新教材：《余弦定理》基础巩固训练

A． 3 3 2
B． 3 7 2
C． 3 3
D． 3 7
二、填空题 13．在 ABC 中，已知 CB 7 ， AC 8 ， AB 9 ，则 AC 边上的中线长为________．
14．如图，在四边形 ABCD 中，已知 AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则 BC 的 长______．
2
3
3 =2R, R 3
3 ，所以 ABC 的
2
外接圆面积为
2
3
=3
.故选
D
12．B【解析】过点 D 分别作 AB 和 AC 的垂线，垂足分别为 E, F ，如图，由 BD sin B CD sin C ，得
DE DF ，则 AD 为 BAC 的平分线，∴ AB BD 2 ，又 cos ADB cos ADC 0，即
BD2 BC2 CD2 2BC CD cos BCD 22 22 2 2 2cos120 12， BD 2 3 ，
1
S四边形ABCD
SABD
SBCD
42 2
3 1 2 2sin120 2
5
3 .故选 B.
7．A【解析】由已知 S 1 ac sin B 1 ac sin 30 1 ac 3 ， ac 6 ，所以
15．120 【解析】因为在 ABC 中， a : b : c 1:1: 3 ，由余弦定理可得：
cos C
a2
b2 c2 2ab
a2
a2 3a2 2a2
1 2
，所以 C
120
.
16． 3 3 【解析】 ABC 中， AB 3, BC 2
13, AC 4 ， cos A 32 42
定理可以直接解决已知三边求角，已知两边及其夹角求第三边的问题，C 正确；当夹角为 90°时，余弦
定理就变成了勾股定理．D 正确．故选 A．
5．C【解析】由 a b 4 ， c b 4，可得： a b c ．又 ABC 的一个内角为120 ，则 A 120 ，
于是 cos120
b2
b 42 b 42 2b b 4
AC DC
8 4 AB2
222 2
2 4 AC2 22 2
，解得 AC 2 ;在 ABC 中， cos BAC
42 22 3 242
2
2
1， 8
∴ sin BAC
37 8
，∴ SABC
1 2
AB
AC
sin BAC
37 2
.故选 B.
二、填空题
13． 7 【解析】由条件知： cos A AB2 AC2 BC2 92 82 72 2 ,设中线长为 x ,由余弦定理知：
2
13 1 A ，
2 3 4
2
3
所以 sin A
3 2
，
SABC
1 2
3 4
3 3 2
3 1 4 h ， 2
h= 3 3 2
17． 3 .【解析】由题意知，∵sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin2 B ． 5
由正弦定理可得 ab bc 2b2 ，即 a+c=2b，∴c=2b-a，∵C= 2 ，由余弦定理可得 3
则 C 等于（ ）
A． 6
B． 3
C． 2
D． 2 3
9．在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c2 (a b)2 6 ，C ，则 3
ABC 的面
积是（ ）
A． 3
B． 9 3 2
C． 3 3 2
D． 3 3
10．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2 b2 c2 tanB 3ac ，则角 B 的值为（ ）
21．如图，在平面四边形中， AB 14 ， cos A 3 ， cos ABD 5 .
5
13
（1）求对角线 BD 的长； （2）若四边形 ABCD 是圆的内接四边形，求 BCD 面积的最大值.
22．在 ABC 中， a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 的对边， 2b2 (b2 c2 a2)(1 tan A) ． （1）求角 C ； （2）若 c 2 10 ， D 为 BC 中点，在下列两个条件中任选一个，求 AD 的长度．
代入得 c b b2 c2 2sinA+2cosA＝2 b c bc
2
sin（A
4
），当
A
4
时，
c b
b 4
取得最大值为
2
2．
三、解答题
19．【解析】（1）因为 cos
A 2
25 5
，所以 cos
A
2 cos2
A 2
1
3 5
又 0 A ，所以 sin A 4 ，
5
由 AB AC 3 ，得 bc cos A 3 ，所以 bc 5
A． 3
B． 5 3
C． 6 3
D． 7 3
7．在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，如果 2b=a+c，B=30°，△ABC 的面积是 3 ，则 b= 2
（）
A．1+ 3
B． 1 3 2
C． 2 3 2
D．2+ 3
8． ABC 的三内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c．设向量 p a c,b ，q b a,c a ．若 p / /q ，
2
2
42
b2 a2 c2 2ac cos30 (a c)2 2ac 3ac 4b2 6(2 3) ，解得 b 3 1．故选 A．
8．B【解析】因为向量 p a c,b ， q b a,c a ， p / /q ，所以 a cc a bb a 0 ，
整理得： b2 a2 c2 ab ，所以 cos C b2 a2 c2 ab 1 ，解得 C .故选 B
ac
tanB
2ac
2tanB
∴sinB
3 ，B∈（0，π）．∴B 或 2 ．故选 D．
2
33
11．D【解析】由题得 2b a2 b2 c2 2a c ，所以 a2 b2 c2 2a2 ac ，所以 a2 b2 c2 ac ， 2ab
所以 2ac cos B ac,cosB 1 ,所以 B 2 .由正弦定理得
A． 6
B． 3
C． 或 5 66
D． 或 2 33
Hale Waihona Puke 11．已知 ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且 2bcosC 2a c ，若 b 3 ，则 ABC
的外接圆面积为（ ）
A． 48
B． 12
C．12
D． 3
12．如图，在 ABC 中，BD sin B CD sin C ，BD 2DC 2 2 ，AD 2 ，则 ABC 的面积为（ ）
2 AB AC
298 3
x2
AC 2
2
AB2
2
AC 2
AB cos
A
42
92
2 49
2 3
49
所以
x
7 .所以
AC
边上的中线
长为 7 .
14． 8 2 【解析】在△ABD 中，由余弦定理 AB2 AD2 BD2 2AD BD cos 60 得 BD=16， 在△BCD 中，由正弦定理 BD BC 得 BC= . sin135 sin 30
2．A【解析】∵
AC
5 6
，∴
B
(A
C)
6
，∵
a
3
3 ，c 2，
∴由余弦定理可得： b a2 c2 2ac cos B (3 3)2 22 23 3 2 3 13 ．故选 A． 2
3．D【解析】 a，b 是方程 x2 13x 40 0 的两根，a 5 ，b 8 ，或 a 8 ，b 5 ，由余弦定理
（1）求 ABC 的面积； （2）若 b c 6，求 a 的值．
20．在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c. 已知 cosA 2cosC 2c a ．
cosB
b
（1）求 sinC 的值； sinA
（2）若 cosB 1 ， ABC 的周长为 5，求 b 的长． 4
一、单选题
新教材：《余弦定理》基础巩固训练
1．在 ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c .若 b c 2 a ，则角 A 等于（ ） 2
A． 2
B． 4
C． 3
D． 2 3
2． ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，若 a 3 3 ， c 2 ， A C 5π ，则 b （ ） 6
2b a2 a2 b2 2ab cos 2 ，可得 5a 3b ．∴ a 3 ．
3
b5
18． 2
2 【解析】因为
S△ABC
1a
•a•
22
1 bcsinA，即 a2＝2bcsinA； 2
由余弦定理得 cosA b2 c2 a2 ，所以 b2+c2＝a2+2bccosA＝2bcsinA+2bccosA； 2bc
3 则a
b 18．在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 BC 边上的高为 a ，则 c b 的最大值为______.
2 bc 三、解答题
19．在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，且满足 cos A 2 5 ， AB AC 3 ． 25
故 ABC 的面积 SABC
1 bc sin 2
A
2
b 5 b 1 （2）由 bc 5 ，且 b c 6，得{ 或{
c 1 c 5
由余弦定理得 a2 b2 c2 2bc cos A 20，故 a 2 5
20．【解析】（1）由正弦定理 a b c 2R 知， sin A sin B sin C
A． 13
B．6
C．7
D．8
3．在 ΔABC 中，已知 C ， BC a ， AC b ，且 a,b 是方程 x2 13x 40 0 的两根，则 AB 的 3
长度为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．7
4．下列说法中错误的是（ ）
A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形
B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形
2ab
2ab 2
3
9．C【解析】由 c2＝（a﹣b）2+6，可得 c2＝a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab，
所以：a2+b2﹣2ab+6＝a2+b2﹣ab，所以 ab＝6；则 S△ABC 1 absinC 3 3 ；故选 C．
2
2
10．D【解析】∵ a2 b2 c2 tanB 3ac ，∴ a2 c2 b2 3 ．∴cosB a2 c2 b2 3 ，
15．在 ABC 中，若 a : b : c 1:1: 3 ，则 C ______.
16．在 ABC 中， AB 3, BC 13, AC 4 ，则边 AC 上的高为__________. 17．在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 sin Asin B sin Bsin C cos 2B 1．若 C 2 ，
AB2 c2 a2 b2 2abcosC 25 64 285 1 49 ，则 AB 7 ，故选 D． 2
4．A【解析】在三角形中，已知两边及其一边的对角，可用余弦定理列出第三边的方程，解方程得第三边，
A 错；正弦定理和余弦定理都反映了任意三角形中边角的关系，它们适用于任意三角形，B 正确；余弦
1 ，则 b 10, c 6, a 2
14 ，故
ABC 中最小角 C 的余
弦值为 cos C
142
102
62
13
，故选 C.
21410 14
6．B【解析】连接 BD ，在 BCD 中，由于 BC CD 2 ， C 120 ，CBD 180 120 30 ， 2
ABD 90 .在 BCD 中，由余弦定理知，
条件①： ABC 的面积 S 4 且 B A ； 条件②： cos B 2 5 ．
5
新教材：《余弦定理》基础巩固训练参考答案
一、单选题
1．A【解析】在
ABC 中，已知 b c
2 2
a ，所以 cos A
b2
c2 a2 2bc
2b2
2b 2b2
2
0 ，所以 A
2
.
故选 A.
C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题
D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例
5．已知 ABC 的一个内角为120 ，且三边 a ， b ， c 满足 a b 4 ， c b 4，则 ABC 中最小角的
余弦值为（ ）
A． 5 14
B． 9 14
C． 13 14
D． 11 14
6．如图，在四边形 ABCD 中，B C 120 ，AB 4 ，BC CD 2 ，则该四边形的面积等于（ ）