结构力学-曲杆和三铰拱-PPT

2. 计算内力 将拱轴沿水平方向分成若干等分，求出各分点截面的内力后， 就可绘制内力图。（分成八等分） （1）计算x=4时截面2的内力，由拱轴方程，可得 y2=（4 f / L2 ）x ( L-x) = （ 4×4÷162 ）×4(16-4) = 3m tanφ2 = dy/dx = 4 f / L2(L- 2x) = （4×4÷162 )(16-2×4) = 0.5 所以φ2＝26034’，sinφ2 = 0.447,cosφ2 = 0.894 由式（4-17）（4-18）（4-19）可得截面2的弯矩、剪力、轴力分别为 M2 = M02-H .Y2 = (28×4 - 4×4×2)-24×3 = 8kN.m V2 = V02cosφ2- Hsinφ2 =(28-4×4)×0.894-24×0.447 = 0 N2 = V02sinφ2+Hcosφ2 =(28-4×4)×0.447+24×0.894 =26.8kN
简支梁计算简图

（4-16）
a1 y
HA A xD VA P1 P1 a2 D φD yD
b1 b2 P2 f
2、弯矩计算
M D [VA x D P1 (xD a1 )] Hy D
0 M0 V D AxD P 1 (xD a1 )
B
HB
x
MD N D VD VB
M D M0 D Hy D
（3）其他截面内力 可列表进行计算（表4-1）。 3.绘制内力图
第 4章 例4-1 试作图示三铰拱的内力图。拱轴方程为
q= 20kN/m 2 3 4 5 C 4m x 8×1.5=12m
。
y
4f (l x)x 2 l
P=100kN 6
y
1
7
B H=82.5kN VB=105kN
H=82.5kN
§ 4－2 曲杆的内力计算
∑Y’=0
所示的径向均布荷载q分解成图4－6b所示的沿水平方向及竖向作用的 均布荷载q。 由此计算B截面所得Mφ、Vφ、Nφ结果同式（4－1）、（4－2）（4－3）。
Vφ＝∫S qds cos（φ－α） ＝qR∫0φcos（φ－α）dα=qRsinφ 式（4－2） ∑X’=0 Nφ＝-∫S qds sin（φ－α） ＝－qR∫0φsin（φ－α）dα= - qR（1－cosα) 式（4－3） 因为qds sinφ＝qdy,qds cosφ=qdx（图4－6a),故可将图4－5a
三铰拱计算简图
P1 A VA0
X 0 :
H A HB H
M
B VB0
C
VAl1 P1 (l1 a1 ) Hf 0
1 [VA l1 P1 (l1 a 1 )] f
0 MC H f
HA0 = 0
D
C
P2
H
xK
0 MC VAl1 P1 (l1 a1 )
第 4章 截面1
2 1.5ql2 1.5ql cos φ1
x1 1.5m
N1
82.5cosφ 1
1.5ql2sin φ1 82.5sin φ1
1 Q1
M1
82.5kN
115sin φ1
0
115cos φ1
。 115kN
4f (l x1 )x1 2 l 44 (12 1.5) 1.5 1.75m 2 12 dy tanφ1 dx x 1.5m 1 x 4f 44 12 2 1.5 1 2 l 2x1 l 12 12 φ1 45 , sinφ1 0.707 , cosφ1 0.707 y1
（4-18）
HA0 = 0
4、轴力计算
VB0 P1
0 MD
N D VAsinφ D P1sinφ D Hcosφ D (VA P1 )sin φ D Hcosφ D 0 0 VD VA P1 VA P1

0 N D VD sinφ D Hcosφ D （4-19）
2. 有拉杆的三铰拱（弓弦拱） 有拉杆的三铰拱能使基础不受水平推力作用， 但影响建筑空间，故常采取提高拉杆的位置或采取别 的形式（图4－2）。
四. 拱与曲梁的区别
左图所示的曲梁在竖向荷载作用向下，只产生竖向 支座反力VA、VB ， 水平支座反力HA＝0 而右图所示的有拉杆的三铰拱在竖向荷载作用下，除了产生 竖向支座反力VA、VB外，还会产生水平支座反力（推力）HA、HB。
五. 斜拱的支座反力和内力计算
ND=V0Dsin φD + H cosφD (1+tanθtanφD )
式(4-25)
例题4-4： 求图示三铰拱的支座反力， 并绘制弯矩图、剪力和轴力图。 已知拱轴方程为 y = （4f / L2 ) x(L-x) 解：1.求支座反力 由式（4-13）及（4-14）， 可得 VA = ∑Pibi/L = 〔4×8×12÷16〕+〔16×4÷16〕 = 28kN VB=∑Piai/L = 〔4×8×4÷16〕+〔16×12÷16〕 = 20kN HA = HB = H = MOC/ f = （28×8 - 4×8×4）÷4 = 24kN
第 4章
一、拱定义：
曲杆和三铰拱
通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水 平反力的结构。 二、特点： (1)在竖向荷载作用下，产生支座水平反力。 (2)由于水平支座推力的存在，拱截面上的弯矩远比代 梁上相应截面的弯矩小。 (3)在拱内产生代梁所不存在的轴力（对截面产生压应 力），使得拱截面上的应力分布比梁截面要均匀些，故节 省材料。 (4)由于拱内主要产生轴向压力，所以拱可以采用抗压 性能良好、而抗拉性能较差的材料来建造。
A 0
8
VA=115kN
解： （1）计算支座反力
20 6 9 100 3 115kN 12 20 6 3 100 9 0 V B VB 105kN 12
0 VA VA
0 MC 105 6 100 3 H 82.5kN f 4
（2）计算各截面内力
1 0 2 M M H y 115 1 . 5 20 1 . 5 82.5 1.75 5.63kN m 2 2 2 2 0 Q2 Q2 cos 2 H sin 2 (115 20 1.5) 0.707 82.5 0.707 8.84kN 0 N N sin 2 H cos 2 (115 20 1.5) 0.707 82.5 0.707 118.42kN 2 2
（2） 求X = 12m时截面6的内力。由拱轴方程，可得： y6=（4f /L2 ) x(L-x) = （4×4÷162 ) × 12(16-12) = 3m tanφ6 = dy/dx = 4f / L2(L-2x) = （4×4÷162 ) (16 - 2×12) = - 0.5 所以 φ6 = - 26034’，sinφ6 = - 0.447, cos φ6 = 0.894〃 M6 = M06-H.y6 = 20×4 - 24×3 = 8kN.m 因截面6处有集中荷载P = 16KN， 该截面左右两侧的剪力和轴力会发生 变化。根据（4-18）（4-19）可得： V6左= V06左cosφ6-Hsinφ6 = - 4×0.894-24（-0.447） = 7.15kN N6左= V06左sinφ6+Hcosφ6 = - 4×（-0.447）+24×0.894=23.24kN V6右= V06右cosφ6-Hsinφ6 = -20×0.894-24（-0.447） = -7.15kN N6右= V06右sinφ6+Hcosφ6 = (-20)（-0.447）+24×0.894=30.4kN
第 4章 截面2
3ql2
3ql2sin φ2 3ql2cos φ2
x 2 3m
N2 M2
82.5cosφ 2
82.5sin φ2
2
1 0
Q2
82.5kN
4.3三铰拱的支座反力和内力计算
一、拱的内力计算原理仍然是截面法。 二、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。 三、实际计算时常将拱与相应简支梁对比，通过公式完成计 算。这些公式为绘制拱的影响线提供了方便。
四、三铰拱计算公式的建立
a1 b1
a2
y HA A P1 xD
b2
φD
D yD
C
P C HA
P HB B VB HA=0
A
VA
A VA
B VA
拱结构
曲梁结构
例题4－1 求图4－5a所示圆弧形曲杆任意截面的内力M、V、N。 解:以极坐标φ表示B截面的位置，取图4－5c所示BC部分隔离体， 设B截面的内力分别为Mφ、Vφ、Nφ, 参照图4－5b并考虑到ds=Rdα, 由平衡条件得 ∑MB=0 Mφ=∫S qdsRsin（φ－α） =qR2∫0φsin(φ-α）dα=qR2（1－cosφ) 式 (4-1)
VA0
QD
0
连接A、B，先将A和B处的支座 反力分别沿竖向和起拱线方向分解 为两个相互斜交的分力V ’A和 H’A和 V ’B 和H ’B 。 根据上述平衡条件可得： V ’A＝V 0A， V ’B ＝V 0B H’A＝H ’B＝H’＝M 0C/ f ’ 然后再沿水平和竖向分解， 从而得到斜拱支座的水平支座反力 和竖向支座反力： H＝HA＝HB＝H’cosθ =M 0C/ f 式(4-20) VA =V OA + H tanθ 式 (4-21) VB =VBO – H tanθ 式(4-22) 任意截面D的弯矩为： MD= MD0 - H .yD 式(4-23) VD=V 0Dcos φD – H sinφD (1- tanθ/ tanφD ) 式(4-24)
拱轴线－－抛物线、圆弧线和悬链线等 起拱线－－拱脚铰A、B之间的连线 拉杆－－AB(代替B支座的水平支撑链杆的作用) 拱脚铰（拱趾）－－A、B 拱顶铰－－C 拱高（矢高）－－f 拱跨度－－L
高跨比（矢跨比）－f／L
三. 三铰拱受力的基本特点
1. 无拉杆的三铰拱 在竖向荷载作用下，除产生竖向支座反力VA、VB外，还 产生水平支座反力（推力）HA、HB。水平支座反力对拱截面 产生负弯矩（上侧受拉），从而使得三铰拱截面上的内力弯矩 小于荷载和跨度相同的相应简支梁上各对应截面上的弯矩值， 省材料，空间跨度大，但比梁需要更为坚固的基础或支承结构。
P2
f x
1、支座反力计算 1 V (P b P2 b2 ) M B 0 A l 1 1 M 0 V 1 (P a P a ) A B 1 1 2 2 l
B
HB
VA
l1 l
l2
VB
0 V A V A 0 VB VB
（4-17）
D
3、剪力计算 VD VAcosφ D P1cosφ D Hsin φD
(VA P1 )cosφ D Hsin φD
0 0 VD VA P1 VA P1
0 VA VD cosφD Hsin φD
HA A VA P1 A VA0 xD D C P2 B
例题4－2 求图4－7a所示圆弧曲杆任意截面的内力M、V、N。 解:以极坐标φ表示B截面的位置，设B截面的内力分别为Mφ、Vφ、Nφ 取图4－7c所示隔离体，参照图4－7b并考虑到ds=Rdα, 由平衡条件得 ∑MB=0 Mφ=∫S qds（Rsinφ－Rsinα）=qR2∫0φ（sinφ-sinα）dα =qR2（φsinφ－ 1＋cosφ) 式 (4－4) ∑Y’=0 Vφ=∫S qds cosφ＝qRcosφ∫0φ dα= qRφcosφ 式（4－5） ∑X’=0 Nφ=-∫S qds sinφ＝－qR sinφ∫0φdα= -qRφsinφ 式（4－6）
（5）构造复杂，施工费用高。
三、拱的种类：
三铰拱
两铰拱
无铰拱
吊杆 拉杆
花篮螺丝
带拉杆的三铰拱
Hale Waihona Puke Baidu
带吊杆的三铰拱
四、拱各部分的名称：
§4－1概述
一.三铰拱的基本形式
（一）无拉杆的三铰拱
1.平拱－ 两个拱脚铰在同一水平线 2.斜拱－两个拱脚铰不在同一水平线上
（二）有拉杆的三铰拱（弓弦拱）
二. 三铰拱的组成