第五讲 几何造型与自由曲线曲面分析
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《自由曲线与曲面》PPT课件
7.6 B样条曲线
• Gordon和Riesenfeld于1974年用B样条基函数代替了Bernstein基函数，构造了B样条 曲线。
• 比Bezier曲线更贴近控制多边形，曲线更光滑（很容易产生C2连续性），曲线的次数 可根据需要指定
• 增加了对曲线的局部修改功能，B样条曲线是分段组成的，所以控制多边形的顶点对曲 线的控制灵活而直观。
2.一阶导数
• 将式（7-12）求导，有
n
p' (t) Pi Cni [i t i1 (1 t)ni (n i) t i (1 t)ni1 ] i0 在闭区间〔0，1〕内，将t＝0和t＝1 代入上式，得到
p' (0) n (P1 P0 ) p' (1) n (Pn Pn1)
可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物线。
3.三次Bezier曲线
• 当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形有四个控制点P0、P1、P2和P3，Bezier曲线 是三次多项式。
3
p(t) Pi Bi,3 (t) (1 t)3 P0 3t(1 t)2 P1 3t 2 (1- t) P2 t3 P3 i0 (t3 3t 2 - 3t 1)P0 (3t 3 6t 2 3t)P1 (3t3 3t 2 ) P2 t3P3
• 通常单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，必须将一些曲线段连接成组合曲线， 或将一些曲面片连接成组合曲面，才能描述复杂的形状。
• 为了保证在连接点处平滑过渡，需要满足连续性条件。连续性条件有两种：参数连续 性和几何连续性。
•
参数连续性
• 零阶参数连续性，记作C0，指相 邻两个曲线段在交点处具有相同的 坐标。
菅光宾
数字媒体系
• 7.1 基本概念 • 7.4 Bezier曲线 • 7.5 Bezier曲面 • 7.6 B样条曲线 • 7.7 B样条曲面
第5章几何造型与自由曲线曲面
计算机辅助设计
大连理工大学
11
体
由封闭表面围成的三维几何空间
正则形体
所有边只能有两个相邻面
非正则形体
一边具有多个相邻面 » 存在悬边、悬面
计算机辅助设计
大连理工大学
12
外壳
从观察方向上能看到的形体的最大外轮廓线
体素
能用有限个尺寸参数定位和定型的形体 一般指常见的、可用于组合成复杂形体的简单实体
由边的起点和终点两个端点定界
曲线边
由一系列所谓的型值点或控制点来定义
具有方向性
由起点沿边线指向终点
计算机辅助设计
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9
环
由有序、有向边组成的封闭边界
相邻边共享一个端点 各条边不能自交
外环
确定面的最大外边界的环 外环仅一个 其边按逆时针走向
内环
确定面中内孔或凸台边界的环 可有可无，也可多个 其边按顺时针走向
线框模型
用顶点和边来表示形体，即以形体边界上的一组轮廓线构造一个线 框
结构简单、便于理解 形体具有不确定性，模型中没有形体的表面信息，真实感不强
表面模型
将有向棱边围成的部分定义为形体的表面，用面的集合来定义形体
增加了面的信息及面的连接信息，可进行面的求交、消隐、渲染等处理 模型中所有面不一定都形成一个封闭边界，各个面的侧向没有明确定义，
仍然不能有效表示形体
实体模型
用面的集合来表示形体，唯一确定一个实体
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 包含了实体的全部几何信息 包含了面、边、点之间的拓扑信息
计算机辅助设计
大连理工大学
16
线框、表面、实体模型的对比分析
模型表示
线框 模型
二维线框 模型
第5章 自由曲线与曲面new
例如，x=r cos , y=r sin 表示圆
x=a cos cos
y=b cos sin
z=c sin
表示椭球面
3
矢量形式：
4
(2) 表示形式的比较 非参数方程的表示有以下缺点： 1) 与坐标轴相关;
2) 会出现斜率为无穷大的情况;
3) 非平面曲线曲面难以用常系数非参数化函 数表示;
y yi yi-1 0 xi-1 xi xi+1 mi-1 mi
现在解决区间[xi-1，xi]上带一 阶导数的插值问题。 设对应于区间两端的函数值与 一阶导数(对x)值如图。 从 u[0, 1] x [xi-1, xi] :
mi+1
u=(x-xi-1)/hi , ( hi=xi-xi-1)
x
故, y’u=y’x hi
23
将式(6-4)对x求导两次，得 y”i(x)为u的函数。
则让: 第i段 [xi-1，xi] 曲线段的末点(在xi 处, 此点u=1)， 与第i+1段[xi，xi+1] 曲线段的始点(在xi 处, 此点u=0)
24
的二阶导数连续： y”i(xi) = y”i+1(xi) 整理后得 m 关系式：
(6-3)
其中：
0 0 0 1 0 0 1 0 Mc 3 3 2 1 2 2 1 1
F0、F1、G0、G1 称为Hermite基函数。
作用：控制曲线段两端点的位置矢量和一价导矢对曲线形 状的影响。
21
2)三次样条曲线之一
(用型值点处一阶导数表示)
F0(u)=1-u F1(u)=u G0(u)=-u(u-1)(u-2)/6 G1(u)=u(u-1)(u+1)/6
自由曲线曲面造型技术
自由曲线曲面造型技术自由曲线曲面造型技术是一种用于制作3D图形的先进技术。
它可以让设计师轻松地将自己的想法转化成真实的3D模型。
该技术旨在为设计师提供更高的创作自由度，使其能够以更自然、更流畅的方式来表现自己的创意。
下面我们来详细了解一下自由曲线曲面造型技术。
一、基础知识1. 什么是自由曲线曲面造型技术？自由曲线曲面造型技术是一种用于编辑多边形网格模型的技术。
它允许设计师自由地绘制曲线和曲面，以创建具有复杂形状和曲率变化的物体。
2. 自由曲线曲面造型技术的应用范围自由曲线曲面造型技术广泛应用于艺术设计领域、工业设计领域、建筑设计领域和汽车设计领域等。
它可以用于设计和制造车身、雕塑、建筑立面和自然景观等。
二、自由曲线曲面造型技术的基本原理自由曲线曲面造型技术的基本原理是“控制点—曲线/曲面—几何体”的过程。
它的主要思想是通过控制点操纵曲线/曲面的形状，最终得到所需的几何体。
三、自由曲线曲面造型技术的工具和实现方式1. 曲线工具曲线工具允许设计师创建用于控制曲面形状的曲线。
这些曲线可以是贝塞尔曲线、NURBS曲线等，设计师可以自由选择。
2. 曲面工具曲面工具是将曲线连接起来形成的曲面。
设计师可以通过调整控制点、曲线和曲面的参数，来控制曲面的形状。
3. 几何体工具几何体工具是将曲面转换成带有体积的3D模型，如球体、立方体、圆柱体等。
设计师可以通过这些工具来创建真实的3D模型。
四、自由曲线曲面造型技术的优点1. 创意自由度高自由曲线曲面造型技术可以允许设计师非常灵活地表达自己的想法。
它可以让设计师轻松创建复杂形状和曲率变化的物体。
2. 精度高自由曲线曲面造型技术具有非常高的精度，可以帮助设计师创建精细的3D模型，并且不会出现几何失真的问题。
3. 可控性强自由曲线曲面造型技术基于控制点和曲线，具有非常强的可控性。
这意味着设计师可以精确地控制曲线和曲面的形状，从而创造出高质量的3D模型。
五、自由曲线曲面造型技术的应用案例自由曲线曲面造型技术已经被应用于许多领域，以下是一些典型的应用案例：1. 工业设计中的3D模型制作自由曲线曲面造型技术广泛应用于工业设计领域，例如汽车、飞机、手机等产品。
几何造型与自由曲线曲面
Brep信息的细节则为设计参数提供参考几何 基准。
4. 3 实体造型技术
5. 倒圆和拉伸（形体的局部处理）
倒圆：用光滑的圆弧表面取代形体上的棱边及棱角。 拉伸：将形体的某个表面或表面的一部分拉起，使原形体得以延伸的处理 方法。
倒圆角 拉伸面
4. 3 特征造型技术
一、特征造型：以实体造型为基础，使设计者采用常见的、具有一 定设计或加工功能的特征作为造型的基本单元来构造几何模型的方 法。 二、特征的定义及特点
4. 3 实体造型技术
4. 边界表示法（Boundary Representation, B-Rep)
用组成实体边界的基本元素（即顶点、棱边和面）及其连接关系信息表示实体。 采用边界表示法定义的实体为有限数量的面的 集合，面则由边及顶点加以定义。 优点： 显示效率高； 边界信息提取容易，可进行局部修改。 缺点： 数据结构复杂； 修改操作不方便。
4. 4 曲线及曲面的理论
插值： 根据给定的一组有序的数据点，构造一条曲线，使其 二、曲线及曲面的数学描述 1. 基本概念 顺序通过这些数据点，或根据未知函数f(x)上的若干个互异的型 值点f(xi) ，构造新函数g(x)，使g(xi)=f(xi) （i=0, 1, …, n）。
g(x)： f(x)的插值函数； xi： 插值节点； 注意：插值函数必须严格通过所有插值节点。 逼近： 构造一条曲线，使在一定条件下最为接近给定的数据点，或构造新函数，使其最 佳逼近原函数。 注意：逼近不要求通过所有给定的数据点，只是对数据点的最佳逼近。 拟合： 插值和逼近的统称，即在允许的误差范围内贴近或通过所有给定的数据点，并使 所构造的曲线或曲面光滑连接。 光顺：所构造的曲线或曲面是否光滑和顺眼。 几何连续性：曲线或曲面在连接处的连接状态。 零阶连续：边界重合； 一阶连续：一阶导数连续，切线矢量连续； 二阶连续：二阶导数连续，曲率连续。
4. 3 实体造型技术
5. 倒圆和拉伸（形体的局部处理）
倒圆：用光滑的圆弧表面取代形体上的棱边及棱角。 拉伸：将形体的某个表面或表面的一部分拉起，使原形体得以延伸的处理 方法。
倒圆角 拉伸面
4. 3 特征造型技术
一、特征造型：以实体造型为基础，使设计者采用常见的、具有一 定设计或加工功能的特征作为造型的基本单元来构造几何模型的方 法。 二、特征的定义及特点
4. 3 实体造型技术
4. 边界表示法（Boundary Representation, B-Rep)
用组成实体边界的基本元素（即顶点、棱边和面）及其连接关系信息表示实体。 采用边界表示法定义的实体为有限数量的面的 集合，面则由边及顶点加以定义。 优点： 显示效率高； 边界信息提取容易，可进行局部修改。 缺点： 数据结构复杂； 修改操作不方便。
4. 4 曲线及曲面的理论
插值： 根据给定的一组有序的数据点，构造一条曲线，使其 二、曲线及曲面的数学描述 1. 基本概念 顺序通过这些数据点，或根据未知函数f(x)上的若干个互异的型 值点f(xi) ，构造新函数g(x)，使g(xi)=f(xi) （i=0, 1, …, n）。
g(x)： f(x)的插值函数； xi： 插值节点； 注意：插值函数必须严格通过所有插值节点。 逼近： 构造一条曲线，使在一定条件下最为接近给定的数据点，或构造新函数，使其最 佳逼近原函数。 注意：逼近不要求通过所有给定的数据点，只是对数据点的最佳逼近。 拟合： 插值和逼近的统称，即在允许的误差范围内贴近或通过所有给定的数据点，并使 所构造的曲线或曲面光滑连接。 光顺：所构造的曲线或曲面是否光滑和顺眼。 几何连续性：曲线或曲面在连接处的连接状态。 零阶连续：边界重合； 一阶连续：一阶导数连续，切线矢量连续； 二阶连续：二阶导数连续，曲率连续。
自由曲线与曲面-123页精选文档
2．参数样条表示 在计算机图形学应用中使用几种不同的样条描述。
每种描述是一个带有某特定边界条件多项式的特殊 类型。
02.12.2019
5
例如空间一条曲线用三次参数方程可以表示如下：
x(u)﹦axu 3﹢bxu 2﹢cxu﹢dx y(u)﹦ayu 3﹢byu 2﹢cyu﹢dy z(u)﹦azu 3﹢bzu 2﹢czu﹢dz u[0,1] 或
二阶几何连续性，记为G2连续，指两个曲线段在相交 处其一阶和二阶导数均成比例。G2连续下，两个曲线段在 交点处的曲率相等。
02.12.2019
4
7.1.4 参数样条曲线 1．样条曲线
在计算机图形学中，术语样条曲线指由多项式曲 线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定连 续条件。而样条曲面可用两组正交样条曲线来描述。 样条用来设计曲线和曲面形状，典型的CAD应用包 括汽车、飞机和航天飞机表面设计以及船壳设计。
Hermite样条插值（以法国数学家Charles Hermite
命名）使用型值点和型值点处的一阶导数建立边界条
件。设Pk和Pk+1为第K个和第K+1个型值点，Hermite样 条插值边界条件规定为：
P(0) ﹦Pk P(1) ﹦Pk+1 P’(0)﹦Dk P’(1)﹦Dk+1 其中，Dk和Dk+1分别为Pk和Pk+1处的一阶导数。 将参数方程写成矩阵形式为：
﹢(-3xk﹢3xk+1-2xk'-xk+1')u2+xk'u﹢xk y(u)﹦(2yk-2yk+1+yk'﹢yk+1')u3
﹢(-3yk﹢3yk+1-2yk'-yk+1')u2+yk'u﹢yk z(u)﹦(2zk-2zk+1+zk'﹢zk+1')u3
每种描述是一个带有某特定边界条件多项式的特殊 类型。
02.12.2019
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例如空间一条曲线用三次参数方程可以表示如下：
x(u)﹦axu 3﹢bxu 2﹢cxu﹢dx y(u)﹦ayu 3﹢byu 2﹢cyu﹢dy z(u)﹦azu 3﹢bzu 2﹢czu﹢dz u[0,1] 或
二阶几何连续性，记为G2连续，指两个曲线段在相交 处其一阶和二阶导数均成比例。G2连续下，两个曲线段在 交点处的曲率相等。
02.12.2019
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7.1.4 参数样条曲线 1．样条曲线
在计算机图形学中，术语样条曲线指由多项式曲 线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定连 续条件。而样条曲面可用两组正交样条曲线来描述。 样条用来设计曲线和曲面形状，典型的CAD应用包 括汽车、飞机和航天飞机表面设计以及船壳设计。
Hermite样条插值（以法国数学家Charles Hermite
命名）使用型值点和型值点处的一阶导数建立边界条
件。设Pk和Pk+1为第K个和第K+1个型值点，Hermite样 条插值边界条件规定为：
P(0) ﹦Pk P(1) ﹦Pk+1 P’(0)﹦Dk P’(1)﹦Dk+1 其中，Dk和Dk+1分别为Pk和Pk+1处的一阶导数。 将参数方程写成矩阵形式为：
﹢(-3xk﹢3xk+1-2xk'-xk+1')u2+xk'u﹢xk y(u)﹦(2yk-2yk+1+yk'﹢yk+1')u3
﹢(-3yk﹢3yk+1-2yk'-yk+1')u2+yk'u﹢yk z(u)﹦(2zk-2zk+1+zk'﹢zk+1')u3
第五章基本形体和曲线曲面-PPT精选.ppt
棱柱体表面上直线和点
5′ 3″
1″
a′
(k′)
c′ b′
(c″) b″
a″
k″
3 (4) k
6′ 4″
2″
1 (2)
c
ab
棱锥体表面上直线和点
s′
s″
b′ k′
a′ 1′
b″ (k″)
a″
a
s
1bk
二.曲 线 (P92)
(一)曲线的投影特性
曲线由点的运动形成，分为平面曲线和空间曲线两大类。 凡曲线上所有点都在同一平面上的，称为平面曲线。曲线上 四个连续的点不在同一平面上的，称为空间曲线。
第五章 基本形体和曲线、曲面
一.平面体 二.曲线 三.曲面及回转体 四.圆柱螺旋线和平螺旋面
任何复杂的形体都可以看成是由简单的 基本形体组成的，简单的基本形体分为两 大类：平面体和曲面体。
一.平面体 (P35)
表面由平面围成的立体，称为平面体。 平面体的投影就是围成平面体的各个平面投影的集合。 常见的平面体有：棱柱、棱锥、棱台。
三.曲面及回转体 (一)曲面的形成
曲面是由直线或曲线在一定约束条件下运动形成的。 这根运动的直线或曲线，称为曲面的母线。由于母线或 约束条件的不同，形成不同的曲面。
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(二)回转面和回转体
母线绕一直线旋转一周所形成的曲面，称为回 转面。由回转面或回转面和平面共同所围成的立 体，称为回转体。
返回
1.平面曲线的投影
——曲线上各点均位于同一平面上， 如：圆、抛物线、双曲线等。 (1)当平面曲线所在平面平行于投影面时，则平 面曲线的投影反映实形； (投影面平行面)
圆平面平行于投影面时， 其投影反映其实形圆；
自由曲线曲面造型技术PPT课件
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O
x
第42页/共62页
已知 mn个节点
其中
互不相同，不妨设
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
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第二种（散乱节点）：
y
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0
x
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已知n个节点
其中
互不相同，
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
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1.1.1 曲面变形
（• 传D统e的fNoURrBmS模a型t仅i允o许n调整o控r制S顶h点a或p权因e子B来l局e部n改d变i曲n面g形)状。
• 计算机动画业和实体造型业需要与曲面表示方法无关的变形方法或性状调配方法。
第8页/共62页
1.1.2 曲面重建（Reconstuction)
是集几何造型与数控编程于一体的集成化软 件,具有统一的数据结构,数据管理和用户界面. 系统采用NURBS（Non Uniform Rational BSpline)方法为造型核心,统一表示二次曲线曲 面和自由曲线曲面.从根本上解决了不规则的 任意边界的曲面造型问题,解决了复杂零件的 四,五坐标加工编程问题,适用于各种刀具端铣 和侧铣,大大提高了系统的数控编程能力.可以 大面积切除毛坯余量,提高加工效率.系统具有
y
+
++
+
i +
+
(xi,yi)
第五章曲线曲面、
＝（1－u）Pi－1 ＋ u Pi ＝ N0，1（u）Pi－1 ＋ N1，1（u）Pi
45
二次Ｂ样条曲线 在二次Ｂ样条曲线中，n=2,k=0,1,2 其基函数形式为：
1 2 F0,2 (t ) (t 1) 2 1 2 F1,2 (t ) ( 2t 2t 1) 2 1 2 F2,2 (t ) t 2 因此可写出二次Ｂ样条曲线的分段表达式为：
5
• 对于复杂曲线和曲面的绘制方法
先确定一些满足条件的、位于曲线上的坐标点，然 后借用曲线板把这些点分段光滑地连接成曲线。 绘出的曲线的精确程度，则取决于所选择的数据 点的精度和数量，坐标点的精度高，点的数量取
得多，则连成的曲线愈接近于理想曲线。
6
7
存在的问题
• 不灵活 • 不易修改 • 耗费时间
• B1(t) = t3 B2(t) = 3t2(1 - t) B3(t) = 3t(1 - t)2 B4(t) = (1 - t)3 P1 P2
Q( t ) ( 1 t )3 P1 3t( 1 t )2 P2 3t 2 ( 1 t )P3 t 335 4 P
P0
P3
36
P ( 1 - t )2 P0 ( 1 t )tP1 t 2 P2 (0 i 1)
34
三次Bezier曲线
• 13 = (t + (1 - t))3 »1 = (t + (1 - t)) . (t2 + 2t(1 - t) + (1 - t)2) »1 = t3 + 3t2(1 - t) + 3t(1 - t)2 + (1 - t)3
P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))
自由曲线-自由曲面设计
若令 d k x
n
a
j 0
m
k 0
i k
Si ,
d
k 0
n
i yk xk Ti；则可得方程组： k
j
S i j Ti
这里有m+1个方程，可以解出m+1个系数未知数 a0,a1,…am，代入定义即可求出多项式F(x)逼近已知 的n个型值点；
一组实验数据： x 0 10 20 30 40
多项式拟合最小二乘法
设已知型值点为(xi,yi)(i=1,2,…n)，现构造一个 m(m<n-1)次多项式函数y=F(x)逼近这些型值点； 逼近的好坏可用各点偏差的加权平方和来衡量：
(a0 , a1 ,..., am ) d k [ F ( xk ) yk ]2
k 0 n
F ( x) a j x j 使得偏 令F(x)为一个m次多项式，
j 0
m
差平方和 达到极小；
最小二乘法解决逼近问题
根据求极值问题的方法可知，使 (a j ) 达到极小的 a j (j=0,1…,m)必须满足下列方程组：
n m i 2 d k a j xkj y k xk 0 ai k 0 j 0
i 0,1,..... m
1972年，德布尔(de Boor)给出了B样条的标准计算 方法；
1974年，通用汽车公司的戈登(Gordon)和里森费尔 德(Riesenfeld)在B样条理论的基础上，提出了B样 条曲线、曲面；
1975年，美国的佛斯普里尔(Versprill)提出了有理B 样条方法； 80年代后期，美国的皮格尔(Piegl)和蒂勒(Tiller)将 有理B样条发展成非均匀有理B样条(NURBS)方法；
自由曲线和曲面 图形学 孔令德 计算机图形学基础教程 大学课件98页PPT文档
Hermite曲线段定义：给定曲线段的两个端点P i 和 P i+1和两端点处的一阶导数Ri和Ri+1构造而成。
下面用已知条件求出Hermite曲线段的参数方程
11
通常用三次参数方程描述空间一条自由曲 线：
x(t) y(t)
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈[0,1]
z(t) azt3 bzt2 czt dz
其中，t为参数，且0<=t<=1时，t=0对应曲线段的起点，t ＝1时，对应曲线段的终点。
以直线为例：已知直线的起点坐标P1（x1，y1） 和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程：
yy1yx22 xy11(xx1)
9
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
直线的参数方程表示为：
yxyx11
(x2 (y2
d
t∈〔0,1〕；
13
7.1.3 拟合和逼近
• 型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述曲线或 曲面几何形状的数据点。
• 控制点
指用来控制或调整曲线(面）形状的特殊点（不一定在曲线上）
• 插值点 求给定型值点之间曲线（面）上的点 要求建立的曲线与曲面数学模型，严格通过已知的每一
自由曲线曲面——
无法用标准方程描述的曲线曲 面，通常由一系列实测数据点 确定。如汽车的外形曲线曲面、 等高线等。
3
图7-1 汽车的曲面
4
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
下面用已知条件求出Hermite曲线段的参数方程
11
通常用三次参数方程描述空间一条自由曲 线：
x(t) y(t)
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈[0,1]
z(t) azt3 bzt2 czt dz
其中，t为参数，且0<=t<=1时，t=0对应曲线段的起点，t ＝1时，对应曲线段的终点。
以直线为例：已知直线的起点坐标P1（x1，y1） 和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程：
yy1yx22 xy11(xx1)
9
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
直线的参数方程表示为：
yxyx11
(x2 (y2
d
t∈〔0,1〕；
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7.1.3 拟合和逼近
• 型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述曲线或 曲面几何形状的数据点。
• 控制点
指用来控制或调整曲线(面）形状的特殊点（不一定在曲线上）
• 插值点 求给定型值点之间曲线（面）上的点 要求建立的曲线与曲面数学模型，严格通过已知的每一
自由曲线曲面——
无法用标准方程描述的曲线曲 面，通常由一系列实测数据点 确定。如汽车的外形曲线曲面、 等高线等。
3
图7-1 汽车的曲面
4
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
第5章 自由曲线曲面
3）三次Bezier曲线
3 2 2 3
C (u) (1 u) P0 3u(1 u) P1 3u (1 u) P2 u P3
C ( u ) [u
3
u
2
1 3 u 1] 3 1
3 6 3 0
3 1 P0 3 0 P 1 0 0 P2 0 0 P3
Bezier曲线的顶点反求
已知Bezier曲线上给定参数处的位置矢量和 参数阶次，利用Bezier曲线定义和端点特性， 可列出一组方程，求解方程组，就可得到相 应的控制顶点。 例子：已知三次Bezier曲线上的四个点分 别 为 Q0(120,0), Q1(45,0), Q2(0,45), Q3(0,120), 它们对应的参数分别为0, 1/3, 2/3, 1,反求三次Bezier曲线的控制顶点。
1 i
由此组成一个边数为（n-1）的新的多边形；
2) 按 相 同 的 过 程 分 割 n-1 次 后 ， 得 到 两 个 顶 n n n 点 P0 1 , P1 1 ，再分割得到所求的点 P 0 。即 为所求的u处的曲线点；
Bezier 曲线的几何作图法
Bezier曲线的分割
Bezier曲线的升阶
n i
n! C i !(n i )!
i n
Bernstein基函数具有下列性质：
1) 非负性： 2) 规范性：
Bi ,n (u ) 0, 0 u 1
B
i 0
n
i ,n
(u ) 1,
0 u 1
3) 对称性：
Bi ,n(u) B ni ,n(1 u), i 0,1,..., n
第二章-几何造型及自由曲面
• 形状控制
三次Hermite曲线(5/7)
– 改变端点位置矢量 P0 , P 1 – 调节切矢量 R0 , R1 的方向 – 调节切矢量 R0 , R1的长度
三次Hermite曲线(6/7)
• 三次参数样条曲线
– 样条? – 曲线的定义
• 给定参数节点 ti in0 ，型值点 Pi in0 ，求一条 的分段三次参数曲线 P(t )(t [t0 , tn ]) ， 使 P(t ) |t t 。P(t)称为三次参数样条曲线
Bezier曲线
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法 计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用 de Casteljau提出的递推算法则要简单得多。 如图3.1.10所示，设P0、P02、P2是一条抛物线上顺序 三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点，在P02点 的切线交P0P1和P2P1于P01和P11，则如下比例成立：
第二节
几何造型理论和方法
2.2.2 几何造型方法
三、实体造型：不仅描述形体的几何信息，而且还描述 其各部分之间的联系信息以及表面的哪一侧存在实体等 信息。
实体造型
优点：
（1）全面完整地定 义立体图形；
（2）可以自动计算 物性、检测干涉、 消隐和剖切形体。
第二节
几何造型理论和方法
2.2.3 自由曲线、自由曲面造型
– 1阶几何连续
• 称曲线P=P(t)在 t t处1阶几何连续，如果它在该 0 处 GC 0,并且切矢量方向连续
• 记为 GC1
P(t0 ) P(t0 )
0为任一常数
参数曲线基础（6/6）
– 2阶几何连续
• 称曲线P=P(t)在 t t处2阶几何连续，如果它在 t 0 处 0
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叶子节点——体素或几何变换参数 中间节点——施加在其上的集合运算或几何变换定义
差
根节点——所构造的几何形体
优点：
数据结构简单、紧凑，数据管理方便； 实体构造无二义性；
并
操作方便，概念直观，可通过修改构造环节改变形体的形状；
容易实现参数化造型。
缺点：
形体的CSG树型结构
造型过程只能采用集合运算，一些局部修改功能，如拉伸、倒 圆等不能使用； 边界以及边界与实体的连接关系难以提取； 形体显示效率低，不利于图形显示。
继承联系：构成特征之间的层次关系。 超类特征：位于层次上级的特征； 亚类特征：位于层次下级的特征。 亚类特征可继承超类特征的属性和方法。 特征与特征实例之间的联系也属于继承关系。 从属联系：描述形状特征中各形状特征之间的依从和附属关系。 从属特征依赖于被从属的特征而存在，对被从属的形状特征作局部修饰。 邻接联系：反映形状特征之间的相互位置关系。 如阶梯轴：相邻两个轴段之间的关系就是邻接联系，其中每个相邻面的状态可共享。 引用联系：描述特征类之间作为关联属性而相互引用的联系。 引用联系主要存在于形状特征对精度特征、材料特征的引用。
主特征：用以构造零件的基本几何形体。 简单主特征：简单的几何形体。（如圆柱体、长方体、球体等） 宏特征：指具有相对固定的结构形状和加工方法的形状特征，其几何形状较复 杂，且不便于进一步细分为其他形状特征的组合。（如如盘类零件、轮类零件的 轮辐和轮毂等，基本上都是由宏特征及附加在其上的辅助特征构成） 辅特征：依附于主特征（也可是另一辅特征）之上的几何形状特征，是对主特征的
用计算机程序设计语言描述特征，设计时直接 调用特征库及程序文件，进行绘图和 建立产品信息模型。
5. 4 特征造型技术
八、特征造型零件信息模型实例：轴的零件信息模型
其余
技术要求： 调质处理，硬度220 250
其余
技术要求： 调质处理，硬度220 250
5. 5 曲线及曲面的理论
一、概述
1. 工业产品的形态：
1. 点：最基本的几何元素。任何几何形体都可用点的有序集合表示。 2. 边：两个或多于两个相邻面的交界。 边具有方向性：由起点沿边指向终点。 3. 面：形体表面或表面的一部分，其范围由一个外环和若干内环界定。 面具有方向性：通常由面的外法矢方向作为其正方向。
外法矢方向：由组成面的外环的有向边按右手规则确定。
F1外环：V1→ V2→ V3 → V4 → V1 F1内环： V12 → V11 → V10→ V9 → V12
5. 2 表示形体的模型
一、线框模型：用顶点和边表示形体。
缺点：
• 无法自动消隐，所构造的形体易产生不确定性，即具有二义性。
• 不能明确定义给定点与形体之间的关系，不能生成剖切图、渲染图等。
5. 3 实体造型技术
3. 倒圆和拉伸（形体的局部处理）
倒圆：用光滑的圆弧表面取代形体上的棱边及棱角。 拉伸：将形体的某个表面或表面的一部分拉起，使原形体得以延伸的处理 方法。
倒圆角 拉伸面
5. 3 实体造型技术
4. 边界表示法（Boundary Representation, B-Rep)
特征与零件的几何描述相关； 特征具有一定的工程实际意义，不同工程领域，特征的内容会有所不同，具体应用 时，特征应覆盖所需要的信息； 特征可被识别与转换。
5. 4 特征造型技术
三、特征的分类
形状特征：与描述零件几何形状、尺寸相关的信息集合，包括功能形状、加工 工艺形状、装配辅助形状等，是用于描述零件或产品的主要特征。
2. 特征库的组织方式
图谱方式：画出各类特征图，附以特征属性，建立表格形式。
用形式化数据规范语言对特征进行描述，建立特征的概念库；
EXPRESS语言描述方式：PDES（Product Data Exchanging Standard 产品数据交换信息 规范 美国国家标准和技术协会）/STEP（Standards for Transmission and Exchange of Product ISO：产品信息交换和传输标准）推荐的一种计算机可处理的形式建模语言。用于建立特征库， 以便使那些基于特征的计算机辅助系统根据系统本身的软、硬件的需要，映射为适合于自身的 实现语言描述特征。
局部修饰，反映零件几何形状的细微结构。（如螺纹、花键、V形槽、T形槽、U形槽
等） 组合特征：由一些简单辅特征组合而成的特征，如中心孔、同轴孔等。 复制特征：指由一些同类辅特征按一定的规律在空间的不同位置上复制而成的形状 特征，如周向均布孔、矩形阵列孔、油沟密封槽、轮缘（如齿圆、V型带轮槽等）。
5. 4 特征造型技术
第五讲 几何造型与自由曲线曲面
• • • • • 描述形体的信息 表示形体的模型 实体造型技术 特征造型技术（不作要求） 自由曲线曲面理论基础
5. 1 描述形体的信息
描述形体形状特征的信息：
几何信息：用来表示几何元素的性质和度量关系的信息。 拓扑信息：表示形体各个几何元素之间连接关系的信息。
5.1.1 基本几何元素的定义
5. 3 实体造型技术
旋转扫描法：将二维图形绕某一轴线旋转构造三维形体的方法。
2. 构造实体几何法（ Constructive Solid Geometry，CSG）
集合运算（布尔运算）：并、交、差
B A
A∪B A-B
B -A
A∩B
5. 3 实体造型技术
构造实体几何的表示方法（CSG二叉树) 用二叉树形式说明通过基本体素间的集合运算来构造复杂形体的历史过程。
在基于 CSG模型的造型过程中，可将形状特 征、参数化设计引入造型过程的体素定义、几何 变换及最终的模型中；
Brep信息的细节则为设计参数提供参考几何 基准。
5. 4 特征造型技术
一、特征造型：以实体造型为基础，使设计者采用常见的、具有一 定设计或加工功能的特征作为造型的基本单元来构造几何模型的方 法。 二、特征的定义及特点
三、特征的分类
精度特征：描述零件几何形状、尺寸许可变动量的信息集合；（包括尺寸公差 和形位公差，表面粗糙度等） 材料热处理特征：与零件材料和热处理有关的信息集合；（如材料性能、热处 理方式、硬度值等） 技术特征：描述零件性能、制造技术要求、装配要求的信息集合；
管理特征：与零件管理有关的信息集合；（包括题栏信息，如零件名、设计者、 设计日期等；零件材料，未注粗糙度等信息）
正则形体 非正则形体
5. 1 描述形体的信息
5.1.2 拓扑信息——说明各个几何要素间的连接关系
平面立体的拓扑关系： 包含性和相邻性
5.1.3 基本几何要素间的关系及层次结构
外壳：V1→ V2→ V3 → V6 → V5→ V8 → V1
E1→ E2→ E7 → E6 → E10→ E11
形体表示的层次
5. 扫描法
平移扫描法：将二维图形沿某一轨迹移动构造三维形体的方法。
正平移：二维图形沿与其垂直的直线移动； 斜平移：二维图形沿任意直线方向移动；
缩放平移：二维图形移动构造形体的过程中不断放大或缩小。
蒙皮法：将二维图形沿任意曲线移动同时调整二维图形的尺寸甚至形状， 这种构造三维形体的方法称为蒙皮法。
1. 特征的定义：特征是具有属性，与设计、制造活动有关，并含有工程意义的基 本几何实体或信息的集合。
特征是零件表面上有意义的区域。（基于几何和加工的定义） 特征是产品信息传递的载体。（从信息传递的角度）
特征是与零件描述或零件之间关系相关的信息集。
特征是零件的形状或其它属性的信息集。
2. 特征所具有的特点
线框模型的二义性
线框模型示例
5. 2 表示形体的模型
二、表面模型：是将有向棱边围成的部分定义为形体的表面，用面 的集合表示形体的模型。
平面模型：用多边形网格描述形体表面。 曲面模型：用曲面片代替平面模型中的小平面片。
从美学和外形功能要求的角度对构造模型进行评价和修改。 对构造曲面生成NC (Numerical Control,数字控制）加工程序， 以完成对该曲面的加工。
5. 1 描述形体的信息
5.1.1 基本几何元素的定义
4. 环：由有序、有向边组成的面的封闭边界。
外环：确定面的最大外边界。
内环：确定面中内孔或凸台边界。 环的方向性：
外环各边按逆时针排列
5. 体：由面围成的封闭三维空间。
内环各边按顺时针方向排列
6. 外壳：在观察方向上所能看到的形体的最大外轮廓线。
7. 体素：指可用有限个尺寸参数定位和定型的形体。
基本体素：如长方体、圆柱体、球体、棱柱体、圆环体等； 由轮廓线沿指定的空间参数曲线扫描或回转所形成的形体。
5. 1 描述形体的信息
正则形体和非正则形体
正则形体：具有维数一致的边界所定 义的形体称为正则形体。
特点：每条边只能有两个相邻面。 非正则形体：维数不一致的边界所定 义的形体称为非正则形体。 特点：具有悬边或悬面。
五、特征造型方法
人机交互方式 特征自动识别的方式 特征库
5. 4 特征造型技术
六、特征造型系统的框架 七、特征库的组织方式
1. 特征库应具备的功能
完备的形状特征，以适应众多的零件；
完备的产品信息（几何/拓扑信息，各类特征信息，零件的总体信息）；
特征库的组织方式，应便于操作、管理，方便用户对特征进行修改、增加和删除。
5. 5 曲线及曲面的理论
插值： 根据给定的一组有序的数据点，构造一条曲线，使其 二、曲线及曲面的数学描述 1. 基本概念 顺序通过这些数据点.
注意：插值函数必须严格通过所有插值节点。
逼近： 构造一条曲线，使在一定条件下最为接近给定的数据点. 注意：逼近不要求通过所有给定的数据点，只是对数据点的最佳逼近。 拟合： 插值和逼近的统称，即在允许的误差范围内贴近或通过所有给定的数据点，并使 所构造的曲线或曲面光滑连接。 光顺：所构造的曲线或曲面是否光滑和顺眼。 几何连续性：曲线或曲面在连接处的连接状态。 零阶连续：边界重合； 一阶连续：一阶导数连续，切线矢量连续； 二阶连续：二阶导数连续，曲率连续。
差
根节点——所构造的几何形体
优点：
数据结构简单、紧凑，数据管理方便； 实体构造无二义性；
并
操作方便，概念直观，可通过修改构造环节改变形体的形状；
容易实现参数化造型。
缺点：
形体的CSG树型结构
造型过程只能采用集合运算，一些局部修改功能，如拉伸、倒 圆等不能使用； 边界以及边界与实体的连接关系难以提取； 形体显示效率低，不利于图形显示。
继承联系：构成特征之间的层次关系。 超类特征：位于层次上级的特征； 亚类特征：位于层次下级的特征。 亚类特征可继承超类特征的属性和方法。 特征与特征实例之间的联系也属于继承关系。 从属联系：描述形状特征中各形状特征之间的依从和附属关系。 从属特征依赖于被从属的特征而存在，对被从属的形状特征作局部修饰。 邻接联系：反映形状特征之间的相互位置关系。 如阶梯轴：相邻两个轴段之间的关系就是邻接联系，其中每个相邻面的状态可共享。 引用联系：描述特征类之间作为关联属性而相互引用的联系。 引用联系主要存在于形状特征对精度特征、材料特征的引用。
主特征：用以构造零件的基本几何形体。 简单主特征：简单的几何形体。（如圆柱体、长方体、球体等） 宏特征：指具有相对固定的结构形状和加工方法的形状特征，其几何形状较复 杂，且不便于进一步细分为其他形状特征的组合。（如如盘类零件、轮类零件的 轮辐和轮毂等，基本上都是由宏特征及附加在其上的辅助特征构成） 辅特征：依附于主特征（也可是另一辅特征）之上的几何形状特征，是对主特征的
用计算机程序设计语言描述特征，设计时直接 调用特征库及程序文件，进行绘图和 建立产品信息模型。
5. 4 特征造型技术
八、特征造型零件信息模型实例：轴的零件信息模型
其余
技术要求： 调质处理，硬度220 250
其余
技术要求： 调质处理，硬度220 250
5. 5 曲线及曲面的理论
一、概述
1. 工业产品的形态：
1. 点：最基本的几何元素。任何几何形体都可用点的有序集合表示。 2. 边：两个或多于两个相邻面的交界。 边具有方向性：由起点沿边指向终点。 3. 面：形体表面或表面的一部分，其范围由一个外环和若干内环界定。 面具有方向性：通常由面的外法矢方向作为其正方向。
外法矢方向：由组成面的外环的有向边按右手规则确定。
F1外环：V1→ V2→ V3 → V4 → V1 F1内环： V12 → V11 → V10→ V9 → V12
5. 2 表示形体的模型
一、线框模型：用顶点和边表示形体。
缺点：
• 无法自动消隐，所构造的形体易产生不确定性，即具有二义性。
• 不能明确定义给定点与形体之间的关系，不能生成剖切图、渲染图等。
5. 3 实体造型技术
3. 倒圆和拉伸（形体的局部处理）
倒圆：用光滑的圆弧表面取代形体上的棱边及棱角。 拉伸：将形体的某个表面或表面的一部分拉起，使原形体得以延伸的处理 方法。
倒圆角 拉伸面
5. 3 实体造型技术
4. 边界表示法（Boundary Representation, B-Rep)
特征与零件的几何描述相关； 特征具有一定的工程实际意义，不同工程领域，特征的内容会有所不同，具体应用 时，特征应覆盖所需要的信息； 特征可被识别与转换。
5. 4 特征造型技术
三、特征的分类
形状特征：与描述零件几何形状、尺寸相关的信息集合，包括功能形状、加工 工艺形状、装配辅助形状等，是用于描述零件或产品的主要特征。
2. 特征库的组织方式
图谱方式：画出各类特征图，附以特征属性，建立表格形式。
用形式化数据规范语言对特征进行描述，建立特征的概念库；
EXPRESS语言描述方式：PDES（Product Data Exchanging Standard 产品数据交换信息 规范 美国国家标准和技术协会）/STEP（Standards for Transmission and Exchange of Product ISO：产品信息交换和传输标准）推荐的一种计算机可处理的形式建模语言。用于建立特征库， 以便使那些基于特征的计算机辅助系统根据系统本身的软、硬件的需要，映射为适合于自身的 实现语言描述特征。
局部修饰，反映零件几何形状的细微结构。（如螺纹、花键、V形槽、T形槽、U形槽
等） 组合特征：由一些简单辅特征组合而成的特征，如中心孔、同轴孔等。 复制特征：指由一些同类辅特征按一定的规律在空间的不同位置上复制而成的形状 特征，如周向均布孔、矩形阵列孔、油沟密封槽、轮缘（如齿圆、V型带轮槽等）。
5. 4 特征造型技术
第五讲 几何造型与自由曲线曲面
• • • • • 描述形体的信息 表示形体的模型 实体造型技术 特征造型技术（不作要求） 自由曲线曲面理论基础
5. 1 描述形体的信息
描述形体形状特征的信息：
几何信息：用来表示几何元素的性质和度量关系的信息。 拓扑信息：表示形体各个几何元素之间连接关系的信息。
5.1.1 基本几何元素的定义
5. 3 实体造型技术
旋转扫描法：将二维图形绕某一轴线旋转构造三维形体的方法。
2. 构造实体几何法（ Constructive Solid Geometry，CSG）
集合运算（布尔运算）：并、交、差
B A
A∪B A-B
B -A
A∩B
5. 3 实体造型技术
构造实体几何的表示方法（CSG二叉树) 用二叉树形式说明通过基本体素间的集合运算来构造复杂形体的历史过程。
在基于 CSG模型的造型过程中，可将形状特 征、参数化设计引入造型过程的体素定义、几何 变换及最终的模型中；
Brep信息的细节则为设计参数提供参考几何 基准。
5. 4 特征造型技术
一、特征造型：以实体造型为基础，使设计者采用常见的、具有一 定设计或加工功能的特征作为造型的基本单元来构造几何模型的方 法。 二、特征的定义及特点
三、特征的分类
精度特征：描述零件几何形状、尺寸许可变动量的信息集合；（包括尺寸公差 和形位公差，表面粗糙度等） 材料热处理特征：与零件材料和热处理有关的信息集合；（如材料性能、热处 理方式、硬度值等） 技术特征：描述零件性能、制造技术要求、装配要求的信息集合；
管理特征：与零件管理有关的信息集合；（包括题栏信息，如零件名、设计者、 设计日期等；零件材料，未注粗糙度等信息）
正则形体 非正则形体
5. 1 描述形体的信息
5.1.2 拓扑信息——说明各个几何要素间的连接关系
平面立体的拓扑关系： 包含性和相邻性
5.1.3 基本几何要素间的关系及层次结构
外壳：V1→ V2→ V3 → V6 → V5→ V8 → V1
E1→ E2→ E7 → E6 → E10→ E11
形体表示的层次
5. 扫描法
平移扫描法：将二维图形沿某一轨迹移动构造三维形体的方法。
正平移：二维图形沿与其垂直的直线移动； 斜平移：二维图形沿任意直线方向移动；
缩放平移：二维图形移动构造形体的过程中不断放大或缩小。
蒙皮法：将二维图形沿任意曲线移动同时调整二维图形的尺寸甚至形状， 这种构造三维形体的方法称为蒙皮法。
1. 特征的定义：特征是具有属性，与设计、制造活动有关，并含有工程意义的基 本几何实体或信息的集合。
特征是零件表面上有意义的区域。（基于几何和加工的定义） 特征是产品信息传递的载体。（从信息传递的角度）
特征是与零件描述或零件之间关系相关的信息集。
特征是零件的形状或其它属性的信息集。
2. 特征所具有的特点
线框模型的二义性
线框模型示例
5. 2 表示形体的模型
二、表面模型：是将有向棱边围成的部分定义为形体的表面，用面 的集合表示形体的模型。
平面模型：用多边形网格描述形体表面。 曲面模型：用曲面片代替平面模型中的小平面片。
从美学和外形功能要求的角度对构造模型进行评价和修改。 对构造曲面生成NC (Numerical Control,数字控制）加工程序， 以完成对该曲面的加工。
5. 1 描述形体的信息
5.1.1 基本几何元素的定义
4. 环：由有序、有向边组成的面的封闭边界。
外环：确定面的最大外边界。
内环：确定面中内孔或凸台边界。 环的方向性：
外环各边按逆时针排列
5. 体：由面围成的封闭三维空间。
内环各边按顺时针方向排列
6. 外壳：在观察方向上所能看到的形体的最大外轮廓线。
7. 体素：指可用有限个尺寸参数定位和定型的形体。
基本体素：如长方体、圆柱体、球体、棱柱体、圆环体等； 由轮廓线沿指定的空间参数曲线扫描或回转所形成的形体。
5. 1 描述形体的信息
正则形体和非正则形体
正则形体：具有维数一致的边界所定 义的形体称为正则形体。
特点：每条边只能有两个相邻面。 非正则形体：维数不一致的边界所定 义的形体称为非正则形体。 特点：具有悬边或悬面。
五、特征造型方法
人机交互方式 特征自动识别的方式 特征库
5. 4 特征造型技术
六、特征造型系统的框架 七、特征库的组织方式
1. 特征库应具备的功能
完备的形状特征，以适应众多的零件；
完备的产品信息（几何/拓扑信息，各类特征信息，零件的总体信息）；
特征库的组织方式，应便于操作、管理，方便用户对特征进行修改、增加和删除。
5. 5 曲线及曲面的理论
插值： 根据给定的一组有序的数据点，构造一条曲线，使其 二、曲线及曲面的数学描述 1. 基本概念 顺序通过这些数据点.
注意：插值函数必须严格通过所有插值节点。
逼近： 构造一条曲线，使在一定条件下最为接近给定的数据点. 注意：逼近不要求通过所有给定的数据点，只是对数据点的最佳逼近。 拟合： 插值和逼近的统称，即在允许的误差范围内贴近或通过所有给定的数据点，并使 所构造的曲线或曲面光滑连接。 光顺：所构造的曲线或曲面是否光滑和顺眼。 几何连续性：曲线或曲面在连接处的连接状态。 零阶连续：边界重合； 一阶连续：一阶导数连续，切线矢量连续； 二阶连续：二阶导数连续，曲率连续。