD′＝∠BD′C′，∴△C′BD′为等腰三角形，作C′H⊥D′B，则BH＝D′H，∵AB＝13，AD＝3，∴BD′＝10，∴D′H＝5，∴cos∠HD′C′＝＝，即∠A的余弦值为．故答案为．三、解答题：（本大题7题，满分78分）18．（10分）化简：÷，并求当x＝时的值．【解答】解：原式＝•＝，当x＝时，原式＝＝7．19．（10分）用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3＝0．【解答】解：2x2﹣3x﹣3＝0，x2﹣x﹣＝0，x2﹣x+＝+，（x﹣）2＝，x﹣＝±，解得：x1＝，x2＝．20．（10分）如图，直线y＝x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα＝．（1）求点B的坐标；（2）求△OAB的面积．【解答】解：（1）∵直线y＝x与反比例函数的图象交于点A（3，a），∴A（3，4），反比例函数解析式y＝，∵点B在这个反比例函数图象上，设B（x，），∵tanα＝，∴＝，解得：x＝±6，∵点B在第一象限，∴x＝6，∴B（6，2）．答：点B坐标为（6，2）．（2）设直线OB为y＝kx，（k≠0），将点B（6，2）代入得：k＝，∴OB直线解析式为：y＝x，过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，如下图：则点C坐标为：（3，1），∴AC＝3S△OAB的面积＝S△OAC的面积+S△ACB的面积，＝×|AC|×6＝9．△OAB的面积为9．21．（10分）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P 的仰角是26.6°，向前走30米到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是45°和33.7°，求该电线杆PQ的高度（结果精确到1米）（备用数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.50，cot26.6°＝2.00；sin33.7°＝0.55，cos33.7°＝0.83，tan33.7°＝0.67，cot33.7°＝1.50）【解答】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米．在直角△ABE中，∠PBE＝45°，则BE＝PE＝x米；∵∠P AE＝26.6°在直角△APE中，AE＝PE•cot∠P AE≈2x，∵AB＝AE﹣BE＝30米，则2x﹣x＝30，解得：x＝30．则BE＝PE＝30米．在直角△BEQ中，QE＝BE•tan∠QBE＝30×tan33.7°＝30×0.67≈20.1米．∴PQ＝PE﹣QE＝30﹣20＝10（米）．答：电线杆PQ的高度是10米．22．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，BD＝AD＝AC，AD与CE相交于点F，AE2＝EF•EC．（1）求证：∠ADC＝∠DCE+∠EAF；（2）求证：AF•AD＝AB•EF．【解答】证明：（1）∵BD＝AD＝AC，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠ACD，∵AE2＝EF•EC，∴，∵∠E＝∠E，∴△EAF∽△ECA，∴∠EAF＝∠ECA，∴∠ADC＝∠ACD＝∠ACE+∠ECB＝∠DCE+∠EAF；（2）∵△EAF∽△ECA，∴，即，∵∠EF A＝∠BAC，∠EAF＝∠B，∴△F AE∽△ABC，∴，∴F A•AC＝EF•AB，∵AC＝AD，∴AF•AD＝AB•EF．23．（12分）如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，二次函数的图象与y轴相交于点C，与直线y＝x+1相交于点A、D，CD∥x轴，∠CDA＝∠OCA．（1）求点C的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．【解答】解：（1）∵函数y＝x+1中，当y＝0时，x＝﹣2，∴A（﹣2，0），∵函数y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，∴B（0，1），∵CD∥x轴，∴∠BAO＝∠ADC，∵∠CDA＝∠OCA，∴∠ACO＝∠BAO，∴tan∠ACO＝tan∠BAO＝，∴CO＝4，∴C（0，4）；（2）∵∠AOB＝∠OCD＝90°，∠BAO＝∠BDC＝90°，∴△CBD∽△OBA，∴＝，∴＝，∴CD＝6，∴D（6，4），设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，∵图象经过A（﹣2，0），D（6，4），C（0，4），∴，解得：．∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4．24．（14分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上，且CE＝AD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G，设AD＝x，△AEF的面积为y．（1）求证：∠DCA＝∠EBC；（2）如图，当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△DFG是直角三角形，求△AEF的面积．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ECB，在△DCA和△ECB中，，∴△DCA≌△ECB（SAS），∴∠DCA＝∠EBC；（2）∵AD∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴，即，解得：AF＝，作EH⊥AF于H，如图1所示，∵cos∠ACB＝，∴EH＝AE＝（10﹣x），＝×（10﹣x）×＝，∴y＝S△AEF∴y＝，∵点G在线段CD上，∴AF≥AD，即≥x，∴x≤5﹣5，∴0＜x≤5﹣5，∴y关于x的函数解析式为：y＝，（0＜x≤5﹣5）；（3）分两种情况考虑：①当∠FDG＝90°时，如图2所示：在Rt△ADC中，AD＝AC×＝8，即x＝8，＝y＝＝；∴S△AEF②当∠DGF＝90°时，过E作EM⊥BC于点M，如图3所示，由（1）得：CE＝AF＝x，在Rt△EMC中，EM＝x，MC＝x，∴BM＝BC﹣MC＝10﹣x，∵∠GCE＝∠GBC，∠EGC＝∠CGB，∴△CGE∽△BGC，∴＝，即＝，∵∠EBM＝∠CBG，∠BME＝∠BGC＝90°，∴△BME∽△BGC，∴＝＝，∴＝，即x＝5，此时y＝＝15，综上，此时△AEF的面积为或15．免责声明：本文系转载自网络，如有侵犯，请联系我们立即删除.百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文免责声明：本文系转载自网络，如有侵犯，请联系我们立即删除.百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文。

上海市静安区2016届高三4月教学质量检测(二模)数学(文+理)试卷

静安区2015学年第二学期高三年级高考模拟文理科数学试卷（试卷满分150分考试时间120分钟） 2016.4 考生注意：本试卷共有23道题，答题前，请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.（文）已知全集，集合，则集合的补集 .（理）计算： _.2.（文）指数方程的解是 .（理）设复数满足（为虚数单位），则 .3.（文）已知无穷等比数列的首项，公比，则无穷等比数列各项的和是 .（理）若原点和点在直线的两侧，则的取值范围是．4．函数的递增区间为 .5．算法流程图如图所示，则输出的值是 .6. 抛物线上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标是．7. （文）设函数，则不等式的解集为 .（理）一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为 .8.关于的函数的最大值记为，则的解析式为 .9．（文）如图所示，是一个由圆柱和球组成的几何体的三视图，若，则该几何体的体积等于．（理）如图，正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为 .10. （文）圆心在直线2x y 7=0上的圆C与y轴交于A(0, 4)、B(0, 2) 两点，则圆C的方程为 .（理）已知双曲线的渐近线与圆没有公共点，则该双曲线的焦距的取值范围为 .11.已知△ABC外接圆的半径为，圆心为，且，，则.12.（文）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 .（理）若以过点的直线的倾斜角为参数，则圆的参数方程为 .13. （文）掷两颗均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋n i)(n－m i)(i为虚数单位)为实数的概率为 .（理）已知数列满足，，则数列的前项和的最大值为 .14.设关于的实系数不等式对任意恒成立，则.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（文）的展开式中的系数为（）A. 1B. 4C. 6D. 12（理）下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．16.（文）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积，∠A的弧度数为（）A. B. C. D.（理）在极坐标系中,圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．B．C．D．17. 若函数为奇函数，且g(x)=f(x)＋2，已知f(1) =1，则g (－1)的值为（）A．－1B．1C．－2D．218. （文）已知实数满足则的最大值为（）A. 17B. 15C. 9D. 5（理）袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5. 现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为，则E 等于（）A． 4 B．4.5 C． 4.75 D． 5三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（文）（本题满分12分）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF（底面正六边形ABCDEF的中心为球心）.求：正六棱锥P—ABCDEF的体积和侧面积．（理）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知分别是椭圆（其中）的左、右焦点，椭圆过点且与抛物线有一个公共的焦点．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，求线段的长度．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（文）题同理科第19题。

上海市静安区高三数学一模考试试题理 (含解析)沪教版

2013年上海市静安区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2013•静安区一模）已知函数f（x）=sin（2ax+）的最小正周期为4π，则正实数a= ．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期性可得=4π，由此解方程解得a的值．解答：解：∵函数f（x）=sin（2ax+）的最小正周期为4π，∴=4π，解得 a=，故答案为．点评：本题主要考查三角函数的周期性和求法，属于中档题．2．（4分）（2013•静安区一模）等比数列{a n}（n∈N*）中，若，，则a12= 64 ．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的公比，由由，列式求出公比，然后直接代入等比数列的通项公式求a12的值．解答：解：设等比数列的公比为q，由，，得，解得q=2．所以，．故答案为64．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了学生的计算能力，是基础的计算题．3．（4分）（2013•静安区一模）两条直线l1：3x﹣4y+9=0和l2：5x+12y﹣3=0的夹角大小为．考点：两直线的夹角与到角问题．专题：直线与圆．分析：先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求出两条直线的夹角的正切值，即可求得两条直线的夹角．解答：解：设两条直线l1：3x﹣4y+9=0的斜率为k，l2：5x+12y﹣3=0的斜率为k′，这两条直线的夹角为θ，0≤θ≤，则 k=，k′=﹣．由两条直线的夹角公式可得tanθ=||=，∴θ=arctan，故答案为 arctan．点评：本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，反正切函数的应用，属于中档题．4．（4分）（2013•静安区一模）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．由此可求出它到双曲线中心的距离．解答：解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．∴它到中心（0，0）的距离为d==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时注意圆的性质的应用．5．（4分）（2013•静安区一模）某旅游团要从8个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地，在甲和乙两个风景点中至少需选一个，不考虑游览顺序，共有13 种游览选择．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：从8个风景点中选两个风景点共有种方法，从中排除甲和乙两个风景点都不选的种方法，即可得答案．解答：解：从8个风景点中选两个风景点共有=28种方法，若甲和乙两个风景点都不选，共有=15种方法，故甲和乙两个风景点中至少需选一个的方法共有=28﹣15=13种，故答案为：13点评：本题考查排列组合及简单的计数原理，间接考虑是解决问题的关键，属中档题．6．（4分）（2013•静安区一模）求和：= n•2n﹣1．（n∈N*）考点：二项式定理．专题：计算题．分析：根据（1+x）n=+++…+，两边同时对x求导，再令 x=1，可得答案．解答：解：∵（1+x）n=+++…+，两边同时对x求导可得 n（1+x）n﹣1=+2+3+…+n．令 x=1可得，n•2n﹣1=，故答案为n•2n﹣1．点评：本题主要考查二项式定理的应用，求函数的导数，属于中档题．7．（4分）（2013•静安区一模）设数列{a n}满足当（n∈N*）成立时，总可以推出成立．下列四个命题：（1）若a3≤9，则a4≤16．（2）若a3=10，则a5＞25．（3）若a5≤25，则a4≤16．（4）若，则．其中正确的命题是（2）（3）（4）．（填写你认为正确的所有命题序号）考点：命题的真假判断与应用．分析：（1）若a3≤9，则9＞n2，则n=1，2，由条件知a4≤16不成立；（2）利用数列{a n}满足当（n∈N*）成立时，总可以推出成立，可得a5＞25；（3）由题意，a4＞16，则a5＞25，所以逆否命题正确；（4）若＞n2，则，故可得结论．解答：解：（1）若a3≤9，则9＞n2，则n=1，2，由条件知a4≤16不成立；（2）∵a3=10＞9，数列{a n}满足当（n∈N*）成立时，总可以推出成立，∴a5＞25；（3）由题意，a4＞16，则a5＞25，所以逆否命题正确，即若a5≤25，则a4≤16成立；（4）若＞n2，则，故（4）正确．故答案为：（2）（3）（4）．点评：本题考查命题真假的判定，考查学生分析解决问题的能力，考查学生对新定义的理解，属于中档题．8．（4分）（2013•静安区一模）已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．若以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则此直线l被曲线C截得的线段长度为 4 ．考点：直线的参数方程．专题：计算题．分析：将曲线C：ρ=4sinθ化为普通方程，将直线的参数方程化为普通方程，利用圆心距、弦长和半径构成的直角三角形来求解解答：解：将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，它表示以（0，2）为圆心，2为半径的圆，直线方程l的普通方程为 y=x+2，即x﹣2y+4=0．圆C的圆心到直线l的距离 d=0，故直线l被曲线C截得的线段长度等于圆的直径为4．故答案为：4．点评：解决直线与圆的问题：一：代数法，利用方程组求解；二，几何法，借助直角三角形．9．（4分）（2013•静安区一模）请写出如图的算法流程图输出的S值．考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件S=++1+3+…+3n﹣3＞100时，s的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件S=++1+3+…+3n﹣3＞100时，s的值．∵S=++1+3+…+3n﹣3＞100时，即，，解得n≥7，故输出S=++1+3+…+34=．故答案为：．点评：算法和程序框图在近两年的广东高考都有考查，复习中要给予高度重视．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．（4分）（2013•静安区一模）已知α、β为锐角，且，则tanαtanβ= 1 ．考三角函数中的恒等变换应用．点：三角函数的求值．专题：分由已知条件利用三角函数的恒等变换化简可得 tan+tan=1﹣tan tan，求得tan=1，可析：得α+β=，即α与β互为余角，由此可得tanαtanβ的值．解：已知α、β为锐角，且解答：=•=（1+tan）（1+tan）=1+tan+tan+tan tan，故有 tan+tan=1﹣tan tan，∴tan==1，∴=，∴α+β=，即α与β互为余角，则tanαtanβ=1，故答案为1．本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，互余的两个角正切值间的关系，属于中档题．点评：11．（4分）（2013•静安区一模）机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”．如图所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西arcsin方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上．则在以圆心O为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向的直角坐标系中圆O的方程为x2+y2=225 ．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：如图所示：由题意可得sinθ=，OA=13，利用直角三角形中的边角关系求得cos∠AOD、OD、AD 的值，可得BD 的值，再求得 OB2=OD2+BD2的值，即可得到圆O的方程．解答：解：如图所示：设OA与正北方向的夹角为θ，则由题意可得sinθ=，OA=13，∴cos∠AOD=sinθ=，O D=OA•cos∠AOD=13×=12，AD=OA•sin∠AOD=13×=5，∴BD=14﹣AD=9，∴OB2=OD2+BD2=144+81=225，故圆O的方程为 x2+y2=225，故答案为 x2+y2=225．点评：本题主要考查直角三角形中的边角关系，求圆的标准方程，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．12．（4分）（2013•静安区一模）过定点F（4，0）作直线l交y轴于Q点，过Q点作QT⊥FQ交x轴于T 点，延长TQ至P点，使|QP|=|TQ|，则P点的轨迹方程是y2=16x ．考点：抛物线的定义．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得点Q为线段PT的中点，且FQ是线段PT的垂直平分线．设点Q（0，a），点T（m，0），由K FQ•K QT=﹣1，可得点T（﹣，0）．设点P（x，y），再由线段的中点公式可得，消去参数a，可得P点的轨迹方程．解答：解：由题意可得，定点F（4，0），点Q为线段PT的中点，且FQ是线段PT的垂直平分线．设点Q（0，a），点T（m，0），由K FQ•K QT==﹣1，求得m=﹣，∴点T（﹣，0）．设点P（x，y），再由线段的中点公式可得 0=，a=，解得，消去参数a，可得 y2=16x，故则P点的轨迹方程是 y2=16x，故答案为 y2=16x．点评：本题主要考查求点的轨迹方程的方法，把参数方程化为直角坐标方程，属于基础题．13．（4分）（2013•静安区一模）已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是[﹣3，+∞）．考点：恒过定点的直线；直线的斜率．专题：直线与圆．分析：直线方程即 x+y﹣4+a（﹣x+y﹣4）=0，由，求得定点P的坐标，设点Q（m，m+），m≠0，则PQ连线的斜率为为=﹣3，再利用二次函数的性质求得它的范围．解答：解：已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0即 x+y﹣4+a（﹣x+y﹣4）=0，由，解得，故定点P的坐标为（0，4）．设点Q（m，m+），m≠0，则PQ连线的斜率为=1+﹣=﹣3≥﹣3，故PQ连线的斜率的取值范围为[﹣3，+∞），故答案为[﹣3，+∞）．点评：本题主要考查直线过定点问题，直线的斜率公式，二次函数的性质应用，属于中档题．14．（4分）（2013•静安区一模）在复平面内，设点A、P所对应的复数分别为πi、cos（2t﹣）+isin （2t﹣）（i为虚数单位），则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是．考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数的基本概念．专题：计算题．分析：当t=时，求得点P的坐标为P1（，﹣），当t=时，点P的坐标为P2（，）．向量所扫过的图形区域的面积是△AP1P2的面积与弓形的面积之和，故向量所扫过的图形区域的面积是扇形P1OP2的面积．再根据∠P1OP2=2×=，求得扇形P1OP2的面积．解答：解：由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为（0，π）．t=时，点P的坐标为P1（，﹣）；当t=时，点P的坐标为P2（，），向量所扫过的图形区域的面积是△AP1P2的面积与弓形的面积之和，而△AP1P2的面积等于△OP1P2的面积（因为这两个三角形同底且等高），故向量所扫过的图形区域的面积是扇形P1OP2的面积．由于∠P1OP2=2×=，∴扇形P1OP2的面积为等于=，故答案为．点评：本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，扇形的面积公式的应用，属于基础题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2013•静安区一模）若复数z1z2≠0，则z1z2=|z1z2|是成立的（）A．充要条件B．既不充分又不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：本题考查复数的基本概念．首先由复数z1z2≠0成立，得出z1，z2是非零复数，再考察z1z2=|z1z2|与的关系进行根据充要条件的定义即可得出结果，选出正确答案．解答：解：z1，z2都是复数，复数z1z2≠0成立，则z1，z2是非零复数，此时当时，表明两复数z1，z2是一对共轭复数，故z1z2=，|z1z2|=，能得出z1z2=|z1z2|成立；反之，若z1z2=|z1z2|成立，则z1z2是正实数，故不一定得出．故可得出z1z2=|z1z2|是成立的必要不充分条件．考察四个选项，D选项正确故选D．点评：本题以复数为背景考查充分条件与必要条件的判断，理解充分条件与必要条件的定义及熟练掌握复数的基本概念是解本题的关键，本题是基本概念考查题，考查理解能力及对复数的理解．16．（5分）（2013•静安区一模）等差数列{a n}中，已知3a5=7a10，且a1＜0，则数列{a n}前n项和S n（n∈N*）中最小的是（）A．S7或S8B．S12C．S13D．S14考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设公差为d，则3由题意可得（a1+4d）=7（a1+9d），解得 d=﹣，可得 a n=．令＜0，可得当n≥14时，a n＞0，当n≤13时，a n＜0，由此可得数列{a n}前n项和S n（n∈N*）中最小的．解答：解：等差数列{a n}中，已知3a5=7a10，且a1＜0，设公差为d，则3（a1+4d）=7（a1+9d），解得 d=﹣．∴a n=a1+（n﹣1）d=．令＜0，可得 n＞，故当n≥14时，a n＞0，当n≤13时，a n＜0，故数列{a n}前n项和S n（n∈N*）中最小的是 S13，故选C．点评：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题．17．（5分）（2013•静安区一模）函数f（x）=（x∈[3，5]）的值域为（）A．[2，3] B．[2，5] C．D．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：变形可得函数f（x）=（x﹣2）+﹣2，令t=x﹣2可构造函数g（t）=t+﹣2，t∈[1，3]，通过求导数可得：函数g（t）的最小值为g（2）=2，最大值为g（1）=3，进而可得答案．解答：解：变形可得函数f（x）===（x﹣2）+﹣2，令t=x﹣2，由x∈[3，5]可得t∈[1，3]，构造函数g（t）=t+﹣2，t∈[1，3]，令g′（t）=1﹣＞0，可得t＞2，故可得函数g（t）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，故函数g（t）的最小值为g（2）=2，最大值为g（1）或g（3）中的一个，可得g（1）=3，g（3）=，故最大值为g（1）=3，故g（t）∈[2，3]故函数f（x）=（x∈[3，5]）的值域为[2，3]故选A点评：本题考查函数的单调性和导数的关系，涉及函数闭区间的最值的求解，属中档题．18．（5分）（2013•静安区一模）已知O是△ABC外接圆的圆心，A、B、C为△ABC的内角，若，则m的值为（）A．1B．s inA C．c osA D．t anA考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据题意画出相应的图形，取AB的中点为D，根据平面向量的三角形法则可得，利用外接圆的性质可得O D⊥AB，．由向量共线定理可得．等式两边同时与向量作数量积，再利用正弦定理及两角和的余弦公式即可得出．解答：解：如图所示，取线段AB的中点D，连接DO，则，∵点O是三角形ABC的外接圆的圆心，∴OD⊥AB，∴．．对等式两边与向量作数量积，得，化为，∴．由正弦定理得，∴．∴==sinA，故选B．点评：本题综合考查了三角形的外接圆的性质、向量的三角形法则、数量积运算、正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的圆心公式等基础知识与基本技能，考查了数形结合的能力、推理能力、计算能力．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2013•静安区一模）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；（2）求△EMN的面积S（平方米）的最大值．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分类求出MN在矩形区域、三角形区域滑动时，△EMN的面积，可得分段函数；（2）分类求出△EMN的面积的最值，比较其大小，即可得到最值．解答：解：（1）①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，即0＜x≤1时，△EMN的面积S==x；（1分）②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即1＜x＜时，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，∵E为AB中点，∴F为CD中点，GF⊥CD，且FG=．又∵MN∥CD，∴△MNG∽△DCG．∴，即．（4分）故△EMN的面积S==；（6分）综合可得：（7分）（2）①当MN在矩形区域滑动时，S=x，所以有0＜S≤1；（8分）②当MN在三角形区域滑动时，S=．因而，当（米）时，S得到最大值，最大值S=（平方米）．∵，∴S有最大值，最大值为平方米．（12分）点评：本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，确定分段函数是关键．20．（14分）（2013•静安区一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A、B、C所对的边长，a，b，c成等比数列．（1）求B的取值范围；（2）若x=B，关于x的不等式cos2x﹣4sin（）sin（）+m＞0恒成立，求实数m的取值范围．考点：数列与三角函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等比数列的性质，结合余弦定理及基本不等式，即可求B的取值范围；（2）关于x的不等式cos2x﹣4sin（）sin（）+m＞0恒成立，等价于关于x的不等式cos2x﹣4sin（）sin（）＞﹣m恒成立，求出左边的最小值，即可求得m的取值范围．解答：解：（1）∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac（1分）∴cosB==（3分）∵a2+c2≥2ac，∴cosB=≥，等号当且仅当a=c时取得，∴≤cosB＜1，∴．（7分）（2）关于x的不等式cos2x﹣4sin（）sin（）+m＞0恒成立，等价于关于x的不等式cos2x﹣4sin（）sin（）＞﹣m恒成立，cos2x﹣4sin（）sin（）=cos2x﹣4sin（）cos（）=2cosx2﹣2cosx﹣1=2（cosx﹣）2﹣（11分）∵x=B，∴≤cosx＜1∴2（cosx﹣）2﹣≥﹣由题意有：﹣m＜﹣，即m＞（14分）（说明：这样分离变量m＞2cosx﹣cos2x=﹣2cos2x+2cosx+1参照评分）点评：本题考查等比数列的性质，考查余弦定理、基本不等式，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确求最值是关键．21．（14分）（2013•静安区一模）已知数列{a n}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有．（1）当n=3时，求所有满足条件的三项组成的数列a1、a2、a3；（2）试求出数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n﹣1间的递推关系．是否存在满足条件的无穷数列{a n}，使得a2013=﹣2012？若存在，求出这样的无穷数列{a n}的一个通项公式；若不存在，说明理由．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用数列递推式，n分别取1，2，3，代入计算，即可得到结论；（2）令S n=a1+a2+…+a n，则（n∈N*）．从而，两式相减，得，再写一式，两式相减，可得数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n﹣1间的递推关系；利用a1=1，a2013=﹣2012，所以无穷数列{a n}的前2012项组成首项和公差均为1的等差数列，从第2013项开始组成首项为﹣2012，公比为﹣1的等比数列，从而可得数列的通项．解答：解：（1）当n=1时，，由a1≠0得a1=1．（1分）当n=2时，，由a2≠0得a2=2或a2=﹣1．当n=3时，，若a2=2得a3=3或a3=﹣2；若a2=﹣1得a3=1；（5分）综上讨论，满足条件的数列有三个：1，2，3或1，2，﹣2或1，﹣1，1．（6分）（2）令S n=a1+a2+…+a n，则（n∈N*）．从而．（7分）两式相减，结合a n+1≠0，得．（8分）当n=1时，由（1）知a1=1；当n≥2时，2a n=2（S n﹣S n﹣1）=，即（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，所以a n+1=﹣a n或a n+1=a n+1．（12分）又a1=1，a2013=﹣2012，所以无穷数列{a n}的前2012项组成首项和公差均为1的等差数列，从第2013项开始组成首项为﹣2012，公比为﹣1的等比数列．故．（14分）点评：本题考查数列递推式，考查数列通项的探究，考查学生分析解决问题的能力，确定数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n﹣1间的递推关系是关键．22．（16分）（2013•静安区一模）已知椭圆的两个焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），c2是a2与b2的等差中项，其中a、b、c都是正数，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）点P是椭圆上一动点，定点A1（0，2），求△F1PA1面积的最大值；（3）已知定点E（﹣1，0），直线y=kx+t与椭圆交于C、D相异两点．证明：对任意的t＞0，都存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）利用c2是a2与b2的等差中项可得，设出直线方程，利用点到直线的距离公式，建立等式，求出几何量，即可得到椭圆的方程；（2）当椭圆上的点P到直线F1A1距离最大时，△F1PA1面积取得最大值，设出平行直线，即可求得结论；（3）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，结合判别式，即可得到结论．解答：（1）解：在椭圆中，由已知得（1分）过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线方程为，即bx﹣ay﹣ab=0，该直线与原点的距离为，由点到直线的距离公式得：（3分）解得：a2=3，b2=1，所以椭圆方程为（4分）（2）解：，直线F 1A1的方程为，，当椭圆上的点P到直线F1A1距离最大时，△F1PA1面积取得最大值（6分）设与直线F1A1平行的直线方程为，将其代入椭圆方程得：，△=0，即，解得d2=7，所以当时，椭圆上的点P到直线F1A1距离最大为，此时△F1PA1面积为（9分）（3）证明：将y=kx+t代入椭圆方程，得（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆有两个交点，所以△=（6kt）2﹣12（1+3k2）（t2﹣1）＞0，解得（11分）设C（x1，y1）、D（x2，y2），则，，因为以CD为直径的圆过E点，所以，即（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，（13分）而y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=，所以，解得（14分）如果对任意的t＞0都成立，则存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点．，即．所以，对任意的t＞0，都存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点．（16分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查面积的最值，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识、韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．（18分）（2013•静安区一模）函数y=f（x），x∈D，其中D≠∅．若对任意x∈D，f（|x|）=|f（x）|，则称y=f（x）在D内为对等函数．（1）指出函数，y=x3，y=2x在其定义域内哪些为对等函数；（2）试研究对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）在其定义域内是否是对等函数？若是，请说明理由；若不是，试给出其定义域的一个非空子集，使y=log a x在所给集合内成为对等函数；（3）若{0}⊆D，y=f（x）在D内为对等函数，试研究y=f（x）（x∈D）的奇偶性．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据对等函数的定义，我们判断，y=x3是对等函数；（2）要想一个函数不是“对等函数”关键是根据题中条件对任意x∈D，f（|x|）=|f（x）|，或举出反例；（3）对任意x∈D，对集合D分类讨论f（x）与f（﹣x）的关系，最后给出结论．解答：解：（1），y=x3是对等函数；（4分）（2）研究对数函数y=log a x，其定义域为（0，+∞），所以log a|x|=log a x，又|log a x|≥0，所以当且仅当log a x≥0时f（|x|）=|f（x）|成立．所以对数函数y=log a x在其定义域（0，+∞）内不是对等函数．（6分）当0＜a＜1时，若x∈（0，1]，则log a x≥0，此时y=log a x是对等函数；当a＞1时，若x∈[1，+∞），则log a x≥0，此时y=log a x是对等函数；总之，当0＜a＜1时，在（0，1]及其任意非空子集内y=log a x是对等函数；当a＞1时，在[1，+∞）及其任意非空子集内y=log a x是对等函数．（10分）（3）对任意x∈D，讨论f（x）与f（﹣x）的关系．1）若D不关于原点对称，如虽是对等函数，但不是奇函数或偶函数；（11分）2）若D={0}，则f（0）=|f（0）|≥0．当f（0）=0时，f（x）既是奇函数又是偶函数；当f（0）＞0时，f（x）是偶函数．（13分）3）以下均在D关于原点对称的假设下讨论．当x＞0时，f（|x|）=f（x）=|f（x）|≥0；当x＜0时，f（|x|）=f（﹣x）=|f（x）|，若|f（x）|=f（x），则有f（﹣x）=f（x）；此时，当x ＞0时，﹣x＜0，令﹣x=t，则x=﹣t，且t＜0，由前面讨论知，f（﹣t）=f（t），从而f（x）=f （﹣x）；综上讨论，当x＜0时，若f（x）≥0，则f（x）是偶函数．（15分）若当x＜0时，f（x）≤0，则f（|x|）=f（﹣x）=|f（x）|=﹣f（x）；此时，当x＞0时，﹣x＜0，令﹣x=t，则x=﹣t，且t＜0，由前面讨论知，f（﹣t）=﹣f（t），从而f（x）=﹣f（﹣x）；若f（0）=0，则对任意x∈D，都有f（﹣x）=﹣f（x）．综上讨论，若当x＜0时，f（x）≤0，且f（0）=0，则f（x）是奇函数．若f（0）≠0，则f（x）不是奇函数也不是偶函数．（18分）点评：本小题主要考查进行简单的合情推理、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．要想判断f（x）为“对等函数”，要经过严密的论证说明f（x）满足“对等函数”的概念，但要判断f（x）不为“对等函数”，仅须要举出一个反例即可．。

(精校版)2016年上海理数高考试题文档版(含答案)

（1）若{an}具有性质 P ，且 a1 1, a2 2, a4 3, a5 2 ， a6 a7 a8 21 ，求 a3 ；
考（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列， b1 c5 1， b5 c1 81 ，
an bn cn 判断{an}是否具有性质 P ，并说明理由；
考双曲线 x2
y2 b2
1(b 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ，直线 l
过 F2 且与双曲线交于 A、B 两点。
高（1）若l
的倾斜角为
2
，
F1 AB
是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设 b
您 3 ，若 l 的斜率存在，且 (F1A F1B) AB 0 ，求 l 的斜率. 学科&网
13 S111
h
3 12
．
（2）设过点 1 的母线与下底面交于点，则 1//1 ，
所以 C1 或其补角为直线 1C 与 1 所成的角．
由 C 长为 2 ，可知 C 2 ，
3
3
又
111
3
，所以
C
3
，
从而 C 为等边三角形，得 C 1．
因为 1 平面 C ，所以 1 C ．
在 C1 中，因为 1C
2
， C
1， 1
1，所以 C1
4
，
从而直线
1C
与
1
所成的角的大小为
4
．
20. （1）因为 C 上的点到直线与到点 F 的距离相等，所以 C 是以 F 为焦点、以
！功
为准线的抛物线在正方形 FG 内的部分，其方程为 y2 4x （ 0 y 2 ）．
成（2）依题意，点

静安区2016学年度第一学期高三数学一模试卷(含答案)

2
1 的展开式中， x 的系数为 x
5
．立方米．
5．用半径 1 米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为 6．已知为锐角，且 cos(
3 ) ，则 sin ________ ． 4 5
7．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20 毫克/100 毫升的行为属于饮酒驾车. 假设饮酒后，血液中的酒精含量为 p0 毫克/100 毫升，经过 x 个小时，酒精含量降为 p 毫克/100 毫升，且满足关系式 p p0 e r x （r 为常数）. 若某人饮酒后血液中的酒精含量为 89 毫克/100 毫升，2 小时后，测得其血液中酒精含量降为 61 毫克/100 毫升，则此人饮酒后需经过小时) 8．已知奇函数 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数，数列 xn 是一个公差为 2 的等差数列，满足小时方可驾车．(精确到
f ( x7 ) f ( x8 ) 0 ，则 x2017 的值为
x
．
9．直角三角形 ABC 中， AB 3 ， AC 4 ， BC 5 ，点 M 是三角形 ABC 外接圆上任意一点，则 AB AM 的最大值为________． 10．已知 f ( x ) a b (a 0 且 a 1 ， b R )， g ( x ) x 1 ，若对任意实数 x 均有
x
3
2
4 4
2
2 2
y
2 3
C2 的准线之间的距离为
A． 2 1 ； C．1；
0
(
) B． 3 1 D．2．
15．已知 y g ( x ) 与 y h( x) 都是定义在 ( ,0) (0, ) 上的奇函数，且当 x 0 时，

2016年上海市静安区高考数学二模试卷(理科)含详解

2016年上海市静安区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）计算：=．2．（4分）设复数z满足（3﹣4i）z=5（i是虚数单位），则z=．3．（4分）若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是．4．（4分）函数y=cos2x，x∈[0，π]的递增区间为．5．（4分）如图是一个算法流程图，则输出的k的值是．6．（4分）抛物线y2=x上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标是．7．（4分）一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为．8．（4分）关于θ 的函数f（θ）=cos2θ﹣2xcosθ﹣1的最大值记为M（x），则M （x）的解析式为．9．（4分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的底面一边AB长为，侧面积为，则它的体积为．10．（4分）已知双曲线x2﹣=1（m＞0）的渐近线与圆x2+（y+2）2=1没有公共点，则该双曲线的焦距的取值范围为．11．（4分）已知△ABC外接圆O的半径为2，且，||=||，则=．12．（4分）（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为．13．（4分）已知数列{a n}满足a1=81，a n=（k∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的最大值为．14．（4分）设关于x的实系数不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，则a2b=．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）下列不等式一定成立的是（）A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）C．x2+1≥2|x|（x∈R）D．（x∈R）16．（5分）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=117．（5分）若函数F（x）=f（x）+x2为奇函数，且g（x）=f（x）+2，若f（1）=1，则g（﹣1）的值为（）A．﹣1B．﹣3C．2D．﹣218．（5分）袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，则Eξ等于（）A．4B．4.5C．4.75D．5三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：=1（其中a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C过点（﹣，1）且与抛物线y2=﹣8x有一个公共的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点且斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，求线段AB 的长度．20．（14分）设点E，F分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点．如图，以C为坐标原点，射线CD、CB、CC1分别是x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系（1）求向量与的数量积；（2）若点M，N分别是线段D1E与线段C1F上的点，问是否存在直线MN，MN ⊥平面ABCD？若存在，求点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．21．（14分）如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM、ON的距离分别为2km、km．测得tan∠MON=﹣3，OA=6km．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以18km/小时的平均速度在水上旅游线AB航行（将航线AB看作直线，码头Q在第一象限，航线AB经过Q）．（1）问游轮自码头A沿方向开往码头B共需多少分钟？（2）海中有一处景点P（设点P在xOy平面内，PQ⊥OM，且PQ=6km），游轮无法靠近．求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标．22．（16分）已知函数y=f（x），若在区间I内有且只有一个实数c（c∈I），使得f（c）=0成立，则称函数y=f（x）在区间I内具有唯一零点．（1）判断函数f（x）=在区间（0，+∞）内是否具有唯一零点，并说明理由；（2）已知向量=（，），=（sin2x，cos2x），x∈（0，π），证明f（x）=+1在区间（0，π）内具有唯一零点；（3）若函数f（x）=x2+2mx+2m在区间（﹣2，2）内具有唯一零点，求实数m 的取值范围．23．（18分）已知数列{a n}满足a n=3a n﹣1+3n（n≥2，n∈N*），首项a1=3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）数列{b n}满足b n=log3，记数列{}的前n项和为T n，A是△ABC 的内角，若sinAcosA＞对于任意n∈N*恒成立，求角A的取值范围．2016年上海市静安区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）计算：=．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；36：整体思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．【分析】化简=，从而求得．【解答】解：==；故答案为：．【点评】本题考查了极限的求法，关键在于分子分母同时除以n3，属于基础题．2．（4分）设复数z满足（3﹣4i）z=5（i是虚数单位），则z=i．【考点】A5：复数的运算．【专题】34：方程思想；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵（3﹣4i）z=5，∴（3+4i）（3﹣4i）z=5（3+4i），∴25z=5（3+4i），∴z=i．故答案为：i．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（4分）若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（0，2）．【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】34：方程思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，由此能求出a的取值范围．【解答】解：因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，解得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．【点评】本题考查二元一次不等式的几何意义，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．4．（4分）函数y=cos2x，x∈[0，π]的递增区间为[，π] ．【考点】HM：复合三角函数的单调性．【专题】33：函数思想；36：整体思想；44：数形结合法．【分析】先由整体法解2kπ+π≤2x≤2kπ+2π可得函数的所有单调递增区间，取在x∈[0，π]的即可．【解答】解：由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π可解得kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z，故函数y=cos2x的递增区间为[kπ+，kπ+π]，k∈Z，又∵x∈[0，π]，∴函数的单调递增区间为：[，π]故答案为：[，π]．【点评】本题考查复合三角函数的单调性，属基础题．5．（4分）如图是一个算法流程图，则输出的k的值是3．【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=1S=2，不满足条件S＞10，k=2，S=6不满足条件S＞10，k=3，S=15满足条件S＞10，退出循环，输出k的值为3．故答案为：3．【点评】本题给出程序框图，要我们求出最后输出值，着重考查了算法语句的理解和循环结构等知识，属于基础题．6．（4分）抛物线y2=x上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标是．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】由抛物线方程，求出焦点F（，0）．设M（x0，y0），由|MF|=1结合两点的距离公式，列式并解之即可得到点M的横坐标．【解答】解：∵抛物线方程为y2=x，∴抛物线的焦点F（，0）设点M（x0，y0），得|MF|==1将y02=x0代入，得+x0=1，解之得x0=（舍负）故答案为：．【点评】本题给出抛物线上一点到焦点的距离，求该点的横坐标．考查了抛物线的定义与标准方程，抛物线的简单几何性质等知识，属于基础题．7．（4分）一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】11：计算题；36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球，根据古典概型公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共有11种结果，故概率为．故答案为：．【点评】本题考查了古典概型概率问题，试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，掌握列举法，属于基础题．8．（4分）关于θ 的函数f（θ）=cos2θ﹣2xcosθ﹣1的最大值记为M（x），则M （x）的解析式为．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【专题】32：分类讨论；33：函数思想；4C：分类法；51：函数的性质及应用．【分析】将函数配方，得到对称轴为x，再由cosθ∈[﹣1，1]，判断对称轴与区间的位置关系，离对称轴最远的点对应的函数值为最大值．【解答】解：∵f（θ）=cos2θ﹣2xcosθ﹣1=（cosθ﹣x）2﹣1﹣x2，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴当x≥0时，f（θ）的最大值为cosθ=﹣1时f（θ）max=（﹣1﹣x）2﹣1﹣x2=2x，当x＜0时，f（θ）的最大值为cosθ=1时f（θ）max=（1﹣x）2﹣1﹣x2=﹣2x，∴M（x）=故答案为：【点评】本题考查二次函数对称轴与给定区间的位置关系，离对称轴最远的点对应的函数值为最大值．9．（4分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的底面一边AB长为，侧面积为，则它的体积为4．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】作出棱锥的高PO，则O为底面中心，作OE⊥AB于E，根据侧面积计算PE，利用勾股定理计算PO，带入体积公式计算体积．【解答】解：过P作底面ABCD的垂线PO，则O为底面正方形ABCD的中心，过O作OE⊥AB于E，连结PE．则OE==．∵PO⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PO⊥AB，又AB⊥OE，PO⊂平面POE，OE⊂平面POE，PO∩OE=O，∴AB⊥平面POE，∵PE⊂平面POE，∴AB⊥PE．∴正四棱锥的侧面积S侧=4S△PAB=4×=8，解得PE=2．∴PO==1．∴正四棱锥的体积V=S正方形ABCD•PO=（2）2×1=4．故答案为：4．【点评】本题考查了正四棱锥的结构特征，棱锥的体积计算，属于基础题．10．（4分）已知双曲线x2﹣=1（m＞0）的渐近线与圆x2+（y+2）2=1没有公共点，则该双曲线的焦距的取值范围为（2，4）．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得双曲线的渐近线方程，圆的圆心和半径，由直线和圆没有公共点，可得d＞r，解不等式可得m的范围，进而得到所求范围．【解答】解：双曲线x2﹣=1（m＞0）的渐近线为y=±mx，圆x2+（y+2）2=1的圆心为（0，﹣2），半径为1，由直线和圆没有公共点，可得d＞r，即为＞1，解得0＜m＜，双曲线x2﹣=1（m＞0）的焦距为：2c=2∈（2，4）．故答案为：（2，4）．【点评】本题考查双曲线的焦距的范围，注意运用渐近线方程和直线和圆无公共点的条件：d＞r，考查运算能力，属于中档题．11．（4分）已知△ABC外接圆O的半径为2，且，||=||，则= 12．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】运用平面向量的三角形法则，以及外心的特点，可得O为BC的中点，三角形ABC为直角三角形，再由勾股定理和向量的数量积定义，即可求出结果．【解答】解：如图所示，△ABC的外接圆的半径为2，且，∴（﹣）+（﹣）=2，∴+=2+2=，∴O为BC的中点，即AB⊥AC；又||=||，∴△ABO为等边三角形，且边长为2，由勾股定理得，AC==2，则•=||•||•cos∠ACB=2×4×=12．故答案为：12．【点评】本题考查了平面向量的三角形法则和数量积的定义应用问题，也考查了三角形的外心概念与勾股定理的运用，是基础题．12．（4分）（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为，θ∈R，且θ≠．【考点】QK：圆的参数方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心与半径，利用三角函数定义表示出OP，进而表示出x与y，即为圆的参数方程．【解答】解：将圆方程化为（x﹣）2+y2=，可得半径r=，∴OP=2r•cosθ=cosθ，∴x=OP•cosθ=cos2θ，y=OP•sinθ=sinθcosθ，则圆的参数方程为，θ∈R，且θ≠．故答案为：，θ∈R，且θ≠【点评】此题考查了圆的参数方程，涉及的知识有：圆的标准方程，锐角三角函数定义，以及解直角三角形，弄清题意是解本题的关键．13．（4分）已知数列{a n}满足a1=81，a n=（k∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的最大值为127．【考点】82：数列的函数特性．【专题】32：分类讨论；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】数列{a n}满足a1=81，a n=（k∈N*），可得n=2k （k∈N*）时，a2k=﹣1+log3a2k﹣1；n=2k+1时a2k+1=．因此a2k+1==，a2k=﹣1+a2k﹣2．于是数列{a n}的奇数项成等比数列，公比为；偶数项成等差数列，公差为﹣1．分类讨论求和，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=81，a n=（k∈N*），∴n=2k（k∈N*）时，a2k=﹣1+log3a2k﹣1，a2=3；n=2k+1时a2k+1=．∴a2k==，a2k=﹣1+a2k﹣2．+1∴数列{a n}的奇数项成等比数列，公比为；偶数项成等差数列，公差为﹣1．∴S n=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k）=+3k+=﹣+≤126．（k=5时取等号）．S n=S2k﹣1=S2k﹣2+a2k﹣1=﹣++≤127，k=5时取等号．综上可得：数列{a n}的前n项和S n的最大值为127．故答案为：127．【点评】本题考查了数列的递推关系、数列的单调性、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（4分）设关于x的实系数不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，则a2b=9．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．【分析】利用换元法设f（x）=ax+3，g（x）=x2﹣b，根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质进行判断求解即可．【解答】解：∵（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，∴当x=0时，不等式等价为﹣3b≤0，即b≥0，当x→+∞时，x2﹣b＞0，此时ax+3＜0，则a＜0，设f（x）=ax+3，g（x）=x2﹣b，若b=0，则g（x）=x2＞0，函数f（x）=ax+3的零点为x=﹣，则函数f（x）在（0，﹣）上f（x）＞0，此时不满足条件；若a=0，则f（x）=3＞0，而此时x→+∞时，g（x）＞0不满足条件，故b＞0；∵函数f（x）在（0，﹣）上f（x）＞0，则（﹣，+∞））上f（x）＜0，而g（x）在（0，+∞）上的零点为x=，且g（x）在（0，）上g（x）＜0，则（，+∞）上g（x）＞0，∴要使（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，则函数f（x）与g（x）的零点相同，即﹣=，∴a2b=9．故答案为：9．【点评】本题考查了不等式恒成立以及分类讨论思想、转化与化归思想及运算求解能力，解题时应根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质，得到两个函数的零点相同，是较难的题目．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）下列不等式一定成立的是（）A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）C．x2+1≥2|x|（x∈R）D．（x∈R）【考点】72：不等式比较大小．【专题】2A：探究型．【分析】由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D 三个选项代入特殊值排除即可【解答】解：A选项不成立，当x=时，不等式两边相等；B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+≥2；C选项是正确的，这是因为x2+1≥2|x|（x∈R）⇔（|x|﹣1）2≥0；D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立．综上，C选项是正确的．故选：C．【点评】本题考查不等式大小的比较，不等式大小比较是高考中的常考题，类型较多，根据题设选择比较的方法是解题的关键16．（5分）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1【考点】J7：圆的切线方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．【解答】解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．故选：B．【点评】正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》17．（5分）若函数F（x）=f（x）+x2为奇函数，且g（x）=f（x）+2，若f（1）=1，则g（﹣1）的值为（）A．﹣1B．﹣3C．2D．﹣2【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由于函数F（x）=f（x）+x2为奇函数，可得F（﹣x）=﹣F（x）．代入即可得出．【解答】解：∵函数F（x）=f（x）+x2为奇函数，∴F（﹣x）=﹣F（x）．由f（1）=1，则F（1）=2，∴F（﹣1）=﹣2，即f（﹣1）+1=﹣2，∴f（﹣1）=﹣3，∴g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣1故选：A．【点评】本题考查了奇函数的性质，属于基础题．18．（5分）袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，则Eξ等于（）A．4B．4.5C．4.75D．5【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】由题意ξ的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ．【解答】解：∵袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，∴ξ的可能取值为3，4，5，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，∴Eξ==4.5．故选：B．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：=1（其中a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C过点（﹣，1）且与抛物线y2=﹣8x有一个公共的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点且斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，求线段AB 的长度．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；34：方程思想；4P：设而不求法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由抛物线方程求得焦点坐标，进一步得到椭圆左焦点坐标，把（﹣，1）代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b的答案；（2）写出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到A，B的横坐标的和与积，代入弦长公式求得线段AB的长度．【解答】解：（1）抛物线y2=﹣8x的焦点为（﹣2，0），∴椭圆的左焦点为（﹣2，0），c=2，b2=a2﹣4．又，得a4﹣8a2+12=0，解得a2=6（a2=2舍去）．故椭圆C的方程为．（2）直线l的方程为y=x﹣2．联立方程组，消去y并整理得2x2﹣6x+3=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．故x1+x2=3，．则=．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了利用弦长公式求弦长，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．20．（14分）设点E，F分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点．如图，以C为坐标原点，射线CD、CB、CC1分别是x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系（1）求向量与的数量积；（2）若点M，N分别是线段D1E与线段C1F上的点，问是否存在直线MN，MN ⊥平面ABCD？若存在，求点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】M6：空间向量的数量积运算；MA：向量的数量积判断向量的共线与垂直．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5H：空间向量及应用．【分析】（1）在给定空间直角坐标系中，求出，，由此能求出向量与的数量积．（2）若MN⊥平面ABCD，则与平面ABCD的法向量（0，0，1）平行，由此利用向量法能求出点M，N的坐标．【解答】解：（1）在给定空间直角坐标系中，相关点及向量坐标为C1（0，0，2），F（2，2，1），=（2，2，﹣1），...（2分） (4)所以．…（6分）（2）存在唯一直线MN，MN⊥平面ABCD．…（8分）若MN⊥平面ABCD，则与平面ABCD的法向量（0，0，1）平行，所以设…（10分）又因为点M，N分别是线段D1E与线段C1F上的点，所以，即，…（12分）（a﹣2，a，m﹣2）=（﹣λ，2λ，﹣2λ），（a，a，n﹣2）=（2t，2t，﹣t），所以且，解得所以点M，N的坐标分别是，．…（14分）【点评】本题考查向量的数量积的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（14分）如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM、ON的距离分别为2km、km．测得tan∠MON=﹣3，OA=6km．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以18km/小时的平均速度在水上旅游线AB航行（将航线AB看作直线，码头Q在第一象限，航线AB经过Q）．（1）问游轮自码头A沿方向开往码头B共需多少分钟？（2）海中有一处景点P（设点P在xOy平面内，PQ⊥OM，且PQ=6km），游轮无法靠近．求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】（1）由已知得：A（6，0），直线ON的方程为y=﹣3x，求出Q（4，2），得直线AQ的方程，从而求出水上旅游线AB的长，由此能求出游轮在水上旅游线自码头A沿方向开往码头B共航行时间．（2）点P到直线AB的垂直距离最近，则垂足为C，分别求出直线AB的方程和直线PC的方程，联立直线AB和直线PC的方程组，能求出点C的坐标．【解答】解：（1）由已知得：A（6，0），直线ON的方程为y=﹣3x，…1分设Q（x1，2），（x1＞0），由及x1＞0，得x1=4，∴Q（4，2）， (3)分∴直线AQ的方程为y=﹣（x﹣6），即x+y﹣6=0，…5分由，得，即B（﹣3，9），…6分∴AB==9，即水上旅游线AB的长为9km．游轮在水上旅游线自码头A沿方向开往码头B共航行30分钟时间．…8分（2）点P到直线AB的垂直距离最近，则垂足为C．…10分由（1）知直线AB的方程为x+y﹣6=0，P（4，8），则直线PC的方程为x﹣y+4=0，…12分联立直线AB和直线PC的方程组，得点C的坐标为C（1，5）．…14分【点评】本题考查直线与圆的位置关系在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、直线方程的合理运用．22．（16分）已知函数y=f（x），若在区间I内有且只有一个实数c（c∈I），使得f（c）=0成立，则称函数y=f（x）在区间I内具有唯一零点．（1）判断函数f（x）=在区间（0，+∞）内是否具有唯一零点，并说明理由；（2）已知向量=（，），=（sin2x，cos2x），x∈（0，π），证明f（x）=+1在区间（0，π）内具有唯一零点；（3）若函数f（x）=x2+2mx+2m在区间（﹣2，2）内具有唯一零点，求实数m 的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；5B：分段函数的应用．【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）利用分段函数，分类讨论函数的单调性，从而得出结论．（2）两个向量的数量积共公式以及三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的性质得出结论．（3）利用二次函数的性质，分类讨论，求得m的范围．【解答】解：（1）函数在区间（0，+∞）内具有唯一零点．理由：当x=1时，有f（1）=0，且当0＜x＜1时，有f（x）=x2﹣1＜0；当x＞1时，f（x）=log2x是增函数，有f（x）=log2x＞log21=0．（2）因为，所以，f（x）=0的解集为．因为I=（0，π），∴，所以在区间（0，π）内有且只有一个实数，使得成立，因此在开区间（0，π）内具有唯一零点．（3）函数f（x）=x2+2mx+2m在开区间（﹣2，2）内具有唯一零点，该二次函数的对称轴为x=﹣m．以下分﹣m与区间（﹣2，2）的位置关系进行讨论．①当﹣m≤﹣2即m≥2时，f（x）=x2+2mx+2m在开区间（﹣2，2）是增函数，只需，解得m＞2．②当﹣2＜﹣m＜2即﹣2＜m＜2时，若使函数在开区间（﹣2，2）内具有唯一零点，2m﹣m2＜0，所以m＜0．再分三种情形讨论：当m=0时，符合题意；当0＜m＜2时，空集；当﹣2＜m ＜0时，只需解得．③当﹣m≥2即m≤﹣2时，f（x）=x2+2mx+2m在区间（﹣2，2）是减函数，只需，解得m≤﹣2．综上讨论，实数m的取值范围是或m=0或m＞2．【点评】本题主要考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，两个向量的数量积共公式以及三角恒等变换，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．23．（18分）已知数列{a n}满足a n=3a n﹣1+3n（n≥2，n∈N*），首项a1=3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）数列{b n}满足b n=log3，记数列{}的前n项和为T n，A是△ABC 的内角，若sinAcosA＞对于任意n∈N*恒成立，求角A的取值范围．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）通过在两边同时除以3n，进而可知数列是首项为、公差为1的等差数列，计算即得结论；（2）通过（1），利用错位相减法计算即得结论；（3）通过（1）计算可知，进而利用错位相减法计算可知T n=1﹣，利用T n＜1及二倍角公式化简可知，结合A∈（0，π）计算即得结论．【解答】解：（1）数列{a n}满足（n≥2，n∈N*），∴，又∵3n≠0，∴为常数，∴数列是首项为、公差为1的等差数列，∴=n，∴（n∈N*）；（2）由（1）可知，，两式错位相减，得：﹣2S n=3+32+33+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1=﹣﹣•3n+1，∴S n=+•3n+1；（3）由（1）可知，∵数列{b n}满足，∴，∴=，∴=，又∵恒成立，且对于任意n∈N*，T n＜1成立，∴，即，又A∈（0，π），即2A∈（0，2π），∴，即．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法、裂项相消法，涉及三角函数等基础知识，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．。

2016届静安区高三一模数学理

上海市静安区2012届高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题2 2若关于x 的一元二次方程 x -2x lg(2a -a) -0两根异号，则实数 a 的取值范围已知等差数列：a n '的前10项之和为30,前20项之和为100,则a 3 ■ a28 =21 11. 已知〉为锐角，：为钝角，si n , cos ,则co 2(，--)的值39为 _____________ .(本试卷满分150分考试时间120分钟)2012.1考生注意:1. 本试卷包括试题纸和答题纸两部分.2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 可使用符合规定的计算器答题. 、填空题(本大题满分 56 接填写结果，每个空格填对得 3. 1 .设i 为虚数单位，若复数分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直 4分，否则一律得零分.(1 i)2— ( b R )的实部与虚部相等，则实数 b 的值1 +i2. 3. 函数f(x) =__________sin x _ cosx -1121 若二项式(x 2 )9的展开式中，x 9的系数为，则常数a 的值为ax2的定义域为 4.5.若a c0，则关于x 的不等式组』 ax 「a :: 0,2x6.有8本互不相同的书，其中数学书放在书架上，则数学书恰好排在一起, 果用数值表示) 的解集为 _______ .:::03本，文学书2本•若将这些书排成一列种.(结-ax -2a3本，7. 函数f(x)=O x e 1 —e-x e xe在闭区间[-丄丄]上的最小值为 2 28. 已知向量a 、b 的夹角为150 , a =1 ,9. 已知圆锥侧面积为2 - cnf ,高为3 cm 则该圆锥底面周长为cm. 10.12. 从5名男生和5名女生中选取4人参加比赛，要求男女生都有，那么两女生小张和小李同时被选中的概率为_____________ .:a ' b 时，已知函数 f (x)二 min \2 2tx t^ 1, x^ 4x 3$当a ■ b 时14.已知函数f (x) =|x 十1 +|x-1 + x-a 的图像关于垂直于 x 轴的直线对称，则 a 的取值集合是 _____________ .二、选择题(本大题满分 16分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案•考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.15. 下歹U 命题正确的是 ..................................................... ( )(B) 若数列｛4｝、｛b n ｝的极限都不存在，则｛a n b n ｝的极限也不存在 (C) 若数列｛aJ 、｛a n b n ｝的极限都存在，则｛b n ｝的极限也存在(D)设S^ =a 1 a 2 JH a n ，若数列｛aj 的极限存在，则数列｛&｝的极限也存在16.若A 、B 为锐角△ ABC 的两内角，则点 P(si n B - cos A, cosB - si nA)是…()(A)第一象限的点(B)第二象限的点(C)第三象限的点(D)第四象限的点17. 若 a 、b 、c 都是复数，则“a 2b 2c 2 ”是“ a 2 b^c 20 ” 的 ..... ()(A)充要条件(B)既非充分条件又非必要条件 (C)充分而非必要条件 (D)必要而非充分条件18.若cos 2 ............................................................................._仏必，贝y x , y满足的条件是 ()4xy(B)x = y 且 x = 0 或 x 二-y 且 x=0三、解答题(本大题满分 78分)本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 •19. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分•a 13.记砒，b —bl是偶函数(t 为实常数) ，则函数y = f (x)的零点为 _____________ .(写出所有零点)(A )lim a n =An-b ^B 则帆b’Aem N )(C) x = y 且 x = 0, y = 0(D) x = y 且 x ：：(1)已知a、b为正实数, y 0.试比较笛.丈与亘应x y x + y 的大小,并指出两式相等的条件;2 9 1(2)求函数f (x) , x三(0, —)的最小值.9分，第2小题满分6分.x 1 — 2x 220. （本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分如图，在四棱锥P _ABCD的底面梯形ABCD中，AD // BC，AB _ BC，AB = 1，AD = 3，MADC =45°.又已知PA _ 平面ABCD，PA = 1. 求：（1 ）异面直线PD与AC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）某市地铁连同站台等附属设施全部建成后，平均每1公里需投资人民币1亿元.全部投（2）四棱锥P — ABCD的体积；21. （本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分.资都从银行贷款.从投入营运那一年开始，地铁公司每年需归还银行相同数额的贷款本金0.05亿元.这笔贷款本金先用地铁营运收入支付，不足部分由市政府从公用经费中补足.地铁投入营运后，平均每公里年营运收入（扣除日常管理费等支出后）第一年为0.0124亿元，以后每年增长20%,到第20年后不再增长.求:（1）地铁营运几年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金？（2）截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府已累计为1公里地铁支付多少元费用？（精确到元，1亿=1 108）22. (本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分•已知a . 0且a = 1，数列是首项与公比均为a的等比数列，数列〈bj满足b n 二a n lg a n( nN*).(1)求数列■u 的前n项和S n ；(2)如果对于n • N *，总有b n : b n1，求a的取值范围•23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3 小题满分8分.已知函数f(x) = x2 ax ^a , a R.(1 )求a的取值范围，使y二f (x)在闭区间［-1,3］上是单调函数；(2)当0乞x空2时，函数y二f (x)的最小值是关于a的函数m(a).求m(a)的最大值及其相应的a值；(3)对于a R，研究函数y二f (x)的图像与函数y = x2-2X-3的图像公共点的个数、坐标，并写出你的研究结论.参考答案• 2 :1 1 4. (-一,0) _. ( ,1) ；5. (a, -a) ；6. 8642 227. 1 -e ；8. 1 ;9. 2二239110. 14； 11.；12.-729 813. x = 3, _1 ； 14•匚3,0,3/15——18C D C B19. (1)作差比较：兰 E_(a b)2=(ay -bx)2 _o. ........................................................... 4 分x y x + y xy(x + y)，化简并变形得 y = ----------------- 25 一；一2—2t 』13 5 t -2t —18 乞—2 . 2 18 二-12t9当且仅当t =3, (2,)时等号成立， 2 9 1818减，t = 2 或一时，—2t — — - -13 ,所以 0 ：：： -2t ~■ — 1^-1 , y =2 t t71. b = _2 ；2.』xx w R,x^2k 江+》，x 式 2kx +Ji ,k w Z 》；3 . 2 ；所以,兰匚4. ......................................................................................x y x y 当ay =bx 时，两式相等(2)解法1：22十丄=兰十丄色(2+3) =25. .......................x 1 -2x 2x 1 -2x 2x 1 - 2x1 当 2(1 - 2x) =3 2x ，即 x =丄时, 52： 2 丄二 2 5x 2 x 1 -2x -2x x 解法 1(0,1)，函数取得最大值 25.52 9 令 2 5x=t ，则 t (2,9),2二 f(x)，则 yg 2 J-2)2 2518 918 且r (2,3)时- 2t 递增，r (3,)时- 2t 递 t2 t —25, -2—113t因为1当t =3即2 * 5x =3,x 时取得最大值25.520. (1)连接AC ，过点C 作CF 〃AB交AD 于点F ,因为.ADC =45°,BC =AF =2 ,解法1 :CE =AD DEPE二.27= 3.3,PD = . 10 .5 分c ■ F0所以，异面直线 PD 与AC 所成角的3(2大小为arccos —:—5解法2:建立如图所示的空间直角坐标系则 A(0,0,0),D(0,3,0),P(0,0,1),C(1,2,0). 所以 AC =(1,2,0)，PD=(0,3,-1)，设异面直线PD 与AC 所成角的大小为二，AC ■PDAC PD所以异面直线PD 与AC 所成角的大小为3 2arccos —55(2)底面梯形面积为 5.四棱锥的体积为2所以，四棱锥 P - ABCD 的体积为 1-底面积高,3 1 5 51 ...... ...........3 2621. (1)地铁营运第n 年的收入a n-0.0124 (1 0.2)n ',门.N *根据题意有：0.0124 (1 0.2)n "*0.05,延长BC 至E ,使得-3 ,贝U AC // DE 且FD =1, 从而解得n _9年. (或者0.0124 (10.2)n 」乞0.05，解得门;： IQ 年)答：地铁营运9年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金 . ......... 6分(2)市政府各年为1公里地铁支付费用第 1 年：0.05 -0.0124 ；第 2 年：0.05 -0.0124 1.2 ;第 n 年：0.05 -0.0124 1.2nJ . ...................................................................... 2 分n 年累计为：0.05n-[0.0124 0.0124 1.2 0.0124 1.2^0.0124 1.2n 」], ...... 4 分将 n =8代入得，0.05 8 一0.0124 (1一1.2)=0.1954113485 亿 ... ........ 8分1-1.2答：截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府累计为一公里地铁共支付19541135元费用. .................................................. 9分 22. (1 )由已知有 a n =a n , b n 二 a n lga n 二 na n lga .2 分所以 S n 二[a 2a 2 3a 3 亠亠(n 「1)a n ‘ na n ] Ig a ,aS n =[a 2 +2a 3 + …+ (n _ 1)a n + na n41] Ig a , 5 分所以(1 _a)S n =(a a 2 a 3 亠-a n4 a n_ na n 1) Ig a ,(2) b n ：： b n 1 即 na n Iga :: (n 1)a n 11g a .由 a 0且 a = 1 得 n Ig a ：： (n 1)aIg a .2 分0 ：： a ：： 1 a 1 即｛ n 或^ n 对任意n EN *成立， ........................................... 5分a < ------ a > ----------- I n +1 L n+1而 lim n 1，且 1 —-，所以 0 ：： a ：：： 1 或 a 1 .............. 8 分 n — ‘'n 1 n 12 2因为a "，所以S na(1-a n)(1 -a)2 n ■+ na Iga - 1 -a Iga .ig a c 0 (n 十1)a _n c0Iga 0 (n 1)a -n 023. (1)函数f(x) =x2 ax a图像的对称轴为x - - ^ .因为f (x)在闭区间［一1,3］上是单调函数，所以一旦乞一1或一a _3.2 2故a _-6 或a _2.(2)当a _0时，m(a)二f(0) =3_a ；a 1 o当一4 _ a ：：： 0 时，m(a) = f( ) a -a 3 ；2 4当a -4 时，m(a)二f (2) = a 7 . ........................................................................ 2 分a +7, a v -41 2所以，m(a) a -a 3, -4< a . 0I 4\3 - a, a — 0分段讨论并比较大小得，当 a 2时，m(a)有最大值4. .......................................... 6分(3 )公共点的横坐标x满足x2+ax+3 — a = x2—2x — 3 .即x是方程2 2a(x -1) = x —2x—3—x -3 的实数解.2 2设h(x)=x —2x—3—x -3，则直线y=a(x—1)与y = h(x)有公共点时的横坐标与上述问题等价.当x 兰一1 或x^3 时，h(x) = x—2x—3 — x? —3 = —2x — 6 ；a—6解方程-2x -6 =a(x -1)即(a • 2)x 二a -6，得x 二^6, a = -2 ；……1 分a +2 当一1 兰x 兰3时，h(x) =|x2—2x—3‘一x2—3 = —2x2+2x.解方程-2x2• 2x 二a(x -1)即2x2 (a -2)x -a=0，得x二-旦或x = 1；.............. 2分2研究结论及评分示例：(满分6分)结论1：无论a取何实数值，点(1,4)必为两函数图像的公共点. ......................................... 1分结论2：(对某些具体的a取值进行研究)当a = 一2时，两图像有一个公共点（1,4）；当a = -6时，公共点有2个，坐标为（1,4）、（3,0）；当a =2时，公共点有2个，坐标为（1,4）、（一1,0）.（对每一个具体的a取值，结论正确给1分，总分值不超过2 分）结论3：当-2 ：：：a ：：：2,-6 ::: a ：：： -2 时，公共点有3 个，坐标为（1,4）、a —6 (齐a2 -17a 42).（a 2）2结论4:叙述完整，结论正确，给满分•具体包括下面几个方面:=-6时，公共点有2个，坐标为（1,4）、（3,0）；=2时，公共点有2个，坐标为（1,4）、（-1,0）.2,a - -2ora ：： -6时，公共点有1个，坐标为（1,4）.一2 ：：： a ：：： 2,-6 ：：： a ：：： -2 时，公共点有3个，坐标为（1,4）、（一：,亍+ a—3）、2a-6 a -17a+42、a 2,(a2)2。

静安一模高三数学解析1-16

静安区高三一模数学小题解析1.计算()lim 10.9n n →∞-=_________.【考点】数列的极限【解析】因为0.9n 的极限为0，所以答案为12.在单位圆中，60︒的圆心角所对的弧长为_________.【考点】扇形的弧长【解析】3l r πα=⋅=3.若直线1l 和2l 的倾斜角分别为32︒和152︒，则1l 与2l 的夹角为_________.【考点】直线的夹角【解析】两直线的夹角范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以答案是3π4.若直线l 的一个法向量为()2,1n =r ，则直线l 的斜率k =_________.【考点】直线的法向量与斜率【解析】直线的法向量与斜率的关系是2a k b=-=-5.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每个细胞分裂为两个细胞，则7小时后，1个此种细胞将分裂为_________个.【考点】等比数列【解析】构造数列2n n a =，所以772128a ==6.设ABC ∆是等腰直角三角形，斜边2AB =，现将ABC ∆（及其内部）绕斜边AB 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_________.【考点】圆锥的体积【解析】旋转得的是两个底面积一样高一样的圆锥，212233V r h ππ=⋅=7.如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =.则→→⋅BD AC 的值为_________.【考点】向量的运算【解析】3))((22-=-=-+=⋅→→→→→→→→BD AB BD AB BD AB BD AC 8.三倍角的正切公式为tan3α=_________.【考点】三角恒等式【解析】()222tan tan tan 2tan 1tan tan 3tan 22tan 1tan 2tan 1tan 1tan ααααααααααααα++-=+==--⋅-323tan tan 33tan tan tan tan 13tan 3313tan 13tan ααππααααααα-⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭9.设集合A 共有6个元素，用这全部6个元素组成不同的矩阵的个数为_________.【考点】排列组合【解析】矩阵可以使16⨯、23⨯、32⨯和61⨯，所以共有6642880P =10、现将函数sec ,(0,)y x x π=∈的反函数定义为反正割函数，记为：sec y arc x =。