磁悬浮小球哈工大控制

研究生自动控制专业实验

地点：A区主楼518房间

姓名：史帅刚实验日期：2015 年 3 月28 日斑号：14S0421 学号：14S104009 机组编号：同组人：张海东朱宁高依然李俊伟成绩教师签字：

磁悬浮小球系统

实验报告

主编：钱玉恒，杨亚非

哈工大航天学院控制科学实验室

磁悬浮小球控制系统实验报告

一、实验内容

1、熟悉磁悬浮球控制系统的结构和原理；

2、了解磁悬浮物理模型建模与控制器设计；

3、掌握根轨迹控制实验设计与仿真；

4、掌握频率响应控制实验与仿真；

5、掌握PID控制器设计实验与仿真；

6、实验PID控制器的实物系统调试；

二、实验设备

1、磁悬浮球控制系统一套

磁悬浮球控制系统包括磁悬浮小球控制器、磁悬浮小球实验装置等组成。在控制器的前部设有操作面板，操作面板上有起动/停止开关，控制器的后部有电源开关。

2、磁悬浮球控制系统计算机部分

磁悬浮球控制系统计算机部分主要有计算机、1711控制卡等；

三、实验步骤

1、系统实验的线路连接

磁悬浮小球控制器与计算机、磁悬浮小球实验装置全部采用标准线连接，电源部分有标准电源线，考虑实验设备的使用便利，在试验前，实验装置的线路已经连接完毕。

2、启动实验装置

通电之前，请详细检察电源等连线是否正确，确认无误后，可接通控制器电源，随后起动计算机和控制器，在编程和仿真情况下，不要启动控制器。

3、系统实验的参数调试

根据仿真的数据及控制规则进行参数调试（根轨迹、频率、PID 等），直到获得较理想参数为止。

四、实验要求

1、学生上机前要求

学生在实际上机调试之前，必须用自己的计算机，对系统的仿真全部做完，并且经过老师的检查许可后，才能申请上机调试。

学生必须交实验报告后才能上机调试。 2、学生上机要求

上机的同学要按照要求进行实验，不得有违反操作规程的现象，严格遵守实验室的有关规定。

五、系统建模思考题

1、系统模型线性化处理是否合理，写出推理过程？ 解：小球电磁的吸引力：

20f

2AN K i F(i,x )(

)4

x

μ=-

（1）

记：20f

AN K K 4

μ=-

，则

2x

i

K x i F )(),(=

（2）

对)x ,i (F 泰勒展开：

)

x -)(x x ,(i F )i -)(i x ,(i F )x ,F(i x)F(i,000x 000i 00++= （3）

其中，

00020i 00i i x x 2Ki x F(i,x)F(i ,x )i δδ===

=|,，002

030

x 00i i x x 2Ki x F(i,x)F (i ,x )x δδ===-=|, 由小球的动力学方程：

22

d x(t)

m F(i,x )mg dt =+

（4）

其中，00F i x mg 0+=(,)，所以可得下面式子

220000000022300

2Ki 2Ki d x

m (i ,x )(i-i )(i ,x )(x-x )=i x dt x x i x F F =+-（5） 根据拉普拉斯变换，

)()()(s x mx 2Ki s i mx 2Ki s s x 3

2

2002

-= （6）

将)20

2

0x i

K(mg -=带入并变换可得，

2

00

x(s)-1

=i(s)a s -b （7）

其中00000

i i a =, b =2g

x

以传感器处理电路输出电压为out U (s)，以功放控制电压为in U (s)，

out s s a 2in a 00

U (s)K x(s)-(K /K )G(s)=

==U (s)K i(s)a s -b

（8）

取系统状态变量分别为1out 2out x =u ,x =u ，则

?11in s ?2200

a 0 1 0x

x =+u 2g 2g?K 0-x x x i ?K ???????? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??????? （9）

将实际参数带入可得，

in 2121U 124990x x 0098010

x x ???? ??+???? ?????? ??=????

?

????..

（9）

另外，传函为：5250

300.0311s 77.8421

s G 2

0.)(-=

（10）

六、根轨迹试验思考题

1、根据系统模型，采用根轨迹法设计一个控制器？分别比较超前校正和迟后超前校正的特点，用仿真结果进行说明。 解：系统的传函为：

5250

300.0311s 77.8421

s G 20.)(-=

若校正后指标为：0.2(2%),10%,0.02s p ss t s e σ=≤=

100%

4

p s n

t σζω=?=

由此解得，0.6,33.83n ζω== 希望闭环主导极点为：

2027A j =-±

（1）超前校正：1

111c c c s K s G K Ts s T

ττα

++==++

注：超前校正能改善系统动态性能，但是不能达到稳态误差的指标要求。 ○1取1

15T

-=-

(2027)[(202715)(202731.3) (202731.3)]180

j x j j j ?

∠-+--∠-+++∠-+++∠-+-=-

（11）

解上式，得12.2x =，根轨迹如下：

Root Locus

Real Axis (seconds -1)

I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1)

-200

-150-100-50050100150200

图1

此时，有一条根轨迹一直在右半平面，即系统有一个不稳定的极点。显然，这是不满足要求的。 ○

2取1

25T

-=-，带入（11）式，解得 5.2x =-，校正后的系统传函：

020.5993( 5.2)77.8421

G (s)(25)0.0311s 30.5250

s s +=

+-

其根轨迹如下（图2）：

分析：当根轨迹位于2027A j =-±处时，根轨迹系数1500k =，此时还有第三个极点15.1，由于它大于零，所以系统会不稳定的，这个方案也不行。

Root Locus

Real Axis (seconds -1)

I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1)

图2

○3取1

45T -=-，带入（11）式，解得21.56x =-，校正后的系统传

函：

020.9229(21.56)77.8421

G (s)(45)0.0311s 30.5250

s s +=

+-

根轨迹如下（图3）：

分析：当根轨迹位于2027A j =-±处时，根轨迹系数2310k =（系统开环增益 1.123K =），此时第三个极点为-6.16，稳定。下面对这一校正方案进行simulink 仿真。

Root Locus

Real Axis (seconds -1)

I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1)

-50

-40-30-20-10010203040

-150-100

-50

50

100

150

System: G

Gain: 1

P ole: -20 + 27i Damping: 0.595Overshoot (%): 9.8Frequency (rad/s): 33.6System: G Gain: 1.03P ole: -6.16Damping: 1

Overshoot (%): 0

Frequency (rad/s): 6.16

图3

Simulink 仿真框图如下（图4）

图4

仿真输出：

图5

图6

注：图5是系统输出，图6是系统偏差信号（本例中也是误差信号）

（2）迟后校正

迟后校正在超前校正的基础上进行，目的是变动系统开环增益K 。为了不引起希望闭环极点的变化，这里取

1c

K α

=，即： 1

1

1111c c c s s K s G K Ts s s T T

τττα

+++===+++

（12） 由于超前校正之后，系统开环增益 1.123K =，欲使系统稳态误差

0.02ss e =，则迟后校正中1

50

44.5241 1.123c T K T

τατ=====

校正后传函为：

021

0.9229(21.56)77.8421

G (s)1

(45)0.0311s 30.5250

s s s s T τ

++=

+-+

○

1取1

2τ

=，求得

1

0.0449T

=。根轨迹，simulink 仿真如图：

Real Axis (seconds-1)

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

(

s

e

c

o

n

d

s

-

1

)

-150

-100

-50

50

100

150

System: G

Gain: 1

P ole: -19.2 + 24.7i

Damping: 0.615

Overshoot (%): 8.64

Frequency (rad/s): 31.3

System: G

Gain: 1

P ole: -3.36 + 9.41i

Damping: 0.337

Overshoot (%): 32.5

Frequency (rad/s): 9.99

分析：迟后校正后，系统的稳态误差达到了要求，但是动态性能却受到很大的影响：极点：19.7

26.5A j =-±和 2.76 3.84A j =-±；超调450%，调整时间2秒。这种影响是由于迟后校正引入的开环偶极子造成的，下面为减少影响，将开环偶极子向原点附近靠拢。 ○

2取1

8τ=，求得

1

0.18T

=。根轨迹，simulink 仿真如图：

Root Locus

Real Axis (seconds -1)

I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1)

-100-80

-60-40-20020406080

100System: G

Gain: 1

P ole: -21.8 + 16.4i Damping: 0.798

Overshoot (%): 1.56

Frequency (rad/s): 27.3

System: G Gain: 1.02

P ole: -1.21 + 23.4i Damping: 0.0518Overshoot (%): 85

Frequency (rad/s): 23.4

从根轨迹图中可知，极点为：21.816.4A j =-±（阻尼系数0.8，超调不足2%，调整时间0.19，但它已经不是希望主导极点

2027A j =-±了）和12.123.4A j =-±（阻尼系数0.05，超调85%，调整时间0.33）。

从simulink 仿真图中可知，超调300%，这显然比两组极点的任何一组都大；调整时间7秒（5%），这也比两组极点的任何一组都大。此图说明，系统中已经没有主导极点了，是两组根共同作用的结果。 ○3取1

0.5τ

=，求得

1

0.0112T

=。根轨迹，simulink 仿真如图：

-50

-40-30-20-10010203040

-150-100

-50

50

100

150

System: G Gain: 1

P ole: -19.7 + 26.5i Damping: 0.597

Overshoot (%): 9.64Frequency (rad/s): 33.1

System: G Gain: 1

P ole: -2.76 + 3.84i Damping: 0.584

Overshoot (%): 10.4Frequency (rad/s): 4.73

Root Locus

Real Axis (seconds -1)

I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1)

极点：2027A j =-±和 2.76 3.84A j =-±；超调450%，调整时间2秒。

综述：3组校正中，第一组的效果最好。

1.根轨迹超前校正，从功能上看，超前校正可以改善动态性能（提

高阻尼比——降低超调；调整极点与虚轴的距离——降低调整时间）；从效果上看，基本达到了要求。

但是，超前校正后，如果仅考虑主导极点，理论上是一个欠阻尼，而实际情况是一个过阻尼，这是由于另外一个极点的影响。所以，实际系统中，最终的效果是所有极点效果的综合，会是什么样的响应，只根据各个极点数值的大小很难做出判断（或许这需要经验）。

2.根轨迹超前-迟后校正，从功能上看，超前-迟后校正既可以改善动态性能（超前），又可以改善稳态误差（迟后）。从结果上看，稳态误差完全可以达到理论值，但是动态性能却达不到。

原因是，迟后校正引入了一对开环偶极子，这使得系统多了一对位于原点附近的闭环极点，最终的响应，是由它们和希望主导极点共同影响的。

另，若在超前校正前，对希望主导极点留有一定的裕量，效果如下： ○

12527A j =-±（满足参数的临界主导极点是：2027A j =-±）

Root Locus

Real Axis (seconds

-1)

I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1)

-50

-40-30-20-10010203040

-200-150-100-50050100150200System: G Gain: 1

P ole: -24.7 + 25.6i Damping: 0.693

Overshoot (%): 4.87Frequency (rad/s): 35.6

System: G Gain: 1

P ole: 2.1 - 7.31i Damping: -0.277Overshoot (%): 247Frequency (rad/s): 7.6

极点：24.725.6A j =-±和极点： 2.17.31A j =±； 动态性能：超调260%，调整时间2秒（5%）。

○

22830A j =-±（46.97°；满足参数的临界主导极点是：

2027A j =-±，它是53.47°）

若：z=[-12.48];

p=[-31.3,-45 ,31.3]; k=2043;

Root Locus

Real Axis (seconds -1)

I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1)

分析：本例问题在于——超前校正中零点小，所以使第三个极点落在了正半轴。

若：z=[-29.625 -2];

p=[-31.3,-80,-0.061,31.3]; k=4034;

Root Locus

Real Axis (seconds -1)

I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1)

-100

-80-60-40-2002040

-80-60-40-20020406080System: G Gain: 1

P ole: -25.9 + 27.9i Damping: 0.68

Overshoot (%): 5.44Frequency (rad/s): 38.1

System: G Gain: 1P ole: -7.94Damping: 1

Overshoot (%): 0

Frequency (rad/s): 7.94

System: G Gain: 1P ole: -20.9Damping: 1

Overshoot (%): 0

Frequency (rad/s): 20.9

○

32825A j =-±（41.76°；比上一个动态性能更好）

若：

z=[-16.13];

p=[-31.3,-45 ,31.3]; k=1773;

Root Locus

Real Axis (seconds -1)

I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1)

-50

-40-30-20-10010203040

若：z=[-24.664];p=[-31.3,-60 ,31.3];k=2622;

Root Locus

Real Axis (seconds -1)

I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1)

-150-100

-50

50

100

150

加上迟后校正可得：

Root Locus

Real Axis (seconds-1)

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

(

s

e

c

o

n

d

s

-

1

)

-150

-100

-50

50

100

150

System: G

Gain: 1

P ole: -27.8 + 23.1i

Damping: 0.769

Overshoot (%): 2.29

Frequency (rad/s): 36.1

System: G

Gain: 1

P ole: -2.22 + 9.59i

Damping: 0.226

Overshoot (%): 48.3

Frequency (rad/s): 9.84

若

z=[-30.06 -2];p=[-31.3,-80,-0.057,31.3];k=3723;

Root Locus

Real Axis (seconds-1)

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

(

s

e

c

o

n

d

s

-

1

)

-80

-60

-40

-20

20

40

60

80

System: G

Gain: 1

P ole: -26.1 + 20.3i

Damping: 0.79

Overshoot (%): 1.75

Frequency (rad/s): 33.1

System: G

Gain: 1

P ole: -13.9 + 2.35i

Damping: 0.986

Overshoot (%): 0

Frequency (rad/s): 14.1调整时间0.56秒；超调量210%