数学人教版七年级下册新定义问题

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部编数学七年级下册专题21人教七下册精选新定义题型(解析版)含答案

专题21 人教七下精选新定义题型（解析版）类型一实数中的新定义题型1．（2022秋•辉县市校级月考）对于任意两个实数a ，b 定义两种运算：aΔb =a(a ≥b)b(a ＜b)，a∇b =b(a ≥b)a(a ＜b)，并且定义运算顺序任然是先做括号内的，例如（﹣2）Δ3＝3，（﹣2）∇3＝2，[（﹣2）Δ3]∇2＝2，那么A B ．3C ．6D 思路引领：直接利用已知运算规律分别化简，进而得出答案．解：原式＝2Δ3＝3．故选：B ．总结提升：此题主要考查了实数的运算，正确理解题意是解题关键．2．（2022•台山市校级一模）定义：求乘方运算中的指数运算叫做对数，如果N ＝a x ，则log a N ＝x ．例如log 28＝3，那么log 3127× ．思路引领：根据已知新定义计算即可确定出结果；解：∵log 3127=log 33﹣3＝﹣3，=3＝3，∴log 3127×−3×3＝﹣9．故答案为：﹣9．总结提升：本题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．3．（2022•南京模拟）新定义一种运算@，其运算法则是x @y =2@（6@8）＝．思路引领：先根据新定义求出6@8＝7，然后计算2@7即可得到答案．解：由题意得：6@87，∴2@(6@8)=2@7=总结提升：本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．4．（2022秋•永兴县期末）定义[x ]为不大于x 的最大整数，如[2]＝2，=1，[4.1]＝4，则满足=5，则n 的最大整数为．思路引领：由题意得：5≤6，然后利用平方运算，进行计算即可解答．解：由题意得：∵56，∴25≤n＜36，∴n的最大整数为35．故答案为：35．总结提升：本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键．5．（2022秋•隆回县期末）对于正实数a，b作新定义：a⊙b＝25⊙x2＝4，则x的值为．思路引领：直接利用已知得出关于x的方程，进而得出答案．解：由题意可得：=4，则10﹣|x|＝4，解得：x＝±6．故答案为：±6．总结提升：此题主要考查了实数运算，正确理解题意是解题关键．6．（2022秋•朝阳区校级期末）用⊗定义一种新运算：对于任意实数a和b，规定a⊗b＝a2﹣ab+1．（1（2⊗⊗= ．思路引领：（1）利用新运算的规定列式计算即可；（2）利用新运算的规定列式计算即可．解：（1）∵a⊗b＝a2﹣ab+1，∴原式=2×1＝2﹣1＝3﹣（2）原式=[2+1]=（3﹣+1）=（4﹣=2×（4﹣+1＝2﹣6+1＝9﹣故答案为：9﹣总结提升：本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义的规定是解题的关键．7．（2022•苏州模拟）对实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=a≥b，例如4◆3，因为4＞3，所以4◆3=5，若x，y满足方程组4x−y=8x+2y=20，则x◆y＝　32　．思路引领：求出方程组的解得到x与y的值，再利用新定义求出所求即可．解：4x−y=8①x+2y=20②，①×2+②得：9x＝36，解得：x＝4，把x＝4代入②得：y＝8，则x◆y＝4◆8＝4×8＝32，故答案为：32．总结提升：本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．8．（2018秋•阳山县期末）对于实数x，y，定义一种新的运算“★”，规定x★y＝ax+by，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．如果3★5＝12，1★2＝3= ．思路引领：已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，求出方程组的解得到a与b的值，代入原式计算即可求出值．解：已知等式利用题中的新定义化简得：3a+5b=12①a+2b=3②，②×3﹣①得：b＝﹣3，把b＝﹣3代入①得：a＝9，则原式==−3．故答案为：﹣3．总结提升：此题考查了解二元一次方程组，立方根以及实数的运算，解二元一次方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．9．（2022秋•屯留区期末）对于任意的正实数a和b，我们定义新运算：a∗b=≥b)＜b)．如：27∗12=求：（5*2）×（18*45）的值．思路引领：根据定义确定好所用计算方法，再进行代入计算．解：∵5＞2，18＜45，∴（5*2）×（18*45）×（+＝3＝3[22]＝3（5﹣2）＝3×3＝9，即（5*2）×（18*45）的值是9．总结提升：此题考查了运用新定义进行实数运算的能力，关键是能准确理解并运用新定义，并进行正确地计算．类型二平面直角坐标系中的新定义题型10．（2022春•晋安区期末）定义：f（x，y）＝（﹣x，﹣y），g（a，b）＝（b，a），例如：f（1，2）＝（﹣1，﹣2），g（2，3）＝（3，2），则g（f（5，﹣2））＝（）A．（2，﹣5）B．（﹣2，5）C．（﹣5，2）D．（﹣2，﹣5）思路引领：直接利用已知f（x，y）＝（﹣x，﹣y），g（a，b）＝（b，a），进而分析得出答案．解：由题意可得：g（f（5，﹣2））＝g（﹣5，2）＝（2，﹣5）．故选：A．总结提升：此题主要考查了点的坐标，正确运用已知条件分析是解题关键．11．（2022春•景县期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（2，﹣1），Q（﹣1，0），则P，Q的“实际距离”为4，即PS+SQ＝4或PT+TQ＝4．图中点A（3，2），B（5，﹣3）为共享单车停放点，嘉淇在点P处，则（）A．他与A处的“实际距离”更近B．他与B处的“实际距离”更近C．他与A处和B处的“实际距离”一样近D．无法判断思路引领：根据实际距离的概念得出距离解答即可．解：P到A处的“实际距离”＝|3﹣2|+|2﹣（﹣1）|＝1+3＝4，P到B处的“实际距离”＝|5﹣2|+|﹣3﹣（﹣1）|＝3+2＝5，故选：A．总结提升：此题主要考查了坐标确定位置，正确理解实际距离的定义是解题关键．12．（2022春•思明区校级期末）给出一个新定义：若平面直角坐标系中的点（a，b）的横、纵坐标满足方程x﹣2y＝4，则称点（a，b）是方程x﹣2y＝4的坐标点，比如：点（6，1）就是方程x﹣2y＝4的坐标点．（1）写出方程x﹣2y＝4的另一个坐标点　；（2）若有一个点（3a，a+2）是方程x﹣2y＝4的坐标点，则a的值为．思路引领：（1）给出x的一个值，代入求y的值；（2）把点的坐标代入方程求解．解：（1）当x＝4时，y＝0，故答案为：（4，0）．（2）由题意得：3a﹣2（a+2）＝4，解得：a＝8．故答案为：8．总结提升：本题考查了方程的解，理解新定义是解题的关键．13．（2022春•天河区期末）在平面直角坐标系中取任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义新运算“*”，得到新的C的坐标为（x1y2，x2y1），即（x1，y1）*（x2，y2）＝（x1y2，x2y1）．若点A在第一象限，点B 在第四象限，根据上述规则计算得到的点C的坐标在第象限．思路引领：根据每一象限内点的坐标特点进行分析解答．解：∵点A （x 1，y 1）在第一象限，点B （x 2，y 2）在第四象限，∴x 1＞0，y 1＞0．x 2＞0，y 2＜0．∴x 1y 2＜0，x 2y 1＞0，∴点C 的坐标（x 1y 2，x 2y 1）位于第二象限．故选答案为：二．总结提升：本题主要考查了点的坐标，解题的关键的理解新定义的运算法则以及每一象限内点的坐标符号特征．14．（2022春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）的“非常距离”给出如下定义：若|x 1﹣x 2|≥|y 1﹣y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1﹣x 2|；若|x 1﹣x 2|＜|y 1﹣y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1﹣y 2|，例如：点P 1（1，2），点P 2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）．已知点A(−12，0)，B 为y 轴上的一个动点．（1）若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；（2）直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值．思路引领：（1）根据点B 位于y 轴上，可以设点B 的坐标为（0，y ）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y |＝2，据此可以求得y 的值；（2）设点B 的坐标为（0，y ）．因为|−12−0|≥|0﹣y |，所以点A 与点B 的“非常距离”最小值为|−12−0|=12．解：（1）∵B 为y 轴上的一个动点，∴设点B 的坐标为（0，y ）．∵|−12−0|=12≠4，∴|0﹣y |＝2，解得y ＝2或y ＝﹣2；∴点B 的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；故答案为：（0，2）或（0，﹣2）；（2）∵|−12−0|≥|0﹣y |，∴点A 与点B 的“非常距离”最小值为|−12−0|=12；∴点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12．故答案为：12．总结提升：本题考查新定义问题，阅读并理解题意是解题关键．15．（2022春•青山区校级月考）在平面直角坐标系中，对于任意三个不重合的点A ，B ，C 的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a 指任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h 指任意两点纵坐标差的最大值，“矩面积”S ＝ah ．例如：A （1，2），B （﹣3，1），C （2，﹣2）则“水平底”a ＝5，“铅垂高”h ＝4，“矩面积”S ＝ah ＝20．若D （1，2），E （﹣2，1），F （0，t ）三点的“矩面积”为18，则t 的值为．思路引领：根据“矩面积”的定义，得出若D （1，2），E （﹣2，1），F （0，t ）三点的“矩面积”的“水平底”a ＝3，由矩面积”S ＝ah ＝18，得出“铅垂高”h ＝18÷3＝6，则D 、E 、F 三点的纵坐标差的最大值为2﹣t ＝6或t ﹣1＝6，从而求得t 的值．解：由题意知，D 、E 、F 三点的“矩面积”的“水平底”a ＝1﹣（﹣2）＝3，∵D 、E 、F 三点的“矩面积”S ＝ah ＝18，∴D 、E 、F 三点的“铅垂直”h ＝18÷3＝6，当点F 在点D 下方时，2﹣t ＝6，解得t ＝﹣4．当点F 在点D 上方时，t ﹣1＝6解得：t ＝7，故答案为：﹣4或，7．总结提升：本题考查坐标确定位置，掌握“矩面积”的定义是解题的关键．16．（2022秋•霍邱县校级月考）在平面直角坐标系中，对于点P 、Q 两点给出如下定义：若点P 到x ，y 轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点P（﹣2，5）和点Q（﹣5，﹣1）就是等距点．（1）已知点B的坐标是（﹣4，2），点C的坐标是（m﹣1，m），若点B与点C是“等距点”，求点C 的坐标；（2）若点D（3，4+k）与点E（2k﹣5，6）是“等距点”，求k的值．思路引领：（1）根据“等距点”的定义解答即可；（2）根据“等距点”的定义分情况讨论即可．解：（1）由题意，可分两种情况：①|m﹣1|＝|﹣4|，解得m＝﹣3或5（不合题意，舍去）；②|m|＝|﹣4|，解得m＝﹣4（不合题意，舍去）或m＝4，综上所述，点C的坐标为（﹣4，﹣3）或（3，4）；（2）由题意，可分两种情况：①当|2k﹣5|≥6时，|4+k|＝|2k﹣5|，∴4+k＝2k﹣5或4+k＝﹣（2k﹣5），解得k＝9或k=13（不合题意，舍去）；②当|2k﹣5|＜6时，|4+k|＝6，∴4+k＝6或4+k＝﹣6，解得k＝2或k＝﹣10（不合题意，舍去）；综上所述，k＝2或k＝9．总结提升：本题主要考查了点的坐标，掌握“等距点”的定义是解答本题的关键．17．（2022春•莆田期末）对于平面直角坐标系中的图形M上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P （x，y）平移到P′（x+e，y﹣e）称为将点P进行“e型平移”，点P′称为将点P进行“e型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“e型平移”称为将图形M进行“e型平移”．例如，将点P（x，y）平移到P′（x+1，y﹣1）称为将点P进行“1型平移”．（1）已知点A（﹣1，2），B（2，3），将线段AB进行“1型平移”后得到对应线段A′B′．①画出线段A′B′，并直接写出A′，B′的坐标；②四边形ABB′A′的面积为（平方单位）；（2）若点A（2﹣a，a+1），B（a+1，a+2），将线段AB进行“2型平移”后得到对应线段A′B′，当四边形ABB′A′的面积为8平方单位，试确定a的值．思路引领：（1）①根据定义平移即可；②根据平移后的图形，写出坐标即可；（2）利用割补法求四边形的面积．解：（1）①A （﹣1，2）“1型平移”后得到A '（0，1），B （2，3）“1型平移”后得到B '（3，2）；②S 四边形ABB ′A ′＝S △ABB '+S △AB 'A '=12×4×1+12×4×1＝4，故答案为：4；（2）A （2﹣a ，a +1）“2型平移”后得到A '（4﹣a ，a ﹣1），B （a +1，a +2）“2型平移”后得到B '（a +3，a ），如图，在四边形外作矩形CDEF ，∴C （2﹣a ，a +2），D （2﹣a ，a ﹣1），E （a +3，a ﹣1），F （a +3，a +2），∴BC ＝2a ﹣1，AC ＝1，BF ＝2，B 'F ＝2，AD ＝2，A 'D ＝2，AE ＝2a ﹣1，BE '＝1，∴CF ＝2a +1，CD ＝3，∴S 四边形ABB ′A ′＝3（2a +1）−12×（2a ﹣1）×1×2−12×2×2×2＝4a ，∵四边形ABB ′A ′的面积为8平方单位，∴4a ＝8，∴a ＝2．总结提升：本题考查坐标与图形变化，熟练掌握平面内点的坐标特点，利用割补法求四边形的面积是解题的关键．类型三二元一次方程组中的新定义题型18．（2022春•梁山县期末）对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax+by+1．其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若2*5＝10，4*7＝28，则3*6＝（）A．18B．19C．20D．21思路引领：已知等式利用题中的新定义化简求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．解：根据题中的新定义得：2a+5b+1=10 4a+7b+1=28，解得a=12b=−3，∴3*6＝3×12+6×（﹣3）+1＝19．故选：B．总结提升：此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（2022春•万州区校级期中）把y＝ax+b（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当y＝x时，“雅系二元一次方程y＝ax+b”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4化为x＝3x﹣4，其“完美值”为x＝2．（1）x＝3是“雅系二元一次方程”y＝3x+m的“完美值”，求m的值；（2）类比“雅系二元一次方程”y＝kx+1（k≠0，k是常数）的定义，对于一个“雅系二元一次不等式”y＞kx+1（k≠0，k是常数）的“完美解集”为x＞2，请求出k的值．思路引领：（1）由已知可得x＝3x+m，将x＝3代入即可求m；（2）假设存在，得到x＝kx+1，所以（1﹣k）x＝1，当k＝1时，不存在“完美值”，当k≠1，k≠0时，存在“完美值”x=11−k．解：（1）由已知得：x＝3x+m，把x＝3代入x＝3x+m得：3＝9+m，∴m＝﹣6；（2）若“雅系二元一次方程”y＝kx+1（k≠0，k是常数）存在“完美值”，则有x＝kx+1，∴（1﹣k）x＝1，当k＝1时，不存在“完美值”，当k≠1，k≠0时，存在“完美值”，∵y＞kx+1（k≠0，k是常数），则有x＞kx+1，∴（1﹣k）x＞1，∵完美解集为x＞2，∴x＞11−k=2，解得k＝0.5．总结提升：本题考查二元一次方程的解，新定义；能够理解题意，将所求问题转化为一元一次方程求解是关键．20．（2022春•如皋市期中）定义：数对（x，y）经过运算φ可以得到数对（x'，y'），记作φ（x，y）＝（x'，y'），其中x′=ax+byy′=ax−by（a，b为常数）．如，当a＝1，b＝1时，φ（﹣2，3）＝（1，﹣5）．（1）当a＝2，b＝1时，φ（1，0）＝；（2）若φ（2，1）＝（0，4），则a＝，b＝；（3）如果组成数对（x，y）的两个数x，y满足x﹣2y＝0，xy≠0，且数对（x，y）经过运算φ又得到数对（x，y），求a和b的值．思路引领：（1）当a＝1且b＝1时，分别求出x′和y′即可得出答案；（2）根据条件列出方程组即可求出a，b的值；（3）根据对任意数对（x，y）经过运算φ又得到数对（x，y），得到ax+by=xax−by=y，，根据x﹣2y＝0，得到x＝2y，代入方程组即可得到答案．解：（1）当a＝2，b＝1时，x′＝2×1+1×0＝2，y′＝2×1﹣1×0＝2，故答案为：（2，2）；（2）根据题意得：2a+b=0 2a−b=4，解得：a=1b=−2，故答案为：1，﹣2；（3）∵对任意数对（x，y）经过运算φ又得到数对（x，y），∴ax+by=x ax−by=y，∵x﹣2y＝0，∴x＝2y，代入方程组解得：a=34 b=12．总结提升：本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．21．（2022春•兴化市月考）对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1&1＝1，3⊗2＝8．（1）求a，b的值；（2）若关于x，y的方程组x&y=4−mx⊗y=5m的解也满足方程x+y＝5，求m的值；（3）若关于x，y的方程组a1x&b1y=c1a2x⊗b2y=c2的解为x=4y=5，求关于x，y的方程组3a1(x+y)&4b1(x−y)=5c13a2(x+y)⊗4b2(x−y)=5c2的解．思路引领：（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+y＝3求解即可；（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．解：（1）由题意得a+b=13a−2b=8，解得a=2b=−1；（2）依题意得2x−y=4−m2x+5=5m，解得x=m+1y=3m−2，∵x+y＝5，∴m+1+3m﹣2＝5，解得m=3 2；（3）由题意得2a1+b1y=c12a2+b2y=c2的解为x=4y=5，由方程组3a1(x+y)&4b1(x−y)=5c13a2(x+y)⊗4b2(x−y)=5c2得6a1(x+y)−4b1(x−y)=5c16a2(x+y)+4b2(x−y)=5c2，整理，得2a1⋅35(x+y)−b2⋅45(x−y)=c12a2⋅35(x+y)+b2⋅45(x−y)=c2，(x+y)=4 (x−y)=5，解得x=15524y=524．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．22．（2022春•江阴市期中）对整数x、y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝ax y﹣by x（其中a、b是常数），如：T（2，1）＝a×21﹣b×12＝2a﹣b．（1）填空：T（2，﹣1）＝（用含a，b的代数式表示）；（2）若T（3，2）＝10，T（8，﹣1）=−3 4．①求a与b的值；②若T（x，1）＝T（1，x），求出此时x的值．思路引领：（1）根据新运算的运算顺序计算即可；（2）①由题意列出二元一次方程组，再解方程组即可；②由题意得2x﹣1＝2﹣x，解方程可得x的值．解：（1）由题意得，T（2，﹣1）＝a×2﹣1﹣b×（﹣1）2=12a﹣b，故答案为：12a﹣b；（2）①=10a−b=−34，解得a=2，b=1答：a的值是2，b的值是1；（3）由题意得，2x﹣1＝2﹣x，解得x＝1．总结提升：本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．类型四一元一次不等式中的新定义问题23．（2022•南谯区开学）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4，如果[x12]=3，则x的取值范围是（）A．5≤x＜7B．5＜x＜7C．5＜x≤7D．5≤x≤7思路引领：根据题意可得：3≤x12＜4，然后进行计算即可解答．解：由题意得：3≤x12＜4，∴6≤x+1＜8，∴5≤x＜7，故选：A．总结提升：本题考查了解一元一次不等式组，实数大小比较，理解定义的新运算是解题的关键．24．定义一种法则“？”如下：a？b=a(a＞b)b(a≤b)，例如：1？2＝2，若（﹣2m﹣5）？3＝3，则m的取值范围是．思路引领：根据题中新定义的运算可得出关于m的不等式﹣2m﹣5≤3；接下来求解即可得到m的取值范围．解：∵1⊕2＝2，若（﹣2m﹣5）⊕3＝3，∴﹣2m﹣5≤3，解得m≥﹣4．故答案为：m≥﹣4．总结提升：本题考查了不等式的解和解集，解答此题的关键是掌握不等式的解及解集的意义．25．（2022秋•临湘市期末）现定义一种新的运算：a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1，则不等式（﹣2）*x≥0的解集为．思路引领：直接根据题意得出不等式，进而计算得出答案．解：∵a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1，∴不等式（﹣2）*x≥0可变形为：4﹣2x≥0，解得：x≤2．故答案为：x≤2．总结提升：此题主要考查了解一元一次不等式，正确将原式变形是解题关键．26．（2022春•舒城县校级月考）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a−32（a+b），如1⊕5＝2×1−32（1+5）＝﹣7．（1）若x⊕4＝0，则x＝　；（2）解不等式x⊕6＞3；（3）求不等式x⊕2＞（﹣2）⊕（x+4）的负整数解．思路引领：（1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可；（2）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可；（3）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可．解：（1）∵a⊕b＝2a−32（a+b），∴x⊕4＝2x−32（x+4）=12x−6，∵x⊕4＝0，∴12x−6=0，解得x＝12，故答案为：12；（2）由x ⊕6＞3，可得2x −32（x +6）＞3，解得x ＞12．（3）∵a ⊕b ＝2a −32（a +b ），∴x ⊕2＝2x −32（x +2）=12x−3，﹣2⊕（x +4）＝2×（﹣2）−32（﹣2+x +4）＝﹣4+3−32x ﹣6=−32x ﹣7∵x ⊕2＞（﹣2）⊕（x +4），∴12x−3＞−32x ﹣7，解得x ＞﹣2，∴不等式的负整数解为﹣1．总结提升：本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于x 的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键．27．（2022秋•西湖区校级月考）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解（两个不等式解集的公共部分），那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．（1）在不等式①3x ﹣5＜0，②x ≥1，③x ﹣（3x ﹣1）＜﹣5④3x 12＞x 中，不等式x 12−1≥x 的“云不等式”是 .（填序号）（2）若a ≠﹣2，若关于x 的不等式x +2≥a 与不等式（a +2）x ＜a +2互为“云不等式”，求a 的取值范围．思路引领：（1）分别求出各不等式的解，再根据“云不等式”的定义即可得出结论；（2）先求出不等式x +2≥a 的取值范围，再分a +2＞0和a +2＜0两种情况进行讨论．解：（1）①解不等式3x ﹣5＜0得，x ＜53；②x ≥1；③不等式的解集为：x ＞3；④不等式的解集为x ＞﹣1．解不等式x 12−1≥x 得，x ≤﹣1．∵只有不等式3x ﹣5＜0的解集与不等式x 12−1≥x 有公共部分，∴不等式x12−1≥x的“云不等式”是不等式3x﹣5＜0．故答案为：①；（2）不等式x+2≥a的解集为x≥a﹣2，①当a+2＞0时，即a＞﹣2，可得x＜1，根据题意a﹣2＜1，即a＜3，a的取值范围为a＜3；②当a+2＜0时，即a＜﹣2，可得x＞1，此时不论a为小于﹣2的何值均符合题意．故a＜3且a≠﹣2．总结提升：本题考查了解一元一次不等式，解出不等式、根据解集判断系数的取值范围是解题的关键．28．（2022春•永春县期中）一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“对称数”．（1）最大的“对称数”为，最小的“对称数”为．（2）若上述定义中的x满足不等式|x+1|＜4，则这样的对称数有个．（3）一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，且个位数字b −1≤x−22b有3个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的值．思路引领：（1）根据题意，可以写出最小的“对称数”和最大的“对称数”；（2）根据个位数字b −1≤x−22b有3个整数解，可以求得b的值，然后根据题意，可以得到所有满足条件的“对称数”M的值．解：（1）由题意可得，最大的“对称数”是9999，最小的“对称数”为1010，故答案为：9999；1010；（2）∵|x+1|＜4，1≤x≤9，x为整数，∴x＝1或2，∴当x＝1时，对称数有1010，1100，当x＝2时，对称数有1111，1201，1021，2110，2200，2020，故定义中的x满足不等式|x+1|＜4，则这样的对称数有8个，故答案为：8；（3−1≤x−22b，得b18＜x≤4，∵个位数字b −1≤x−22b有3个整数解，∴1≤b18＜2，解得7≤b＜15，∵b为个位数字，∴b＝7，8，9，∵一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，∴百位数字为3a，十位数字是10﹣b，∴a+b＝3a+（10﹣b），∴a＝b﹣5，∴当b＝7时，a＝2，此时对称数”M的值是2637，当b＝8时，a＝3，此时对称数”M的值是3928，当b＝9时，a＝4，此时百位数字3a＝12不存在，舍去，由上可得，对称数”M的值是2637，3928．总结提升：本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出M的值．29．（2022春•如东县期中）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（mx+ny）（x+2y）（其中m，n 均为非零常数）．例如T（1，1）＝3m+2n．（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8．①求m，n的值；②若关于P的不等式组T(2p，2−p)＞4T(4p，3−2p)≤a恰好有3个整数解，求a的取值范围．（2）当x2≠y2时，T（x，y）＝T（y，x）对于任何有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式．思路引领：（1）①构建方程组即可解决问题；②根据不等式即可解决问题；（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题；解：（1）①由题意，得−(m−n)=0 8n=8，∴m=1 n=1；②由题意，得(2p+2−p)(2p+4−2p)＞4①(4p+3−2p)(4p+6−4p)≤a②，解不等式①，得p＞﹣1．解不等式②，得p≤a−18 12．∴﹣1＜p≤a−18 12．∵恰好有3个整数解，∴2≤a−1812＜3．∴42≤a＜54．（2）由题意得：（mx+ny）（x+2y）＝（my+nx）（y+2x），∴mx2+（2m+n）xy+2ny2＝2nx2+（2m+n）xy+my2，∵对任意有理数x，y都成立，∴m＝2n．总结提升：本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．30．（2022春•长沙县期末）定义：对于任意实数a，b，如果满足a+b＝ab，那么称a，b互为“朋友数”，点（a，b）为“朋友点”．（1）判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”；①1.5与3是互为“朋友数”的； ②若点（a，b）为“朋友点”，则点（b，a）也一定为“朋友点”； ③若点a与b互为相反数，则（a，b）一定不是“朋友点”； ④存在与1互为“朋友数”的实数．（2）填空：若（a，3）为“朋友点”，则a＝．（3）已知P（x，y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于x，y的二元一次方程组x−2y=m2−92x+y=2m2+7的解，请判断点P（x，y）是否为“朋友点”？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由．思路引领：（1）①由1.5+3＝4.5，1.5×3＝4.5，可得①是真命题；②若点（a，b）为“朋友点”，则a+b＝ab，有b+a＝ba，可知②是真命题；③若a＝b＝0，则a+b＝ab，故③是假命题；④设1与x互为“朋友数”，则x+1＝x×1，方程无解，可知④是假命题；（2）若（a，3）为“朋友点”，则a+3＝a×3，解得a=3 2；（3）由x−2y=m2−92x+y=2m2+7得：x=m2+1y=5，若P（m2+1，5）是“朋友点”，则m2+1+5＝（m2+1）×5，可解得m＝±12，即可得答案．解：（1）①∵1.5+3＝4.5，1.5×3＝4.5，∴1.5与3是互为“朋友数”的，①是真命题，故答案为：√；②若点（a，b）为“朋友点”，则a+b＝ab，∴b+a＝ba，∴点（b，a）也一定为“朋友点”；②是真命题，故答案为：√；③若a＝b＝0，则a+b＝ab，∴此时（a，b）是“朋友点”，③是假命题，故答案为：×；④设1与x互为“朋友数”，则x+1＝x×1，方程无解，∴不存在与1互为“朋友数”的实数，④是假命题，故答案为：×；（2）若（a，3）为“朋友点”，则a+3＝a×3，解得a=3 2，故答案为：3 2；（3）当m＝±12时，P（m2+1，5）是“朋友点“，理由如下：由x−2y=m2−92x+y=2m2+7得：x=m2+1y=5，∴P（m2+1，5），若P（m2+1，5）是“朋友点”，则m2+1+5＝（m2+1）×5，解得m＝±1 2，∴当m＝±12时，P（m2+1，5）是“朋友点”题意，理解“朋友数”和“朋友点”的定义．31．（2022春•灌云县期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组x−1＞1x−2＜3的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组x−1＞1x−2＜3的“相依方程”．（1）在方程①x﹣3＝0；②3x+2＝x；③2x﹣10＝0中，不等式组x＞2x≤5的“相依方程”是　①　；（填序号）（2）若关于x的方程2x+k＝6＞x2x13−1的“相依方程”，求k的取值范围．思路引领：（1）求出不等式组的解集，以及各方程的解，判断即可；（2）求出已知不等式组的解集，根据方程为不等式组的“相依方程”，确定出k的范围即可．解：（1）方程①x﹣3＝0，解得：x＝3；②3x+2＝x，解得：x＝﹣1；③2x﹣10＝0，解得：x＝5，不等式组x＞2x≤5，解得：2＜x≤5，则方程①x﹣3＝0是不等式组x＞2x≤5的“相依方程”；故答案为：①；（2＞x2x13−1，解得：﹣1＜x≤1，方程2x+k＝6，解得：x=6−k 2，代入得：﹣1＜6−k2≤1，解得：4≤k＜8．总结提升：此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键．32．（2022春•蜀山区校级期中）阅读理解：我们把|a b c d |称为二阶行列式，规定它的运算法则为|a b c d |=ad ﹣bc ，例如：|2345|=2×5﹣3×4＝﹣2．（1）填空：若|−12x−10.5x |=0，则x ＝　14　，|213−x x |＞0，则x 的取值范围；（2）若对于正整数m ，n 满足，1＜|1n m 4|＜3，求m +n 的值；（3）若对于两个非负数x ，y ，|x−1y 23|=|x −y 2−1|=k ，求实数k 的取值范围．思路引领：（1）根据法则得到﹣x ﹣0.5（2x ﹣1）＝0、2x ﹣（3﹣x ）＞0，然后解得即可．（2）根据法则得到1＜4﹣mn ＜3，解不等式求得1＜mn ＜3，由m 、n 是正整数，则可求得m +n ＝3；（3）根据法则得到3（x ﹣1）﹣2y ＝﹣x +2y ＝k ，解方程组求得x ，y 的值，然后根据题意得关于k 的不等式组，解得即可．解：（1）由题意可得﹣x ﹣0.5（2x ﹣1）＝0，整理可得﹣x ﹣x +0.5＝0，解得x =14；由题意可得2x ﹣（3﹣x ）＞0，解得x ＞1，故答案为14，x ＞1；（2）由题意可得，1＜4﹣mn ＜3，∴1＜mn ＜3，∵m 、n 是正整数，∴m ＝1，n ＝2，或m ＝2，n ＝1，∴m +n ＝3；（3）由题意可得3（x ﹣1）﹣2y ＝﹣x +2y ＝k ，∴3x−2y =k +3①−x +2y =k ②，①+②得：2x ＝2k +3，解得：x =2k 32，将x =2k 32代入②，得：−2k 32+2y ＝k ，解得y=4k3 4，∵x、均为非负数，≥0≥0，解得k≥−3 4．总结提升：此题主要考查了解一元一次不等式和解一元二次方程组，关键是看懂题目所给的运算法则，根据题意列出等式或不等式．。

2021最新七年级数学新定义题型精选试题解析初一

2021最新七年级数学新定义题型精选试题解析初一1.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,2)，B的坐标为(1,b)。

定义如下：若ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，就称点C为线段AB的“伴随顶点”。

(1) 若b=5，点C是第一象限的点，则线段AB的伴随顶点C的坐标是(5,1)。

(2) 若ABC的面积等于8时，求线段AB的伴随顶点C的坐标。

设C的坐标为(x,y)，则根据勾股定理可得$(x-1)^2+(y-b)^2=1$，又因为ABC是等腰直角三角形，所以C的坐标到AB中点的距离等于AB的一半，即$\sqrt{(x-1)^2+(y-b)^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{(1-b)^2+1}$。

将两式联立可解得C的坐标为$\left(1+\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$。

2.规定在平面直角坐标系中，任意不重合的两点的折线距离为$d(M,N)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$。

已知点P(3,-4)，若点Q的坐标为(t,2)，且$d(P,Q)=10$，则$t$的值为5.3.在平面直角坐标系中，对任意的点P(x,y)，定义P的绝对坐标$P=x+y$，任取点B(x2,y2)，A′(x1,y2)，B′(x2,y1)，若此时A+B≤A′+B′成立，则称点A，B相关。

(1) 分别判断下面各组中两点是相关点的是：①A(-2,1)，B(3,2)；②C(4,-3)，D(2,4)。

(2) (i) 对于点P(x,y)，其中$-6\leq x,y\leq 6$，其中$x,y$是整数，则所有满足条件的P点有169个；(ii) 求所有满足(i)条件的所有点中与点E(3,3)相关的点的个数为13个；(iii) 对于满足(i)条件的所有点中取出n个点，满足在这n个点中任意选择A，B两点，点A，B都相关，求$n$的最大值为25.4.规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于$y$轴对称，再向下平移2个单位记为1次“R变换”。

人教版七年级下册数学《平面直角坐标系》研讨说课教学复习课件

如图，正方形ABCD 的边长为6．（2）另建立一个平面直角坐标系，此时正方形的顶点A，B ，C，D 的坐标又分别是什么？
（-3，6）（3，6）
（-3，0）（3，0）
建系的技巧
由上得知，建立的平面直角坐标系不同，则各点的坐标也不同．你认为怎样建立直角坐标系才比较适当？可以容易确定图形上点的方式，就是恰当的建系方式．例如以正方形的两条边所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系．
知识回顾
数轴上的点可以用一个实数表示，这个实数叫做这个点的坐标．例如点A的坐标为_-_4___，点B的坐标为_2___．反之，已知数轴上点的坐标，这个点的位置就确定了．你能再数轴上找到-3表示的点么？
知识回顾
在数轴上已知点能说出它的坐标，由坐标能在数轴上找到对应点的位置．那么数轴上的点与坐标有怎样的关系？数轴上的点与坐标是“一一对应”的．也就是说，在数轴上每一个点都可以用一个坐标来表示，任何一个坐标都可以在数轴上找到唯一确定的点．
（-，-）
（+，-）
G(-5,-4)
E (5,-4)
D (-7,-5)
H (3,-5)
各个象限点坐标的符号特点
点的位置在第一象限在第二象限在第三象限在第四象限
点的坐标的符号特点 (+,+) (-,+) (-,-) (+,-)
例题请你根据下列各点的坐标判定它们分别在第几象限或在什
么坐标轴上？ A（-5，2）
y
5
第二象限 4 3 Ⅱ2
第一象限 Ⅰ
1O
-4 -3 -2 -1
Ⅲ -1 -2
第三象限 -3
1234 x Ⅳ
第四象限
-4
点的位置横坐标符号

2020年北京市七年级下期末数学备考之新定义解析版

（2）∵M＝x2+4xy+5y2﹣12y+k＝（x+2y）2+（y﹣6）2+k﹣36 ∴k＝36 时，M 是完美数，故答案为：36．二．解答题（共 19 小题） 2．（1）阅读下列材料并填空：
对于二元一次方程组
，我们可以将 x，y 的系数和相应的常数项排成一个数
表
，求得的一次方程组的解
，用数表可表示为
∴①
或②
，
由①得，Βιβλιοθήκη ∵n+2＝5≠1，n+4＝7≠1，
故①不合题意；
由②得
，
∵n+2＝﹣1＝m，
∴
符合题意，
故 m＝﹣1，n＝﹣3，
第 2页（共 16页）
∵关于 x 的不等式组
，恰好有 2019 个整数解，
∴2012＜a≤2013． 4．在平面直角坐标系 xOy 中，对于给定的两点 P，Q，若存在点 M，使得△MPQ 的面积等
2020 年北京市七年级下期末数学备考之新定义
参考答案与试题解析
一．填空题（共 1 小题） 1．若一个整数能表示成 a2+b2（a，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，因为 5＝22+12，所以 5 是一个“完美数”．（1）请你再写一个大于 10 且小于 20 的“完美数” 13 ；（2）已知 M 是一个“完美数”，且 M＝x2+4xy+5y2﹣12y+k（x，y 是两个任意整数，k 是常数），则 k 的值为 36 ．【解答】解：（1）∵13＝22+32 ∴13 是完美数故答案为：13；
．用数表可以
简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：

七年级数学新定义

2对于二元一次方程组⎨我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个x+3y=36,数表⎧x=a,1336⎪⎭01b⎪⎭，求得的一次方程组的解⎨用数表可表示为y=b⎧T(4p，3-2p)≤a-2七年级新定义1.对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．（1）点P（-1，6）的“2属派生点”P′的坐标为；（2）若点P的“3属派生点”P′的坐标为（6，），则点P的坐标；（3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段P P′的长度为线段OP长度的2倍，求K的值。

2.（1）阅读下列材料并填空：⎧4x+3y=54,⎩⎛4354⎫⎛10a⎫⎝⎩⎝表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：.用数表可以简化从而得到该方程组的解为⎨x=⎩y=,.3．对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)=(mx+ny)(x+2y)（其中m，n均为非零常数）.例如：T(1，1)=3m+3n．（1）已知T(1，1)=0，T(0，2)=8．①求m，n的值；⎧T(2p，-p)>4，②若关于p的不等式组⎨恰好有3个整数解，求a的取值范围；⎩（2）当x2≠y2时，T(x，y)=T(y，x)对任意有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式.4.一般情况下a b a+b+=不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a=b=0.我们363+6a b a+b称使得+=成立的一对数a,b为“相伴数对”，记为（a,b）.363+6（1）若（1,b）是“相伴数对”，求b的值；（2）写出一个“相伴数对”（a,b），其中a≠0，且a≠1；（3）若（m,n）是“相伴数对”，求代数式m-27n-[4m-2(3n-5)]的值. 45．阅读理解：善于思考的小聪在解方程组时，发现方程组①和②之间存在一定关系，他的解法如下：解：将方程②变形为：2x﹣3y﹣2y=5③．把方程①代入方程③得：3﹣2y=5，解得y=﹣1．把y=﹣1代入方程①得x=0．∴原方程组的解为．小聪的这种解法叫“整体换元”法．请用“整体换元”法完成下列问题：（1）解方程组：；①把方程①代入方程②，则方程②变为；②原方程组的解为．（2）解方程组：．- 2 3x - 1＞-x + 2⎪ x - ＜1，（3）若方程 3 - x = 2 x ， 3 + x = 2 x + ⎪ 都是关于 x 的不等式组 ⎨ 的关联6 .对于有理数 a ，b ，定义 min {a ，b }的含义为：当 a ≥b 时，min {a ，b }＝b ；当 a ＜b时，min {a ，b }＝a .例如：min {1，－2}＝－2，min {-3 ， 3}＝-3.（1）min {-1，}=；（2）求 min{x 2＋1，0}；（3）已知 min{－2k ＋5，－1}＝－1，求 k 的取值范围；（4）已知 min{ 5， 2m - 4n - m 2 - n 2 }＝5.直接写出 m ，n 的值7. 如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程.（ 1 ）在方程 ① 3 x - 1 = 0 ， ② 2x + 1 = 0 ， ③ x - (3x + 1) = -5 中，不等式组3⎧- x + 2＞x - 5，⎨的关联方程是；（填序号）⎩⎧ 1 （2）若不等式组 ⎨ 2的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以 ⎪⎩1 + x ＞-3x + 2是；（写出一个即可）⎛ 1 ⎫ ⎧ x ＜2x - m ， ⎝ 2 ⎭ ⎩ x - 2≤m方程，直接写出 m 的取值范围.。

新人教版七年级数学下册平行线及判定

③过一点可以而且只可以画一条直线与已知直线
平行。
(╳)
D 2、用符号“∥”表示图中平行四
C
边形的两组对边分别平行。
AB∥ CD，AD∥ BC。 A
B
巩固练习
下列说法正确的是（ D ）
A、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交，垂直，平行三种。
B、在同一平面内，不垂直的两直线必平行。 C、在同一平面内，不平行的两直线必垂直。 D、在同一平面内，不相交的两直线一定不垂直。
5.2 平行线及其判定 5.2.2 平行线的判定
平行线的画法
一放二靠三移四画
从画图过程，三角板起到什么作用？
要判断直线a //b，你有办法了吗?
平行线的判定定理1: 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简单地说：同位角相等，两直线平行。如图： ∵ ∠1=∠2（已知）
C
相交的两
Hale Waihona Puke 条直线。 abB
直线AB平行
AB D
CD 于直线CD
a b 直线a平行
于直线b
平面内的两条直线除平行外还有什么位置关系？
同一平面内的两条不重合的直线的位置关系只有两种：
相交或平行
课内练习
1、判断下列说法是否正确，并说明理由。
①不相交的两条直线是平行线。
(╳)
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线。(╳)
E
A
B
4
C
7
D
F
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
简单地说:同旁内角互补,两直线平行.
判定两条直线平行的方法
文字叙述
符号语言

部编数学七年级下册专题9.8不等式(组)的新定义问题大题专练(重难点培优30题)【拔尖特训】2023

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题9.8不等式（组）的新定义问题大题专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022春•庐阳区校级期中）对于任意实数m、n，定义一种新运算：m*n＝m﹣3n+7，等式右边是通常的加减运算，例如：2*3＝2﹣3×3+7＝0．（1）（8*2）的平方根为　±3　；（2）若关于x的不等式组3t＜2*x＜7解集中恰有3个整数解，求t的取值范围．【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，求出平方根即可；（2）已知不等式利用题中的新定义化简，根据解集中恰有3个整数解，确定出t的范围即可．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：8*2＝8﹣3×2+7＝8﹣6+7＝9，则9的平方根是±3；故答案为：±3；（2）根据题中的新定义化简得：3t＜2﹣3x+7＜7，解得：23＜x＜﹣t+3，∵该不等式的解集有3个整数解，∴该整数解为1，2，3，∴3＜﹣t+3≤4，解得：﹣1≤t＜0．2．（2021春•嘉鱼县期末）定义一种新运算“a△b”：当a≥b时，a△b＝a+2b；当a＜b时，a△b＝a﹣2b．例如：3△（﹣4）＝3+2×（﹣4）＝﹣5，1△2＝1﹣2×2＝﹣3．（1）填空：（﹣4）△3＝　﹣10　；（直接写结果）（2）若（3m﹣4）△（m+6）＝（3m﹣4）+2（m+6），求m的取值范围；（3）已知（3x﹣7）△（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．【分析】（1）根据新定义计算可得；（2）根据新定义结合已知条件知3m﹣4≥m+6，解之可得；（3）由题意可得3x−7≥3−2x3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x3x−7−2(3−2x)＜−6，分别求解可得．【解答】解：（1）（﹣4）*3＝﹣4﹣2×3＝﹣10，故答案为：﹣10；（2）∵（3m﹣4）△（m+6）＝（3m﹣4）+2（m+6），∴3m﹣4≥m+6，解得：m≥5；（3）由题意知，3x−7≥3−2x3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x3x−7−2(3−2x)＜−6，解得：x＞5或x＜1．3．阅读下面材料：对于实数p，q，我们定义符号max{p，q}的意义为：当p≤q时，max{p，q}＝q；当p＞q时，max{p，q}＝p，如：max{2．﹣1}＝2；max{3，3}＝3．根据上面的材料回答下列问题：（1）max{﹣1，3}＝　3　；（2）当max{3x−12，2x13}=2x13时，求x的取值范围．【分析】（1）根据定义即可求得；（2）根据题意得出3x−12≤2x13，解不等式即可求得结论．【解答】解：（1）max{﹣1，3}＝3，故答案为3；（2）由定义得，3x−12≤2x13，9x﹣3≤4x+2，5x≤5，x≤1，故的取值范围是x≤1．4．（2020春•朝阳区校级期中）请你根据右框内所给的内容，完成下列各小题．（1）若m⊕n＝1，m⊕2n＝﹣2，分别求出m和n的值；（2）若m满足m⊕2≤0，且3m⊕（﹣8）＞0，求m的取值范围．我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：a⊕b＝4a﹣3b．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．【分析】（1）根据新定义列出关于m、n的方程组，解之可得；（2）根据新定义列出关于m、n的不等式组，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：4m−3n=14m−6n=−2，解得：m=1 n=1；（2）根据题意，得：4m−6≤012m+24＞0，解得：﹣2＜m≤3 2．故m的取值范围是﹣2＜m≤3 2．5．（2022春•如皋市期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算：m◎n＝m+n﹣5，其中，等式右边是通常的加减运算．如：2◎3＝2+3﹣5＝0．若关于x的不等式组t＜2◎x＜7恰有3个整数解，求t的取值范围．【分析】已知不等式利用题中的新定义化简，根据解集中恰有3个整数解，确定出t的范围即可．【解答】解：由题意得：t＜2+x﹣5＜7．即t＜x﹣3＜7，∴t+3＜x＜10，∵该不等式组恰有3个整数解，即整数解x＝7，8，9，∴6≤t+3＜7，解得3≤t＜4．故t的取值范围是3≤t＜4．6．（2022春•新郑市期末）对于任意实数x，y定义一种新运算“#”：x#y＝xy+x﹣y．例如，3#5＝3×5+3﹣5＝13．（1）解不等式：3#x＜4；（2）若m＜2#x＜9，且该不等式组的解集中恰有两个整数解，请直接写出m的取值范围．【分析】（1）根据新定义列出不等式3x+3﹣x＜4，解之即可；（2）由新定义得出2x+2−x＞m①2x+2−x＜9②，解之得出x＞m﹣2且x＜7，结合不等式组的整数解个数得出4≤m﹣2＜5，解之即可．【解答】解：（1）∵3#x＜4，∴3x+3﹣x＜4，解得x＜0.5；（2）∵m＜2#x＜9，∴2x+2−x＞m①2x+2−x＜9②，解不等式①，得：x＞m﹣2，解不等式②，得：x＜7，∵不等式组有2个整数解，∴4≤m﹣2＜5，∴6≤m＜7．7．（2018春•房山区期中）定义：对于任何有理数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣1.5]＝﹣2．（1）[﹣π]＝　﹣4　；（2）如果[x−12]＝﹣5，求满足条件的所有整数x；（3）直接写出方程6x﹣3[x]+7＝0的解　x=−83或x=−196　．【分析】（1）由定义直接得出即可；（2）根据题意得出﹣5≤x−12＜−4，求出x的取值范围，从而得出满足条件的所有正整数的解；（3）整理得出[x]=76x3，方程右边式子为整数，表示出x只能为负数，得出x﹣1＜76x3＜x，求出x的取值范围，确定出方程的解即可．【解答】解：（1）由题可得，[﹣π]＝﹣4；故答案为：﹣4；（2）﹣5≤x−12＜−4，解得﹣9≤x＜﹣7整数解为﹣9，﹣8；（3）由6x﹣3[x]+7＝0，得[x]=76x 3，所以76x3为整数，则（7+6x）为3的倍数，即x=3n−76（n为整数），又x﹣1＜76x3＜x，解得−206＜x＜−146；易知n＝﹣3时，3n﹣7＝﹣16符合要求，n＝﹣4时，3n﹣7＝﹣19符合要求，所以x=−83或x=−196．故答案为：x=−83或x=−196．8．（2022春•唐县期末）规定min（m，n）表示m，n中较小的数（m，n均为实数），例如：min{3，﹣1}＝﹣1，min=（1）min{﹣2，﹣3}＝　﹣3　；（2）若min{3x﹣1，2}＝2，求x的取值范围；【分析】（1）根据题中的新定义确定出所求即可；（2）根据题中的新定义得到3x﹣1与2的大小，求出x的范围即可．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：min{﹣2，﹣3}＝﹣3；故答案为：﹣3；（2）∵min{3x﹣1，2}＝2，∴3x﹣1≥2，解得：x≥1．9．（2022春•大观区校级期中）在实数范围内定义一种新运算“⊕”其运算规则为：a⊕b＝2a−32（a+b），如1⊕5＝2×1−32（1+5）＝﹣7．（1）若x⊕4＝0，则x＝　12　．（2）若关于x的方程x⊕m＝﹣2⊕（x+4）的解为非负数，求m的取值范围．【分析】（1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可．（2）根据所给的运算列出关于x的一元一次方程，解方程后得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：（1）∵a⊕b＝2a−32（a+b），∴x⊕4＝2x−32（x+4）=12x﹣6，∵x⊕4＝0，∴12x﹣6＝0，解得x＝12，故答案为：12；（2）∵a⊕b＝2a−32（a+b），∴x⊕m＝2x−32（x+m）=12x−32m，﹣2⊕（x+4）＝2×（﹣2）−32（﹣2+x+4）＝﹣4+3−32x﹣6=−32x﹣7，∴12x−32m=−32x﹣7，解得x=34m−72，∵关于x的方程（x⊕m）＝[﹣2⊕（x+4）]的解为非负数，∴34m−72≥0，∴m≥14 3，∴m的取值范围为m≥14 3．10．（2022春•三水区校级期中）定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b＝2a ﹣b．例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．（1）填空；（﹣3）※2＝　﹣8　；（2x2+2x+2）※（x2﹣4）＝　5x2+4x　；（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），则x的取值范围为　x≥7　．（3）已知（2x﹣6）※（9﹣3x）＜7，求x的取值范围．【分析】（1）根据新运算公式计算可得；（2）结合新运算公式知3x﹣4≥2x+3，解之可得；（3）分两种情况得到关于x的不等式组，分别求解可得．【解答】解：（1）（﹣3）※2＝2×（﹣3）﹣2＝﹣8；∵（2x2+2x+2）﹣（x2﹣4）＝x2+2x+6＝（x+1）2+5＞0，∴（2x2+2x+2）※（x2﹣4）＝2（2x2+2x+2）+（x2﹣4）＝5x2+4x；故答案为：﹣8，5x2+4x；（2）∵（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），∴3x﹣4≥2x+3，解得：x≥7，故答案为：x≥7．（3）当2x﹣6≥9﹣3x时，则2（2x﹣6）+（9﹣3x）＜7，解得3≤x＜10；当2x﹣6＜9﹣3x时，则2（2x﹣6）﹣（9﹣3x）＜7，解得x＜3；综上，x的取值范围为：x＜10．11．（2018•余姚市模拟）请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．（1）若x⊕y＝1，x⊕2y＝﹣2，分别求出x和y的值；（2）若x满足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范围．【分析】（1）根据定义新运算得到二元一次方程组，再解方程组即可求解；（2）根据定义新运算得到一元一次不等式组，再解不等式组即可求解．【解答】解：（1）根据题意得4x−3y=14x−3×2y=−2，解得x=1 y=1；（2）根据题意得4x−3×2≤04×3x−3×(−8)＞0，解得﹣2＜x≤3 2．故x的取值范围是﹣2＜x≤3 2．12．（2022•南京模拟）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．（1）填空：（﹣4）*3＝　﹣10　．（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为　x≥5　；（3）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围；（4）计算（2x2+4x+8）*（x2+4x﹣2）．【分析】（1）根据新定义计算可得；（2）结合新定义知3x﹣4≥x+6，解之可得；（3）由题意可得3x−7≥3−2x3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x3x−7−2(3−2x)＜−6，分别求解可得；（4）先利用作差法判断出2x2+4x+8＞x2+4x﹣2，再根据新定义计算（2x2+4x+8）*（x2+4x﹣2）即可求解．【解答】解：（1）（﹣4）*3＝﹣4﹣2×3＝﹣8﹣6＝﹣10．故答案为：﹣10；（2）∵（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），∴3x﹣4≥x+6，解得：x≥5．故答案为：x≥5；（3）由题意知3x−7≥3−2x3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x3x−7−2(3−2x)＜−6，解得：x＞5或x＜1．故x的取值范围是x＞5或x＜1；（4）∵2x2+4x+8﹣（x2+4x﹣2）＝2x2+4x+8﹣x2﹣4x+2＝x2+10＞0；∴2x2+4x+8＞x2+4x﹣2，原式＝2x2+4x+8+2（x2+4x﹣2）＝2x2+4x+8+2x2+8x﹣4＝4x2+12x+4．13．（2020•张家界）阅读下面的材料：对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．根据上面的材料回答下列问题：（1）min{﹣1，3}＝　﹣1　；（2）当min{2x−32，x23}=x23时，求x的取值范围．【分析】（1）比较大小，即可得出答案；（2）根据题意判断出2x−32≥x23，解不等式即可判断x的取值范围．【解答】解：（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；故答案为：﹣1；（2）由题意得：2x−32≥x233（2x﹣3）≥2（x+2）6x﹣9≥2x+44x≥13x≥13 4，∴x的取值范围为x≥13 4．14．（2021春•罗湖区校级期末）已知关于x、y的方程组x−y=11−mx+y=7−3m．（1）当m＝2时，请解关于x、y的方程组x−y=11−mx+y=7−3m；（2）若关于x、y的方程组x−y=11−mx+y=7−3m中，x为非负数、y为负数，①试求m的取值范围；②当m取何整数时，不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1．【分析】（1）把m＝2代入原方程组，再利用加减法解方程组即可；（2）①把m看作常数，解方程组，根据x为非负数、y为负数，列不等式组解出即可；②根据不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1，求出m的取值范围，综合①即可解答．【解答】解：（1）把m＝2代入方程组x−y=11−mx+y=7−3m中得：x−y=9①x+y=1②，①+②得：2x＝10，x＝5，①﹣②得：﹣2y＝8，y＝﹣4，∴方程组的解为：x=5y=−4；（2）①x−y=11−m①x+y=7−3m②，①+②得：2x＝18﹣4m，x＝9﹣2m，①﹣②得：﹣2y＝4+2m，y＝﹣2﹣m，∵x为非负数、y为负数，∴9−2m≥0−2−m＜0，解得：﹣2＜m≤92；②3mx+2x＞3m+2，（3m+2）x＞3m+2，∵不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1，∴3m+2＜0，∴m＜−2 3，由①得：﹣2＜m≤9 2，∴﹣2＜m＜−2 3，∵m整数，∴m＝﹣1；即当m＝﹣1时，不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1．15．（2020春•海淀区校级期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．（1）在方程①3x﹣1＝0；②23x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2关联方程是　③　（填序号）．（2）若不等式组x−12＜11+x＞−3x+2的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　2x﹣2＝0　（写出一个即可）．（3）若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m的关联方程，试求出m的取值范围．【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；（2）解不等式组求得其整数解，根据关联方程的定义写出一个解为1的方程即可；（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．【解答】解：（1）①解方程3x﹣1＝0得：x=1 3，②解方程23x+1＝0得：x=−32，③解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，解不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2得：34＜x＜72，所以不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2的关联方程是③，故答案为：③；（2）解不等式x−12＜1得：x＜1.5，解不等式1+x＞﹣3x+2得：x＞0.25，则不等式组的解集为0.25＜x＜1.5，∴其整数解为1，则该不等式组的关联方程为2x﹣2＝0．故答案为：2x﹣2＝0．（3）解方程9﹣x＝2x得x＝3，解方程3+x＝2（x+12）得x＝2，解不等式组x＜2x−mx−2≤m得m＜x≤m+2，∵方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m的关联方程，∴1≤m ＜2．16．（2019春•宜宾期末）定义：对于任何有理数m ，符号[m ]表示不大于m 的最大整数．例如：[4.5]＝4，[8]＝8，[﹣3.2]＝﹣4．（1）填空：[π]＝　3　，[﹣2.1]+5＝　2　；（2）如果[5−2x 3]＝﹣4，求满足条件的x 的取值范围；（3）求方程4x ﹣3[x ]+5＝0的整数解．【分析】（1）根据题目所给信息求解；（2）根据题意得出：﹣4≤5−2x 3＜−3，求出x 的取值范围；（3）整理方程得[x ]=4x 53，根据定义得出x ﹣1＜4x 53≤x ，解不等式组求得x 的取值范围，即可求得整数x 为﹣7，﹣6，﹣5，由[x ]是整数，则满足4x 53为整数，即可求得x ＝﹣5．【解答】解：（1）由题意得：[π]＝3，[﹣2.1]+5＝﹣3+5＝2，故答案为3，2；（2）根据题意得：﹣4≤5−2x 3＜−3，解得：7＜x ≤172，则满足条件的x 的取值范围为7＜x ≤172；（3）整理得：[x ]=4x 53，∴x ﹣1＜4x 53≤x 解得不等式组的解集为：﹣8＜x ≤﹣5，∴整数x 为﹣7，﹣6，﹣5，∵[x ]是整数，∴4x 53为整数，∴x ＝﹣5，∴方程的整数解为x ＝﹣5．17．（2020春•西城区校级期中）阅读理解：我们把对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为《x 》，即当n为非负整数时，若n −12≤x ＜n +12，则《x 》＝n ．例如：《0.67》＝1，《2.49》＝2，…．请解决下列问题：（1）》＝　1　；（2）若《2x ﹣1》＝5，则实数x 的取值范围是　114≤x ＜134　；（3）①《2x 》＝2《x 》；②当m 为非负整数时，《m +2x 》＝m +《2x 》；③满足《x 》=32x 的非负实数x 只有两个，其中结论正确的是　②③　．（填序号）【分析】（1）根据题意判断即可；（2）我们可以根据题意所述利用不等式解答；（3）根据题意可以判断题目中各个结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：（1）1．（2）若《2x ﹣1》＝5，则5−12≤2x ﹣1＜5+12，解得114≤x ＜134．（3）《2x 》＝2《x 》，例如当x ＝0.3时，《2x 》＝1，2《x 》＝0，故①错误；当m 为非负整数时，不影响“四舍五入”，故《m +2x 》＝m +《2x 》，故②正确；《x 》=32x ，则32x −12≤x ＜32x +12，解得﹣1＜x ≤1，∵32x 为非负整数，∴x ＝0或23，故③正确．故答案为：1；114≤x ＜134；②③．18．（2022春•定远县期末）阅读材料：如果x 是一个有理数，我们把不超过x 的最大整数记作[x ]．例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3，那么，x ＝[x ]+a ，其中0≤a ＜1．例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9．请你解决下列问题：（1）[4.8]＝　4　，[﹣6.5]＝　﹣7　；（2）如果[x ]＝5，那么x 的取值范围是 5≤x ＜6　；（3）如果[5x ﹣2]＝3x +1，那么x 的值是 53　；（4）如果x ＝[x ]+a ，其中0≤a ＜1，且4a ＝[x ]+1，求x 的值．【分析】（1）根据新定义直接求解；（2）根据[x ]表示不超过x 的最大整数的定义即可求解；（3）根据[x ]表示不超过x 的最大整数的定义得：3x +1≤5x ﹣2＜3x +2，且3x +1是整数，计算可得结论；（4）根据4a ＝[x ]+1，表示a ，再根据a 的范围建立不等式x 值．【解答】解：（1）[4.8]＝4，[﹣6.5]＝﹣7．故答案为：4，﹣7．（2）如果[x ]＝5．那么x 的取值范围是5≤x ＜6．故答案为：5≤x ＜6．（3）如果[5x ﹣2]＝3x +1，那么3x +1≤5x ﹣2＜3x +2．解得：32≤x ＜2，∵3x +1是整数．∴x =53．故答案为：53．（4）∵x ＝[x ]+a ，其中0≤a ＜1，∴[x ]＝x ﹣a ，∵4a ＝[x ]+1，∴a =[x]14．∵0≤a ＜1，∴0≤[x]14＜1，∴﹣1≤[x ]＜3，∴[x ]＝﹣1，0，1，2．当[x ]＝﹣1时，a ＝0，x ＝﹣1；当[x ]＝0时，a =14，x =14；当[x ]＝1时，a =12，x =112；当[x ]＝2时，a =34，x =234；∴x ＝﹣1或14或112或234．19．（2021春•镇江期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．即当n为非负整数时，若n−1 2≤x＜n+12，则＜x＞＝n．如：＜3.2＞＝3，＜3.5＞＝4，＜3.8＞＝4．根据以上材料，解决下列问题：（1）填空：＜3.45＞＝　3　；（2）若＜2x+1＞＝3，求x满足的条件；（3）下面两个命题：①如果x≥0，m为非负整数，那么＜x+m＞＝m+＜x＞；②如果x≥0，k为非负整数，那么＜kx＞＝k＜x＞；请判断在这两个命题中属于假命题的是　②　，并举反例说明；（4）满足＜x＞=23x+1的所有非负实数x的值为　32或3　．【分析】（1）根据定义即可求解；（2）根据定义列出不等式即可求解；（3）通过举反例即可判断；（4）根据定义列出不等式即可求解．【解答】解：（1）∵3−12＜3.45＜3+12，∴＜3.45＞＝3，故答案为：3；（2）∵＜2x+1＞＝3，∴52≤2x+1＜72，解得：34≤x＜54；（3）②是假命题；反例为：x＝1.4，k＝2，＜kx＞＝＜2.8＞＝3，而k＜x＞＝2×＜1.4＞＝2×1＝2，＜kx＞≠k＜x＞；故答案为：②；（4）设23x+1=m，m为整数，则x=3m−32，∴[x]＝[3m−32]＝m，∴m−12≤3m−32＜m+12，∴2≤m＜4，∵m为整数，∴m＝2，或m＝3，∴x=32或x＝3．20．（2020春•崇川区校级期末）若x为实数，定义：[x]表示不大于x的最大整数．（1）例如[1.6]＝1，[π]＝　3　，[﹣2.82]＝　﹣3　．（请填空）（2）[x]+1是大于x的最小整数，对于任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，利用这个不等式，求出满足[x]＝2x﹣1的所有解．【分析】（1）根据[x]表示不大于x的最大整数即可求解；（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决．【解答】解：（1）[π]＝3，[﹣2.82]＝﹣3．故答案为：3，﹣3．（2）∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]＝2x﹣1，∴2x﹣1≤x＜2x﹣1+1，解得0＜x≤1，∵2x﹣1是整数，∴x＝0.5或x＝1，21．（2018春•开州区期末）设x是实数，现在我们用{x}表示不小于x的最小整数，如{3.2}＝4，{﹣2.6}＝﹣2，{4}＝4，{﹣5}＝5．在此规定下任一实数都能写出如下形式：x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1．（1）直接写出{x}与x，x+1的大小关系是　x≤{x}＜x+1　（由小到大）；（2）根据（1）中的关系式解决下列问题：①求满足{3x+11}＝6的x的取值范围；②解方程：{3.5x+2}＝2x−1 4．【分析】（1）x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1，b＝{x}﹣x，即0≤{x}﹣x＜1，即可判断三者的大小关系，（2）根据（1）中的关系得到关于x的一元一次不等式组，解之即可，②根据（1）中的关系得到关于x的一元一次不等式组，且2x−14为整数，即可求解．【解答】解：（1）∵x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1，∴b＝{x}﹣x，即0≤{x}﹣x＜1，∴x≤{x}＜x+1，故答案为：x≤{x}＜x+1，（2）①∵{3x+11}＝6，∴3x+11≤6＜（3x+11）+1，解得：﹣2＜x≤−5 3，即满足{3x+11}＝6的x的取值范围为：﹣2＜x≤−5 3，②∵{3.5x+2}＝2x−1 4，∴3.5x+2≤2x−14＜（3.5x+2）+1，且2x−14为整数，解不等式组得：−136＜x≤−32，∴−5512＜2x−14≤−314，整数2x−14为﹣4，解得：x=−15 8，即原方程的解为：x=−15 8．22．（2022•南京模拟）阅读材料：我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：a⊕b＝4a﹣3b．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．完成下列各小题．（1）若a⊕b＝1，a⊕2b＝﹣5，分别求出a和b的值；（2）若m满足m⊕2≤0，且3m⊕（﹣8）＞0，求m的取值范围．【分析】（1）根据新运算，得到方程组，解方程组即可求解；（2）根据新运算，得到不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）根据题意，得4a−3b=14a−3×2b=−5，解得：a=74 b=2，∴a和b的值分别为a=74，b＝2；（2）根据题意，得4m−3×2≤04×3m−3×(−8)＞0，解得：−2＜m≤3 2．∴m的取值范围−2＜m≤3 2．23．（2020春•长沙期末）对x、y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数）．例如：F （2，3）＝2a +3b ．（1）已知F （2，﹣1）＝﹣1，F （3，0）＝3．①求a ，b 的值．②已知关于p 的不等式组F(3−2p ，3)≥4F(2，2−3p)＜−1求p 的取值范围；（2）若运算F 满足−2＜F(1，2)≤4−1＜F(2，1)≤5，请你求出F （k ，k ）的取值范围（用含k 的代数式表示，这里k 为常数且k ＞0）．【分析】（1）①根据F （2，﹣1）＝﹣1，F （3，0）＝3列出关于a 、b 的方程组，解之可得；②由F(3−2p ，3)≥4F(2，2−3p)＜−1列出关于p 的不等式组，解之可得；（2）根据−2＜F(1，2)≤4−1＜F(2，1)≤5列出关于a 、b 的不等式组，相加得出a +b 的取值范围，再进一步求解可得．【解答】解：（1）①由题意知2a−b =−13a =3，解得a =1b =3；②由题意知3−2p +9≥42+6−9p ＜−1，解得1＜p ≤4；（2）由题意知−2＜a +2b ≤4−1＜2a+b ≤5，∴﹣3＜3a +3b ≤9，∴﹣1＜a +b ≤3，∵F （k ，k ）＝ka +kb ，且﹣k ＜k （a +b ）≤3k ，∴﹣k ＜F （k ，k ）≤3k ．24．（2021春•朝阳区校级期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．问题：在关于x ，y 的二元一次方程组x−y =2x +y =a 中，x ＞1，y ＜0，求a 的取值范围．分析：在关于x 、y 的二元一次方程组中，利用参数a 的代数式表示x ，y ，然后根据x ＞1，y ＜0列出关于参数a 的不等式组即可求得a 的取值范围．解：由x−y =2x +y =a 解得x =a 22y =a−22，又因为x ＞1，y ＜010解得 0＜a ＜2　．（2）请你按照上述方法，完成下列问题：①已知x ﹣y ＝4，且x ＞3，y ＜1，求x +y 的取值范围；②已知a ﹣b ＝m ，在关于x ，y 的二元一次方程组2x−y =−1x +2y =5a−8中，x ＜0，y ＞0，请直接写出a +b 的取值范围 3﹣m ＜a +b ＜4﹣m （结果用含m 的式子表示）．【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；（2）①根据（1）阅读中的方法解题即可求解；②解方程组2x−y =−1x +2y =5a−8得：x =a−2y =2a−3，根据x ＜0，y ＞0可得1.5＜a ＜2，进一步得到a +b 的取值范围．【解答】解：（11①＜0②，∵解不等式①得：a ＞0，解不等式②得：a ＜2，∴不等式组的解集为0＜a ＜2，故答案为：0＜a ＜2；（2）①设x +y ＝a ，则x−y =4x +y =a ，解得：x =y =a−42，∵x ＞3，y ＜1，＞3＜1，解得：2＜a ＜6，即2＜x +y ＜6；②解方程组2x−y =−1x +2y =5a−8得：x =a−2y =2a−3，∵x ＜0，y ＞0，∴a−2＜02a−3＞0，解得：1.5＜a ＜2，∵a ﹣b ＝m ，∴b ＝a ﹣m ，a +b ＝a +a ﹣m ，∵1.5＜a＜2，∴3﹣m＜a+a﹣m＜4﹣m，∴3﹣m＜a+b＜4﹣m．故答案为：3﹣m＜a+b＜4﹣m．25．（2021•椒江区校级开学）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a⊕b＝a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算，例如：3⊕5＝3﹣3×5+7＝﹣5．（1）7⊕4＝　2　；⊕10　．（2）若2x⊕y＝12，x⊕3＝2y，求xy的平方根；（3）若3m＜2⊕x＜7，且解集中恰有3个整数解，求m的取值范围．【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值；（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算求出x与y的值，计算出xy的值，求出平方根即可；（3）已知不等式利用题中的新定义化简，根据解集中恰有3个整数解，确定出m的范围即可．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：7⊕4＝7﹣3×4+7＝2；1）31）+7=+3+7＝﹣10；故答案为：2；﹣10；（2）∵2x⊕y＝12，x⊕3＝2y，∴2x−3y+7=12 x−9+7=2y，解得：x=4 y=1，则xy＝4，4的平方根是±2；（3）由题意得：2−3x+7＜7①2−3x+7＞3m②，由①得：x＞2 3，由②得：x＜3﹣m，∴不等式组的解集为23＜x＜3﹣m，∵该不等式组有3个整数解，整数解为1，2，3，∴3＜3﹣m≤4，解得：﹣1≤m＜0．26．（2020春•微山县期末）阅读新知现对x，y进行定义一种运算，规定f（x，y）=mx ny2（其中m，n为常数且mn≠0），等式的右边就是加、减、乘、除四则运算．例如：f（2，0）=m×2n×02=m应用新知（1）若f（1，1）＝5，f（2，1）＝8，求m，n的值；拓展应用（2）已知f（﹣3，0）＞﹣3，f（3，0）＞−92，且m+n＝16，请你求出符合条件的m，n的整数值．【分析】（1）根据题中的新定义列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；（2）根据题中的新定义列出不等式组，求得不等式组的解，根据m+n＝16确定出m、n的整数值．【解答】解：（15=8，解得：m=6 n=4；（2＞−3−92，解得：﹣3＜m＜2，∵m、n是整数，且m+n＝16，∴m=−2n=18或m=−1n=17或m=1n=15．27．（2020春•邗江区期末）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．（1）填空：（﹣4）*3＝　﹣10　．（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为　x≥5　．（3）计算（2x2﹣4x+7）*（x2+2x﹣2）＝　4x2+3　．（4）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．【分析】（1）根据公式计算可得；（2）结合公式知3x﹣4≥x+6，解之可得；（3）先利用作差法判断出2x2﹣4x+7＞x2+2x﹣2，再根据公式计算（2x2﹣4x+7）*（x2+2x﹣2）即可得；（4）由题意可得3x−7≥3−2x 3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x 3x−7−2(3−2x)＜−6，分别求解可得；【解答】解：（1）（﹣4）*3＝﹣4﹣2×3＝﹣10，故答案为：﹣10；（2）∵（3x ﹣4）*（x +6）＝（3x ﹣4）+2（x +6），∴3x ﹣4≥x +6，解得：x ≥5，故答案为：x ≥5．（3）∵2x 2﹣4x +7﹣（x 2+2x ﹣2）＝x 2﹣6x +9＝（x ﹣3）2≥0；∴2x 2﹣4x +7≥x 2+2x ﹣2，原式＝2x 2﹣4x +7+2（x 2+2x ﹣2）＝2x 2﹣4x +7+2x 2+4x ﹣4＝4x 2+3；（4）由题意知3x−7≥3−2x 3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x 3x−7−2(3−2x)＜−6，解得：x ＞5或x ＜1；28．（2020•河北模拟）定义新运算：对于任意实数m 、n 都有m ☆n ＝mn ﹣3n ．例如4☆2＝4×2﹣3×2＝8﹣6＝2，请根据上述知识解决下列问题：（1）x ☆12＞4，求x 取值范围；（2）若|x ☆（−14）|＝3，求x 的值；（3）若方程x ☆□x ＝6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x ＝1，求□中的常数．【分析】（1）根据已知公式得出12x −32＞4，解之可得答案；（2）根据公式得出|−14x +34|＝3，即可得出−14x +34=3或−14x +34=−3，解之可得答案；（3）根据公式得到□x 2﹣3•□x ＝6，把x ＝1代入得到□﹣3□＝6，即可求得□＝﹣3．【解答】解：（1）∵x ☆12＞4，∴12x −32＞4，解得：x ＞11；（2）∵|x ☆（−14）|＝3，∴|−14x +34|＝3，∴−14x +34=3或−14x +34=−3，解得：x ＝﹣9或x ＝15；（3）∵方程x ☆□x ＝6，∴□x 2﹣3•□x ＝6，∵方程的一个解为x ＝1，∴□﹣3□＝6，∴□＝﹣3．29．（2021春•海州区期末）对x ，y 定义一种新运算F ，规定：F （x ，y ）＝（mx +ny ）（3x ﹣y ）（其中m ，n 均为非零常数）．例如：F （1，1）＝2m +2n ，F （﹣1，0）＝3m ．（1）已知F （1，﹣1）＝﹣8，F （1，2）＝13．①求m ，n 的值；②关于a 的不等式组F(a ，3a +1)＞−95F(5a ，2−3a)≥340，求a 的取值范围；（2）当x 2≠y 2时，F （x ，y ）＝F （y ，x ）对任意有理数x ，y 都成立，请直接写出m ，n 满足的关系式．【分析】（1）①根据定义的新运算F ，将F （1，﹣1）＝﹣8，F （1，2）＝13代入F （x ，y ）＝（mx +ny ）（3x ﹣y ），得到关于m 、n 的二元一次方程组，求解即可；②根据题中新定义化简已知不等式组，再求出不等式组的解集即可；（2）由F （x ，y ）＝F （y ，x ）列出关系式，整理后即可确定出m 与n 的关系式．【解答】解：（1）①根据题意得：F （1，﹣1）＝（m ﹣n ）（3×1+1）＝﹣8，即m ﹣n ＝﹣2；F （1，2）＝（m +2n ）（3×1﹣2）＝13，即m +2n ＝13，解得：m ＝3，n ＝5；②根据题意得：F （x ，y ）＝（3x +5y ）（3x ﹣y ），F（a，3a+1）＝（3a+15a+5）（3a﹣3a﹣1）＝﹣18a﹣5，F（5a，2﹣3a）＝（15a+10﹣15a）（15a﹣2+3a）＝180a﹣20．由−18a−5＞−95①180a−20≥340②，解不等式①得：a＜5，解不等式②得：a≥2，故原不等式组的解集为2≤a＜5；（2）由F（x，y）＝F（y，x），得（mx+ny）（3x﹣y）＝（my+nx）（3y﹣x），整理得：（x2﹣y2）（3m+n）＝0，∵当x2≠y2时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x，y都成立，∴3m+n＝0，即n＝﹣3m．30．（2021春•大连期末）对x，y定义一种新的运算P，规定：P（x，y）=mx+ny，(x≥y)nx+my，(x＜y)（其中mn≠0）．已知P（2，1）＝7，P（﹣1，1）＝﹣1．（1）求m、n的值；（2）若a＞0，解不等式组P(2a，a−1)＜4P(−12a−1，−13a)≤−5．【分析】（1）先根据规定的新运算列出关于m、n的方程组，再解之即可；（2）由a＞0得出2a＞a﹣1，−12a﹣1＜−13a，根据新定义列出关于a的不等式组，解之即可．【解答】解：（1）由题意，得：2m+n=7−n+m=−1，解得m=2 n=3；（2）∵a＞0，∴2a＞a，∴2a＞a﹣1，−12a＜−13a，∴−12a﹣1＜−13a，∴2×2a+3(a−1)＜4①3(−12a−1)+2×(−13a)≤−5②，解不等式①，得：a＜1，解不等式②，得：a≥12 13，12 13≤a＜1．∴不等式组的解集为。

2019年春七年级数学下册实数第1课时实数的概念同步练习(新版)新人教版

6.3 第1课时实数的概念知识点 1 无理数的定义 1．下列说法正确的是( ) A ．无限小数是无理数 B ．有根号的数是无理数 C ．无理数是开方开不尽的数D ．无理数包括正无理数和负无理数 2．任何一个有理数都可以写成________________的形式，反过来，任何________________都是有理数．3．下列各数中：－14，3.14159，－π，π5，0，0.3，15，5.2·01·，2.121122111222…，其中无理数有________________________．知识点 2 实数的定义与分类 4．能够组成全体实数的是( ) A ．自然数和负数 B ．整数和分数 C ．有理数和无理数D ．正数和负数 5．下列说法正确的是( ) A ．正实数和负实数统称实数 B ．正数、零和负数统称为有理数 C ．带根号的数和分数统称实数 D ．无理数和有理数统称为实数6．按大小分，实数可分为________、________、________三类． 7．把下列各数分别填入相应的数集里．－13π，－2213，7，327，0.324371，0.5，39，－0.4，16，0.8080080008… 无理数集合{ …}；有理数集合{ …}；分数集合{ …}；负实数集合{ …}．知识点 3 实数与数轴的关系8．和数轴上的点成一一对应关系的数是( ) A ．自然数 B ．有理数 C ．无理数 D ．实数9．如图6－3－1，数轴上的A ( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D知识点 4 实数的相反数、绝对值 10.2的相反数是( )A ．－ 2 B. 2 C.12D ．211．若m ，n 互为相反数，则式子|m －5＋n |＝________． 12．在数轴上表示－6的点到原点的距离为________． 13．求下列各数的相反数和绝对值．(1)－2； (2)－364； (3)π－3.14．求下列各式中的x . (1)|x |＝35； (2)|x |＝17.15．下列各组数中互为相反数的是( ) A ．5和（－5）2B ．－|－5|和－(－5)C ．－5和3－125 D ．－5和1516．实数a 对应的点在数轴上的位置如图6－3－2所示，则a ，－a ，1a的大小关系为( )图6－3－2A.1a ＜a ＜－a B ．－a ＜1a＜aC ．a ＜1a ＜－a D.1a＜－a ＜a17．已知a 为实数，则下列四个数中一定为非负数的是( )A ．a B.3a C ．|－a | D ．－|－a |18．如图6－3－3，数轴上A ，B 两点表示的数分别为2和5.1，则A ，B 两点之间表示整数的点共有( )图6－3－3A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个19.3－2的相反数是________，绝对值是________．20．有九个数：0.1427，(－0.5)3，3.1416，121，327，2.5，227，－2π，0.2020020002…，若无理数的个数为x ，整数的个数为y ，非负数的个数为z ，则x ＋y ＋z ＝________．21．如图6－3－4，A 是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O (点A 与点O 重合)．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A 恰好与数轴上的点A ′重合，则点A ′对应的实数是________．图6－3－422．已知实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图6－3－5所示，试化简：（a －b ）2－|a ＋b |.图6－3－523．已知实数a ，b ，c ，d ，e ，f ，且a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，e 的绝对值为2，f 的算术平方根是8，求12ab ＋c ＋d 5＋e 2＋3f 的值．24．先阅读下面的文字，再解答问题．大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用2－1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．已知：10＋3＝x＋y，其中x是整数，且0<y<1，求x－y的值．教师详解详析1．D [解析] A 项不正确，无限不循环小数是无理数．B 项不正确，有根号的数不一定是无理数，如4，38等．C 项不正确，π及类似1.010010001…(两个1之间0的个数逐次加1)的数也是无理数．2．有限小数或无限循环小数有限小数或无限循环小数3．－π，π5，2.121122111222…4．C 5.D 6.正实数 0 负实数7．解：无理数集合{－13π，7，39，－0.4，0.8080080008…，…}；有理数集合{－2213，327，0.324371，0.5，16，…}；分数集合{－2213，0.324371，0.5，…}；负实数集合{－13π，－2213，－0.4，…}．8．D [解析] ∵任何实数都可以用数轴上的点来表示，数轴上的任何一点都表示一个实数，∴和数轴上的点成一一对应关系的数是实数．故选D . 9．B [解析] ∵3≈1.732， ∴－3≈－1.732.∵点A ，B ，C ，D 表示的数分别为－3，－2，－1，2，∴与数－3表示的点最接近的是点B.故选B . 10．A11. 5 [解析] 由题意m ，n 互为相反数，可知m ＋n ＝0，则|m －5＋n|＝ 5.12. 6 [解析] 数轴上表示－6的点到原点的距离为－6的绝对值，|－6|＝ 6. 13．解：(1)－2的相反数为2，绝对值为||－2＝ 2. (2)－364的相反数为364＝4，绝对值为⎪⎪⎪⎪－364＝364＝4.(3)π－3的相反数为3－π，因为π>3，所以绝对值为||π－3＝π－3.14．解：(1)x ＝±35.(2)x ＝±17.15．B [解析] 只有符号不同的两个数互为相反数，它们的和为0，由此可判定选项．A 中（－5）2＝5，两个数相等，故错误；B 中－|－5|＝－5，－(－5)＝5，－5与5互为相反数，故正确；C 中3－125＝－5，两个数相等，故错误；D 中－5和15既不是相反数，也不是倒数，故错误．故选B .16．A [解析] 采用特殊值法来解决．不妨设a ＝－12，则－a ＝12，1a ＝－2.因为－2＜－12＜12，所以1a＜a ＜－a.故选A .17．C [解析] 选项A 中的a 可以表示任何实数．选项B 中的3a 的符号与a 相同，所以也可以表示任何实数．选项C 中的|－a|表示－a 的绝对值，根据绝对值的意义，可知|－a|为非负数．选项D 中的－|－a|表示|－a|的相反数，由于|－a|为非负数，所以－|－a|为非正数．故选C .18．C [解析] 因为1<2＜2，5＜5.1＜6，所以A ，B 两点之间表示整数的点有表示2，3，4，5的点，共有4个．故选C .19.2－ 3 3－ 2 [解析] 3－2的相反数是－(3－2)＝－3＋2＝2－3.3－2是一个正实数，正实数的绝对值等于它本身．20．12 [解析] 无理数有 2.5，－2π，0.2020020002…，所以x ＝3.整数有121，327，所以y ＝2.非负数有0.1427，3.1416，121，327， 2.5，227，0.2020020002…，所以z＝7，所以x ＋y ＋z ＝3＋2＋7＝12.21．π [解析] 将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A 恰好与数轴上的点A′重合，则点A 转过的距离是圆的周长，即π，因而点A′对应的实数是π.22．解：根据数轴可得出：a －b ＞0，a ＋b ＜0，∴（a －b ）2－|a ＋b|＝(a －b)＋(a ＋b)＝2a. 23．解：因为a ，b 互为倒数，所以ab ＝1. 因为c ，d 互为相反数，所以c ＋d ＝0. 因为e 的绝对值为2，所以e ＝±2，所以e 2＝(±2)2＝2.因为f 的算术平方根是8，所以f ＝64，所以3f ＝364＝4，所以12ab ＋c ＋d 5＋e 2＋3f ＝12＋0＋2＋4＝612.24．解：由1<3<2，得11<10＋3<12.由x 是整数，且0<y<1，得x ＝11， y ＝10＋3－11＝3－1，从而x －y ＝11－(3－1)＝12－ 3.。

2020-2021人教版数学七年级下册专项测试卷(二)新定义数学问题

人教版数学七年级下册专项测试卷（二）新定义数学问题一、按要求做题1．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ．规定a ※b =ab ²+2ab+a ，如1※2=1x2²+2x1x2+1=9.(1)求(-4)※3；(2)若21+a ※3=-16，求a 的值．2．定义新运算：对于任意实数a 、b 都有a ▲b=ab -a -b+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2▲4= 2x4-2-4+1=3．试根据上述知识解决下列问题．(1)若3▲x =6，求x 的值；(2)若▲x 5的值不大于9，求x 的取值范围．3．对于实数a ，我们规定：用符号[a ]表示不大于a 的最大整数，称为a 的根整数，例如：[9]=3，[10]_3．(1)仿照以上方法计算：[4]=____，[37]=____.(2)若[x ]=1，写出满足题意的x 的整数值：____；如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1．例如：对10连续求根整数2次，[10]=3→[3]=1，这时的结果为1．(3)对120连续求根整数，____次之后结果为1；(4)只需进行3次连续求根整数运算，最后结果为1的所有正整数中，最大的是____.4．对于实数a 、b ，定义两种新运算“※”和“*”：a ※b=a+kb ，a*b=ka+b(其中k 为常数，且k ≠0)．若对于平面直角坐标系xOy 中的点P(a ，b)，有点P'(a ※b ，a*b)与之对应，则称点P 的“k 衍生点”为点P'，例如：P(1，3)的“2衍生点”为P'(1+2x3，2x1+3)，即P'(7，5).(1)点P( -1，5)的“3衍生点”的坐标为____；(2)若点P 的“5衍生点”的坐标为(9，-3)，求点P 的坐标；(3)若点P 的“k 衍生点”为点P'，且直线PP'平行于y 轴，线段PP'的长度为线段OP 长度的3倍，求k 的值．5．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P ₁(x ₁，y ₁)与P ₂(x ₂，y ₂)的“识别距离”，给出如下定义：若y y x x 2121-≥-，则点P ₁(x ₁，y ₁)与点P ₂(x ₂，y ₂)的“识别距离”为x x 21-；若y y x x 2121--＜，则点P ₁(x ₁，y ₁)与点P ₂(x ₂，y ₂)的“识别距离”为y y 21-．(1)已知点A(-1,0)，点B 为y 轴上的动点．①若点A 与点B 的“识别距离”为2，则写出满足条件的点B 的坐标为____；②直接写出点A 与点B 的“识别距离”的最小值为____；(2)已知点C 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+343m m ，点D 的坐标为(0，1)，求点C 与点D 的“识别距离”的最小值及相应的点C 的坐标.6．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A 、B 、C 的“矩面积”，给出如下定义，“水平底”a ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah.例如：三点坐标分别为A(1，2)、B(-3，1)、C(2，-2)，则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”D=ah=20.根据所给定义解决下列问题：(1)已知点D(1，2)、E(-2，1)、F(0，6)，则这三点的“矩面积”S=____；(2)若D(1，2)、E(-2，1)、F(0，t)三点的“矩面积”S 为18，求点F 的坐标．7．[阅读材料，获取新知]在航空、航海等领域我们经常用距离和角度来确定点的位置，规定如下：在平面内取一个定点O ．叫做极点，引一条射线O x ，叫做极轴，再选定单位长度和角度的正方向(通常取逆时针方向)．对于平面内任意一点M ，用p 表示线段OM 的长度(有时也用r 表示)，p 表示从O x 到OM 的角度，p 叫做点M 的极径，ρ叫做点M 的极角，有序数对(p ，θ)就叫做点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系．通常情况下,M 的极径坐标单位为1(长度单位)，极角坐标单位为rad(或°)．例如：如图①所示，点M 到点O 的距离为5个单位长度，OM 与O x 的夹角为70°(O x 的逆时针方向)．则点M 的极坐标为(5，70°)；点N 到点O 的距离为3个单位长度，ON 与O x 的夹角为50°(O x 的顺时针方向)，则点N 的极坐标为(3，-500)．[利用新知，解答问题]如图②所示，已知过点O 的所有射线等分圆周且相邻两射线的夹角为15°，且极径坐标单位为1．(1)点A 的极坐标是____，点D 的极坐标是____.(2)请在图②中标出点B(5，45°)，点E(2，-90°)；(3)怎样从点B 运动到点C?小明设计的一条路线为点B →(4，45°)→(3，45°)→(3，30°)→点C ．请你设计一条与小明不同的路线，也可以从点B 运动到点C ．8．定义：可化为其中一个未知数的系数都为1，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关线性方程组”，如所示，其中k 、b 称为该方程组的“相关系数”．(1)若关于x 、y 的方程组可化为“相关线性方程组”，则该方程组的解为____，(2)若某“相关线性方程组”有无数组解，求该方程组的两个“相关系数”之和．9．阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合的两点A 、B ，若数轴上存在一点M ，使得点M 到点A 的距离等于点M 到点B 的距离，则称点M 为点A 与点B 的“平衡点”．解答下列问题：(1)若点A 表示的数为-3。

【暑假分层作业】第06练实数及新定义问题-2022年七年级数学(人教版)(答案及解析)

第06练实数及新定义问题知识点：实数实数（1）有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

（2）无理数的定义：无限不循环小数叫无理数。

（3）实数的定义：有理数和无理数统称为实数。

1. 实数的分类（4）实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。

对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。

2. 无理数的概念无限不循环小数称为无理数。

人们已经证明2是一个无限不循环小数，它的值为1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7…3，5，32，33，⋯⋯1010010001.0，⋯⋯-31456728.2等都是无理数。

知识点二：实数的大小比较1、实数的倒数、相反数和绝对值（1）相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同绝对值相同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

（2）绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值既可以看成是它本身，也可看成它的相反数。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

（3）倒数如果ab=1，则a 与b 互为倒数，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

2、数轴和实数大小比较规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

比较大小时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a 、b 是实数，,0b a b a >⇔>- ,0b a b a =⇔=- b a b a <⇔<-0（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数;1;1;1b a bab a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔> （4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>。

人教版七年级初一数学专题训练(三) 新定义运算

人教版
第一章有理数
2019/9/11
1
类型一定义新运算进行加减运算 1．对有理数a，b，规定运算：a※b＝a－b，则2※(－3)的值为___5____． 2．定义新运算：对任意有理数a，b，都有a⊙b＝a＋(b－2)，例如，2⊙3 ＝2＋(3－2)＝3，那么3⊙(－4)的值是( C ) A．9 B．3 C．－3 D．5
2019/9/11
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7．定义一种运算：ab
cd＝ad－bc，如：－12
－3＝1×0－(－2)×(－3) 0
＝0－6＝－6.那么当 a＝－12，b＝(－2)2－1，c＝－32＋5，d＝14－|－34|时，求ab
c

d
的值．
解：因为 a＝－12＝－1，b＝(－2)2－1＝4－1＝3，c＝－32＋5＝－9＋5＝
2
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类型三定义新运算进行有理数混合运算
5．定义运算
＝a－b＋c，yx
m n
＝x－y＋n－m，则由
×
55 55
6 96
可得到的算式是____(_1_9_－__9_6_＋__4_1_)_×__(5_5__－__5_5_＋__9_6_－__6_)____，经
过计算所得的值是___－__3_2__4_0____．
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类型二定义新运算进行乘除运算 3．若“！”是一种数学运算符号，并且 1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1
＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，则 5！＝______5_×__4_×__3_×__2_×__1______＝__1_2_0__，
19080！！＝_____9__9_0_0_新运算“⊕”如下：当 a≥b(b≠0)时，a⊕b＝ba；当 a＜b 时，a⊕b ＝ab.

数学人教版七年级下册新定义问题

新定义题型【研究背景】新定义题是近几年频频出现在中考试卷中的一类新题型.新定义题的基本组成: 一是阅读材料;•二是考查内容.新定义题的基本模式是：阅读—理解—应用. 重点是阅读，难点是理解，关键是应用，通过阅读，对所提供的文字、符号、图形等进行分析和综合，在理解的基础上制定解题策略. 新定义题的基本类型:新定义法则型、新定义概念型、阅读理解思维型等.新定义题突出考查的能力:不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其是侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识.此类题目能够帮助考生实现从模仿到创造的思想过程，符合学生的认知规律，是中考的热点题目之一，今后的中考试题有进一步加强的趋势.【教学目标】1.掌握新定义题的基本类型:新定义法则型、新定义概念型.2. 培养学生的阅读能力，而且综合培养学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其是侧重于培养学生的数学知识迁移能力和创新意识.【教学重点】掌握阅读理解题的基本类型:新定义法则型、新定义概念型.【教学难点】培养学生的阅读能力，而且综合培养学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其是侧重于培养学生的数学知识迁移能力和创新意识.【教学过程】一、定义新运算.即整体模式是:使用特定的运算符号，按照设定的计算程序进行一种运算.解答本题的关键是理解新定义运算法则，严格按照新定义运算法则代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的运算.例1.对于有理数a ，b ，定义min {}a ，b 的含义为：当a ≥b 时，min {}a ，b ＝b ；当a ＜b 时，min {}a ，b ＝a . 例如：min {}1，－2＝－2，min {}33--，＝-3. 求：（1）min {}12-，=________________；（2）求min{x 2＋1，0}；（3）已知min{－2k ＋5，－1}＝－1，求k 的取值范围；（4）已知min{ 1，｜x －y －1｜＋2)432(+-y x }＝0.求x ，y 的值.1．对于有理数x ，y 定义新运算：x *y ＝ax ＋by ＋5，其中a ，b 为常数．（1）已知1*2＝9，(－3)*3＝2，求a ，b 的值．（2）在（1）条件下求，(－1)*4的值二、定义新概念整体模式是:先特定了的一个新定义下一个概念，然后在理解了这个概念之后,进而再运用这个概念解决与此概念有关的问题.(包含代数题、几何题、综合题）例2．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C 的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”=S ah .例如：三点坐标分别为)2,1(A ，)1,3(-B ，)2,2(-C ，则“水平底”5=a ，“铅垂高”4=h ，“矩面积”20==S ah ．（1）已知点)2,1(A ，)1,3(-B ，),0(t P ．①若A ，B ，P 三点的“矩面积”为12，求点P 的坐标；②直接写出A ，B ，P 三点的“矩面积”的最小值．（2）已知点)0,4(E ，)2,0(F ，)4,(m m M ，其中0>m ，若E ，F ，M 三点的“矩面积”为8，求m 的取值范围．练习1. 在平面直角坐标系xOy 中，如果点P (x ，y ) 坐标中的x ，y 的值是关于x 、y 的二元一次方程ax ＋by=c 的一个解，那么称点P (x ，y ) 为该方程的一个解坐标。

七年级数学上册人教版期末新定义题型复习导学案及配套作业(解析版)

期末新定义题型复习（解析版）类型一有理数中的新定义1．（2022秋•尤溪县）七年级小莉同学在学习完第二章《有理数及其运算》后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝ab+2a．则(−3)⊕(−4⊕12)=（）A．﹣13B．6C．24D．30思路引领：根据新定义先计算−4⊕12，再计算（﹣3）⊕（﹣10）即可求解．解：由题意得：(−3)⊕(−4⊕12)＝（﹣3）⊕[﹣4×12+2×（﹣4）]＝（﹣3）⊕（﹣2﹣8）＝（﹣3）⊕（﹣10）＝﹣3×（﹣10）+2×（﹣3）＝30﹣6＝24．故选：C．总结提升：本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．2．（2022秋•新吴区期中）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝a b﹣ab，则﹣1※2022的值（）A．2023B．2022C．﹣2023D．﹣2021思路引领：根据新运算得出﹣1※2022＝﹣（12022﹣1×2022），再根据有理数的运算法则进行计算即可．解：﹣1※2022＝（﹣1）2022﹣（﹣1）×2022＝1+2022＝2023，故选：A．总结提升：本题考查了有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解此题的关键．3．（2022秋•海陵区校级期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为n2k （其中k是使n2k为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26，则：若n＝49，则第2022次“F运算”的结果是（）A．31B．49C．62D．98思路引领：根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可．解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝49为奇数应先进行F①运算，即3×49+5＝152（偶数），需再进行F②运算，即152÷23＝19（奇数），再进行F①运算，得到3×19+5＝62（偶数），再进行F②运算，即62÷21＝31（奇数），再进行F①运算，得到3×31+5＝98（偶数），再进行F②运算，即98÷21＝49，再进行F①运算，得到3×49+5＝152（偶数），…，即第1次运算结果为152，…，第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，则6次一循环，2022÷6＝337，则第2022次“F运算”的结果是49．故选：B．总结提升：本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，解题的关键是经过运算发现其数字的变化规律．4．（2022秋•越秀区校级月考）已知a、b皆为有理数，定义运算符号为※：当a＞b时，a ※b＝2a；当a＜b时，a※b＝2b﹣a，则3※2﹣[（﹣2）※3]等于（）A．﹣2B．5C．﹣6D．10思路引领：原式利用题中的新定义计算即可求出值．解：根据题中的新定义得：3※2＝2×3＝6，（﹣2）※3＝2×3﹣（﹣2）＝6+2＝8，则原式＝6﹣8＝﹣2．故选：A．总结提升：此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．5．（2022秋•靖江市校级月考）对于有理数a 、b 定义一种新运算“⊙”，规定a ⊙b ＝|a +b |+|a ﹣b |，则（﹣2）⊙3的值是（） A ．6B ．5C ．4D ．2思路引领：原式利用题中的新定义计算即可求出值．解：根据题中的新定义得：原式＝|﹣2+3|+|﹣2﹣3| ＝1+5 ＝6．故选：A ．总结提升：此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 6．（2022秋•鄞州区校级期中）正整数中各位数字的立方和与其本身相等的数称为“水仙花数”．例如153，13+53+33＝153，因此“153”为“水仙花数”，则下列各数中：①370，②371，③407，④502，“水仙花数”的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4思路引领：根据正整数中各位数字的立方和与其本身相等的数称为“水仙花数”，分别判断得出答案即可．解：①∵33+73+03＝370，∴370为“水仙花数”，故此选项正确； ②∵33+73+13＝371，∴371为“水仙花数”，故此选项正确； ③∵43+03+73＝407，∴407为“水仙花数”，故此选项正确； ④∵53+03+23≠502，∴546不是“水仙花数”，故此选项错误．故选：C ．总结提升：此题主要考查了有理数的混合运算，有理数的乘方以及新定义，根据“水仙花数”的定义得出是解题关键．7．（2022秋•江阴市期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a ，b 满足a *b ={2a −b ，a ≥b a −2b ，a ＜b ．如5*3＝2×5﹣3＝7，12*1=12−2×1=−32，若x *3＝5，则有理数x 的值为（） A ．4 B ．11 C ．4或11 D ．1或11思路引领：分x ≥3与x ＜3两种情况求解．解：当x ≥3，则x *3＝2x ﹣3＝5，x ＝4；当x ＜3，则x *3＝x ﹣2×3＝5，x ＝11，但11＞3，这与x＜3矛盾，所以此种情况舍去．即：若x*3＝5，则有理数x的值为4，故选：A．总结提升：本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解题目所给的定义中包含的运算及运算顺序．类型二整式加减中的新定义8．（2022秋•黄浦区期中）定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数；若x≥0，则[x]＝x﹣1；若x＜0，则[x]＝x+1．例[32]=12，[﹣2]＝﹣1；已知当a＞0，b＜0时有[a]＝[b]+1，则代数式（b﹣a）3﹣3a+3b的值为．思路引领：根据定义的新运算可得a﹣1＝b+1+1，从而可得a﹣b＝3，然后利用整体的思想进行计算即可解答．解：当a＞0，b＜0时，[a]＝[b]+1，∴a﹣1＝b+1+1，∴a﹣b＝3，∴（b﹣a）3﹣3a+3b＝﹣（a﹣b）3﹣3（a﹣b）＝﹣33﹣3×3＝﹣27﹣9＝﹣36，故答案为：﹣36．总结提升：本题考查了代数式求值，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键．9．（2022秋•浦东新区期中）定义a﹣b＝0，则称a、b互容，若2x2﹣2与x+4互容，则6x2﹣3x﹣9＝．思路引领：先根据新定义求出2x2﹣x＝6，再把6x2﹣3x﹣9化为3（2x2﹣x）﹣9的形式，整体代入计算即可．解：∵2x2﹣2与x+4互容，∴2x2﹣2﹣（x+4）＝0，∴2x2﹣x＝6，∴6x2﹣3x﹣9＝3（2x2﹣x）﹣9＝3×6﹣9＝9，故答案为：9．总结提升：本题考查了代数式的求值，掌握乘法分配律的逆运算，把（2x2﹣x）看做一个整体进行计算是解题关键．10．（2022秋•涪城区期中）定义如下运算程序，则输入a＝4，b＝﹣2时，输出的结果为．思路引领：由程序框图将a＝4，b＝﹣2代入a+b计算可得答案．解：∵a＝4，b＝﹣2，a＞b，∴输出结果为代入a+b＝4+（﹣2）＝2．故答案为：2．总结提升：此题考查了代数式的求值与有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．（2022•三水区校级三模）定义：若a﹣b＝0，则称a与b互为平衡数，若2x2﹣2与x+4互为平衡数，则代数式6x2﹣3x﹣9＝．思路引领：根据题意，2x2﹣2与x+4互为平衡数，得2x2﹣2﹣x﹣4＝0，得到2x2﹣x＝6，即可求出答案．解：∵2x2﹣2与x+4互为平衡数，∴2x2﹣2﹣x﹣4＝0，∴2x2﹣x＝6，∴6x2﹣3x＝18，∴6x2﹣3x﹣9＝18﹣9＝9．故答案为：9．总结提升：本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法．12．（2022秋•古田县期中）（1）先化简，后求值：−13x−2(x−13y2)+(−23x+13y2)：（其中x＝﹣2，y=2 3）．（2）定义一种新运算：观察下列各式：1*2＝1×3+2＝5，4*（﹣2）＝4×3﹣2＝10，3*4＝3×3+4＝13，6*（﹣1）＝6×3﹣1＝17．①请你想想：a*b＝；②若a≠b，那么a*b b*a（填“＝”或“≠”）；③先化简，再求值：（a﹣b）*（a+2b），其中a＝1，b＝﹣7．思路引领：（1）先利用去括号的法则去掉括号后，合并同类项，再将x，y值代入运算即可；（2）①利用题干中各式中的规律解答即可；②利用①中的规律解答即可；③利用①中的规律得到关于a，b的关系式，化简后将a，b的值代入运算即可．解：（1）原式=−13x﹣2x+23y2−23x+13y2＝（−13−2−23）x+（23+13）y2＝﹣3x+y2，当x＝﹣2，y=23时，原式＝﹣3×（﹣2）+(2 3 )2＝6+4 9=589；（2）①a*b＝3a+b，故答案为：3a+b；②∵a*b＝3a+b，b*a＝3b+a，又∵a≠b，∴3a+b≠3b+a，∴a*b≠b*a，故答案为：≠；③（a﹣b）*（a+2b）＝3（a﹣b）+（a+2b）＝3a﹣3b+a+2b＝4a﹣b．当a＝1，b＝﹣7时，原式＝4×1﹣（﹣7）＝4+7＝11．总结提升：本题主要考查了整式的加减，化简求值，本题是阅读型题目，寻找题干中各式的规律并熟练应用是解题的关键．类型四一元一次方程中的新定义13．（2021秋•河口区期末）如果规定“*”的意义为：a*b=a+2b2（其中a，b为有理数），那么方程3*x =52的解是x ＝．思路引领：分析题意，运用定义的新运算法则，可得3*x =3+2x2；不难得出3+2x 2=52，解方程即可解答本题．解：由题意得： 3*x =3+2x2， ∵3*x =52， ∴3+2x 2=52，解得x ＝1．故答案为：1．总结提升：本题考查的是一道定义新运算的题目，需结合题中定义的新运算法则进行求解．14．（2021秋•如皋市期末）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程3x +9＝0中，3﹣9＝﹣6，方程的解为x ＝﹣3，则方程3x +9＝0为妙解方程．请根据上述定义解答：关于x 的一元一次方程3x +a ﹣b ＝0是妙解方程，则b ﹣a ＝．思路引领：利用题中的新定义解答即可．解：解关于x 的一元一次方程3x +a ﹣b ＝0，得x =b−a3， ∵关于x 的一元一次方程3x +a ＝0是妙解方程， 3﹣（a ﹣b ）＝2×b−a3， 9+3（b ﹣a ）＝2（b ﹣a ）， ∴b ﹣a ＝﹣9．故答案为：﹣9．总结提升：此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 15．（2022秋•隆安县期中）我们将|a b c d |这样的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是|a bc d|=ad ﹣bc ，例如|1234|=1×4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2．（1）请你依此法则计算二阶行列式|3−243|．（2）请化简二阶行列式|2x −3x +224|，并求当x ＝4时二阶行列式的值．思路引领：（1）根据|a bc d|=ad ﹣bc ，可以求得所求式子的值；（2）根据|a bc d|=ad ﹣bc ，可以将题目中的式子化简，然后将x ＝4代入化简后的式子即可．解：（1）由题意可得， |3−243| ＝3×3﹣（﹣2）×4 ＝9+8 ＝17；（2）|2x −3x +224|＝4（2x ﹣3）﹣2（x +2）＝8x ﹣12﹣2x ﹣4 ＝6x ﹣16，当x ＝4时，原式＝6×4﹣16＝24﹣16＝8．总结提升：本题考查整式的加减、有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，会用新定义解答问题．16．（2022秋•西城区校级期中）定义如下：存在数a ，b ，使得等式a2+b 4=a+b 2+4成立，则称数a ，b 为一对“互助数”，记为（a ，b ）．比如：（0，0）是一对“互助数”．（1）若（1，b ）是一对“互助数”，则b 的值为；（2）若（﹣2，x ）是一对“互助数”，求代数式（﹣x 2+3x ﹣1）−15（−52x 2+5x ﹣15）的值；（3）若（m ，n ）是一对“互助数”，满足等式m −14n ﹣（6m +2n ﹣2）＝0，求m 和n 的值．思路引领：（1）根据“互助数”的定义即可求得b 的值；（2）根据“互助数”的定义求出x 的值，再对所求代数式进行去括号，合并同类项，最后把x 的值代入化简后的代数式中即可求解；（3）根据“互助数”的定义求得n ＝﹣4m ①，再将所求等式化简得−5m −94n +2=0②，将①代入②中即可求解．解：（1）∵（1，b ）是一对“互助数”， ∴12+b 4=1+b 2+4，解得：b ＝﹣4，故答案为：﹣4；（2）∵（﹣2，x ）是一对“互助数”， ∴﹣1+x4=−2+x2+4，解得：x ＝8，（﹣x 2+3x ﹣1）−15（−52x 2+5x ﹣15） =−x 2+3x −1+12x 2−x +3 =−12x 2+2x +2，当x ＝8时，原式=−12×64+16+2＝﹣14；（3）∵（m ，n ）是一对“互助数”， ∴m 2+n 4=m+n 2+4，化简得：n ＝﹣4m ①，由m −14n ﹣（6m +2n ﹣2）＝0化简得， −5m −94n +2=0②，把①代入②中得，−5m −94×(−4m)+2=0，解得：m =−12，则n =−4×(−12)=2， ∴m =−12，n ＝2．总结提升：此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．（2022秋•邗江区期中）定义：若a +b ＝6，则称a 与b 是关于6的实验数．（1）4与是关于6的实验数；与5﹣2x 是关于6的实验数．（用含x 的代数式表示）．（2）若a ＝x 2﹣4x +2，b ＝x 2﹣2（x 2﹣2x ﹣2），判断a 与b 是否是关于6的实验数，并说明理由．（3）若c ＝6x 2﹣8x +4，d ＝﹣2（3x 2﹣4x +k ），且c 与d 是关于6的实验数，求k 的值．思路引领：（1）由4+2＝6，6﹣（5﹣2x ）可得答案；（2）列出算式a +b ＝a +b ＝x 2﹣4x +2+x 2﹣2（x 2﹣2x ﹣2 ）去括号、合并同类项得出其结果，判断结果是否等于3即可；（3）由c 与d 是关于6的实验数知c +d ＝6，据此可得6x 2﹣8x +4﹣2（3x 2﹣4x +k ）＝6，进一步求解可得答案．解：（1）∵4+2＝6，6﹣（5﹣2x ）＝1+2x ，∴4与2是关于6的实验数，1+2x 与5﹣2x 是关于6的实验数，故答案为：1+2x ；（2）a 与b 是关于6 的实验数，理由：∵a +b ＝x 2﹣4x +2+x 2﹣2（x 2﹣2x ﹣2 ）＝x 2﹣4x +2+x 2﹣2x 2+4x +4 ＝6，∴a 与b 是关于6的实验数；（3）∵c 与d 是关于6的实验数，c ＝6x 2﹣8x +4，d ＝﹣2（3x 2﹣4x +k ）， ∴c +d ＝6x 2﹣8x +4﹣2（3x 2﹣4x +k ）＝6，解得k ＝﹣1． ∴k 的值为﹣1．总结提升：本题主要考查整式的加减，解题的关键是理解并掌握实验数的定义及整式加减运算顺序和法则．18．（2022秋•丰泽区校级期中）定义：对于一个有理数x ，我们把[x ]称作x 的“⻘一值”．若x ≥0，则有理数x 的“⻘一值”[x ]＝x ﹣2；若x ＜0，则有理数x 的“⻘一值”[x ]＝x +2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1；[﹣1]＝﹣1+2＝1．（1）求有理数﹣2和32的“⻘一值”；（2）已知有理数a ＞0，b ＜0，且它们的“⻘一值”相等，则[a ]＝[b ]，试求代数式（b ﹣a ）2﹣2a +2b 的值；（3）对于一个有理数x ，满⻘⻘程：[2x ]+[x +1]＝4，请直接写出满⻘⻘程的解x 的值．思路引领：（1）根据定义：若x ≥0，则有理数x 的“青一值”[x ]＝x +1；若x ＜0，则有理数x 的“青一值”[x ]＝x ﹣1，进行计算即可解答；（2）根据定义：若x ≥0，则有理数x 的“青一值”[x ]＝x +1；若x ＜0，则有理数x 的“青一值”[x ]＝x ﹣1，可得a ﹣b ＝﹣2，然后代入式子中，进行计算即可解答；（3）分三种情况：当x ≥0时，当﹣1≤x ＜0时，当x ＜﹣1时，然后分别进行计算即可解答．解：（1）[﹣2]＝﹣2﹣1＝﹣3； [32]=32+1=52，∴[﹣2]＝﹣3；[32]=52；（2）∵a ＞0，b ＜0， ∴[a ]＝a +1， [b ]＝b ﹣1， ∵[a ]＝[b ]，∴a+1＝b﹣1，∴a﹣b＝﹣2，∴（b﹣a）2﹣2a+2b＝（a﹣b）2﹣2（a﹣b）＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝4+4＝8；（3）分三种情况：当x≥0时，[2x]＝2x+1，[x+1]＝x+1+1＝x+2，∵[2x]+[x+1]＝4，∴2x+1+x+2＝4，解得：x=1 3；当﹣1≤x＜0时，[2x]＝2x﹣1，[x+1]＝x+1+1＝x+2，∵[2x]+[x+1]＝4，∴2x﹣1+x+2＝4，解得：x＝1（舍去）；当x＜﹣1时，[2x]＝2x﹣1，[x+1]＝x+1﹣1＝x，∵[2x]+[x+1]＝4，∴2x﹣1+x＝4，解得：x=53（舍去）；综上所述：x=1 3．总结提升：本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算﹣化简求值，解一元一次方程，理解定义中的[x]称作x的“青一值”是解题的关键．19．（2021秋•桃江县期末）阅读材料：在数轴上，如果把表示数1的点称为基准点，记作点P．对于两个不同的点M和N，若点M、N到点P的距离相等，则称点M与点N互为基准变换点．如图7中，点M表示数﹣1，点N表示数3，它们与表示数1的点P的距离都是2个单位长度，则点M与点N 互为基准变换点．解决问题：（1）若点A表示数a，点B表示数b，且点A与点B互为基准变换点．利用上述规定解决下列问题：①画图说明，当a＝0、4、﹣3时，b的值分别是多少？②利用（1）中的结论，探索a与b的关系，并用含a的式子表示b；③当a ＝2021时，求b 的值．（2）对点A 进行如下操作：先把点A 表示的数乘以52，再把所得的数表示的点沿数轴向左移动3个单位长度得到点B ，若点A 与点B 互为基准变换点，求点A 表示的数．思路引领：（1）①根据互为基准变换点的定义画图，即可得到答案； ②观察①可得a 与b 的关系； ③结合②，把a ＝2021代入即可；（2）表示出B 表示的数，再由点A 与点B 互为基准变换点列方程可得答案．解：（1）①由图可得：a ＝0时，b ＝2，a ＝4时，b ＝﹣2，a ＝﹣3时，b ＝5； ②a 与b 的关系为a +b ＝2， ∴b ＝2﹣a ；③a ＝2021时，b ＝2﹣2021＝﹣2019；（2）设点A 表示的数为x ，根据题意得：52a ﹣3＝2﹣x ，解得：x =107， ∴点A 表示的数是107．总结提升：本题考查数轴及列代数式，解题的关键是读懂题意，理解互为基准变换点的定义．20．（2022秋•西城区校级期中）阅读下列材料：定义：已知点A ，B ，C 为数轴上任意三点，若CB =12CA ，则称点C 是[A ，B ]的相关点．例如：如图1，点C 是[A ，B ]的相关点，点D 不是[A ，B ]的相关点，但点D 是[B ，A ]的相关点．根据这个定义解决下面问题：（1）如图2，M ，N 为数轴上两点，点M 表示的数是﹣2，点N 表示的数是4，若点G 是[M ，N ]的相关点，则点G 表示的数是；（2）数轴上点E 所表示的数为﹣10，点F 所表示的数为20．一动点P 从点F 出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，另一个动点Q 从点E 出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t 秒．问当t 为何值时，P 为[F ，Q ]的相关点？思路引领：（1）根据新定义列方程可得答案；（2）表示出P 表示的数是20﹣2t ，Q 表示的数是﹣10+t ，再根据新定义列方程可得答案．解：（1）设点G 表示的数是x ，根据题意得：GN =12GM ，即|x ﹣4|=12[x ﹣（﹣2）]，解得x ＝10或x ＝2，故答案为：10或2；（2）P 表示的数是20﹣2t ，Q 表示的数是﹣10+t ， ∵P 为[F ，Q ]的相关点，∴PQ =12PF ，即|（20﹣2t ）﹣（﹣10+t ）|=12×2t ，解得t ＝10或t ＝30，∴当t 为10或30时，P 为[F ，的相关点．总结提升：本题考查一元一次方程的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，能根据新定义列出方程解决问题．21．（2022秋•江都区期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x ﹣1＝3和x +1＝0为“美好方程”．（1）方程4x ﹣（x +5）＝1与方程﹣2y ﹣y ＝3是“美好方程”吗？请说明理由；（2）若关于x 的方程x2+m =0与方程3x ﹣2＝x +4是“美好方程”，求m 的值；（3）若关于x 方程2x ﹣n +3＝0与x +5n ﹣1＝0是“美好方程”，求n 的值．思路引领：（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可；（2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可；（3）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于n 的方程解答即可．解：（1）方程4x ﹣（x +5）＝1与方程﹣2y ﹣y ＝3是“美好方程”，理由如下：由4x ﹣（x +5）＝1，解得x ＝2；由﹣2y ﹣y ＝3，解得y ＝﹣1．∵﹣1+2＝1，∴方程4x ﹣（x +5）＝1与方程﹣2y ﹣y ＝3是“美好方程”．（2）由3x ﹣2＝x +4，解得x ＝3；由x2+m =0解得x ＝﹣2m ．∵方程3x ﹣2＝x +4与方程x2+m =0是“美好方程”，∴﹣2m +3＝1，解得m ＝1．（3）由2x ﹣n +3＝0，解得x =n−32；由x +5n ﹣1＝0，解得x ＝1﹣5n ；∵关于x 方程2x ﹣n +3＝0与x +5n ﹣1＝0是“美好方程”， ∴n−32+1﹣5n ＝1，解得n =−13．总结提升：本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 22．（2022秋•大丰区期中）在数轴上有A 、B 两点，点B 表示的数为b ．对点A 给出如下定义：当b ≥0时，将点A 向右移动2个单位长度，得到点P ；当b ＜0时，将点A 向左移动|b |个单位长度，得到点P ．称点P 为点A 关于点B 的“伴侣点”．如图，点A 表示的数为﹣1．（1）在图中画出当b ＝6关于点B 的“伴侣点”P ；（2）当点P 表示的数为﹣6，若点P 为点A 关于点B 的“伴侣点”，则点B 表示的数；（3）点A 从数轴上表示﹣1的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B 从数轴上表示8的位置同时出发，以每秒2个单位的速度向左运动，两个点运动的时间为t 秒．①点B 表示的数为（用含t 的式子表示）；②是否存在t ，使得此时点A 关于点B 的“伴侣点”P 恰好与原点重合？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）求出P 表示的数，再画图即可；（2）根据已知可得B 运动后表示的数；（3）①根据左减右加即可解答；②分两种情况：当8﹣2t ≥0，P 表示的数是﹣1+t +2＝t +1＝0，当8﹣2t ＜0时，P 表示的数是：﹣1+t ﹣（2t ﹣8）＝7﹣t ＝0，即可得到答案．解：（1）∵b ＝6＞0，∴将点A向右移动2个单位得到点p：﹣1+2＝1，∴点P表示的数为1，数轴表示如图：；（2）∵点P表示的数为﹣6，点P为点A关于点B的“伴侣点”P在点A的左边5个单位，∴|b|＝5，又∵b＜0，∴b＝﹣5，即点B表示的数为﹣5，故答案为：﹣5；（3）①点B表示的数为：8﹣2t，故答案为：8﹣2t；②存在，理由如下：根据题意得：点A表示的数为﹣1+t，当8﹣2t≥0时，解得t≤4，即将点A向右平移2个单位长度，得到点P，表示的数为：t+1，此时t+1＝0，解得：t＝﹣1，与t＞0不符，舍去；当8﹣2t＜0时，解得t＞4，即将A向左平移|b|个单位长度得点p为：﹣1+t﹣（2t﹣8）＝7﹣t，与原点重合，∴7﹣t＝0，解得：t＝7，即当t＝7时，点P与原点重合．总结提升：本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数．23．（2022春•开福区校级月考）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．（1）若“立信方程”2x+1＝1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣m）＝3的解，则m＝；（2）若关于x的方程x2+3x﹣4＝0的解也是“立信方程”6x+2x2﹣3﹣n＝0的解，则n ＝；（3）若关于x的方程ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4的解也是关于x的方程9x﹣3＝kx+14的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．思路引领：（1）根据“立信方程”的定义解答即可；（2）先求出x2+3x﹣4＝0的解，再把其中的解代入求解即可求n的解；（3）利用“立信方程”以及a和k为正整数求解．（1）∵2x+1＝1，解得x＝0；把x＝0代入1﹣2（x﹣m）＝3，得：1﹣2（0﹣m）＝3，∴1+2m＝3，解得：m＝1；（2）解方程x2+3x﹣4＝0，（x﹣1）（x+4）＝0，解得：x1＝1或x2＝﹣4，把x1＝1代入6x+2x2﹣3﹣n＝0得：6×1+2×12﹣3﹣n＝0，解得：n＝5；把x2＝﹣4代入6x+2x2﹣3﹣n＝0得：6×（﹣4）+2×（﹣4）2﹣3﹣n＝0，解得：n＝5；故满足条件的n的值为5．（3）因a为正整数，则a≠0，又∵ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4，∴x=2a2−3a−5+4 a，∵两方程均为立信方程，∴x的值为整数，∴4a为整数，∴此时a可取1，4，2，﹣1，﹣4，﹣2，∴x＝﹣2，16，﹣1，﹣4，38，7，同理9x﹣3＝kx+14，∴（9﹣k）x＝17，显然，此时k≠9，则x=179−k，∴9﹣k可取8，﹣810，26，∴此时x＝17，1，﹣17，﹣1，∴两方程相同的解为x＝﹣1，此时对应的a＝2，k＝26，故符合要求的正整数a的值为2，k的值为26．总结提升：本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键．类型四几何图形初步中的新定义24．（2020秋•上城区期末）定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作d C※AB＝n．甲同学猜想：点C在线段AB上，若AC＝2BC；则d C※AB=2 3．乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则d C※AB=1 3．关于甲，乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（）A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．两人都正确D．两人都不正确思路引领：根据题意，由点C在线段AB上，若AC＝2BC，可得AC=23AB，故可判断甲；点C是线段AB的三等分点，则AC=13AB或AC=23AB，故可判断乙．解：∵点C在线段AB上，若AC＝2BC，∴AC=23AB，即n=23，∴d C※AB=23．故甲的猜想正确；∵点C是线段AB的三等分点，∴AC=13AB或AC=23AB，∴d C※AB=13或23．故乙的猜想不正确．故选：A．总结提升：25．定义：如果两个角的差的绝对值等于90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角（本题所有角都是指大于0°且小于180°的角）．如果有一个角的垂角等于这个角的补角的45，那么这个角的度数为（）A．150°B．130°C．30°或130°D．30°或150°思路引领：根据题意需分类讨论，根据题意中数量关系列出方程，从而解决此题．解：设这个角度数为x．当这个角大于它的垂角，则这个角的垂角为x﹣90°．∴x﹣90°=45(180°−x)．∴x＝130°．当这个角小于它的垂角，则这个角的垂角为90°+x．∴90°+x=45(180°−x)．∴x＝30°．综上：这个角的度数为130°或30°．故选：C．总结提升：本题主要考查解一元一次方程、绝对值，熟练掌握解一元一次方程是解决本题的关键．26．（2021春•长宁区校级期末）同一直线上有A、B、C三点，若点C、A之间的距离与点C、B之间的距离之比是1：2，则称点C为点A和点B的牛点．如果点P是点M和点N的牛点，且PM＝1，则MN＝．思路引领：根据两点间的距离分两种情况求解即可．解：（1）如图，∵PM：PN＝1：2，∴PM＝MN，∵PM＝1，∴MN＝1；（2）如图，∵PM：PN＝1：2且PM＝1，∴PN＝1×2＝2，∴MN＝PM+PN＝2+1＝3．故MN的长为3或1．故答案为：1或3．总结提升：此题考查了两点间的距离，根据题意分两种情况求解是解题的关键．27．（2021秋•兰山区期末）我们定义：若两个角差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“正角”，其中一个角是另一个角的“正角”．如：∠1＝110°，∠2＝50°，|∠1﹣∠2|＝60°，则∠1和∠2互为“正角”．如图，已知∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB，∠EOF在∠AOB的内部，若∠EOF＝60°，则图中互为“正角”的共有对．思路引领：根据“正角”的定义解答即可．解：∵∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB，∴∠AOC ＝∠BOC =12∠AOB =60°，∴∠AOB ﹣∠AOC ＝60°，∠AOB ﹣∠BOC ＝60°，又∵∠EOF ＝60°， ∴∠AOB ﹣∠EOF ＝60°， ∵∠EOF ＝∠AOC ＝60°，∴∠AOF ﹣∠AOE ＝60°，∠AOF ﹣∠COF ＝60°， ∠BOE ﹣∠EOC ＝60°，∠BOE ﹣∠BOF ＝60°，∴图中互为“正角”的共有∠AOB 与∠AOC ，∠AOB 与∠BOC ，∠AOB 与∠EOF ，∠AOF 与∠AOE ，∠AOF 与∠COF ，∠BOE 与∠EOC ，∠BOE 与∠BOF 共7对．故答案为：7总结提升：本题考查了角平分线的定义，理清题意是解答本题的关键．28．（2019秋•莆田期末）定义：若α﹣β＝90°，且90°＜α＜180°，则我们称β是α的差余角．例如：若α＝110°，则α的差余角β＝20°．（1）如图1，点O 在直线AB 上，射线OE 是∠BOC 的角平分线，若∠COE 是∠AOC 的差余角，求∠BOE 的度数；（2）如图2，点O 在直线AB 上，若∠BOC 是∠AOE 的差余角，那么∠BOC 与∠BOE 有什么数量关系；（3）如图3，点O 在直线AB 上，若∠COE 是∠AOC 的差余角，且OE 与OC 在直线AB 的同侧，∠AOC−∠BOC∠COE请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．思路引领：（1）根据角平分线的定义得到∠COE ＝∠BOE =12∠BOC ，根据题意得到∠AOC ﹣∠COE ＝∠AOC −12∠BOC ＝90°，于是得到结论；α （2）根据角的和差即可得到结论；（3）如图3，由∠COE 是∠AOC 的差余角，得到∠AOC ＝90°+∠COE ，∠BOC ＝90°﹣∠COE ，如图4，由∠COE 是∠AOC 的差余角，得到∠AOC ＝90°+∠COE ，于是得到结论．解：（1）∵OE 是∠BOC 的角平分线， ∴∠COE ＝∠BOE =12∠BOC ， ∵∠COE 是∠AOC 的差余角，∴∠AOC ﹣∠COE ＝∠AOC −12∠BOC ＝90°， ∵∠AOC +∠BOC ＝180°， ∴∠BOC ＝60°， ∴∠BOE ＝30°；（2）∵∠BOC 是∠AOE 的差余角，∴∠AOE ﹣∠BOC ＝∠AOC +∠COE ﹣∠COE ﹣∠BOE ＝∠AOC ﹣∠BOE ＝90°， ∵∠AOC +∠BOC ＝180°， ∴∠BOC +∠BOE ＝90°；（3）答：是，理由：如图3，∵∠COE 是∠AOC 的差余角， ∴∠AOC ﹣∠COE ＝∠AOE ＝90°，∴∠AOC ＝90°+∠COE ，∠BOC ＝90°﹣∠COE ， ∴∠AOC−∠BOC∠COE=90°+∠COE−90°+∠COE∠COE=2（定值）；如图4，∵∠COE 是∠AOC 的差余角， ∴∠AOC ﹣∠COE ＝90°， ∴∠AOC ＝90°+∠COE ，∵∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝180°﹣（90°+∠COE ）＝90°﹣∠COE ， ∴∠AOC−∠BOC∠COE=90°+∠COE−90°+∠COE∠COE=2（定值），综上所述，∠AOC−∠BOC∠COE为定值．总结提升：本题考查了余角和补角，角的和差的计算，正确的理解题意是解题的关键． 29．（2021秋•松滋市期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD=12∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝．（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O 以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．思路引领：（1）根据“内半角”的定义，可求出∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠AOB ﹣∠AOC﹣∠COD，可得出结论；（2）由旋转可分别求出∠BOC和∠AOD的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式60−α=60+α2，即可求出α的值；（3）由旋转可知，分四种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间．解：（1）如图1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角，∴∠COD=12∠AOB＝35°，∵∠AOC＝15°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°；故答案为：20°．（2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α，∴∠BOC＝63°﹣α，∠AOC＝63°+α，∵∠COB是∠AOD的内半角，∴∠COB=12∠AOD，即63″﹣α=63°+α2，解得α＝21°，当旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角；（3）能，理由如下，由旋转可知，∠AOC ＝∠BOD ＝3°t ；根据题意可分以下四种情况： ①当射线OC 在∠AOB 内，如图4，此时，∠BOC ＝30°﹣3°t ，∠AOC ＝30°+3°t ，则∠COB 是∠AOD 的内半角，∴∠COB =12∠AOD ，即30°﹣3°t =12（30°+3°t ），解得t =103（秒）； ②当射线OC 在∠AOB 外部，有以下两种情况，如图5，图6，如图5，此时，∠BOC ＝3°t ﹣30°，∠AOC ＝30°+3°t ，则∠COB 是∠AOD 的内半角，∴∠COB =12∠AOD ，即3°t ﹣30°=12（30°+3°t ），解得t ＝30（秒）；如图6，此时，∠BOC ＝360°﹣3°t +30°，∠AOC ＝360°﹣3°t ﹣30°，则∠AOD 是∠BOC 的内半角，∴∠AOD =12∠BOC ，即360°﹣3°t ﹣30°=12（360°﹣3°t +30°），解得t ＝90（秒）；综上，在旋转一周的过程中，射线OA 、OB 、OC 、OD 构成内半角时，旋转的时间分别为：103秒；30秒；90秒．总结提升：本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，及角度的和差运算；由旋转正确表达对应的角是本题解题关键．30．（2021秋•武侯区期末）【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”．【迁移运用】（1）如图1，射线PS（选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；射线PT（选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；（2）如图2，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD 的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数．思路引领：（1）利用“双倍和谐线”的意义结合图形进行判断即可；（2）①由题意得：∠AOC＝90°﹣4°t，∠AOB＝40°，利用分类讨论的思想方法分∠AOC＝2∠AOB或∠AOB＝2∠AOC两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论；②由题意得：∠CON＝4°t，∠AON＝90°+2°t，∠AOD＝20°，∠DON＝∠AON﹣∠AOD＝70°+2°t，利用分类讨论的思想方法分∠COM＝2∠COD或∠COD＝2∠COM两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论．解：（1）∵PS平分∠RPT，∴∠RPS＝∠TPS，∴射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线”；∵PS平分∠RPT，∴∠TPR＝2∠TPS．∴射线PT 是射线PS ，PR 的“双倍和谐线”．故答案为：不是；是；（2）①由题意得：∠AOC ＝90°﹣4°t ，∠AOB ＝40°． ∵射线OA 是射线OB ，OC 的“双倍和谐线”， ∴∠AOC ＝2∠AOB 或∠AOB ＝2∠AOC ．当∠AOC ＝2∠AOB 时，如图，则：90﹣4t ＝2×40．解得：t =52．当∠AOB ＝2∠AOC 时，如图，则：40＝2（90﹣4t ）．解得：t =352．综上，当射线OA 是射线OB ，的“双倍和谐线”时，t 的值为52或352．②由题意得：∠CON ＝4°t ，∠AON ＝90°+2°t ，∠AOD ＝20°，∠DON ＝∠AON ﹣∠AOD ＝70°+2°t ．∵当射线OC 与射线OA 重合时，运动停止， ∴此时∠AON ＝∠CON ． ∴90+2t ＝4t ． ∴t ＝45．∴当t ＝45秒时，运动停止，此时∠AON ＝180°．∵射线OC 位于射线OD 左侧且射线OC 是射线OM ，OD 的“双倍和谐线”， ∴∠COM ＝2∠COD 或∠COD ＝2∠COM ．当∠COM ＝2∠COD 时，如图，即：180°﹣∠CON＝2（∠CON﹣∠DON），则：180﹣4t＝2（4t﹣70﹣2t）．解得：t＝40．∴∠CON＝4°×40＝160°．当∠COD＝2∠COM时，如图，即：∠CON﹣∠DON＝2（180°﹣∠CON）．则：4t﹣（70+2t）＝2（180﹣4t）．解得：t＝43．∴∠CON＝4°×43＝172°．综上，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，∠CON的度数为160°或172°．总结提升：本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义是解题的关键．配套作业1．（2022秋•西城区校级期中）用“☆“定义一种新运算：对于任意有理数x和y，x☆y＝a2x+ay﹣2（a为常数）．例如：4☆3＝a2×4+a•3﹣2＝4a2+3a﹣2．若1☆2＝3，则2☆4的值为（）A．6B．10C．8D．12思路引领：根据x☆y＝a2x+ay﹣2，1☆2＝3，可以得到a2+2a的值，然后将所求式子变形，再将a2+2a的值代入计算即可．解：∵x☆y＝a2x+ay﹣2，1☆2＝3，∴a2×1+a×2﹣2＝3，∴a2+2a﹣2＝3，∴a2+2a＝5，∴2☆4。

人教版数学七年级下册二元一次方程组专题

x
7 9
,
y
4 9
.
【应对策略】新定义类问题:
理解新定义代 a、 b 的值联立方程组
解方程
1. 规定新运算：x✽y = ax + by，其中 a、b 是常数.已知
2✽1 = 4，(-1)✽3 = -9.
(1) 求 a、b 的值；
(2)若Biblioteka m n 1,(2m)
(
n 2
)
4,
求 m + n 的值.
专题二：定义新运算
例1 对于任意实数 a，b，定义关于“⊕”的一种运算如下：a⊕b = 2a + b.例如 3⊕4 = 2×3 + 4 = 10. (1)求 4⊕(-3) 的值； (2)若 x⊕(-y) = 2，且 2y⊕x = -1，求 x + y 的值.
理解新定义 a⊕b = 2a + b
(1) 4⊕(-3) 2×4+(-3) (2) x⊕(-y) = 2 2x y 2，
等量关系： (1) 甲 1 小时走的路程 + 乙 1 小时走的路程 = 8 千米； (2) 甲 2.5 小时走的路程 = 8 千米+乙 2.5 小时走的路程.
解：设甲的平均速度是 x 千米/小时，乙的平均速度是 y 千米/小时. 根据题意，得
x y 8, 2.5x 8 2.5y.
解得
x 5.6,
2.行程问题
例2 (百色)一艘轮船在相距 90 千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用 6 小时，逆流航行比顺流航行多用 4 小时．求该轮船在静水中的速度和水流速度；
等量关系： (1) 路程 = 速度×时间； (2) 顺流船速 = 静水船速 + 水流速度； (3) 逆流船速 = 静水船速 - 水流速度.

第13练不等式与不等式组的含参问题与新定义问题-2022年七年级数学(人教版)(答案及解析)

第13练不等式与不等式组的含参问题与新定义问题一、单选题 1．已知不等式组322251x a x ⎧+≤-⎪⎨⎪+>⎩的解集在数轴上表示如图所示，则a 的值为（）A ．56-B ．－1C ．13-D ．16- 【答案】A【解析】【分析】先解每个不等式，再求其公共解，利用数轴得出不等式组的解集，得出一元一次方程，解方程即可．【详解】解：322251x a x ⎧+≤-⎪⎨⎪+>⎩①②，解不等式①得，46x a ≤--，解不等式②得2x -＞，∴不等式组得解集为246x a -≤--＜，在数轴上不等式组的解集为21x -≤＜，∴461a --=，解得56a =-．故选A ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，一元一次方程，掌握一元一次不等式组的解法，一元一次方程解法，关键是从数轴得出不等式组得解集．2．关于x 的一元一次不等式223m x -≤-的解集为4x ≥，则m 的值为（） A ．14B ．7C ．﹣2D ．2【答案】D【解析】【分析】解不等式得到223m x -≤-，再列出关于m 的不等式求解．【详解】解：223m x -≤-， m -2x ≤-6，-2x ≤-6-m ，解得62m x +≥ ，又∵x ≥4， ∴642m += ，解得m =2，故选择D ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．3．关于x 的不等式组10x x a-≥⎧⎨>⎩的整数解有5个，则a 的取值范围是（） A ．43a -<<-B ．43a --≤≤C ．43a -≤<-D ．43a -<≤- 【答案】C【解析】【分析】解不等式得：1a x <≤，根据整数解个数，可求出a 值的范围为-4~-3，再对边界进行验证即可．【详解】解：由题意解不等式组得1a x <≤，∵该不等式组的整数解有5个，所以整数解为：1、0、-1、-2、-3，∴a =-3时，x ＞-3，x 最小值为-2，不成立，a =-4时，x ＞-4，x 最小值为-3，成立，∴43a -≤<-，故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解问题，求出参数范围，再确定边界是解此类问题的主要思路．4．若整数a 使关于x 的方程21x a +=的解为负数，且使关于的不等式组()1022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．6B ．7C ．9D ．10【答案】D【解析】【分析】先求出方程的解和不等式的解，得出a 的范围，再求出整数解，最后求出答案即可．【详解】解：解方程x +2a =1得：x =1-2a ，∵方程的解为负数，∴1-2a ＜0，解得：a ＞0.5，1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩①② ∵解不等式①得：x ＜a ，解不等式②得：x ≥4，又∵不等式组无解，∴a ≤4，∴a 的取值范围是0.5＜a ≤4，∴整数和为1+2+3+4=10，故选：D ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解一元一次方程等知识点，能求出a 的范围是解此题的关键．5．定义一种新运算：2ab ab a =+，则不等式组(2)21 52x x -<⎧⎪⎨≤⎪⎩的负整数解有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】根据新运算的定义将不等式组(2)2152x x -<⎧⎪⎨≤⎪⎩变形成2421252x x x --<⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解不等式组，找出其中的负数解即可；【详解】解：由题意可知：(2)2152x x -<⎧⎪⎨≤⎪⎩变形成2421252x x x --<⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解不等式组可知不等式组的解集为：32x -≤＜∴负整数解为：2-，1-，有2个，故选：B【点睛】本题考查解不等式组中的整数解，解题的关键是将(2)2152x x -<⎧⎪⎨≤⎪⎩变形成2421252x x x --<⎧⎪⎨+≤⎪⎩，掌握解不等式组的方法，6．定义运算[x ]表示求不超过x 的最大整数．如[0.3]＝0，[1.5]＝1，[﹣1.6]＝﹣2，[﹣2.2]＝﹣3．若[﹣1.5]•[2x ﹣3]＝﹣6，则x 的取值范围是（）A ．4.5≤x ＜5B ．3≤x ＜3.5C ．3≤x ≤3.5D ．4.5≤x ≤5【答案】B【解析】【分析】根据题意得出﹣2•[2x ﹣3]＝﹣6，即[2x ﹣3]＝3，据此可得3≤2x ﹣3＜4，解之即可．【详解】解：根据题意，得：﹣2•[2x ﹣3]＝﹣6，∴[2x ﹣3]＝3，则3≤2x ﹣3＜4，解得3≤x ＜3.5，故选：B ．【点睛】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意得到不等式组进行求解． 7．若关于x 的不等式132(2)x a x x >-⎧⎨≤+⎩仅有四个整数解，则a 的取值范围是（）A ．12a ≤≤B ．12a ≤<C ．12a <<D ．2a <【答案】B【解析】【分析】首先解不等式组确定不等式组的解集，然后根据不等式组有四个整数解即可得到关于a 的不等式组，求得a 的值．【详解】解：()1322x a x x >-⎧⎪⎨+⎪⎩①②，解①得：1x a >-，解②得：4x ，则不等式组的解集是：14a x -<．不等式组有四个整数解，则是1，2，3，4．则011a -<．解得：12a <．故选：B ．【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．二、填空题8．若不等式组11x x m <⎧⎨>-⎩没有解，则m 的取值范围是_________．【答案】2m ≥【解析】【分析】根据求一元一次不等式组解集的法则“大取大、小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”，结合题意即可得出结论．【详解】解：不等式组11x x m <⎧⎨>-⎩没有解， 11m ∴-≥，解得2m ≥，故答案为：2m ≥．【点睛】本题考查根据一元一次不等式组无解情况求参数范围，熟练掌握一元一次不等式组求解集的法则是解决问题的关键，难点是要注意端点值是否可以取到．9．关于x的不等式组1532223xxxx a+⎧≥-⎪⎪⎨+⎪+⎪⎩＜只有5个整数解，则a的取值范围是__________．【答案】﹣5＜a≤﹣14 3【解析】【分析】先确定不等式组的解集，后根据整数解的个数，确定a的范围．【详解】解：因为1532223xxxx a+⎧≥-⎪⎪⎨+⎪+⎪⎩①＜②，由①得：x≤21，由②得：x＞2﹣3a，∴不等式组的解集为2-3a＜x≤21，∵关于x的不等式组1532223xxxx a+⎧≥-⎪⎪⎨+⎪+⎪⎩＜只有5个整数解，即：21，20，19，18，17，∴16≤2﹣3a＜17，解得：1453a-<≤-，故答案为：1453a-<≤-．【点睛】本题考查了不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．101，则a的取值范围是______．【答案】3≤a≤4【解析】【分析】根据绝对值的意义化简，根据（a﹣3）+（4﹣a）=1，可得a﹣3≥0，4﹣a≥0，进而解不等式组即可求解．【详解】|a﹣3|+|a﹣4|1=．又∵（a ﹣3）+（4﹣a ）=1，∴a ﹣3≥0，4﹣a ≥0，解得：3≤a ≤4．故答案为3≤a ≤4．【点睛】本题考查了绝对值的意义，解不等式组，根据不等式求得a ﹣3≥0，4﹣a ≥0是解题的关键．11．已知关于x 的不等式组3020x m n x -<⎧⎨-<⎩的解集是﹣1＜x ＜3，则（m +n ）2022＝__．【答案】1【解析】【分析】分别解两个不等式，根据解集为﹣1＜x ＜3确定m 和n 的值，再代入求值即可．【详解】解：3020x m n x -⎧⎨-⎩＜①＜②，由①得：x ＜3m ，由②得：x 2n ＞， ∵不等式组的解集是解集是﹣1＜x ＜3， ∴12n =﹣，3m ＝3， ∴n ＝﹣2，m ＝1．∴（m +n ）2022＝（1﹣2）2022＝（﹣1）2022＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，根据解集确定参数的值是解题的关键．12．对于任意实数m 、n ，定义一种运算4m n mn m n ⋅=+-＆．例如：1&2121425⋅=⨯+-⨯=-．根据上述定义，不等式组2&01&52x x ⋅≥⎧⎪⎨⋅≥-⎪⎩的解集为________．【答案】21x -≤≤【解析】【分析】利用定义的新运算把不等式组2&01&52x x ⋅≥⎧⎪⎨⋅≥-⎪⎩ 的化为2240114522x x x x +-≥⎧⎪⎨+-⨯≥-⎪⎩①②，然后分别解不等式①②即可求得不等式组的解集．【详解】解：不等式组2&01&52x x ⋅≥⎧⎪⎨⋅≥-⎪⎩ 的化为2240114522x x x x +-≥⎧⎪⎨+-⨯≥-⎪⎩①② 解不等式①得，1x ≤，解不等式②得，2x ≥-，∴不等式组的解集为21x -≤≤，故答案为：21x -≤≤【点睛】本题考查了新运算下不等式组解集的求解问题，理解新运算的特点是解题的关键． 13．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程10x x -=、931x x +=+都是关于x 的不等式组23x m x x m+<⎧⎨-≤⎩的相伴方程，则m 的取值范围为_______．【答案】2≤m ＜4【解析】【分析】解方程求出两个方程的解，再解不等式组得出m ＜x ≤m +3，根据x =4、x =5均是不等式组的解可得关于m 的不等式组，解之可得．【详解】解：解方程10-x =x ，得：x =5，解方程9+x =3x +1，得：x =4，由x +m ＜2x ，得：x ＞m ，由x -3≤m ，得：x ≤m +3，∴ 不等式组的解集为：3m x m∵x =4、x =5均是不等式组的解，∴m ＜4且m +3≥5，∴2≤m ＜4，故答案为：2≤m ＜4．【点睛】本题考查的是新定义问题，涉及解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．14．定义一种新运算3(,)2x y F x y x y +=-(其中,x y 为实数)，例如：30111(0,1)0122F ⨯+⨯==--⨯．若关于m 的不等式组()()2,332,1F m m F m m t ⎧-≥⎪⎨--<⎪⎩恰好有2个整数解，则实数t 的取值范围_______．【答案】27172t <≤ 【解析】【分析】根据新定义的运算方法，求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出t 的范围．【详解】解：∵3(,)2x y F x y x y +=-， ∴32373(2,3)322(3)6m m m F m m m m ⨯+---==≥-⨯-①， ()()()321712,12212m m m F m m t m m ⨯-+--+--==<--⨯--②，由不等式①，得：3m ≥，由不等式②，得：217t m +<， ∴2137t m +≤< ∵m 恰好有2个整数解， ∴21457t +<≤，解得：27172t <≤；故答案为：27172t <≤．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，新定义的混合运算，能求出m 的取值范围是解此题的关键．三、解答题15．已知关于x 的不等式组21321x m x m ->⎧⎨-<-⎩（1）如果不等式组的解集为67x <<，求m 的值；（2）如果不等式组无解，求m 的取值范围；【答案】（1）11；（2）5m ≤【解析】【分析】（1）解两个不等式得出12m x +>且213m x -<，根据不等式组的解集为67x <<得1622173m m +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解之可得答案；（2）根据不等式组无解，利用“大大小小找不到”可得12123m m +-，解之可得答案．【详解】解：（1）由21x m ->，得：12m x +>，解不等式321x m -<-，得：213m x -<，不等式组的解集为67x <<，∴1622173m m +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得11m =；（2）不等式组无解，∴12123m m +-，解得5m ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16．已知关于x ，y 的方程组7,12.x y m x y m +=--⎧⎨-=-⎩的解满足x 为非正数，y 不大于0．（1）求m 的取值范围；（2）求当m 为何整数时，不等式221mx x m +<+的解集为1x >．【答案】（1）28-≤≤m ；（2）2m =-，1-【解析】【分析】（1）解方程组得，263x m =--，28y m =-+；根据x 为非正数，y 为负数得20≤x ，20y ≤，解之可得答案；（2）由不等式2mx +x ＜2m +1，即（2m +1）x ＜2m +1的解集为x ＞1知2m +1＜0，解之得出m 12-＜，再从28-≤≤m 中找到符合此条件的整数m 的值即可．【详解】（1）解方程组得，263x m =--，28y m =-+；0x ≤， 20x ∴≤． 630m ∴--≤．2m ∴≥-． 0y ≤， 20y ∴≤．80m ∴-+≤．8m ∴≤．28m ∴-≤≤．（2）221mx x m +<+的解集为1x >∴210m +<，12m ∴<-．122m ∴-≤<-．m 为整数，2m ∴=-，1-．【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如方程260x -=的解为3x =，不等式组205x x ->⎧⎨<⎩的解集为25x <<，因为2＜3＜5，所以，称方程260x -=为不等式组205x x ->⎧⎨<⎩的关联方程．（1）若不等式组122136x x x ⎧-<⎪⎨⎪+>-+⎩的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________________（写一个即可）（2）若方程32x x -=，1322x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭都是关于x 的不等式组22m x m x m <-⎧⎨-≤⎩的关联方程，试求m 的取值范围．【答案】（1）20x -=；（2）01m ≤< 【解析】【分析】（1）先求出不等式组122136x x x ⎧-<⎪⎨⎪+>-+⎩的解集，再写出其关联方程即可；（2）先求出两方程的解1x =，2x =，再求出关于x 的不等式组22m x mx m<-⎧⎨-≤⎩的解集为2m x m <≤+，根据关联方程的定义即可求解．【详解】（1）解不等式122x -<，得： 2.5x <，解不等式136x x +>-+，得： 1.25x >，则不等式组的解集为1.25 2.5x <<， ∴其整数解为2，则该不等式组的关联方程为20x -=，故答案为20x -=；（2）解方程32x x -=得1x =，解方程1322x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭得2x =，解不等式组22x x mx m <-⎧⎨-≤⎩得2m x m <≤+，∵1，2都是该不等式组的解， ∴01m ≤<．【点睛】此题主要考查不等式组的求解及应用，解题的关键是熟知不等式的性质与求解不等式组的方法．18．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．如方程x ﹣1＝0就是不等式组1020x x +>⎧⎨-<⎩的“关联方程”．（1）试判断方程①3x +2＝0；②x ﹣（3x ﹣1）＝﹣4是否是不等式组270430x x -<⎧⎨->⎩的关联方程，并说明理由；（2）若关于x 的方程2x +k ＝1（k 为整数）是不等式组112231x x x ⎧-<⎪⎨⎪-≥--⎩的一个关联方程，求k的值．【答案】（1）不等式组270430xx-<⎧⎨->⎩的关联方程是②，理由见解析；（2）整数k＝﹣1，0．【解析】【分析】（1）先分别求出①②的解，再求出不等式组的解集，然后根据“关联方程”的定义解答即可；（2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，然后根据“关联方程”的定义列式确定k的取值范围即可．【详解】解：（1）解方程3x+2＝0得：x＝﹣23，解方程x﹣（3x﹣1）＝﹣4得：x＝52，解不等式组270430xx-<⎧⎨->⎩得：34＜x＜72，所以不等式组270430xx-<⎧⎨->⎩的关联方程是②；（2）解不等式组112231xx x⎧-<⎪⎨⎪-≥--⎩得：14≤x＜32，解方程2x+k＝1（k为整数）得：x＝12k-．∵关于x的方程2x+k＝1（k为整数）是不等式组112231xx x⎧-<⎪⎨⎪-≥--⎩的一个关联方程，∴14≤12k-＜32，解得﹣2＜k≤12，∴整数k＝﹣1，0．【点睛】本题主要考查了解不等式组、不等式的应用等知识点，理解“关联方程”的定义是解答本题的关键．19．定义新运算为：对于任意实数a 、b 都有()1a b a b b ⊕=--，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如()1212213⊕=-⨯-=-． (1)求23⊕的值．(2)若27x ⊕<，求x 的取值范围．(3)若不等式组1223x x a ⊕≤⎧⎨⊕>⎩恰有三个整数解，求实数a 的取值范围．【答案】(1)4- (2)6x < (3)42a -≤< 【解析】【分析】（1）利用新运算的规则直接进行计算即可；（2）利用新运算的规则对不等式转化，再进行求解；（3）利用新运算的规则对不等式组进行转化，然后解不等式组，再结合该不等式组恰有3个整数解确定a 的取值范围． (1)解：23(23)314⊕=-⨯-=-． (2) 解：27x ⊕<，∴(2)217x -⨯-<， ∴6x <．(3)解：由1223x x a ⊕≤⎧⎨⊕>⎩，得(1)112(23)31x x a -⨯-≤⎧⎨-⨯->⎩①②，解不等式①，得4x ≤；解不等式②，得106a x +>． ∴原不等式组的解集为1046a x +<≤．又原不等式组恰有3个整数解， ∴原不等式的整数解为2，3，4．∴10126a +≤<，解得42a -≤<．【点睛】本题考查了对定义新运算理解与运用，解不等式（组），解决本题的关键是将新运算转化为普通四则运算进行求解．20．新定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解中的一个，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．(1)在方程①210x -=，②1103x +=，③(31)5x x -+=-中，不等式组34312x x x x -+>-⎧⎨->-+⎩的关联方程是_____；（填序号）(2)若不等式组21136x x x -<⎧⎨+>-+⎩的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是________；（写出一个即可）(3)若方程162,733x x x x ⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭都是关于x 的不等式组22x x m x m <-⎧⎨-≤⎩的关联方程，直接写出m 的取值范围．【答案】(1)③ (2)2 (3)12m ≤< 【解析】【分析】（1）解方程和不等式组，根据关联方程的定义可得答案；（2）解不等式组求出其整数解，再根据关联方程的定义写出以此整数为解的方程可得答案；（3）解方程和不等式组，再根据关联方程的概念可得答案． (1)解方程2x -1=0得x =12；解方程13x +1=0得x =-3；解方程x -（3x +1）=-5得x =2；解不等式组34312x x x x -+>-⎧⎨->-+⎩，得3742x <<， ∴不等式组34312x x x x -+>-⎧⎨->-+⎩的关联方程是③；故答案为：③； (2)解不等式21x -<，得：3x <，解不等式136x x +>-+，得：54x >，则不等式组的解集为534x <<，∴其整数解为2，则该不等式组的关联方程可以为240x -=．（答案不唯一） (3)解方程62x x -=得2x =，解方程1733x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭得3x =，解关于x 的不等式组22x x m x m <-⎧⎨-≤⎩，，得2m x m <≤+，方程162733x x x x ⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭、都是关于x 的不等式组22x x m x m<-⎧⎨-≤⎩，的关联方程， 12m ∴≤<．【点睛】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次方程和一元一次不等式组的技能是解题的关键．21．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程13x -=的解为4x =，而不等式组1123x x ->⎧⎨-<⎩的解集为25x <<，不难发现4x =在25x <<的范围内，所以方程13x -=是不等式组1123x x ->⎧⎨-<⎩的“相依方程”．(1)在方程①6(2)(4)23x x +-+=；②930x -=；③230x -=中，不等式组2113(2)4x x x x ->+⎧⎨--≤⎩的“相依方程”是________；（填序号）(2)若关于x 的方程36x k -=是不等式组312121123x x x x +⎧>⎪⎪⎨-+⎪≥-⎪⎩的“相依方程”，求k 的取值范围；(3)若关于x 的方程322x m-=-是关于x 的不等式组121x m x m m 的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m 的取值范围．【答案】(1)① (2)9 3.k(3)35.23m 【解析】【分析】（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可；（2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组611,3k 解不等式组可得答案；（3）先解不等式组可得131,m x m 再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：,1,2,3,4,n n n n n 再求解02,n 而n 为整数，则1,n = 可得45,33m再解方程可得34,x m 可得134,3431m m m m 解得3,2m从而可得答案． (1)解：①6(2)(4)23x x +-+=，整理得：515,x = 解得：3,x = ②930x -=，解得：1,3x =③230x -=，解得：3.2x =2113(2)4x x x x ->+⎧⎨--≤⎩ 解不等式211x x ->+可得：2,x > 解不等式324x x 可得：5,x ≤所以不等式组的解集为：2 5.x根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”．故答案为：① (2)解：312121123x x x x ①②由①得：1,x >- 由②得：1,x ≤所以不等式组的解集为：11,x 36x k -=，63k x根据“相依方程”的含义可得： 611,3k 363,k解得：9 3.k(3) 解：121x m x m m ①②由①得：1,x m 由②得：31,x m∴不等式组的解集为：131,m x m 此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：,1,2,3,4,n n n n n11,4315n m n n m n∴1,3433nm n n n m则43,313n nn n 解得：02,n 而n 为整数，则1,n =12,4533m m 45,33m因为322x m-=-，解得：34,x m根据“相依方程”的含义可得：134,3431m m m m解134m m 可得：3,2m 而3431m m 恒成立，所以不等式组的解集为：3,2m 综上：35.23m 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键．22．新定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为x 〈〉，即：当为非负整数时，如果1122n x n -≤<+，则x n 〈〉=；反之，当为非负整数时，如果x n <>=，则1122n x n -≤<+．例如：00.480,0.64 1.491,33, 3.5 4.124,<>=<>=<>=<>=<>=<>=<>=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 试解决下列问题：(1)填空：①π<>=_________（π为圆周率）；②如果13x <->=，则实数x 的取值范围为_________；(2)若关于的不等式组24130x x a x -⎧≤-⎪⎨⎪〈〉->⎩的整数解恰有3个，求a 的取值范围；(3)求满足43x x 〈〉=的所有非负实数x 的值．【答案】(1)①3；②3.5≤x ＜4.5； (2)1.5≤a ＜2.5； (3)0，34，32．【解析】【分析】（1）①利用对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为＜x ＞，进而得出＜π＞的值； ②利用对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为＜x ＞，进而得出x 的取值范围；（2）首先将＜a ＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a 的取值范围；（3）利用＜x ＞43x =设43x k =，k 为整数，得出关于k 的不等关系求出即可． (1)①由题意可得：＜π＞=3；故答案为：3， ②∵＜x -1＞=3， ∴2.5≤x -1＜3.5 ∴3.5≤x ＜4.5；故答案为：3.5≤x ＜4.5；(2)解不等式组得：-1≤x＜＜a＞，由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，故1.5≤a＜2.5；(3)∵x≥0，43x为整数，设43x=k，k为整数，则x=34k，∴＜34k＞=k，∴k-12≤34k＜k+12，k≥0，∴0≤k≤2，∴k=0，1，2，则x=0，34，32．【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键．。

2020-2021人教版数学七年级下册专项测试卷(二)新定义数学问题

七年级数学下-专题一元一次方程中的新定义问题(解答题30题)(解析版)

七年级上册数学《第三章一元一次方程》专题一元一次方程中的新定义问题（解答题30题）1．用“△”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a△b＝ab2+2ab+b，如：1△3＝1×32+2×1×3+3＝18．（1）求（﹣2）△3的值；（2）若x△（﹣3）＝2x+2，求x的值．【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果；（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：（﹣2）△3＝（﹣2）×32+2×（﹣2）×3+3＝﹣18+（﹣12）+3＝﹣27；（2）由题意，得x×（﹣3）2+2×x×（﹣3）+（﹣3）＝2x+2，整理，得：9x﹣6x﹣3＝2x+2，解得：x＝5．【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．2．用*定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定：a*b＝ab2﹣2ab，如：2*1＝2×12﹣2×2×1＝﹣2．（1）求：（﹣2）*3；（2）若（x+1）*12=3，求x的值．【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；（2）已知等式利用题中的新定义计算即可求出x的值．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝﹣2×32﹣2×（﹣2）×3＝﹣2×9+2×2×3＝﹣18+12＝﹣6；（2）已知等式利用题中的新定义化简得：1 4（x+1）﹣2（x+1）×12=3，整理得：−34（x+1）＝3，即x+1＝﹣4，解得：x＝﹣5．【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．3．若规定这样一种新运算法则：a*b＝a2﹣4ab，如3*（﹣2）＝32﹣4×3×（﹣2）＝33．（1）求4*（﹣5）的值；（2）若（﹣6）*y＝﹣11﹣y，求y的值．【分析】（1）根据a*b＝a2﹣4ab，求出4*（﹣5）的值是多少即可．（2）根据（﹣6）*y＝﹣11﹣y，可得36+24y＝﹣11﹣y，据此求出y的值是多少即可．【解答】解：（1）4*（﹣5）＝42﹣4×4×（﹣5）＝16+80＝96；（2）∵（﹣6）*y＝﹣11﹣y，∴36+24y＝﹣11﹣y，24y+y＝﹣11﹣36，25y＝﹣47，y=−4725．【点评】本题考查了解一元一次方程以及有理数的混合运算，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答（2）的关键．4．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a※b＝a（a+b）．例如：1※2＝1×（1+2）＝1×3＝3．（1）求（﹣3）※4的值；（2）若（﹣2）※（3x﹣2）＝x+1，求x的值．【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝（﹣3）×（﹣3+4）＝﹣3×1＝﹣3；（2）已知等式利用题中的新定义化简得：﹣2×（﹣2+3x﹣2）＝x+1，即﹣2（3x﹣4）＝x+1，去括号得：﹣6x+8＝x+1，移项合并得：﹣7x＝﹣7，解得：x＝1．【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．5．我们规定一种新的运算“⊗”：a⊗b＝a+ab﹣3b．例如：4⊗2＝4+4×2﹣3×2＝6，5⊗（﹣3）＝5+5×（﹣3）﹣3×（﹣3）＝﹣1．（1）（﹣1）⊗3＝，（2x﹣1）⊗12=；（2）若4⊗（x+1）＝（2x﹣1）⊗12，求x的值．【分析】（1）两式利用题中的新定义计算即可得到结果；（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：（﹣1）⊗3＝﹣1﹣3﹣9＝﹣13；（2x﹣1）⊗12=2x﹣1+12（2x﹣1）−32=3x﹣3；故答案为：﹣13，3x﹣3；（2）已知等式利用题中的新定义化简得：4+4（x+1）﹣3（x+1）＝3x﹣3，去括号得：4+4x+4﹣3x﹣3＝3x﹣3，移项合并得：﹣2x＝﹣8，解得：x＝4．【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．6．定义一种新运算“※”，其规则为x※y＝xy﹣x+y．例如6※5＝6×5﹣6+5＝29．再如：（2a）※3＝（2a）×3﹣2a+3．（1）计算5※6值为．（2）若（2m）※3＝2※m，求m的值．（3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b＝b+a，ab＝ba，“※”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值；（3）“※”不满足交换律，举例即可．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝5×6﹣5+6＝30﹣5+6＝31；故答案为：31；（2）根据题中的新定义化简得：6m﹣2m+3＝2m﹣2+m，解得：m＝﹣5；（3例如：2※3＝6﹣2+3＝7，3※2＝6﹣3+2＝5，即2※3≠3※2．【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．7．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）★（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（3，﹣2）★（1，﹣2）＝．（2）若有理数对（2，2x+1）★（1，2x﹣1）＝7，求x的值．【分析】（1）根据规定直接计算求值；（2）根据规定计算得方程，求解即可．【解答】解：（1）（3，﹣2）★（1，﹣2）＝（﹣2）×1﹣3×（﹣2）＝﹣2+6＝4；故答案为：4；（2）由题意，得（2x +1）×1﹣2（2x ﹣1）＝7，2x +1﹣4x +2＝7﹣2x ＝4．x ＝﹣2．【点评】本题考查了解一元一次方程及有理数的混合运算，掌握一元一次方程的解法和有理数的混合运算是解决本题的关键．8．用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ⊕b ＝ab 2+2ab +a ．如：1⊕3＝1×32+2×1×3+1＝16．（1）则（﹣2）⊕3的值为；（2）若�+12⊕(−3)=8，求a 的值．【分析】（1（2）已知等式利用题中新定义化简，计算即可求出a 的值．【解答】解：（1）根据题中新定义得：（﹣2）⊕3＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）＝﹣18﹣12﹣2＝﹣32；故答案为：﹣32；（2）根据题中新定义得：�+12⊕（﹣3）＝8，�+12×（﹣3）2+2×�+12×（﹣3）+�+12=8，整理得：4（a +1）＝16，解得：a ＝3．【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．9．定义新运算：a⊗b＝a+b，a⊕b＝ab，等式右边是通常的加法、减法运算．（1）求（﹣2）⊗3+4⊕（﹣2）的值；（2）化简：a2b⊗3ab+5a2b⊕4ab；（3）若2x⊗1＝（﹣x+2）⊕4，求x的值．【分析】（1）根据题意中给出的信息列式计算即可；（2）根据题意中给出的信息列式计算即可；（3）根据题意中给出的信息列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）（﹣2）⊗3+4⊕（﹣2）＝﹣2+3+4×（﹣2）＝1+（﹣8）＝﹣7；（2）a2b⊗3ab+5a2b⊕4ab＝a2b+3ab+5a2b⋅4ab＝a2b+3ab+20a3b2；（3）∵2x⊗1＝（﹣x+2）⊕4，∴2x+1＝4（﹣x+2），解得：�=7 6，∴x的值为7 6．【点评】本题主要考查了整式混合运算的应用，有理数混合运算的应用，解一元一次方程，解题的关键是读懂题意，熟练掌握运算法则，准确计算．10．现定义一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝ab+2a．如2⊕3＝2×3+2×2＝10，且在运算过程中，有括号的要先算括号里面的．请解答下列问题：（1）求3⊕（﹣1）的值；（2）求（﹣2）⊕[（﹣4）⊕12]的值；（3）现改变上述运算规则：当a≥b时，a⊕b＝ab+2a，当a＜b时，a⊕b＝ab﹣2a．若4⊕x＝30，求x 的值．【分析】（1）根据a⊕b＝ab+2a，进行计算即可解答；（2）根据a⊕b＝ab+2a，进行计算即可解答；（3）分两种情况，当4≥x时，当4＜x时．【解答】解：（1）3⊕（﹣1）＝3×（﹣1）+2×3＝﹣3+6＝3；（2）（﹣2）⊕[（﹣4）⊕1 2 ]＝（﹣2）⊕[（﹣4）×12+2×（﹣4）]＝（﹣2）⊕（﹣10）＝﹣2×（﹣10）+2×（﹣2）＝20﹣4＝16；（3）分两种情况：当4≥x时，4⊕x＝30，4x+2×4＝30，4x＝22，x=112（舍去），当4＜x时，4⊕x＝30，4x﹣2×4＝30，4x＝38，x=192，综上所述：x的值为：19 2．【点评】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，理解材料中定义的新运算是解题的关键．11．“*”是新规定的这样一种运算法则：a*b＝a2+2ab．比如3*（﹣2）＝32+2×3×（﹣2）＝﹣3（1）试求2*（﹣1）的值；（2）若2*x＝2，求x的值；（3）若（﹣2）*（1*x ）＝x +9，求x 的值．【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；（2）已知等式利用题中的新定义计算，即可求出x 的值；（3）已知等式利用题中的新定义计算，即可求出x 的值．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝4﹣4＝0；（2）根据题中的新定义化简得：4+4x ＝2，解得：x =−12；（3）根据题中的新定义化简得：（﹣2）*（1+2x ）＝4﹣4（1+2x ）＝x +9，去括号得：4﹣4﹣8x ＝x +9，解得：x ＝﹣1．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（2022秋•香坊区期末）已知m ，n 为有理数，且m ≠0，若关于x 的一元一次方程mx ﹣n ＝0的解恰为x ＝2m +n ，则此方程称为“合并式方程”．例如：3x +9＝0∵x ＝2×3+（﹣9）＝﹣3，且x ＝﹣3是方程3x +9＝0的解∴此方程3x +9＝0为“合并式方程”，请根据上述定义解答下列问题：（1）一元一次方程14�−12=0是否是“合并式方程”？并说明理由；（2）关于x 的一元一次方程6x ﹣n ＝0是“合并式方程”，求n 的值．【分析】（1）根据“合并式方程”的定义进行判断即可；（2）根据“合并式方程”的定义可知x ＝12+n ，将x ＝12+n 代入方程6x ﹣n ＝0求解即可．【解答】解：（1）一元一次方程14�−12=0不是“合并式方程”，理由如下：∵x =2×14+12=1，且x ＝1不是一元一次方程14�−12=0的解，∴一元一次方程14�−12=0不是“合并式方程”；（2）∵关于x 的一元一次方程6x ﹣n ＝0是“合并式方程”，∴x ＝2×6+n ＝12+n ，且x ＝12+n 是方程6x ﹣n ＝0的解，∴6（12+n ）﹣n ＝0，解得n =−725．【点评】本题考查了一元一次方程的解，新定义，理解新定义是解题的关键．13．对任意4个有理数a ，b ，c ，d ，定义新运算：��=ad ﹣bc ．（1）计算：已知1435=；（2）若3�2�1=35，求x 的值；（3）若�34�2=2�521，求x 的值．【分析】（1）根据题意计算即可；（2）将3�2�1=35转化为一元一次方程解答；（3）中将两边同时化成一元一次方程，然后通过去括号、移项、系数化为1等过程，求得x 的值．【解答】解：（1）1435=1×5﹣3×4＝5﹣12＝﹣7，故答案为：﹣7；（2）∵3�2�1=35，∴1×3x ﹣2x ＝35，x ＝35；（3）∵�34�2=2�521，∴2x ﹣3×4x ＝1×2x ﹣2×5，∴2x ﹣12x ＝2x ﹣10，∴﹣12x ＝﹣10，∴x =−10−12=56．【点评】此题定义新运算，实际考查解一元一次方程的解法，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法．14．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程2x ＝4和3x +6＝0为“兄弟方程”．（1）若关于x 的方程5x +m ＝0与方程2x ﹣4＝6是“兄弟方程”，求m 的值；（2）若某“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n ，求n 的值．【分析】（1）关于x的方程5x+m＝0与方程2x﹣4＝6是“兄弟方程”，方程5x+m＝0的解为x＝﹣5，x ＝﹣5满足方程5x+m＝0；（2）n＝4或﹣4．【解答】解：（1）2x﹣4＝6，得x＝5，∵关于x的方程5x+m＝0与方程2x﹣4＝6是“兄弟方程”，∴方程5x+m＝0的解为x＝﹣5，∴5×（﹣5）+m＝0，﹣25+m＝0，∴m＝25．（2）“兄弟方程”的另一个解为﹣n．∵两个解的差为8，∴n﹣（﹣n）＝8或﹣n﹣n＝8，∴n＝4或﹣4．【点评】本题考查有关解一元一次方程、一元一次方程的解，解题的关键是知道解一元一次方程的方法．15．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“定值方程”．例如：2x＝4的解为x＝2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“定值方程”．请根据上述规定解答下列问题：（1）判断方程4x＝6（回答“是”或“不是”）“定值方程”；（2）若a＝3，有符合要求的“定值方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由；（3）若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“定值方程”，求代数式5﹣3m+3n的值．【分析】（1）解方程，并计算对应b﹣a的值与方程的解不相等，所以不是“定值方程”；（2）根据“定值方程”的定义进行解答即可；（3）根据“定值方程”的定义得出m﹣n的值，再利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：（1）4x＝6，解得：x=3 2，∵32≠6−4，∴方程4x＝6不是“定值方程”；故答案为：不是；（2）有，理由如下：由题意3x ＝b ，则x =�3=�−3，则�=92；（3）由2x ＝mn +m 是“定值方程”，可得mn +m ＝4①，设﹣2x ＝c ，则x =−�2=�+2，解得�=−43，푚 + =−34②，①﹣②，地：m ﹣n =163，∴5﹣3m +3n ＝5﹣3（m ﹣n ）＝5−3×163=−11．【点评】本题考查了一元一次方程的解，读懂题意，理解“定值方程”的概念并根据概念列出方程是解题的关键．16．规定：若关于x 的一元一次方程ax ＝b 的解为x ＝b +a ，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x ＝﹣4的解为x ＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x ＝﹣4为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题：（1）已知关于x 的一元一次方程﹣3x ＝t 是“和解方程”，求t 的值；（2）已知关于x 的一元一次方程＝mn +n 是“和解方程”，并且它的解是x ＝n （n ≠0），求m ，n 的值．【分析】（1）根据和解方程的定义即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）根据和解方程的定义即可得出关于m 、n 的二元二次方程组，解之即可得出m 、n 的值．【解答】解：（1）∵﹣3x ＝t ，∴x =−�3．又∵关于x 的一元一次方程﹣3x ＝t 是“和解方程”，∴x ＝t +（﹣3），即x ＝t ﹣3，−�3=t ﹣3，解得t =94．答：t 的值是94．（2）∵4x ＝nm +nx ＝n （n ≠0），∴把x＝n（n≠0）代入4x＝mn+n，得4n＝mn+n，∵n≠0，∴两边都除以n，得4＝m+1，∴解得m＝3，把m＝3代入n＝mn+n+4，解得n=−4 3，答：m的值是3，n的值是−4 3．【点评】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程，解题的关键是：根据“和解方程“的定义列出关于m的一元一次方程求解．17．（2023春•浦东新区期末）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“奇异方程”．例如：2x＝4的解为x＝2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：（1）判断方程5x＝﹣8（回答“是”或“不是”）“奇异方程”；（2）若a＝3，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．【分析】（1）解方程，并计算对应b﹣a的值与方程的解不相等，所以不是奇异方程；（2）根据奇异方程的定义即可得出关于b的方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵5x＝﹣8，解得x=−8 5，∵﹣8﹣5＝﹣13，﹣13≠−8 5，∴5x＝﹣8不是奇异方程．故答案为：不是．（2）∵a＝3，∴x＝b﹣3，∴b﹣3=�3，∴b=9 2，即b=92时有符合要求的“奇异方程”．【点评】本题考查了一元一次方程的解，读懂题意，理解奇异方程的概念并根据概念列出方程是解题的关键．18．对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：a※b＝a2+2ab，a◎b＝|a+b|﹣|a﹣b|，例如，2※（﹣1）＝22+2×2×（﹣1）＝0，（﹣2）※3＝|﹣2+3|﹣|﹣2﹣3|＝﹣4．（1）计算（﹣3）※2的值；（2）若a，b在数轴上的位置如图所示，化简a◎b；（3）若（﹣2）※x＝2◎（﹣4）+3x，求x的值；（4）对于任意有理数m，n，请你定义一种新运算“★”，使得（﹣3）★5＝4，直接写出你定义的运算：m★n＝（用含m，n的式子表示）．【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）原式利用题中的新定义化简，根据绝对值的代数意义得到结果即可；（3（4）根据题意只要写出一个符合要求的式子即可，这是一道开放性题目，答案不唯一．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝（﹣3）2+2×（﹣3）×2＝9﹣12＝﹣3；（2）由a，b在数轴上位置，可得a+b＜0，a﹣b＜0，则a◎b＝|a+b|﹣|a﹣b|＝﹣a﹣b+a﹣b＝﹣2b；（3）∵（﹣2）※x＝2◎（﹣4）+3x，∴22﹣4x＝2﹣6+3x，解得：x=8 7；（4）∵（﹣3）★5＝4，∴m★n＝m2﹣n，故答案为：m2﹣n．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．阅读材料：规定一种新的运算a ☆b ☆c ＝a +b ﹣ac ．例如3☆2☆1＝3+2﹣3×1＝2．（1）按照这个规定，计算1☆2☆3的结果为；（2）按照这个规定，化简（x ﹣1）☆（x 2﹣2）☆3；（3）按照这个规定，当2☆x ☆3＝4☆1☆x 时，x 的值为；（4）按照这个规定，若（1﹣x ）☆（2x +1）☆（﹣2）＝m ，12☆m ☆（m ﹣1）＝2，则x 的值为2．【分析】（1）直接利用已知运算法则列式计算即可；（2）直接利用已知运算法则列式计算即可；（3）直接利用已知运算法则列方程解答即可；（4）直接利用已知运算法则列方程解答即可．【解答】解：（1）由题意可得：1☆2☆3＝1+2﹣1×3＝3﹣3＝0，故答案为：0；（2）由题意可得：（x ﹣1）☆（x 2﹣2）☆3＝（x ﹣1）+（x 2﹣2）﹣3（x ﹣1）＝x ﹣1+x 2﹣2﹣3x +3＝x 2﹣2x ；（3）由题意可得：2+x ﹣6＝4+1x ，移项，得x +4x ＝4+1+6﹣2，合并同类项，得5x ＝9，系数化为1，得x =95；故答案为：95；（4）由题意可得：1﹣x +2x +1+2（1﹣x ）＝m ，解得m ＝4﹣x ，∴12☆m ☆（m ﹣1）＝2可化为12☆（4﹣x ）☆（3﹣x ）＝2，即12+4﹣x −12（3﹣x ）＝2，整理，得−12�=−1，解得x ＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了一元一次方程的解法以及有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．20．如果两个方程的解相差k ，且k 为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k 的后移方程”．例如：方程x ﹣3＝0的解是x ＝3，方程x ﹣1＝0的解是x ＝1．所以：方程x ﹣3＝0是方程x ﹣1＝0的“2的后移方程”．（1）判断方程2x ﹣3＝0是否为方程2x ﹣1＝0的k 的后移方程（填“是”或“否”）；（2）若关于x 的方程2x +m +n ＝0是关于x 的方程2x +m ＝0的“2的后移方程”，求n 的值；（3）若关于x 的方程5x +b ＝1是关于x 的方程5x +c ＝1的“3的后移方程”，求2b ﹣2（c +3）的值．【分析】（1）求出两个方程的解，利用“后移方程”的定义判断即可；（2）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关于n 的方程，求出方程的解即可得到n 的值；（3）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关系式即可．【解答】解：（1）解方程2x ﹣3＝0，得x =32，解方程2x ﹣1＝0，得x =12，∵32−12=1，∴方程2x ﹣3＝0是方程2x ﹣1＝0的k 的后移方程；故答案为：是；（2）解方程2x +m +n ＝0，x =−푚− 2，解方程2x +m ＝0，x =−푚2，∵关于x 的方程2x +m +n ＝0是关于x 的方程2x +m ＝0的“2的后移方程”，∴−푚− 2−−푚2=2，∴n ＝﹣4；（3）解方程5x +b ＝1得x =1−�5，解方程5x +c ＝1得x =1−�5，∵方程5x +b ＝1是方程5x +c ＝1的“3的后移方程”，∴1−�5−1−�5=3，∴b ﹣c ＝﹣15，∴2b ﹣2（c +3）＝2b ﹣2c ﹣6＝2（b ﹣c ）﹣6＝﹣30﹣6＝﹣36．【点评】此题考查了一元一次方程的解，弄清题中“后移方程”的定义是解本题的关键．21．（2022秋•朔州月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0、我们就称这两个方程为“互补方程”．例如：方程2x +5＝﹣1和�3=1为“互补方程”．（1）方程3x ﹣7＝8与方程�−32+1＝﹣3“互补方程”．（请填入“是”或“不是”）（2）若关于x 的方程�2+m ＝2与方程3x ﹣2＝x +6是“互补方程”，求m 的值．（3）若关于x 的方程2x ﹣1＝4k ﹣3与5�−34−�=32是“互补方程”，求k 的值．及关于y 的方程�2022=7k +3的解．【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“互补方程”的定义进行判断即可；（2）分别求得两个方程的解，利用“互补方程”的定义列出关于m 的方程解答即可；（3）分别求得两个方程的解，利用“互补方程”的定义列出关于k 的方程，求得k 的值，代入方程�2022=7k +3，然后解关于y 的方程即可．【解答】解：（1）由3x ﹣7＝8，解得x ＝5；由�−32+1＝﹣3，解得x ＝﹣5．∵﹣5+5＝0，∴方程3x ﹣7＝8与方程�−32+1＝﹣3是“互补方程”．故答案为：是；（2）由�2+m ＝2，解得x ＝4﹣2m ；由3x ﹣2＝x +6解得x ＝4．∵关于x 的方程�2+m ＝2与方程3x ﹣2＝x +6是“互补方程”，∴4﹣2m +4＝0，解得m ＝4．（3）由2x ﹣1＝4k ﹣3，解得x ＝2k ﹣1；由5�−34−�=32，解得x =4�+95；∵关于x 的方程2x ﹣1＝4k ﹣3与5�−34−�=32是“互补方程”，∴2k ﹣1+4�+95=0，解得k =−27，∴关于y 的方程为�2022=−2+3，解得y ＝2022．【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用互补方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．22．（2022秋•郴州期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程4x ＝8和x +1＝0为“集团方程”．（1）若关于x 的方程3x +m ＝0与方程4x ﹣1＝x +8是“集团方程”，求m 的值；（2）若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n ，求n 的值；（3）若关于x 的一元一次方程12022�+3=2�+�和12022�+1=0是“集团方程”，求关于y 的一元一次方程12022(�+1)+3=2�+2+�的解．【分析】（1）先表示两个方程的解，再求值．（2）根据条件建立关于n 的方程，再求值．（3）先求k ，再解方程．【解答】解：（1）∵3x +m ＝0，∴�=−푚3．∵4x ﹣1＝x +8，∴x ＝3．∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣1＝x+8是“集团方程”，∴−푚3+3=1，∴m＝6；（2）∵“集团方程”的两个解和为1，∴另一个方程的解是1﹣n，∵两个解的差是6，且n为较大的解，∴n﹣（1﹣n）＝6，∴ =7 2．（3）∵1 2022�+1=0，∴x＝﹣2022．∵关于x的一元一次方程12022�+3=2�+�和12022�+1=0是“集团方程”，∴关于x的一元一次方程12022�+3=2�+�的解为：x＝1﹣（﹣2022）＝2023．∵关于y的一元一次方程12022(�+1)+3=2�+2+�可化为：12022(�+1)+3=2(�+1)+�，令y+1＝x＝2023，∴y＝2022．23．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．（1）已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为；（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；（3）已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．【分析】（1）利用“恰解方程”的定义，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；（2）将x＝n代入方程可得﹣2n＝mn+n，由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再结合x ＝n，即可求出m，n的值；（3）根据“恰解方程”的定义得出mn +n =−92，把3（mn +2m 2﹣n ）﹣（6m 2+mn ）+5n 化简后代入计算即可．【解答】解：（1）解方程3x +k ＝0得：x =−�3，∵3x +k ＝0是“恰解方程”，∴x ＝3﹣k ，∴−�3=3﹣k ，解得：k =92，故答案为：92；（2）∵﹣2x ＝mn +n 是“恰解方程”，∴x ＝﹣2+mn +n ，∴n ＝2+mn +n ，∴mn ＝2，∵x ＝n ，∴﹣2n ＝mn +n ，解得：n =−23，把n =−23代入mn ＝2，解得：m ＝﹣3；（3）解方程3x ＝mn +n 得：x =푚 + 3，∵方程3x ＝mn +n 是“恰解方程”，∴x ＝3+mn +n ，∴푚 + 3=3+mn +n ，∴mn +n =−92，∴3（mn +2m 2﹣n ）﹣（6m 2+mn ）+5n＝3mn +6m 2﹣3n ﹣6m 2﹣mn +5n＝2mn+2n＝2（mn+n）＝2×（−9 2）＝﹣9．【点评】本题考查了一元一次方程的解，理解“恰解方程”的定义是解题的关键．24．（2023秋•东台市期中）阅读下列材料，并完成相应的任务．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8与方程y+1＝0为“美好方程”．（1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否为“美好方程”，请说明理由；（2）若关于x的方程3x+m＝0与方程4y﹣2＝y+10是“关好方程”，求m的值；（3）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值．【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义判断即可；（2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m的方程，解答即可；（3）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于n的方程解答即可．【解答】解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3互为“美好方程”，理由如下：解方程4x﹣（x+5）＝1得x＝2解方程﹣2y﹣y＝3得y＝﹣1，∵x+y＝2+（﹣1）＝1，∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3互为“美好方程”；（2）关于x的方程3x+m＝0的解为：x=−푚3，方程4y﹣2＝y+10的解为：y＝4，∵关于x的方程3x+m＝0与方程4y﹣2＝y+10是“关好方程”，∴−푚3+4＝1，∴m＝9；（3）∵“美好方程”的两个解的和为1，∴另一个方程的解为：1﹣n，∵两个解的差为8，∴1﹣n﹣n＝8或n﹣（1﹣n）＝8，∴n=−72或92．【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．25．（2023秋•南岗区校级期中）定义一种新运算“▲”，其运算方式如下：2▲1＝4×2﹣3×1＝51▲（﹣3）＝4×1﹣3×（﹣3）＝13（﹣5）▲（﹣2）＝4×（﹣5）﹣3×（﹣2）＝﹣14…观察式子的运算方式，请解决下列问题：（1）这种运算方式是：m▲n＝（用含m，n的式子表示）；（2）解方程3▲（2▲x）＝2▲x；（3）若关于x的方程3▲（ax﹣1）＝6的解为整数，求整数a的值；【分析】（1）根据给定的新运算的法则，进行计算即可；（2）根据新运算的法则，列出方程进行求解即可；（3）根据新运算的法则，列出方程进行求解，根据解为整数，求出a的值即可．【解答】解：（1）由题意，得：m▲n＝4m﹣3n；故答案为：4m﹣3n；（2）2▲x＝4×2﹣3x＝8﹣3x，∴3▲（2▲x）＝3▲（8﹣3x）＝4×3﹣3⋅（8﹣3x）＝9x﹣12，∵3▲（2▲x）＝2▲x，即：9x﹣12＝8﹣3x，解得：�=5 3；（3）3▲（ax﹣1）＝6，即：4×3﹣3（ax﹣1）＝6，解得：�=3�，∵方程的解为整数，∴3�为整数，又a为整数，∴a＝﹣3，﹣1，1，3．【点评】本题考查定义新运算，一元一次方程的应用．解题的关键是理解并掌握新运算的法则，正确的列出一元一次方程．26．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程2x＝6和3x+9＝0为“友好方程”．（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，求m的值．（2）若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值．【分析】（1）求得方程2x﹣6＝4解为x＝5，利用“友好方程”的定义得到方程3x+m＝0的解，利用方程解的定义解答即可；（2）利用“友好方程”的定义得到方程的另一个解为﹣n，再利用定义列出关于n的等式解答即可．【解答】解：（1）方程2x﹣6＝4解为x＝5，∵关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，∴关于x的方程3x+m＝0的解为x＝﹣5，∴3×（﹣5）+m＝0，∴m＝15；（2）∵某“友好方程”的一个解为n，∴“友好方程”的另一个解为﹣n，∴n﹣（﹣n）＝6或﹣n﹣n＝6，∴n＝3或n＝﹣3．∴n＝±3．【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，本题是阅读型题目，理解新定义并熟练应用新定义解答是解题的关键．27．（2022秋•于都县期末）我们规定关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为x＝4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：【定义理解】（1）判断：方程2x＝4差解方程；（填“是”或“不是”）（2）若关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，求m的值；【知识应用】（3）已知关于x 的一元一次方程4x ＝ab +a 是“差解方程”，则3（ab +a ）＝．（4）已知关于x 的一元一次方程4x ＝mn +m 和﹣2x ＝mn +m 都是“差解方程”，求代数式3（mn +m ）﹣9（mn +n ）2的值．【分析】（1）根据差解方程的定义判断即可；（2）根据差解方程的定义即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）根据差解方程的定义即可得出关于a 、b 的二元二次方程，整理即可得出；（4）根据差解方程的概念列式得到关于m 、n 的两个方程，联立求解得到m 、n 的关系，得出3（mn +m ）＝16，9（mn +n ）2＝16，然后代入代数式进行计算即可求解．【解答】解：（1）∵方程2x ＝4的解为x ＝2＝4﹣2，∴方程2x ＝4是差解方程．故答案为：是；（2）由题意可知x ＝m ﹣4，由一元一次方程可知�=푚4，∴푚−4=푚4，解得푚=163；（3）∵方程4x ＝ab +a 是“差解方程”，∴x ＝ab +a ﹣4，解方程4x ＝ab +a ，得�=��+�4，∴��+�−4=��+�4，∴3ab +3a ＝16，即3（ab +a ）＝16．故答案为：16；（4）∵一元一次方程4x ＝mn +m 是“差解方程”，∴x ＝mn +m ﹣4，解方程一元一次方程4x ＝mn +m 得�=푚 +푚4∴푚 +푚−4=푚 +푚4，整理得3（mn +m ）＝16，∵一元一次方程﹣2x ＝mm +m 是“差解方程”，∴x ＝mn +m +2，解方程一元一次方程﹣2x ＝mm +m 得�=−푚 +푚2∴푚 +푚+2=−푚 +푚2，整理得9（mn +n ）2＝16，∴3（mn +m ）﹣9（mm +n ）2＝16﹣16＝0．【点评】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程．28．定义：关于x 的方程ax +b ＝0的解为x ＝a +b ，则称这样的方程是“和合方程”．如：x −12=0的解x =12=1+（−12），3x −94=0的解x =34=3+（−94）都是“和合方程”．（1）判断方程﹣2x +4＝0是不是“和合方程”？说明理由；（2）若关于x 的方程mx +n ﹣m ＝0是“和合方程”，求方程2（mn +n ）y ﹣4＝2（my +1）+3y 的解．【分析】（1）由“和合方程”定义即可判断；（2）根据“和合方程”定义解方程即可得出答案．【解答】解：（1）方程﹣2x +4＝0是“和合方程”，理由如下：由﹣2x +4＝0得x ＝2，而a +b ＝﹣2+4＝2，∴x ＝a +b ，∴方程﹣2x +4＝0是“和合方程”；（2）mx +n ﹣m ＝0，解得：x =푚− 푚，∵关于x 的方程mx +n ﹣m ＝0是“和合方程”，∴x ＝m +n ﹣m ＝n ，∴푚− 푚=n ，∴m ﹣n ＝mn ，2（mn +n ）y ﹣4＝2（my +1）+3y ，2（m ﹣n +n ）y ﹣4＝2my +2+3y ，3y ＝﹣6，∴y ＝﹣2．【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解“和合方程”的定义．29．（2022秋•雨花区校级月考）如果两个方程的解相差a ，a 为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“a ﹣稻香方程”，例如：方程x ﹣2＝0是方程x +3＝0的“5﹣稻香方程”．（1）若方程2x ＝5x ﹣12是方程3（x ﹣1）＝x +1的“a ﹣稻香方程”，则a ＝；（2）若关于x 的方程x −�−2푚3=n ﹣1是关于x 的方程2（x ﹣2mn ）﹣m ＝3n ﹣3的“m ﹣稻香方程”（m ＞0），求n 的值；（3）当a ≠0时，如果关于x 方程ax +b ＝1是方程ax +c ﹣1＝0的“3﹣稻香方程”，求代数式6x +2b ﹣2（c +3）的值．【分析】（1）先分别解方程2x ＝5x ﹣12、3（x ﹣1）＝x +1，再根据“a ﹣稻香方程”的定义即可求解；（2）解关于x 方程x −�−2푚3=n ﹣1，再根据“m ﹣稻香方程”的定义进行计算可以得解；（3）依据题意，先解方程ax +b ＝1和ax +c ﹣1＝0，再根据“3﹣稻香方程”的定义，求出x ，b ，c ，即可求解．【解答】（1）解：2x ＝5x ﹣12，∴﹣3x ＝﹣12．∴x ＝4．又3（x ﹣1）＝x +1，∴x ＝2．∵方程2x ＝5x ﹣12是方程3（x ﹣1）＝x +1的“a ﹣稻香方程”，∴a ＝4﹣2＝2．故答案为：2．（2）解：解关于x 方程x −�−2푚3=n ﹣1，得x =3 −3−2푚2，解关于x 的方程2（x ﹣2mn ）﹣m ＝3n ﹣3，得x =4푚 +푚+3 −32，关于x 的方程x −�−2푚3=n ﹣1是关于x 的方程2（x ﹣2mn ）﹣m ＝3n ﹣3的“m ﹣稻香方程”（m ＞0），∴3 −3−2푚2−4푚 +푚+3 −32=m ．整理得﹣4mn ＝5m ，又m ＞0，∴﹣4n ＝5．∴n =−54．（3）解：∵a ≠0，∴关于x 方程ax +b ＝1的解是x =1−��，关于x 方程ax +c ﹣1＝0的解是x =1−��，∵关于x 方程ax +b ＝1是方程ax +c ﹣1＝0的“3﹣稻香方程”，∴1−��−1−��=3．∴3a +b ＝c ．∴6a +2b ﹣2（c +3）＝2（3a +b ）﹣2c ﹣6＝2c ﹣2c ﹣6＝﹣6．【点评】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法，理解新定义，熟练解一元一次方程是解题关键．30．（2023春•石狮市校级月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x ＝8和+1＝0为“美好方程”．（1）若关于x 的方程3x +m ＝0与方程4x ﹣2＝x +10是“美好方程”，则m ＝；若“美好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n ，则n ＝．（2）若关于x 的方程�2+푚=0与方程3�−25=�+푚2是“美好方程”，求m 的值；（3）若关于x 的一元一次方程12022�+3=2�+�和12022�+1=0是“美好方程”，求关于y 的一元一次方程12022(�+1)+3=2�+�+2的解．【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程和n 的方程解答即可；（2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可；（3）求得方程12022�+1=0的解，利用“美好方程”的定义得到方程12022�+3=2�+�的解，将关于y 的方程12022(�+1)+3=2�+�+2变形，利用同解方程的定义即可得到y +1的值，从而求得方程的解．【解答】解：（1）∵方程4x ﹣2＝x +10的解为x ＝4，方程3x +m ＝0的解为�=−푚3，而方程3x +m ＝0与方程4x ﹣2＝x +10是互为“美好方程”，∴−푚3+4=1，∴m ＝9；∵“美好方程”的一个解为n ，则另一个解为1﹣n ，依题意得1﹣n ﹣n ＝5或n ﹣（1﹣n ）＝5，解得n ＝2或n ＝3．故答案为：9；2或3；（2）解：关于x 的方程�2+푚=0的解为x ＝﹣2m ，方程3�−25=�+푚2的解为x ＝5m +4，∵关于x 的方程�2+푚=0与方程3�−25=�+푚2是“美好方程”，∴﹣2m +5m +4＝1，∴m ＝﹣1；（3）解：方程12022�+1=0的解为x ＝﹣2022，∵关于x 的方程12022�+3=2�+�和12022�+1=0是“美好方程”，∴关于x 的方程12022�+3=2�+�的解为x ＝2023．∵关于y 的方程12022(�+1)+3=2�+�+2就是12022(�+1)+3=2(�+1)+�，∴y +1＝x ＝2023，∴y ＝2022．∴关于y 的方程12022(�+1)+3=2�+�+2的解为：y ＝2022．【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．。

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新定义题型
【研究背景】
新定义题是近几年频频出现在中考试卷中的一类新题型.
新定义题的基本组成: 一是阅读材料;•二是考查内容.
新定义题的基本模式是：阅读—理解—应用. 重点是阅读，难点是理解，关键是应用，通过阅读，对所提供的文字、符号、图形等进行分析和综合，在理解的基础上制定解题策略. 新定义题的基本类型:新定义法则型、新定义概念型、阅读理解思维型等.
新定义题突出考查的能力:不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其是侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识.此类题目能够帮助考生实现从模仿到创造的思想过程，符合学生的认知规律，是中考的热点题目之一，今后的中考试题有进一步加强的趋势.
【教学目标】
1.掌握新定义题的基本类型:新定义法则型、新定义概念型.
2. 培养学生的阅读能力，而且综合培养学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其是侧重于培养学生的数学知识迁移能力和创新意识.
【教学重点】
掌握阅读理解题的基本类型:新定义法则型、新定义概念型.
【教学难点】
培养学生的阅读能力，而且综合培养学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其是侧重于培养学生的数学知识迁移能力和创新意识.
【教学过程】
一、定义新运算.
即整体模式是:使用特定的运算符号，按照设定的计算程序进行一种运算.解答本题的关键是理解新定义运算法则，严格按照新定义运算法则代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的运算.
例1.对于有理数a ，b ，定义min {}a ，b 的含义为：当a ≥b 时，min {}a ，b ＝b ；当a ＜b 时，
min {}a ，b ＝a . 例如：min {}1，－2＝－2，min {}33--，
＝-3. 求：
（1）min {}12-，
=________________；（2）求min{x 2＋1，0}；
（3）已知min{－2k ＋5，－1}＝－1，求k 的取值范围；
（4）已知min{ 1，｜x －y －1｜＋2
)432(+-y x }＝0.求x ，y 的值.
1．对于有理数x ，y 定义新运算：x *y ＝ax ＋by ＋5，其中a ，b 为常数．
（1）已知1*2＝9，(－3)*3＝2，求a ，b 的值．
（2）在（1）条件下求，(－1)*4的值
二、定义新概念
整体模式是:先特定了的一个新定义下一个概念，然后在理解了这个概念之后,进而再运用这个概念解决与此概念有关的问题.(包含代数题、几何题、综合题）例2．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C 的“矩面积”，给出如下定义：
“水平底”a ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”=S ah .
例如：三点坐标分别为)2,1(A ，)1,3(-B ，)2,2(-C ，则“水平底”5=a ，“铅垂高”
4=h ，
“矩面积”20==S ah ．（1）已知点)2,1(A ，)1,3(-B ，),0(t P ．
①若A ，B ，P 三点的“矩面积”为12，求点P 的坐标；
②直接写出A ，B ，P 三点的“矩面积”的最小值．
（2）已知点)0,4(E ，)2,0(F ，)4,(m m M ，其中0>m ，
若E ，F ，M 三点的“矩面积”为8，求m 的取值范围．
练习1. 在平面直角坐标系xOy 中，如果点P (x ，y ) 坐标中的x ，y 的值是关于x 、y 的二元一次方程ax ＋by=c 的一个解，那么称点P (x ，y ) 为该方程的一个解坐标。

如(1，－2)是二元一次方程2x+y=0的一个解坐标.
求：
(1)．写出二元一次方程2x ＋y ＝4的一个解坐标______．它有_______________个解坐标，在坐标系中这些表示解坐标的点有何特征____________________________________.
(2)．如果点（1,2）是二元一次方程3mx －2y －1＝0的解坐标，则m ＝______．
(3)．方程2x －y ＝3与3x ＋2y ＝1的有公共解坐标吗？若有求出它们的公共解坐标，若没有说出理由？
(3).已知点（1,1）（2,3）是关于x ,y 的二元一次方程y=kx+b 的解坐标，求k,b 的值.
(4)．已知方程组⎩
⎨⎧-=++=+②①m y x m y x 12,312的解坐标满足x ＋y ＜0，求m 的取值范围．
作业
1. 如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程.
（1）在方程①310x -=，②2103
x +=，③()315x x -+=-中，不等式组2531-2x x x x -+-⎧⎨-+⎩
＞，＞的关联方程是；（填序号）（2）若不等式组1212
x x x ⎧-⎪⎨⎪++⎩＜1，＞-3的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是；（写出一个即可）
（3）若方程，1322x x ⎛⎫+=+
⎪⎝⎭都是关于x 的不等式组2x x m x m -⎧⎨-⎩＜2，≤的关联方程，直接写出m 的取值范围.
2. 在平面直角坐标系xOy 中，如果点P (x ，y ) 坐标中的x ，y 的值是关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+2
22111c y b x a c y b x a 的解，那么称点P (x ，y ) 为该方程组的解坐标。

如(－1，－2)是二
元一次方程组1,3
-=⎧⎨+=-⎩x y x y 的解坐标.
求：
（1）二元一次方程组：的解坐标是________________.
（2）3若方程组⎩
⎨⎧-=-=+1242a by x b y ax 的解坐标是(1，－1)，则a ＝_______，b ＝_______．
（3）已知方程组⎩⎨⎧=-=+31y x y x 与方程组⎩
⎨⎧=-=+21by ax by ax 的解坐标相同，则a ＝______，b ＝______．
（4）已知关于x ，y 的二元一次方程组2322x y k x y k +=-⎧⎨+=⎩
的解坐标在第四象限，求k 的取值范围.
32x x -=235,3 1.x y x y +=⎧⎨+=⎩①
②
三、小结
新定义
一、中考“新定义”试题的立意
1.新定义试题概述
试题在“新定义”的背景下，要求学生通过现场学习，理解新定义，结合所掌握的知识和思想方法对新的数学概念进行研究，发现有关规律和结论，并用之分析问题解决问题.
二、“新定义”试题结构特征
三、解题策略研究。

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