2020年江苏省高三第五次百校联考-数学

2020年江苏省高三第五次百校联考

数 学

数学Ⅰ试题

2020

年5月

参考公式：

样本数据1x ，2x ，…，n x 的标准差211()n

i i s x x n ==-∑，其中11n

i i x x n ==∑；

柱体的体积公式：V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 锥体的体积公式：13

V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．

一．填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．． 。

1. 已知集合A ={1, 2}, A ∪B ={1, 2, 3}, 则集合中B 必定含有的元素是 ▲ ．

2. 已知复数i (a +i )的模为1 (其中i 为虚数单位), 则实数a 的值是 ▲ ．

3. 下图是一个算法的流程图, 则输出k 的值是 ▲ ．

4. 已知一组数据1, 3, 5, 7, 9, 则该组数据的方差是 ▲ ．

5. 已知双曲线 x 2a 2－y 2

9=1(a ＞0)的左、右顶点与点(0, 3)构成等腰直

角三角形, 则该双曲线的渐近线方程是 ▲ ．

6. 已知函数y = tan x 与 y = sin(3x －φ) (0≤φ<π) ,它们图象有一个交 点的横坐标为π

4

, 则φ的值是 ▲ ．

7. 斐波那契数列又称黄金分割数列, 因数学家列昂纳多・斐波那契以

兔子繁殖为例而引入, 故又称为“免子数列”．在数学上, 斐波那契 数列被以下递推方法定义: 数列{a n }满足a 1 = a 2=1, a n+2= a n + a n+1, 现从该数列的前12项中随机抽取1项, 能被3整除的概率是 ▲ ． 8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n , 且a 2 a 4＋a 3= 0, S 3＝－1, 则a n ＝ ▲ ．

9. 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2, 则三棱锥 B －A 1C 1D 的体积是 ▲ ．

10.已知角α, β满足tanα = 2tanβ , 若sin(α＋β) = 3

5

，则

开始

k ←1 k ←k ＋1

k 2－7k ＋10＞0

Y

输出k

N

结束 （第3题）

A

C

D

C 1

B 1

A 1

B 1

sin(α－β)的值是 ▲ ．

11.若函数f (x )=(x －a )・x (其中a ＞0)在区间[1，9]上的最小值为1

8, 则a 的值是 ▲ ．

12.如图, 已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2=1 (a >b >0)上一点, 它关于原点的

对称点为B , 点F 为圆的右焦点,且以AB 为直径的圆过点F , 当 ∠ABF = π

6

时, 该椭圆的离心率是 ▲ ．

13.已知x , y 均为正实数, 且x ＋1y ＝1, 则 y

x

＋8y 的最小值是 ▲ ．

14.已知当x >0时, 函数f (x )=a ln x (a >0),且f (x )=f (-x ).若g (x )=2x 2-m (m >0)的图象与f (x )的图象

在第二象限有公共点, 且在该点处的切线相同, 当实数m 变化时,实数a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内．．．．．．．．．

作答解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步驟． 15. (本小题满分14分)

在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .已知C =π

6, m =(sin A ,－1), n =(cos B ,1),且

m ∥n ．

(1) 求A 的值;

(2) 若点D 为边BC 上靠近B 的四等分点, 且AD = 21, 求△ABC 的面积．

16. (本小题满分14分)

在三棱柱A －BCD 中,E ,F 分别为AD , DC 的中点,且BA =BD ,平面ABD ⊥平面ADC ． (1) 证明: EF ∥平面ABC ． (2) 证明: CD ⊥BE ．

（第12题） x

y A

o

F

B F

A C

D E

17. (本小题满分14分)

一胸针图样由等腰三角形OAB 及圆心C 在中轴线上的圆弧AB 构成, 已知OA =OB =1, ∠ACB =

2π

3

. 为了增加胸针的美观程度,设计师准备焊接三条金丝线CO ,CA ,CB ,且AC 长度不小

于OC 长度．设∠AOC =θ．

(1) 试求出金丝线的总长度L (θ), 并求出的取值范围;

(2) 当θ为何值时,金丝线的总长度L (θ)最小, 并求出L (θ)的最小．

18. (本小题满分16分)

已知椭圆C : x 2a 2＋y 2b 2=1 (a >b >0)右集点F 的盤标为(1,0), 点P (1, 3

2)为椭圆C 上一点．

(1) 求椭圆C 的方程;

(2) 过椭圆C 的右焦点F 作斜率为－3的直线l 交椭圆C 于M , N 两点, 且OM →＋ON →

＋OH →

＝0,

求△MNH 的面积．

19. (本小题满分16分)

已知函数f (x )=x 3＋x 2－a x (a ∈R ), g (x )=x l n x ． (1) 求曲线在x ＝1处的切线方程；

(2) 对任意x ∈(0, a ], f (x )＞g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 当x ∈(0, a ]时, 试求方程f (x )=g (x )的根的个数．

20. (本小题满分16分)

己知数列{a n }满足a 1＝12，a n +1＝λa n

1+ a λ

n

，n ∈N *． B

A θ M

C

O

（第17题）