静安区2016年高三数学理科一模试卷(含答案)

静安区2015学年高三年级第一学期期末教学质量检测

理科数学试卷

（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2016.1

考生注意：

本试卷共有23道题，答题前，请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚．

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内

直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1.已知抛物线2y ax =的准线方程是1

4

y =-

，则a = . 2.在等差数列{}n a （n N *∈ ）中 ，已知公差2d =，20072007a =，

则2016a = . 3. 设cos x α=,且3[,

]44ππ

α∈-

，则arcsin x 的取值范围是 .

4. 已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 cm 3.

5.方程3(1)(1)log (98)log (1)3x x x x x +--+⋅+=的解为 .

6.直线20x y --=关于直线220x y -+=对称的直线方程是 .

7.已知复数z 满足28z z i +=+,其中i 为虚数单位,则z = .

8. 8

()x y z ++的展开式中项3

4

x yz 的系数等于 .(用数值作答)

9.在产品检验时，常采用抽样检查的方法.现在从100件产品(已知其中有3件不合格品)中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有 种. (用数值作答) 10.经过直线230x y -+=与圆222410x y x y ++-+=的两个交点，且面积最小的圆的方

程是 .

11.在平面直角坐标系xOy 中，坐标原点(0,0)O 、点(1,2)P ，将向量绕点O 按逆时

针方向旋转

56

π

后得向量，则点Q 的横坐标是 .

12.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，若△ABC 的面积

2222S a b c bc =--+，则sin A = . (用数值作答)

13. 已知各项皆为正数的等比数列{}n a （n N *∈ ），满足7652a a a =+，若存在两项m a 、

n a

14a =，则

14

m n

+的最小值为 . 14. 在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位, 沿y 轴正方向平

移5个单位,得到直线1l .再将直线1l 沿x 轴正方向平移1个单位, 沿y 轴负方向平移2个单位,又与直线l 重合.若直线l 与直线1l 关于点(2,3)对称,则直线l 的方程是 . 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15.组合数(1,,)r

n C n r n r N >≥∈恒等于( )

A.

1111r n r C n --++ B. 1111r n n C r --++ C. 11r n r C n -- D. 1

1

r n n C r

--16.函数21

3(10)x y x -=-≤<的反函数是 ( )

A

．1

)3

y x =≥

B

．11)3

y x =<≤ C ．1(1)3y x =<≤

D

．1)3

y x =≥

17.已知数列{}n a

的通项公式为,

4(*),4

n n n a n N n n -≤⎧⎪=∈>，

则l i m n n a →+∞

=( ) A ．2- B ．0 C ．2 D ．不存在

18.下列四个命题中，真命题是 ( )

A ．和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线;

B ．和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线;

C ．和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线;

D ．若a 、b 是异面直线, b 、c 是异面直线,则a 、c 是异面直线.

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD 中，E 为AB 的中点. 求：

(1)异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值； (2)点A 到平面1A EC 的距离.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分.

李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”. 某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.

(1)问到2015年年底(按照12个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款？

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 设P 1和P 2是双曲线22

221x y a b

-=上的两点，线段P 1P 2的中点为M ，直线P 1P 2不经过

坐标原点O .

(1)若直线P 1P 2和直线OM 的斜率都存在且分别为k 1和k 2，求证:k 1k 2=22

a

b ；

(2)

若双曲线的焦点分别为1(F

、2F ，点P 1的坐标为(2，1) ，直线

OM 的斜率为

3

2

，求由四点P 1、 F 1、P 2、F 2所围成四边形P 1 F 1P 2F 2的面积.

22．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，

且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记1n n n P AP θ+∠=，n N *∈．

(1)若31

arctan 3

θ=，求点A 的坐标；

(2)若点A

的坐标为(0，求n θ的最大值及相应n 的值．

23．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知定义在实数集R 上的偶函数()x f 和奇函数()x g 满足()()12x f x g x ++=. (1)求()f x 与()g x 的解析式；

(2)若定义在实数集R 上的以2为最小正周期的周期函数()x ϕ，当11x -≤≤时，()()x f x ϕ=，试求()x ϕ在闭区间[2015,2016]上的表达式，并证明()x ϕ在闭区间[2015,2016]上单调递减；

(3)设22()21h x x mx m m =++-+（其中m 为常数），若2(())1h g x m m ≥--对于[1,2]x ∈恒成立，求m 的取值范围.