04万有引力定律专题.doc

4万有引力定律专题

万有引力定律与牛顿三定律，并称经典力学四大定律，可见万有引力定律的重要性。万

有引力定律定律已成为高考和各地模拟试卷命题的热点。此部分内容在《考纲》中列为Ⅱ级

要求。有关题目立意越来越新，但解题涉及的知识，难度不大，规律性较强。特别是随着我

国载人飞船升空和对空间研究的深入，高考对这部分内容的考查将会越来越强。

一、对万有定律的理解

1．万有引力定律发现的思路、方法

开普勒解决了行星绕太阳在椭圆轨道上运行的规律，但没能揭示出行星按此规律运动

的原因．英国物理学家牛顿 ( 公元 1642 ～1727) 对该问题进行了艰苦的探索，取得了重大突破．

首先，牛顿论证了行星的运行必定受到一种指向太阳的引力．

其次，牛顿进一步论证了行星沿椭圆轨道运行时受到太阳的引力，与它们的距离的二

次方成反比．为了在中学阶段较简便地说明推理过程，课本中是将椭圆轨道简化为圆形轨

道论证的．

第三，牛顿从物体间作用的相互性出发，大胆假设并实验验证了行星受太阳的引力亦

跟太阳的质量成正比．因此得出：太阳对行星的行力跟两者质量之积成正比．

最后，牛顿做了著名的“月一地”检验，将引力合理推广到宇宙中任何两物体，使万

有引力规律赋予普遍性．

2．万有引力定律的检验

牛顿通过对月球运动的验证，得出万有引力定律，开始时还只能是一个假设，在其后

的一百多年问，由于不断被实践所证实，才真正成为一种理论．其中，最有效的实验验证

有以下四方面．

⑴．地球形状的预测．牛顿根据引力理论计算后断定，地球的赤道部分应该隆起，形

状像个橘子．而笛卡尔根据旋涡假设作出的预言，地球应该是两极伸长的扁球体，像个柠

檬．

1735 年，法国科学院派出两个测量队分赴亦道地区的秘鲁( 纬度φ＝ 20° ) 和高纬度处的拉普兰德( φ＝ 66° ) ，分别测得两地 1 °纬度之长为：赤道处是110600m，两极处是

111900m．后来，又测得法国附近纬度 1°的长度和地球的扁率．大地测量基本证实了牛顿的

预言，从此，这场“橘子与柠檬”之争才得以平息．

⑵．哈雷彗星的预报．英国天文学家哈雷通过对彗星轨道的对照后认为，1682 年出现的大彗星与1607 年、 1531 年出现的大彗星实际上是同一颗彗星，并根据万有引力算出这

个彗星的轨道，其周期是76 年．哈雷预言，1758 年这颗彗星将再次光临地球．于是，预

报彗星的回归又一次作为对牛顿引力理论的严峻考验．

后来，彗星按时回归，成为当时破天荒的奇观，牛顿理论又一次被得到证实．

⑶．海王星的发现．

⑷．万有引力常量的测定．

由此可见，一个新的学说决不是一蹴而就的，也只有通过反复的验证，才能被人们所普遍接受．

3．万有引力定律的适用条件

例 1、如下图所示，在半径 R ＝ 20cm 、质

量 M ＝ 168kg 的均匀铜球中， 挖去一球形空穴，空穴的半径为要， 并且跟铜球相切， 在铜球外

有一质量 m ＝ 1kg 、体积可忽略不计的小球， 这个小球位于连接铜球球心跟空穴中心的直线 上，并且在空穴一边，两球心相距是

d ＝2m ，试求它们之间的相互吸引力．

解： 完整的铜球跟小球 m 之间的相互吸引力为

Mm F G

2

d 这个力 F 是铜球 M 的所有质点和小球 m 的所有质点之间引力的总合力，它应该等于被

挖掉球穴后的剩余部分与半径为娄的铜球对小球

m 的吸引力

F=F

1

+F 2．

式中 F 1 是挖掉球穴后的剩余部分对

m 的吸引力， F 2 是半径为 R ／ 2 的小铜球对 m 的吸

引力。因为

M

m ，

8

F 2

G R ) 2

( d

2

－ 9

所以挖掉球穴后的剩余部分对小球的引力为

F ＝ F － F ＝ 2.41 × 10 N

1 2

例 2、深入地球内部时物体所受的引力

假设地球为正球体，各处密度均匀．计算它对球外物体的引力，可把整个质量集中于 球心．如果物体深入地球内部，如何计算它所受的引力

?

如右图所示，设一个质量为

m 的物体 ( 可视为质点 ) 在地层内离

地心为 r 的 A 处．为了计算地球对它的引力， 把地球分成许多薄层． 设 过 A 点的对顶锥面上两小块体积分别为△ V 1、△ V 2．当△ V 1 和△ V 2

很小时，可以近似看成圆台．

已知圆台的体积公式

V

1 H ( R 1

2 R 22

R 1 R 2 )

3

式中 R 1 和 R 2 分别是上、下两底面的半径．

当圆台很小很薄时，且 H ＜＜ a ， H ＜＜ b 1

2

≈R ．那么Ｖ＝π 2

时， R ≈ R HR 根据万有引力定律

F 1

G m 1m G

m a 2 sin 2

Gm

H sin 2

a

2

a

2

F 2

G m2m

G

m

b 2 sin 2 Gm H sin 2

b 2

b 2

所以 F 1 F 2 ，即两小块体积的物体对

A 处质点的引力大小相等，且方向相反，它