激光器速率方程

−∞
+∞
A21(ν)表示在总自发跃迁几率A21中，分配在频率ν处单 位频率内的自发跃迁几率； W21(ν)表示在总受激跃迁几 率W21中，分配在频率ν处单位频率内的受激跃迁几率
c3 c3 A21 (ν ) B21 = A21 = ~ 8πhν 3 8πhν 3 g (ν ,ν 0 )
c3 ~ B21 (ν ) = B21 g (ν ,ν 0 ) = A (ν ) 3 21 8πhν ~ W21 (ν ) = B21 (ν ) ρν = B21 g (ν ,ν 0 ) ρν
S32 η1 = S32 + A30
η2 =
A21 A21 + S 21
7 总量子效率
• η F = η1η2 为总量子效率，它的意义：由光泵 抽运到E3能级的粒子，只有一部分通过无辐 射跃迁到达激光上能级E2，另一部分通过其 它途径返回基态。而到达E2能级的粒子，也 只有一部分通过自发辐射跃迁到达E1能级并 发射荧光，其余粒子通过无辐射跃迁而跃 迁到E1能级。
~ ~ W21 = B21 g (ν ,ν 0 ) ρ ,W12 = B12 g (ν ,ν 0 ) ρ
由于谱线加宽，和原子相互作用的单色光的频率ν并 不一定要精确等于原子发光的中心频率ν0才能产生 受激跃迁，而是在ν= ν0附近一个频率范围内都能产 生受激跃迁。 激光器内ρ与第l模内的光子 数密度Nl的关系为ρ= Nlhν
3 原子和准单色光相互作用
• 由于激光的高度单色性，认为原子和准单色光相互 作用，辐射场ρν′的中心频率为ν ，带宽为∆ν′，且 ∆ν′<<∆ν 。被积函数只在中心频率ν附近的一个极 ~ 窄范围内才有非零值。在此频率范围内， (ν ′,ν 0 )可 g 以近似看成不变。 ρ表示频率为ν的准 • 引入δ函数ρν′=ρδ(ν′-ν)
n为单位体积 工作物质内的 总粒子数，第 l个模式的光 子寿命为τRl， 工作物质长度 l等于腔长L。
dn3 = n1W13 − n3 ( S32 + A31 ) dt dn2 = n1W12 − n2W21 − n2 ( S 21 + A21 ) + n3 S32 dt n1 + n2 + n3 = n dN l Nl = n2W21 − n1W12 − dt τ Rl
发射荧光的光子数 ηF = 工作物质从光泵吸收的光子数
思路小结
• 爱因斯坦采用唯象法得到光和物质相互作用 的关系式 • 考虑线型函数后必要的修正：几率按频率的 分布函数 • 原子和准单色光相互作用 • 单模振荡速率方程组（三能级系统和四能级 系统） • 多模振荡速率方程组
1 δν = ~ g (ν 0 ,ν 0 )
• 对洛仑兹线型与高斯线型，等效线宽分别为
δν = π
2 ∆ν F , δν = 1 π ∆ν F 2 ln 2
• 按照以上简化模型，四能级多模振荡的速率 方程可写为（见下页），式中N为各模式光 子数密度的总和；σ21为中心频率处的发射截 面；η1为E3能级向E2能级无辐射跃迁的量子 效率； η2为E2能级向E1能级跃迁的荧光效率
f 2 A21υ σ 12 (ν ,ν 0 ) = 2 f1 8πν 0
2
匀加宽物质和非均匀加宽物 ~ g (ν ,ν 0 ) 质的发射截面分别为
ln 2υ 2 A21 υ 2 A21 , σ 21 = 3 2 2 σ 21 = 2 2 4π ν 0 ∆ν H 4π ν 0 ∆ν D
~ ~ ~ A21 g (ν ,ν 0 ) A21 g (ν ,ν 0 ) A21 g (ν ,ν 0 ) 8πν 2 W21 = Nl = N lV = nl nν = 3 nν nν V nν V c ~ W21 A21 g (ν ,ν 0 ) = al = nl为腔内第l模内的总光子数 nl nν V
1 爱因斯坦采用唯象法得到光和物质 相互作用的关系式
dn21 ( ) sp = A21n2 dt dn21 ( ) st = W21n2 , W21 = B21 ρν dt dn12 ( ) st = W12 n1 , W12 = B12 ρν dt A21 8πhν 3 = , B12 f1 = B21 f 2 3 B21 c
• 采用激励速率和能级寿命来描述粒子数变化 速率而不涉及具体的激励及跃迁过程 • 前面的速率方程忽略了激光下能级的激励过 程，对大部分激光工作物质来说，这一忽略 是允许的。 • 根据所研究工作物质的激励与跃迁过程选择 或建立适用的速率方程
6 多模振荡速率方程
• 如果激光器中有m个振荡模，其中第l个模的频 率、光子数密度、光子寿命分别为νl、Nl及τRl 。 则E2能级的粒子数密度速率方程为
2 考虑线型函数后必要的修正
• 线型函数可以理解为几率按频率的分布函数 ~ ~ P(ν ) = Pg (ν ,ν ) = n hν A g (ν ,ν ) = n hν A (ν )
0 2 0 21 0 2 0 21
~ A21 (ν ) = A21 g (ν ,ν 0 )
∫
+∞
−∞
~ A21 (ν )dν = ∫ A21 g (ν ,ν 0 )dν = A21
dn3 = n1W13 − n3 ( S32 + A31 ) dt dn2 f2 = −(n2 − n1 )σ 21 (ν ,ν 0 )υN l − n2 ( S21 + A21 ) + n3S32 dt f1 n1 + n2 + n3 = n dN l f2 Nl = (n2 − n1 )σ 21 (ν ,ν 0 )υN l − dt f1 τ Rl
al =
A21nl A21 W21 = = Nl nνV∆ν nν ∆ν
nν V∆ν
f2 f 2 A21nl f 2 A21 N l W12 = W21 = = f1 f1 nνV∆ν f1 nν ∆ν
5 单模振荡速率方程组
• 三能级系统速率方程组：各能级集居数随时间变 化的方程和激光器腔内的光子数密度随时间变化 的规律
nν：腔内单位体积中频率处于ν附近单位频率间隔内 ν 的光波模式数
得到：一个模式内的一个光子引起的受激跃迁 几率等于分配到同一模式上的自发跃迁几率。
f2 W21 = al Байду номын сангаасl , W12 = al nl f1
• 对W21作出近似计算 • 设谱线的总自发辐射跃迁几率为A21，谱线 宽度为∆ν，并假设A21均匀分配在∆ν所包含 的所有模式上，则分配在一个模式上的自发 辐射跃迁几率为 A21
W21 = σ 21 (ν ,ν 0 )υN l W12 = σ 12 (ν ,ν 0 )υN l
υ为工作物质中的光速
4 发射截面和吸收截面
• σ21(ν,ν0)和σ12(ν,ν0)分别称为发射截面和吸收截面， 它们具有面积的量纲 A21υ 2 ~ 中心频率处的发射截面与吸 g (ν ,ν 0 ) σ 21 (ν ,ν 0 ) = 2 8πν 0 收截面最大。当ν=ν0时，均
dn2 f2 = − ∑ ( n2 − n1 )σ 21 (ν l ,ν 0 )υN l − n2 ( S21 + A21 ) + n3S32 dt f1 l
•
~ g (ν l ,ν 0 ) 值不同，必须建 由于每个模式的频率、损耗、
立m个光子数密度速率方程，其中第l个模的光子数 密度速率方程为 dN l f2 Nl
4.4 典型激光器速率方程
• 表征激光器腔内光子数和工作物质各有关能级 上的原子数随时间变化的微分方程组，称为激 光器速率方程组(rate equations)。 • 归纳共性，针对一些简化的、具有代表性的模 型列出速率方程组，所谓的三能级和四能级系 统。 • 激光速率方程理论的出发点是原子的自发辐射、 受激辐射和受激吸收几率的基本关系式。
对表达式进行修正
+∞ dn21 ( ) sp = ∫ n2 A21 (ν )dν = n2 A21 −∞ dt +∞ +∞ dn21 ~ ( ) st = ∫ n2W21 (ν )dν = n2 B21 ∫ g (ν ,ν 0 ) ρν dν −∞ −∞ dt
该积分与辐射场ρν的带宽∆ν′有关。 1 原子和连续光辐射场的相互作用，∆ν ′ >> ∆ν 2 原子和准单色光辐射场相互作用，∆ν ′ << ∆ν
dt = ( n2 − f1 n1 )σ 21 (ν ,ν 0 )υN l −
τ Rl
• 1）假设各个模式的衍射损耗比腔内工作物质 的损耗及反射镜损耗小很多，因而可以认为 各个模式的损耗是相同的。 ~ ~ (ν ,ν ) g ′(ν ,ν 0 ) 代 • 2）将线型函数 g 0 用一矩形谱线 替，并使矩形谱线的高度与谱线轮廓中心点 的高度相等，矩形谱线所包含的面积与原有 ~ ~ 谱线包含的面积相等。即 g ′(ν ,ν 0 ) = g (ν 0 ,ν 0 )
• 四能级系统速率方程组
dn3 = n0W03 − n3 ( S32 + A30 ) dt dn2 f2 = −(n2 − n1 )σ 21 (ν ,ν 0 )υN l − n2 ( S 21 + A21 ) + n3 S32 dt f1 dn0 = n1S10 − n0W03 + n3 A30 dt n0 + n1 + n2 + n3 = n dN l Nl f2 = (n2 − n1 )σ 21 (ν ,ν 0 )υN l − dt f1 τ Rl
• 四能级系统另外一种粒子数密度速率方程
dn2 n2 f2 = R2 − − ( n2 − n1 )σ 21 (ν ,ν 0 )υN l dt f1 τ2 dn1 n n f = R1 − 1 + 2 + ( n2 − 2 n1 )σ 21 (ν ,ν 0 )υN l dt τ 1 τ 21 f1
dN f2 N = (n2 − n1 )σ 21υN − dt f1 τR dn3 S32 = n0W03 − n3 dt η1 dn2 f2 A21 = −(n2 − n1 )σ 21υN − n2 + n3 S32 dt f1 η2 dn0 = n1S10 − n0W03 dt n0 + n1 + n2 + n3 = n
R1、R2为单位体积中，在单位时间内激励至E1 、E2能级的粒子数（激励速率）；τ1、τ2为E1 、E2能级的寿命； τ21为E2能级由于至E1能级 跃迁造成的有限寿命。
• In Figure we show the ground state 0 as well as the two laser levels 2 and 1 of a four-level laser system. The density of atoms pumped per unit time into level 2 is taken as R2, and that pumped into 1 is R1. Pumping into 1 is, of course, undesirable since it leads to a reduction of the inversion. In many practical situations it cannot be avoided. The actual decay lifetime of atoms in level 2 at the absence of any radiation field is taken as t2. This decay rate has a contribution tspont which is due to spontaneous (photon emitting)2→1 transition as well as to additional non-radiative relaxation from 2 to 1. The lifetime of atoms in level 1 is t1.
∫
+∞
−∞
ρν′ dν ′ = ∫ ρδ (ν ′ −ν )dν ′ =ρ
−∞
+∞
单色光辐射场的总 能量密度，Jm-3
+∞ dn21 ~ ~ ( ) st = n2 B21 ∫ g (ν ′,ν 0 ) ρδ (ν ′ − ν )dν ′ = n2 B21 g (ν ,ν 0 ) ρ −∞ dt
• 在频率为ν的单色辐射场的作用下，受激跃迁几率为