不等式恒成立问题.ppt
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数学123
解法1
f
'x
2x
a x2
要使f x在区间2,是增函数，
只需当x 2时，f 'x 0恒成立
即2x
a x2
0，则a
2x3恒成立。
故当a 16时，f x在区间2,恒成立。
数学123
解法2
设 x2 x1 2，f x1 f x2
x1 x2 x1x2
x1x2
x1
x2 a
y
y1=(x-1)2
ⅰ.若f(x)≥a(x∈D) 恒成立 f(x)min(x∈D)≥a;
ⅱ.若f(x)≤a(x∈D) 恒成立f(x)max(x∈D)≤a;
数学123
变式思考
（2006 年，四川卷）
已知函数 f x x3 3ax 1, g x f ' x ax 5 ，其中 f ' x 是
的导函数
对满足 1 a 1的一切 a 的值，都有 g x 0 ，求实数 x 的取
增函数,注意到 g 0 0 ,
(1) 若 x ea1 1 0 ,即 a 1 ,由 g x 的单调性可知,在 x 0 时,
gmin x g 0 0 , （2）若 x ea1 1 0 ,即 a 1,由 g x 的单调性可知,
gmin x g 0 0 .此时, g x 0 不恒成立.
x 0, gmin x 0 成立.下面求 g x 的最小值.
g x ln x 1 1 a. 令 g x 0 得 x ea1 1.
x
, ea1 1 ea1 1
ea1 1,
g x g x
0
减
最小值
增
由以上, g x 在 , ea1 1 上是减函数,而在 ea1 1, 上是
解法1
间接法(验证法); 数学123
解法2
当 x =0时，易知不等式恒成立。 当 x 0时，原式可化为 a x ( x 1) 即a -( x 1 )
x 易得a -( x 1 ) 2
x
a -2
数学123
题后反思
1.与恒成立有关的客观题优先考虑验证法。 2.如果作图较易，也可用数形结合。 3.分离变量法解题依据：
数学123
变式思考
（2006 年，全国卷Ⅱ，理） 设函数 f (x) (x 1) ln(x 1).若对所有的 x 0, 都有 f (x) ax 成立，求实数 a 的取值范围。
数学123
【分析及解】构造函数 g x f (x) ax (x 1)ln(x 1) ax.
于是问题转化为：对所有的 x 0, g x 0 恒成立 对所有的
值范围；
【分析及解】由题意 g x 3x2 ax 3a 5。则 g x 3x2 ax 3a 5<0 在 1 a 1上恒成立。
数学123
由题意 g x 3x2 ax 3a 5。由于参数 a 的范围的存在，改为以 a 为变
量的函数，即
令 a 3 xa 3x2 5， 1 a 1 ，
则对 1 a 1，恒有 gx 0 ，即a 0 ，从而转化为对 1 a 1，
求a的取值范围。
分析：题意即不等式(x-1)2<logax恒成立，左边为二次函数，图象 是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。
解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，
要使对一切x ∈(1,2),y1<y2恒成立，
显然a>1,并且过（2，1）点的对数函 数图像是临界曲线
a 0恒成立的问题，又由 a是a 的一次函数，问题就容易解决了.
只需
1 0 1 0
即
3x2
3x
2
x x
2 8
0, 0.
解得
2 3
x
1
故
x
2 3
,1
时，对满足
1
a
1的一切
a
的值，都有
g
x
0
数学123
引例
18.已知函数f(x)=x2 a (x 0,a R). x
若f (x)在区间[2,+)是增函数，求 实数a的取值范围。
x12
a x1
x22
a x2
要使f x在区间2,单增，只需f x1 f x2 0
即x1x2 x1 x2 a 0恒成立
a p x1x2 x1 x2 恒成立，即a p x1x2 x1 x2 min
由x2 x1 2得x1x2 x1 x2 16
故a 16
数学123
题后反思
高考 卷ⅰ 卷
卷
卷
卷
卷
卷
卷
浙江 重庆 山东 四川
卷
卷
卷
卷
数学123
引例
• 7.若对任意R,不等式 x ax恒成立，则实数a的
取值范围是（ B ） （07安徽卷）
A. a＜-1
B. |a≤| 1
C. a| ＜| 1 D.a≥1
方法1验证法
数学123
引例
方法2
y= x
y
y=ax
O
x
数形结合
方法3 ax x 恒成立，分三种情况
由以上, 实数 a 的取值范围是 a 1 .
数学123
题后反思
类似恒成立问题或是证明形如f(x)>g(x)不等式 模式性非常强。 第一步：构造函数h(x)=f(x)-g(x)。 第二步：求导研究h(x)单调性极值。 第三步：利用不等式性质求解或证明。
数学123
变式思考
当x∈(1,2)时，函数f(x)=(x-1)2--logax函数值恒为负值，
高三一轮复习专题课
数学123
高三数学复习中的恒成立问题，涉及到函数的性 质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数等 思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因 此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热 点。
06年 全国 陕西 湖北 湖南 江西 北京 广东 全国
高考 卷ⅰ 卷
卷
卷
卷
卷
卷
卷ⅱ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
07年 全国 陕西 福建 辽宁 江西 上海 安徽 天津
1.转化思想：告诉我们函数单调性、奇偶性条 件相当于告诉我们恒成立条件。 2.由二次函数与反比例函数（指数函数，自然 对数）复合成的复合函数一般可用导数法研究 性质。 3 .利用导数法求单调区间与体现单调性的区别
ⅰ.求单调区间，只需解f(x)>0或f(x)<0. ⅱ.给出在某区间上的单调性求变量范围，则需解f(x) ≥0或f(x) ≤ 0.
当x 0时，a0 0恒成立，a R
当x f 0时，a 1
当x p 0时，a 1
a 1,1 数学123
分类讨论
变式思考
（06江西）对一切实数，不等式
x2 a | x | 1 ≥0恒成立，则实数 a
的取值范围是( C )
A、(-∞，－2］ B、［－2，2］ C、［－2，+∞) D、［0，+∞)
解法1
f
'x
2x
a x2
要使f x在区间2,是增函数，
只需当x 2时，f 'x 0恒成立
即2x
a x2
0，则a
2x3恒成立。
故当a 16时，f x在区间2,恒成立。
数学123
解法2
设 x2 x1 2，f x1 f x2
x1 x2 x1x2
x1x2
x1
x2 a
y
y1=(x-1)2
ⅰ.若f(x)≥a(x∈D) 恒成立 f(x)min(x∈D)≥a;
ⅱ.若f(x)≤a(x∈D) 恒成立f(x)max(x∈D)≤a;
数学123
变式思考
（2006 年，四川卷）
已知函数 f x x3 3ax 1, g x f ' x ax 5 ，其中 f ' x 是
的导函数
对满足 1 a 1的一切 a 的值，都有 g x 0 ，求实数 x 的取
增函数,注意到 g 0 0 ,
(1) 若 x ea1 1 0 ,即 a 1 ,由 g x 的单调性可知,在 x 0 时,
gmin x g 0 0 , （2）若 x ea1 1 0 ,即 a 1,由 g x 的单调性可知,
gmin x g 0 0 .此时, g x 0 不恒成立.
x 0, gmin x 0 成立.下面求 g x 的最小值.
g x ln x 1 1 a. 令 g x 0 得 x ea1 1.
x
, ea1 1 ea1 1
ea1 1,
g x g x
0
减
最小值
增
由以上, g x 在 , ea1 1 上是减函数,而在 ea1 1, 上是
解法1
间接法(验证法); 数学123
解法2
当 x =0时，易知不等式恒成立。 当 x 0时，原式可化为 a x ( x 1) 即a -( x 1 )
x 易得a -( x 1 ) 2
x
a -2
数学123
题后反思
1.与恒成立有关的客观题优先考虑验证法。 2.如果作图较易，也可用数形结合。 3.分离变量法解题依据：
数学123
变式思考
（2006 年，全国卷Ⅱ，理） 设函数 f (x) (x 1) ln(x 1).若对所有的 x 0, 都有 f (x) ax 成立，求实数 a 的取值范围。
数学123
【分析及解】构造函数 g x f (x) ax (x 1)ln(x 1) ax.
于是问题转化为：对所有的 x 0, g x 0 恒成立 对所有的
值范围；
【分析及解】由题意 g x 3x2 ax 3a 5。则 g x 3x2 ax 3a 5<0 在 1 a 1上恒成立。
数学123
由题意 g x 3x2 ax 3a 5。由于参数 a 的范围的存在，改为以 a 为变
量的函数，即
令 a 3 xa 3x2 5， 1 a 1 ，
则对 1 a 1，恒有 gx 0 ，即a 0 ，从而转化为对 1 a 1，
求a的取值范围。
分析：题意即不等式(x-1)2<logax恒成立，左边为二次函数，图象 是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。
解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，
要使对一切x ∈(1,2),y1<y2恒成立，
显然a>1,并且过（2，1）点的对数函 数图像是临界曲线
a 0恒成立的问题，又由 a是a 的一次函数，问题就容易解决了.
只需
1 0 1 0
即
3x2
3x
2
x x
2 8
0, 0.
解得
2 3
x
1
故
x
2 3
,1
时，对满足
1
a
1的一切
a
的值，都有
g
x
0
数学123
引例
18.已知函数f(x)=x2 a (x 0,a R). x
若f (x)在区间[2,+)是增函数，求 实数a的取值范围。
x12
a x1
x22
a x2
要使f x在区间2,单增，只需f x1 f x2 0
即x1x2 x1 x2 a 0恒成立
a p x1x2 x1 x2 恒成立，即a p x1x2 x1 x2 min
由x2 x1 2得x1x2 x1 x2 16
故a 16
数学123
题后反思
高考 卷ⅰ 卷
卷
卷
卷
卷
卷
卷
浙江 重庆 山东 四川
卷
卷
卷
卷
数学123
引例
• 7.若对任意R,不等式 x ax恒成立，则实数a的
取值范围是（ B ） （07安徽卷）
A. a＜-1
B. |a≤| 1
C. a| ＜| 1 D.a≥1
方法1验证法
数学123
引例
方法2
y= x
y
y=ax
O
x
数形结合
方法3 ax x 恒成立，分三种情况
由以上, 实数 a 的取值范围是 a 1 .
数学123
题后反思
类似恒成立问题或是证明形如f(x)>g(x)不等式 模式性非常强。 第一步：构造函数h(x)=f(x)-g(x)。 第二步：求导研究h(x)单调性极值。 第三步：利用不等式性质求解或证明。
数学123
变式思考
当x∈(1,2)时，函数f(x)=(x-1)2--logax函数值恒为负值，
高三一轮复习专题课
数学123
高三数学复习中的恒成立问题，涉及到函数的性 质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数等 思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因 此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热 点。
06年 全国 陕西 湖北 湖南 江西 北京 广东 全国
高考 卷ⅰ 卷
卷
卷
卷
卷
卷
卷ⅱ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
07年 全国 陕西 福建 辽宁 江西 上海 安徽 天津
1.转化思想：告诉我们函数单调性、奇偶性条 件相当于告诉我们恒成立条件。 2.由二次函数与反比例函数（指数函数，自然 对数）复合成的复合函数一般可用导数法研究 性质。 3 .利用导数法求单调区间与体现单调性的区别
ⅰ.求单调区间，只需解f(x)>0或f(x)<0. ⅱ.给出在某区间上的单调性求变量范围，则需解f(x) ≥0或f(x) ≤ 0.
当x 0时，a0 0恒成立，a R
当x f 0时，a 1
当x p 0时，a 1
a 1,1 数学123
分类讨论
变式思考
（06江西）对一切实数，不等式
x2 a | x | 1 ≥0恒成立，则实数 a
的取值范围是( C )
A、(-∞，－2］ B、［－2，2］ C、［－2，+∞) D、［0，+∞)