2019考研数学二真题及答案
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2
1,0,1.
B、
1,0, 2.
C、
2,1,3.
D、
2,1,4.
答案】
D.
解析】
由题设可知
1是特征方程
ar
0的二重根，即特征方程为
(r1)2
0，
所以a
2,
1。
又知
x
ex是方程
2y
x
cex的特解，代入方程的
4。故选D。
已知积分
D x, y
y2
I1x2
D
dxdy
I2
y2dxdy，
I3
1 cos x2y2D
x a(x a)2
f (x) g (x)f (x) g (x)lim 0及lim 0，x a2(x a)x a2
进而推出f(a) g(a)，f (a) g (a)，f (a) g (a)。由此可知两曲线在x a处有
相同切线，且由曲率公式Ky3可知曲线在x a处曲率也相等，充分性得证。
[1 (y)2]2
3，选
C.
3
2、曲线
y
xsin x 2cos x
x
3
的拐点是（
）
－２
２
A、
B、
0,2
C、
2.
D、3,3.
２２
２２
【答案】
C.
【解析】
y
xcosx sinx
y
xsin x，令
y
xsin x 0，解得x 0或
x。
当x
时，
y 0；当x
时，
y
0，
所以
,2
是拐点。
故选C.
3、下列反常积分发散的是（
）
x
x
2
arx tanx
必要性 ：由曲线y f(x)，y g(x)在x a处相切，可得f(a) g(a)，f (a) g (a)；
由曲率相等f (a)3g (a)3，可知f (a) g (a)或f (a) g (a)。
[1 (f (a))2]2[1 (g(a))2]2
当f (a) g (a)时，所求极限
limf(x) g(2x)limf (x) g(x)limf (x) g(x)f (a)，而f (a)未必等于0，x a(x a)2x a2(x a)x a2
dxdy，则（ ）
A、I3I2I1.
B、I2I1I3.
C、I1
I2I3.
D、
I2
I3
I1.
答案 】A.
解析 】比较积分的大小，
当积分区域一致时，比较被积函数的大小即可解决问题。
2，可得
2
x2y2【画图发现
2
y2包含在圆x2
内 部 】， 令ux2y2， 则0
于是有
u sinu
从而
x2y2dxdysin x2y2dxdy。
2019
、选择题 :1～8小题，每小题4分，共 32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
1、 当x
0时，若x tanx与
k
xLeabharlann Baidu 同阶无穷小量，则
k
（）
A、1.
B、
2.
C、
3.
D、4.
【答案】
C.
x3
【解析】
因为
x tanx~
所以
k
DD
令f (u) 1 cosu sin u，则f (u) sinu cosu，f ( )0。f(u)在0,内单调
减少，
在,单调增加，又因为f(0) f( ) 0，故在0,内f(u)0，即4 2 2 2
1 cosu sin u，从而sin x2y2dxdy(1 cos x2y2)dxdy。 综上，选A。
A
、
xexdx.
B、
xe
dx.
C、
2dx.D、
0
0
0
1 x2
dx.
答案】D.
解析】
0
xde
x
xe
0
B、
x2
xe
0
x
1，收敛；
2
C、
arxtanx
01 x2
dx
12arctan2x
2
08，收敛；
D、
0
0
1
1
x
发散，故选D。
4、已知微分方程的y
ay
by
cex通解为y
(C1
C
，则a,b, c依次
为（ ）
A、
DD
6、设函数f(x),g(x)的二阶导数在x a处连续，则limf (x) g(2x)0是两条曲线
x a(x a)2
y f(x)，
y g(x)在x a对应的点处相切及曲率相等的()
A、充分非必要条件.B、充分必要条件.C、必要非充分条件.D、既非充分也非 必要条件.
【答案】A.
【解析】充分性 ：利用洛必达法则，由limf(x) g2(x)0可得
因此必要性不一定成立。故选A。
7、设A是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若线性方程组Ax0的基础解系中只有 2个
向量，则
r(A*)( )。
A、0.B、1.C、2.D、3.
r(A) 2 4 1， 则r(A*)0，故选A。
8、设A是 3阶实对称矩阵，
E是3阶单位矩阵，
2
若A A
2E
,且A 4，则二次型
xTAx
的规范型为( )
222
222
2
2
2 2 2
2
A、y1y2y3.B、
y1y2y3.
C、y1
y2
y3.D、y1y2
y3.
【答案】C.
【解析】设 是A的特征值，根据AA 2E得22，解得1或2；又
因为A4，所以A的特征值为1，-2 ，-2 ，根据惯性定理，xTAx的规范型为y12y22y32。 故选C。
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题．纸．．指定位置上.
1,0,1.
B、
1,0, 2.
C、
2,1,3.
D、
2,1,4.
答案】
D.
解析】
由题设可知
1是特征方程
ar
0的二重根，即特征方程为
(r1)2
0，
所以a
2,
1。
又知
x
ex是方程
2y
x
cex的特解，代入方程的
4。故选D。
已知积分
D x, y
y2
I1x2
D
dxdy
I2
y2dxdy，
I3
1 cos x2y2D
x a(x a)2
f (x) g (x)f (x) g (x)lim 0及lim 0，x a2(x a)x a2
进而推出f(a) g(a)，f (a) g (a)，f (a) g (a)。由此可知两曲线在x a处有
相同切线，且由曲率公式Ky3可知曲线在x a处曲率也相等，充分性得证。
[1 (y)2]2
3，选
C.
3
2、曲线
y
xsin x 2cos x
x
3
的拐点是（
）
－２
２
A、
B、
0,2
C、
2.
D、3,3.
２２
２２
【答案】
C.
【解析】
y
xcosx sinx
y
xsin x，令
y
xsin x 0，解得x 0或
x。
当x
时，
y 0；当x
时，
y
0，
所以
,2
是拐点。
故选C.
3、下列反常积分发散的是（
）
x
x
2
arx tanx
必要性 ：由曲线y f(x)，y g(x)在x a处相切，可得f(a) g(a)，f (a) g (a)；
由曲率相等f (a)3g (a)3，可知f (a) g (a)或f (a) g (a)。
[1 (f (a))2]2[1 (g(a))2]2
当f (a) g (a)时，所求极限
limf(x) g(2x)limf (x) g(x)limf (x) g(x)f (a)，而f (a)未必等于0，x a(x a)2x a2(x a)x a2
dxdy，则（ ）
A、I3I2I1.
B、I2I1I3.
C、I1
I2I3.
D、
I2
I3
I1.
答案 】A.
解析 】比较积分的大小，
当积分区域一致时，比较被积函数的大小即可解决问题。
2，可得
2
x2y2【画图发现
2
y2包含在圆x2
内 部 】， 令ux2y2， 则0
于是有
u sinu
从而
x2y2dxdysin x2y2dxdy。
2019
、选择题 :1～8小题，每小题4分，共 32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
1、 当x
0时，若x tanx与
k
xLeabharlann Baidu 同阶无穷小量，则
k
（）
A、1.
B、
2.
C、
3.
D、4.
【答案】
C.
x3
【解析】
因为
x tanx~
所以
k
DD
令f (u) 1 cosu sin u，则f (u) sinu cosu，f ( )0。f(u)在0,内单调
减少，
在,单调增加，又因为f(0) f( ) 0，故在0,内f(u)0，即4 2 2 2
1 cosu sin u，从而sin x2y2dxdy(1 cos x2y2)dxdy。 综上，选A。
A
、
xexdx.
B、
xe
dx.
C、
2dx.D、
0
0
0
1 x2
dx.
答案】D.
解析】
0
xde
x
xe
0
B、
x2
xe
0
x
1，收敛；
2
C、
arxtanx
01 x2
dx
12arctan2x
2
08，收敛；
D、
0
0
1
1
x
发散，故选D。
4、已知微分方程的y
ay
by
cex通解为y
(C1
C
，则a,b, c依次
为（ ）
A、
DD
6、设函数f(x),g(x)的二阶导数在x a处连续，则limf (x) g(2x)0是两条曲线
x a(x a)2
y f(x)，
y g(x)在x a对应的点处相切及曲率相等的()
A、充分非必要条件.B、充分必要条件.C、必要非充分条件.D、既非充分也非 必要条件.
【答案】A.
【解析】充分性 ：利用洛必达法则，由limf(x) g2(x)0可得
因此必要性不一定成立。故选A。
7、设A是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若线性方程组Ax0的基础解系中只有 2个
向量，则
r(A*)( )。
A、0.B、1.C、2.D、3.
r(A) 2 4 1， 则r(A*)0，故选A。
8、设A是 3阶实对称矩阵，
E是3阶单位矩阵，
2
若A A
2E
,且A 4，则二次型
xTAx
的规范型为( )
222
222
2
2
2 2 2
2
A、y1y2y3.B、
y1y2y3.
C、y1
y2
y3.D、y1y2
y3.
【答案】C.
【解析】设 是A的特征值，根据AA 2E得22，解得1或2；又
因为A4，所以A的特征值为1，-2 ，-2 ，根据惯性定理，xTAx的规范型为y12y22y32。 故选C。
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题．纸．．指定位置上.