第14讲 数学建模——函数的模型及其应用

12，解得 x＝1－12110 .
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(2) 到 2019 年为止，该森林已砍伐了多少年？ 【解答】 设经过 m 年剩余面积为原来的 22， 则 a(1－x)m＝ 22a，即121m0 ＝1221 ， 即1m0＝12，解得 m＝5. 故到 2019 年为止，该森林已砍伐了 5 年．
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第二章 基本初等函数
课堂评价 1. (多选)某食品的保鲜时间 t(单位：h)与存储温度
x(单位：℃)满足函数关系 t＝624kx，＋6，x≤x>00，， 且该食品在 4 ℃的保鲜时间是 16 h．已知甲在某日上午 10 时购买了 该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间 变化如图所示，则下列结论正确的是( AD )
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第二章 基本初等函数
下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是( A )
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A. 一次函数模型
B. 幂函数模型
C. 指数函数模型
D. 对数函数模型
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(2) 若物体的温度总不低于 2 ℃，求 m 的取值范围． 【解答】 物体的温度总不低于 2 ℃，即 θ≥2 恒成立， 即 m·2t＋22t ≥2 恒成立，亦即 m≥221t－212t恒成立． 令21t＝x，则 0<x≤1，所以 m≥2(x－x2)． 由于 x－x2≤14，所以 m≥12， 因此 m 的取值范围是12，＋∞.
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第二章 基本初等函数
知识聚焦 1. 数学模型及数学建模 数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学的角度来反映或近似地 反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述． 数学建模是把实际问题加以抽象概括，建立相应的模型，利用这些模型来研究实 际问题的一般数学方法． 2. 解函数应用题时，要注意四个步骤： 第一步：阅读理解； 第二步：引入数学符号，建立数学模型；
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第二章 基本初等函数
3. 某人 2017 年 7 月 1 日到银行存入一年期款 a 元，若年利率为 x，按复利计算，
到 2020 年 7 月 1 日可取回款( A ) A. a(1＋x)3 元 C. a＋a(1＋x)3 元
B. a(1＋x)4 元 D. a(1＋x3)元
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第二章 基本初等函数
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分类解析 目标 1 利用函数的图表刻画实际问题
2018 年翼装飞行世界锦标赛在张家界举行，如图反 映了在空中高速飞行的某翼人从某时刻开始 15 min 内的速度 v(x)与时间 x 的关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0， x]内的最大速度与最小速度的差，则 u(x)的图象是( D )
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第二章 基本初等函数
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第二章 基本初等函数
指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据 代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化．
此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其中 N 是基 础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基础数，x 为增长 率，n 为时间)的形式表示．解题时，经常用到对数运算．
wenku.baidu.com
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第二章 基本初等函数
目标 3 构造函数模型求解实际问题 2018 届大学毕业生小赵想开一家网上服装专卖店，经过预算，该网店前期投
入需要费用为 20 000 元，每天需要各项费用 100 元，受经营信誉度、销售季节等因素 的 影 响 ， 专 卖 网 店 销 售 总 收 益 R 与 网 店 经 营 天 数 x 的 关 系 是 R(x) ＝
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第二章 基本初等函数
第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果； 第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答． 以上过程用框图表示如下：
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研题型 ·技法通关
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＝－2(x－3)2＋18，所以当 x＝3 时，y 最大．
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第二章 基本初等函数
2. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量/L 加油时的累计里程/km
2015 年 5 月 1 日
12
35 000
2015 年 5 月 15 日 48
35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每 100
km 平均耗油量为( B )
A. 6 L
B. 8 L
C. 10 L
D. 12 L
【解析】 因为第一次(即 5 月 1 日)把油加满，而第二次把油加满加了 48 L，即汽
车行驶 35 600－35 000＝600 km 耗油 48 L，所以每 100 km 的耗油量为 8 L.
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第二章 基本初等函数
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(3) 从 2019 年起，还能砍伐多少年？ 【解答】 设从 2019 年起还能砍伐 n 年， 则 n 年后剩余面积为 22a(1－x)n. 令 22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥ 42， 所以121n0 ≥1232 ，解得 n≤15， 故从 2019 年起还能砍伐 15 年．
第二章 基本初等函数
5. 某种放射性元素，100 年后只剩下原来的一半，现有这种元素 1 g，经过 3 年后
剩下__1_00__0_.1_2_5___g. 【解析】 设该放射性元素满足函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)，则有12＝a100，得 a＝121100 .
可得放射性元素满足 y＝121100 x＝1210x0 .当 x＝3 时，y＝121300 ＝100 0.125.
【解析】 食品在 4 ℃的保鲜时间是 16 h，所以 24k＋6＝16，即 4k＋6＝4，解得 k
＝－12，所以
t＝64， 1 x≤0， 2－2 x＋6，x>0，
当 x＝6 时，t＝8，故该食品在 6 ℃的保鲜时间是 8 h，
A 正确；当 x∈[－6,0]时，保鲜时间恒为 64 h，当 x∈(0,6]时，该食品的保鲜时间 t 随 着 x 增大而逐渐减少，故 B 错误；到了此日 10 时，温度超过 8 ℃，此时保鲜时间不超 过 4 h，故到 13 时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故 C 错误；到了此日 14 时，甲 所购买的食品已然过了保鲜时间，故 D 正确．故选 AD.
21－t(t≥0，且 m>0)．
(1) 如果 m＝2，求经过多长时间，物体的温度为 5 ℃； 【解答】 若 m＝2，则 θ＝2·2t＋21－t＝22t＋21t， 当 θ＝5 时，2t＋21t＝52， 令 2t＝x≥1，则 x＋1x＝52， 即 2x2－5x＋2＝0，解得 x＝2 或 x＝12(舍去)，此时 t＝1. 所以经过 1 min，物体的温度为 5 ℃.
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第二章 基本初等函数
第二章 基本初等函数 第14讲 数学建模——函数的模型及其应用
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第二章 基本初等函数
栏 目 导 航
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链教材 ·夯基固本 研题型 ·技法通关
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A. 该食品在 6 ℃的保鲜时间是 8 h B. 当 x∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间 t 随着 x 的增大而逐渐减少 C. 到了此日 13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内 D. 到了此日 14 时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间
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第二章 基本初等函数
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第二章 基本初等函数
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第二章 基本初等函数
已知函数模型解决实际问题：(1) 认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；(2) 根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数；(3) 利用该函数模型，借助函数的 性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
链教材 ·夯基固本
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第二章 基本初等函数
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第二章 基本初等函数
激活思维
1. 用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则
隔墙的长度为( A )
A. 3
B. 4
C. 6
D. 12
【解析】 设隔墙的长为 x(0＜x＜6)，矩形面积为 y，则 y＝x×24－2 4x＝2x(6－x)
综上，总利润最大时，该网店经营的天数为 300.
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第二章 基本初等函数
实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系 式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．但应关注以下 两点：①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的 最大(或最小)值．
5 000x，x∈{1，2，3，4，5}， f (x)＝4 500x，x∈{6，7，8，9，10}， 设最低的购买费用是 f (x)，则 f (x)的解析式是_______4_0_0_0_x_，__x_∈__{_1_1_，__1_2_，__1_3_，__1_4_，__1_5_}.
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60 000－100x，x＞400. 当 0≤x≤400 时，P(x)＝300x－12x2－20 000＝－12(x－300)2＋25 000，所以当 x＝300
时，P(x)max＝P(300)＝25 000.
当 x＞400 时，函数 P(x)＝60 000－100x 是减函数，没有最大值，且 p(x)<20 000.
第二章 基本初等函数
A
B
C
D
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第二章 基本初等函数
【解析】据题意函数 u(x)在[6,10]和[12,15]两个区间上都是常数，故选 D.
(1) 当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特 点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实 际情况的答案．(2) 图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查数学直观想象核 心素养．
【解析】 根据已知数据可知，自变量每增加 1 函数值增加 2，因此函数值的增量
是均匀的，故为一次函数模型．
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第二章 基本初等函数
目标 2 已知函数模型求解实际问题
已知某物体的温度 θ(单位：℃)随时间 t(单位：min)的变化规律为 θ＝m·2t＋
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第二章 基本初等函数
一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相
等，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要
保留原面积的14.已知到
2019
年为止，森林剩余面积为原来的
2 2.
(1) 求每年砍伐面积的百分比； 【解答】 设每年砍伐面积的百分比为 x(0＜x＜1)，则 a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝
【解析】 a(1＋x)(2 020－2 017)＝a(1＋x)3，故选 A.
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第二章 基本初等函数
4. 某商品的单价为 5 000 元，若一次性购买超过 5 件，但不超过 10 件，则每件优
惠 500 元；若一次性购买超过 10 件，则每件优惠 1 000 元．某单位购买 x 件(x∈N*，x≤15)，
400x－12x2，0≤x≤400， 求总利润最大时，该网店经营的天数． 80 000，x＞400，
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第二章 基本初等函数
【解答】 由题意知，总成本 C(x)＝20 000＋100x，所以总利润 P(x)＝R(x)－C(x) ＝300x－x22－20 000，0≤x≤400，